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专题16 库仑定律 电场力的性质
课标要求 知识要点 命题推断
1.理解电场强度的定义、意义及表示方法. 2.熟练掌握各种电场的电场线分布，并能利用它们分析解决问题. 3.会分析、计算在电场力作用下的电荷的平衡及运动问题． 考点一　库仑定律的理解及应用 考点二　电场强度的理解 考点三　电场线和运动轨迹问题 考点四　带电体的力电综合问题 题型：选择题 计算题 1库仑力作用下的平衡问题 2库仑力作用下的加速运动问题 3叠加法、对称法、补偿法、微元法求电场强度 4电场线的应用 5电场线+运动轨迹组合模型
考点一　库仑定律的理解及应用
1．表达式：F＝k，适用条件是真空中两静止点电荷之间相互作用的静电力．
2．平衡问题应注意：
(1)明确库仑定律的适用条件；
(2)知道完全相同的带电小球接触时电荷量的分配规律；
(3)进行受力分析，灵活应用平衡条件．
3．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．
(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
考点二　电场强度的理解
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
考点三　电场线和运动轨迹问题
1．电场线与运动轨迹的关系
根据电场线的定义，一般情况下，带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下3个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线；
(2)电荷的初速度为零，或速度方向与电场线平行；
(3)电荷仅受电场力或所受其他力的合力的方向与电场线平行．
2．解题思路
(1)根据带电粒子的弯曲方向，判断出受力情况；(2)把电场线方向、受力方向与电性相联系；(3)把电场线疏密和受力大小、加速度大小相联系，有时还要与等势面联系在一起．
考点四　带电体的力电综合问题
1．解答力电综合问题的一般思路
2．运动情况反映受力情况
(1)物体静止(保持)：F合＝0.
(2)做直线运动
①匀速直线运动：F合＝0.
②变速直线运动：F合≠0，且F合与速度方向总是一致．
(3)做曲线运动：F合≠0，F合与速度方向不在一条直线上，且总指向运动轨迹曲线凹的一侧．
(4)F合与v的夹角为α，加速运动：0≤α＜90°；减速运动；90°＜α≤180°.
(5)匀变速运动：F合＝恒量．
（2024 杭州二模）水平面上有一块半径为R均匀带正电的圆形薄平板，单位面积带电量为σ，以圆盘圆心为原点，以向上为正方向，垂直圆盘建立x轴，轴上任意一点P（坐标为x）的电场强度为：，现将一电量大小为q、质量为m的负点电荷在x＝d（d＞0）处静止释放。若d R，不计点电荷重力，则点电荷碰到圆盘前瞬间的速度大小最接近（　　）
A． B．2 C． D．2
（2024 东莞市校级模拟）如图所示是空气净化器内部结构的简化图，其中的负极针组件产生电晕，释放出大量电子，电子被空气中的氧分子捕捉，从而生成空气负离子。负离子能使空气中烟尘、病菌等微粒带电，进而使其吸附到集尘栅板上，达到净化空气的作用。下列说法正确的（　　）
A．负极针组件附近的电势较低
B．为了更有效率地吸附尘埃，集尘栅板应带负电
C．负极针组件产生电晕，利用了静电屏蔽的原理
D．烟尘吸附到集尘栅板的过程中，电势能增加
（2024 金东区校级模拟）如图所示，原来不带电的长为l的导体棒水平放置，现将一个带正电的点电荷q放在棒的中心轴线上距离棒的左端R处。已知O为棒的中点，A、B为棒上左、右端的一点，当棒达到静电平衡后（　　）
A．棒整体带负电
B．A点电势比B点电势高
C．感应电荷在O处的场强方向水平向左
D．O点场强大小为
（2024 朝阳区二模）如图所示，水平面上固定一个绝缘支杆，支杆上固定一带电小球A，小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢释放细线，使球B移动一小段距离。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．细线中的拉力一直减小
B．球B受到的库仑力先减小后增大
C．球A、B系统的电势能保持不变
D．拉力做负功，库仑力做正功
（2024 西湖区校级模拟）如图所示，两相同的小球M、N用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘墙壁上的O点，悬点到小球中心的距离均为L，给小球N带上电，电荷量大小为q，小球M上电荷量未知且保持不变。由于库仑斥力作用，初次平衡时两小球间的距离为d1，由于某种原因，小球N缓慢漏电，当两小球间的距离为d2时，小球N的电荷量为（　　）
A． B．
C． D．
（2024 荆州区校级四模）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面AA1B1B的对称轴，在轴线上有M、N两点，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　）
A． B． C． D．
（2024 市中区校级二模）如图所示在场强为E的匀强电场中有一带电绝缘物体P处于水平面上。已知P的质量为m、带电量为+q，其所受阻力与时间的关系为f＝f0+kt。t＝0时物体P由静止开始运动直至速度再次为零的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．物体达到最大速度的时间
B．物体达到的最大速度为
C．全过程中，物体所受电场力的冲量为
D．全过程中，物体的阻力f的冲量为
