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1第21章《一元二次方程》阶段检测卷（一）
(测试范围:第 21.1一元二次方程解一元二次方程 )
解答参考时间:90分钟 满分:120分
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．4x2 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．ax2+2x+1＝0 D．x（4x﹣2）＝0
2．把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
3．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．12 D．5
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（　　）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
5．关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（　　）
A．x＝3，m＝﹣4 B．x＝3，m＝4 C．x＝﹣3，m＝﹣4 D．x＝﹣3，m＝4
6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝17 B．（x﹣6）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
7．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
9．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（　　）
A．2026 B．2023 C．2020 D．2017
10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，若Max{1，x}＝x2﹣6，则x的值为（　　）
A．﹣2或3 B．或 C．﹣2或 D．3或
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．方程x（x﹣3）＝5（x﹣3）的解是 ．
12．已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 ．
13．如图，用一段长为30m篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，菜园的面积为240m2．若设AD边长为xm，则可列方程为 ．
14．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
15．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则代数式2m2+n2+m的值等于 ．
16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则值为 ．
三．解答题（共8题，共72分）
17．（本题8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
18．（本题8分）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并写出此方程；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在m，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；若不存在，请说明理由．
19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
20．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为﹣2，求m的值及方程的另一个根．
21．（本题8分）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
22．（本题10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值．
23．（本题10分）如图所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB＝8，OC＝8，OA＝16．
（1）求点B的坐标，并且求出直角梯形OABC的面积；
（2）当P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半？
（3）在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿AO方向每秒3个单位的速度移动，问经过多少时间后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的？
24．（本题12分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2x+1＝0 　不是　（填“是”或“不是”）；
②3x2+5x+4＝0 　是　（填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．中小学教育资源及组卷应用平台
1第21章《一元二次方程》阶段检测卷（一）
(测试范围:第 21.1一元二次方程解一元二次方程 )
解答参考时间:90分钟 满分:120分
一．选择题（共10小题，每小题3分,共30分）
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．4x2 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．ax2+2x+1＝0 D．x（4x﹣2）＝0
【思路点拔】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
解：A．它是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；
B．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C．当a＝0时，是一元一次方程，故此选项不合题意；
D．它是一元二次方程，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2．把方程x（x+1）＝3（x﹣2）化成一般式ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，则a、b、c的值分别是（　　）
A．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3 B．a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6
C．a＝1，b＝﹣2，c＝3 D．a＝1，b＝﹣2，c＝6
【思路点拔】先去括号，再移项、合并同类项，化为ax2+bx+c＝0（a＞0）的形式，再根据对应相等得到a、b、c的值．
解：去括号得，x2+x＝3x﹣6，
移项得，x2﹣2x+6＝0，
所以a、b、c的值可以分别是1，﹣2，6．
故选：D．
【点评】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数），其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，则a的值为（　　）
A．2 B．3 C．12 D．5
