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14.2 三角形全等的判定 导学案
（一）学习目标：
1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．
2．理解和掌握全等三角形判定方法4——“边边边”；
3．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）.
（二）学习重难点：
重点：理解和掌握全等三角形判定方法。能运用它们判定两个三角形全等。
难点：理解和掌握全等三角形判定方法。
阅读课本，识记知识：
全等三角形判断一（SAS,ASA,AAS）
1、全等三角形判定1——“边角边”
（1）全等三角形判定1——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
（2）有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
2、全等三角形判定2——“角边角”
全等三角形判定2——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
3、全等三角形判定3——“角角边”
（1）全等三角形判定3——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
4、如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
二、全等三角形判定二（SSS）
1、全等三角形判定4——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
2、判定方法的选择
选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
　　　 已知条件 　　可选择的判定方法
　　一边一角对应相等 　　SAS AAS ASA
　　两角对应相等 　　ASA AAS
　　两边对应相等 　　SAS SSS
3、如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
4、全等三角形证明方法
全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.
（1）证明线段相等的方法：
①证明两条线段所在的两个三角形全等.
②利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.
③等式性质.
（2）证明角相等的方法：
①利用平行线的性质进行证明.
②证明两个角所在的两个三角形全等.
③利用角平分线的判定进行证明.
④同角（等角）的余角（补角）相等.
⑤对顶角相等.
（3）证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法；
可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.
（4）辅助线的添加:
①作公共边可构造全等三角形；
②倍长中线法；
③作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；
④利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.
（5）证明三角形全等的思维方法:
①直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.
②如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.
③如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.
5、三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
三、直角三角形全等判定
1、判定直角三角形全等的一般方法：
由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.
2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.
（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.
（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.
（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.
【例1】如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（ ）
A．10 B．13 C．15 D．17
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则．
【详解】解：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【例2】 如图，张华同学用7块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙墙间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明得到
∴，则．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
选择题
1.科技创新小组在一次纸飞机制作活动中,小莹同学剪了一个纸飞机图案(如图所示),她用刻度尺量得AB=AC,BO=CO,为了保证图案的美观,她准备再用量角器量一下∠B和∠C是否相等,小亮走过来说:“不用量了,肯定相等.”小亮的说法利用的判定三角形全等的方法是(　　)
A.ASA　　B.SAS　　C.AAS　　D.SSS
2.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图,可说明△COD≌△C'O'D',进而得出∠A'O'B'=∠AOB的依据是(　　)
A.SSS　　B.SAS　　C.ASA　　D.AAS
3.如图,△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,以下结论:
①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③∠B=∠C;④AD是△ABC的一条角平分线.
其中正确的有(　　)
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
4.如图,AB=AD,∠D=∠B,若用“ASA”证明△ABC≌△ADE,需添加一个条件是(　　)
A.∠DAB=∠EAC　　　B.AC=AE C.DE=BC　　　　 D.∠E=∠C
5.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD的长是(　　)
A.0.5　　B.1　　C.1.5　　D.2
6.如图,BE=CF,AE⊥BC于E,DF⊥BC于F,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加一个条件是(　　)
A.AB=DC　　　　 B.∠A=∠D C.∠B=∠C　　　　D.AE=DF
7.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
8.如图所示，某同学把一块三角形的模具不小心打碎成了三块，现在要去商店配一块与原来一样的三角形模具，那么最省事的是带哪一块去（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
9.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（ ）
A． B． C． D．
10.已知：如图，，，则不正确的结论是（ ）
A．与互为余角 B． C． D．
填空题
11． 如图,已知AD=AE,BE=CD,∠1=∠2=100°,∠BAE=60°,则∠CAE的度数为　　　.
12.如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,BE=BC,连接BD,若AC=8 cm,则AD+DE等于　　　　.
13．如图，．请你添加一个条件，使．你添加的条件是 （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
14．如图，在三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．若，则的大小为 度．
15．在直角三角形中，，，直线过点，，，垂足分别为，，，，则的长是 ．
三、解答题
16．如图,△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧,点C,D在线段AE上,AD=CE,AB∥EF,AB=EF.求证:BC=FD.
17.如图，在中，于点D，E为上一点，连结交于点F，且，．求证：
(1)．
(2)．
18.如图，在和中，边，相交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】D　
【分析】在△ABO和△ACO中,
∴△ABO≌△ACO(SSS),
∴∠B=∠C,故选D.
【答案】A　
【分析】由题意可知,OD=OC=O'D'=O'C',CD=C'D',
在△COD和△C'O'D'中,
【答案】D　
【分析】∵AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°,BD=CD,
∴△ABD≌△ACD(SAS),
∴AB=AC,∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∴AD是△ABC的角平分线.故选D.
【答案】A　
【分析】∵∠DAB=∠EAC,
∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC,
∵∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE,符合全等三角形的判定定理ASA,∴能推出△ABC≌△ADE,故选A.
5．【答案】B　∵CF∥AB,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=3,
∵AB=4,∴DB=AB-AD=4-3=1.
故选B.
6．【答案】A　
【分析】条件是AB=CD.
理由:∵AE⊥BC,DF⊥BC,
∴∠CFD=∠AEB=90°,
在Rt△ABE和Rt△DCF中,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL),故选A.
7．【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】解：在和中，
，
，
故选：D．
8．【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
9．【答案】C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故选C．
10．【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，证明，根据全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，故B正确，不符合题意；
在和中，
，
，
，故C正确，不符合题意；
，
，
与互为余角，故A正确，不符合题意；
，但不一定等于，故D错误，符合题意；
故选：D．
11.【答案】40°
【解析】　∵∠1=∠2=100°,
∴∠ADE=∠AED=80°,
∴∠DAE=180°-∠ADE-∠AED=20°,
∵AE=AD,∠AED=∠ADE,BE=CD,
∴△AEB≌△ADC(SAS),
∴∠CAD=∠BAE=60°,
∴∠CAE=∠CAD-∠DAE=40°.
12.【答案】8 cm
【解析】　∵∠C=90°,DE⊥AB,
∴∠C=∠BED=90°,
在Rt△BCD和Rt△BED中,
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL),∴CD=DE,
即AD+DE=AD+DC=AC=8 cm,故答案为8 cm.
13．【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的五种判定方法是解题关键．由题意可知，，，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】解：由题意可知，，，
若，则，
若，则，
若，则，
故答案为：（或，或）．
14．【答案】
【分析】本题考查利用三角形全等求角度，涉及三角形全等的判定与性质、中点定义，利用判断，结合全等性质即可得到答案，熟练掌握三角形全等判定与性质是解决问题的关键．
【详解】解：的中点是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：．
15．【答案】2或4/4或2
【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质，三角形的内角和定理，同角的余角相等等知识．熟练掌握并运用相关的定理与性质是解此题的关键．分两种情况讨论：再根据已知条件证明，然后得，即可求出．
【详解】解：如图，当在直线的异侧时，
，
，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
．
当在直线的同侧时，如图，
同理可得：，
，
．
故答案为：2或4．
16．证明　∵AB∥EF,∴∠A=∠E,
∵AD=CE,∴AD-CD=CE-CD,即AC=DE,
在△BAC和△FED中,
∴△BAC≌△FED(SAS),∴BC=DF.
17.【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
（1）根据，得出，再根据证明，即可推出结论；
（2）因为，则，根据，，得出．又因为，则，得出．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，三角形内角和定理和平行线的性质，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．
（1）根据平行线的性质得出，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
即，
在和中
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
．
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