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专题13 机械能守恒定律
课标要求 知识要点 命题推断
1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算. 2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒. 3.掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用． 考点一　机械能守恒的判断 考点二　机械能守恒定律的应用 考点三　多物体机械能守恒问题 题型：选择题 计算题 1判断物体和系统机械能守恒 2单个物体的机械能守恒问题 3轻绳连接的物体系统 4轻杆连接的物体系统 5轻弹簧连接的物体系统 6“链条”类问题
考点一　机械能守恒的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
考点二　机械能守恒定律的应用
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
考点三　多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情景的分析
（1）速率相等情景
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（2）角速度相等情景
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）关联速度情景
两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。
（2024 浙江模拟）如图，在一水平地面上有一轨道，其内部有一质量不计的轻弹簧，弹簧劲度系数为k。其正上方有一质量为m的小球由静止释放，恰好可进入管道内部。若忽略空气阻力与摩擦力，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动过程中，其机械能守恒
B．小球最大速度
C．小球下落最大距离
D．小球最大加速度
【解答】解：A．小球未接触到弹簧过程中，只有重力做功，机械能守恒，与弹簧接触后弹簧弹力做功，小球的机械能不守恒，故A错误；
B．当小球的加速度为零时，速度达到最大，即
mg＝kx
联立可得
故B正确；
C．当小球速度减为零时，下落的距离最大，则
所以小球下落最大距离为
故C错误；
D．当小球运动到最低点时加速度最大，则
kx'﹣mg＝ma
解得
故D错误。
故选：B。
（2024 南通模拟）弹球游戏装置结构如图，轻质弹簧下端固定在光滑斜面底部，弹簧处于原长时上端在O点。小球将弹簧压缩到A点（未栓接）由静止释放后，运动到B点速度为零。以O点为坐标原点，沿斜面向上为正方向建立x轴，小球上升过程的速度v、加速度a、动能Ek及其机械能E随位置坐标x的变化规律可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．设O点速度为v，小球由O到B的过程中由动能定理
解得
图像中过O点后应为曲线，故A错误；
B．设A点的弹性势能为EPA，小球在恢复原长过程中由能量转化与守恒定理可知
整理可得
可知在O点前图像应为开口向下的抛物线
由O到B的过程中动能定理可知
图像为直线，故B正确；
C．设弹簧原长为x0小球由A运动到O点的过程中受力分析，根据牛顿第二定律列式
k（x0﹣x）﹣mgsinθ＝ma
随着弹簧形变量减小，弹簧弹力减小，小球加速度逐渐变小；当a＝0时物体达到最大速度此时受力分析可知
k（x0﹣x）＝mgsinθ
此后小球会做变减速运动直至到达O点受力分析可知
mgsinθ﹣k（x0﹣x）＝ma
分析可知加速度逐渐变大；
小球由O到B的过程中，弹簧弹力为零受力分析可知
mgsinθ＝ma
从O点开始物体做匀减速直线运动图像应为直线，故C错误；
D．设A点的弹性势能为EPA，小球在恢复原长过程由能量转化与守恒定理可知
整理可得
图像为开口向下的抛物线，故D错误。
故选：B。
（2024 衡阳县校级模拟）如图甲所示，电影飞驰人生中的巴音布鲁克赛道以弯多凶险著称，某段赛道俯视图如图乙所示，其中A、B、C、D四个弯道处地面均水平，半径分别为2r、3r、4r、r。赛车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变，则当赛车匀速率地通过圆弧形路段时，赛车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度。赛车可视为质点，在赛车通过A、B、C、D四个弯道处时，下列说法正确的是（　　）
A．赛车所受的合力为零
B．赛车在C处弯道行驶时，其临界速度最大
C．若赛车从A处匀速率运动D处，则在C处最容易发生事故
D．若赛车均以临界速度通过各处弯道，则赛车在D处的机械能一定大于A处的
【解答】解：A、汽车做曲线运动，合力不为零，故A错误；
B、根据，在最大静摩擦力恒定的条件下，弯道半径与赛车的临界速度成正比。因此，赛车在C处较大弯道行驶时，临界速度达到峰值；而在D处较小弯道，临界速度则降至最低，故B正确；
C、D处弯道拥有最小的临界速度，该处成为赛车行驶中最易发生事故的危险区域，故C错误；
D、赛车在D处临界速度小于在A处临界速度，则EkA＞EkD，而重力势能EpA＜EpD，故无法比较赛车在两处的机械能大小，故D错误。
故选：B。
（2024 重庆三模）“两江四岸”烟花活动中，某同学用手机录制了一段烟花运动视频，经电脑处理得到某一烟花的运动轨迹如图所示，其中最高点b切线水平，c点切线竖直，由图可知（　　）
A．该烟花由a点运动到c点过程中，水平方向匀速运动
B．该烟花由b点运动到c点过程中，其机械能守恒
C．该烟花在点b的加速度方向竖直向下
D．该烟花在点b处于失重状态
【解答】解：A.轨迹图显示，该烟花在c点的水平速度为零，可知该烟花在运动过程中受到空气阻力影响，水平方向减速运动，故A错误；
B.空气阻力对该烟花做负功，该烟花从b点运动到c点过程中，其机械能不守恒，故B错误；
CD.该烟花在b点时，水平方向速度不为零，水平方向所受空气阻力不为零，烟花在b点受到水平向左的阻力和重力作用，其合力指向左下方，根据牛顿第二定律可知，烟花在b点的加速度方向不是竖直向下，但是有竖直向下的加速度分量，故而处于失重状态，故C错误，D正确。
故选：D。
（2024 四川模拟）如图所示，一轻质杆长为R，一端可绕光滑转轴O转动，另一端安装一质量为m的小球（可视为质点），轻质弹簧原长为L0＝2R，一端系于A点，另一端与小球相连，A、B、O、C四点在同一水平线上，∠QOB＝∠POB＝∠POD＝60°，从C点现给小球一初速度，小球可在竖直平面内沿顺时针方向做完整的圆周运动，途经C、D、P、B、Q五点，测得小球经过P点时的速度大小为v，重力加速度大小为g（整个过程轻质弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（　　）
A．小球在运动过程中的机械能守恒
B．小球经过Q点时速度大小为
C．小球经过D点和P点时动能相同
