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靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷
（时间：120分钟，满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 某电动摩托车制造企业为了解其新研发的一款电动摩托车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了10000个样本，根据统计这款新型电动摩托车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于70公里的电动摩托车大约有（ ）
A. 10辆 B. 100辆 C. 180辆 D. 900辆
3. 已知事件和相互独立，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 元末明初诗人高启在他的《田园书事》中这样描述谷雨时节：叶过谷雨花犹在，衣近梅天润易生.谷雨时节，已知甲 乙两地每天下雨的概率分别为和，且两地同时下雨的概率为.则在甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知离散型随机变量和满足关系式，且随机变量的概率分布表如下：
0 1 3
若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（ ）
A. 48种 B. 72种 C. 90种 D. 108种
7. 在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（ ）
A. B. C. D.
8. 设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为.已知，，则正整数的最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 12 D. 13
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，则下列说法一定正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若，则
10. 某届国际羽联世界锦标赛单打决赛在甲 乙两人之间进行，比赛采用五局三胜制.按以往比赛经验，每一局甲获胜的概率为，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率
B. 当时，打三局结束比赛的概率最大
C. 当时，打四局结束比赛的概率大于打五局结束比赛的概率
D. 当时，打三局结束比赛的概率最大
11. 在棱长均为1三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（ ）
A. 当点为三角形重心时，
B. 当时，最小值为
C. 当点在平面内时，的最大值为2
D. 当时，点到距离的最小值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则__________.
13. 小明想邀请8位朋友中的5位参加自己的生日宴会，其中甲 乙不能同时邀请，甲 丙要么都邀请，要么都不邀请，则不同的邀请方法种数为__________.
14. 已知集合，记集合的元素个数为.当时，__________（用数字表示）；当（且）时，__________.（用含有的式子表示）.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解.
条件①：；条件②：.
问题：已知，若__________.
（1）求实数的值；
（2）求的值.
16. 某校书法社共有社团成员12人，其中男社团成员7人，女社团成员5人，现从中选举产生1名社长和2名副社长.
（1）若至多有1名男社团成员当选，求不同的当选方法总数；
（2）若至少有1名男社团成员当选，求不同的当选方法总数；
（3）若既要有男社团成员当选，又要有女社团成员当选，求不同当选方法总数.
注：最后结果请以具体数字做答.
17. 已知某校篮球队共有9名队员，其中5名主力队员，4名替补队员.在某次训练中，该校篮球队教练从中随机地挑选3名队员进行投篮训练，每名队员至多投篮5次，一旦连续命中2次或者投完5次，都停止投篮.
（1）记选出的3名队员中主力队员的人数为随机变量，求的概率分布和数学期望；
（2）已知队员甲被选中参加投篮训练，假定队员甲每次投篮命中率均为，记队员甲投篮次数为随机变量，求的概率分布和数学期望.
18. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，侧棱，点分别在侧棱上，且，点为线段上的任意一点.
（1）求二面角的余弦值：
（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
19. 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲 乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为.
（1）求该玩家第一局闯关成功的概率；
（2）记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为.
（i）求和的表达式；
（ii）当时，求证：.
靖江高级中学2023-2024学年高二下学期期中考试
数学试卷 简要答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】B
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BCD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】 ①. 4 ②.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）1 （2）2
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明略

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