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2024年山东省济南市中考数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．9的相反数是（　　）
A．﹣9 B． C． D．9
2．黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
3．截至2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.3465×109 B．3.465×109
C．3.465×108 D．34.65×108
4．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（　　）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
5．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
6．下列运算正确的是（　　）
A．3x+3y＝6xy B．（xy2）3＝xy6
C．3（x+8）＝3x+8 D．x2 x3＝x5
7．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4
8．3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD的边长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．若分式的值为0，则实数x的值为 　 　．
12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 　 　．
13．如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝　 　°．
14．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　 　kw h．
15．如图，在矩形纸片ABCD中，，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF＝　 　．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（7分）计算：．
17．（7分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
18．（7分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
19．（8分）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：
综合实践活动记录表
活动内容 测量轻轨高架站的相关距离
测量工具 测倾器，红外测距仪等
过程资料 轻轨高架站示意图 相关数据及说明：图中点A，B，C，D，E，F在同一平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD＝98°，∠CDE＝97°，AE＝8.5m，CD＝6.7m．
成果梳理 …
请根据记录表提供的信息完成下列问题：
（1）求点C到地面DE的距离；
（2）求顶部线段BC的长．
（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）
20．（8分）如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．
（1）求证：AG与⊙O相切；
（2）若，，求DE的长．
21．（9分）2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：
A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
a：C组的数据：
70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．
b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的八年级学生人数；
（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 　 　度；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 　 　分；
（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．
22．（10分）近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．
（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？
（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？
23．（10分）已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；
（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在的图象上时，求点E的坐标．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；
（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．
25．（12分）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．
（1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD AB．理由如下：
∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∵CD⊥AB ∴∠ADC＝90° ∴∠A+∠ACD＝90° ∴∠B＝①_____ ∵∠A＝∠A ∴△ABC∽△ACD ∴②_____ ∴AC2＝AD AB
请完成填空：①　 　；②　 　；
（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长．
2024年山东省济南市中考数学试题参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。
1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．B
8．C 9．D 10．D
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．
11．1 12． 13．65 14．12 15．
三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（7分）解：原式＝3﹣1+4
＝3﹣1
＝6．
17．（7分）解：解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x＜4，
原不等式组的解集是﹣1＜x＜4，
∴整数解为0，1，2，3．
18．（7分）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
19．（8分）解：（1）如图，过点C作CN⊥ED，交ED的延长线于点N，垂足为N，
∵∠CDE＝97°，
∴∠CDN＝83°，
在Rt△CDN中，，CD＝6.7m，
∴CN＝CDsin83°＝6.7×0.993≈6.63（m），
答：点C到地面DE的距离为6.65m；
（2）如图，过点B作BP⊥CF，垂足为P，
∵CF∥DE，
∴∠FCD＝∠CDN＝83°，