（2024 重庆模拟）如图所示，在Ox轴的原点和坐标为a的点分别固定有电荷量为+4Q和﹣Q的点电荷．已知静电力常量为k，求：
（1）坐标为a场点的场强大小与方向；
（2）x轴上场强为0的点的坐标．
（2024 天心区校级模拟）如图所示，OM是两固定的等量异种电荷A、B连线的竖直中垂线，M是A、B连线的中点，A、B连线水平。用绝缘丝线一端固定于O点，另一端悬挂一质量为m的带电小球，稳定后小球恰好静止在AM的中点N处。已知AN＝NM＝L，且绝缘丝线长度ON＝2L，等量异种电荷A、B及带电小球的电荷量大小均为Q（Q未知），静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）带电小球所受总的库仑力F；
（2）小球所带电荷的电性及电荷量Q的大小；
（3）等量异种电荷A、B在N处产生的合场强E。
（2024 西城区校级模拟）法拉第提出场的概念，并且用场线直观地描绘了场，场线的疏密程度表示场的强弱，场线上每一点的切线方向表示场强的方向。
（1）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布，与点电荷的电场线分布相似。如图1所示，若空间中有一固定的N极磁单极子，一带电微粒Q在其上方沿顺时针方向（俯视）做匀速圆周运动，运动轨迹的圆心O到磁单极子的距离为d，运动周期为T，重力加速度为g。
①在图中画出N极磁单极子周围的磁感线；
②分析该微粒带正电还是负电，并求出该微粒运动轨迹的半径R。
（2）场的通量可以描述场线的数量，在研究磁场时我们引入了磁通量Φ，定义磁通量Φ＝BS，其中B为磁感应强度，S为垂直于磁场的面积。
①如图2所示，真空中存在电荷量为Q的正点电荷，以点电荷为球心，做半径为r、高度为h的球冠，已知真空中静电力常量为k，球冠的表面积为2πrh，请类比磁通量的定义，求通过球冠的电通量ΦE；
②真空中存在两个异种点电荷+q1和﹣q2，图3中曲线为从+q1出发，终止于﹣q2的一条电场线，该电场线在两点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角分别为α和β，求两点电荷的电荷量之比。
题型1库仑力作用下的平衡问题
（2024 大庆三模）如图所示，两根绝缘细线的上端都系在水平天花板上，另一端分别连着两个带电小球P、Q，两小球静止时处于同一水平高度，P球质量为m，两细线与天花板间的夹角分别为α＝30°，β＝45°，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．左侧细线对小球的拉力大小为mg
B．右侧小球的质量为m
C．剪断左侧细线的瞬间，P球的加速度大小为2g
D．剪断右侧细线的瞬间，Q球的加速度大小为g
（2024 杭州二模）如图，某同学为研究静电力大小的影响因素，用轻质绝缘细线将带电小球A悬挂在铁架台上B点，细线长度远大于小球直径，在B点正下方固定一带电小球C。两球静止时，细线与竖直方向呈一定夹角。某时刻起，小球A缓慢漏电，开始在竖直平面内缓慢运动，在小球A运动过程中，细线的拉力大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．一直不变 D．先增大后减小
（2024 马鞍山三模）如图所示，在光滑小滑轮O正下方相距h处固定一电量为Q的小球A，电量为q的带电小球B用一绝缘细线通过定滑轮拉住并处于静止状态，此时小球B与A的距离为R。现用力F缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离。假定两球均可视为点电荷且电荷量均保持不变，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）
A．小球B重力大小为
B．细线上的拉力先增大后减小
C．两球之间的静电力不断变小
D．B球电势能大小保持不变
题型2库仑力作用下的加速运动问题
如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个分别带异种电荷的大小、形状均相同的小球A和B（可视为点电荷），A球带电荷量为+2q，B球带电荷量为﹣q，将它们同时由静止开始释放，A球加速度的大小与B球的加速度的大小之比为，现将A、B接触后再放回原处，同时由静止释放的瞬间，加速度大小之比为．则（　　）
A．两球的质量之比为
B．两球的质量之比为
C．
D．
（多选）如图所示，光滑绝缘水平桌面上有A、B两个带电小球（可以看成点电荷），A球带电量为+2q，B球带电量为﹣q，将它们同时由静止开始释放，A球加速度的大小为B球的2倍．现在AB中点固定一个带电小球C（也可看作点电荷），再同时由静止释放A、B两球，释放瞬间两球加速度大小相等．则C球带电量可能为（　　）
A．q B．q C．q D．4q
如图所示，绝缘水平面上静止着两个质量均为m、电量均为+Q的物体A和B（A、B均可视为质点），它们间的距离为r，与水平面间的动摩擦因数均为μ．求：
（1）A受到的摩擦力．
（2）如果将A的电量增至+4Q，则两物体将开始运动，当它们的加速度第一次为零时，A、B各运动了多远的距离？
题型3叠加法、对称法、补偿法、微元法求电场强度
（2024 长沙模拟）如图，水平面上有一带电量为+Q的均匀带电圆环，其圆心为O，O点正上方h处有一点P，P和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为θ。已知静电力常量为k，则P点场强大小为（　　）
A． B．
C． D．
