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第七章 统计案例——2023-2024学年高一数学北师大版（2019）选择性必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某研究中心对治疗哮喘的两种药物的疗效是否有差异进行实验，并运用列联表进行检验，零假设：两种药物的疗效无差异，计算出，根据下面的小概率值的独立性检验表，认为“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过( )
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A. B. C. D.
2．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则的值可能为( )
附表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A.4.238 B.4.972 C.6.687 D.6.069
3．随着居民家庭收入的不断提高,人们对居住条件的改善的需求也在逐渐升温.某城市统计了最近5个月的房屋交易量,如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
交易量y（万套） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若y与x满足一元线性回归模型,且经验回归方程为,则下列说法错误的是( )
A.根据表中数据可知,变量y与x正相关
B.经验回归方程中
C.可以预测时房屋交易量约为1.72（万套）
D.时,残差为
4．如图是变量x，y的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到回归直线方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到回归直线方程：，相关系数为，则( )
A. B. C. D.
5．由数据，，…，可得y关于x的线性回归方程为，若，则( )
A.48 B.52 C.56 D.80
6．为了预防肥胖,某校对“学生性别和喜欢吃甜食”是否有关做了一次调查,其中被调查的男女生人数相同,男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的,女生喜欢吃甜食的人数占女生人数的,若有95%的把握认为是否喜欢吃甜食与和性别有关,则被调查的男生人数可能是( )
参考公式及数据:,其中.
附: 0.05 0.010
3.841 6.635
A.7 B.11 C.15 D.20
7．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( )
A.至少有一个样本点落在回归直线上
B.若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1
C.当时，x增加1个单位时，y平均增加2个单位
D.若回归直线的斜率，则变量x与y正相关
8．要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数r的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等环境问题，减少碳排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施，其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来.下表是2022年我国某市1~5月份新能源汽车销量y(单位：千辆)与月份x的统计数据.现已求得y与x的经验回归方程为，则( )
月份x 1 2 3 4 5
销量y 5 5 m 6 8
A.
B.y与x正相关
C.y与x的样本相关系数一定小于1
D.由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆
10．为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下药物效果与动物试验列联表：
患病 未患病 合计
服用药 10 45 55
没服用药 20 30 50
合计 30 75 105
由上述数据给出下列结论，其中正确的是( )
附：；
0.05 0.025 0.010 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
A.能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效
B.不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效
C.能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效
D.不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效
11．某水果店经过统计30天的销售情况，发现苹果的日销售量y（单位：千克）关于售价x（单位：元/千克）的回归方程为，则下列结论正确的是( )
A.若售价每增加1元/千克，则日销售量平均减少12.5千克
B.若售价为10元/千克，则日销售量一定是175千克
C.若水果店想要将店内的200千克的苹果在当日销售完，则售价预计不高于8元/千克
D.若售价定为12元/千克且苹果数量充足，则当日苹果销售收入约为1800元
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．甲,乙,丙,丁各自研究两个随机变量的数据,若甲,乙,丙,丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为,,,,则这四人中,________研究的两个随机变量的线性相关程度最高.
13．某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如下表：
零件数x/个 10 20 30
加工时间y/分钟 21 39
现已求得上表数据的线性回归方程为，但由于某种失误，丢失了其中一个数据，则丟失的数据是________.
14．在线性回归分析中,已知,,,,则________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了调查观众对电影“速度与激情10”结局的满意程度，研究人员在某电影院随机抽取了1000名观众作调查，所得结果如表所示，其中不喜欢“速度与激情10”的结局的观众占被调查观众总数的.
男性观众 女性观众 总计
喜欢“速度与激情10”的结局 400
不喜欢“速度与激情10”的结局 200
总计
（1）完善上述列联表；
（2）是否有的把握认为观众对电影“速度与激情10”结局的满意程度与性别具有相关性？
附：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
16．某地区2014年至2020年农村居民家庭纯收入y（单位：万元）的数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，
17．某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益．该公司统计了今年以来这款文创产品定价x（单位：元）与销量y（单位：万件）数据如下表所示：
产品定价x（单位：元） 9 9.5 10 10.5 11
销量y（单位：万件） 11 10 8 6 5
（1）依据表中给出的数据，判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）；
（2）建立y关于x的回归方程，预测当产品定价为8.5元时，销量可达到多少万件．
参考公式：．
参考数据：．
18．已知某种商品的价格（单位：元）和需求量（单位：件）之间存在线性关系，下表是试营业期间记录的数据（对应的需求量因污损缺失）：
价格x 16 17 18 19 20 24
需求量y 55 49 42 40 36
经计算得，，，由前组数据计算出的y关于x的线性回归方程为.
(1)估计对应的需求量y（结果保留整数）；
(2)若对应的需求量恰为（1）中的估计值，求6组数据的相关系数（结果保留三位小数）.
