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第四章 指数函数与对数函数——2023-2024学年高一数学人教A版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C.4 D.10
3．已知为了破解某密码,在最坏的情况下,需要进行2512次运算．现在有一台计算机,每秒能进行2.5×1014次运算,那么在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg2≈0.3,≈1.58)（）
A.秒 B.秒 C.秒 D.秒
4．关于四个数,,,的大小,下面结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5．设是定义域为R的奇函数,且,当时,,则( )
A. B. C. D.
6．函数的值域为( )
A.R B. C. D.
7．设，，则a，b，c的大小关系( )
A. B.
C. D.
8．已知函数的大致图象如下,下列选项中e为自然对数的底数,则函数的解析式可能为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列运算正确的有( )
A. B.
C. D.
10．已知函数,则下列说法中正确的是( )
A.的最小值为1 B.,
C. D.
11．函数中，实数a的取值可能是( )
A. B.3 C.4 D.5
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．函数的定义域是____________.
13．函数（且）恒过定点__________.
14．已知函数的最小值为5，则__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．计算：
（1）;
（2）
（3）.
16．已知函数是指数函数.
（1）求实数m的值；
（2）解不等式.
17．已知是指数函数.
（1）求a的值；
（2）解不等式.
18．已知是定义在R上的奇函数,且当时,．
（1）求;
（2）解不等式．
19．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机,已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米;4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元,每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元.
(1)分别求每台A型,B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时,至少完成1080立方米的挖土量,且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案,并指出哪种调配方案的施工费用最低,最低费用是多少元？
参考答案
1．答案：D
解析：由于的定义域为R，且，故是偶函数.
而对，有，故.
所以在上递增.
从而不等式等价于，即.
此即，即，解得.
故选：D.
2．答案：A
解析：因为是定义在R上的奇函数，所以，解得，
所以.
故选：A.
3．答案：B
解析：设在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间为x秒,
则,
所以,
,
所以．
故选：B.
4．答案：B
解析：
5．答案：C
解析：因为,则,
可知4为的周期,
且,可得.
故选：C.
6．答案：C
解析：，设，则，故函数的值域为.故选C.
7．答案：B
解析：，，
又在R上单调递增，故，，
，
故.
故选：B.
8．答案：D
解析：由图可知,函数为奇函数.
对于A选项,函数的定义域为R,,
函数不是奇函数,排除A选项;
对于B选项,函数的定义域为R,,
函数不是奇函数,排除B选项;
对于C选项,由可得,即函数的定义域为,
,函数为奇函数,,
C选项不满足要求;
对于D选项,由可得,即函数的定义域为,
,函数为奇函数,
当时,,满足题意.
故选：D.
9．答案：CD
解析：对A，，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，正确；
对D，正确.
故选：CD
10．答案：ACD
解析：,当且仅当时,取得最小值1,故选项A正确.
因为当且仅当时,取得最小值,且最小值为1,所以,所以,故选项B错误.
因为,所以,又,且在上单调递减,在上单调递增,所以,故选项C正确.
因为,所以,故选项D正确.
故选：ACD.
11．答案：AC
解析：因为，
所以根据对数函数的定义得：，
即：，所以或，
故选：AC.
12．答案：
解析：由题意得,
故答案为:
13．答案：
解析：令可得,则,
因此,函数的图象恒过定点.
14．答案：9
解析：，所以，经检验，时等号成立.
15．答案：（1）8
（2）
（3）64
解析：（1）;
（2）;
（3）.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题可知解得.
（2）由（1）得
在上单调递增，
，解得，
故原不等式的解集为.
17．答案：（1）3
（2）
解析：（1）因为是指数函数，
所以，
解得：或（舍去）；
（2）不等式，即为，
函数为增函数，
要使不等式成立，只需满足，
解得：，
即原不等式的解集为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是定义在R上的奇函数,
则,,
则.
（2）当时,,因为为单调增函数,
根据复合函数单调性知为单调减函数,又因为为单调减函数,
所以函数为单调减函数,
又因为是定义在R上的奇函数,
所以是在为单调减函数,
因为,
所以,解得,
所以不等式的解集为.
19．答案：(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米,每台型挖据机一小时挖土15立方米
(2)A型挖掘机7台,B型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元
解析：(1)设每台A型,B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米,根据题意,
得,解得.
所以,每台A型挖掘机一小时挖土30立方米,
每台B型挖据机一小时挖土15立方米.
(2)设A型挖掘机有m台,总费用为W元,则B型挖据机有台.根据题意,
得,
因为,解得,
又因为,解得,
所以.
所以,共有三种调配方案.
方案一：当时,,即A型挖据机7台,B型挖掘机5台;
案二：当时,,即A型挖掘机8台,B型挖掘机4台;
方案三：当时,,即A型挖掘机9台,B型挖掘机3台.
,由一次函数的性质可知,W随m的减小而减小,
当时,,
此时A型挖掘机7台,B型挖掘机5台的施工费用最低,最低费用为12000元.
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