（2024 南昌一模）如图所示，电荷量为+q的电荷均匀地分布在半径为R的绝缘环上，O为圆环的圆心、在过O点垂直于圆环平面的轴上有一点P，它与O点的距离OP＝2R，在P点也有一带电荷量为+q的点电荷，A点为OP的中点，随着R的改变，下列图像中，A点的场强与相关物理量之间关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 潍坊三模）如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ（σ＞0），其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1]，方向沿x轴。现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板后（如图乙所示），在其轴线上任意一点Q（坐标为x）处放置一个点电荷q0，则q0所受电场力的大小为（　　）
A．2πkσ0q0 B．2πkσ0q0
C．2πkσ0q0 D．2πkσ0q0
题型4电场线的应用
（2024春 杭州期末）某电场的电场线分布如图所示，A、B、C、D是电场中的四个点，则关于该电场，下列说法正确的是（　　）
A．该电场可能是某带正电的点电荷形成的
B．由图可知四点中B点的电场强度最大
C．B、D两点的电场强度方向相同
D．某电荷仅受电场力时能沿电场线从B点运动到D点
（多选）（2024春 鼓楼区校级期末）空间有两个带等量正电荷的点电荷处于水平位置如图所示，O点为两点电荷连线的中点，A、B为连线上相对O点对称的点，C、D在两点电荷连线的中垂线上，OC＞OD。下列说法正确的是（　　）
A．A、B两点场强相同
B．C、D两点的场强大小可能相等
C．从A点静止释放一不计重力的带正电粒子，在从A点向B点运动的过程中，带电粒子所受的电场力越来越小
D．从C点静止释放一不计重力的带负电粒子，在从C点向O点运动过程其加速度可能先增大后减少
如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，图中两点电荷连线长度为2r，左侧点电荷带电荷量为+2q，右侧点电荷带电荷量为﹣q，P、Q两点关于两电荷连线对称．由图可知（　　）
A．P、Q两点的电场强度相同
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．把同一试探电荷放在N点其所受电场力大于放在M点所受的电场力
D．两点电荷连线的中点处的电场强度为3k
题型5电场线+运动轨迹组合模型
（2024春 闵行区期末）如图所示，一带电粒子仅受电场力的作用，它从A运动到B的径迹如虚线所示，下列结论中正确的是（　　）
A．由于该电场的电场线是直线，所以该电场是匀强电场
B．B点的场强比A点的场强小
C．粒子带负电
D．粒子的加速度不断变小
（2023秋 天津期末）如图所示，实线为某一静止点电荷产生的电场中的三条电场线，虚线为另一带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则下列说法正确的是（　　）
A．场源电荷一定带负电
B．运动的带电粒子一定带正电
C．带电粒子在c点的速度一定大于在a点的速度
D．带电粒子在c点的加速度一定小于在b点的加速度
（2024 郑州一模）静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，其中虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在电场力作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．P点的电势高于Q点的电势
B．电子在P点的加速度小于在R点的加速度
C．从P至R的运动过程中，电子的电势能减小
D．从P至R的运动过程中，电子的动能先减小后增大中小学教育资源及组卷应用平台
专题16 库仑定律 电场力的性质
课标要求 知识要点 命题推断
1.理解电场强度的定义、意义及表示方法. 2.熟练掌握各种电场的电场线分布，并能利用它们分析解决问题. 3.会分析、计算在电场力作用下的电荷的平衡及运动问题． 考点一　库仑定律的理解及应用 考点二　电场强度的理解 考点三　电场线和运动轨迹问题 考点四　带电体的力电综合问题 题型：选择题 计算题 1库仑力作用下的平衡问题 2库仑力作用下的加速运动问题 3叠加法、对称法、补偿法、微元法求电场强度 4电场线的应用 5电场线+运动轨迹组合模型
考点一　库仑定律的理解及应用
1．表达式：F＝k，适用条件是真空中两静止点电荷之间相互作用的静电力．
2．平衡问题应注意：
(1)明确库仑定律的适用条件；
(2)知道完全相同的带电小球接触时电荷量的分配规律；
(3)进行受力分析，灵活应用平衡条件．
3．三个自由点电荷的平衡问题
(1)条件：两个点电荷在第三个点电荷处的合场强为零，或每个点电荷受到的两个库仑力必须大小相等，方向相反．
(2)规律：“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷．
考点二　电场强度的理解
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
考点三　电场线和运动轨迹问题
1．电场线与运动轨迹的关系
根据电场线的定义，一般情况下，带电粒子在电场中的运动轨迹不会与电场线重合，只有同时满足以下3个条件时，两者才会重合：
(1)电场线为直线；
(2)电荷的初速度为零，或速度方向与电场线平行；
(3)电荷仅受电场力或所受其他力的合力的方向与电场线平行．
2．解题思路
(1)根据带电粒子的弯曲方向，判断出受力情况；(2)把电场线方向、受力方向与电性相联系；(3)把电场线疏密和受力大小、加速度大小相联系，有时还要与等势面联系在一起．
考点四　带电体的力电综合问题
1．解答力电综合问题的一般思路
2．运动情况反映受力情况
(1)物体静止(保持)：F合＝0.
(2)做直线运动
①匀速直线运动：F合＝0.
