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河北省保定市河北保定师范附属学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（共16小题，1-10题每题3分，11-16小题每题2分。）
1．（2024八下·保定期中）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，原选项错误，不符合题意，A错误；
、∵，∴，原选项正确，符合题意，B正确；
、∵，∴，原选项错误，不符合题意，C错误；
、∵，∴，原选项错误，不符合题意，D错误；
故答案为：．
【分析】本题考查不等式的性质.根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，据此可判断A选项；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此可判断B选项和C选项；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断D选项．
2．（2024八下·保定期中）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意，A错误；
B． 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意，B错误；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意，C正确；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形的概念： 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形的概念： 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据两个概念逐项进行判断可选出答案.
3．（2024八下·保定期中）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图示得A＞1，A＜2，
故答案为：A．
【分析】本题主要通过看图得出具体的信息，从而得出物体M的质量m的取值范围.
4．（2024八下·保定期中）下列各式：①，②，③，④，从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．②③
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：是因式分解，符合题意，正确；
是整式的运算，不是因式分解，不符合题意，错误；
是因式分解，符合题意，正确；
不是因式分解，不符合题意，错误；
则符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解的定义.根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐一进行判断可选出选项．
5．（2024八下·保定期中）若等腰三角形周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或4cm
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当的边为腰时，等腰三角形的周长为，则底边长为
，不能构成三角形；
当的边为底时，等腰三角形的周长为10cm，则腰长为，
，能构成三角形．
故答案为A．
【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形三边的关系．利用等腰三角形的定义，分两种情况：的边为腰或的边为底，依次求出底边或腰长，再根据三角形三边的关系进行判断可选出选项．
6．（2024八下·保定期中）如图，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，若，则的度数为（　　）
A．65° B．70° C．80° D．40°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查旋转 的性质.根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．可推出：，等于旋转角，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求出的度数，再利用平行线的性质可求出的大小．
7．（2024八下·保定期中）已知多项式分解因式后为，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵=x2-4x-12，x2＋mx－12＝ ，
∴m=-4，
故答案为：D．
【分析】本题考查多项式乘法．根据多项式乘以多项式先将 进行展开，再根据对位系数相等可求出m的值．
8．（2024八下·保定期中）下列说法，正确的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．“若，则”的逆命题是真命题
C．两边分别相等的两个直角三角形全等
D．用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；反证法；逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意，A错误；
B、“若，则”的逆命题是“若，则”，不是真命题，比如：，但，故原说法错误，不符合题意，B错误；
C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原说法错误，不符合题意，C错误；
D、用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”，故原说法正确，符合题意，D正确，
故答案为：D．
【分析】本题考查判断命题的正确性，平行线的性质、逆命题及其真假、全等三角形的判定、反证法．根据平行线的性质：两直线平行同位角相等，据此可判断A选项；先找出命题的逆命题，再举出反例，可判断B选项；根据直角三角形的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，据此可判断C选项；根据反证法的步骤进行假设，据此可判断D选项.
9．（2024八下·保定期中）分式中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“□”可能是（　　）
A．2 B．y C．xy D．4
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A.中的字母同时扩大为原来的3倍变为，分式值改变，故本选项不符合题意，A错误；
B、中的字母同时扩大为原来的3倍变为，根据分式的性质得到分式值不变，故本选项符合题意，B正确；
C、中的字母同时扩大为原来的3倍变为，分式值改变，故本选项不符合题意，C错误；
D、中的字母同时扩大为原来的3倍变为，分式值改变，故本选项不符合题意，D错误，
故答案为：B．
【分析】】本题考查分式的性质．根据分式的性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据题意依次将选项中字母的值扩大3倍，再进行化简可判断出选项.
10．（2024八下·保定期中）根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：到三角形三边距离相等的点的是角平分线的交点，由基本作图得到选项D作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形三边距离相等的点．
故答案为：C．
【分析】本题考查作图﹣基本作图.根据角平分线的性质； 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到各边的距离相等.，据此可判断作图为作三角形内角的角平分线，再根据角平分线的作图规则可选出选项.
