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第2讲　机械波
课 程 标 准 素 养 目 标
1.通过观察，掌握机械波的特征；会区别横波和纵波；能用图像描述横波；理解波速、波长和频率的特征． 2.知道波的反射和折射现象．通过实验，了解波的干涉和衍射现象． 物理观念：了解机械波的概念，知道波的干涉和衍射的特点． 科学思维：会运用简谐运动的规律辅助机械振动图像和波的图像，解决生活中与机械振动、机械波相关的问题；能用波的叠加理论解释生活中的干涉现象．
考点一　波的传播及波的图像
【必备知识·自主落实】
1．机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的________．
②有传播________，如空气、水等．
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的________和________，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波________．各质点的振幅相同
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向________．
③介质中每个质点都做________振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期________．
④波源经过一个周期T完成一次________，波恰好向前传播一个波长的距离．
2．波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的____________，纵轴表示该时刻各质点的________．
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开____________的位移．
　　　　　　　 　　最大位移为A或－A
(3)图像(如图)
3．波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是________的两个相邻质点间的距离．
(2)波速v：波在介质中的传播速度．由介质本身的性质决定
(3)频率f：由波源决定，等于波源的____________．
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝＝________．
【关键能力·思维进阶】
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反．
2．波的传播方向与质点振动方向的互判
方法 内容 图像
“上下坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
考向1　波的形成及传播
例 1 在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a.t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T，振幅为A的简谐运动．t＝T时的波形如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝T时，质点P4速度最大
C．t＝T时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为
例 2 (多选)[2024·浙江金华模拟预测]杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞．平静水面上的S处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播(可视为简谱波)，A、B两点与S在同一条直线上，C、S在另外一条直线上．图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上．已知波速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是(　　)
A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过的时间，B、C之间的距离增大了
考向2　波的图像
例 3 (多选)[2023·天津统考高考真题]一列机械波的波源是坐标轴原点，从t＝0时波源开始振动，t＝0.5 s时波形如图，则下列说法正确的有(　　)
A．在这种介质中波速v＝4 m/s
B．x＝1 m处的质点在t＝0.3 s时位于波谷
C．波源的振动方程为y＝0.02sin (5πt＋π)m
D．x＝－1 m处的质点半个周期内向左移动半个波长
例 4 (多选)[2024·云南曲靖统考二模]如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形，从此时刻开始，介质中的质点P、Q(P、Q连线平行x轴)回到平衡位置的最短时间分别为0.1 s、0.4 s，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期为T＝1 s
B．0～0.75 s内质点Q运动的路程为30 cm
C．0～0.75 s内波传播的距离为9 cm
D．t＝0.75 s时刻质点Q加速度最大
考点二　波的图像与振动图像的综合应用
【关键能力·思维进阶】
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向的判断　 (看下一时刻的位移) (同侧法)
Δt后的图形 随时间推移，图像延伸，但已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系 (1)纵坐标均表示质点的位移 (2)纵坐标的最大值均表示振幅 (3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
例 5 如图所示，图甲是t＝5 s时刻一简谐横波沿x轴正方向传播的波形图，图乙为这列波上某质点的振动图像，则(　　)
A．该列波的波速为4 m/s
B．图乙可能是质点b的振动图像
C．质点c的振动方程为y＝6sin (＋π)cm
D．t＝10 s时，a点的振动方向向上
例 6 (多选)[2022·山东卷]一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示．当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是(　　)
思维提升
求解波的图像与振动图像综合问题三关键：“一分、一看、二找”
考点三　波的多解问题
【关键能力·思维进阶】
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)．
例 7[2023·海南卷]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时P质点向上振动
D．4 s时Q质点向上振动
例 8 (多选)[2024·广东广州第十六中学期中]如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波t＝0时刻的波形图，虚线(非方格)为t＝1 s时刻的波形图．介质中有P、Q、M三个质点，t＝0时刻，三个质点的纵坐标分别为yP＝2 cm、yQ＝－2 cm、yM＝－2 cm.下列说法正确的是(　　)