【思路点拔】根据关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，将x＝2代入方程即可求得a的值．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+6＝0的一个根是2，
∴22﹣2a+6＝0，
解得a＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，正确记忆能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题关键．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0根的情况是（　　）
A．必有两个相等的实数根
B．必有两个不相等的实数根
C．必有实数根
D．没有实数根
【思路点拔】先求出Δ的值，进而可得出结论．
解：关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0中，
∵Δ＝[﹣（8+k）]2﹣32k
＝64+k2+16k﹣32k
＝64+k2﹣16k
＝（8﹣k）2≥0，
∴方程必有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解及根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
当Δ＜0时，方程无实数根是解题的关键．
5．关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（　　）
A．x＝3，m＝﹣4 B．x＝3，m＝4 C．x＝﹣3，m＝﹣4 D．x＝﹣3，m＝4
【思路点拔】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．
解：设方程的另一根为x＝p．
∵关于x的方程x2+mx+3＝0的一个根为1，
∴x＝1满足关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0，
∴1+m+3＝0，
解得m＝﹣4；
又由根与系数的关系知：1 p＝3，
解得p＝3．
故方程的另一根是3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2，x1 x2来计算时，要弄清楚a、b、c的意义．
6．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+8＝0，配方后得到的方程是（　　）
A．（x+6）2＝17 B．（x﹣6）2＝17 C．（x+3）2＝1 D．（x﹣3）2＝1
【思路点拔】利用配方法解一元二次方程，进行计算即可解答．
解：x2﹣6x+8＝0，
x2﹣6x＝﹣8，
x2﹣6x+9＝﹣8+9，
（x﹣3）2＝1，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0两根为x1、x2，且x1＝3x2，则m的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【思路点拔】首先根据根与系数的关系得出x1+x2＝8，再根据x1＝3x2，求得x1，x2，进一步得出x1x2＝m求得答案即可．
解：∵一元二次方程x2﹣8x+m＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝8，
∵x1＝3x2，
解得x1＝6，x2＝2，
∴m＝x1x2＝6×2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
8．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的两个实数根，则k的值是（　　）
A．8 B．9 C．8或9 D．12
【思路点拔】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的有两个相等实数根，
∴Δ＝36﹣4k＝0，
∴k＝9，
此时两腰长为3，
∵2+3＞3，
∴k＝9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x＝2是方程x2﹣6x+k＝0的其中一根，
∴4﹣12+k＝0，
∴k＝8，
此时另外一根为：x＝4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
综上所述，k＝9，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
9．已知m是方程x2+x+1＝0的一个根，则代数式﹣3m2﹣3m+2023的值为（　　）
A．2026 B．2023 C．2020 D．2017
【思路点拔】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
解：∵x＝m是x2+x+1＝0的一个根，
∴m2+m＝﹣1，
∴﹣3m2﹣3m+2023＝﹣3（m2+m）+2023＝﹣3×（﹣1）+2023＝2026，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的解的定义，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
10．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{1，3}＝3，按照这个规定，若Max{1，x}＝x2﹣6，则x的值为（　　）
A．﹣2或3 B．或 C．﹣2或 D．3或
【思路点拔】由题意列得一元二次方程，解方程即可．
解：若1＜x，
则x＝x2﹣6，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
解得：x＝3或x＝﹣2（舍去）；
若1＞x，
则1＝x2﹣6，
整理得：x2＝7，
解得：x或x（舍去）；
综上，x的值为3或，
故选：D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．方程x（x﹣3）＝5（x﹣3）的解是 ．
【思路点拔】利用因式分解法求解可得．
解：x（x﹣3）＝5（x﹣3），
x（x﹣3）﹣5（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝3，x2＝5．
故答案为：x1＝3，x2＝5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 ．
【思路点拔】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1﹣2）（x2﹣2）＝10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．
解：∵x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2，x1 x2＝﹣1，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（）+4＝10，
解得k＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1，x2，则x1+x2，x1x2，也考查了代数式的变形能力．
13．如图，用一段长为30m篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，菜园的面积为240m2．若设AD边长为xm，则可列方程为 ．
【思路点拔】设AD边为xm，则AB边长为（30﹣2x）m，根据矩形的面积公式结合菜园的面积为240m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设AD边为xm，则AB边长为（30﹣2x）m，
根据题意得：x（30﹣2x）＝240．
