资源简介

等比数列
一、等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
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首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列与单调性
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
二、等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
三、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）若项数为，则，若项数为，则．
（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
考点01等比数列基本量的运算
【例1】已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为
（ ）
A． B． C． D．
【例2】在正项等比数列中，若，则数列的公比为
【变式1-1】设等比数列的前项和为，则（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【变式1-2】已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为
【变式1-3】已知等比数列的前项和为，若，公比.
(1)求数列的通项公式；
(2)求前项和：；
考点02等比数列的判定与证明
【例3】已知数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【例4】已知数列的前项和为，满足．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列，求数列的前项和
【变式2-1】已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【变式2-2】正项数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【变式2-3】记为数列的前n项和，已知，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
考点03等比数列项的性质
【例5】已知数列为等比数列， ，则 （ ）
A． B．
C．2 D．
【例6】已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ．
【变式3-1】已知等比数列满足，则的最小值是 ．
【变式3-2】若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（ ）
A． B．1011
C． D．1012
【变式3-3】已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式．
考点04等比数列和的性质
【例7】在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【例8】等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ .
【变式4-1】已知等比数列的公比，且，则 .
【变式4-2】（多选）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（ ）.
A．若为等差数列，则一定是等差数列
B．若为等比数列，则一定是等比数列
C．若，则一定是等比数列
D．若，则一定是等比数列
【变式4-3】在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A． B．60 C．80 D．160
考点05数列中的数学文化
【例9】《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【例10】著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则 ， ．

【变式5-1】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．23 B． C． D．33
【变式5-2】分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【变式5-3】剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．
考点06等比数列的函数特性
【例11】已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
【例12】数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【变式6-1】（多选）设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与均为的最大值
【变式6-2】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件
，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【变式6-3】已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 .
考点07等差数列与等比数列的综合应用
【例13】已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【例14】设数列的前项的和为.
(1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求；
(2)若，求证：.
【变式7-1】在如图所示的表格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则所填数字之积的值为 .
1 a 4
b 6 d
c e 20
【变式7-2】已知公比大于1的等比数列满足：，且是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【变式7-3】已知等比数列公比为2，数列满足，若数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数，如不存在，请说明理由.
易错01忽视奇数项符号相同、偶数项符号相同
注意：等比数列中，项的符号规律是: 全正、全负、正负相间
1．实数 ，，，，等比数列，则xyt等于（ ）
A．-4 B．1 C．8 D．-8
2．数列满足：首项，，则下列说法正确的
（ ）
A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
易错02利用前n项和公式时忽视分类讨论致错
注意：等比数列求和公式分两种情况，在解题过程中容易忽略
1．已知数列的前项和为．
（1）若为等差数列，且公差，，，求和；
（2）若为等比数列，且，，求和公比．
2．数列是首项的等比数列，且成等差数列，求数列的通项公式.
一、单选题
1．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比
（ ）.
A．1 B．2. C．3 D．5
2．已知等比数列的前项积为，公比，则取最大值时的值为（ ）
A．3 B．6 C．4或5 D．5或6
3．数列满足，则数列的前8项和为（ ）.
A．63 B．127 C．255 D．256
4．设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64 B．72 C．80 D．92
5．设为数列的前项和，，则“”
“数列
以为公比的等比数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知实数成等比数列，集合，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列的前项和为，则（ ）
A．若为等差数列，且，则
B．若为等差数列，且，则
C．若为等比数列，且，则
D．若为等比数列，且，则
8．已知数列满足.
①；②
等差数列；③
等比数列；④数列前项和为.
上述语句正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、多选题
9．已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．等比数列的公比为，则下列说法正确的
（ ）
A．为等差数列 B．若且，则递增
C．为等比数列 D．为等比数列
11．设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的
（ ）
A． B．
C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数
4046
三、填空题
12．已知等比数列的首项，其前项和为，若，则 ．
13．若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”.若各项均为正数的等比数列
一个“2026积数列”，且，则当其前项的乘积取得最大值时，的值为 .
14．已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知等比数列的各项皆为正数，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的值.
16．已知数列，中，，，
公差为1的等差数列，数列
公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
17．设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前项和．若，求的值．
18．设，若数列的前项和为，且
与的等差中项；
(1)求数列的通项公式；
(2)若
以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
19．已知数列
单调递增的等差数列，数列为等比数列，且
和的等差中项，
和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．等比数列
一、等比数列
1．等比数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．
注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；
（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.
