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11.1 平面内点的坐标 导学案
（一）学习目标：
1.理解平面直角坐标系的有关概念,并能正确画出平面直角坐标系
2.在给定的平面直角坐标系中,能够根据点的坐标描出点的位置
3.了解坐标平面内各象限内的点、坐标上的点的坐标特征，能由点的位置写出点的坐标，并能通过建立适当的平直角坐标系解决简单的实际问题
4.理解平面内的点与有序实数对的一-时应关系
5.能根据点的坐标确定点到坐标轴的距离;能根据点到坐标轴的距离确定点的坐标
（二）学习重难点：
重点：平面直角坐标系与点的坐标、平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
难点：特殊位置的点的坐标特征
阅读课本，识记知识：
知识点1：平面直角坐标系
坐标：数轴上每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标 .
2.平面直角坐标系
(1)定义： 在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 .
(2)相关概念： 水平的数轴叫做 x 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点 O 为原点 .
知识点2：点的坐标
1.定义：若平面直角坐标系中有一点 A，过点 A 作 横轴的垂线，垂足在横轴上表示的数为 a，过点 A 作纵轴的垂线，垂足在纵轴上表示的数为 b，则有序实数对叫做点 A 的坐标，其中 a 叫横坐标， b 叫纵坐标 .
2.平面直角坐标系内的点与有序实数对的一一对应关系
(1)坐标平面内的任意一点，都有唯一的一个有序实数对(点的坐标)与它对应 ；
(2)任意一个有序实数对(点的坐标)在坐标平面内都有唯一的一个点和它对应 .
知识点3：平面直角坐标系中各区域的点的坐标特征
1.象限的划分
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限 .
2. 平面直角坐标系中各区域的点的坐标的特征
点 M( x， y)所处的位置 坐标特征
象限内的点 点 M 在第一象限 M(正，正)
点 M 在第二象限 M(负，正)
点 M 在第三象限 M(负，负)
点 M 在第四象限 M(正，负)
坐标轴上的点 点 M 在 x 轴上 在 x 轴正半轴上： M(正，0)
在 x 轴负半轴上： M(负，0)
点 M 在 y 轴上 在 y 轴正半轴上： M(0，正)
在 y 轴负半轴上： M(0，负)
知识点4：特殊位置的点的坐标特征
1. 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征
(1)第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；
(2)第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 .
2.平行于x 轴、 y 轴的直线上的点的坐标特征
直线 l1 ∥ x 轴，直线 l2 ∥ y 轴，因为由 l1 上的任意一点向 y 轴作垂线，垂足都是同一个点 M(不与原点重合)，所以 l1 上所有点的纵坐标都相等且不为 0；因为由 l2 上的任意一点向 x 轴作垂线，垂足都是同一个点 N (不与原点重合) ，所以 l2 上所有点的横坐标都相等且不为 0 .
3. 若两个点的横坐标相等，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相等，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值 .
【例1】平面直角坐标系中，下列在第二象限的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了第二象限点坐标的特征．熟练掌握第二象限点坐标为是解题的关键．
根据第二象限点坐标为进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，是第二象限的点，
故选：D．
【例2】 如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第99秒时质点所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查点的规律探究，根据已知点的坐标，以及点的移动速度，得到点移动到时，用的时间为秒，且当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动一个单位，得到，进行求解即可．
【详解】由图和题意，可知：
当点移动到时，用时2秒，
当点移动到时，用时6秒，
当点移动到时，用时12秒；
∴点移动到时，用的时间为秒，
当点移动到时，先向右移动1秒，得到，再向下移动1秒得到，
当点移动到时，向上移动1秒，得到，
当点移动到时，先向右移动3秒，得到，再向下移动3秒得到，
∴当点移动到时，为奇数时，先向右移动秒，得到，再向下移动秒，得到，为偶数时，向上移动1秒，得到，
∴当点移动到时，用时秒，再向下移动9秒，得到，
即：第99秒时质点所在位置的坐标是为；
故选A．
选择题
1.已知点，两点关于轴对称，则点的坐标是( )
A． B． C． D．
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），点B的坐标为（3，﹣3），则线段AB的位置特征为（　　）
A．与x轴平行
B．与y轴平行
C．在第一、三象限的角平分线上
D．在第二、四象限的角平分线上
3.已知点在第三象限，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4.在平面直角坐标系中，点在轴上，则A点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5.下列命题不正确的是（ ）
A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同
B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点
C．若点在y轴上，则
D．到x轴的距离为3
6.点M在y轴的左侧，且它到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点M的坐标是（　　）
A． B． C． D．或
7.已知点在x轴的上方，且，，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
