资源简介

第五届“清辉杯”初中生线上数学友谊赛试题卷
2024.08.04
（完成时间：36小时 总分：300 分）
关于“清辉杯”的一些解释：
初中数学难题探索群聊从成立之初至今，一直在努力搭建难题互享、知识互通的平台，旨在强化解证初
中数学难题的能力，提升初中学生数学水平。“清辉杯”由此产生，这算是一次勇敢的尝试。但十分可惜，
由于各命题者能力有限，无法在短时间内融合出一套能够媲美中考数学的试卷，所以与“清辉杯”有关的试
卷就无法体现参赛者中考数学水平。
因此，我们希望你能够基于不耽误自身学业的基础上，适当选做，量力而行。
最后，如若此试卷的题目及成绩对你当下数学学习带来困扰，那么请允许我们致以最诚挚的歉意。
注意事项：
1. 本卷由三部分试题组成；
2. 考试由 2024 年 8 月 4 日星期日上午 9时整开始，8月 5日星期一晚 21 时整结束，持
续 36 小时（共 2160 分钟）.参赛者可自由安排答题时间，无需挤压日常休息时间，如午
饭、午觉等；
3. 考试期间，本群全员禁言，参赛者不可以任何方式与他人交流，也不可使用计算机、计算器
等工具辅助答题，如有发现立即取消考试资格，并视情况给予一定惩罚（如群内禁言、移
除群聊等）；
4. 答题时，参赛者务必按照题号依次在空白草稿纸上作答，注意书写规范和卷面整洁；
5. 除填空题外，其余各题如无特别说明，都必须在相应位置上写出证明或计算的主要步骤，只
给出最终答案不得分；
6. 考试结束时，参赛者应立即停止答题，并第一时间完整、清晰地拍摄答题纸，通过邮件或私
聊发送给群主@Too Far.收卷截止时间是 2024 年 8 月 5 日星期一晚 21 时 10 分，逾期
交卷或未交卷自动视为放弃考试资格.此段时间内如有发现与其他群成员交流的，同样视
为舞弊行为，立即取消考试成绩；
7. 本份试卷为本群专属，请勿外传，谢谢配合；
8. 预祝各位参赛者答题顺利、取得佳绩！
第 1 页 共 6 页
一、填空题（第 1、2题 5分，第 3、4 题 10 分，共 30 分）
1.设a 1，b 2，求2a 3b：__________.
2.解方程： x 1 x 1 3， x __________.
3. z P(z) (z 1)(z 2) (z 2024) 2024!已知 0是多项式 的复根，则 z0 1的最大值为:z
__________.
4.已知 nn p k pn p k k n p k n p k 1.
（1）若 n、p、k为连续的自然数时，请写出一组 n、p、k的值使题干成立：_______
___.
（2）若 n、p、k为两两不连续的自然数，请写出三组 n、p、k的值使题干成立：①_
_________，②__________，③__________.
第 2 页 共 6 页
二、解答题（第 5 题 10 分，第 6-9 题 15 分，第 10-12 题 20 分，第
13-15 题 25 分，第 16 题 30 分，共 235 分）
5.锐角△ ABC，角A、B、C所在边为a、b、c.令sin A min b
c
，2 2 ，求cosB cosC b c
的最大值.
6. 1 1 1 3已知 x、y、z 0，且 x y z 3 .证明：
1 xy 2

1 yz 2 1 zx 2
.
4
7.O为坐标原点，设A(x x11,e )，B(x2 , ln x2 )，满足 AOB 90 .证明： AB 1 .
8.如图，在矩形 ABCD中放入五个正方形和一个等腰直角三角形,交矩形的边于点
E、F、G 和H ,已知矩形长 22，宽 20.
（1）求阴影部分面积；
（2）证明: EG AB和HF BC至少有一个成立 .
第 6 题
9.设△ ABC角A、B、C所对边为a、b、c，满足c2 b2 ab.Q为平面内一点 .
（1 b）求 的取值范围；
c
（2）记P为BC靠B的三等分点，若BP QP 1 BQ ，使得 APQ 30 恒成立，求 的最
CQ
大值.
第 3 页 共 6 页
10.证明： n N ， x2 y2 z n有无穷多项正整数解 x，y，z .
11.如图，不等边△ ABC中，I为内心，内切圆 I与AB，BC分别交于切点P、Q .连接
AI，交 I 于点M ，过点M做 I 切线分别与 AB、AC交于点 E、D .点N在 边
AB上，且IN AI，直线CE、QP交于点 F，FA和NM交于点K .证明：B、E、D和C
四点共圆的充要条件是KE平分 AED .
第 9 题
12.如图，抛物线C1、C2外切于点R，F1、F2为C1、C2的焦点，P、Q分别为其顶点，并且
PF1、QF2和公切线交于点 S .
（1）证明：F1、P、Q、F2四点共圆；
（2 RS）记O1为（1）中圆的圆心，O2为△SF1F2外心，求 的值 .O1O2
第 4 页 共 6 页
第 10 题
2 2
13. a b c 0 4 a 1 a b
2 4 b2 1 b2c2 4 c2 1 a2c2
已知 ， ， ，证明： 1 .
a 2ab 2 b 2bc 2 c 2ac 2
14. f x 1为偶函数，且任意 x应用 x f x 两次可得到恒同映射 ，对函数 f x 图像
2
上每一点做抛物线y x2 t切线均得到两个不同切点，设两个切点所在直线为l .证明：
存在 f x ，使得直线族 l的包络线解析式为 f x .
15.设a，b，c N ，且 1 ab 1 bc 1 ac 为完全平方数.证明： 1 ab ， 1 bc ， 1 ac
都是完全平方数.
16.给定m n N ，2m n，有任意n个正整数a1，a2， ，an .证明：存在n个正奇数b1，
n
b2， ，bn，满足 bk m，且对 1 i, j n，有aibi a j b j 2 .
k 1
第 5 页 共 6 页
三、加试题（第 17 题 35 分，共 35 分）
17.在△ ABC及其外接圆C中，i为ABC内任意一点，以 i为密克尔点，三个密克 尔圆
交三边分别为 E、F、G，分别作过 EF，EG，FG并与C相切的圆 .设过EF的两圆与
C切点为O1、O2 ，类似有P1、P2，Q1、Q2.证明：O1O2、P1P2和Q1Q2三线共点.
第 6 页 共 6 页

展开更多......

收起↑