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九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第八课时 一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
1.探索一元二次方程的根与系数的关系。
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。
老师告诉你
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
一、知识点拨
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
（1）语言表达：对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
【新知导学】
例1-1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
例1-2．已知x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根，则x1+x2的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【对应导练】
1．若x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则（　　）
A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6
C. x1x2= D. x1x2=7
2．若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
3．关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是___________．
4．已知关于x的方程的根为，则的值为__________．
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
【新知导学】
例2-1 .不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）﹣2x2+3＝0；
（2）x2﹣7x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝5．
例2-2．已知方程的一个根是1，求另一根和m的值
例2-3．若,是方程的两实数根,求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
.
例2-4．如果方程的两个根是,，那么,，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若，求方程的两根．
（2）已知实数a、b满足,，求的值；
（3）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
例2-5．已知关于x的一元二次方程的两实数根满足，求a的取值范围
例2-6．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两实数根满足，求的值．
例2-7．一元二次方程的两根为和,则_______.
【对应导练】
1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
2．已知a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3．已知关于的一元二次方程有实数根
（1）求的取值范围
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值
4．关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且，求k的值．
5．已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值．
6 .已知a，b是方程的两个根，则的值 ．
二、题型训练
一元二次方程根与系数的关系在求代数式的值中的应用
1．已知关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若m=-1时，求的值．
2．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
一元二次方程根与系数的关系在满足关系式的字母值中的应用
3．关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
4．已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0，
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，求m的值．
一元二次方程根与系数的关系在几何图形有关问题应用
5．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
6．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
一元二次方程根与系数的关系与根的情况的综合应用
7．阅读材料，解答问题：
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____；
（2）间接应用：
在（1）的条件下，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值．
8．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4-5x2+6=0的解为 _____；
（2）间接应用：
已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值．
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．一元二次方程其中一个根是0,则另一个根的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.
2．若,是关于x的一元二次方程的两个根,,则b的值为( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则m的值是( )
A.3 B.1 C.3或 D.或1
4．已知方程的两个实数根分别为,,则式子的值等于( )
A. B.0 C.2 D.6
5．已知m,n是方程的两个实数根,则的值为( )
A.1 B.3 C. D.
6．设a、b是一元二次方程的两个根,则的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是( )
A.-1或5 B.1 C.5 D.-1
8．若，是方程的两个实数根，则的值为( )
A.2015 B.2022 C. D.4010
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为______.
10．关于x的方程有两个不相等的实数根,,且,则_____.
11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________.
12．已知，是方程的两个实数根，则的值为______.
13．已知，且，则的值为__________.
.
三、解答题(共6小题，共48分）
14．（6分）解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)
(2)
15．（8分）若是一元二次方程的两个根，
求下列代数式的值.
（1）；
（2）.
16．（8分）已知:关于x的方程.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.
17．（8分）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数k，使成立？若存在.求出k的值;若不存在，请说明理由.
18．（8分）阅读材料:
已知，，且，求的值.
解:由及，可知，
可变形为.
又，，
p与一是方程的两个不相等的实数根，
，
根据材料所提供的方法，完成下面的解答
已知，，且，求的值.
19 .（10分）已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
九年级数学上点拨与训练
二十一章 一元二次方程
21.2解一元二次方程
第八课时 一元二次方程根与系数的关系
学习目标：
1.探索一元二次方程的根与系数的关系。
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题。
老师告诉你
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用常常涉及一下代数式的一些重要变形，需要牢牢记住：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥；
⑦；
⑧；
⑨。
一、知识点拨
知识点1 一元二次方程根与系数的关系
（1）语言表达：对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
（2）数学表达：对于一元二次方程，若，则。
若一元二次方程的两个实数根是，当，则
注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。
【新知导学】
例1-1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
【答案】D
【解析】将x=3代入方程即可求出a的值．
解：将x=3代入方程可得：9-6+a=0，
∴a=-3，
x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0
x=3或x=-1，
故选：D．
例1-2．已知x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根，则x1+x2的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
【答案】B
【解析】把原方程化为一般形式，再利用两根之和等于-，即可求出x1+x2的值．
解：把原方程化为一般形式为x2-2x-1=0，
∵x1，x2是一元二次方程x2=2x+1的两个根，
∴x1+x2=2．
故选：B．
【对应导练】
1．若x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，则（　　）
A. x1+x2=6 B. x1+x2=-6
C. x1x2= D. x1x2=7
【答案】A
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
解：∵x1，x2是方程x2-6x-7=0的两个根，
∴x1+x2=6，x1x2=-7，
故选：A．
2．若关于的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为．
解：，，
，，
以，为根的一元二次方程可为．
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．
3．关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是___________．
【答案】
【解析】设方程的另一根为 则由一元二次方程根与系数的关系可得：从而可得答案.
