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第三章 函数概念与性质——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知函数,则的值是( )
A. B. C. D.
2．已知函数则函数定义域为( )
A. B. C. D.
3．向如图放置的空容器中注水,直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
4．的定义域为,则的定义域为( )
A. B. C. D.
5．已知函数是幂函数,且在上递增,则实数( )
A. B.或3 C.3 D.2
6．幂函数，，，在第一象限的图象如图所示，则下列不等关系成立的是( )
A. B. C. D.
7．下列函数中，不是幂函数的是( )
A. B. C. D.
8．已知函数,则关于t的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知幂函数的图象经过点，则( )
A.函数为奇函数 B.函数在定义域上为减函数
C.函数的值域为R D.当时，
10．已知函数,则( )
A.是奇函数 B.的最小正周期为
C.的最小值为 D.在上单调递增
11．下列函数中,表示同一个函数的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数的定义域为_________.
13．已知函数的导函数为，且是偶函数，，.写出一个满足条件的函数______.
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________.
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是π.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数.
（1）求函数的定义域;
（2）求的值;
16．小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元.小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年）.
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？
（利润=累积收入+销售收入-总支出）
17．已知函数.
(1)画出的图象，并根据图象写出的递增区间和递减区间；
(2)当时，求函数的最小值，并求y取最小值时x的值.(结果保留根号)
18．已知函数是指数函数.
(1)求的表达式；
(2)判断的奇偶性，并加以证明
(3)解不等式：.
19．后疫情时代,全民健康观念发生很大改变.越来越多人注重通过摄入充足的水果,补充维生素C,提高自身免疫力.郑州某地区适应社会需求,利用当地的地理优势,发展种植某种富含维生素C的珍稀果树.经调研发现：该珍稀果树的单株产量W（单位：千克）与单株用肥量x（单位：千克）满足如下关系：已知肥料的成本为10元/千克,其他人工投入成本合计元.若这种水果的市场售价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求的函数关系式;
(2)当单株施用肥料为多少千克时,该果树的单株利润最大,并求出最大利润.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以.
故选:A.
2．答案：D
解析：要使函数有意义,则,
解得且,
所以函数的定义域为.
故选：D.
3．答案：A
解析：在注水的过程中,容器横截面面积越大,水的体积增长越快,所以随着水的高度的增长,体积先缓慢增长,再剧烈增长,再缓慢增长.
故选：A.
4．答案：C
解析：因为,所以,所以,
所以的定义域为,
所以由,得,
所以的定义域为,
故选:C
5．答案：C
解析：由题意知:,即,解得或,
当时,,则在上单调递减,不合题意;
当时,,则在上单调递增,符合题意,
,
故选:C
6．答案：C
解析：由图可知，，，所以，所以，又，，所以.故选C.
7．答案：A
解析：幂函数的通式为（为常数），则，，均符合幂函数的定义，
而不符合幂函数的定义.故选A.
8．答案：D
解析：,则,
由,故,故,
又,,随x增大而增大,故在R上单调递减,
又,故可转化为,
则有,即,即,故.
故选：D.
9．答案：AD
解析：设幂函数为
将代入解析式得，故，所以，
定义域为，
因为，故函数为奇函数，故A正确；
函数在，上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误；
显然的值域为，故C错误；
当时，，
即满足，故D正确
故选：AD
10．答案：AC
解析：对于A,函数定义域为R,有,
所以是奇函数,A正确;
对于B,有,.
所以,这表明不是的周期,B错误;
对于C,我们有,
而之前已计算得到,故的最小值为,C正确;
对于D,由于,,
故,所以在上并不是单调递增的,D错误.
故选：AC.
11．答案：CD
解析：对于A,的定义域为R,的定义域为,两函数的定义域不相同,
所以不是同一个函数,故A错误;
对于B,的定义域为R,的定义域为,两函数的定义域相同,
因为,所以两函数的对应关系不相同,所以两函数不是同一个函数,故B错误;
对于C,的定义域为,两函数的定义域相同,对应关系也相同,
所以是同一个函数,故C正确;
对于D,的定义域为R,的定义域为R,两函数的定义域相同,而且两函数的对应关系相同,
所以两函数是同一个函数,故D正确.
故选:CD.
12．答案：
解析：由，
解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一）
解析：因为是偶函数，
设，则，
由题意可知，，解得，，
故.
故答案为：.
14．答案：（答案不唯一）
解析：例如，可知其定义域为R，
则，即为偶函数；
显然的最大值为2；
且的最小正周期为；
所以符合题意.
故答案为：（答案不唯一）.
15．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）由题意可得,,
解不等式可得,
故函数的定义域为;
（2）.
16．答案：（1）第三年；（2）第5年.
解析：（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则
由，可得，
，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）利润＝累计收入+销售收入﹣总支出，二手车出售后，
小张的年平均利润为，当且仅当时，等号成立，
小张应当在第5年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．
17．答案：(1)见解析
(2)最小值为，y取最小值时
解析：(1)由函数，图象如图：
递增区间为，递减区间为；(注：写成，也可以)
(2)当时，，
等号当且仅当时成立，
的最小值为，y取最小值时.
18．答案：（1）；
（2）见证明；
（3）
解析：（1）函数是指数函数，且，
，可得或（舍去），；
（2）由（1）得，
，，是奇函数；
（3）不等式：，以2为底单调递增，
即，
，解集为.
19．答案：(1)
(2)当施用肥料为4千克时,种植该果树获得的最大利润是480元
解析：(1)由题可知
,
.
(2)由(1)得
,
当时,;
当时,;
（当且仅当时,即时等号成立）
因为,所以当时,,
所以当施用肥料为4千克时,种植该果树获得的最大利润是480元.
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