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第一章 集合与常用逻辑用语——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知集合,,若,则( )
A.1 B.2 C. D.
3．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面积恒相等，根据祖暅原理可知，q是p的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．已知命题,,则p的否定为( )
A., B.,
C., D.,
6．设集合，，记，则集合C的真子集个数是( )
A.3 B.4 C.7 D.8
7．已知集合,,若中有且仅有一个元素,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8．若，则a的可能取值有( )
A.0 B.0，1 C.0，3 D.0，1，3
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列式子中,能使成立的充分条件有( )
A. B. C. D.
10．下列命题中的真命题是( )
A.， B.，
C.，使得 D.，使得
11．成立的必要不充分条件可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知集合,,则__________.
13．设,则“”是“”成立的___________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）
14．已知命题,是假命题，则实数a的取值范围是_________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设集合是小于9的正整数}，集合，集合.求：，，.
16．已知集合，.
（1）求集合A；
（2）若，求实数a的取值范围.
17．已知,,,求,,.
18．已知集合，.
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围；
（2）若，求m的取值范围.
19．已知a，b是实数，求证：成立的充要条件是.
参考答案
1．答案：B
解析：根据题意，，则，
故选：B.
2．答案：C
解析：因为,.所以或.若,则,A不满足集合的互异性.若,则,,符合题意.若,则,A不满足集合的互异性.
3．答案：C
解析：，，A、B错误；
，C正确；
不正确，D错误.
故选：C.
4．答案：A
解析：A，B在等高处的截面积恒相等，则体积相等.但是A，B体积相等，在等高处的截面积不一定相等，例如圆台A，将A倒置后得到圆台B，此时A，B体积相等，在等高处的截面积不相等，
p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件.故选：A.
5．答案：B
解析：
6．答案：C
解析：，，，
集合C的真子集个数是：.故选：C.
7．答案：B
解析：由不等式,即,解得,即,因为,要使得中有且仅有一个元素,则或,即实数a的取值范围为.故选:B.
8．答案：C
解析：若，则，符合题意；若，则显然不满足集合中元素的互异性，不符合题意；若，则，符合题意.所以或均可以.故选C.
9．答案：ABD
解析：对A,因为,所以,故A正确,
对B,,根据不等式的性质可得：,故B正确
对C,由于,所以,故C错误,
对D,由于,根据不等式的性质可得：,根D正确,
10．答案：ACD
解析：，恒成立，A正确；
时，，B错误；
时使得，C正确；
的值域为R，则，使得，D正确；
故选：ACD.
11．答案：AB
解析：成立的一个必要不充分条件对应的集合包含，
，
成立的一个必要不充分条件可以是或.
故选：AB.
12．答案：
解析：
13．答案：必要不充分
解析：当时,,显然不一定成立;反之,,则必然成立．
故答案为：必要不充分.
14．答案：
解析：因为命题"，"是假命题，
所以其否定"任意，"是真命题,
即在R上恒成立，
当时，不等式化为恒成立，
当时，若在R上恒成立，则,解得,
综上所述,实数a的取值范围为,故答案为:.
15．答案：，，
解析：是小于9的正整数，，，
，，，
所以，.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）由题意得，所以，
所以；
（2）若，所以，
①当集合B不为空集时，，
解得；
②当集合B为空集时，，解得，
综上所述，实数a的取值范围为.
17．答案：或,或,或.
解析：结合数轴,由图可知或,
又,
或,
或.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）由题意，，即，解得，
所以.
由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B，
则，且等号不能同时取到，解得，
故m的取值范围为
（2）当时，得，即，符合题意.
当时，得，即.
由，得或，解得或，
所以或.
综上所述，m的取值范围为或.
19．答案：证明见解析
解析：证明：先证充分性：
若，则成立，故充分性成立.
再证必要性：
若，则，即，
所以，即，
又，
所以，即，故必要性成立.
综上，成立的充要条件是.
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