解：关于x的一元二次方程的一个根是3，
设方程的另一根为
则
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“一元二次方程根与系数的关系”是解本题的关键.
4．已知关于x的方程的根为，则的值为__________．
【答案】19
【解析】化成一般式，确定，直接代入计算即可．
∵，
∴
∵方程的根为，
∴，
∴，
故答案：19．
【点睛】本题考查了根与系数关系定理，正确理解定理，并活用定理是解题的关键．
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）的应用
（1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
（2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
（3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值。
（4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
（5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号。
【新知导学】
例2-1 .不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积：
（1）﹣2x2+3＝0；
（2）x2﹣7x﹣3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝5．
【分析】（1）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程﹣2x2+3＝0的两根之和与两根之积；
（2）根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程x2﹣7x﹣3＝0的两根之和与两根之积；
（3）将原方程化为一般式，根据方程的系数，结合“两根之和等于，两根之积等于”，即可求出方程3x（x﹣2）＝5的两根之和与两根之积．
【解答】解：（1）∵a＝﹣2，b＝0，c＝3，
∴x1+x20，x1 x2；
（2）∵a＝1，b＝﹣7，c＝﹣3，
∴x1+x27，x1 x23；
（3）原方程化为一般式为3x2﹣6x﹣5＝0．
∵a＝3，b＝﹣6，c＝﹣5，
∴x1+x22，x1 x2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的一般式，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
例2-2．已知方程的一个根是1，求另一根和m的值
答案：6
解析：设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得，，
解得，，
所以另一根为2，m的值为6.
例2-3．若,是方程的两实数根,求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)∵,是方程的两实数根,
∴,,
∴；
(2)；
(3)∵,是方程的两实数根,
∴,
∴,
∴.
例2-4．如果方程的两个根是,，那么,，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）若，求方程的两根．
（2）已知实数a、b满足,，求的值；
（3）已知关于x的方程，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．
答案：（1）当，则方程为，
解得：
（2）∵a、b满足，
∴a、b是的解，
当时，，
；
当时，原式．
（3）设方程，的两个根分别是，
则，，
则方程的两个根分别是已知方程两根的倒数
例2-5．已知关于x的一元二次方程的两实数根满足，求a的取值范围
答案：解：该一元二次方程有两个实数根，
，
解得：，
由韦达定理可得，
，，
解得：，
．
例2-6．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若此方程的两实数根满足，求的值．
答案：解：（1）∵关于的一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得．
（2）由根与系数的关系可得，
∴，
∵，
∴，解得，或，
∵，
∴（舍去），
∴．
例2-7．一元二次方程的两根为和,则_______.
答案：2024
解析：∵
∴
∵一元二次方程的两根为和,
∴
即
∴
故答案为：2024.