11．（2024八下·保定期中）若的三边a、b、c满足，则形状为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由得：
，
∴，
即，
∴a=b或，
∴△ABC形状为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：D．
【分析】本题考查因式分解的应用，勾股定理的逆定理．先将式子进行因式分解可得：，可推出a=b或，再根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理可选出选项．
12．（2024八下·保定期中）如图，，将沿着BC方向平移，得到，连接AD则阴影部分的周长为（　　）cm．
A．9 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：将沿着BC方向平移，得到，
，，，
由平移的性质可知：，
，
阴影部分周长，
故答案为：B．
【分析】本题考查平移的性质.根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等可推出：，，，再利用三角形周长公式进行计算可求出答案．
13．（2024八下·保定期中）对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：若，．若，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查解一元一次不等式组．先根据新定义列出关于的不等式组，解出每一个不等式的解集，再根据解一元一次不等式组的原则：“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”，进行求解可求出答案.
14．（2024八下·保定期中）如图，是等边三角形，D是边BC上一点，且的度数为，则x的值可能是（　　）
A．40 B．30 C．20 D．10
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质，不等式的性质.先利用三角形外角的性质可推出：与的关系，再根据的范围，利用不等式的性质可求出x的取值范围.
15．（2024八下·保定期中）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：
x … 0 2023 …
y … …
根据信息，下列说法正确的个数是（　　）
①，②当时；③；④不等式的解集是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意，①正确；
②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意，②正确；
③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意，③错误；
④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意，④正确；
故答案为：C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式可判断①；根据表格可得：y随x的增大而增大，据此可推出当时，判断②；将点代入函数解析式可判断③；根据y随x的增大而增大，且时，，可求出不等式的解集，判断④.
16．（2024八下·保定期中）如图，在边长为的等边中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定．将绕点逆时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质可证明，利用全等三角形的性质可证明：，，当时，有最小值，再由，据此可求出答案．
二、填空题（共3小题，满分11分。17小题3分，18，19题每空2分。）．
17．（2024八下·保定期中）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查不等式的性质.根据不等式的性质：不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此可推出，解不等式可求出实数的取值范围．
18．（2024八下·保定期中）如图，在中，平分，，那么　 　；的面积为　 　．
【答案】4；24
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作于点E，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4；．
【分析】本题考查对含30度角的直角三角形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，三角形内角和定理．过点D作于点E，根据含30度角的直角三角形性质求出，再利用角平分线的性质可求出；再利用三角形内角和定理可求出的度数，再根据角平分线性质求出的度数，根据含30度角的直角三角形性质可求出，再利用勾股定理可求出长，最后利用的面积公式进行计算可求出答案．
19．（2024八下·保定期中）如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是　 　，将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为　 　．
【答案】(2，3)；(-3，2)
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
过点作轴交轴与点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转，每次旋转，
∴第一次旋转得到的坐标为，
第二次旋转得到的坐标为，
第三次旋转得到的坐标为，
第四次旋转得到的坐标为，
第五次旋转得到的坐标为，
可以发现的坐标四次一循环，
∴第次旋转结束时：，
∴第次旋转结束时点的坐标为：，
故答案为：，．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题，勾股定理，等腰直角三角形性质，旋转的性质．根据题意利用等腰三角形的性质可求出，进而求出点初始坐标，再利用旋转的性质可求出每次旋转后的坐标，观察出每次一循环，利用周期性可求出第次旋转结束时点的坐标．
三、解答题。（共67分）
20．（2024八下·保定期中）（1）解不等式
（2）解不等式组：把不等式组的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的最小整数解．
（3）分解因式：；
（4）分解因式：；
（5）用简便方法计算：
【答案】（1）解：

（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示如图：
所以不等式组的最小整数解为．
（3）
（4）
（5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查求不等式的解集，因式分解．
（1）利用不等式基本性质，先去括号，再进行移项，合并同类项，x的系数化为1 ，可求出不等式的解集；
（2）先求出不等式①和②的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分可求出不等式组的解集 ，利用数轴可以直观地表示不等式的解集， 观察数轴图可写出最小整数解；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解可求出答案；
（4）先提取公因式，再进行因式分解可求出答案；
（5）先对式子进行变形，再利用完全平方公式进行因式分解可求出答案．
21．（2024八下·保定期中）嘉琪准备完成图这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？
化简：的结果为 ▲
【答案】（1）设被墨水污染的部分是，则，解得：
（2）不同意，理由如下：
若，则
由原题可知，当时，原式，原分式无意义，
所以当时，原分式的值不能等于1．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值.