②变速直线运动：F合≠0，且F合与速度方向总是一致．
(3)做曲线运动：F合≠0，F合与速度方向不在一条直线上，且总指向运动轨迹曲线凹的一侧．
(4)F合与v的夹角为α，加速运动：0≤α＜90°；减速运动；90°＜α≤180°.
(5)匀变速运动：F合＝恒量．
（2024 杭州二模）水平面上有一块半径为R均匀带正电的圆形薄平板，单位面积带电量为σ，以圆盘圆心为原点，以向上为正方向，垂直圆盘建立x轴，轴上任意一点P（坐标为x）的电场强度为：，现将一电量大小为q、质量为m的负点电荷在x＝d（d＞0）处静止释放。若d R，不计点电荷重力，则点电荷碰到圆盘前瞬间的速度大小最接近（　　）
A． B．2 C． D．2
【解答】解：根据电场强度的表达式：，可知在x＝0处的电场强度为E0＝2πkσ
因d R，故0～d之间的电场强度大小可认为接近于E0＝2πkσ，根据电场叠加原理，由对称性可知x轴正半轴上的电场方向均沿z轴正方向。
此过程点电荷，根据动能定理得：qE0dmv2﹣0
解得：v＝2，故点电荷碰到圆盘前瞬间的速度大小最接近2，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024 东莞市校级模拟）如图所示是空气净化器内部结构的简化图，其中的负极针组件产生电晕，释放出大量电子，电子被空气中的氧分子捕捉，从而生成空气负离子。负离子能使空气中烟尘、病菌等微粒带电，进而使其吸附到集尘栅板上，达到净化空气的作用。下列说法正确的（　　）
A．负极针组件附近的电势较低
B．为了更有效率地吸附尘埃，集尘栅板应带负电
C．负极针组件产生电晕，利用了静电屏蔽的原理
D．烟尘吸附到集尘栅板的过程中，电势能增加
【解答】解：A．电场线由正极指向负极，负极针组件附近的电势较低，故A正确；
B．负离子能使空气中烟尘、病菌等微粒带负电，为了更有效率地吸附尘埃，集尘栅板应带正电，故B错误；
C．负极针组件产生电晕，释放出大量电子，利用了尖端放电的原理，故C错误；
D．烟尘吸附到集尘栅板的过程中，电势升高，根据Ep＝qφ，可知电势升高，带负电的烟尘电势能减少，故D错误。
故选：A。
（2024 金东区校级模拟）如图所示，原来不带电的长为l的导体棒水平放置，现将一个带正电的点电荷q放在棒的中心轴线上距离棒的左端R处。已知O为棒的中点，A、B为棒上左、右端的一点，当棒达到静电平衡后（　　）
A．棒整体带负电
B．A点电势比B点电势高
C．感应电荷在O处的场强方向水平向左
D．O点场强大小为
【解答】解：A．根据电荷守恒定律可知，棒的电荷量不变，所以不带电，故A错误；
B．由静电平衡可知，导体棒是一个等势体，所以其表面上各点电势处处相等，故B错误；
CD．由静电平衡可知，O点的合场强为零，感应电荷在O处电场强度与正点电荷在O处产生的电场强度大小相等，方向相反。正电荷在O点的电场强度方向向右，所以感应电荷在O点处产生的场强方向向左，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 朝阳区二模）如图所示，水平面上固定一个绝缘支杆，支杆上固定一带电小球A，小球A位于光滑小定滑轮O的正下方，绝缘细线绕过定滑轮与带电小球B相连，在拉力F的作用下小球B静止，此时两球处于同一水平线。假设两球的电荷量均不变，现缓慢释放细线，使球B移动一小段距离。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．细线中的拉力一直减小
B．球B受到的库仑力先减小后增大
C．球A、B系统的电势能保持不变
D．拉力做负功，库仑力做正功
【解答】解：对小球B分析可知，受细线的拉力T，静电斥力F和重力G，受力分析如图所示：
由相似三角形可知：，现缓慢释放细线，使球B移动一小段距离，可知L变大，细线中的拉力T变大；r不变，球B受到的库仑力不变；球A、B系统的电势能保持不变；拉力做负功，球A、B间距离不变，库仑力做不做功，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024 西湖区校级模拟）如图所示，两相同的小球M、N用等长的绝缘细线悬挂在竖直绝缘墙壁上的O点，悬点到小球中心的距离均为L，给小球N带上电，电荷量大小为q，小球M上电荷量未知且保持不变。由于库仑斥力作用，初次平衡时两小球间的距离为d1，由于某种原因，小球N缓慢漏电，当两小球间的距离为d2时，小球N的电荷量为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图所示：
对小球M受力分析可知M所受的重力，绳的拉力和库仑力F构成的力的三角形与OMN长度三角形一直相似，所以当初次平衡时两小球间的距离为d1 时，有：，当两小球间的距离为d2 时，有：，而根据库仑定律，两种状态下库仑力分别有：，，联立解得：，故B正确，ACD错误；
故选：B。