A.P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反
B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反
C．此列波的周期可能为0.8 s
D．此列波的波速可能为6 m/s
例 9 如图甲所示，某宇航员在太空中进行实验，左边为弹簧振动系统，弹簧振子连接一根很长的软绳，取沿绳方向为x轴，沿弹簧轴线方向为y轴(x轴与y轴垂直)，振子从平衡位置(坐标原点O点)沿y轴方向振动，某时刻绳子的波形如图乙中实线所示(t0＝0)，经过t1＝0.2 s后的波形如图乙中虚线所示，P为x＝4 m处的质点，则(　　)
A．绳子上产生的波的传播速度可能为35 m/s
B．质点P的振动频率可能为1.25 Hz
C．从t＝0开始，质点P经过0.8 s沿x轴正方向运动4 m
D．t＝0.4 s时，质点P的位置在y＝4 cm处
考点四　波的干涉、衍射　多普勒效应
【必备知识·自主落实】
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉和衍射
3.波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时，
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时，
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点．
4．多普勒效应
(1)定义：波源与观察者____________________________________，接收到的频率____________的现象．
(2)实质：波源频率________，观察者接收到的频率____________．
(3)规律：
①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大．
　　波源频率不变
②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小．
波源频率不变
③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率________波源的频率．
【关键能力·思维进阶】
1．[2024·湖北模拟预测]如图，P为桥墩，A为靠近桥墩浮在水面的叶片，波源S连续振动，形成水波，此时叶片A静止不动．为使水波能带动叶片振动，可用的方法是(　　)
A．增大波源振幅
B．降低波源频率
C．减小波源距桥墩的距离
D．增大波源频率
2．[2024·山东青岛统考二模]我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350 km/h的自动驾驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正．如图一辆行驶的动车组发出一频率为f0、持续时间为Δt0的通讯信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接收到信号的频率和持续时间分别为fA、ΔtA和fB、ΔtB，下列判断正确的是(　　)
A．fA>f0，ΔtA<Δt0 B．fAΔt0
C．fB>f0，ΔtB>Δt0 D．fB3．[2023·浙江6月]如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O.先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位．已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则(　　)
A．声波的波长λ＝15 cm
B．声波的波长λ＝30 cm
C．两声波的振幅之比为3∶1
D．两声波的振幅之比为2∶1
4．(多选)[2024·广东高三校联考]如图甲所示，水面上有两个波源S1、S2同时产生两列水波，若两列水波近似为简谐横波，以两波源的连线为x轴建立坐标轴，某时刻的波形图如图乙所示，P、Q为介质中的两点，下列说法正确的是(　　)
A．S1发出的水波波长大于S2发出的水波波长
B．两列水波在水中的传播速度大小相等
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向相反
D．两列水波相遇时，两波源连线中点处的振动将加强
第2讲　机械波
考点一
必备知识·自主落实
1．(1)①波源　②介质　(2)①形式　能量　迁移　②相同　③受迫　相同　④全振动
2．(1)平衡位置　位移　(2)平衡位置
3．(1)相同　(3)振动频率　(4)λf
关键能力·思维进阶
例1　解析：由t＝T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡法”，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，故t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，A错误；由图可知，在t＝T时质点P4处于正的最大位移处，故速度为零，B错误；由图可知，在t＝T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，C错误；由图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝＝，D正确．
答案：D
例2　解析：图示时刻，A在波谷，B在波峰上，A、B连线在水平方向的距离为a，可知水波的波长为λ＝2a
A点振动频率为f＝＝＝，故A、B错误；由图可知到达第一个波峰的时刻，C比A滞后t＝＝，故C正确；由于质点只是上下振动，不随波传播方向迁移，则B、C之间的距离保持不变，故D错误．
答案：ABD
例3　解析：由图中可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波的速度为v＝＝ m/s＝5 m/s，故A错误；由图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝＝ s＝0.4 s，波传播到x＝1 m需要的时间t1＝＝ s＝0.2 s．由图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s该波振动了0.1 s，即T，所以位于波谷，故B正确；根据图像可知该波的振动方程为y＝A sin (t＋φ)＝－0.02sin (5πt)m＝0.02sin (5πt＋π)m，故C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，故D错误．故选BC.
答案：BC
例4　解析：该波沿x轴正方向传播，根据波的平移可知，质点P向下振动，质点Q向上振动，且回到平衡位置的最短时间分别为0.1 s、0.4 s，故tP＋tQ＝，解得T＝1 s，故A正确；由于在t＝0时刻，质点Q不是在平衡位置，因此在0～0.75 s内，即从t＝0时刻开始内，其路程不等于3A，即30 cm，故B错误；由图可知λ＝0.12 m
波速为v＝＝0.12 m/s
0～0.75 s内波传播的距离为x＝vt＝0.09 m，故C正确；由于在t＝0时刻，质点Q不是在平衡位置，因此t＝0.75 s，即t＝时刻，质点Q不是在位移最大处，其加速度不是最大，故D错误．故选AC.