2．等比中项
如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时．
3．等比数列的通项公式及其变形
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
首项为，公比为的等比数列的通项公式是．
等比数列通项公式的变形：．
4．等比数列与单调性
当或时，是递增数列；
当或时，是递减数列；
当时，为常数列；
当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．
二、等比数列的前n项和公式
首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为
三、等比数列及其前n项和的性质
若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：
（1）若，则；若，则．
推广：若，则．
（2）若成等差数列，则成等比数列．
（3）若项数为，则，若项数为，则．
（4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零．
考点01等比数列基本量的运算
【例1】已知为等比数列，若，且与之和的算术平方根为5，则的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】为等比数列，若，则，则.
又与之和的算术平方根为5，得到，则，则.
则，则.，
.
故选：A.
【例2】在正项等比数列中，若，则数列的公比为
【答案】
【详解】设正项等比数列的公比为，
因为，则，
所以，
数列的公比为.
故答案为：.
【变式1-1】设等比数列的前项和为，则（ ）
A．1 B．4 C．8 D．25
【答案】A
【详解】因为，，所以，
因为是等比数列，所以成等比数列，
所以，解得或（舍，若成立则不满足上面三项成等比数列），故A正确.
故选：A.
【变式1-2】已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为
【答案】/
【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，
由，得到，得到，解得，
所以，得到，所以
故，
易知当时，，当时，，
故的最小值为，
故答案为：.
【变式1-3】已知等比数列的前项和为，若，公比.
(1)求数列的通项公式；
(2)求前项和：；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，
解得，
所以.
（2）由（1）得，
所以，故数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以.
考点02等比数列的判定与证明
【例3】已知数列满足，.证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
【答案】证明见解析，
【详解】因为，所以，
则，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，
所以.
【例4】已知数列的前项和为，满足．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设数列，求数列的前项和
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）
当时，，．
当时，，，
，数列是以为首项，以为公比的等比数列．
（2）由（1）得，，即，
.
当（常数），则是首项为2,公差为1的等差数列.
则.
【变式2-1】已知数列中，，.
(1)证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为数列中，，，
所以，且，
所以是等比数列，公比为2，首项为2
（2）由(1)可得，即，
所以数列的前项和
【变式2-2】正项数列满足，.
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，所以，
所以
.
【变式2-3】记为数列的前n项和，已知，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）因为，又，所以，
整理得．
由题意得，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，即．
（2）由（1）可得．
当时，，
当时，，
所以，
，
两式相减，得
即
，
即，
综上，
考点03等比数列项的性质
【例5】已知数列为等比数列， ，则 （ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】C
【详解】因为为等比数列，则公比，
所以，又，
所以
，解得，
又，而恒成立，
所以，则，故.
故选：C.
【例6】已知数列是单调递增的等比数列，且，，则 ，数列的公差为 ．
【答案】 81
【详解】因为数列是单调递增的等比数列，即，
则，解得或（舍去），
则，解得，
所以，.
故答案为：81；.
【变式3-1】已知等比数列满足，则的最小值是 ．
【答案】27
【详解】因为数列是等比数列，则，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是27.
故答案为：27.
【变式3-2】若等比数列中的，是方程的两个根，则等于（ ）
A． B．1011
C． D．1012
【答案】C
【详解】因为等比数列中的，是方程的两个根，
所以，根据等比数列性质知，
，
因为，于是，
则
=
=.故A，B，D错误.
故选：C.
【变式3-3】已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．求数列的通项公式．
【答案】答案见解析
【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，所以公比，
因为，所以，所以．
由题易知是公比为的等比数列，所以是公比为的等比数列．
因为，所以，
所以，所以，所以．
所以当时，；
当时，．
考点04等比数列和的性质
【例7】在正项等比数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】D
【详解】由，得，
因为数列为等比数列，所以成等比数列，
所以，
所以，整理得，,
解得或，
因为等比数列的各项为正数，所以，
所以，
故选：D
【例8】等比数列的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个等比数列的公比q＝ .
【答案】/0.5
【详解】设数列共有项，
由题意得，，
则，
解得，
故答案为：
【变式4-1】已知等比数列的公比，且，则 .
【答案】120
【详解】因为在等比数列中，若项数为，则，
所以
.
故答案为：120
【变式4-2】（多选）已知数列的前项和为，下列命题正确的有（ ）.
