资源简介

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12.4 综合与实践 一次函数模型的应用 导学案
（一）学习目标：
1.结合实际问题建立一次函数模型，知道函数建模的一般步骤和方法.
2.应用函数模型解决简单的实际问题.
（二）学习重难点：
重点:结合实际问题建立一次函数模型，知道函数建模的一般步骤和方法.
难点:应用函数模型解决简单的实际问题.
阅读课本，识记知识：
1.一次函数模型的应用
（1）利用函数解决实际问题的基本模式
（2）建立函数模型的一般步骤
获取数据; 列表、描点; 观察、猜想; 求出函数表达式; 检验给出答案.
2.选择方案
（1）选择方案
选择方案是指某一问题中,符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，觶选出最佳方案。涉及的问题类型常有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等。需要建立函数模型，运用方程(组)或不等式的知识进行求解.
2.用一次函数选择方案的一般步骤
（1）“析”:分析题意，弄清数量关系.
（2）“列”：列出函数表达式。 不等式或方程(组).
（3）“求”：求出 自变量展不同值时对应的函数值的大小，或函数的最大最小值.
（4）“选”：结合实际雷要选择最佳方案。
注意:在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围。尤其要看它是不是某些特殊解(如正整数解)。
【例1】如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系．若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为．则当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用，设，用待定系数法求解析式，再令，求出x．
【详解】∵秤砣到秤纽的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系
∴设一次函数表达式为，
∵若不挂重物时，秤砣到秤纽的水平距离为，挂物体时，秤砣到秤纽的水平距离为
∴当时，；当时，；
∴，解得
∴一次函数表达式为，
当时，
解得，
即当秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为
故选：B．
【例2】 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为，故①正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为，
把代入可求得，
∴，
把代入，可得：，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为，
把和代入可得
，
解得，
∴，
令可得：，解得，
即甲、乙两直线的交点横坐标为，
乙的速度：，
乙的时间：，
甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②正确；
甲、乙两直线的交点横坐标为，此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③错误；
令，可得，即，
当时，可解得，
当时，可解得，
又当时，，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距40千米，故④不正确；
故选：B．
选择题
1.在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2.我们把a、b中较小的数记作，设关于x的函数，则下列关于函数的叙述正确的是（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值0 D．有最小值
3.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次,若购买会员年卡,可享受如下优惠:
会员年卡类型 办卡费用(元) 每次游泳收费(元)
A类 50 25
B类 200 20
C类 400 15
例如,购买A类会员年卡,一年内游泳20次,消费50+25×20=550元,若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40和50之间(包含40和50),则最省钱的方式为(　　)
A.购买A类会员年卡 B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡 D.不购买会员年卡
4.已知腰围的长度“”与裤子的尺寸“英寸”之间存在一种换算关系如下：
腰围/cm
尺码/英寸
小聪量了一下自己所穿裈子的腰围是，那么他的裤子尺码是( )
A．30英寸 B．28英寸 C．27英寸 D．26英寸
5.张叔叔有一辆以电能作为动力来源的新能源汽车，剩余电量的电量百分比与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗电量相同，当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为（ ）
A． B． C． D．
6.如图，“漏壶”是一种古代计时器，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用表示漏水时间，表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示与的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）（ ）．
A． B．
C． D．
7.某品牌鞋子的长度与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若23码鞋子的长度为，44码鞋子的长度为，则38码鞋子的长度为（ ）
A． B． C． D．
8.小冬和小天沿同一条笔直的公路相向而行，小冬从甲地前往乙地，小天从乙地前往甲地，两人同时发出，当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带，立刻掉头提速返回甲地，用时4分钟，拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地（掉头和拿物品的时间忽略不计），小天始终以一个速度保持行驶，二人相距的路程y（米）与小冬出发时间x（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同；
B．小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟；
C．小天出发分钟两人相遇；
D．小冬最终达到乙地的时间是20分钟．
9.已知，如图，直线：，分别交平面直角坐标系于，两点，直线与坐标轴交于，两点，两直线交于点；点是轴上一动点，连接，将沿翻折，点对应点刚好落在轴负半轴上，则所在直线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
10.如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，以为边作等边三边形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线于点，以为边长作等边三角形，…，则点的横坐标是（　　）
A． B． C． D．
填空题
11． 某市新能源出租车的收费标准如下：3千米以内（包括3千米）收费12元，超过3千米后，每超1千米就加收元．若某人乘出租车行驶的距离为x（）千米，则需付费用y与行驶距离x之间的函数关系式是 ．
12.已知：平面内点、、，直线将分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
13．小李想选择一种新的话费套餐.获悉某通信公司新开发了甲、乙两种手机话费套餐,其每月通话费用与通话时间之间的关系如图所示.若平时小李每月的通话时间大约在120分钟,则小李选择　　　　种套餐更合适.