∵∠BCD＝98°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠FCD＝15°，
∵平行线间的距离处处相等，
∴EF＝CN＝6.65m，
∵AE＝8.5m，
∴BP＝AF＝AE﹣EF＝8.5﹣6.65＝1.85，
在Rt△BCP中，
∴（m），
答：顶部线段BC的长为7.14m．
20．（8分）（1）证明：∵∠EDB，∠EAB所对的弧是同弧，
∴∠EDB＝∠EAB，
∵∠EAD+∠EDB＝45°，
∴∠EAD+∠EAB＝45°，
即∠BAD＝45°，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°，
∵AB＝AG，
∴∠B＝∠G＝45°，
∴∠GAB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴AG与⊙O相切；
（2）解：如图，连接CE，
∵∠DAE，∠DCE所对的弧是同弧，
∴∠DAE＝∠DCE，
∵DC为直径，
∴∠DEC＝90°，
在Rt△DEC中，sin∠DCE＝sin ，
∵，∠B＝45°，∠BAG＝90°，
∴，
∴．
21．（9分）解：（1）3÷5%＝60（人）
答：随机抽取的八年级学生人数为60人；
（2）360°90°，
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为90°，
故答案为：90；
（3）D组的频数为：60﹣3﹣15﹣16﹣6＝20，
补全频数分布直方图如图所示；
（4）∵抽取的八年级学生人数为60，
∴中位数是排在第30个数和第31个数的平均数，
∴排在第30个数和第31个数在C组，
∴中位数77（分），
答：抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是77分，
故答案为：77；
（5） （人）
答：估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到8（0分）及以上的学生人数为390人．
22．（10分）解：（1）设修建一个A种光伏车棚需投资x万元，修建一个B种光伏车棚需投资y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：修建一个A种光伏车棚需投资3万元，修建一个B种光伏车棚需投资2万元；
（2）设修建A种光伏车棚m个，则修建B种光伏车棚（20﹣m）个，
根据题意得：m≥2（20﹣m），
解得：m．
设修建A，B两种光伏车棚共投资w万元，则w＝3m+2（20﹣m），
即w＝m+40，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
又∵m，且m为正整数，
∴当m＝14时，w取得最小值，最小值为14+40＝54．
答：修建A种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元．
23．（10分）解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2.6）代入 得 ，解得k＝12，
∴反比例函数表达式为 ；
（2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），
由 可得xy＝12，所以3m（m+3）＝12，
解得 m1＝1，m2＝﹣4 （舍去），
∴B（1，3）；
（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，
过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，
∴∠HEB+∠EBH＝90°，
∵点A绕点B顺时针旋转 90°，
∴∠ABE＝90°，BE＝BA，
∴∠EBH+∠ABF＝90°
∴∠BEH＝∠ABF，
∴△EHB≌△BFA（AAS），
设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，
∴点E（6﹣2n，4n﹣2），
∵点E在反比例函数图象上，
∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，
解得 ，n2＝2（舍去）．
∴点E（3，4）．
24．（12分）解：（1）∵抛物线 y＝x2+bx+c过点A（0，2），B（2，2），
得 ，
解得 ，
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣2x+2；
∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴顶点D（1，1）；
（2）如图1，连接DE，过点E作EG∥y轴，交AD延长线于点G，过点D作DH⊥EG，垂足为H，与y轴交于 H'，
设点E的横坐标为t．
设直线AD的表达式为y＝kx+b，
由题意知 ，
解得 ，
∴直线AD的表达式为 y＝﹣x+2，
则E（t，t2﹣2t+2），G（t，2﹣t），
∴EG＝t2﹣t，
∵ ADFE的面积为12，
∴S△ADES△四边形ADFE6，
∴S△ADE＝S△AGE﹣S△DGE，
∵HD＝1，
∴EG＝12，
∴t2﹣t＝12，
解得t1＝4，t2＝﹣3 （舍），
∴E（4，10），
∵点E先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点F，
∴F（5，9），
将F（5，9代入y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），
得m2﹣11m+18＝0，
解得m1＝2，m2＝9；
（3）如图2，过M作MP⊥x轴，垂足为P，过点D作DK∥y轴，过点Q作QK∥x轴，与DK交于点K，
设 M（h，h2﹣2h+2），则N（n，0），
∵y＝x2﹣2mx+m2+2﹣m＝（x﹣m）2+2﹣m，
∴抛物线C2的顶点Q（m，2﹣m），
∴DK＝|1﹣（2﹣m）|＝|m﹣1|，KQ＝|m﹣1|，
∴DK＝KQ，∠DQK＝45°，
∵MN∥DQ KQ∥NP，
∴∠MNP＝∠DQK＝45°，
∴∠NMP＝45°，
∴MP＝NP，
∴n﹣h＝h2﹣2h+2，
∴n＝h2﹣h+2＝（h）2，
∴当时，，
∴点N横坐标最小值为，此时点N到直线BD距离最近，△BDN的面积最小，
最近距离即边BD上的高，高为：，
∴△BDN面积的最小值为S△BDN．
25．（12分）解：（1）①∠ACD，
②，
故答案为：∠ACD，；
（2）△AEB是直角三角形，
∵∠ACE＝∠AFC，∠CAE＝∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴，
∴AC2＝AF AE，
由（1）得 AC2＝AD AB，
∴AF AE＝AD AB，
∴，
∵∠FAD＝∠BAE，
∴△AFD∽△ABE，
∴∠ADF＝∠AEB＝90°，
∴△AEB是直角三角形；
（3）∵∠CEB＝∠CBD，∠ECB＝∠BCD，
∴△CEB∽△CBD，
∴．
∴CD CE＝CB2＝24．
如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C，D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0＝6，交⊙A于D0，CD0＝4，∠CDD0＝90°，
∴CD0 CE0＝24＝CD CE，则，
∵∠ECE0＝∠D0CD，
∴△ECE0～ΔD0CD，
∴∠CDD0＝∠CE0E＝90°，
∴点E在过点E0且与CE0垂直的直线上运动，
过点B作BE'⊥E0E，垂足为E′，BE′即为最短的BE，连接CE′，
∵∠BCE0＝∠CE0E′＝∠BE′E0＝90°，
∴四边形CE0E'B是矩形，
在RtΔCE0E'中可求得CE′2，
∴CE＝2．
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