A．若为等差数列，则一定是等差数列
B．若为等比数列，则一定是等比数列
C．若，则一定是等比数列
D．若，则一定是等比数列
【答案】AC
【详解】对于A，设等差数列的公差为，则，
则，
同理可得，
所以，所以，，仍为等差数列，故A项正确；
对于B,取数列为，1，，1，，，，不能成等比数列，故B项不正确；
对于C，由可得时，，相减可得（），
由可得，因此对任意都成立，故是等比数列，C正确，
对于D，由可得，相减可得，若，不是等比数列，故D错误．
故选：AC．
【变式4-3】在等比数列中，公比，前87项和，则（ ）
A． B．60 C．80 D．160
【答案】C
【详解】在等比数列中，由公比，
可得构成公比为的等比数列，
设，则，
因为数列的前87项和，
所以，解得，所以.
故选：C.
考点05数列中的数学文化
【例9】《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【答案】D
【详解】设第2天比前一天多织布尺，
根据题意得，解得，
所以第2天比前一天多织布尺，
故选：D．
【例10】著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着个中心带孔的圆盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作．设将个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则 ， ．

【答案】 7 /
【详解】根据题意假设木桩1上原有个圆盘，要将这个圆盘全部按要求套到木桩3上，所需的最少次数为,
则有如下操作：
先将个圆盘从木桩1套到木桩2上，所需最少次数为，
再将最大的圆盘从木桩1套到木桩3上，需要1次，
最后将木桩2上的个圆盘全部套到木桩3上，所需的最少次数为，
则,,
即,
所以是以2为首项，1为公比的等比数列，
所以,.
故答案为: .
【变式5-1】“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（ ）
A．23 B． C． D．33
【答案】B
【详解】由题意，可知所有正整数为3，8，13，18，…
即数列为5的非负整数倍加3，
故，
数列是以3为首项，5为公差的等差数列，
，
，
当且仅当，即时，等号成立，
当时，，
当时，
所以当时，取得最小值且最小值为.
故选：B.
【变式5-2】分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【答案】C
【详解】设题图②中第行白心圈的个数为，黑心圈的个数为，
依题意可得，且有，
所以是以为首项，3为公比的等比数列，
①；
又，，
故有，
∴为常数数列，且，所以是以为首项，1为公比的等比数列，
②；
由①②相加减得：
，；
所以．
故选：C．
【变式5-3】剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国古老的民间艺术之一，已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为2的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形内多余的部分（如图所示阴影部分），记为一次裁剪操作，……重复上述裁剪操作4次，最终得到该剪纸．则第4次裁剪操作结束后，所有裁剪操作中裁剪去除的面积之和为 ．
【答案】
【详解】第次剪去正方形内多余部分的面积记为；
因为的半径为2，由其内接正方形对角线为直径，所以内接正方形的边长为，
即，再作第一个内切圆，其直径为该正方形的边长，即，
所以第一次剪去部分的面积为，
同理：，， ，
，， ，
，， ，
所以前四次裁剪操作中裁剪去除部分的面积之和为：，
故答案为：.
考点06等比数列的函数特性
【例11】已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2023
【答案】A
【详解】由题意知，故，
则，即，
结合等比数列满足，公比，可知，
由，得，
即得，故，即，
由此可得，
故当最小时，，
故选：A
【例12】数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，，
若，则，
当 时，由 得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
当时，由，得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
反之，若是递增数列，则，
所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．
故选：C．
【变式6-1】（多选）设数列为正项等比数列，为公比，为前项的积，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．与均为的最大值
【答案】ABD
【详解】为正项等比数列，，，；
对于A，，，，，
，又，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，，又，，
，即，C错误；
对于D，，，
当且时，；当且时，；又，
当或时，取得最大值，即与均为的最大值，D正确.
故选：ABD.
【变式6-2】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为前项积为并满足条件，，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】AB
【详解】由可得，
由可知，，
当时，则，不成立，
故，且，故，A正确；
，故B正确；
是数列中的最大值，C，D错误.
故选：AB
【变式6-3】已知数列为等比数列，，公比，若是数列的前n项积，则取最大值时，n的值为 .
【答案】6或7
【详解】由题意可知，，数列单调递减，若最大时，
即，解得：，
所以或7.
故答案为：或
考点07等差数列与等比数列的综合应用
【例13】已知为等比数列，是它的前n项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为与的等差中项为，所以，
设等比数列的公比为，
又，得：，解得：，或，
则，或者，根据答案，只能选C.
故选：C.
【例14】设数列的前项的和为.
(1)若是公差为的等差数列，且成等比数列，求；
(2)若，求证：.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知，故，
解得，所以或.