D．小球经过P点时所受的合力为零
【解答】解：A、小球和弹簧组成的系统只有系统内的弹簧弹力与小球的重力做功，故此系统满足机械能守恒定律，因小球在运动过程中弹簧的弹性势能发生变化，故小球的机械能发生变化，故A错误；
B、小球和弹簧组成的系统机械能守恒，由几何关系可知在Q点和P点弹簧长度相等，且PQ的距离为，则在这两点弹簧的形变量与弹性势能相同，根据机械能守恒定律得：
，解得：，故B正确；
C、D点和P点高度相同，小球在这两点时重力势能相等。因几何条件不足，无法判断AP与AD的长度与弹簧原长的关系，故无法确定在这两点对应的弹性势能的大小关系，则不能确定小球经过D点和P点时动能大小关系，故C错误；
D、小球做圆周运动，具有向心加速度，无论弹簧弹力如何，小球经过P点时加速度不为零，故小球经过P点时所受的合力不为零，故D错误。
故选：B。
（2024 乐清市校级三模）羽毛球运动是一项深受大众喜爱的体育运动。某同学为研究羽毛球飞行规律，找到了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则该羽毛球（　　）
A．在A、B两点的速度大小相等
B．整个飞行过程中经P点的速度最小
C．AP段的飞行时间大于PB段的飞行时间
D．在A点的机械能大于B点的机械能
【解答】解：AD．羽毛球在运动过程中受到空气阻力作用，机械能减小，A点的机械能大于B点的机械能，A点速度大于B点的速度，故A错误，D正确；
B．当羽毛球所受重力与阻力的合力方向与速度方向垂直时，羽毛球的速度最小，而在最高点P时，合力方向与速度夹角为钝角，说明羽毛球速度最小应该在P点之前，故B错误；
C．AP段羽毛球处于上升阶段，由于存在空气阻力作用，其竖直向下的加速度大于重力加速度，而PB段羽毛球处于下降阶段，加速度小于重力加速度，由于位移大小相等，所以AP段的飞行时间小于PB段的飞行时间，故C错误。
故选：D。
（2024 苏州校级二模）如图甲，将物块从倾角θ＝30°的斜面顶端由静止释放。取地面为零势能面，物块在下滑过程中的动能Ek、重力势能Ep与下滑位移x间的关系如图乙所示，取g＝10m/s2，下列说法错误的是（　　）
A．物块的质量是0.2kg
B．物块受到的阻力是0.24N
C．物块动能与势能相等时的高度为2.4m
D．物块下滑9m时，动能与重力势能之差为3J
【解答】解：A．由图知，小球下滑的最大位移为x＝12m，在最高点时，小球的重力势能Ep＝12J，则有：Ep＝mgxsin30°，解得：m＝0.2kg，故A正确；
B．根据除重力以外其他力做的功等于机械能的变化W其＝ΔE得：fx＝E高﹣E低
由图知，最高点的机械能为：E高＝12J，最低点的机械能为：E低＝8J，又x＝12m
解得阻力为：fN，故B错误；
C．设小球动能和重力势能相等时的高度为h，此时有：mgh
由动能定理得：﹣f（x）+mg（xsin30°﹣h），其中x＝12m
联立解得：h＝2.4m，故C正确；
D．由图可知，在物块下滑9m处，小球的重力势能是3J，动能为：Ek6J
动能与重力势能之差为：ΔE′＝6J﹣3J＝3J，故D正确。
本题选错误的，故选：B。
（2024 黑龙江模拟）如图所示，一高为h＝1.5m，倾角为θ＝37°的斜面体固定在水平地面上，一质量为m＝1kg、长度为L＝0.85m的薄木板B置于斜面顶端，薄木板下端连接有一根原长为L0＝0.1m的轻弹簧，恰好能保持静止。一质量为M＝2kg的小物块A从斜面体左侧以v0＝1.2m/s的初速度水平抛出，经一段时间后恰好从斜面顶端沿平行于斜面方向落到薄木板上，当薄木板下滑到斜面底端碰到挡板时立刻停下，小物块A最后恰好能脱离弹簧，且弹簧被压缩时一直处于弹性限度内。已知A、B之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）小物块A水平抛出的高度H；
（2）薄木板与挡板碰撞前瞬间，薄木板和小物块的速度大小；
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
【解答】解：（1）把物块A刚落在薄木板B上的速度分解，则竖直方向的速度
物块从抛出到落到B上过程做平抛运动，竖直方向：
代入数据可得：H＝1.5405m
（2）设薄木板B与斜面的动摩擦因数为μ1，薄木板B置于斜面恰好能保持静止，由力的平衡有：μ1mgcosθ＝mgsinθ，可得μ1＝tanθ
设物块A刚落到薄木板B的速度为v1，则
因为μ1＝tanθ，可知A、B整体沿斜面方向的合力为零，所以两物体组成的系统在沿斜面方向动量守恒，
设两物体共速时的速度为v共，取沿斜面向下为正方向，则有：Mv1＝（M+m）v共
代入数据可得：v共＝1m/s
物块A在薄木板上滑动过程，对A由牛顿第二定律有：μMgcosθ﹣Mgsinθ＝MaA，可得
对B由牛顿第二定律有：mgsinθ+μMgcosθ﹣μ1（M+m）gcosθ＝maB，可得
物块A从滑上薄木板B到两者共速过程，物块A的位移：
则薄木板B的位移：
xA﹣xB＝0.625m﹣0.25m＝0.375m，L﹣L0＝0.85m﹣0.1m＝0.75m，可知xA﹣xB＜L﹣L0，所以当物块A与薄木板B共速时，物块A还没有与弹簧接触，之后两物体一起做匀速直线运动，可知薄木板与挡板碰撞前瞬间，薄木板和小物块的速度大小为1m/s；
（3）两物体共速时，物块A到弹簧的长度：x＝L﹣L0﹣（xA﹣xB）＝0.75m﹣0.375m＝0.375m
薄木板碰到挡板时立刻停下，物块A继续向下做减速运动，与弹簧接触后压缩弹簧，速度减为零，然后反向运动，弹簧恢复原长时，物块A的恰好为零，设弹簧最大压缩量为xm
从薄木板碰到挡板到弹簧恢复原长过程，由动能定理有：
代入数据可得：
从弹簧被压缩到最短到弹簧恢复原长过程，由动能定理有：﹣Mgxmsinθ﹣μMgxmcosθ+W弹＝0﹣0
由功能关系可知弹簧弹力做功：W弹＝EPm﹣0
代入数据可得弹簧被压缩到最短时的弹性势能：
答：（1）小物块A水平抛出的高度H为1.5405m；
（2）薄木板与挡板碰撞前瞬间，薄木板和小物块的速度大小为1m/s；
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能为。
（2024 乐清市校级三模）某景区向社会征集一个水上乐园设计建议。某校科技小组设计了一套方案，其简化原理如图。甲、乙、丙由混凝土浇筑而成，其中甲上部为半径为R1＝10m的圆弧面，圆心角θ1＝53°；乙上部为两个半径均为R2＝10m、圆心角为θ2＝37°的圆弧面平滑连接，EF等高。BC距离L1＝10m，其间有水下固定平台，其周围的水可在水泵驱动下循环流动，方向如箭头所示，速度v大小可调，平台上方各处速度均可视为相同。乙下方为有孔隔板，可大幅减小左侧水域流动对右侧水域的影响，乙丙之间水域可视为静水，上浮质量为M＝100kg、长为L＝6m的可动浮台。现有一游客乘坐特定装置（人和该装置视为质点并标注为P，总质量为m＝60kg），P从A点静止释放，依次通过ABCDE，最后通过可动浮台，到达终点平台丙完成游戏。可动浮台触碰平台丙时瞬间自动锁定。由于出发时P干燥，AB段摩擦不可忽略，P在B点时对轨道的压力为1.5mg，在BC间与水有相对运动时，受水平方向的恒力F＝0.5mg，在CDE段因经左侧水域而湿润，摩擦可忽略，与可动浮台动摩擦因数为μ＝0.1。不考虑P和可动浮台入水后的水下部分以及水位上升和波动带来的影响。