14．在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，点是x轴正半轴上的一个动点，若内部（不包括边界）的整点个数为6，则b的取值范围是 ．
15．现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池中．如图，这是甲、乙两个蓄水池中水的高度（米）随注水时间（小时）变化的图象．当甲、乙两蓄水池中水的高度相同时，注水的时间是 小时．
三、解答题
16．某服装店准备购进甲、乙两种服装出售,甲种服装每件售价120元,乙种服装每件售价90元.每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元,购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等,现计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件.
(1)甲种服装每件的进价为　　　　元,乙种服装每件的进价为　　　　元;
(2)若购进这100件服装的费用不得超过7 500元.
①求甲种服装最多购进多少件;
②该服装店对甲种服装每件降价a(017.为提高学生的身体素质,某市某学校积极开展“阳光体育运动”.引导学生走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加体育锻炼.为满足学生需求,保障“阳光体育运动”的开展,让更多的学生以更大的兴趣、更多的时间积极投入到运动之中.学校现计划从某体育用品专卖店购进足球和篮球共100个,足球的售价为每个80元.购买篮球所需费用y(元)与购买数量x(个)之间存在如图所示的函数关系.
(1)直接写出当0≤x≤40和x>40时,y与x之间的函数关系式;
(2)若在购买计划中,篮球的数量不超过60个,但不少于35个,则学校如何分配篮球和足球的购买数量,可使得购买总费用最低 并求出最低费用.
18.现有两段长度相等的路面需要摊铺，分别交给甲乙两队完成．甲队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示；乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数解析式是．结合图象提供的信息，回答下列问题：

(1)甲队摊铺的路面总长是________米；
(2)在图中画出乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象；
(3)当甲队的工作效率发生变化的这个时刻，乙队摊铺路面的长度是________米；
(4)甲队的平均工作效率是每小时________米．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式．设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为，然后根据题意，代入求解即可．
【详解】解：设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为，
由题意得，解得，
所以该一次函数解析式为．
故选：D．
2.【答案】B
【分析】本题考查的是一次函数的性质，新定义运算的含义，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；先求解当，或，设，，分别画出函数的简图，再分类讨论即可．
【详解】解：设，，如图，
当，
解得：或，
当时，，
∴，
此时没有最大值，也没有最小值，
当时，，
∴，
此时当时，有最大值，最小值；
当时，，
∴，
此时没有最大值，也没有最小值，
综上：可得A，C，D不符合题意，B符合题意；
故选B
【答案】　C　
【分析】设一年内在该游泳馆游泳的次数为x,购买A类、B类、C类会员年卡,不购买会员年卡消费的钱数分别为yA元,yB元,yC元,yD元,
根据题意得yA=50+25x,yB=200+20x,yC=400+15x,yD=30x,
当40≤x≤50时,1 050≤yA≤1 300,1 000≤yB≤1 200,1 000≤yC≤1 150,1 200≤yD≤1 500.
由此可见,C类会员年卡消费最低,所以最省钱的方式为购买C类会员年卡.故选C.
