资源简介

2023-2024学年北京市海淀区清华附中八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系中，菱形，为坐标原点，点在轴上，的坐标为，则顶点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
3.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
4.某校篮球社团共有名球员，如表是该社团成员的年龄分布统计表：
年龄单位：岁
频数单位：名
对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是( )
A. 平均数、中位数 B. 众数，中位数 C. 众数、方差 D. 平均数、方差
5.函数和是常数，且在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.关于的一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定
7.如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系下列叙述正确的是( )
A. 小球的飞行高度不能达到 B. 小球的飞行高度可以达到
C. 小球从飞出到落地要用时 D. 小球飞出时的飞行高度为
8.如表是魔方比赛中甲、乙、丙、丁四位选手的复原时间统计表，同一行表示同一位选手四次复原的时间单位：秒，则下列说法正确的是( )
甲
乙
丙
丁
A. 乙选手的最短复原时间小于甲选手的最短复原时间
B. 丙选手复原时间的平均数大于丁选手复原时间的平均数
C. 甲选手复原时间的中位数小于丁选手复原时间的中位数
D. 乙选手复原时间的方差大于丁选手复原时间的方差
二、填空题：本题共8小题，共24分。
9.如果函数是关于的二次函数，则______．
10.将抛物线向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后，得到的抛物线的表达式为______．
11.年春节联欢晚会为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”截至月日时，总台春晚中“竖屏看春晚”直播播放量亿次据统计，年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为，则可列出关于的方程______．
12.若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为______用“”连接．
13.如图，二次函数的图象与轴的交点坐标为，若函数值，则自变量的取值范围是______．
14.若抛物线与轴有公共点，则的取值范围是______．
15.将进货价为元件的某种商品按零售价元件出售时每天能卖出件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价元件，其日销售量就增加件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是 ______．
16.已知抛物线是常数，经过点和，当时，与其对应的函数值有下列结论：；关于的方程有两个不等的实数根；；若方程的两根为，，则其中正确的有______．
三、解答题：本题共14小题，共72分。
17.（6分）解方程：
；
．
18.（4分）已知是关于的一元二次方程的一个根，求代数式的值．
19.（5分）已知关于的一元二次方程．
求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
若方程两个根均为正整数，求负整数的值．
20.（6分）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点．
求该函数的解析式及点的坐标；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
21.（6分）如图，在中，，点，分别是，的中点连接并延长至点，使得连接，，．
求证：四边形是菱形；
连接，若，，求的长．
22.（5分）商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅下面给出了商品售价和成本单位：元的相关公式和部分信息：
计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
售价涨跌幅，成本涨跌幅；
规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
成本
售价
根据以上信息，回答下列问题：
甲商品这五周成本的平均数为______，中位数为______；
表中的值为______，从第三周到第五周，甲商品第______周的售价最高；
记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则 ______填“”“”或“”．
23.（6分）小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，击球点到球网的水平距离．
小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内．
第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度单位：与水平距离单位：的几组数据如下：
水平距离
飞行高度
根据上述信息，回答下列问题：
直接写出击球点的高度；
求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度与水平距离满足的函数关系式；
设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，，则 ______填“”，“”或“”．