答案：AC
考点二
关键能力·思维进阶
例5　解析：由题图甲可得λ＝8 m，由题图乙可得T＝4 s，所以该简谐横波的波速为v＝＝2 m/s，故A错误；由题图甲可知，t＝5 s时，质点b位于平衡位置且向上振动，由题图乙可知，5 s时该质点处于波峰位置，故B错误；由题图甲可知，质点c的振动方程为y＝6sin (t＋π)cm，故C正确；t＝5 s时，质点a处于波峰位置，经过5 s＝(1＋)T，质点a运动到平衡位置且向下振动，故D错误．
答案：C
例6　解析：由振动图像可知波的振幅A＝20 cm，波的周期T＝12 s，从振动图像上可以看出t＝7 s时，平衡位置位于原点O的质点相对平衡位置的位移为y7＝－A，且向下运动．A图该质点位移符合条件，且当波沿x轴负方向传播时向下运动，符合题意，A项正确；C图该质点位移符合条件，且当波沿x轴正方向传播时向下运动，符合题意，C项正确．故选AC.
答案：AC
考点三
关键能力·思维进阶
例7　解析：由振动图像可看出该波的周期是4 s，A错误；由于Q、P两个质点振动反相，则可知两者间距离等于(n＋)λ＝6 m，n＝0，1，2，…
根据v＝＝ m/s，n＝0，1，2，…，B错误；由P质点的振动图像可看出，在4 s时P质点在平衡位置向上振动，C正确；由Q质点的振动图像可看出，在4 s时Q质点在平衡位置向下振动，D错误．故选C.
答案：C
例8　解析：由题图可知此列波的波长为6 m，而P、Q两质点平衡位置的距离小于半个波长，所以P、Q的振动情况不是总相反；根据三角函数知识可知，P、M两质点平衡位置的距离等于半个波长，所以P、M的振动情况总是相反，A错误，B正确；在1 s内x＝3 m处质点位移为4 cm，即＝1 s(n＝1，2，3，…)，
故波的周期为4 s、 s、0.8 s、 s……，由于波长为6 m，周期不可能为1 s，故波速不可能为6 m/s，C正确，D错误．故选BC.
答案：BC
例9　解析：振源在坐标原点，绳子上产生的波只能向右传播，由t0到t1波传播的距离x＝nλ＋λ＝(4n＋1)m(n＝0，1，2，…)，0.2 s＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，则波速v＝(20n＋5) m/s(n＝0，1，2，…)，T＝ s(n＝0，1，2，…)，据以上分析可知，该波的波速不可能为35 m/s，故A错误；当n＝0时，该波振动周期为0.8 s，则质点P的振动频率为1.25 Hz，故B正确；根据机械波的传播特点可知，各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故C错误；根据波的图像和以上分析可知，t＝0.4 s时，质点P的位置在坐标原点O处，故D错误．
答案：B
考点四
必备知识·自主落实
2．相同　尺寸　稳定的干涉图样　绕过障碍物
4．(1)相互靠近或者相互远离时　会发生变化　
(2)不变　发生变化　(3)等于
关键能力·思维进阶
1．解析：叶片A静止不动，是由于桥墩尺寸太大，没有发生明显衍射现象，为了水波能带动叶片振动，必须增大波长，根据v＝＝λf，波速由介质决定，介质一定，波速一定，当降低波源频率，波长增大，更容易产生衍射现象．故选B.
答案：B
2．解析：根据多普勒效应，远离波源的接收者接到的频率变小，接近波源的接收者接收到的频率变大，则fA>f0，fBT0，所以ΔtA<Δt0，ΔtB>Δt0，故选A.
答案：A
3．解析：分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，由于声波强度与声波振幅平方成正比，根据题意设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10
可得两声波的振幅之比＝，故C正确，D错误；根据振动减弱的条件可得＝2d，解得λ＝60 cm，故A、B错误．故选C.
