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第1章 集合——2023-2024学年高一数学苏教版（2019）必修第一册单元测试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．若集合,,则( )
A. B. C. D.
3．若集合,,则( )
A. B. C. D.
4．若，则a的可能取值有( )
A.0 B.0，1 C.0，3 D.0，1，3
5．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
6．已知集合，若，则M中所有元素之和为( )
A.3 B.1 C. D.
7．已知集合,则( )
A. B. C. D.
8．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围可以是( )
A. B. C. D.
10．满足的集合A可能是( ).
A. B. C. D.
11．已知元素为实数的集合A满足条件：若，则.若且，则下列元素中一定属于A的元素是( ).
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知集合，，，则___________.
13．某大学开设了a，b，c三门选修课程，某专业的50个学生每人至少需要选择其中一门课程，部分选择的情况如表：
课程 选择的学生人数 课程 选择的学生人数
a 28 a与b 11
b 26 a与c 12
c 26 b与c 13
则该专业三门课程都选择的学生人数为____________.
14．集合（，），定义为A的长度，已知数集，全集，若，则P的长度的最大值是__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．定义：若对任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集.
（1）求集合的生成集B；
（2）若集合，A的生成集为B，且B的子集个数为4，求实数a的值.
16．设集合，.
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）当集合A中的时，求集合A的非空真子集的个数；
（3）若，且不存在元素x，使得与同时成立，求实数m的取值范围.
17．已知集合，.
（1）若，求实数a的取值范围.
（2）若，求实数a的取值范围.
（3）集合A与B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，请说明理由.
18．设集合.
（1）判断元素7是否属于M，并说明理由；
（2）对任意，判断是不是集合M中的元素，并证明你的结论.
19．已知集合.
（1）若A是空集，求实数a的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求集合A；
（3）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：B
解析：由题可得.故选B.
3．答案：C
解析：依题意得,则.
故选：C.
4．答案：C
解析：若，则，符合题意；若，则显然不满足集合中元素的互异性，不符合题意；若，则，符合题意.所以或均可以.故选C.
5．答案：B
解析：因为，
所以
故选：A.
6．答案：C
解析：（1）若，则，不满足集合的互异性，舍去.
（2）若，则，不满足集合的互异性，舍去.
（3）若，则，或，由（1）可知不合题意，当时，
，此时，故M中所以元素之和为.
故选：C.
7．答案：C
解析：由可得,即,
所以.
故选:C.
8．答案：D
解析：由不等式，
得，解得，
所以，
又，
所以，
故选：D.
9．答案：ABC
解析：①当时，则，即，
因为集合，，
则，又，
则或，解得或，又，所以；
②当时，则，即，此时，符合题意.
综上所述，实数m的取值范围为或.
故选：ABC.
10．答案：AB
解析：由知，，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合的子集中的元素.而有4个子集，因此满足条件的集合A有4个，它们分别是，，，.
11．答案：BC
解析：由题意知，若，则，则.同理，，则.四个数a，，，循环..
12．答案：或5
解析：因为，所以.当时，解得，则集合，，符合题意.当时，解得.①当时，集合B中的元素不符合互异性，舍去.②当时，集合，，符合题意.综上可知，或5.
13．答案：6
解析：设三门课程都选择的学生人数为x.
方法一：各部分的人数如图所示，则有，解得.
方法二：，解得.
14．答案：
解析：因为数集，，，所以，且，解得，则P的长度为，所以P的长度的最大值是.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）当时，，
当时，，
当，或，时，，
所以.
（2）当时，，
当时，，
当，或，时，.
因为B的子集个数为4，所以B中有2个元素，
所以或或，
得戓（舍去）.
当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，符合题意.
所以或.
16．答案：（1）
（2）254
（3）
解析：（1）当，即时，，满足.
当，即时，要使，
只需即.
综上，实数m的取值范围是.
（2）当时，，
所以集合A的非空真子集的个数为.
（3）由，得，即.
又不存在元素x，使得与同时成立，
所以或，即或.
所以实数m的取值范围是.
17．答案：（1）
（2）
（3）集合A与B不可能相等.理由见解析
解析：（1）由题意，得.
因为，所以.
因为，所以解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）当，即，即时，满足；
当，即时，若，则无解.
综上，实数a的取值范围是.
（3）方法一：集合A与B不可能相等.理由如下：
若，则有无解，
故集合A与B不可能相等.
方法二：集合A与B不可能相等.理由如下：
若，则且.由（1）（2），得不存在实数a使得与同时成立，故集合A与集合B不可能相等.
18．答案：（1），理由见解析
（2），证明见解析
解析：（1）若，则，又，
所以或或或
解得或或或满足要求，所以.
（2），证明如下：
由，令其中，
所以，
又，，所以.
19．答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）若A是空集，则方程无实数解，
此时，且，
解得，即实数a的取值范围是.
（2）因为集合A是方程的解集，
所以当时，，符合题意；
当时，方程应有两个相等的实数根，
则，解得，此时，符合题意.
综上所述，或.
（3）由（2）可知，当时，，符合题意；
当时，要使方程有实数根，
则，得且.
综上所述，实数a的取值范围是.
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