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第一章　预备知识——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）必修一单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．不等式的解集为( )
A. B. C. D.
2．不等式的解集为( )
A. B. C.或 D.或
3．下列结论中正确的是( )
A.当时,无最大值 B.当时,
C.当且时, D.当时,的最小值为3
4．已知实数x,,且满足,若的最小值为p,则( )
A.10 B.13 C.16 D.19
5．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．已知，则的最小值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
7．不等式的解集为( )
A. B. C. D.
8．已知函数,则满足的x取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题是真命题的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10．已知集合，，若，则( )
A.0 B.1 C.2 D.0或1或2
11．若关于x的不等式有实数解,则a的值可能为( )
A.0 B.3 C.1 D.-2
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若是关于x，y的方程组的解集，则________.
13．已知集合，，则满足的一组有序实数对可以为___________.
14．已知关于x的不等式的解集为，则_______.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知且.
（1）求x的取值范围；
（2）在(1)的条件下，求函数的最大值和最小值.
16．若二次函数的图象的对称轴为,最小值为-1,且.
（1）求的解析式；
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立,求实数m的取值范围.
17．已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式;
（2）若,求函数在区间上的值域．
18．已知a,b都是正实数,,求的最小值．
19．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最小值.
参考答案
1．答案：B
解析：原不等式即为,解得,故原不等式的解集为.故选B.
2．答案：C
解析：不等式可化为,解得或.故选C.
3．答案：B
解析：对于A,当时,因为与都递增,
所以单调递增,的最大值为,故错误;
对于B,当时,,
当且仅当即时,取等号,故正确;
对于C,当时,,则,
当且仅当时,即时,等号成立,故错误;
对于D,当时,,
当且仅当时,即时,等号才成立,故错误.
故选：B.
4．答案：C
解析：因为x,,,
所以,
当且仅当即时,等号成立,所以.
故选：C.
5．答案：D
解析：由题意有，解得.
6．答案：A
解析：，当且仅当，即时，等号成立.故选A.
7．答案：B
解析：.
8．答案：A
解析：因为,
所以当时,原不等式可化为,解得或;
当时,原不等式可化为,解得.
综上,不等式的解集为.
故选：A.
9．答案：BCD
解析：对于选项A，当时，不等式显然不成立，A错误；
对于选项B，由糖水不等式可得B正确；
对于选项C，因为，所以，，则，C正确；
对于选项D，因为，所以，，所以，D正确.
故选：BCD.
10．答案：AB
解析：因为集合，，且，则或，
故选：AB.
11．答案：ACD
解析：当时,不等式有解,符合题意;
当时,得,则不等式有解;
当时,由,解得.
综上,a的取值范围为,对照选项,选项ACD的值符合题意.
故选：ACD.
12．答案：
解析：是关于x，y的方程组
的解集，
解得
故答案为：.
13．答案：（答案不唯一）
解析：由题意可得，令，得，故可以为.（注：满足即可.）
14．答案：
解析：因为关于x的不等式的解集为，则，且-3，1是关于x的不等式的两根，由韦达定理可以得得所以.
15、
（1）答案：
解析：由，得，解得：.由，得，解得：；所以.
（2）答案：见解析
解析：由(1)得，所以，又.所以当时，，当时，.
16．答案：(1)
(2)
解析：（1）由为二次函数,可设
图象的对称轴为,最小值为-1,且,
,
,
.
（2）,即在上恒成立,
又当时,有最小值0,
,
实数m的取值范围为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数为幂函数,
则,解得或3.
当时,函数为奇函数,不合乎题意;
当时,函数为偶函数,合乎题意.
综上所述,.
（2）由（1）可得,
所以函数在上为减函数,在上为增函数,
所以,,.
因此,函数在区间上的值域为.
18．答案：
解析：因为a,b都是正实数且,所以,
所以,
当且仅当,即,时取等号,
即的最小值为.
19．答案：（1）；
（2）5
解析：（1）记，，则，
所以当时，函数取到最大值为，所以的最大值为.
（2）因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为5.

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