（1）设被墨水污染的部分是，根据分式的除法运算法则：先将除法转换为乘法，再将分子和分母进行因式分解，据此可求出被墨水污染的部分．
（2）由原分式的值等于1可知x的值，再根据分式有意义的条件可进行判断．
22．（2024八下·保定期中）如图，中，D为AC边上一点，于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当　 　度时，是等边三角形．
【答案】（1）证明：，
，
，
是等腰三角形
（2）30
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：当度时，是等边三角形
∵，
∴，
∴，
由（1）知是等腰三角形，
∴是等边三角形．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，余角的性质．
（1）由，根据等角对等边可得：，根据垂直的定义可得，，利用余角的性质得到，据此可证明结论；
（2）由垂直的定义可得，由（1）知是等腰三角形，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，据此可证明是等边三角形．
23．（2024八下·保定期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ▲ ；
（2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形并直接写出的坐标 ▲ ；
（3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为　 　．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，；
（3），
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，即为所求.点的坐标为，
故答案为：；
（3）如图， 连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
∵点的坐标为，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查作图一旋转变换、平移变换，旋转的性质、平移的性质．
（1）根据平移的性质依次作出平移后的每个点，再进行连接可作出图形，进而求出点的坐标；
（2）根据旋转的性质依次作出旋转后的每个点，再进行连接可作出图形，进而求出点的坐标；；
（3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，观察图形可求出点的坐标，据此可求出旋转中心的坐标.
24．（2024八下·保定期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：
．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为　 　；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为　 　，将此多项式分解因式为　 　．
（4）有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为　 　．
【答案】（1）
（2）如下图：
（3）6；=(a+b)(5a+b)
（4）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵，
∴只能因式分解为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；；
（4）解：∵拼成的正方形的边长最长，
∴拼成的正方形的面积最大，
∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，
∴满足题意的式子有，，
∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解在几何图形中的应用
（1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可列出式子；
（2）根据题意进行作图可求出图形；
（3）由于，则只能因式分解为，据此求出m的值，求出因式分解的答案；
（4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此可求出拼成的正方形的最长边长．
25．（2024八下·保定期中）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史，71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军威国威，某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织师生共60人进行观影活动，电影票的价格如下表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．
会员价/（元/张） 普通票价
成人票价/（元/张） 学生票价/（元/张）
45 80 60
若师生均购买普通票，则共需3800元，
（1）求参加观影活动的教师和学生分别有多少人？
（2）由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，设有会员卡的学生有x人，购买电影票的全部费用为W元．
①若购买电影票的全部费用不超过3600元，则有会员卡的学生至少有多少人？
②若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值．
【答案】（1）解：设参加观影活动的教师有人，学生有人，
依题意得：，
解得：．
答：参加观影活动的教师有10人，学生有50人．
（2）解：设有会员卡的学生有人，则购买普通票的学生有人，
．
①依题意得：，
解得：
又为正整数，
的最小值为14．
答：有会员卡的学生至少有14人．
②依题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为33．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答：的最小值为3305．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设参加观影活动的教师有m人，学生有n人，利用总价＝单价×数量，结合师生60人购买普通票共花费3800元，据此可列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）利用总价＝单价×数量，可列出W关于x的函数关系式．
①由购买电影票的全部费用不超过3600元，据此可列出关于x的一元一次不等式，解不等式可求出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；
②由有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，据此可列出关于x的一元一次不等式，解不等式可求出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的最大值，再利用一次函数的性质，可求出的最小值
26．（2024八下·保定期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，BE与CD的数量关系是　 　；与的数量关系是　 　；的度数是　 　度。
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果，且，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
