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第十九章一次函数复习之一次函数与面积问题
学习目标：
1.体会一次 函数与几何图形综合题中的转化数学思想；
2.掌握解决一次 函数综合题时常作的辅助线方法；
3.通过课本习题的再现，对习题功能进行再次挖掘，在变式 训练中体会一题多用、一题多解 的妙用，从而达到举一返三的目的，引导学生在以后的学习中自觉得对例习题进行拓展，以此达到复习巩固的目的。
例1.（教材第99页习题19.2第9题）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
（2）当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为多少？
（3）△OPA的面积能大于24吗？为什么？
教材再现
例1.（教材第99页习题19.2第9题）点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0），设△OPA的面积为S．
（1）用含x的解析式表示S，写出x的取值范围，画出函数S的图象；
教材再现
【分析】：
（1）根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据S＞0及已知条件，可求出x的取值范围，根据一次函数的性质可画出函数S的图象；
解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴△OPA的面积＝ OA |yP|，
∴S＝ ×6×|y|＝3y．
∵x+y＝8，∴y＝8﹣x．
∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x；
∵S＝﹣3x+24＞0，
解得：x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，即x的范围为：0＜x＜8；
∵S＝﹣3x+24，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（8，0），（0，24）．
所画图象如下：
解：（2）∵S＝﹣3x+24，
∴当x＝5时，S＝﹣3×5+24＝9．
即当点P的横坐标为5时，△OPA的面积为9；
（3）△OPA的面积不能大于24．理由如下：
∵S＝﹣3x+24，﹣3＜0；
∴S随x的增大而减小，
又∵x＝0时，S＝24，
∴当0＜x＜8，S＜24．
即△OPA的面积不能大于24．
本题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，难度一般，解答本题的关键是正确地求出S与x的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围．
解题感悟：
探中考考向：
一次函数中的面积问题,因其考查的知识点比较综合,运用的思想方法比较灵活,所以一直是各类考试中的热点,常见考向如下:
1.改变直线的条数;
2.改变所求图形的形状;
3.已知与所求互换,即已知面积或面积关系,求函数解析式或k,b的值
例2.一次函数y＝k1x﹣4与正比例函数y＝k2x的图象都经过点 （2，﹣1）．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）在下面的坐标系中分别画出这两个函数的图象；
（3）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积．
变式1：改变直线的条数
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用描点法即可解决问题；
（3）求出点B坐标即可解决问题；
解：（1）把点 （2，﹣1）分别代入y＝k1x﹣4与正比例函数y＝k2x，得到k1＝，k2＝﹣
∴一次函数解析式是 y＝x﹣4，
正比例函数解析式是 y＝﹣x．
（2）图象如图．
（3）如图，过点A作AC⊥x轴于C，AC＝1
令y＝0，则 x﹣4＝0，解得 x＝．
∴点B的坐标为 （，0），则OB＝
∴S△AOB=OB AC＝××1＝
∴这两个函数的图象与x轴围成的三角
形的面积为．
若三角形的底边落在坐标轴上，则高是两条直线的交点到坐标车轴的距离，即交点的纵坐标或横坐标的绝对值 运用数形结合思 想是求解此类问题的关键.
解题感悟：
例3.已知一次函数的图象经过A（﹣3，4），B（﹣1，﹣2）．
（1）求一次函数解析式，并画出图象．
（2）求△AOB的面积．
变式1：改变直线的条数
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式，然后用描点法画出一次函数图象；
（2）先求出一次函数图象与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，函数y＝kx+b，根据题意得：
,解得：
所以一次函数解析式为y＝﹣3x﹣5，
图象如图：
（2）由直线y＝﹣x﹣5可知与
y轴相交于C（0，﹣5），
所以S△AOB＝×5×3﹣×5×1
＝5．
如果三角形的三条运边都不在坐标轴上(如典例3中△AOB)，那么应应设法把所求三角形的面积转化为两个底边落在坐标轴上的三角形的面积的和或差.
解题感悟：
例4.如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形PAOC的面积．
变式2：改变所求图形的形状
【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式； （2）根据面积差可得结论．
解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x+4上，
∴2×（﹣1）+4＝a，即a＝2，
则P的坐标为（﹣1，2），
设直线l1的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则
解得：
∴直线l1的解析式为：y＝-x+1.
（2）∵直线l1与y轴相交于点C，
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴C的坐标为（0，1），
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝，
在平面直角坐标系中，常把四边形的面积转化为若干个三角形的面积的和或差.
解题感悟：
例5.在平面直角坐标系中，y关于x的一次函数y＝x+5﹣c（c为常数），其图象与y轴交于点A，与x轴交于点B．
（1）当c＝4时，求线段OA的长；
（2）若△OAB的面积为18．
①求出满足条件的一次函数表达式；
②若点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，且点C在直线AB上，当S△OAC＝5S△OBC时，请直接写出点C的坐标．
变式3：已知和所求互换
解：（1）当c＝4时，y＝x+1，当x＝0时，y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝1；
（2）①对于y＝x+5﹣c（c为常数），
当x＝0时，y＝5﹣c，
当y＝0时，x＝c﹣5，
∴A（0，5﹣c），B（c﹣5，0），
∴OA＝|5﹣c|，OB＝|c﹣5|，
∵△OAB的面积为18，
∴×|5﹣c|×|c﹣5|＝18，
∴（c﹣5）2＝36，
解得：c＝11或﹣1，
∴一次函数表达式为：y＝x﹣6或y＝x+6；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴上，
∴y＝x+6，
∴A（0，6），B（﹣6，0），
∴OA＝OB＝6，
∴AB＝＝6，∠ABO＝45°，
设点O到直线AB的距离为h，
∵S△OAC＝5S△OBC，
∴×AC×h＝×BC×h，
∴AC＝5BC，
∴AB＝4BC，
∴BC＝×6＝，
过点C作CD⊥x轴于点D，
∵∠DBC＝∠ABO＝45°，
∴C（﹣7.5，﹣1.5）；
当点C在线段AB上时，C（﹣5，1）；
综上所述，点C的坐标为（﹣7.5，﹣1.5）或（﹣5，1）．
本题考查了一次函数的性质，体现了分类讨论的思想，一次函数图象上点的坐标特征，根据S△OAC＝5S△OBC，得到AC＝5BC是解题的关键．
解题感悟：
解决一次函数围成的图形面积问题时应注意：
1、当所求三角形的一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，需先求出各顶点的坐标，再确定三角形中有关的长度，利用面积公式直接计算三角形面积。
2、当所求面积不能用面积公式直接求出时，可利用割补法将所求面积转化成两个图形的面积的和或差。
课堂小结
转化思想、数形结合思想、分类讨论思想
1、已知直线y=-2x+4与x轴交于点B，该函数图像上有一动点C，以点B、点C与原点为顶点的三角形面积为8，求C点的坐标。
课后训练
2、已知两条直线y1=-2x+4、y2=x+2与x轴围成了一个三角形，求该三角形的面积。
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3.如图，一次函数y=kx+1.5 的图象过点M（2，0），与正比例函数y= -1.5x的图象交于点A，过点A作AB垂直于x轴于点B。
（1）求k的值
（2）求交点A的坐标，计算三角形AOM的面积；
（3）在x轴上是否存在点P,使得以三点P、A、M组成的
三角形AMP为等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。

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