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14.1 全等三角形 导学案
（一）学习目标：
1.理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
2.掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
（二）学习重难点：
重点：理解全等三角形及其对应边、对应角的概念
难点：会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题
阅读课本，识记知识：
一、全等形
1、定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
2、一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
二、全等三角形
1、定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
三、对应顶点、对应边、对应角
1、对应顶点，对应边，对应角定义：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
2、找对应边、对应角的方法：
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
四、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应边相等；
2、全等三角形的对应角相等.
【例1】如图，两个三角形全等，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，是、边的夹角
，
故选：A．
【例2】 如图，两个三角形全等，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵与的两边长都为b与c，
∴由全等三角形的性质，可得：，
故选：C．
选择题
1.下列各选项中的两个图形属于全等形的是(　　)
A B
C D
2.下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．全等三角形的周长相等、面积相等 D．所有的等边三角形全等
3.如图所示,△AOC≌△BOD,C,D是对应点,则下列结论错误的是(　　)
A.∠A与∠B是对应角 B.∠AOC与∠BOD是对应角
C.OC与OB是对应边 D.OC与OD是对应边
4.如图，如果，的周长是，则（ ）．
A． B． C． D．
5.如图,已知△ABC≌△DCB,AB=10,∠A=60°,∠ABC=
80°,那么下列结论中错误的是(　　)
A.∠D=60°　　　　B.∠DBC=40° C.AC=DB　　　 　D.BE=10
6.如图，，点在上，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7.已知图中的两个三角形全等,则∠1等于(　　)
A.47°　　B.57°　　C.60°　　D.73°
8.如图，嘉淇利用全等三角形的知识测量池塘两端A，B之间的距离，如果，则只需测出（ ）
A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度
9.如图，，边过点A且平分交于点D，，，则的度数为（ ）
A．24 ° B．36 ° C．45 ° D．60 °
10.如图，，于点，于点，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动( )分钟后，与全等．
A．2 B．3 C．4 D．8
填空题
11． 如图，，若，则 ．
12.已知有两个三角形全等,若一个三角形三边的长分别为3、5、7,另一个三角形三边的长分别为3、3a-2b、a+2b,则a+b=　　　　.
13．已知三边长分别是4，，9，的三边长4，，若这两个三角形全等，则 ．
14．如图，一个直角三角形，，一条线段，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，问P点运动到 位置时，才能使．
15．在中，，直线l过点 C．，，如图，点B与点F关于直线l对称，连接．点M从A点出发，以每秒的速度沿路径运动，终点为C，点N以每秒的速度沿路径运动，终点为F，分别过点M，N作直线l于点D，直线l于点E，点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．当t是 秒时，与全等．

三、解答题
16．如图，，，，，．
(1)求的长．
(2)求的度数．
17.如图,△ABF≌△CDE,∠B和∠D是对应角,AF和CE是对应边.
(1)写出△ABF和△CDE的其他对应角和对应边;
(2)若∠B=30°,∠DCF=40°,求∠EFC的度数;
(3)若BD=10,EF=2,求BF的长.
18.如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为．
(1)第时，______，______．（用含的代数式表示）
(2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】B　
【分析】根据全等形的定义可知,只有选项B中的两个图形能够完全重合.
2.【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的概念及性质，根据三角形全等的概念和性质逐一判断即可.
【详解】A选项：形状和大小完全相同的两个三角形全等，故形状相同的两个三角形不一定全等，本选项说法错误；
B选项：全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项说法错误；
C选项：全等三角形的周长相等，面积相等，本选项说法正确；
D选项：等边三角形的形状相同，但大小不同，故本选项说法错误.
故选：C
3.【答案】C　
【分析】OC与OD是对应边,故C项结论错误,故选C.
4.【答案】A
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形的性质得出对应边的值，进而求出即可．
【详解】解：∵，的周长是，
∴，
∴．
故选：A．
【答案】D　
【分析】∵∠A=60°,∠ABC=80°,∴∠ACB=40°,
∵△ABC≌△DCB,∴∠D=∠A=60°,∠DBC=∠ACB=40°,AC=BD,
∴选项A,B,C正确,故选D.
6．【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据，得到，，进而利用求出的长即可．掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵点在上，
∴；
故选C．
7.【答案】A　
【分析】由三角形内角和定理得∠2=180°-60°-73°=47°,
∵两个三角形全等,∴∠1=∠2=47°,故选A.
8．【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的性质即可得到结论，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
故只需测出的长度，
故选：B．
9．【答案】B
【分析】本题考查全等三角形的性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理．根据三角形的内角和定理，求出，进而得到的度数，再根据三角形的内角和定理，求出，再根据全等三角形的对应角相等，即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∵过点A且平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
10．【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果．
【详解】解：于，于，
，
设运动分钟后与全等；
则，，
分两种情况：
①若，则，
，，
即，
；
②若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动分钟后与全等；
故选：C．
11.【答案】55
【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理列式求出．
【详解】解：∵，，
，
，
，
故答案为：55．
12. 【答案】5或4
【解析】　∵两个三角形全等,
∴3a-2b=5,a+2b=7或3a-2b=7,a+2b=5,
∴a=3,b=2或a=3,b=1,
∴a+b=5或a+b=4,
故答案为5或4.
13．【答案】或/或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，或，分别求出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，或，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
14．【答案】的中点
【分析】本题考查了全等三角形的性质，要使，根据全等三角形的性质可得，据此即可求解．
【详解】解：当时，
根据全等三角形角和边的对应关系可知，，
∵，
∴P点运动到的中点时．
故答案为：的中点．
15．【答案】或5或
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可．
【详解】解：∵，直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，
∴，
∴，
∵运动时间为t秒．
∴，
∴当时，，
当点沿路径运动时，，
，
解得，，不合题意，
当点沿路径运动时，，
，
解得，，
当点沿路径运动时，
，
解得，，
当点沿路径运动时，，
，
解得，，
综上所述，当或5或时，．
故答案为：或5或．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；三角形的内角和等于是解决问题的关键．
（1）由全等三角形的性质得，然后根据可得出答案；
（2）由全等三角形的性质得，，然后根据三角形的内角和定理可求出的度数．
【详解】（1）解：，，
，
又，
；
（2），，，
，，
．
17.【解析】　(1)其他对应角为∠BAF和∠DCE,∠AFB和∠CED.
其他对应边为AB和CD,BF和DE.
(2)∵△ABF≌△CDE,∠B=30°,
∴∠D=∠B=30°,
∵∠DCF=40°,
∴∠EFC=∠D+∠DCF=30°+40°=70°.
(3)∵△ABF≌△CDE,∴BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,∴BE=DF,
∵BD=10,EF=2,∴DF=BE=4,∴BF=BE+EF=4+2=6.
18．【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键．
（1）根据距离速度时间分别求得、即可；
（2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：依题意得：，；
（2）解：当时，．
，
，
．
当时，．
点为的中点，
．
，
，
，
，
．
综上所述，当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，或．
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