附：相关系数，.
19．某公司为了解某产品的客户反馈情况,随机抽取了100名客户体验该产品,并进行评价,评价结果为“喜欢”和“不喜欢”,整理数据得到如下列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 45 5 50
女 35 15 50
合计 80 20 100
(1)根据上表,依据小概率值的独立性检验,能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)为进一步了解客户对产品的反馈,现从评价结果为“不喜欢”的客户中,按性别用分层抽样的方法选取8人,收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人,求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
0.05 0.025 0.01 0.005
3.841 5.024 6.635 7.879
参考答案
1．答案：A
解析：，，
故“两种药物的疗效存在差异”犯错误的概率不超过.
故选：A
2．答案：D
解析：由题知，故的值可能为6.069.
故选：D.
3．答案：D
解析：对于B,依题意,,
所以,解得,所以,故B正确;
对于A,因为经验回归方程,,
所以变量y与x正相关,故A正确;
对于C,当时,,
所以可以预测时房屋交易量约为（万套）,故C正确;
对于D,当时,,
所以时,残差为,故D错误.
故选：D.
4．答案：A
解析：观察题中散点图可知，变量x和y呈正相关，所以，，剔除点之后，回归模型的拟合效果更好，所以更接近1.所以.
5．答案：A
解析：因为，所以，所以，所以.
6．答案：C
解析：由题意被调查的男女生人数相同,设男生的人数为:,由题意可列出2×2列联表:
男生 女生 合计
喜欢吃甜食 2m 4m 6m
不喜欢吃甜食 3m m 4m
合计 5m 5m 10m
.
由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关,
所以;解得:,因为,
故5m的可能取值为:12,13,14,15,16,17,18,19,
即男生的人数可以是:12,13,14,15,16,17,18,19,
所以选项ABD错误,选项C正确.
故选:C.
7．答案：D
解析：回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；
当时，x增加1个单位时，y平均减少2个单位，故C错误；若回归直线的斜率，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确.
8．答案：A
解析：当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小，
故，因此线性相关最强的是A,
故选：A
9．答案：ABC
解析：由，，代入中有：，故A正确；
由线性回归系数，所以y与x正相关，故B正确；
由样本点不全在线性回归方程上，则y与x的样本相关系数一定小于1，故C正确，
将代入线性回归方程中得：，故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确，
10．答案：AD
解析：根据列联表，计算，
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为药物有效，A正确；
能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药物有效，B错误；
不能在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为药物有效，C错误；
不能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为药物有效，D正确，
故选：AD.
11．答案：ACD
解析：对于A，由知售价每增加1元/千克，则日销售量平均减少12.5千克，A正确；
对于B，若售价为10元/千克，则日销售量可能是175千克，B错误；
对于C，若日销售量为200千克，则，所以售价预计不高于8元/千克，C正确；
对于D，若，则，，故当日苹果销售收入约为1800元，D正确.
故选ACD
12．答案：甲
解析：因为,所以这四人中,甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高.故答案为:甲.
13．答案：30
解析：由车间加工零件的数量与加工时间的统计数据表，可得,，
因为线性回归方程一定经过点，可得，
解得.
故答案为：30.
14．答案：5
解析：
,
将代入计算得到,,解得.
故答案为:5.
15．答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
解析：（1）不喜欢“速度与激情10”的结局的观众人数为，
完善表格中的数据如下所示：
男性观众 女性观众 总计
喜欢“速度与激情10”的结局 400 300 700
不喜欢“速度与激情10”的结局 100 200 300
总计 500 500 1000
（2），即
故有99.9%的把握认为观众对电影“速度与激情10”结局的满意程度与性别具有相关性.
16．答案：（1）；
（2）6.8万元.
解析：（1），
，
所以，
，
，
所以回归直线方程为：；
（2）因为2022年对应的年份为9，当时，
即该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为6.8万元.
17．答案：（1），说明与的线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合与的关系
（2）12.8万件
解析：（1）由题条件得，
．
，
，
．
y与x的相关系数近似为，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），，
y关于x的线性回归方程为．
当时，．
所以当产品定价为8.5元时，预测销量可达到12.8万件．
18．答案：(1)16
(2)
解析：（1）记前五组数据价格、需求量的平均值分别为，，
由题设知，.
因为回归直线经过样本中心，所以，解得.
即，
所以时对应的需求量（件）.
（2）设六组数据价格、需求量的平均值分别为，，则，，，，.
所以相关系数.
19．答案：(1)有关
(2)
解析：(1)零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.
,
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
(2)由题意得抽取的8人中,男性人数为,
女性人数为.
当3人中有2名女性和1名男性时,,
当3人全部为女性时,,
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
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