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第二节　常用逻辑用语
必 备 知 识
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的________条件，q是p的________条件
p是q的________条件 p q且qp
p是q的________条件 pq且q p
p是q的________条件 p q
p是q的________条件 pq且qp
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示．
3．全称量词命题与存在量词命题及其否定
有些命题中省略了量词，在进行否定时先改写为完整形式，再进行否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ________ x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) ________
【常用结论】
1．充分、必要条件与对应集合之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．
(1)若p是q的充分条件，则A B；
(2)若p是q的充分不必要条件，则A?B；
(3)若p是q的必要不充分条件，则B?A；
(4)若p是q的充要条件，则A＝B.
2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．
3．命题p与p的否定的真假性相反．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“长方形的对角线相等”是存在量词命题．(　　)
(2)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．(　　)
2．(教材改编)“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．(教材改编)(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A．任意实数的平方大于或等于0
B．对任意实数a，二次函数y＝x2＋a的图象关于y轴对称
C．存在整数x，y，使得2x＋4y＝3
D．存在一个无理数，它的立方是有理数
4．(易错)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是(　　)
A．a>b＋1　 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
5．(易错)命题“ x<1，<1”的否定是______．
第二节　常用逻辑用语
必备知识
1．充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2．全称量词　 　存在量词　
3． x∈M，p(x)　 x∈M， p(x)
夯实基础
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B.
答案：B
3．解析：A、B为真命题；C为假命题，因为2x＋4y＝2(x＋2y)必为偶数；D为真命题，如x＝，x3＝2∈Q.故选ABD.
答案：ABD
4．解析：选项A中，a>b＋1>b，所以充分性成立，但必要性不成立，所以“a＞b＋1”为“a＞b”成立的充分不必要条件．故选A.
答案：A
5．解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，否定时，既改量词，又否结论，“<1”的否定是“0≤x≤1”．
答案： x<1，0≤x≤1第三节　等式性质与不等式性质
必 备 知 识
1.比较两个实数大小的方法
关系 方法
作差法 作商法作商比较的两个数是同号的
a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a0)或>1(a，b<0)
2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a>b ________；a传递性 a>b，b>c ________；a可加性 a>b a＋c>b＋c
可乘性 a>b，c>0 ________；a>b，c<0 ________
同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向不等式可以相加，但不能相减
同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0 ________
可乘方性 a>b>0，n∈N* an>bn
可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2 >
【常用结论】
1．倒数性质：若02．若a>b>0，m>0，则<>(b－m>0)．
3．若a>b>0，m>0，则><(b－m>0)．
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)a>b>0，c>d>0 >.(　　)
2．(教材改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(　　)
A．M＞N　　 B．M≥N
C．M＜N　　 D．M≤N
3．(教材改编)设a＝＋2，b＝2＋，则a，b大小关系为________．
4．(易错)若a>b>0，cA．>0　 B．<0
C．> D．<
5．(易错)已知－1第三节　等式性质与不等式性质
必备知识
2．ba　a>c　abc　acbd
夯实基础
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，所以M＞N.故选A.
答案：A
3．解析：a2＝11＋4，b2＝11＋4，
∴a2－b2＝4()<0，∴a答案：a4．解析：A.对a>b>0，当c＝－a，d＝－b时，有c同A，故B错误；
C．由a>b>0，可得>1，由c1，则＝＝·>1.由于<0，故<，C错误；
由C选项的解析可知D正确．故选D.
答案：D
5．解析：∵－3答案：(－6，5)第四节　基本不等式
必 备 知 识
1.基本不等式也叫均值不等式
(1)基本不等式成立的条件：______________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
(3)其中________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．
　　　　　　　　　　　
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值________．(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最大值________．(简记：和定积最大)．
【常用结论】
(5)≤ ≤ (a>0，b>0)
(6)柯西不等式： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a，b，c，d∈R)当且仅当ad＝bc时等号成立
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件．(　　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈(0，)的最小值为4.(　　)
2．(教材改编)已知0A． B．
C． D．
3．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
4．(易错)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)
A．1＋　　 B．1＋
C．3　　　　 D．4
5．(易错)y＝2＋x＋(x<0)的最大值为______．
第四节　基本不等式
必备知识
1．(1)a>0，b>0　(2)a＝b　(3)
2．(1)x＝y　2　(2)x＝y　S2
夯实基础
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：因为0答案：B
3．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，
则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x) m，所以y＝x(10－x)≤[]2＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
答案：25
4．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.