（3） 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和曾，其中；且点E恰好落在DE上，那么CD、CE和BC的数量关系是　 　．
【答案】（1）BE=CD；∠ADC=∠AEB；60
（2）证明：由（1）可知，
在等边中，由可得
则
在中，
由勾股定理可得：
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，
与均为等边三角形
，，
又，
，
在与中，
，
，
，，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得；
（3）．理由如下：
如图③，连接，
，，；
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）利用等边三角形的性质先证明，利用全等三角形的性质可推出，，根据，利用角的运算可求出；
（2）由（1），，利用等边三角形性质可推出，，利用角的运算可求出，利用勾股定理即可求出；
（3））连接， 先证明，利用全等三角形的性质可证明，，利用角的运算可求出，根据勾股定理得到，据此可推出．
1 / 1河北省保定市河北保定师范附属学校2023-2024学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（共16小题，1-10题每题3分，11-16小题每题2分。）
1．（2024八下·保定期中）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·保定期中）下列图形中，既是中心对称，又是轴对称的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·保定期中）如图天平右盘中的每个砝码的质量都是1g，则物体A的质量m（g）的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·保定期中）下列各式：①，②，③，④，从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．②④ B．①② C．①③ D．②③
5．（2024八下·保定期中）若等腰三角形周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边长为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或4cm
6．（2024八下·保定期中）如图，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，若，则的度数为（　　）
A．65° B．70° C．80° D．40°
7．（2024八下·保定期中）已知多项式分解因式后为，则的值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
8．（2024八下·保定期中）下列说法，正确的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．“若，则”的逆命题是真命题
C．两边分别相等的两个直角三角形全等
D．用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”
9．（2024八下·保定期中）分式中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“□”可能是（　　）
A．2 B．y C．xy D．4
10．（2024八下·保定期中）根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·保定期中）若的三边a、b、c满足，则形状为（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
12．（2024八下·保定期中）如图，，将沿着BC方向平移，得到，连接AD则阴影部分的周长为（　　）cm．
A．9 B．12 C．13 D．15
13．（2024八下·保定期中）对于三个数a、b、c的最小的数可以给出符号来表示，我们规定表示a、b、c这三个数中最小的数，例如：若，．若，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
14．（2024八下·保定期中）如图，是等边三角形，D是边BC上一点，且的度数为，则x的值可能是（　　）
A．40 B．30 C．20 D．10
15．（2024八下·保定期中）取一次函数部分的自变量x值和对应函数y值如表：
x … 0 2023 …
y … …
根据信息，下列说法正确的个数是（　　）
①，②当时；③；④不等式的解集是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2024八下·保定期中）如图，在边长为的等边中，D为BC边的中点，E为直线AD上一动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°，得到线段CF，连接DF，则线段DF长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．3
二、填空题（共3小题，满分11分。17小题3分，18，19题每空2分。）．
17．（2024八下·保定期中）若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是　 　．
18．（2024八下·保定期中）如图，在中，平分，，那么　 　；的面积为　 　．
19．（2024八下·保定期中）如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，，，，点坐标是　 　，将绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为　 　．
三、解答题。（共67分）
20．（2024八下·保定期中）（1）解不等式
（2）解不等式组：把不等式组的解集在数轴上表示出来，并求出不等式组的最小整数解．
（3）分解因式：；
（4）分解因式：；
（5）用简便方法计算：
21．（2024八下·保定期中）嘉琪准备完成图这样一道填空题．其中一部分被墨水污染了，若该题化简的结果为．
（1）求被墨水污染的部分；
（2）嘉琪认为当时，原分式的值等于1，你同意嘉琪的说法吗？如果不同意，请说明理由？
化简：的结果为 ▲
22．（2024八下·保定期中）如图，中，D为AC边上一点，于E，ED的延长线交BC的延长线于F，且，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当　 　度时，是等边三角形．
23．（2024八下·保定期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．
（1）将先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形，画出图形，并直接写出的坐标 ▲ ；
（2）画出绕点O按顺时针旋转后的图形并直接写出的坐标 ▲ ；
（3）若可以看作是由绕某点旋转得到的，则旋转中心的坐标为　 　．
24．（2024八下·保定期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：
．
（1）如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为　 　；
（2）若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；
（3）若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为　 　，将此多项式分解因式为　 　．
（4）有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为　 　．