答案：C
4．解析：由图乙可知，两列水波的波长λ1＝λ2＝0.2 m，故A错误；机械波的波速由介质决定，两列水波在水中的传播速度大小相等，故B正确；图示时刻，P、Q两点的振动方向均沿y轴负方向，振动方向相同，故C错误；两波源连线中点到两波源的波程差为零，两波振动情况相同，振动始终加强，故D正确．故选BD.
答案：BD(共46张PPT)
第2讲　机械波
课 程 标 准 素 养 目 标
1.通过观察，掌握机械波的特征；会区别横波和纵波；能用图像描述横波；理解波速、波长和频率的特征． 2.知道波的反射和折射现象．通过实验，了解波的干涉和衍射现象． 物理观念：了解机械波的概念，知道波的干涉和衍射的特点．
科学思维：会运用简谐运动的规律辅助机械振动图像和波的图像，解决生活中与机械振动、机械波相关的问题；能用波的叠加理论解释生活中的干涉现象．
考点一
考点二
考点三
考点四
考点一
考点一　波的传播及波的图像
【必备知识·自主落实】
1．机械波
(1)机械波的形成条件
①有发生机械振动的________．
②有传播________，如空气、水等．
波源
介质
(2)传播特点
①机械波传播的只是振动的________和________，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波________． 各质点的振幅相同
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向________．
③介质中每个质点都做________振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期________．
④波源经过一个周期T完成一次________，波恰好向前传播一个波长的距离．
形式
能量
迁移
相同
受迫
相同
全振动
2．波的图像
(1)坐标轴：横轴表示各质点的____________，纵轴表示该时刻各质点的________．
(2)意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开____________的位移．　 最大位移为A或－A
(3)图像(如图)
平衡位置
位移
平衡位置
3．波长、波速、频率及其关系
(1)波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是________的两个相邻质点间的距离．
(2)波速v：波在介质中的传播速度． 由介质本身的性质决定
(3)频率f：由波源决定，等于波源的____________．
(4)波长、波速和频率(周期)的关系：v＝＝________．
相同
振动频率
λf
【关键能力·思维进阶】
1．波的周期性
(1)质点振动nT(n＝1，2，3，…)时，波形不变．
(2)在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ(n＝1，2，3，…)时，它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为(2n＋1)(n＝0，1，2，3，…)时，它们的振动步调总相反．
2．波的传播方向与质点振动方向的互判
方法 内容 图像
“上下坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平移”法 将波形沿传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断振动方向
考向1　波的形成及传播
例 1 在如图所示的xOy坐标系中，一条弹性绳沿x轴放置，图中小黑点代表绳上的质点，相邻质点的间距为a.t＝0时，x＝0处的质点P0开始沿y轴做周期为T，振幅为A的简谐运动．t＝T时的波形如图所示．下列说法正确的是(　　)
A．t＝0时，质点P0沿y轴负方向运动
B．t＝T时，质点P4速度最大
C．t＝T时，质点P3和P5相位相同
D．该列绳波的波速为
答案：D
解析：由t＝T时的波形图可知，波刚好传到质点P6，根据“上下坡法”，可知此时质点P6沿y轴正方向运动，故波源起振的方向也沿y轴正方向，故t＝0时，质点P0沿y轴正方向运动，A错误；由图可知，在t＝T时质点P4处于正的最大位移处，故速度为零，B错误；由图可知，在t＝T时，质点P3沿y轴负方向运动，质点P5沿y轴正方向运动，故两个质点的相位不相同，C错误；由图可知＝2a，解得λ＝8a，故该列绳波的波速为v＝＝，D正确．
例 2 (多选)[2024·浙江金华模拟预测]杜甫曾在《曲江》中提到：穿花蛱蝶深深见，点水蜻蜓款款飞．平静水面上的S处，“蜻蜓点水”时形成一列水波向四周传播(可视为简谱波)，A、B两点与S在同一条直线上，C、S在另外一条直线上．图示时刻，A在波谷，B、C在不同的波峰上．已知波速为v，A、B连线在水平方向的距离为a，则不正确的是(　　)