（1）求B点速度大小和AB段因摩擦而产生的热量。
（2）CDE段恰不脱离脱离轨道，求P在C点和E点的速度。
（3）若忽略可动浮台与水面的阻力，为使P在CDE段恰不脱离脱且不能在EF间落水，求BC间水速的调节范围。
【解答】解：（1）设P在B点的速度为vB，根据题意可得
解得
P从A到B的过程中，根据能量守恒定律
联立上述各式解得
Q＝900J
（2）在D点时，则有
解得
从C到D的过程中，根据机械能守恒定律可得
解得
同理，从D到E则有
解得
（3）由上述分析可知，在不脱离CDE的情况下，E点的速度满足
考虑EF间不落水，恰至边缘二者共速，取向右为正方向，有
mvE＝（M+m）v
解得
若二者提前共速，后滑动到终点，取向右为正方向，有
mvE＝（M+m）v'
2μg（L﹣x）＝v'2
解得
从C到E
对应C点的速度为
即
9.78m/s≤vC≤9.96m/s
若在BC过程一直加速，则有
F＝0.5mg＝ma
解得
若一直减速，则不可能达到C点。综上所述，可调节的水流速度
9.78m/s≤v≤9.96m/s
答：（1）B点速度大小和AB段因摩擦而产生的热量900J。
（2）CDE段恰不脱离脱离轨道，P在C点和E点的速度分别为，。
（3）若忽略可动浮台与水面的阻力，为使P在CDE段恰不脱离脱且不能在EF间落水，BC间水速的调节范围9.78m/s≤vC≤9.96m/s。
（2024 魏都区校级三模）如图所示，一轻弹簧原长L＝2m，其一端固定在倾角为θ＝37°的固定斜面AF的底端A处，另一端位于B处，弹簧处于自然伸长状态，斜面AF长x＝3m。在FC间有一上表面与斜面平行且相切的传送带，且FC长x0＝4m，传送带逆时针转动，转动速度为4m/s。传送带上端通过一个光滑直轨道CH与一个半径为的光滑圆弧轨道DH相切于H点，且D端切线水平，A、B、C、D、F、H均在同一竖直平面内，且D、C在同一竖直线上。质量为m＝5kg的物块P（可视为质点）从C点由静止释放，最低到达E点（未画出），随后物块P沿轨道被弹回，最高可到达F点。已知物块P与传送带间的动摩擦因数为，与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度g＝10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求BE间距离x及物块P运动到E点时弹簧的弹性势能Ep；
（2）改变物块P的质量，并将传送带转动方向改为顺时针，转动速度大小不变。将物块P推至E点，从静止开始释放，在圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好落于F点，求物块运动到D点的速度vD。
【解答】解：（1）当物块P在传送带上运动时，受到沿传送带向下的滑动摩擦力，由牛顿第二定律得
mgsinθ+μ1mgcosθ＝ma
解得物块的加速度大小为：a＝12m/s2
物块做匀加速直线运动，当物块速度达到4m/s时，其位移为
故物块P到达F点前已经与传送带达到了共同速度。
因，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，所以物块P与传送带达到共同速度后一起做匀速直线运动到F点。
设BE长为L0，物块从F点运动到E点的过程中，由能量守恒定律有
物块P被弹回，从E点运动到F点的过程中，由能量守恒定律有
mg（x﹣L+L0）sinθ+μ2mg（x﹣L+L0）cosθ＝Ep
联立解得：L0＝1m，Ep＝80J
（2）由题意可知，物块从D点做平抛运动落于F点，设过D点的速度为vD，则根据平抛运动的规律得
水平方向上有
x0cosθ＝vDt
竖直方向上有
联立解得：vD＝4m/s
答：（1）BE间距离x为1m，物块P运动到E点时弹簧的弹性势能Ep为80J；
（2）物块运动到D点的速度vD为4m/s。
题型1判断物体和系统机械能守恒
（2024 镇海区校级模拟）如图所示，小红拎着一个质量为m的电脑包以速率v匀速直线上楼，手对包的拉力大小为T。对这一过程，下列说法正确的是（　　）
A．拉力对包不做功
B．拉力对包做正功
C．电脑包所受合外力为零，机械能守恒
D．重力对包做功的瞬时功率大小为P＝mgv
【解答】解：AB．根据题意，由平衡条件可知，手对包的拉力竖直向上，包的位移斜向上，两方向夹角α为锐角，根据功的公式W＝Fscosα可知，拉力对包做正功，故A错误，B正确；
C．电脑包匀速运动，处于平衡状态，所受合外力为零，电脑包匀速上升的过程中，动能不变，重力势能增加，机械能不守恒，故C错误；
D．设楼梯所在斜面与水平面的夹角为θ，则重力对包做功的瞬时功率为：
P＝mgvsinθ
由于sinθ＜1，所以重力对包做功的瞬时功率大小小于mgv，故D错误。
故选：B。
下列过程中机械能守恒的是（　　）
A．跳伞运动员匀速下降的过程
B．小石块做平抛运动的过程
C．子弹射穿木块的过程
D．木箱在粗糙斜面上滑动的过程
【解答】解：A、运动员动能不变，但高度下降，故重力势能减小，故机械能不守恒，故A错误；
B、石块在平抛运动过程中只有重力做功，故机械能守恒，故B正确；
C、子弹穿过木块时由于摩擦力做功，故有内能产生，故机械能不守恒，故C错误；
D、木箱在粗糙斜面上运动时，由于摩擦力做功，故有内能产生，机械能不守恒，故D错误；
故选：B。
（多选）如图固定斜面体的倾角为θ＝37°，其上端固定一个光滑轻质滑轮，两个物体A、B通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，质量相等，A物体块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，现从静止释放两物体，已知B落地后不再弹起，A最终拉紧轻绳并停止运动，则下列说法正确的是（　　）
A．物体B下落的过程中机械能减小
B．物体A沿斜面向上运动过程中机械能一直增加
C．物体A沿斜面向上运动过程中机械能一直减小
D．物体A在整个运动过程中机械能先增加后减小
【解答】解：A、B在下落过程，绳子拉力做负功，则机械能减小。则A正确
B、C、A沿斜面向上运动过程中拉力与摩擦力的合力做正功，则机械能增加，则B正确，C错误
D、B落地后，A所受摩擦力做负功，则机械能减小，则D正确
故选：ABD。
题型2单个物体的机械能守恒问题
（2024 湖北三模）2023年9月，中国选手张博恒夺得杭州亚运会体操单杠冠军，如图所示其双手抓住单杠，其重心以单杠为轴在竖直平面内做圆周运动，重心到单杠的距离R＝1m，重心从单杠正上方A点转至B点时松手脱离单杠，OB与竖直方向的夹角θ＝53°，重心经过E点与B点等高，最后落到地面D点。已知他的质量m＝60kg，从B到E的时间为0.96s，g取10m/s2，忽略空气阻力，不考虑一切摩擦和体能的消耗与转化。下列说法正确的是（　　）
A．他在A到B点过程机械能不守恒，B到D过程机械能守恒
B．他在B点的速度为6m/s
C．他在A到B运动过程中手臂的最大拉力为2640N
D．OB与竖直方向的夹角θ越大，BD之间水平距离越远