25．（2024八下·保定期中）电影《长津湖》以抗美援朝战争第二次战役中的长津湖战役为背景，讲述了一段波澜壮阔的历史，71年前，中国人民志愿军赴朝作战，在极寒严酷环境下，东线作战部队凭着钢铁意志和英勇无畏的战斗精神，一路追杀，奋勇杀敌，扭转战场态势，打出军威国威，某中学为了培养学生的爱国主义情怀，组织师生共60人进行观影活动，电影票的价格如下表所示（教师按成人票价购买，学生按学生票价购买）．
会员价/（元/张） 普通票价
成人票价/（元/张） 学生票价/（元/张）
45 80 60
若师生均购买普通票，则共需3800元，
（1）求参加观影活动的教师和学生分别有多少人？
（2）由于部分学生有会员卡（会员卡仅限本人使用），所以有会员卡的学生享受会员价，设有会员卡的学生有x人，购买电影票的全部费用为W元．
①若购买电影票的全部费用不超过3600元，则有会员卡的学生至少有多少人？
②若有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，求W的最小值．
26．（2024八下·保定期中）综合与实践：
【问题情景】
综合与实践课上，王老师让同学们以“共顶点的等腰三角形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【实践操作】
王老师让同学们先画出两个等边和，将绕点A旋转到某一位置，要求同学们观察图形，提出问题并加以解决．
（1）如图①，“慎思组”的同学们连接BE、CD，BE与CD的数量关系是　 　；与的数量关系是　 　；的度数是　 　度。
（2）如图②，得知“慎思组”的结论后，“博学组”的同学们又连接BD，他们认为，如果，且，就可以求出BD的长，请写出求解过程．
（3） 【类比探究】如图③，“智慧组”的同学们画出了两个等腰直角三角形和曾，其中；且点E恰好落在DE上，那么CD、CE和BC的数量关系是　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵，∴，原选项错误，不符合题意，A错误；
、∵，∴，原选项正确，符合题意，B正确；
、∵，∴，原选项错误，不符合题意，C错误；
、∵，∴，原选项错误，不符合题意，D错误；
故答案为：．
【分析】本题考查不等式的性质.根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，据此可判断A选项；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，据此可判断B选项和C选项；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此可判断D选项．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意，A错误；
B． 不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意，B错误；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意，C正确；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意，D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形的概念： 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；轴对称图形的概念： 如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据两个概念逐项进行判断可选出答案.
3．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图示得A＞1，A＜2，
故答案为：A．
【分析】本题主要通过看图得出具体的信息，从而得出物体M的质量m的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：是因式分解，符合题意，正确；
是整式的运算，不是因式分解，不符合题意，错误；
是因式分解，符合题意，正确；
不是因式分解，不符合题意，错误；
则符合题意，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解的定义.根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐一进行判断可选出选项．
5．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当的边为腰时，等腰三角形的周长为，则底边长为
，不能构成三角形；
当的边为底时，等腰三角形的周长为10cm，则腰长为，
，能构成三角形．
故答案为A．
【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形三边的关系．利用等腰三角形的定义，分两种情况：的边为腰或的边为底，依次求出底边或腰长，再根据三角形三边的关系进行判断可选出选项．
6．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题考查旋转 的性质.根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．可推出：，等于旋转角，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可求出的度数，再利用平行线的性质可求出的大小．
7．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵=x2-4x-12，x2＋mx－12＝ ，
∴m=-4，
故答案为：D．
【分析】本题考查多项式乘法．根据多项式乘以多项式先将 进行展开，再根据对位系数相等可求出m的值．
8．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；反证法；逆命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误，不符合题意，A错误；
B、“若，则”的逆命题是“若，则”，不是真命题，比如：，但，故原说法错误，不符合题意，B错误；
C、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故原说法错误，不符合题意，C错误；
D、用反证法证明命题“三角形中不能有两个角是直角”，首先要假设“这个三角形中有两个角是直角”，故原说法正确，符合题意，D正确，
故答案为：D．
【分析】本题考查判断命题的正确性，平行线的性质、逆命题及其真假、全等三角形的判定、反证法．根据平行线的性质：两直线平行同位角相等，据此可判断A选项；先找出命题的逆命题，再举出反例，可判断B选项；根据直角三角形的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，据此可判断C选项；根据反证法的步骤进行假设，据此可判断D选项.
9．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A.中的字母同时扩大为原来的3倍变为，分式值改变，故本选项不符合题意，A错误；
B、中的字母同时扩大为原来的3倍变为，根据分式的性质得到分式值不变，故本选项符合题意，B正确；
C、中的字母同时扩大为原来的3倍变为，分式值改变，故本选项不符合题意，C错误；
D、中的字母同时扩大为原来的3倍变为，分式值改变，故本选项不符合题意，D错误，
故答案为：B．
【分析】】本题考查分式的性质．根据分式的性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，根据题意依次将选项中字母的值扩大3倍，再进行化简可判断出选项.