A．水波的波长为a
B．A点振动频率为
C．到达第一个波峰的时刻，C比A滞后
D．从图示时刻起，经过的时间，B、C之间的距离增大了
答案：ABD
解析：图示时刻，A在波谷，B在波峰上，A、B连线在水平方向的距离为a，可知水波的波长为λ＝2a
A点振动频率为f＝＝＝，故A、B错误；由图可知到达第一个波峰的时刻，C比A滞后t＝＝，故C正确；由于质点只是上下振动，不随波传播方向迁移，则B、C之间的距离保持不变，故D错误．
考向2　波的图像
例 3 (多选)[2023·天津统考高考真题]一列机械波的波源是坐标轴原点，从t＝0时波源开始振动，t＝0.5 s时波形如图，则下列说法正确的有(　　)
A．在这种介质中波速v＝4 m/s
B．x＝1 m处的质点在t＝0.3 s时位于波谷
C．波源的振动方程为y＝0.02sin (5πt＋π)m
D．x＝－1 m处的质点半个周期内向左移动
半个波长
答案：BC
解析：由图中可知t＝0.5 s时，波传播的距离为x＝2.5 m，故波的速度为v＝＝ m/s＝5 m/s，故A错误；由图可知该波的波长为λ＝2 m，所以波的周期为T＝＝ s＝0.4 s，波传播到x＝1 m需要的时间t1＝＝ s＝0.2 s．由图可知该波的起振方向向下，t＝0.3 s该波振动了0.1 s，即T，所以位于波谷，故B正确；根据图像可知该波的振动方程为y＝A sin (t＋φ)＝－0.02sin (5πt)m＝0.02sin (5πt＋π)m，故C正确；质点只是上下振动，不随波左右移动，故D错误．故选BC.
例 4 (多选)[2024·云南曲靖统考二模]如图所示为一列沿x轴正方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形，从此时刻开始，介质中的质点P、Q(P、Q连线平行x轴)回到平衡位置的最短时间分别为0.1 s、0.4 s，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期为T＝1 s
B．0～0.75 s内质点Q运动的路程为30 cm
C．0～0.75 s内波传播的距离为9 cm
D．t＝0.75 s时刻质点Q加速度最大
答案：AC
解析：该波沿x轴正方向传播，根据波的平移可知，质点P向下振动，质点Q向上振动，且回到平衡位置的最短时间分别为0.1 s、0.4 s，故tP＋tQ＝，解得T＝1 s，故A正确；由于在t＝0时刻，质点Q不是在平衡位置，因此在0～0.75 s内，即从t＝0时刻开始内，其路程不等于3A，即30 cm，故B错误；由图可知λ＝0.12 m
波速为v＝＝0.12 m/s
0～0.75 s内波传播的距离为x＝vt＝0.09 m，故C正确；由于在t＝0时刻，质点Q不是在平衡位置，因此t＝0.75 s，即t＝时刻，质点Q不是在位移最大处，其加速度不是最大，故D错误．故选AC.
考点二
考点二　波的图像与振动图像的综合应用
【关键能力·思维进阶】
振动图像和波的图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向的判断　 (看下一时刻的位移)
(同侧法)
Δt后的图形 随时间推移，图像延伸，但已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系 (1)纵坐标均表示质点的位移 (2)纵坐标的最大值均表示振幅 (3)波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动 例 5 如图所示，图甲是t＝5 s时刻一简谐横波沿x轴正方向传播的波形图，图乙为这列波上某质点的振动图像，则(　　)
A．该列波的波速为4 m/s
B．图乙可能是质点b的振动图像
C．质点c的振动方程为y＝6sin (＋π)cm
D．t＝10 s时，a点的振动方向向上
答案：C
解析：由题图甲可得λ＝8 m，由题图乙可得T＝4 s，所以该简谐横波的波速为v＝＝2 m/s，故A错误；由题图甲可知，t＝5 s时，质点b位于平衡位置且向上振动，由题图乙可知，5 s时该质点处于波峰位置，故B错误；由题图甲可知，质点c的振动方程为y＝6sin (t＋π)cm，故C正确；t＝5 s时，质点a处于波峰位置，经过5 s＝(1＋)T，质点a运动到平衡位置且向下振动，故D错误．
例 6 (多选)[2022·山东卷]一列简谐横波沿x轴传播，平衡位置位于坐标原点O的质点振动图像如图所示．当t＝7 s时，简谐波的波动图像可能正确的是(　　)
答案：AC
解析：由振动图像可知波的振幅A＝20 cm，波的周期T＝12 s，从振动图像上可以看出t＝7 s时，平衡位置位于原点O的质点相对平衡位置的位移为y7＝－A，且向下运动．A图该质点位移符合条件，且当波沿x轴负方向传播时向下运动，符合题意，A项正确；C图该质点位移符合条件，且当波沿x轴正方向传播时向下运动，符合题意，C项正确．故选AC.