【解答】解：A.由于忽略空气阻力，不考虑一切摩擦，则整个过程只有重力做功，整个过程中满足机械能守恒，故A错误；
B.从B到E的时间为0.96s，根据斜上抛运动的速度规律，有10m/s＝4.8m/s，m/s＝6m/s，故B正确；
C.竖直面内圆周运动的最低点拉力最大，设最大拉力为Tm，根据牛顿第二定律
从最低点到B点，根据动能定理
解得Tm＝3240N，故C错误；
D.当 θ＝90o 时，人做竖直上抛运动，则BD之间水平距离为零，故D错误。
故选：B。
（2024 湖北二模）如图所示，悬挂点O通过轻绳连接了一个质量为m的小球，O点到水平地面的高度为h。轻绳的长度L可以变化，且h。现将小球拉至与O点等高处且轻绳绷直，由静止释放小球，当轻绳摆至竖直状态时，靠近O点处固定的一个刀片割断轻绳，小球平抛落至地面。改变绳长L，重复上述过程，则随着L的逐渐增大，从小球由静止释放到落地的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．轻绳割断前的弹力大小均不相同
B．小球落地前瞬间速度均相同
C．重力的瞬时功率一直在增大
D．小球平抛运动水平位移先增大后减小
【解答】解：A.小球做圆周运动的过程中，由动能定理，在最低点，得T＝3mg，与绳长L无关，故A错误；
B.根据动能定理，落地前瞬间小球的速度大小相同，但是方向不同，故B错误；
C.在圆周运动阶段，初始位置和最低点竖直分速度均为0，重力功率先增大后减小，故C错误；
D.平抛运动阶段，由x＝vt，，可得，当 时，x有最大值，故x先增大后减小，故D正确。
故选：D。
（2024 青岛三模）某同学研究碰撞中动能损失的装置如图所示，竖直面内，光滑弧形轨道AB和光滑圆弧轨道CD分别与水平粗糙轨道BC相切于B和C点，圆弧半径R＝0.4m，BC长L＝2m。某次实验中，将质量m＝0.4kg的滑块从弧形轨道上高h＝1.4m处静止释放，滑块第一次通过圆弧轨道最高点Q时对轨道的压力大小F＝4N，此后，滑块与水平轨道发生时间极短的碰撞后速度方向竖直向上，进入轨道后滑块刚好能够通过Q点。滑块可视为质点，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ：
（2）碰撞过程中动能的损失率η（动能损失量与碰前动能的百分比）。
【解答】解：（1）滑块第一次通过Q时，由牛顿第三定律知滑块所受轨道的弹力大小为
F′＝F＝4N
对滑块，由牛顿第二定律有
代入数据解得：
从释放到Q，由动能定理有
代入数据解得：μ＝0.1
（2）滑块在D点正下方与水平轨道碰撞，设滑块碰前与碰后的动能分别为Ek1和Ek2。
从Q到碰前，由机械能守恒定律有
滑块第二次通过Q时，所受轨道的弹力为零，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律有
代入数据解得：v2Q＝2m/s
从碰后到Q，由机械能守恒定律有
所以碰撞过程中动能的损失率η100%
联立解得：η≈16.7%
答：（1）滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ为0.1；
（2）碰撞过程中动能的损失率η为16.7%。
题型3轻绳连接的物体系统
（2024春 泉州期末）如图，一足够长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，A球的质量为3kg，B球的质量为1kg。先用手托住A球，使两边轻绳刚好竖直绷紧，此时A球离地面的高度h＝0.4m，B球静止于地面。忽略一切阻力，取重力加速度g＝10m/s2，现无初速度释放A球，则B球上升的最大高度为（　　）
A．1.2m B．0.8m C．0.6m D．0.4m
【解答】解：从释放到A球落地，由动能定理得
解得
v＝2m/s
A球落地后，B球继续上升，则
0﹣v2＝﹣2gh'
解得
h'＝0.2m
B球上升的最大高度为
H＝h+h'＝0.2m+0.4m＝0.6m
故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024春 即墨区校级期末）如图，圆环A和B分别套在竖直杆和水平杆上，A、B两环用一不可伸长的轻绳连接。初始时，在外力作用下A、B两环均处于静止状态，轻绳处于伸直状态且与竖直杆夹角为60°。撤去外力后，小环A和B各自沿着竖直杆和水平杆运动。已知A、B两环的质量均为m，绳长为l，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　）
A．若外力作用在A上，则外力大小为2mg
B．若外力作用在B上，且B环不受杆的弹力，则外力大小为mg
C．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环A的速率为
D．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环B的速率为
【解答】解：A．若外力作用在A上，对B受力分析可知，绳子的拉力为零，对A分析，由于A静止，故合力为零，施加的外力等于A环的重力，故外力大小为
F＝mg
方向竖直向上，故A错误；
B．若外力作用在B上，对A受力分析可得
FTcos60°＝mg
解得绳子的拉力为
FT＝2mg
B环不受杆的弹力，则外力大小为
解得
故B错误；
CD．将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳子的方向，两物体沿绳子方向的速度大小相等，有
vAcos37°＝vBsin37°
在运动过程中，A、B组成的系统机械能守恒，则
解得
，
故C正确，D错误。
故选：C。
（多选）（2024春 重庆期末）如图所示，一轻绳跨过定滑轮分别悬挂重物A、B，A的质量是2m，B的质量是m。开始时A、B在外力作用下处于静止状态，且轻绳绷紧。现撤去外力，从静止释放A，经过一段时间A竖直下落的高度为h。不计一切阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．下落高度h时，重物A的速度大小为
B．下落h过程中，重物A的机械能减少
C．下落h过程中，重物B的机械能增加
D．下落h过程中，重物A、B系统的机械能减少
【解答】解：AD．对AB系统下落高度h时只有重力对系统做功，则系统机械能守恒，根据机械能守恒定律
解得重物A的速度大小为
故A正确，D错误；
B．下落h过程中，重物A的机械能减少
故B正确；
C．因AB系统机械能守恒，可知下落h过程中，重物B的机械能增加，故C错误。
故选：AB。
题型4轻杆连接的物体系统
（2024春 江岸区期末）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。首先将石块放在长臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g的小石块（可视为质点）装在长L1＝10cm的长臂末端的凹槽中，质量为M的重物装在长L2＝2cm的短臂末端的筐子内。初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂与短臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为x＝30cm。此过程中，重物没有从筐中洒落，不计空气阻力，不考虑杆与转轴的摩擦力。取地面为零势能面，重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．重物的质量M＝125g