【对应导练】
1．一元二次方程x2-2x+a=0的一根是3，则另外一根是（　　）
A. 3 B. 1 C. -3 D. -1
【答案】D
【解析】将x=3代入方程即可求出a的值．
解：将x=3代入方程可得：9-6+a=0，
∴a=-3，
x2-2x-3=0，
（x-3）（x+1）=0
x=3或x=-1，
故选：D．
2．已知a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根，则代数式a2+2a+b的值等于（　　）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系可得a+b==-1，ab==-8，将a2+2a+b变形为a（a+1）+（a+b），再前面括号中的a用-1-b替换得-ab+a+b,最后将ab,a+b的值代入计算即可求解．
解：∵a,b是一元二次方程x2+x-8=0的两个实数根，
∴a+b==-1，ab==-8，
∴a=-1-b,
∴a2+2a+b
=a2+a+（a+b）
=a（a+1）+（a+b）
=a（-1-b+1）+（a+b）
=-ab+a+b
=8-1
=7．
故选：A．
3．已知关于的一元二次方程有实数根
（1）求的取值范围
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）根据一元二次方程的根与判别式的关系，只需△≥0解不等式即可求出m的范围；
（2）根据一元二次方程根与系数关系：，即可求解．
（1）根据题意得：
，
解得：，
∴m的取值范围为m≤4；
（2）根据题意得：，
，
∴，即，
解得：，
即m的值为3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元一次不等式、解一元一次方程，熟练掌握用判别式判断一元二次方程根的情况，会灵活运用根与系数关系求解是解答的关键．
4．关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两根分为x1、x2，且，求k的值．
【解析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac,可得出Δ=（k+1）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，结合可得出关于k的一元二次方程，解之即可求出k的值．
（1）证明：∵a=1，b=-（k-3），c=-2k+2，
∴Δ=b2-4ac=[-（k-3）]2-4×1×（-2k+2）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2-（k-3）x-2k+2=0的两个实数根，
∴x1+x2=k-3，x1x2=-2k+2，
∵，
∴（x1+x2）2-x1x2=19，
∴（k-3）2-（-2k+2）=19，
整理得：k2-4k-12=0，
解得：k1=-2，k2=6，
∴k的值为-2或6．
5．已知关于x的方程x2-（k-1）x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，实数k的值．
【解析】由方程有两个实数根，可得根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，然后设出方程的两个根分别为x1，x2，用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据两根的平方和等于4及完全平方公式列出关于k的方程，求出方程的解，得到k的值，代入关于k的不等式中检验，可得出满足题意的k的值．
解：∵方程x2-（k-1）x+k+1=0有两个实数根，
∴b2-4ac=（k-1）2-4（k+1）=k2-6k-3≥0，
可设方程的两个根分别为x1，x2，
则有x1+x2=-=k-1，x1x2==k+1，
又两个实数根的平方和等于4，即x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=x12+x22=4，即（k-1）2-2（k+1）=4，
整理得：k2-4k-5=0，即（k-5）（k+1）=0，
解得：k=5或k=-1，
当k=5时，k2-6k-3=-8＜0，不合题意，舍去，
当k=-1时，k2-6k-3=4＞0，符合题意，
则实数k的值为-1．
6 .已知a，b是方程的两个根，则的值 ．
【答案】
【分析】由根与系数关系知，，即知a＜0，b＜0，化简原式，所以原式
故答案为：﹣14．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴a＜0，b＜0，
∴
∴原式
故答案为：﹣14．
【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
二、题型训练
一元二次方程根与系数的关系在求代数式的值中的应用
1．已知关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0．
（1）若该方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若m=-1时，求的值．
【解析】（1）先用m的式子表示根的判别式，再根据方程有实数根知△≥0，列出不等式求解即可得m的取值范围；
（2）把m=-1代入方程，再根据根与系数的关系求得两根的和与积，再把变形，代入求解即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-2（1-m）x+m2=0有实数根，
则Δ=b2-4ac≥0，
即[-2（1-m）]2-4×1×m2≥0，
∴，
∴m的取值范围；
（2）当m=-1时，x2-4x+1=0，
设x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根，
∴x1+x2=4，x1x2=1，
∴，
∴=．
2．已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=12，求m的值．
【解析】（1）根据判别式的意义得到Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，然后解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,利用整体代入的方法得到m2-m-6=0，然后解关于m的方程即可．
解：（1）根据题意得Δ=（2m）2-4（m2+m）≥0，
解得m≤0．
故m的取值范围是m≤0；
（2）根据题意得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,
∵x12+x22=（x1+x2）2-2x1 x2=12，
∴（-2m）2-2（m2+m）=12，即m2-m-6=0，
解得m1=-2，m2=3（舍去）．
故m的值为-2．
一元二次方程根与系数的关系在满足关系式的字母值中的应用
3．关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）利用判别式的意义得到Δ=（2k-1）2-4k2≥0，然后解不等式即可；
（2）利用根与系数的关系得到∵x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2，则利用x1+x2和x1x2互为相反数得到-（2k-1）+k2=0，解得k1=k2=1，不满足△≥0，从而可判断不存在实数k满足条件．
解：（1）根据题意得Δ=（2k-1）2-4k2≥0，
解得k≤；
（2）不存在．
∵x1+x2=-（2k-1），x1x2=k2，
而x1+x2和x1x2互为相反数，
∴-（2k-1）+k2=0，解得k1=k2=1，
∵k≤，
∴不存在实数k,使得x1+x2和x1x2互为相反数．
4．已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0，