思维提升
求解波的图像与振动图像综合问题三关键：“一分、一看、二找”
考点三
考点三　波的多解问题
【关键能力·思维进阶】
1．波动问题多解的主要因素
(1)周期性
①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确．
②空间周期性：波传播的距离Δx与波长λ的关系不明确．
(2)双向性
①传播方向双向性：波的传播方向不确定．
②振动方向双向性：质点振动方向不确定．
2．解决波的多解问题的思路
一般采用从特殊到一般的思维方法，即找出一个周期内满足条件的关系Δt或Δx，若此关系为时间，则t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此关系为距离，则x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)．
例 7 [2023·海南卷]如图所示分别是一列机械波在传播方向上相距6 m的两个质点P、Q的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A．该波的周期是5 s
B．该波的波速是3 m/s
C．4 s时P质点向上振动
D．4 s时Q质点向上振动
答案：C
解析：由振动图像可看出该波的周期是4 s，A错误；由于Q、P两个质点振动反相，则可知两者间距离等于(n＋)λ＝6 m，n＝0，1，2，…
根据v＝＝ m/s，n＝0，1，2，…，B错误；由P质点的振动图像可看出，在4 s时P质点在平衡位置向上振动，C正确；由Q质点的振动图像可看出，在4 s时Q质点在平衡位置向下振动，D错误．故选C.
例 8 (多选)[2024·广东广州第十六中学期中]如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波t＝0时刻的波形图，虚线(非方格)为t＝1 s时刻的波形图．介质中有P、Q、M三个质点，t＝0时刻，三个质点的纵坐标分别为yP＝2 cm、yQ＝－2 cm、yM＝－2 cm.下列说法正确的是(　　)
A. P、Q两质点的速度总是大小相等、方向相反
B．P、M两质点相对平衡位置的位移总是大小相等、方向相反
C．此列波的周期可能为0.8 s
D．此列波的波速可能为6 m/s
答案：BC
解析：由题图可知此列波的波长为6 m，而P、Q两质点平衡位置的距离小于半个波长，所以P、Q的振动情况不是总相反；根据三角函数知识可知，P、M两质点平衡位置的距离等于半个波长，所以P、M的振动情况总是相反，A错误，B正确；在1 s内x＝3 m处质点位移为4 cm，即＝1 s(n＝1，2，3，…)，
故波的周期为4 s、 s、0.8 s、 s……，由于波长为6 m，周期不可能为1 s，故波速不可能为6 m/s，C正确，D错误．故选BC.
例 9 如图甲所示，某宇航员在太空中进行实验，左边为弹簧振动系统，弹簧振子连接一根很长的软绳，取沿绳方向为x轴，沿弹簧轴线方向为y轴(x轴与y轴垂直)，振子从平衡位置(坐标原点O点)沿y轴方向振动，某时刻绳子的波形如图乙中实线所示(t0＝0)，经过t1＝0.2 s后的波形如图乙中虚线所示，P为x＝4 m处的质点，则(　　)
A．绳子上产生的波的传播速度可能为35 m/s
B．质点P的振动频率可能为1.25 Hz
C．从t＝0开始，质点P经过0.8 s沿x轴正方向运动4 m
D．t＝0.4 s时，质点P的位置在y＝4 cm处
答案：B
解析：振源在坐标原点，绳子上产生的波只能向右传播，由t0到t1波传播的距离x＝nλ＋λ＝(4n＋1)m(n＝0，1，2，…)，0.2 s＝nT＋T(n＝0，1，2，…)，则波速v＝(20n＋5) m/s(n＝0，1，2，…)，T＝ s(n＝0，1，2，…)，据以上分析可知，该波的波速不可能为35 m/s，故A错误；当n＝0时，该波振动周期为0.8 s，则质点P的振动频率为1.25 Hz，故B正确；根据机械波的传播特点可知，各质点并不随波迁移，而是在平衡位置附近做简谐运动，故C错误；根据波的图像和以上分析可知，t＝0.4 s时，质点P的位置在坐标原点O处，故D错误．
考点四
考点四　波的干涉、衍射　多普勒效应
【必备知识·自主落实】
1．波的叠加
在波的叠加中，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．
2．波的干涉和衍射
相同
尺寸
稳定的干涉图样
绕过障碍物
3.波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
(1)公式法：
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr.