（2）因为①，所以②，
所以由②①得，，
所以时，，
所以由得，
所以，
显然也符合上式，所以，
所以.
【变式7-1】在如图所示的表格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则所填数字之积的值为 .
1 a 4
b 6 d
c e 20
【答案】3600
【详解】因为每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，
由成等比数列，得，所以或，由成等差数列，得到，
由成等比数列，得到所以，由成等差数列，得到，解得，
又由成等比数列，得到，即或，
由成等差数列知，当时，，时，，
所以,
故答案为：.
【变式7-2】已知公比大于1的等比数列满足：，且是和的等差中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设等比数列的公比为，
因为是和的等差中项，
所以，又，
代入得，即，
所以，即，
解得或，
又因为数列是的等比数列，
所以．
（2）由（1）知,
①，
②，
得,
.
【变式7-3】已知等比数列公比为2，数列满足，若数列的前项和为.
(1)求数列和的通项公式；
(2)是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，请求出所有满足条件的正整数，如不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，或
【详解】（1）由题意，当时，，
又，，
数列公比为2的等比数列，.
数列的前项和为，
当时，，
又，，当时，符合上式，
.
综上，.
（2）的通项公式为，
，
若成等差数列，
则，即，
解得，
为正整数，且，
为正整数，则或18，
当时，则；
当，则，符合要求，
综上，存在正整数，当或时，成等差数列.
易错01忽视奇数项符号相同、偶数项符号相同
注意：等比数列中，项的符号规律是: 全正、全负、正负相间
1．实数 ，，，，等比数列，则xyt等于（ ）
A．-4 B．1 C．8 D．-8
【答案】D
【详解】设，，，，，
由等比数列知，
，
因为，所以，
所以，
故选：
【点睛】本题主要考查了等比数列的定义、通项和性质，属于基础题.
2．数列满足：首项，，则下列说法正确的
（ ）
A．该数列的奇数项成等比数列，偶数项成等差数列
B．该数列的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列
C．该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
D．该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列
【答案】D
【详解】已知数列满足，
则，，，，，
对于A，，即，所以该数列的奇数项成等比数列不成立，
，即，所以该数列的偶数项成等差数列不成立，A选项错误；
对于B，，即，所以该数列的奇数项成等差数列不成立，
，即，所以该数列的偶数项成等比数列不成立，B选项错误；
对于C，，，
，所以该数列的奇数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列不成立，C选项错误；
对于D，令，
由可得，
所以，所以即
公比为2的等比数列，
则该数列的偶数项分别加4后构成一个公比为2的等比数列，D选项正确；
故选：D.
易错02利用前n项和公式时忽视分类讨论致错
注意：等比数列求和公式分两种情况，在解题过程中容易忽略
1．已知数列的前项和为．
（1）若为等差数列，且公差，，，求和；
（2）若为等比数列，且，，求和公比．
【答案】（1），；（2）或.
【解析】（1）根据题意可得出关于的方程，求出的值，再由可求得的值；
（2）由题意可得出和的方程组，由此可解得和的值.
【详解】（1）由题意可得，
即，，解得，；
（2）由题意可知且，由，可得，解得或.
2．数列是首项的等比数列，且成等差数列，求数列的通项公式.
【答案】
【详解】设等比数列的公比为（）
若，则，不成等差数列，不符合题意
所以，
依题意， 即，
解得，
一、单选题
1．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比
（ ）.
A．1 B．2. C．3 D．5
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得，
整理得，则，所以的公比.
故选：C
2．已知等比数列的前项积为，公比，则取最大值时的值为（ ）
A．3 B．6 C．4或5 D．5或6
【答案】D
【详解】等比数列的前项积为，公比，
则，
故取最大值时的值为5或6，
故选:D.
3．数列满足，则数列的前8项和为（ ）.
A．63 B．127 C．255 D．256
【答案】C
【详解】由，得，
因此数列
首项为1，公比为2的等比数列，
数列的前8项和为.
故选：C
4．设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（ ）
A．64 B．72 C．80 D．92
【答案】C
【详解】设
该等比数列的前项和，依题意可知，
则成等比数列，即成等比数列，
则，解得．
故选：C.
5．设为数列的前项和，，则“”
“数列
以为公比的等比数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由，若，等式显然成立，
但
数列的通项和前项和都没有规定，故得不出“数列
以1为公比的等比数列”的结论，
即“”不
“数列
以为公比的等比数列”的充分条件；
而由“数列
以为公比的等比数列”可知，若，则显然成立，
当时，有成立，即必有成立，
故“”
“数列
以为公比的等比数列”的必要条件.
