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15.1 轴对称图形 导学案
（一）学习目标：
1.了解轴对称图形和轴对称的概念，并能简单识别。
2.通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点。
3.了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别。
4.认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用。
（二）学习重难点：
重点：了解轴对称图形和轴对称的概念，能找出对称轴和对称点
难点：认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用
阅读课本，识记知识：
一、轴对称
1、定义：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
二、轴对称图形
1、定义：把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.
三、轴对称与轴对称图形的区别与联系
1、区别：
①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：
①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
四、作轴对称图形
1.作轴对称图形
（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；
（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
2.用坐标表示轴对称
点（,）关于轴对称的点的坐标为（,－）；点（,）关于轴对称的点的坐标为（－,）；点（,）关于原点对称的点的坐标为（－,－）.
对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
【例1】下图是几种国产汽车奇瑞、比亚迪、长安、东风的车标，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】考查轴对称图形的定义，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【例2】 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为，
故选：A．
选择题
1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5.“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6.在平面直角坐标系中有两点，，其中点与点关于轴对称，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7.点关于x轴对称的点的坐标（ ）
A． B． C． D．
8.如图，四盏相同的灯笼放置在平面直角坐标系中，坐标分别是，，，，将其中一盏灯笼向右平移m个单位，使得y轴两侧的灯笼对称，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5.5
9.信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美，它能给人以视觉上的艺术享受．如图所示的是美术老师的一副剪纸作品《风筝剪纸》，它是轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点 的坐标为， 则 的值为（ ）
A． B． C． D．
填空题
11．如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ．
12.将长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知度，那么 度．
13．如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为 ．
14．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是 ．
15．在平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．若，则点的坐标为 ．
三、解答题
16．如图，将长方形纸片（）折叠，使点A与点C重合.折痕与交于点E，与交于点F，点为点D翻折后的对应点．
(1)连接，如果，求的度数；
(2)连接，如果的面积为s，且，求长方形的面积（用含s的代数式表示）．
17.已知，在直角三角形中，，是上一点，且．
(1)如图，求证：；
(2)将沿所在直线翻折，A点落在边所在直线上，记为点．
如图，若，求的度数；
若，请直接写出的度数用含的代数式表示．
18.如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)求的面积；
(2)在图中作出关于轴对称的；
(3)写出点，，的坐标．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
1.【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
2.【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义“平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
3.【答案】D
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可，解题的关键是正确理解轴对称图形的意义．
【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
4.【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A中是轴对称图形，故不符合要求；
B中不是轴对称图形，故符合要求；
C中是轴对称图形，故不符合要求；
D中是轴对称图形，故不符合要求；
故选：B．
5．【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形是关于对称轴两边的图形折叠后重合．
【详解】解：．该图像使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意；
．该图像不能使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．【答案】A
【分析】此题主要考查了关于轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟记规律．根据“关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数”，即可求解 ．
【详解】点与点关于轴对称，
，，
故选：A．
7．【答案】C
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键．
【详解】解：关于轴对称的点的坐标为，
故选：C．
8．【答案】D
【分析】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．由图可知点C、D关于y轴对称，所以要使y轴两侧灯笼对称，需移动A、B两盏灯笼，然后问题可求解
【详解】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，
∵，，
∴C，D关于y轴对称，只需要A，B关于y轴对称即可，
∵，，
∴可以将点向右平移到，平移5.5个单位，
或可以将向右平移到，平移5.5个单位，
故选：D．
9．【答案】A
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键，直接利用关于关于轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变)得出答案．
【详解】解：若图中点的坐标为，则其关于轴对称的点的坐标为．
故选：A．
10．【答案】D
【分析】本题考查坐标与图形变化；根据关于轴对称的点的坐标纵坐标相等得出，进而即可求解．
【详解】的坐标为，其关于轴对称的点 的坐标为，
，
∴
，
故选：D．
11.【答案】9
【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论．
【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处，
，
向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，
，，
阴影部分的周长为，
则，
故答案为：9．
12. 【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠前后对应角相等得到，再由平角的定义推出，据此可得．
【详解】解：由折叠的性质可得，
∵折叠后、、E在一直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．【答案】5
【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】沿折叠点落在边上的点处，
的周长
故答案为5．
14．【答案】
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
15．【答案】或
【分析】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是熟知轴对称的性质．据此解答即可．
【详解】解：∵点，点，
∴点关于直线的对称点为，
连接，则，
∵点，点，
∴点、关于轴对称，
∴点、点关于y轴的对称点为和，
∴若点为或时，，
∴若，则点的坐标为或．
故答案为：或．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（1）根据翻折变换的性质，结合长方形的性质得到，即可解决问题；
（2）根据折叠可以得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于底的比得到，进而利用可解决问题．
【详解】（1）解：由折叠可得：，
又∵，
∴，
即；
（2）解：连接，
由折叠可得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
17.【答案】(1)见解析
(2)①；②时，时
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到，即可得出结论．
（2）①根据已知条件得到，由折叠性质得到，由（1）结论得到，即可得到答案；②先根据已知条件得到度数表达式， 再由折叠的性质得到度数表达式，利用直角三角形的性质得出度数表达式，分，两种情况，即可得出或．
本题主要考查了直角三角形和折叠．解题的关键是熟练掌握直角三角形角的性质，折叠的性质．
【详解】（1），
，
，
，
，
；
（2）①当时，，
，
由（1）知，，
，
由折叠知，，
；
当时，同的方法得，，，
当时，；
当时， ．
18．【答案】(1)
(2)见解析
(3)，，
【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键．
（1）先求出，轴，再根据进行求解即可；
（2）利用关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，找到A、B、C对应点的位置，然后描点，再顺次连接即可；
（3）根据（2）所求写出对应点的坐标即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，轴，
∴；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：由图可知，，．
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