（2024 荆州区校级四模）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为q；在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量是。球半径为R，球心为O，CD为球面AA1B1B的对称轴，在轴线上有M、N两点，且OM＝ON＝2R，A1A＝B1B，A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：将AB部分补上，使球壳变成﹣一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带电荷量为
Qq
为保证电荷量不变，球面AB带负电荷量为q，则该球壳带正电的部分在M点产生的场强为
EM
根据对称性可知：①带正电的部分完整球壳在N点产生的场强大小
EN
②球面AB带负电荷量为q，在N点产生的场强大小为2E，两者方向相反；
则N点的场强大小为
E'N＝|2E|
故ACD错误，B正确；
故选：B。
（2024 市中区校级二模）如图所示在场强为E的匀强电场中有一带电绝缘物体P处于水平面上。已知P的质量为m、带电量为+q，其所受阻力与时间的关系为f＝f0+kt。t＝0时物体P由静止开始运动直至速度再次为零的过程中，以下说法正确的是（　　）
A．物体达到最大速度的时间
B．物体达到的最大速度为
C．全过程中，物体所受电场力的冲量为
D．全过程中，物体的阻力f的冲量为
【解答】解：A.当牵引力F＝f时，汽车的速度达到最大，即f0+kt＝qE
此时t
故A错误；
B.如图：
由a﹣t图像可知，三角形面积代表速度的变化量的大小，则
vm
故B正确；
C.由图像分析，运动到停止的时间
t'＝2t
则电场力的冲量为
I＝Eqt
解得I
故C错误；
D.因初未态速度均为0，全过程动量变化量为0，故合外力冲量为0，则阻力的冲量为
I'
若按照的平均值算也是此结果，故D错误。
故选：B。
（2024 重庆模拟）如图所示，在Ox轴的原点和坐标为a的点分别固定有电荷量为+4Q和﹣Q的点电荷．已知静电力常量为k，求：
（1）坐标为a场点的场强大小与方向；
（2）x轴上场强为0的点的坐标．
【解答】解：（1）依据点电荷的电场强度公式E，+4Q的点电荷在坐标为a场点的场强大小E1，方向水平向右；
同理，﹣Q的点电荷在坐标为a场点的场强大小E2，方向水平向右；
依据矢量的合成法则，则有两点电荷在坐标为a场点的场强大小E＝E1+E2，而方向水平向右；
（2）+4Q和﹣Q的点电荷，要求x轴上的合场强为零的位置，依据点电荷的电场强度公式，结合矢量的合成法则，
所以合场强为零的位置应该在﹣Q的右侧，设场强为0的点距离﹣Q点电荷间距为x，
则：E4Q＝EQ
所以
解得x＝a；
那么x轴上场强为0的点的坐标+2a．
答：（1）坐标为a场点的场强大小，方向水平向右；
（2）x轴上场强为0的点的坐标+2a．
（2024 天心区校级模拟）如图所示，OM是两固定的等量异种电荷A、B连线的竖直中垂线，M是A、B连线的中点，A、B连线水平。用绝缘丝线一端固定于O点，另一端悬挂一质量为m的带电小球，稳定后小球恰好静止在AM的中点N处。已知AN＝NM＝L，且绝缘丝线长度ON＝2L，等量异种电荷A、B及带电小球的电荷量大小均为Q（Q未知），静电力常量为k，重力加速度为g。求：
（1）带电小球所受总的库仑力F；
（2）小球所带电荷的电性及电荷量Q的大小；
（3）等量异种电荷A、B在N处产生的合场强E。
【解答】解：（1）对小球受力分析
F拉sinθ＝F
F拉cosθ＝mg
所以
F＝mgtanθ
根据几何关系
θ＝30°
则
Fmg
（2）A对球的库仑力FA＝k
B对球的库仑力FB＝k
F＝FA+FB
联立解得Q，小球带负电；
（3）等量异种电荷A、B在N处产生的总场强
E
解得E
答：（1）带电小球所受总的库仑力F为mg；
（2）小球所带的电荷量Q为，带负电；
（3）等量异种电荷A、B在N处产生的总场强E为。
（2024 西城区校级模拟）法拉第提出场的概念，并且用场线直观地描绘了场，场线的疏密程度表示场的强弱，场线上每一点的切线方向表示场强的方向。
（1）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁感线呈均匀辐射状分布，与点电荷的电场线分布相似。如图1所示，若空间中有一固定的N极磁单极子，一带电微粒Q在其上方沿顺时针方向（俯视）做匀速圆周运动，运动轨迹的圆心O到磁单极子的距离为d，运动周期为T，重力加速度为g。
①在图中画出N极磁单极子周围的磁感线；
②分析该微粒带正电还是负电，并求出该微粒运动轨迹的半径R。
（2）场的通量可以描述场线的数量，在研究磁场时我们引入了磁通量Φ，定义磁通量Φ＝BS，其中B为磁感应强度，S为垂直于磁场的面积。
①如图2所示，真空中存在电荷量为Q的正点电荷，以点电荷为球心，做半径为r、高度为h的球冠，已知真空中静电力常量为k，球冠的表面积为2πrh，请类比磁通量的定义，求通过球冠的电通量ΦE；
②真空中存在两个异种点电荷+q1和﹣q2，图3中曲线为从+q1出发，终止于﹣q2的一条电场线，该电场线在两点电荷附近的切线方向与两电荷的连线夹角分别为α和β，求两点电荷的电荷量之比。
【解答】解：（1）①根据题意，磁单极子的磁感线分布与点电荷的电场线分布相似，磁感线从N极出发，回到S极，可得磁单极子N极的磁场分布如图所示
②设带电粒子的质量为m，其轨迹上任意一点和磁单极子的连线与竖直方向的夹角为θ，做出带电粒子的受力分析如图所示
根据左手定则可知该粒子带正电。
