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12.1 函数 导学案
（一）学习目标：
①初步了解函数的概念能正确分辨出常量与变量、自变量与因变量。
②能够由实际问题背景或表达式求出函数自变量的取值范围，会求函数值。
③结合实例，初步了解函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法，能用适当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系。
④能根据实际问题背景,刻画变量间的函数图象。
（二）学习重难点：
重点：由实际问题背景或表达式求出函数自变量的取值范围，会求函数值
难点：了解函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法，能用适当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系
阅读课本，识记知识：
1.变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量,数值保持不变的量叫做常量。
2.函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量X、y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
3.表示函数的三种方法
示函数关系主要有下列三种方法:列表法、解析法、图象法.
（1）列表法：通过列出自量的值与对函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
（2）解析法：用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示两个变量间的函数关系，这种表示法叫做解析法。其中的等式叫做函数表达式(或函数解析式) .
注意:在用表达式表示函数时,要考虑瞳的取值必须使函数表达式有意义
（3）图象法
一般地，对于一个函数，如果把自量x与函数值y的每对对应值分别作为点的橫坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫做像法.
由函数解析式画其图像的一般步骤:
①列表:列表给出自变量与函数的一些对应值
②描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点
③连线:按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
注意:
(1)函数的图象是由一些 点组成的,在描点的时候应尽可能地多选几个点，使图象更准确;
(2)在画图象时，应考虑自变量的取值范围。
【例1】函数 中自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．全体实数
【答案】A
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的确定和二次根式的性质．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可求解．
【详解】解：根据二次根式的意义可知：，
解得，
故选A．
【例2】 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示，时，两架无人机的高度差为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的应用，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出甲、乙两架无人机的速度，然后求出时甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度，本题得以解决．
【详解】由图可得，
甲无人机的速度为
乙无人机的速度为，
∴时，甲无人机所在的位置距离地面的高度为米，
乙无人机所在的位置距离地面的高度，
∴时，两架无人机的高度差为，
故选：C．
选择题
1.下列说法正确的是（　　）
A．常量是指永远不变的量
B．具体的数一定是常量
C．字母一定表示变量
D．球的体积公式，变量是π，r
2.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是和2时，输出的y值相等，则b等于（ ）
A．5 B． C．7 D．3和4
3.当时，函数的值是（　　）
A． B． C．0 D．1
4.若等腰三角形顶角x度，底角是y度，则y与x函数关系是（ ）
A． B． C． D．
5.函数的自变量x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发（　　）后两人相距．
A．2小时 B．小时
C．2小时或小时 D．1小时或小时
7.打开某洗衣机开关，在洗涤衣服时（洗衣机内无水），洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
8.杆秤是我国传统的计重工具．数学兴趣小组利用杠杆原理自制了一个如图1所示的无刻度简易杆秤．在量程范围内，之间的距离l与重物质量m的关系如图2所示，下列说法不正确的是（ ）
A．在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大；
B．未挂重物时，之间的距离l为；
C．当之间的距离l为时，重物质量m为；
D．在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加．
9.甲、乙两地相距km，一列快车从甲地匀速开往乙地，一列慢车从乙地匀速开往甲地，两车同时出发，快车到达乙地后停止，两车之间的距离S（km）与快车的行驶时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则慢车的速度是（ ）