B．石块着地时，重力做功的功率为PW
C．石块被水平抛出时的动能为Ek＝1.5×10﹣1J
D．重物重力势能的减少量等于石块机械能的增加量
【解答】解：BC．石块被水平抛出时的高度为
h＝L1+L1sin30°＝10cm+10cm×0.5＝15cm
重力势能增加量为
石块被水平抛出后做平抛运动，水平方向有
竖直方向有
联立解得
石块被水平抛出时的动能为
石块着地时重力的功率为
解得
故BC错误；
AD．石块从最低点到最高点的过程中，由能量守恒有，重物重力势能的减小量等于石块动能和势能的增加量和重物动能增加量之和，而
Ep重＝Mg（L2+L2sin30°）
且
Ep重＝Ek+Ek重+Ep石
根据
解得
M＝125g
故A正确，D错误。
故选：A。
（多选）（2024春 新郑市校级期末）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定倾斜直杆上，倾斜直杆与水平面成45°角，B套在固定水平直杆上，两直杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B沿水平面向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B均视为质点，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．当A到达B所在水平面时
B．当A到达B所在水平面时，B的速度为
C．滑块B到达最右端时，A的速度为
D．滑块B的最大动能为
【解答】解：A、当A到达B所在水平面时，根据A沿沿刚性轻杆方向的分速度等于B的速度，如图所示。
则有：vAcos45°＝vB，解得：，故A正确；
B、从开始到A到达B所在的水平面的过程中，A、B两滑块组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律有
mgLsin30°
结合，解得：，故B正确；
C、滑块B到达最右端时，轻杆与倾斜直杆垂直，则此时滑块B的速度为零，由系统机械能守恒得
解得：，故C错误；
D、由题意可知，B的加速度为零时，速度最大，当轻杆与水平直杆垂直时B的合力为零，速度最大，此时A的速度为零，由系统机械能守恒可得：
mgL（1+sin30°）＝EkB
解得滑块B的最大动能为：，故D正确。
故选：ABD。
题型5轻弹簧连接的物体系统
（多选）（2024春 贵阳期末）如图所示，竖直弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l。质量为m的钢球由弹簧正上方h高处静止释放，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧压缩量为x时，钢球下落到最低点。不计空气阻力和弹簧质量，重力加速度为g。则（　　）
A．钢球下落到最低点过程中，其机械能守恒
B．钢球距离地面时动能最大
C．钢球下落到最低点时，其机械能最大、动能最小
D．钢球从开始下落到最低点过程，弹簧弹力做的功为﹣mg（h+x）
【解答】解：AC．钢球下落到最低点过程中，由于弹簧弹力对钢球做负功，钢球的机械能不守恒；当钢球下落到最低点时，弹簧的弹性势能最大，钢球的机械能最小、动能最小，故AC错误；
B．当弹力等于重力时，钢球的速度最大，动能最大，此时有
kx＝mg
解得弹簧的压缩量为
此时钢球离地面高度为
故B正确；
D．钢球从开始下落到最低点过程，根据动能定理可得
mg（h+x）+W弹＝ΔEk＝0
可得弹簧弹力做的功为
W弹＝﹣mg（h+x）
故D正确。
故选：BD。
（多选）（2024春 福州期末）如图所示，两根轻绳连接小球P，右侧绳一端固定于A点，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，物体Q、N通过一轻弹簧连接，物体Q、N的质量均为m，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°，此时物体N与地面间弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且无弹力，释放小球P开始运动，已知右侧绳长为L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球P和物体Q的质量之比为5：2
B．小球P运动到图示位置时，Q的速度大小
C．小球P从释放到图示位置过程中，轻绳对物体Q做的功
D．小球P从释放到图示位置过程中，P、Q二者机械能守恒
【解答】解：A、平衡时P左侧细绳的拉力
T1＝2mg
对P分析可知
mPgcos37°＝T1
解得
mP＝2.5m
即小球P和物体Q的质量之比为5：2，故A正确；
D、小球P从释放到图示位置过程中，弹簧的弹力对P、Q二者的系统先做正功，后做负功，在初末两个状态，弹簧的弹性势能是相同的，但在过程中机械能不守恒，故D错误；
B、小球P静止时弹簧被拉长了，将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且无弹力，可知弹簧被压缩了，小球P从A、B两点等高的水平线上释放后绕A点做圆周运动，则到达图中位置时小球的速度方向沿着BP方向，可知此时小球P和物块Q速度相等，且两个位置弹簧形变量相同，弹性势能相同，由能量关系可知
解得
故B正确；
C、小球P从释放到图示位置过程中，对物块Q根据动能定理
轻绳对物体Q做的功
故C错误。
故选：AB。
（2024春 建邺区校级期末）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面的底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，细线刚好伸直，且线中没有张力，如图甲所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，以下说法中正确的是（　　）
A．撤掉外力瞬间，A的加速度为2.5m/s2
B．当A、B恰好分离时，A的加速度为2.5m/s2
C．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
D．A运动过程中的最大速度为
【解答】解：A、撤掉外力瞬间，取ABC系统
mCg＝（mA+mB+mC）a1
代入数据解得，故A错误；
BC、AB恰好分离时，以BC整体为研究对象有
mCg﹣mBgsinθ＝（mB+mC）a2
代入数据解得a2＝0
则A的加速度大小也为0，此时弹簧处于压缩状态，故BC错误；
D、开始AB静止，设弹簧压缩量为x0，则
kx0＝（mA+mB）gsinθ
代入数据解得x0＝0.2m
当加速度为0时，A的速度最大，当ABC一起加速运动位移为x时，对C受力分析有
mCg﹣T＝mCa
对AB受力分析有
T+F﹣（mA+mB）gsinθ＝（mA+mB）a
