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15.4 角的平分线 导学案
（一）学习目标：
1.掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2.掌握角平分线的判定及角平分线的画法．
3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．
（二）学习重难点：
重点：掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质
难点：熟练运用角的平分线的性质解决问题
阅读课本，识记知识：
一、角的平分线的性质
1、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
2、用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
二、角的平分线的判定
1、角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2、用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
三、角的平分线的尺规作图
1、角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
四、三角形角平分线的性质
1、三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.
2、三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.
【例1】下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．连接BC，使 B．以点C为圆心，长为半径画弧
C．作直线 D．连接，并且平分
【答案】B
【分析】本题考查了作图-尺规作图的定义，根据作图语言求解．
【详解】解：A：连接，但是不一定能垂直，故A是错误的；
B：以点C为圆心，为半径画弧是符合作图语句的，故B是正确的；
C：直线没有长度，不可度量，故C是错误的；
D：连接，但是不一定能平分，故D是错误的；
故选：B．
【例2】 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；由可知，过点作，，，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；若，则，则，则为等边三角形，这与题干任意画一个 的不符，故③错误．，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出；由三角形全等的判定定理可得出，，故可得出，，再由可得出，④正确；利用角平分线的性质定理以及三角形的面积公式，可得⑤正确．正确作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
【详解】解：、分别是与的角平分线，，
，
，
故①正确；
，
，
过点作，，，，
、分别是与的角平分线，
是的平分线，
故②正确；
若，则，则，则为等边三角形，
这与题干任意画一个 的不符，
故③错误．
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
两式相加得，，
，
，
故④正确；
是角平分线，
到、的距离相等，
，
故⑤正确．
故选：．
选择题
1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示,则说明∠CAD=∠DAB的依据是(　　)
A.SSS　　 B.SAS　　 C.ASA　　 D.AAS
2.如图，将两个完全相同含角的三角尺与按图示位置摆放，这两个三角尺直角边所在直线交于点，连接并延长，射线就是的角平分线，判断的依据是（　　）
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
3.如图,OP为∠AOB的平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是(　　)
A.PC=PD　　　 　B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO　　　　D.OC=OD
4.如图， 在中， ，平分，交 于点D，，则点 D到的距离是（ ）

A．4 B．2 C．3 D．6
5.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=6,DE=2,则△BCE的面积等于(　　)
A.12　　 B.8　　 C.6　　 D.5
6.如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，直线l1，l2，l3表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有（　　）
A．四处 B．三处 C．两处 D．一处
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于点E,DE平分∠ADB,则∠DBA等于(　　)
A.22.5°　　B.30°　 C.25°　 　D.40°
9.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点
10.如图，点C在线段上（不与点A，B重合），在的上方分别作和，且，，，连接，交于点P，下列结论错误的是（　　）

A． B．
C． D．连接，则平分
填空题
11． 如图,△ABC的外角∠HBC与∠BCM的平分线交于P,PM⊥AC于M,若PM=6 cm,则点P到AB的距离为　　　　.
12.如图在中，，平分交于点，且，则点到的距离是 ．
13．如图，在中，，AD平分，交BC于D，若，P为上一动点，则的最小值为 ．
14．如图，是的角平分线，，垂足为E，是的中线，，，，的面积为 ．

15．如图，已知的周长是，、分别平分和，于且，的面积是 ．
三、解答题
16．下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在中，，
求作：点，使点在边上，且到和的距离相等．
作法：
如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；
分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；
画射线，交于点．
所以点即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴(______)，
∴____________，
∵，
∴，
又∵，
∴(______)．
17.如图，在中，，，平分交于点D，点E是边上一点，连接，若，求证：．
18.于，于，若，．