A．km/h B．km/h C．km/h D．km/h
10.如图①，在矩形中，连接，动点P从点B出发，依次沿运动至点B停止，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．8
填空题
11．函数的自变量的取值范围是 ．
12.已知函数，那么 ．
13．函数的定义域是 ．
14．在无锡全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图像(全程)如图所示．下列四种说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；
③ 甲比乙先到达终点；④ 两人都跑了20千米．正确的有 ．(填写序号)
15．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图象如图2所示．水槽内正方体铁块的棱长为 ，如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满．
三、解答题
16．将一个温度计从一杯热水中取出之后，立即放入一杯凉水中，下面是用表格表示的温度计的读数与时间之间的关系．
时间/s 5 10 15 20 25 30
读数 49.0 31.4 22.0 16.5 14.2 12.0
(1)上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
(2)根据表格中的数据，大致估计时温度计的读数．
17.某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟．
(1)直接写出与x，与x的函数关系式；
(2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？
(3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？
18.如图1，B地在A地的正东方向，某一时刻，乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，当甲车到达B地的同时乙车也到达A地．
如图2，横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与A地的距离．
问题：
(1)、两地相距多少千米？
(2)和两段线分别表示两车距A地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一段表示甲车，哪一段表示乙车？
(3)请问两车相遇时距A地多少千米？
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】B
【分析】本题考查常量与变量的定义及判断，根据保持不变的量叫常量，发生改变的量叫变量直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：常量是在一定条件下不变的量，故A选项错误，
具体的数一定是常量，故B选项正确，
字母不一定表示变量，故C选项错误，
球的体积公式，变量是r，V，故D选项错误，
故选：B．
2.【答案】A
【分析】本题考查了函数值，解题的关键是先求出时y的值，再将、代入计算即可．
【详解】解：当时，，
当时，，即，
解得：，
故选：A．
3.【答案】B
【分析】本题主要考查了函数值求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可．
【详解】解：当时，
．
故选：B．
4.【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质，函数关系式等知识，利用三角形内角和定理和外角的定义即可解决问题．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：∵等腰三角形顶角x度，底角是y度，
∴，
∴．
故选A．
5．【答案】C
【分析】本题考查函数自变量取自范围，分式的意义的条件．根据分式的意义的条件即可得出，解之即可得出自变量x的取值范围；
【详解】解：由题意，得，解得
故选：C．
6．【答案】D
【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的应用．根据函数图象中的数据，可以分别计算出甲、乙的速度，然后根据两人相距，可知存在两种情况，相遇前和相遇后，再列出相应的方程，求解即可．
【详解】解：由图象可得，
甲的速度为：，
乙的速度为：，
设乙出发小时后两人相距，
或，
解得或，
故选：D．
7．【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，据此可得答案．
【详解】解：进水过程中，水量y不断增加，且刚开始时水量为0，清洗过程中，水量y保持不变，排水的过程中，水量y不断减少，
∴四个选项中，只有D选项的函数图象符合题意，
故选D
8．【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象．数形结合，从函数图象中获取正确的信息是解题的关键．
由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，进而可判断A的正误；未挂重物时，之间的距离l为，进而可判断B的正误；当之间的距离l为时，重物质量m为，进而可判断C的正误；在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，进而可判断D的正误．
【详解】解：由图象可知，在量程范围内，质量m越大，之间的距离l越大，A正确，故不符合要求；
未挂重物时，之间的距离l为，B正确，故不符合要求；
当之间的距离l为时，重物质量m为，C错误，故符合要求；
在量程范围内，重物质量m每增加，之间的距离l增加，D正确，故不符合要求；
故选：C．
9．【答案】B
【分析】本题考查了行程问题的函数图像，旨在考查学生的理解能力．由图可知快车行驶后到达乙地，据此可求出快车的速度；根据两车后相遇可求慢车的速度．