弹簧弹力大小为
F＝k（x0﹣x）
联立解得
代入数据联立解得a＝（2﹣20x）m/s2
当t1＝0时，加速度，当a2＝0时，位移x2＝0.1m，a﹣x图像如图所示，
由a﹣x图像与坐标轴围成的面积可计算物块A的最大速度，则最大速度大小为
代入数据解得，故D正确。
故选：D。
题型6“链条”类问题
一条长为l、质量为m的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，如图所示，在链条的另一端用水平力缓慢地拉动链条，当把链条全部拉到桌面上时，下列说法中正确的是（　　）
A．物体的动能增加了mgl
B．物体的重力势能增加了mgl
C．物体的机械能减少了mgl
D．物体克服重力所做的功为mgl
【解答】解：悬在桌外的L长的链条重心在其中点处，离桌面的高度为：h，它的质量是 m′m。
A、缓慢地拉动链条，动能不变，即动能增加了0，故A 错误；
BD、物体的重力势能增加了mgLmgL，即克服重力所做的功为mgL，故B错误D正确；
C、动能增加了0，重力势能增加了mgL，所以机械能增加了mgL，故C错误；
故选：D。
如图所示，一质量为m、长为L的均匀链条，一半放在倾角为30°的斜面上，另一半跨过斜面顶端（视为光滑）自然下垂，将链条由静止释放时，链条恰好沿竖直面下滑。假设链条全部脱离斜面时，链条各部分只有竖直方向的速度，已知重力加速度为g。求：
（1）链条与斜面间的动摩擦因数μ。
（2）从开始释放到链条全部脱离斜面的过程中，链条重力势能的减少量ΔEP。
【解答】解：（1）根据题意，链条由静止释放时，链条恰好沿竖直面下滑
mgmgsin30°+μmgcos30°
解得μ；
（2）根据几何关系可知，自然下垂链条重心下降的高度为hL
斜面上的链条重心下降的高度h'LLsin30°
即整根链条重心下降的高度H＝h+h'
解得HL
链条重力势能的减少量ΔEP＝mgHmgL；
答：（1）链条与斜面间的动摩擦因数μ为；
（2）从开始释放到链条全部脱离斜面的过程中，链条重力势能的减少量ΔEP为mgL。中小学教育资源及组卷应用平台
专题13 机械能守恒定律
课标要求 知识要点 命题推断
1.掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算. 2.掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒. 3.掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用． 考点一　机械能守恒的判断 考点二　机械能守恒定律的应用 考点三　多物体机械能守恒问题 题型：选择题 计算题 1判断物体和系统机械能守恒 2单个物体的机械能守恒问题 3轻绳连接的物体系统 4轻杆连接的物体系统 5轻弹簧连接的物体系统 6“链条”类问题
考点一　机械能守恒的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
考点二　机械能守恒定律的应用
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
考点三　多物体机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
（1）对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
（2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
（3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2．几种实际情景的分析
（1）速率相等情景
用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（2）角速度相等情景
杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）关联速度情景
两物体速度的关联实质：沿绳（或沿杆）方向的分速度大小相等。
（2024 浙江模拟）如图，在一水平地面上有一轨道，其内部有一质量不计的轻弹簧，弹簧劲度系数为k。其正上方有一质量为m的小球由静止释放，恰好可进入管道内部。若忽略空气阻力与摩擦力，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动过程中，其机械能守恒
B．小球最大速度
C．小球下落最大距离
D．小球最大加速度
（2024 南通模拟）弹球游戏装置结构如图，轻质弹簧下端固定在光滑斜面底部，弹簧处于原长时上端在O点。小球将弹簧压缩到A点（未栓接）由静止释放后，运动到B点速度为零。以O点为坐标原点，沿斜面向上为正方向建立x轴，小球上升过程的速度v、加速度a、动能Ek及其机械能E随位置坐标x的变化规律可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2024 衡阳县校级模拟）如图甲所示，电影飞驰人生中的巴音布鲁克赛道以弯多凶险著称，某段赛道俯视图如图乙所示，其中A、B、C、D四个弯道处地面均水平，半径分别为2r、3r、4r、r。赛车受到的最大静摩擦力与重力的比值恒定不变，则当赛车匀速率地通过圆弧形路段时，赛车的侧向摩擦力达到最大时的最大速度称为临界速度。赛车可视为质点，在赛车通过A、B、C、D四个弯道处时，下列说法正确的是（　　）
A．赛车所受的合力为零
B．赛车在C处弯道行驶时，其临界速度最大
C．若赛车从A处匀速率运动D处，则在C处最容易发生事故
D．若赛车均以临界速度通过各处弯道，则赛车在D处的机械能一定大于A处的
（2024 重庆三模）“两江四岸”烟花活动中，某同学用手机录制了一段烟花运动视频，经电脑处理得到某一烟花的运动轨迹如图所示，其中最高点b切线水平，c点切线竖直，由图可知（　　）
A．该烟花由a点运动到c点过程中，水平方向匀速运动
B．该烟花由b点运动到c点过程中，其机械能守恒
C．该烟花在点b的加速度方向竖直向下
D．该烟花在点b处于失重状态
（2024 四川模拟）如图所示，一轻质杆长为R，一端可绕光滑转轴O转动，另一端安装一质量为m的小球（可视为质点），轻质弹簧原长为L0＝2R，一端系于A点，另一端与小球相连，A、B、O、C四点在同一水平线上，∠QOB＝∠POB＝∠POD＝60°，从C点现给小球一初速度，小球可在竖直平面内沿顺时针方向做完整的圆周运动，途经C、D、P、B、Q五点，测得小球经过P点时的速度大小为v，重力加速度大小为g（整个过程轻质弹簧始终处于弹性限度内），下列说法正确的是（　　）
A．小球在运动过程中的机械能守恒
B．小球经过Q点时速度大小为
C．小球经过D点和P点时动能相同
D．小球经过P点时所受的合力为零
（2024 乐清市校级三模）羽毛球运动是一项深受大众喜爱的体育运动。某同学为研究羽毛球飞行规律，找到了如图所示的羽毛球飞行轨迹图，图中A、B为同一轨迹上等高的两点，P为该轨迹的最高点，则该羽毛球（　　）
A．在A、B两点的速度大小相等
B．整个飞行过程中经P点的速度最小
C．AP段的飞行时间大于PB段的飞行时间