①当两波源振动步调一致时，
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动减弱．
②当两波源振动步调相反时，
若Δr＝(2n＋1)(n＝0，1，2，…)，则振动加强；
若Δr＝nλ(n＝0，1，2，…)，则振动减弱．
(2)图像法：
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰(或波谷与波谷)的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点．
4．多普勒效应
(1)定义：波源与观察者___________________，接收到的频率____________的现象．
(2)实质：波源频率________，观察者接收到的频率_________．
(3)规律：
①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大．
波源频率不变
②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小．
波源频率不变
③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率________波源的频率．
相互靠近或者相互远离时
会发生变化
不变
发生变化
等于
【关键能力·思维进阶】
1．[2024·湖北模拟预测]如图，P为桥墩，A为靠近桥墩浮在水面的叶片，波源S连续振动，形成水波，此时叶片A静止不动．为使水波能带动叶片振动，可用的方法是(　　)
A．增大波源振幅
B．降低波源频率
C．减小波源距桥墩的距离
D．增大波源频率
答案：B
解析：叶片A静止不动，是由于桥墩尺寸太大，没有发生明显衍射现象，为了水波能带动叶片振动，必须增大波长，根据v＝＝λf，波速由介质决定，介质一定，波速一定，当降低波源频率，波长增大，更容易产生衍射现象．故选B.
2．[2024·山东青岛统考二模]我国研制的“复兴号动车组”首次实现了时速350 km/h的自动驾驶，此时多普勒效应会影响无线通信系统稳定，这要求通信基站能分析误差并及时校正．如图一辆行驶的动车组发出一频率为f0、持续时间为Δt0的通讯信号，与动车组行驶方向在同一直线上的通信基站A、B接收到信号的频率和持续时间分别为fA、ΔtA和fB、ΔtB，下列判断正确的是(　　)
A．fA>f0，ΔtA<Δt0
B．fAΔt0
C．fB>f0，ΔtB>Δt0
D．fB答案：A
解析：根据多普勒效应，远离波源的接收者接到的频率变小，接近波源的接收者接收到的频率变大，则fA>f0，fBT0，所以ΔtA<Δt0，ΔtB>Δt0，故选A.
3．[2023·浙江6月]如图所示，置于管口T前的声源发出一列单一频率声波，分成两列强度不同的声波分别沿A、B两管传播到出口O.先调节A、B两管等长，O处探测到声波强度为400个单位，然后将A管拉长d＝15 cm，在O处第一次探测到声波强度最小，其强度为100个单位．已知声波强度与声波振幅平方成正比，不计声波在管道中传播的能量损失，则(　　)
A．声波的波长λ＝15 cm
B．声波的波长λ＝30 cm
C．两声波的振幅之比为3∶1
D．两声波的振幅之比为2∶1
答案：C
解析：分析可知A、B两管等长时，声波的振动加强，将A管拉长d＝15 cm后，两声波在O点减弱，由于声波强度与声波振幅平方成正比，根据题意设声波加强时振幅为20，声波减弱时振幅为10，则A1＋A2＝20，A1－A2＝10
可得两声波的振幅之比＝，故C正确，D错误；根据振动减弱的条件可得＝2d，解得λ＝60 cm，故A、B错误．故选C.
4．(多选)[2024·广东高三校联考]如图甲所示，水面上有两个波源S1、S2同时产生两列水波，若两列水波近似为简谐横波，以两波源的连线为x轴建立坐标轴，某时刻的波形图如图乙所示，P、Q为介质中的两点，下列说法正确的是(　　)
A．S1发出的水波波长大于S2发出的水波波长
B．两列水波在水中的传播速度大小相等
C．图示时刻，P、Q两点的振动方向相反
D．两列水波相遇时，两波源连线中点处的振动将加强
答案：BD
解析：由图乙可知，两列水波的波长λ1＝λ2＝0.2 m，故A错误；机械波的波速由介质决定，两列水波在水中的传播速度大小相等，故B正确；图示时刻，P、Q两点的振动方向均沿y轴负方向，振动方向相同，故C错误；两波源连线中点到两波源的波程差为零，两波振动情况相同，振动始终加强，故D正确．故选BD.

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