10．【答案】C
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：到三角形三边距离相等的点的是角平分线的交点，由基本作图得到选项D作了两角的角平分线，从而可用直尺成功找到三角形三边距离相等的点．
故答案为：C．
【分析】本题考查作图﹣基本作图.根据角平分线的性质； 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到各边的距离相等.，据此可判断作图为作三角形内角的角平分线，再根据角平分线的作图规则可选出选项.
11．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：由得：
，
∴，
即，
∴a=b或，
∴△ABC形状为等腰三角形或直角三角形．
故答案为：D．
【分析】本题考查因式分解的应用，勾股定理的逆定理．先将式子进行因式分解可得：，可推出a=b或，再根据等腰三角形的性质和勾股定理的逆定理可选出选项．
12．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：将沿着BC方向平移，得到，
，，，
由平移的性质可知：，
，
阴影部分周长，
故答案为：B．
【分析】本题考查平移的性质.根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等可推出：，，，再利用三角形周长公式进行计算可求出答案．
13．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
，
故答案为：B．
【分析】本题考查解一元一次不等式组．先根据新定义列出关于的不等式组，解出每一个不等式的解集，再根据解一元一次不等式组的原则：“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”，进行求解可求出答案.
14．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等边三角形的性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：C
【分析】本题考查三角形外角的性质，不等式的性质.先利用三角形外角的性质可推出：与的关系，再根据的范围，利用不等式的性质可求出x的取值范围.
15．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①由表格可知，时，，即，故本选项说法正确，符合题意，①正确；
②由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即当时，故本选项说法正确，符合题意，②正确；
③由表格可知，时，，即，则有，故本选项说法错误，不符合题意，③错误；
④由表格可知，时，，且y随x的增大而增大，即不等不等式的解集是，故本选项说法正确，符合题意，④正确；
故答案为：C
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征．将点代入函数解析式可判断①；根据表格可得：y随x的增大而增大，据此可推出当时，判断②；将点代入函数解析式可判断③；根据y随x的增大而增大，且时，，可求出不等式的解集，判断④.
16．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，如下图：
由题意可得：，是的中点，
∵为等边三角形，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴点的轨迹为直线，
∴当时，有最小值，
此时，
∵是的中点，
∴，
故答案为：B
【分析】本题考查图形的旋转，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定．将绕点逆时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质可证明，利用全等三角形的性质可证明：，，当时，有最小值，再由，据此可求出答案．
17．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵关于的不等式的解集为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查不等式的性质.根据不等式的性质：不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，据此可推出，解不等式可求出实数的取值范围．
18．【答案】4；24
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点D作于点E，如图所示：
则，
∵，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4；．
【分析】本题考查对含30度角的直角三角形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，三角形内角和定理．过点D作于点E，根据含30度角的直角三角形性质求出，再利用角平分线的性质可求出；再利用三角形内角和定理可求出的度数，再根据角平分线性质求出的度数，根据含30度角的直角三角形性质可求出，再利用勾股定理可求出长，最后利用的面积公式进行计算可求出答案．
19．【答案】(2，3)；(-3，2)
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
过点作轴交轴与点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转，每次旋转，
∴第一次旋转得到的坐标为，
第二次旋转得到的坐标为，
第三次旋转得到的坐标为，
第四次旋转得到的坐标为，
第五次旋转得到的坐标为，
可以发现的坐标四次一循环，
∴第次旋转结束时：，
∴第次旋转结束时点的坐标为：，
故答案为：，．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点坐标的规律问题，勾股定理，等腰直角三角形性质，旋转的性质．根据题意利用等腰三角形的性质可求出，进而求出点初始坐标，再利用旋转的性质可求出每次旋转后的坐标，观察出每次一循环，利用周期性可求出第次旋转结束时点的坐标．
20．【答案】（1）解：

（2）解：解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为，
解集在数轴上表示如图：
所以不等式组的最小整数解为．
（3）
（4）
（5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法；解一元一次不等式
【解析】【分析】本题考查求不等式的解集，因式分解．
（1）利用不等式基本性质，先去括号，再进行移项，合并同类项，x的系数化为1 ，可求出不等式的解集；
（2）先求出不等式①和②的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分可求出不等式组的解集 ，利用数轴可以直观地表示不等式的解集， 观察数轴图可写出最小整数解；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解可求出答案；
（4）先提取公因式，再进行因式分解可求出答案；
（5）先对式子进行变形，再利用完全平方公式进行因式分解可求出答案．
21．【答案】（1）设被墨水污染的部分是，则，解得：
（2）不同意，理由如下：
若，则
由原题可知，当时，原式，原分式无意义，
所以当时，原分式的值不能等于1．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值.