由几何关系可得：，根据力的矢量关系可得：，由牛顿第二定律有：，联立以上各式解得：；
（2）①根据磁通量的定义，类比磁通量的计算公式，可得通过球冠的电通量：；
②分别以+q1、﹣q2 为球心，取一半径为r0的很小的球面，对应的球冠面积可以分别表示为：Sα＝2πr0 r0（1﹣cosα），Sβ＝2πr0 r0（1﹣cosβ），
穿过两个球面的电通量分别为 ，，
由于电场线都是从正电荷出发回到负电荷，则在很小的球面上的球冠上的电通量相等，有，
整理可得：。
答：（1）①在图中画出N极磁单极子周围的磁感线；
②该微粒带正电，该微粒运动轨迹的半径为：。
（2）①通过球冠的电通量为：；
②两点电荷的电荷量之比为：。
题型1库仑力作用下的平衡问题
（2024 大庆三模）如图所示，两根绝缘细线的上端都系在水平天花板上，另一端分别连着两个带电小球P、Q，两小球静止时处于同一水平高度，P球质量为m，两细线与天花板间的夹角分别为α＝30°，β＝45°，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．左侧细线对小球的拉力大小为mg
B．右侧小球的质量为m
C．剪断左侧细线的瞬间，P球的加速度大小为2g
D．剪断右侧细线的瞬间，Q球的加速度大小为g
【解答】解：A、对P球受力分析如图所示：
由共点力平衡条件得细线的拉力为：，库仑力大小为：，故A错误；
B、对Q受力分析，则有：，又，，联立解得：，故B错误；
C、剪断左侧细线的瞬间，库仑力不变，小球P所受的合力F合＝T＝2mg，根据牛顿第二定律得：，故C正确；
D、剪断右侧细线的瞬间，库仑力不变，小球Q所受的合力，根据牛顿第二定律得：，故D错误。
故选：C。
（2024 杭州二模）如图，某同学为研究静电力大小的影响因素，用轻质绝缘细线将带电小球A悬挂在铁架台上B点，细线长度远大于小球直径，在B点正下方固定一带电小球C。两球静止时，细线与竖直方向呈一定夹角。某时刻起，小球A缓慢漏电，开始在竖直平面内缓慢运动，在小球A运动过程中，细线的拉力大小变化情况是（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．一直不变 D．先增大后减小
【解答】解：以小球A为研究对象，进行受力分析，如图：
根据几何关系得△F″AF′∽△CBA，根据相似三角形性质得：，
又F″＝G，所以在A带电量逐渐减少的过程中，CB、AB、G均不变，则线的拉力F′不变。故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 马鞍山三模）如图所示，在光滑小滑轮O正下方相距h处固定一电量为Q的小球A，电量为q的带电小球B用一绝缘细线通过定滑轮拉住并处于静止状态，此时小球B与A的距离为R。现用力F缓慢拉动细线，使B球移动一小段距离。假定两球均可视为点电荷且电荷量均保持不变，静电力常量为k，则下列说法正确的是（　　）
A．小球B重力大小为
B．细线上的拉力先增大后减小
C．两球之间的静电力不断变小
D．B球电势能大小保持不变
【解答】解：对小球B受力分析，如图所示：
设OB间的距离为L，由三角形相似可得：
A、小球B所受的重力大小为：，故A错误；
B、用力F缓慢拉动细线时有：，L减小，h不变，GB不变，则拉力F一直减小，故B错误；
CD、由A得：，由于h不变，GB不变，则R不变，A、B两球之间的距离不变，球B球电势能大小保持不变，根据库仑定律可得两球之间的静电力也保持不变，故D正确，C错误。
故选：D。
题型2库仑力作用下的加速运动问题
如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个分别带异种电荷的大小、形状均相同的小球A和B（可视为点电荷），A球带电荷量为+2q，B球带电荷量为﹣q，将它们同时由静止开始释放，A球加速度的大小与B球的加速度的大小之比为，现将A、B接触后再放回原处，同时由静止释放的瞬间，加速度大小之比为．则（　　）
A．两球的质量之比为
B．两球的质量之比为
C．
D．
【解答】解：A、两个小球所受库仑力相等，根据牛顿第二定律：a，F相等，则，故A错误，B错误；
C、将A、B接触后再放回原处，两小球受的库仑力为相互作用力，仍然大小相等，则加速度之比与质量之比成反比，加速度之比仍为，故C错误，D正确；
故选：D。
（多选）如图所示，光滑绝缘水平桌面上有A、B两个带电小球（可以看成点电荷），A球带电量为+2q，B球带电量为﹣q，将它们同时由静止开始释放，A球加速度的大小为B球的2倍．现在AB中点固定一个带电小球C（也可看作点电荷），再同时由静止释放A、B两球，释放瞬间两球加速度大小相等．则C球带电量可能为（　　）
A．q B．q C．q D．4q
【解答】解：由静止开始释放，A球加速度的大小为B球的2倍。根据牛顿第二定律可知，A、B两个带电小球的质量之比为1：2；
当在AB中点固定一个带电小球C，由静止释放A、B两球，释放瞬间两球加速度大小相等，则有C球带正电，
根据库仑定律与牛顿第二定律，且有：对A来说，
对B来说，
综上解得，
根据库仑定律与牛顿第二定律，且有：对A来说，
对B来说，
综上解得，，故AB正确，CD错误；
故选：AB。