【详解】解：设快车、慢车的速度分别为，
由图可知，快车行驶后到达乙地，
∴ km/h，
∵两车后相遇，
∴，
解得：
∴ km/h，
故选：B
10．【答案】A
【分析】本题考查动点的函数图象问题．根据题意结合图象，可知：，结合勾股定理进行求解即可．从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】解：由图象可知，当点在上运动时，的面积为定值，为6，点的总路程为12，
∵矩形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
联立：，解得：或，
∵，
∴；
故选A．
11.【答案】且/且
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，且，
解得且，
故答案为：且．
12. 【答案】2
【分析】本题考查了求函数值，将代入进行计算即可，准确计算是解此题的关键．
【详解】解：，
，
故答案为：．
13．【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的范围．根据被开方数大于等于0以及分式的分母不能为0列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，，，
解得且．
故答案为：．
14．【答案】①②④
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题， 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义， 理解问题的过程， 就能够通过图象得到函数问题的相应解决 ．
根据时的函数图象判断出①正确；根据时的值判断出②正确；根据图象直接判断出③错误；由图可知，乙是匀速跑的，当时，千米，所以乙跑的速度为10千米/时，即可求得乙跑的路程为20千米，现由图象可知，甲乙两人跑的路程相等，即可判断出④正确 ．
【详解】解：①由图可知，时， 甲的函数图象在乙的上边，
所以， 起跑后 1 小时内， 甲在乙的前面， 故①正确；
②时， 甲、 乙都是千米， 第 1 小时两人都跑了 10 千米， 故②正确；
③由图可知，时， 乙到达终点， 甲没有到达终点， 所以， 乙比甲先到达终点， 故③错误；
④由图象可知，乙是匀速跑的，当时，千米，所以乙跑的速度为10千米/时，则乙跑的路程为(千米)，由图象可知，甲乙两人跑的路程相等，所以两人都跑了 20 千米，故④正确；
综上所述， 正确的说法是①②④．
故答案为：①②④．
15．【答案】 8 3
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图像可得正方体的棱长为，同时可得水面上升从到所用的时间为8秒，结合前5秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了3秒可得答案．
【详解】解：由函数图象可知，当注水时间为后，函数图象的变化趋势刚好发生了改变，即此时水面刚好淹没正方体铁块，
∴正方体铁块的棱长为，
由函数图象可知，再淹没过正方体铁块后在内水面上涨了，
∵在有铁块的条件下，内水面上升的高度为，
∴在没有铁块的前提下还需要恰好将水槽注满．
故答案为：8；3．
16．【答案】(1)温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数
(2)可取
【详解】1．解：（1）温度计的读数和时间在发生变化．自变量和因变量分别是时间、温度计的读数．
（2）由表格可看出：随着时间的增加，温度计的读数越来越小，因此时温度计的读数应小于；每隔，温度差分别为，即温度差越来越小，因此时的温度应大于，所以时温度计的读数应大于且小于，时的温度可取这个范围内的任意值，比如可取等．
17.【答案】(1)，
(2)他本月的通话时间为分钟
(3)通话时间为280分钟时，选择套餐更划算
【分析】本题主要考查了列函数关系和求函数值和自变量的值，根据题意正确列出关系式是解题关键．
（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意可知，，求出的值即可；
（3）分别求出时，和的值，比较大小即可．
【详解】（1）解：A套餐：月租费15元，通话费每分钟元，
，
B套餐：月租费0元，通话费每分钟元，
；
（2）解：该手机用户使用A套餐且本月缴费50元，
，
解得：，
他本月的通话时间为分钟；
（3）解：当时，，，
，
∴通话时间为280分钟时，选择套餐更划算．
18．【答案】(1)400千米
(2)线段表示甲车距A地的距离与行驶时间的关系，线段表示乙车距A地的距离与行驶时间的关系
(3)千米
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
（1）由函数图象可知，、两地相距400千米；
（2）由于乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离A地的距离为0，据此结合函数图象可得答案；
（3）设两车相遇时距A地千米， 由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，再根据时间路程速度列出方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，、两地相距400千米；
（2）解：∵乙车从B地开往A地，1小时后，甲车从A地开往B地，
∴乙车比甲车先出发1小时，则当时甲车距离A地的距离为0，
∴线段表示甲车距A地的距离与行驶时间的关系，线段表示乙车距A地的距离与行驶时间的关系．
（3）解：设两车相遇时距A地千米，
由函数图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为，
∴，
解得，
答：两车相遇时距A地千米．
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