故选：C.
6．已知实数成等比数列，集合，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，要使最小，则，，都
负数，则和选择1和4，
设等比数列的公比为，
当时，，所以，所以，所以；
当时，，所以，所以，所以；
综上，的最小值为.
故选：D.
7．已知数列的前项和为，则（ ）
A．若为等差数列，且，则
B．若为等差数列，且，则
C．若为等比数列，且，则
D．若为等比数列，且，则
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，
对于A，若为等差数列，且，
则，，
，无法判断符号，A错误；
对于B，若，
，则，
，则，则，B错误；
设等比数列的公比为，
对于C，若为等比数列，且，
若时，则，故C错误；
对于D，若为等比数列，且，
当时，则，
当时，则；
若时，；
若时，；
若时，；D正确.
故选：D.
8．已知数列满足.
①；②
等差数列；③
等比数列；④数列前项和为.
上述语句正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【详解】对于①，
，故①正确；
对于②，令，由①知，，
，
所以，
公比为2的等比数列，即
公比为2的等比数列，故不
等差数列，故②错误；
对于③，令，
由①知，，所以，
，
所以
等比数列，即
等比数列，故③正确；
对于④，由②知，，，
数列前项和为数列前n项的和与数列前n项的和的和，即所求和为.
又，
，
所以，故④正确；
故选：D.
二、多选题
9．已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
若，
则，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10．等比数列的公比为，则下列说法正确的
（ ）
A．为等差数列 B．若且，则递增
C．为等比数列 D．为等比数列
【答案】ABD
【详解】由数列为等比数列，则，则
A选项：，，
则为定值，所以数列为等差数列，A选项正确；
B选项：由，，则，
所以当时，，数列单调递增；
当时，，数列单调递增；所以B选项正确；
C选项：当时，，
此时不
等比数列，C选项错误；
D选项：当时，，
又为定值，
所以数列为等比数列，D选项正确；
故选：ABD.
11．设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的
（ ）
A． B．
C．当时，取最大值 D．使成立的最大自然数
4046
【答案】ACD
【详解】A选项，，，故或，
当时，由可知，
所以，但，互相矛盾，舍去，
当时，又，所以，
故满足要求，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，因为，，
故当时，取最大值，C正确；
D选项，由于，故当时，
，
，
，
使成立的最大自然数
4046，D正确.
故选：ACD
三、填空题
12．已知等比数列的首项，其前项和为，若，则 ．
【答案】8
【详解】因为，所以，即，故．
故答案为：8.
13．若一个数列的第项等于这个数列的前项的乘积，则称该数列为“积数列”.若各项均为正数的等比数列
一个“2026积数列”，且，则当其前项的乘积取得最大值时，的值为 .
【答案】1012或1013
【详解】由题可知在等比数列中，，故.
设数列的公比为，因为数列
各项均为正数的等比数列，且，
，所以，所以且.
故当数列的前项的乘积取得最大值时，的值为1012或1013.
故答案为：1012或1013
14．已知数列满足，，，单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
又因为单调递增，所以，
所以数列
以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以即，
则的取值范围为，
故答案为：.
四、解答题
15．已知等比数列的各项皆为正数，且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)4750
【详解】（1）因为数列为全为正数的等比数列，且
则有因此
所以
所以
（2）
=4750
16．已知数列，中，，，
公差为1的等差数列，数列
公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，可得，
故，，
数列
公比为2的等比数列，且，
，
，．
（2）由题意及（1），可得，
则
．
17．设等比数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)记为数列的前项和．若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，
根据题意，有，解得，
所以．
（2）令，
所以，
根据，可得，
整理得，因为，所以．
18．设，若数列的前项和为，且
与的等差中项；
(1)求数列的通项公式；
(2)若
以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
与的等差中项，可得，
当时，可得，解得，
当时，由，可得，
两式相减可得，
即为，
可得数列
首项和公比均为的等比数列，
所以；
（2）若
以为首项，为公差的等差数列，
则，
可得，
数列的前项和，
，
两式相减可得
，
化简可得．
19．已知数列
单调递增的等差数列，数列为等比数列，且
和的等差中项，
和的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)若为数列的前项和，求证：．
【答案】(1)，．
(2)证明见解析
【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，
由已知可得，
消去得：，解得或，
因为等差数列单调递增，所以，
于
，，
，．
（2）由得：
，①
，②
①②得：
，
于
，
又单调递增．
综上所述：．

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