（1）设被墨水污染的部分是，根据分式的除法运算法则：先将除法转换为乘法，再将分子和分母进行因式分解，据此可求出被墨水污染的部分．
（2）由原分式的值等于1可知x的值，再根据分式有意义的条件可进行判断．
22．【答案】（1）证明：，
，
，
是等腰三角形
（2）30
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：当度时，是等边三角形
∵，
∴，
∴，
由（1）知是等腰三角形，
∴是等边三角形．
故答案为：．
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，余角的性质．
（1）由，根据等角对等边可得：，根据垂直的定义可得，，利用余角的性质得到，据此可证明结论；
（2）由垂直的定义可得，由（1）知是等腰三角形，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，据此可证明是等边三角形．
23．【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，；
（3），
【知识点】平移的性质；作图﹣平移；旋转的性质；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求，点的坐标为，
故答案为：；
（2）如图，即为所求.点的坐标为，
故答案为：；
（3）如图， 连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则可以看作是由绕点逆时针旋转得到的，
∵点的坐标为，
∴旋转中心的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查作图一旋转变换、平移变换，旋转的性质、平移的性质．
（1）根据平移的性质依次作出平移后的每个点，再进行连接可作出图形，进而求出点的坐标；
（2）根据旋转的性质依次作出旋转后的每个点，再进行连接可作出图形，进而求出点的坐标；；
（3）连接，分别作线段的垂直平分线，交于点，则点即为旋转中心，观察图形可求出点的坐标，据此可求出旋转中心的坐标.
24．【答案】（1）
（2）如下图：
（3）6；=(a+b)(5a+b)
（4）
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：∵，
∴只能因式分解为，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；；
（4）解：∵拼成的正方形的边长最长，
∴拼成的正方形的面积最大，
∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，
∴满足题意的式子有，，
∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为，
故答案为：．
【分析】本题考查因式分解在几何图形中的应用
（1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可列出式子；
（2）根据题意进行作图可求出图形；
（3）由于，则只能因式分解为，据此求出m的值，求出因式分解的答案；
（4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此可求出拼成的正方形的最长边长．
25．【答案】（1）解：设参加观影活动的教师有人，学生有人，
依题意得：，
解得：．
答：参加观影活动的教师有10人，学生有50人．
（2）解：设有会员卡的学生有人，则购买普通票的学生有人，
．
①依题意得：，
解得：
又为正整数，
的最小值为14．
答：有会员卡的学生至少有14人．
②依题意得：，
解得：，
为正整数，
的最大值为33．
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值．
答：的最小值为3305．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设参加观影活动的教师有m人，学生有n人，利用总价＝单价×数量，结合师生60人购买普通票共花费3800元，据此可列出关于m，n的二元一次方程组，解方程组可求出答案；
（2）利用总价＝单价×数量，可列出W关于x的函数关系式．
①由购买电影票的全部费用不超过3600元，据此可列出关于x的一元一次不等式，解不等式可求出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；
②由有会员卡的学生人数不超过没有会员卡学生人数的2倍，据此可列出关于x的一元一次不等式，解不等式可求出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的最大值，再利用一次函数的性质，可求出的最小值
26．【答案】（1）BE=CD；∠ADC=∠AEB；60
（2）证明：由（1）可知，
在等边中，由可得
则
在中，
由勾股定理可得：
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：（1）如图1，
与均为等边三角形
，，
又，
，
在与中，
，
，
，，
又∵，
∴．
故答案为：，，；
（2）由（1）可知，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，由勾股定理可得；
（3）．理由如下：
如图③，连接，
，，；
，，
在与中，
，
，
，，
，
，
．
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．
（1）利用等边三角形的性质先证明，利用全等三角形的性质可推出，，根据，利用角的运算可求出；
（2）由（1），，利用等边三角形性质可推出，，利用角的运算可求出，利用勾股定理即可求出；
（3））连接， 先证明，利用全等三角形的性质可证明，，利用角的运算可求出，根据勾股定理得到，据此可推出．
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