如图所示，绝缘水平面上静止着两个质量均为m、电量均为+Q的物体A和B（A、B均可视为质点），它们间的距离为r，与水平面间的动摩擦因数均为μ．求：
（1）A受到的摩擦力．
（2）如果将A的电量增至+4Q，则两物体将开始运动，当它们的加速度第一次为零时，A、B各运动了多远的距离？
【解答】解：（1）对A受力分析如图所示，因A处于静止状态，故有库仑力F大小等于静摩擦力f大小，库仑力为：
所以f＝F
（2）当加速度为0时，有库仑力大小F′等于滑动摩擦力大小f′，即：
F′＝f′＝μN＝μmg
又有：F′
解得：r′＝2Q
所以A、B各运动的距离为：SQ
答：（1）A受的摩擦力为．
（2）当它们的加速度第一次为零时，A、B各运动的距离为Q．
题型3叠加法、对称法、补偿法、微元法求电场强度
（2024 长沙模拟）如图，水平面上有一带电量为+Q的均匀带电圆环，其圆心为O，O点正上方h处有一点P，P和圆环上任一点的连线与圆环面的夹角均为θ。已知静电力常量为k，则P点场强大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：将圆环分为n等分（n很大，每一份可以认为是一个点电荷），则每份的电荷量为 q
每份在P点的电场强度大小为：E0
根据对称性可知，水平方向的合场强为零，P点的电场强度方向竖直向上，其大小为：E＝nE0sinθ，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024 南昌一模）如图所示，电荷量为+q的电荷均匀地分布在半径为R的绝缘环上，O为圆环的圆心、在过O点垂直于圆环平面的轴上有一点P，它与O点的距离OP＝2R，在P点也有一带电荷量为+q的点电荷，A点为OP的中点，随着R的改变，下列图像中，A点的场强与相关物理量之间关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，对于圆环，设每个微元电荷的电荷量为Δq，由几何关系可知，微元电荷到A点的距离为R，微元电荷与A点连线与水平方向的夹角为45°，根据对称性和点电荷场强公式可得，圆环在A点产生的电场为
E1＝ncos45°
P点的点电荷在A点产生的电场为
E2
则A点的电场强度为
E＝E2﹣E1
解得E
可知，A点的场强与相关物理量之间关系为E与成正比。
故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023 潍坊三模）如图甲所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面积带电荷量为σ（σ＞0），其轴线上任意一点P（坐标为x）的电场强度可以由电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1]，方向沿x轴。现考虑单位面积带电荷量为σ0的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板后（如图乙所示），在其轴线上任意一点Q（坐标为x）处放置一个点电荷q0，则q0所受电场力的大小为（　　）
A．2πkσ0q0 B．2πkσ0q0
C．2πkσ0q0 D．2πkσ0q0
【解答】解：在Q点处的合场强E＝E1+E2，E1＝2πkσ（无穷大的带电圆盘在此处产生的场强），E2＝2πkσ[1]方向与E1相反。合成得
E＝2πkδ0方向与E1相同，q0在此处受的电场力就是2πkδ0q，故BCD错误，故A正确。
故选：A。
题型4电场线的应用
（2024春 杭州期末）某电场的电场线分布如图所示，A、B、C、D是电场中的四个点，则关于该电场，下列说法正确的是（　　）
A．该电场可能是某带正电的点电荷形成的
B．由图可知四点中B点的电场强度最大
C．B、D两点的电场强度方向相同
D．某电荷仅受电场力时能沿电场线从B点运动到D点
【解答】解：A、正点电荷的电场线是向外辐射的直线，所以该电场不是正点电荷的电场，故A错误；
B、在电场中用电场线的疏密程度描述电场的强弱，在B处的电场线最为密集，所以B处 的场强最大，故B正确；
C、电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向，B、D两点虽然在同一条电场线上，但电场线是曲线，所以这两点的切线方向不同，即这两点的电场强度方向不同，故C错误；
D、当电场线为直线，电荷仅受电场力作用时，且从静止出发或初速度方向与电场线共线时，电荷的运动轨迹才会和电场线重合，所以某电荷仅受电场力时不可能沿电场线从B点运动到D点，故D错误。
故选：B。
（多选）（2024春 鼓楼区校级期末）空间有两个带等量正电荷的点电荷处于水平位置如图所示，O点为两点电荷连线的中点，A、B为连线上相对O点对称的点，C、D在两点电荷连线的中垂线上，OC＞OD。下列说法正确的是（　　）
A．A、B两点场强相同
B．C、D两点的场强大小可能相等
C．从A点静止释放一不计重力的带正电粒子，在从A点向B点运动的过程中，带电粒子所受的电场力越来越小
D．从C点静止释放一不计重力的带负电粒子，在从C点向O点运动过程其加速度可能先增大后减少
【解答】解：A．等量同种点电荷形成的电场关于O点对称的A、B两点场强等大反向，场强不同，故A错误；