D．在A点的机械能大于B点的机械能
（2024 苏州校级二模）如图甲，将物块从倾角θ＝30°的斜面顶端由静止释放。取地面为零势能面，物块在下滑过程中的动能Ek、重力势能Ep与下滑位移x间的关系如图乙所示，取g＝10m/s2，下列说法错误的是（　　）
A．物块的质量是0.2kg
B．物块受到的阻力是0.24N
C．物块动能与势能相等时的高度为2.4m
D．物块下滑9m时，动能与重力势能之差为3J
（2024 黑龙江模拟）如图所示，一高为h＝1.5m，倾角为θ＝37°的斜面体固定在水平地面上，一质量为m＝1kg、长度为L＝0.85m的薄木板B置于斜面顶端，薄木板下端连接有一根原长为L0＝0.1m的轻弹簧，恰好能保持静止。一质量为M＝2kg的小物块A从斜面体左侧以v0＝1.2m/s的初速度水平抛出，经一段时间后恰好从斜面顶端沿平行于斜面方向落到薄木板上，当薄木板下滑到斜面底端碰到挡板时立刻停下，小物块A最后恰好能脱离弹簧，且弹簧被压缩时一直处于弹性限度内。已知A、B之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）小物块A水平抛出的高度H；
（2）薄木板与挡板碰撞前瞬间，薄木板和小物块的速度大小；
（3）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。
（2024 乐清市校级三模）某景区向社会征集一个水上乐园设计建议。某校科技小组设计了一套方案，其简化原理如图。甲、乙、丙由混凝土浇筑而成，其中甲上部为半径为R1＝10m的圆弧面，圆心角θ1＝53°；乙上部为两个半径均为R2＝10m、圆心角为θ2＝37°的圆弧面平滑连接，EF等高。BC距离L1＝10m，其间有水下固定平台，其周围的水可在水泵驱动下循环流动，方向如箭头所示，速度v大小可调，平台上方各处速度均可视为相同。乙下方为有孔隔板，可大幅减小左侧水域流动对右侧水域的影响，乙丙之间水域可视为静水，上浮质量为M＝100kg、长为L＝6m的可动浮台。现有一游客乘坐特定装置（人和该装置视为质点并标注为P，总质量为m＝60kg），P从A点静止释放，依次通过ABCDE，最后通过可动浮台，到达终点平台丙完成游戏。可动浮台触碰平台丙时瞬间自动锁定。由于出发时P干燥，AB段摩擦不可忽略，P在B点时对轨道的压力为1.5mg，在BC间与水有相对运动时，受水平方向的恒力F＝0.5mg，在CDE段因经左侧水域而湿润，摩擦可忽略，与可动浮台动摩擦因数为μ＝0.1。不考虑P和可动浮台入水后的水下部分以及水位上升和波动带来的影响。
（1）求B点速度大小和AB段因摩擦而产生的热量。
（2）CDE段恰不脱离脱离轨道，求P在C点和E点的速度。
（3）若忽略可动浮台与水面的阻力，为使P在CDE段恰不脱离脱且不能在EF间落水，求BC间水速的调节范围。
（2024 魏都区校级三模）如图所示，一轻弹簧原长L＝2m，其一端固定在倾角为θ＝37°的固定斜面AF的底端A处，另一端位于B处，弹簧处于自然伸长状态，斜面AF长x＝3m。在FC间有一上表面与斜面平行且相切的传送带，且FC长x0＝4m，传送带逆时针转动，转动速度为4m/s。传送带上端通过一个光滑直轨道CH与一个半径为的光滑圆弧轨道DH相切于H点，且D端切线水平，A、B、C、D、F、H均在同一竖直平面内，且D、C在同一竖直线上。质量为m＝5kg的物块P（可视为质点）从C点由静止释放，最低到达E点（未画出），随后物块P沿轨道被弹回，最高可到达F点。已知物块P与传送带间的动摩擦因数为，与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度g＝10m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，弹簧始终在弹性限度内。
（1）求BE间距离x及物块P运动到E点时弹簧的弹性势能Ep；
（2）改变物块P的质量，并将传送带转动方向改为顺时针，转动速度大小不变。将物块P推至E点，从静止开始释放，在圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好落于F点，求物块运动到D点的速度vD。
题型1判断物体和系统机械能守恒
（2024 镇海区校级模拟）如图所示，小红拎着一个质量为m的电脑包以速率v匀速直线上楼，手对包的拉力大小为T。对这一过程，下列说法正确的是（　　）
A．拉力对包不做功
B．拉力对包做正功
C．电脑包所受合外力为零，机械能守恒
D．重力对包做功的瞬时功率大小为P＝mgv
下列过程中机械能守恒的是（　　）
A．跳伞运动员匀速下降的过程
B．小石块做平抛运动的过程
C．子弹射穿木块的过程
D．木箱在粗糙斜面上滑动的过程
（多选）如图固定斜面体的倾角为θ＝37°，其上端固定一个光滑轻质滑轮，两个物体A、B通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，质量相等，A物体块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，现从静止释放两物体，已知B落地后不再弹起，A最终拉紧轻绳并停止运动，则下列说法正确的是（　　）
A．物体B下落的过程中机械能减小
B．物体A沿斜面向上运动过程中机械能一直增加
C．物体A沿斜面向上运动过程中机械能一直减小
D．物体A在整个运动过程中机械能先增加后减小
题型2单个物体的机械能守恒问题
（2024 湖北三模）2023年9月，中国选手张博恒夺得杭州亚运会体操单杠冠军，如图所示其双手抓住单杠，其重心以单杠为轴在竖直平面内做圆周运动，重心到单杠的距离R＝1m，重心从单杠正上方A点转至B点时松手脱离单杠，OB与竖直方向的夹角θ＝53°，重心经过E点与B点等高，最后落到地面D点。已知他的质量m＝60kg，从B到E的时间为0.96s，g取10m/s2，忽略空气阻力，不考虑一切摩擦和体能的消耗与转化。下列说法正确的是（　　）
A．他在A到B点过程机械能不守恒，B到D过程机械能守恒
B．他在B点的速度为6m/s
C．他在A到B运动过程中手臂的最大拉力为2640N
D．OB与竖直方向的夹角θ越大，BD之间水平距离越远
（2024 湖北二模）如图所示，悬挂点O通过轻绳连接了一个质量为m的小球，O点到水平地面的高度为h。轻绳的长度L可以变化，且h。现将小球拉至与O点等高处且轻绳绷直，由静止释放小球，当轻绳摆至竖直状态时，靠近O点处固定的一个刀片割断轻绳，小球平抛落至地面。改变绳长L，重复上述过程，则随着L的逐渐增大，从小球由静止释放到落地的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．轻绳割断前的弹力大小均不相同
B．小球落地前瞬间速度均相同
C．重力的瞬时功率一直在增大
D．小球平抛运动水平位移先增大后减小
（2024 青岛三模）某同学研究碰撞中动能损失的装置如图所示，竖直面内，光滑弧形轨道AB和光滑圆弧轨道CD分别与水平粗糙轨道BC相切于B和C点，圆弧半径R＝0.4m，BC长L＝2m。某次实验中，将质量m＝0.4kg的滑块从弧形轨道上高h＝1.4m处静止释放，滑块第一次通过圆弧轨道最高点Q时对轨道的压力大小F＝4N，此后，滑块与水平轨道发生时间极短的碰撞后速度方向竖直向上，进入轨道后滑块刚好能够通过Q点。滑块可视为质点，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ：