故答案为：x（30﹣2x）＝240．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是 ．
【思路点拔】关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根说明△≥0，根据用一元二次方程的意义得到a﹣1≠0，然后求出两个不等式的公共部分；当a＝1时为一元一次方程，方程有一根．
解：∵关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴△≥0，即4﹣4（a﹣1）≥0得，
a≤2，
且a﹣1≠0，a≠1；
∴a的取值范围为a≤2且a≠1．
当a＝1时为一元一次方程，方程有一根．
综上所知a的取值范围为a≤2．
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查了方程根的判别方法；注意考虑特殊情况：当二次项系数等于0时为一元一次方程．
15．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则代数式2m2+n2+m的值等于 ．
【思路点拔】根据题意，得m2+m﹣3＝0，进一步可得m2+m＝3，根据根与系数的关系可得m+n＝﹣1，mn＝﹣3，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值．
解：根据题意，得m2+m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，
∵m+n＝﹣1，mn＝﹣3，
∴2m2+n2+m
＝m2+n2+m2+m
＝（m+n）2﹣2mn+（m2+m）
＝1+6+3
＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义、完全平方公式是解决本题的关键．
16．如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF＝a，DF＝b，连接AE，BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则值为 ．
【思路点拔】根据题意得出a2＝b2﹣ab，即，解方程得出（负值舍去）代入进行计算即可求解．
解：∵图中AF＝a，DF＝b，
∴ED＝AF＝a，EH＝EF＝DF﹣DE＝b﹣a，
∵△ADE与△BEH的面积相等，
∴，
∴，
∴a2＝b2﹣ab，
∴，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，弦图的计算；根据题意得出a2＝b2﹣ab是解题关键．
三．解答题（共8题,共72分）
17．（本题8分）（1）解方程：x2﹣2x﹣3＝0；
（2）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．
【思路点拔】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用配方法得到（x﹣2）2＝11，然后利用直接开平方法解方程．
解：（1）x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）x2﹣4x﹣7＝0，
x2﹣4x＝7，
x2﹣4x+4＝11，即（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．（本题8分）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并写出此方程；若不存在，请说明理由；
（2）是否存在m，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，说明x的最高次数是2，且二次项的系数不等于0；
（2）若（m+1）中x的次数是1，方程中两个一次项的系数之和不等于0．若（m+1）中x的次数是0，一次项（m﹣2）x的系数不等于0．
解：（1）存在．
由一元二次方程的定义可得m2+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1；
（2）存在．
由题意可知，当或时为一元一次方程．
当时，解得m＝0，此时方程为﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1；
当时，解得m＝﹣1，此时方程为﹣3x﹣1＝0，解得x．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，用配方法解方程．
【思路点拔】（1）结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得k的取值范围；
（2）将k＝1代入方程，利用配方法解方程即可．
解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+4）x+k﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+4）2﹣4k（k﹣6）＞0，且k≠0，
解得：k且k≠0；
（2）当k＝1时，
原方程为x2﹣（2×1+4）x+1﹣6＝0，
即x2﹣6x﹣5＝0，
移项得：x2﹣6x＝5，
配方得：x2﹣6x+9＝5+9，
即（x﹣3）2＝14，
直接开平方得：x﹣3＝±
解得：x1＝3，x2＝3．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，（1）中需特别注意二次项的系数不为0．
20．（本题8分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）若方程的一个根为﹣2，求m的值及方程的另一个根．
【思路点拔】（1）由Δ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）＝（m+1）2+4＞0可得答案；
（2）设方程的另外一根为a，根据根与系数的关系得出，解之即可得出答案．
（1）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）
＝m2+6m+9﹣4m﹣4
＝m2+2m+1+4
＝（m+1）2+4＞0，
∴无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另外一根为a，
根据题意，得：，
解得：，
所以方程的另一根为0，m的值为﹣1．
【点评】本题主要考查根与系数关系、根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2．
21．（本题8分）关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）请问是否存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）假设存在，利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2（k﹣1），x1 x2＝k2，结合x1+x2＝1﹣x1x2，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，结合（1）的结论可求出k值，进而可得出假设成立，即存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立，此时k的值为﹣3．
解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4×1×k2≥0，即﹣8k+4≥0，
解得：k，
∴k的取值范围为k．
（2）假设存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立．
∵x1，x2是关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2（k﹣1），x1 x2＝k2，
又∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2（k﹣1）＝1﹣k2，
整理得：k2+2k﹣3＝0，
解得：k1＝﹣3，k2＝1．
又∵k，
∴k＝﹣3，
∴假设成立，即存在实数k，使得x1+x2＝1﹣x1x2成立，此时k的值为﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝1﹣x1x2，找出关于k的一元二次方程．
22．（本题10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0．
（1）求证：无论m为何值，方程总有实数根；
（2）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值．
【思路点拔】（1）由判别式Δ＝（4m﹣1）2≥0，可得答案；
（2）根据根与系数的关系知x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，由进行变形直接代入得到5m2﹣7m+2＝0，求解可得．
（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）
＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m
＝16m2﹣8m+1
＝（4m﹣1）2≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m，
∵，
∴，整理得5m2﹣7m+2＝0，
解得m＝1或m．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式．
23．（本题10分）如图所示，在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB＝8，OC＝8，OA＝16．
（1）求点B的坐标，并且求出直角梯形OABC的面积；
（2）当P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发，经过多少时间后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半？
（3）在（2）的条件下，若现在P、Q点同时出发，当Q点从A点出发，沿AO方向每秒3个单位的速度移动，问经过多少时间后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的？
【思路点拔】（1）根据已知中线段的长度即可直接求得A、B、C的坐标，利用梯形的面积公式求得梯形面积公式；
（2）设x秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半，利用三角形面积公式，即可列方程求得x的值；
（3）设t后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的，再利用P，Q相遇前以及相遇后分别得出等式求出答案．
解：（1）∵在直角梯形OABC中，CB∥OA，CB＝8，OC＝8，OA＝16，
∴A的坐标是（16，0），B的坐标是（8，8），C的坐标是（0，8），
直角梯形OABC的面积是：（OA+BC）×OC（16+8）×8＝96；
（2）如图（1）所示：
设经过t秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半，
∵S△AOB16×8＝64，
∴S△COP8 OP＝32，
解得：OP＝8，
∵P点沿OA方向以每秒2个单位的速度从O点出发，
∴经过8÷2＝4秒后△OCP的面积等于△OAB的面积的一半；
（3）由（1）得直角梯形OABC的面积为96，
则△BPQ的面积为：24，
当P，Q相遇前如图（2），
则PQ＝16﹣2t﹣3t，
则8（16﹣5t）＝24，
解得：t＝2，
当P，Q相遇后如图（3），
则PQ＝2t+3t﹣16，
则8（5t﹣16）＝24，
解得：t，
综上所述：经过2秒或秒后△BPQ的面积等于直角梯形OABC的面积的．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用以及三角形的面积以及直角梯形的面积的综合应用，正确分类讨论是解题关键．
24．（本题12分）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AEc，这时我们把关于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①2x2x+1＝0 　不是　（填“是”或“不是”）；
②3x2+5x+4＝0 　是　（填“是”或“不是”）
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
【思路点拔】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义进行判断即可求解；
（2）由ax2cx+b＝0是“勾系一元二次方程“得c2＝a2+b2，因为Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，所以关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根；
（3）由x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根得ac+b＝0，整理得a+bc，由四边形ACDE的周长是12，可得2（a+b）c＝12，所以2cc＝12，则c＝2，则a+b24，所以a2+2ab+b2＝16，而a2+b2＝c2＝（2）2＝8，所以2ab+8＝16，即可求出ab的值及ab的值，得到△ABC面积．
（1）解：2x2x+1＝0 不是“勾系一元二次方程”，
理由：∵c，
∴c，
∵a＝2，b＝1，
∴a2+b2≠c2，
∴以a、b、c为三边长的三角形是不是直角三角形，且c为斜边的长，
∴2x2x+1＝0不是“勾系一元二次方程”，
3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，
理由：∵c＝5，
∴c＝5，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形，且c为斜边的长，
∴3x2+5x+4＝0是“勾系一元二次方程”，
故答案为：不是，是；
（2）证明：∵ax2cx+b＝0是“勾系一元二次方程“，
∴a、b、c为同一直角三角形的三边长，且c为斜边的长，
∴c2＝a2+b2，
∵Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有实数根．
（3）解：∵x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一个根，
∴ac+b＝0，
∴a+bc，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴2（a+b）c＝12，
∴2cc＝12，
∴c＝2，
∴a+b24，
∴（a+b）2＝16，
∴a2+2ab+b2＝16，
∵a2+b2＝c2＝（2）2＝8，
∴2ab+8＝16，
∴ab＝4，
∴S△ABCab4＝2．
∴△ABC面积是2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了一元二次方程的应用，一元二次方程根据的判别式，勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，准确把握“勾系一元二次方程”的内涵并运用到解题过程之中是解题的关键．

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