B．等量同种正点电荷形成的电场在中垂线上的任意一点场强为
其中r为该点据点电荷的距离，θ为点电荷在该处场强与中垂线的夹角，由于OC＞OD则
rC＞rD
那么有
θD＞θC
即
cosθC＞cosθD
所以C、D两点场强大小无法判定，有可能大小相等，故B正确；
C．等量同种正点电荷形成的电场在O点场强为零，电场力为零，从A点静止释放一不计重力的带正电粒子，在从A点向B点运动的过程中，场强先减小后增大，电场力先减少后增大，故C错误；
D．从C点静止释放一不计重力的带负电粒子，由于CO段场强变化无法确定，故加速度大小变化无法确定，有可能是先增大后减少，故D正确。
故选：BD。
如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，图中两点电荷连线长度为2r，左侧点电荷带电荷量为+2q，右侧点电荷带电荷量为﹣q，P、Q两点关于两电荷连线对称．由图可知（　　）
A．P、Q两点的电场强度相同
B．M点的电场强度小于N点的电场强度
C．把同一试探电荷放在N点其所受电场力大于放在M点所受的电场力
D．两点电荷连线的中点处的电场强度为3k
【解答】解：A、电场线的疏密表示电场强度的相对大小，根据图象可知，P点场强小于Q点场强，故A错误；
B、同理，M点的电场强度大于N点的电场强度，故B错误；
C、把同一试探电荷放在N点，因M点的电场强度大于N点的电场强度，那么M点所受电场力大于放在N点所受的电场力，故C错误；
D、依据点电荷的电场强度公式E＝k，及叠加原则，
则两点电荷连线的中点处的电场强度为E合＝2kk3k，故D正确。
故选：D。
题型5电场线+运动轨迹组合模型
（2024春 闵行区期末）如图所示，一带电粒子仅受电场力的作用，它从A运动到B的径迹如虚线所示，下列结论中正确的是（　　）
A．由于该电场的电场线是直线，所以该电场是匀强电场
B．B点的场强比A点的场强小
C．粒子带负电
D．粒子的加速度不断变小
【解答】解：A、由图知电场线疏密不均匀，说明场强不是处处相同，因此该电场不是匀强电场，故A错误；
B、根据电场线的疏密表示场强的大小，则知B点的场强比A点的场强大，故B错误；
C、根据粒子的运动的轨迹可以判断得出粒子受到的电场力的方向向下，与电场线的方向相反，所以该粒子带负电，故C正确。
D、电场线密的地方电场的强度大，所以粒子在B点受到的电场力大，在B点时的加速度较大，所以粒子加速度不断变大，故D错误。
故选：C。
（2023秋 天津期末）如图所示，实线为某一静止点电荷产生的电场中的三条电场线，虚线为另一带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c是轨迹上的三个点，则下列说法正确的是（　　）
A．场源电荷一定带负电
B．运动的带电粒子一定带正电
C．带电粒子在c点的速度一定大于在a点的速度
D．带电粒子在c点的加速度一定小于在b点的加速度
【解答】解：A、该电场线为某一静止点电荷产生的电场中的三条电场线，根据点电荷电场线的特点可知，场源电荷为正电荷，故A错误；
B、带电粒子在电场中运动时，受到的电场力的方向指向运动轨迹的弯曲的内侧，由此可知，此带电的粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以此粒子为正电荷，故B正确；
C、粒子从b到c运动过程中，粒子受到的电场力的方向与轨迹切线方向之间的夹角为钝角，可知电场力做负功，粒子动能减小，所以粒子在c点的速度比在b点的速度小，故C错误；
D、电场线密的地方电场强度大，可知c点的电场强度大于b点的电场强度，由a，可知带电粒子电粒子在c点的加速度一定大于在b点的加速度，故D错误。
故选：B。
（2024 郑州一模）静电透镜被广泛应用于电子器件中，如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，其中虚线为等势线，任意两条相邻等势线间电势差相等，z轴为该电场的中心轴线。一电子从其左侧进入聚焦电场，实线为电子运动的轨迹，P、Q、R为其轨迹上的三点，电子仅在电场力作用下从P点运动到R点，在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．P点的电势高于Q点的电势
B．电子在P点的加速度小于在R点的加速度
C．从P至R的运动过程中，电子的电势能减小
D．从P至R的运动过程中，电子的动能先减小后增大
【解答】解：A．从P到Q电子受力指向实线的凹侧，而电子受电场力方向与电场强度方向相反，所以电场强度方向背离PQ实线方向，根据沿着电场线电势降低可知，P点的电势低于Q点的电势，故A错误；
B．等差等势线越密，电场强度越大，所以P点场强大于R点场强，则电子在P点受到的场力大，由牛顿第二定律可知，电子在P点的加速度大于在R点的加速度，故B错误；
CD．根据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，从P至R的电势升高，根据Ep＝qφ，电子电势能减小，动能增大，故C正确、D错误。
故选：C。

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