(1)求证：平分．
(2)请你判断、与之间的数量关系，并说明理由．
（一）课后反思：
本节课我学会了：
本节课存在的问题：
把本节课所学知识画出思维导图
参考答案
【答案】A　
【分析】从角平分线的作法得出,△AFD与△AED的三边对应相等,则△AFD≌△AED(SSS),所以∠CAD=∠DAB.故选A.
2.【答案】B
【分析】本题考查角平分线的判定，涉及“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，掌握角平分线的判定是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，本题判断射线就是的角平分线的依据是“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”，
故选：B．
3.【答案】B　
【分析】在△OPC和△OPD中,
∴△OPC≌△OPD,
∴PC=PD,OC=OD,∠CPO=∠DPO,
∴选项A、C、D正确,故选B.
4.【答案】A
【分析】本题考查了角平分线性质定理，过点D作于点E，则即为所求，根据角平分线性质得出，即可求出最后结果．
【详解】解：如图，过点D作于点E，则即为所求，
，平分，交 于点D，
,
故选：A．

【答案】C　
【分析】作EF⊥BC于F,如图,
∵BE平分∠ABC,ED⊥AB,EF⊥BC,∴EF=DE=2,
∴△BCE的面积=BC·EF=6,
故选C.
6．【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作得，据此即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵平分，，
∴，
∴的面积为：，
故选：C
7．【答案】A
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并是解题的关键．
由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件;然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可供选择的地址有4个．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
故选：A．
【答案】B　
【分析】在△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB,∴CD=ED.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴∠ADC=∠ADE.
∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°,DE平分∠ADB,
∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°.
∵∠B+∠EDB=90°,∴∠B=30°.故选B.
9．【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴三条角平分线的交点到三边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点，
故选B．
10．【答案】B
【分析】先通过证明，并根据全等三角形的性质即可证明A选项不符合题意；由外角的性质及等腰三角形的定义，可证明C选项不符合题意；连接，过点C作于点G，于点H，根据角平分线判定定理证明D选项不符合题意；无法证明B选项．
【详解】解：，
，
即，
，，
，
，故A选项不符合题意；
，
∵，
，故C选项不符合题意；
如图，连接，过点C作于点G，于点H，

，
，
，
，
平分，故D选项不符合题意；
当时，需成立，与题意矛盾，故B选项符合题意；
故选：B．
11.【答案】6 cm
【解析】　如图,过点P作PN⊥BC,PQ⊥AB,垂足分别为点N、Q,
∵BP、CP分别是∠HBC与∠BCM的平分线,
∴PQ=PN,PN=PM,∴PQ=PM,
∵PM=6 cm,∴PQ=6 cm,
即点P到AB的距离为6 cm.故答案为6 cm.
12. 【答案】/5厘米
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、点到直线的距离，作于，由角平分线的性质定理可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
，平分交于点，，
，
点到的距离是，
故答案为：．
13．【答案】3
【分析】此题主要考查角平分线的性质和垂线段最短，作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解．
【详解】解：如图，
作于H，
∵AD平分，，
∴，
∵P为上一动点，
∴的最小值为的长.
故答案为：3.
14．【答案】
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，求出的面积， 的面积．
过作于H，由角平分线的性质得到，即可求出，，得到，由是的中线，得到，再运用即可．
【详解】解：过作于，

∵是的角平分线， ，
∴ ，
∵，
∴，
，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴．
故答案为:．
15．【答案】
【分析】本题考查的是角平分线的性质和三角形的面积，先做出辅助线，再根据三角形的性质，得出，再根据三角形的面积即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，于点，
、分别平分和，
，，
，
，
，
，
，
，
的面积为13，
故答案为：．
16．【答案】(1)补图见解析；
(2)，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
【分析】（）根据题意补全图形，即可；
（）证明，可得，再根据角平分线的性质定理即可求证；
本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出图形是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点作于点，连接，，
在与中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，
故答案为：，，，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
17.【答案】证明见解析
【分析】本题考查角的运算，角平分线的性质定理以及平行线的判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．
先求出的度数，进而得出，因为，由“内错角相等，两直线平行”即可判断．
【详解】在中，，，
，
平分，
，
，
，
18．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定等知识，
（1）证明，得出，再由角平分线的判定即可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得，，再证，得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
平分．
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，，
，，
在和中，
，
，
，，
，
．
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