（2）碰撞过程中动能的损失率η（动能损失量与碰前动能的百分比）。
题型3轻绳连接的物体系统
（2024春 泉州期末）如图，一足够长的轻绳跨过轻质定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，A球的质量为3kg，B球的质量为1kg。先用手托住A球，使两边轻绳刚好竖直绷紧，此时A球离地面的高度h＝0.4m，B球静止于地面。忽略一切阻力，取重力加速度g＝10m/s2，现无初速度释放A球，则B球上升的最大高度为（　　）
A．1.2m B．0.8m C．0.6m D．0.4m
（2024春 即墨区校级期末）如图，圆环A和B分别套在竖直杆和水平杆上，A、B两环用一不可伸长的轻绳连接。初始时，在外力作用下A、B两环均处于静止状态，轻绳处于伸直状态且与竖直杆夹角为60°。撤去外力后，小环A和B各自沿着竖直杆和水平杆运动。已知A、B两环的质量均为m，绳长为l，重力加速度为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　）
A．若外力作用在A上，则外力大小为2mg
B．若外力作用在B上，且B环不受杆的弹力，则外力大小为mg
C．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环A的速率为
D．轻绳与竖直杆夹角为37°时，小环B的速率为
（多选）（2024春 重庆期末）如图所示，一轻绳跨过定滑轮分别悬挂重物A、B，A的质量是2m，B的质量是m。开始时A、B在外力作用下处于静止状态，且轻绳绷紧。现撤去外力，从静止释放A，经过一段时间A竖直下落的高度为h。不计一切阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．下落高度h时，重物A的速度大小为
B．下落h过程中，重物A的机械能减少
C．下落h过程中，重物B的机械能增加
D．下落h过程中，重物A、B系统的机械能减少
题型4轻杆连接的物体系统
（2024春 江岸区期末）图甲为科技活动节学生自制小型抛石机。首先将石块放在长臂一端的凹槽中，在短臂端固定重物，发射前将长臂端往下拉至地面，然后突然松开，凹槽中的石块过最高点时就被抛出。现将其简化为如图乙所示的模型，将一质量m＝10g的小石块（可视为质点）装在长L1＝10cm的长臂末端的凹槽中，质量为M的重物装在长L2＝2cm的短臂末端的筐子内。初始时长臂与水平面的夹角为30°，松开后长臂与短臂转至竖直位置时，石块被水平抛出，落在水平地面上，测得石块落地点与O点的水平距离为x＝30cm。此过程中，重物没有从筐中洒落，不计空气阻力，不考虑杆与转轴的摩擦力。取地面为零势能面，重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．重物的质量M＝125g
B．石块着地时，重力做功的功率为PW
C．石块被水平抛出时的动能为Ek＝1.5×10﹣1J
D．重物重力势能的减少量等于石块机械能的增加量
（多选）（2024春 新郑市校级期末）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定倾斜直杆上，倾斜直杆与水平面成45°角，B套在固定水平直杆上，两直杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B沿水平面向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B均视为质点，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．当A到达B所在水平面时
B．当A到达B所在水平面时，B的速度为
C．滑块B到达最右端时，A的速度为
D．滑块B的最大动能为
题型5轻弹簧连接的物体系统
（多选）（2024春 贵阳期末）如图所示，竖直弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l。质量为m的钢球由弹簧正上方h高处静止释放，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧压缩量为x时，钢球下落到最低点。不计空气阻力和弹簧质量，重力加速度为g。则（　　）
A．钢球下落到最低点过程中，其机械能守恒
B．钢球距离地面时动能最大
C．钢球下落到最低点时，其机械能最大、动能最小
D．钢球从开始下落到最低点过程，弹簧弹力做的功为﹣mg（h+x）
（多选）（2024春 福州期末）如图所示，两根轻绳连接小球P，右侧绳一端固定于A点，左侧绳通过光滑定滑轮B连接一物体Q，物体Q、N通过一轻弹簧连接，物体Q、N的质量均为m，整个系统处于静止状态时，小球P位于图示位置，两绳与水平方向夹角分别为37°和53°，此时物体N与地面间弹力恰好为零。现将小球P托至与A、B两点等高的水平线上，两绳均拉直且无弹力，释放小球P开始运动，已知右侧绳长为L，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球P和物体Q的质量之比为5：2
B．小球P运动到图示位置时，Q的速度大小
C．小球P从释放到图示位置过程中，轻绳对物体Q做的功
D．小球P从释放到图示位置过程中，P、Q二者机械能守恒
（2024春 建邺区校级期末）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面的底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，细线刚好伸直，且线中没有张力，如图甲所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，以下说法中正确的是（　　）
A．撤掉外力瞬间，A的加速度为2.5m/s2
B．当A、B恰好分离时，A的加速度为2.5m/s2
C．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
D．A运动过程中的最大速度为
题型6“链条”类问题
一条长为l、质量为m的均匀链条放在光滑水平桌面上，其中有三分之一悬在桌边，如图所示，在链条的另一端用水平力缓慢地拉动链条，当把链条全部拉到桌面上时，下列说法中正确的是（　　）
A．物体的动能增加了mgl
B．物体的重力势能增加了mgl
C．物体的机械能减少了mgl
D．物体克服重力所做的功为mgl
如图所示，一质量为m、长为L的均匀链条，一半放在倾角为30°的斜面上，另一半跨过斜面顶端（视为光滑）自然下垂，将链条由静止释放时，链条恰好沿竖直面下滑。假设链条全部脱离斜面时，链条各部分只有竖直方向的速度，已知重力加速度为g。求：
（1）链条与斜面间的动摩擦因数μ。
（2）从开始释放到链条全部脱离斜面的过程中，链条重力势能的减少量ΔEP。

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