答案：C
5．解析：∵x<0，∴－x>0，
∴y＝2＋x＋＝2－(－x－)，
又－x－≥2 ＝2，
∴y＝2＋x＋＝2－(－x－)≤2－2，
当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．
答案：2－2第五节　二次函数与一元二次方程、不等式
必 备 知 识
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1【常用结论】
1．分式不等式的解法
(1)>0 f(x)g(x)>0.
(2)≥0
2．绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)；|x|0)的解集为(－a，a)．
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．
3．不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
2．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－16≤0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A＝(　　)
A．[－4，1)
B．[－4，4]
C．(－∞，1)
D．R
3．(教材改编)已知关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则a＋b的值是________．
4．(易错)不等式5．(易错)要使函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，则m的取值范围为________．
第五节　二次函数与一元二次方程、不等式
必备知识
{x|xx2}
夯实基础
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：A＝[－4，4]，B＝(－∞，1)＝R.故选D.
答案：D
3．解析：若关于x的不等式x2－ax－b<0的解集是(2，3)，则2，3是方程x2－ax－b＝0的根，故a＝5，b＝－6，故a＋b＝－1.
答案：－1
4．解析：－x<0，即<0，
即x(1－x2)<0，即x(x－1)(x＋1)>0，
所以或
解得x>1或－1所以不等式的解集为(－1，0)
答案：(－1，0)
5．解析：函数y＝mx2＋mx＋m－1的值恒为负值，即不等式mx2＋mx＋m－1<0对一切实数x恒成立．
当m＝0时，－1<0恒成立；
当m≠0时，要使其恒成立，
则有解得m<0.
综上，m的取值范围为(－∞，0].
答案：(－∞，0]第一节　集合
必 备 知 识
1.集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性：________、________、________．
(2)元素与集合的关系：①属于，记作________；②不属于，记作________．
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法．Venn图、数轴、区间等
(4)五个特定的常用数集及记法：
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ________ ________ ______ ________ ______
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号表示 Venn图
子集 集合A中____________都是集合B中的元素 ________
真子集 集合A B，但________x∈B，且x A ________
集合相等 集合A的______________都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 ______
3．集合的基本运算
运算 自然语言 符号表示 Venn图
交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A＝____________
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A＝____________
补集 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝____________
根据“补集思想”可以得到“正难则反”的思维方法
【常用结论】
(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．
(2)子集的传递性：A B，B C A C.
(3)等价关系：A B A＝A A＝B UA UB.
夯 实 基 础　
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(　　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　)
(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.(　　)
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A恒成立．(　　)
2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤}，a＝2，则下面结论中正确的是(　　)
A．{a} A　 B．a A C．{a}∈A　 D．a A
3．(教材改编)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0A．[－1，4] B．(0，3]
C．(－1，0]
4．(易错)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　)
A．{－1}　 　 B．{1}
C．{－1，1}　　 D．{－1，0，1}
5．(易错)已知集合A＝{x|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|y＝x2－1}，则A＝(　　)
A．R B．{x|y＝x2－1}
C．{(x，y)|y＝x2－1} D．
第一节　集合
必备知识
1．(1)确定性　无序性　互异性　(2)∈　 　(3)列举法　描述法　(4)N　N*或N＋　Z　Q　R
2．任意一个元素　A B(或B A)　存在元素　A?B(或B?A)　任何一个元素　A＝B
3．{x|x∈A，且x∈B}　{x|x∈A，或x∈B}　{x|x∈U，且x A}
夯实基础
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为2不是自然数，所以a A.故选D.
答案：D
3．解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以A＝{x|－1≤x≤4}．故选A.
答案：A
4．解析：∵B A，当B≠ ，即a≠0时，B＝{x|x＝－}，
∴－∈A，即a＝±1.
当B＝ ，即a＝0时，满足条件．
综上可知实数a所有可能取值的集合是{－1，0，1}．
答案：D
5．解析：因为集合A的代表元素是实数，而集合B的代表元素是图象上的点，故A＝ .
答案：D

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