4.【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，依据题意，设腰围的长度“”与裤子的尺寸“英寸”之间存在一种换算关系为，从而列出方程组，解得，，再令，最后即可得解．
【详解】解：由题意，设腰围的长度“”与裤子的尺寸“英寸”之间存在一种换算关系为，
∴．
∴．
∴腰围的长度“”与裤子的尺寸“英寸”之间存在一种换算关系为．
将代入，，也符合该解析式；
当腰围为，即时，有．
．
故选：D．
5．【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求出y关于x的函数关系式为，再代入求出对应的x的值即可得到答案．
【详解】解：设y关于x的函数关系式为，
把，代入中得：，
∴，
∴y关于x的函数关系式为，
当时，则，
解得，
∴当所剩电量百分比为时，该车已行驶的路程为，
故选B．
6．【答案】B
【分析】本题主要考查一次函数的函数图象与实际应用，解答本题的关键在于充分理解题意，根据函数图像的性质结合实际意义，即可得出结论．
【详解】解：由题意得，
刚开始时，壶内有一定量的水，
∴，
当壶内水开始漏水时，由于壶口大小不变，漏水的速度也不变，
∴壶底到水面的高度也是匀速减小，
∴高度与时间的函数关系是一条逐渐减小的一次函数，
∴B图象符合题意．
故选：B．
7．【答案】B
【分析】本题考查一次函数的应用．设，分别将和代入求出一次函数解析式，把代入即可求解．
【详解】解：设，分别将和代入可得：
，
解得，
∴，
当时，，
故选：B．
8．【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想．
由图象可知前5分钟，两人共行驶了米，故两人速度和为米/分钟，再根据小东提速返回的路程，小天用4分钟的时间，可知小天的速度是小东的倍，即可算出两人开始的速度；然后根据总路程和小东继续去乙地的速度，分别求出小天和小东用的相遇时间即可；小东在加上开始5分钟和返回4分钟即总时间，逐一判断即可．
【详解】A．当行驶5分钟时小冬发现重要物品忘带发现重要物品没带，立刻掉头提速返回甲地甲地，此时由图轴可知，小东和小天相距的路程不变，
所以小冬返回甲地的速度与小天行驶速度相同，
此选项不符合题意
B．小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变
小东提速前5分钟的路程，相当于小天只需4分钟就可走完，
小天速度是小东提速前的速度的倍
设小东原速度为v米/分钟,则提速后为米/分钟，小天的速度为米/分钟，则
小冬和小天出发时的速度分别为160米/分钟和200米/分钟，
故此选项不符合题意；
C．两人同时发出，当行驶5分钟到达B点 ，小东掉头提速返回甲地，用时4分钟，且小东和小天相距的路程不变，
此时两人相距2200米，
拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，
小东提速后速度为200米/分钟，两人继续行驶分钟相遇，
小天一共行驶了分钟
故此选项不符合题意；
D．小东行驶时间为开始5分钟，返回甲地4分钟，重新返回乙地分钟，
小冬最终达到乙地的时间是29分钟，
故此选项不符合题意．
故选：D
9．【答案】A
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．把代入得，即得，当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，由知，，设，则，在中，有，用待定系数法即得直线解析式．
【详解】解：把代入得：
，
解得，
，
把代入得：
，
解得，
直线为，
当的对应点在轴负半轴时，过作轴于，如图：
在中，令得，
，，
，
，，，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得，
，
设直线解析式为，把代入得：
，
解得，
直线解析式为．
故选：A．
10．【答案】A
【分析】本题考查了一次函数的解析式及其性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标中规律探究，先利用解析式确定，从而确定等边三边形的边长为1，过点作轴于点，根据勾股定理确定即的横坐标为；结合平行于轴，得，确定，，过点作于点，根据勾股定理确定即的横坐标为；猜想规律计算即可．
【详解】∵与轴交于点，
∴，
解得，
∴，
∴等边三边形的边长为1，
过点作轴于点，
根据勾股定理，得，
∴即的横坐标为；
∵平行于轴，
∴，
解得，
∴，，
∴等边三边形的边长为2，
过点作于点，
根据勾股定理，得，
∴即的横坐标为；
由此猜想其规律为的横坐标为，
故选：A．
11.【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，先判断行驶的距离是3千米还是3千米以上，再根据题意列出解析式化简即可．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为：．
12. 【答案】2
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形中线性质，确定一次函数图象过定点是解题关键．设点C为线段的中点，则点C的坐标为，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线过三角形的顶点，结合直线将分成面积相等的的两部分，可得出直线过点，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．
【详解】解：设点C为线段的中点，，则点C的坐标为，如图所示．
∵，
∴当时，，
∴直线过三角形的顶点．
∵直线将分成面积相等的的两部分，
∴直线过点，
∴，
∴．
故答案为：2．
13．【答案】　乙
【解析】　设甲种手机话费套餐对应的函数解析式为y=kx(k≠0),
则100k=40,
解得k=0.4,
故甲种手机话费套餐对应的函数解析式为y=0.4x,
设乙种手机话费套餐对应的函数解析式为y=ax+20(a≠0),
则100a+20=40,
解得a=0.2,
故乙种手机话费套餐对应的函数解析式为y=0.2x+20,
当x=120时,y甲=0.4×120=48,y乙=0.2×120+20=44,
∵48>44,
∴小李选择乙种套餐更合适.