（1）若方程有两个实数根，求m的范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，求m的值．
【解析】（1）由根的情况，根据判别式可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；
（2）由方程根的定义可把（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23化为关于m的方程，则可求得m的值．
解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2-4x+m=0有两个实数根，
∴△≥0，即（-4）2-4m≥0，解得m≤4；
（2）∵x1、x2是方程x2-4x+m=0的两个实数根，
∴-4x1=-m,-4x2=-m,
∵（x1-2）2+（x2-2）2+m2=23，
∴-4x1+4+-4x2+4+m2=23，
即m2-2m-15=0，解得m=5或m=-3，
又m≤4，
∴m=-3．
一元二次方程根与系数的关系在几何图形有关问题应用
5．已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
【解析】（1）计算判别式的值得到Δ=（2k-3）2+4，利用非负数的性质得到Δ＞0，从而根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2=AC2=（）2，则（2k+1）2-2（4k-3）=31，解得k1=3，k2=-2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．
（1）证明：Δ=（2k+1）2-4（4k-3）
=4k2+4k+1-16k+12
=4k2-12k+13
=（2k-3）2+4，
∵（2k-3）2≥0，
∴Δ＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC=2k+1，AB BC=4k-3，
而AB2+BC2=AC2=（）2，
∴（2k+1）2-2（4k-3）=31，
整理得k2-k-6=0，解得k1=3，k2=-2，
而AB+BC=2k+1＞0，AB BC=4k-3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC=7，
∴矩形ABCD的周长为14．
6．已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0．
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若斜边为5的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两根，求k的值．
【解析】（1）对于一元二次方程根的情况需判断Δ的值，可得结论；
（2）设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,利用根与系数的关系可以得到a+b,ab的值，利用勾股定理化简带入求k的值．
（1）证明：∵Δ=[-（k+3）]2-4×1×3k=k2-6k+9=（k-3）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根；
（2）解：设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,
则a+b=k+3＞0，ab=3k＞0，
∴k＞0，
又a2+b2=25，（a+b）2-2ab=25，
∴（k+3）2-2×3k=25，
解得：k=±4，
∵k＞0，
∴k=-4应舍去，
∴k=4．
一元二次方程根与系数的关系与根的情况的综合应用
7．阅读材料，解答问题：
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,则a+b=_____，ab=_____；
（2）间接应用：
在（1）的条件下，求的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：，n2-n=7且mn≠-1，求的值．
【答案】(1)7;(2)1;
【解析】（1）由韦达定理即可求解；
（2）结合（1）的过程，将平方后变形为+，再代入数据即可得出结论；
（3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，可得a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，可得∴，将其代入即可求解．
解：（1）∵实数a,b满足：a2-7a+1=0，b2-7b+1=0且a≠b,
∴a,b是方程x2-7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴a+b=7，ab=1．
故答案为：7，1；
（2）由（1）得，（）2=++=+=7+2=9，
∴（取正）；
（3）令，-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵mn≠-1，
∴，即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，
∴，
故．
8．阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2-13x2+36=0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y=x2，则原方程可化为y2-13y+36=0，经过运算，原方程的解为x1，2=±2，x3，4=±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m,n满足m2-m-1=0，n2-n-1=0，且m≠n,显然m,n是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n=1，mn=-1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4-5x2+6=0的解为 _____；
（2）间接应用：
已知实数a,b满足：2a4-7a2+1=0，2b4-7b2+1=0且a≠b,求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m,n满足：+=7，n2-n=7且n＞0，求+n2的值．
【答案】x1=，x2=-，x3=，x4=-
【解析】（1）利用换元法降次解决问题；
（2）模仿例题解决问题即可；
（3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-0，再模仿例题解决问题．
解：（1）令y=x2，则有y2-5y+6=0，
∴（y-2）（y-3）=0，
∴y1=2，y2=3，
∴x2=2或3，
∴x1=，x2=-，x3=，x4=-；
故答案为：x1=，x2=-，x3=，x4=-；
（2）∵a≠b,
∴a2≠b2或a2=b2，
①当a2≠b2时，令a2=m,b2=n.
∴m≠n,则2m2-7m+1=0，2n2-7n+1=0，
∴m,n是方程2x2-7x+1=0的两个不相等的实数根，
∴，
此时a4+b4=m2+n2=（m+n）2-2mn=．
②当a2=b2（a=-b）时，a2=b2=，此时a4+b4=2a4=2（a2）2=，
综上所述，a4+b4=或．
（3）令=a,-n=b,则a2+a-7=0，b2+b-7=0，
∵n＞0，
∴≠-n,即a≠b,
∴a,b是方程x2+x-7=0的两个不相等的实数根，
∴，
故+n2=a2+b2=（a+b）2-2ab=15．
三、牛刀小试
一、单选题（每小题4分，共32分）
1．一元二次方程其中一个根是0,则另一个根的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.