24.（7分）如图，正方形的边长为，对角线，交于点，点从点出发，沿线段运动，点到达点时停止运动若点运动的路程为，的面积为，探究与的函数关系．
与的两组对应值如表，则 ______；
当点在线段上运动时，关于的函数解析式为当点在线段上运动时，关于的函数解析式为______，此时，自变量的取值范围是______；
在图中画出函数图象；
若直线与此函数图象只有一个公共点，则的取值范围是______．
25.（7分）甲、乙、丙三人相约到某游乐园游玩该园区在地图上的形状可近似看成等腰直角三角形，共有三个入口，，．
园区附近有四个公交车站点，即号、号、号和号车站甲和乙想到园区附近汇合后一起入园，乙在其中一个站点下车后，两人通过手机共享位置得知甲的位置如图所示两人约定如下：
Ⅰ确定距离自己最近的入口；
Ⅱ如果两人确定的入口相同，则到此入口处汇合并入园；
Ⅲ如果两人确定的入口不同，则到这两个入口的中点处汇合后，再沿逆时针方向绕园区外围至最近的入口入园．
若乙在号车站下车，则甲、乙入园的入口应为______；
若甲、乙最终在入口处入园，则乙下车的站点可以为______；
丙从入口先行入园，此时甲、乙还未入园丙在地图上建立平面直角坐标系，如图所示，其中入口，，的坐标分别为，，园区内有行驶路线为的摆渡车乘客可以在路线上任意一点上下车点坐标为丙想乘坐摆渡车和甲、乙汇合，其下车点记为，到三个入口，，的最大距离记为，到的距离最近的入口记为“理想入口”．
如果丙希望在最小处下车，则点的坐标为______；
若对于摆渡车行驶路线上任意一段长度为的路段，都同时存在“理想入口”分别为，，的下车点，则的最小值为______．
26.（3分）已知两组数据，，，，；，，，，设第一组数据的平均值为，方差为，设第二组数据的平均值为，方差为，下列结论正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
27.（3分）廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是______米．
28.（4分）超市销售的某商品进价元件在销售过程中发现，该商品每天的销售量件与售价元件之间满足函数关系式，则利润和售价之间的函数关系为______，该商品售价定为______元件时，每天销售该商品获利最大．
29.（4分）已知抛物线经过点和点，则的最小值是______．
30.（6分）在平面直角坐标系中，对于抛物线：和直线：给出如下定义：
过抛物线上一点作垂直于轴的直线，交直线于点，若存在实数满足，则称点是抛物线的“如意点”，点关于直线的对称点为点与抛物线的“称心点”．
若，
在点，，，中，抛物线的“如意点”是______；
若点是抛物线的“如意点”，点是点与抛物线的“称心点”，直接写出的最大值______；
若边长为的正方形边上的点都是抛物线的“如意点”或某点与抛物线的“称心点”，直接写出的最小值______．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.
16.
17.解：，
，，
，
，
，；
，
，
则，
或，
解得，．
18.解：
，
是关于的一元二次方程的一个根，
，
，
则原式．
19.证明：，
无论实数取何值，方程总有两个实数根；
解：，
，
，，
，，
是负整数，
．
20.解：根据题意得，解得，
一次函数解析式为，
当时，，
；
当时，，
把点代入，得，解得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值．
21.证明：点是的中点，
．
，
四边形是平行四边形．
在中，，点是的中点，
．
四边形是菱形；
解：过点作交的延长线于点．
，
四边形是菱形，，，
，，
，
，
在中，，，
，
，
．
．
在中，
．
22.，；
，四；
．
23.当时，，
故击球点的高度为；
由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
过点，
，
解得，
抛物线的解析式为：，
24.；
，；
当时，；当时，；当时，描点，连线即可．
或．
25.；
号车站、号车站．
．
26.．
27.解：令，即，
解得：，
则，
28.解：某商品进价元件，售价元件，
每件商品的利润为：元；
销售量件为：，
利润和售价之间的函数关系为：，
；
，
，
当时，取最大值，最大值为；
29.解：抛物线，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线经过点和点，
点和点关于对称轴对称，，
，即，
，
，
，
时，有最小值为：．
30.解：，．
点是点与抛物线的“称心点”，
点和点关于直线对称，
的长等于点到直线的距离的两倍，
当点到直线的距离最大时，有最大值，
根据“如意点”的定义可知，抛物线与直线围成的封闭区域内的所有点到抛物线的如意点，
当平行于直线的直线与抛物线恰好有有一个交点时，且当点与该交点重合时满足题意，
设直线恰好与抛物线有一个交点，
联立，得，
，
解得，
，解得，
此时点与原点重合，
如图所示，设直线分别与轴，轴交于，，则，，
，
，
设，交于，则，
，
，
，
．
由可得，抛物线的如意点组成的区域即为直线与抛物线围成的封闭区域包括边界，
抛物线的称心点一定在直线与抛物线围成的封闭区域外面，
边长为的正方形边上的点都是抛物线的“如意点”或某点与抛物线的“称心点”，
正方形边上的点全部都是如意点时的值一定要比正方形边上的点部分是如意点，部分时称心点时的值大，
当恰好正方形边上的点一半是如意点，一半是称心点时最小，即直线一定经过正方形的一条对角线，
此时有轴，
此时关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，
的横坐标为，
在中，当时，，
，
把代入中得，
，
的最小值为，
第1页，共1页

展开更多......

收起↑