8.若点在第二象限，且到轴的距离是3，到轴的距离是1，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9.象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，棋子“马”所在的点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
10.已知，是平面直角坐标系上的两个点，轴，且点B在点A的右侧．若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
填空题
11．在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点的坐标为，若，则的值为_____________．
12.如图所示的是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部 两点的坐标分别为，，则表示蝴蝶“翅膀顶端” 点的坐标为 ．
13．线段的长度为且平行与轴，已知点的坐标为，则点的坐标为______ ．
14．在平面直角坐标系 中，对于点，如果点的纵坐标满足：当时，；当时，．那么称点为点的“关联点”．如果点的关联点坐标为，则点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0） ，则P2020的坐标是___．
三、解答题
16．已知平面直角坐标系中有一点．
(1)当点到轴的距离为时，求点的坐标；
(2)当点到两坐标轴的距离相等时，求点的坐标．
17.在如图所示的正方形网格中，每个小方格的边长为 ，三角形 的三个顶点都在小方格的顶点上．
(1)请画出三角形 向上平移 格，再向右平移 格所得的三角形 ．
(2)请以点 为坐标原点建立平面直角坐标系（在图中画出），然后写出点 、点 的坐标：（___________，___________）；（___________，___________）．
(3)请求三角形 的面积．
18.对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”： （其中k为常数，且），若对于平面直角坐标系中的点，有点的坐标与之对应，则称点P的“k衍生点”为点．例如：的“2衍生点”为，即．
(1)点的“3衍生点”的坐标为__________；
(2)若点P的“5衍生点”P的坐标为，求点P的坐标；
(3)若点P的“k衍生点”为点，且直线平行于y轴，线段的长度为线段长度的6倍，求k的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】D
【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标， 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
∴，
∴为
故选：D．
2.B
3.【答案】D
【分析】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．根据点在第三象限，得到，，即可得到点所在的象限．
【详解】解：点在第三象限内，
，，
，，
点所在的象限是：第四象限．
故选：D．
4.【答案】D
【分析】本题主要考查了x轴上点的坐标特点，根据在x轴上的点纵坐标为0得到，由此求出a的值，进而求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴A点的坐标是，
故选：D．
5．D
6．【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系内点到坐标轴的距离，根据点到直线的距离和各象限内点的坐标特征即可解答．
【详解】∵点M在y轴的左侧，到y轴的距离是5，
∴点M的横坐标是，
∵点M到x的距离是3，
∴点M的纵坐标是3或，
∴点M的坐标是或．
故选D．
7．【答案】D
【分析】本题考查平面直角坐标系，平方根，绝对值，先计算出x和y，再根据点在x轴的上方，可得，由此可解．
【详解】解：，，
，，
又点在x轴的上方，
，
，
点P的坐标为或，
故选D．
8．B
9．【答案】A
【分析】本题考查了平面直角坐标系．熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键．
根据“帅”位于点的位置，建立平面直角坐标系，然后判断棋子“马”的位置即可．
【详解】解：由题意知，建立平面直角坐标系如下；

∴棋子“马”所在的点的坐标为，
故选：A．
10．【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离以及数轴上两点的距离，由轴可知，、两点纵坐标相同，即可得到的值，再利用数轴上两点的距离公式，即可求出的值．
【详解】解：，是平面直角坐标系上的两个点，且轴，
，
点B在点A的右侧，且，
，
，
故选：B．
11.1或
12. 【答案】
【分析】本题考查点的坐标，先根据点A、B坐标画出平面直角坐标系，进而可得点C的坐标．
【详解】解：由两点的坐标分别为，，可得如图所示的平面直角坐标系，
则点C坐标为，
故答案为：．
13．或
14．【答案】或
【分析】本题考查了点的坐标，根据“关联点”的定义，可得答案，理解“关联点”的定义是解答本题的关键．
【详解】解：点的关联点坐标为，
或，即或，
解得：或，
点的坐标为或，
故答案为：或．
15．（673，-1）
16．【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是明确题意，求出的值．
根据题意可知的绝对值等于，从而可以得到的值，进而得到的坐标；
根据题意得出，解答即可．
【详解】（1），
或，
解得：或，
点的坐标是或；
（2），
或，
解得：或，
点的坐标是：或
17.【详解】（1）根据上加右加的平移规律，画图如下：
则即为所求．
（2）根据题意，建立平面直角坐标系如下，则点，
由向上平移 格，再向右平移 格得点，
∴即，
故答案为：．
（3）．
18．【答案】(1)
(2)
(3)和
【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键．
（1）直接利用新定义进而分析得出答案；
（2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案；
（3）先由平行于y轴得出点P的坐标为，继而得出点的坐标为，线段的长度为线段长度的6倍，解之可得．
【详解】（1）解：点的“3衍生点”的坐标为，
即，
故答案为：；
（2）解：设
依题意，得方程组
．
解得．
∴点；
（3）解：设，则的坐标为．
∵平行于y轴
∴
即，
又∵，
∴．
∴点P的坐标为，点的坐标为，
∴线段的长度为．
∴线段的长为．
根据题意，有，
∴．
∴．
∴k的值为和
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