答案：C
解析：∵,
∴,,,
设,另一个根为,
∵,
∴,
故选：C.
2．若,是关于x的一元二次方程的两个根,,则b的值为( )
A.-3 B.3 C.-5 D.5
答案：A
解析：由题意得：,,
∵,
∴,
∴,
故选：A.
3．已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,且满足,则m的值是( )
A.3 B.1 C.3或 D.或1
答案：A
解析：∵、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,
∴,
解得：,
又∵,,,
∴,
∴
即
解得：或,
∵,
∴,
故选：A.
4．已知方程的两个实数根分别为,,则式子的值等于( )
A. B.0 C.2 D.6
答案：B
解析：由可得：,,
∴；
故选B.
5．已知m,n是方程的两个实数根,则的值为( )
A.1 B.3 C. D.
答案：C
解析：∵m,n是方程的两个实数根,
∴,,,
∴
.
故选：C.
6．设a、b是一元二次方程的两个根,则的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案：C
解析：由题意知,,,即,
则.
故选C.
7．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是( )
A.-1或5 B.1 C.5 D.-1
答案：D
解析：设方程的两根为、，则，，
，
，
，
，，
，
.
故选：D.
8．若，是方程的两个实数根，则的值为( )
A.2015 B.2022 C. D.4010
答案：B
解析：，是方程的两个实数根，
，，
原式
.
故选：B.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．若a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为______.
答案：
解析：根据根与系数的关系a+b=-, ab=-3,
==
10．关于x的方程有两个不相等的实数根,,且,则_____.
答案：-1
解析：∵关于x的方程有两个不相等的实根、,
∴,,
依题意,即,
即,,,
∵关于x的方程有两个不相等的实根、,且有,
∴,
∴,
∴,
解得：,又,
∴.
11．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是________.
答案：14
解析：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
.
故答案为：14.
12．已知，是方程的两个实数根，则的值为______.
答案：0
解析：,是方程的根，所以α+β=3,αβ=-4,α2 -3α-4=0,
=3α+4-3α+αβ=-4+4=0
13．已知，且，则的值为__________.
答案：3
解析：因为，所以，即，又因为，，即，
所以m，是方程的两个不相等的实数根，
所以，
所以.
三、解答题(共6小题，共48分）
14．（6分）解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积:
(1)
(2)
答案：(1)
(2)
15．（8分）若是一元二次方程的两个根，
求下列代数式的值.
（1）；
（2）.
答案：（1）解：根据一元二次方程的根与系数的关系，得
（2）
16．（8分）已知:关于x的方程.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.
答案： (1) 证明:
无论k取何值，
即
方程有两个不相等的实数根.
(2)设另一根为，则，
解得
方程的另一个根为，k的值为1.
17．（8分）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数k，使成立？若存在.求出k的值;若不存在，请说明理由.
答案：解:不存在.理由如下:
∵一元二次方程有两个实数根，
，且，
.
是方程的两个实数根，
，
又
经检验，是该分式方程的根.
又，∴不存在实数k，使成立.
解析：
18．（8分）阅读材料:
已知，，且，求的值.
解:由及，可知，
可变形为.
又，，
p与一是方程的两个不相等的实数根，
，
根据材料所提供的方法，完成下面的解答
已知，，且，求的值.
答案：方法1:由，知，
得.
.
根据与的特征，
得与是方程的两个不相等的实数根，
.
方法2:由，得.
根据与的特征，且，得m与n是方程的两个不相等的实数根.
，
.
19 .（10分）已知关于x的方程有两实数根，，
(1)若，求k的值．
(2)是否存在实数k满足，若存在请求出k的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用根与系数的关系得到，再由得到，解方程求出，再根据方程有解，利用根的判别式求出k的范围即可得到答案；
（2）由题意可得，当，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可；当时，则，利用根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程有两实数根，，
∴，
又∵，
∴，
解得；
∵方程要有实数根，
∴，
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当是，则，
∴，
解得；
当时，则，
又∵，
∴（舍去）；
综上所述，存在实数满足．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
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