故答案为乙.
14．【答案】
【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，直线与x轴的交点．根据整点定义进行分类讨论是解题的关键．
如图，当经过点的直线过点时，直线即坐标轴围成的三角形内部的整点有6个，待定系数法求此时的直线解析式为，时，，可得；当经过点的直线过点时，直线即坐标轴围成的三角形内部的整点有4个，同理可求，此时的直线的解析式为，当时，，可得；然后结合图象作答即可．
【详解】解：如图，
当经过点的直线过点时，直线即坐标轴围成的三角形内部的整点有6个，
设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，，
∴，
当时，，
解得，，
当经过点的直线过点时，直线即坐标轴围成的三角形内部的整点有4个，
同理可求，此时的直线的解析式为，
当时，，
解得，；
∴由图象可知，内部（不包括边界）的整点个数为6，b的取值范围是，
故答案为： ．
15．【答案】/
【分析】本题考查了一次函数的实际应用．先利用待定系数法求出两个蓄水池的函数解析式，再联立求出交点横坐标即可得．
【详解】解：设甲蓄水池的函数解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则甲蓄水池的函数解析式为，
设乙蓄水池的函数解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则乙蓄水池的函数解析式为，
联立得，
解得，
即当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为小时，
故答案为：．
16．【解析】(1)设乙种服装每件的进价为x元,则甲种服装每件的进价为(x+20)元,根据题意得3(x+20)=4x,解得x=60,∴x+20=80.
故甲种服装每件的进价为80元,乙种服装每件的进价为60元.
(2)①设计划购进y件甲种服装,则购进(100-y)件乙种服装,
根据题意得
解得65≤y≤75,
∴甲种服装最多购进75件.
②设总利润为w元,则w=(120-80-a)y+(90-60)(100-y)=(10-a)y+3 000,且65≤y≤75.
(i)当00,w随y的增大而增大,则当y=75时,w有最大值,故购进甲种服装75件,乙种服装25件才能获得最大利润;
(ii)当a=10时,所有进货方案获利相同;
(iii)当1017.【解析】　(1)设当0≤x≤40时,y与x的函数关系式为y=kx(k≠0),
则4 000=40k,解得k=100,
故当0≤x≤40时,y与x的函数关系式为y=100x,
设当x≥40时,y与x的函数关系式为y=ax+b(a≠0),
则解得
故当x≥40时,y与x的函数关系式为y=70x+1 200.
综上可得,y与x的函数关系式为y=
(2)设学校购买足球和篮球的总费用为w元,
由题意知35≤x≤60,
当35≤x≤40时,w=80(100-x)+100x=20x+8 000.
因为20>0,所以w随x的增大而增大,
因此,当x=35时,w取得最小值,此时w=8 700.
当40因为-10<0,所以w随x的增大而减小,
因此,当x=60时,w取得最小值,此时w=8 600.
因为8 700>8 600,
所以当x=60时,总费用最低,最低费用为8 600元.
所以100-x=100-60=40.
答:当学校购买篮球60个,足球40个时,可使得购买总费用最低,最低费用为8 600元.
18．【答案】(1)100
(2)见解析
(3)50
(4)
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由函数图象即可得出答案；
（2）根据乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数解析式是画出图象即可；
（3）由图可得，当时，甲队的工作效率发生变化，将代入进行计算即可得出答案；
（4）由图可得：甲队摊铺的路面总长是米，所花费的时间为小时，由此进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是米，
故答案为：；
（2）解：画出乙队摊铺路面的长度（米）与摊铺时间（小时）的函数关系的图象如图所示：
（3）解：由图可得，当时，甲队的工作效率发生变化，
此时乙队摊铺路面的长度是（米），
故答案为：；
（4）解：由图可得：甲队摊铺的路面总长是米，所花费的时间为小时，
故甲队的平均工作效率是每小时（米），
故答案为：．
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