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专题 13 导数运算法则在抽象函数中的应用
导数与不等式都是高考中的重点与难点,与抽象函数有关的导数问题更是一个难点,求解此类问题的关键是
根据导数的运算法则构造合适的函数,再利用导数的运算法则确定所构造函数的性质,最后再利用函数性质
求解.
(一) 抽象函数的奇偶性及应用
若 f -x = f x 两边求导得 - f -x = f x ，即 f -x = - f x ，即若可导函数 f x 是偶函数，则 f x
是奇函数，同理可得：若可导函数 f x 是奇函数，则 f x 是偶函数.
【例 1】（2024 届上海市奉贤区高三二模）已知定义域为R 的函数 y = f x ，其图象是连续的曲线，且存在
定义域也为 R 的导函数 y = f x .
(1)求函数 f x = ex + e- x 在点 0, f 0 的切线方程；
(2)已知 f x = a cos x + bsin x，当 a与b 满足什么条件时，存在非零实数 k ，对任意的实数 x 使得
f -x = -kf x 恒成立？
(3)若函数 y = f (x) 是奇函数，且满足 f x + f 2 - x = 3 .试判断 f x + 2 = f 2 - x 对任意的实数 x 是否恒
成立，请说明理由.
【解析】（1）由题可知， f (x) = ex - e- x ，
所以切线的斜率为 f (0) = 0 ，且 f (0) = 2，
所以函数在点 0, f 0 的切线方程为 y - 2 = 0 x - 0 ，即 y = 2；
（2）由题可知 f x = -a sin x + b cos x，
又因为定义域上对任意的实数 x 满足 f -x = -kf x ，
ì-b = ak
所以 a cos x - bsin x = ak sin x - bk cos x，即 í
a bk
，
= -
当 k R 且 k 0时， a = b = 0，
当 k =1时， a + b = 0，当 k = -1时， a - b = 0；
（3）因为函数 y = f x 在定义域R 上是奇函数，所以 f (-x) = - f (x) ，
所以 f (-x) × (-x) = - f (x) ，所以 f (-x) = f (x)，所以 y = f x 是偶函数，
因为 f x + f 2 - x = 3，所以 f x + f 2 - x × 2 - x = 3 ，
即 f x - f 2 - x = 0，即 f x = f 2 - x ，
因为 f (-x) = f (x)，所以 f -x = f 2 - x ，即 f x = f 2 + x ，
所以 y = f x 是周期为 2的函数，
所以 f x = f x + 2 = f x - 2 ，所以 f 2 - x = f -x = f x = f x + 2 .
(二)和差型抽象函数的应用
解答此类问题时一般要根据题意构造辅助函数求解,构造时要结合所求的结论进行分析、选择,然后根据所构
造的函数的单调性求解．如给出式子 f x - k ,可构造函数 y = f x - kx + b ，给出式子 f x - kx ,可构造
函数 y = f x 1- x2 + b ，一般地，若给出 f x ± g x 通常构造函数 y = f x ± g x + c .
2
【例 2】已知 y = f (x)(x R) 的导函数 f (x)满足 f (x) 3且 f (1) = 3，求不等式 f (x) 3x的解集．
【解析】令 F (x) = f (x) - 3x ，则 F x = f x -3 0，∴ F (x)在R 上为单调递增．
又∵ f (1) = 3，∴ F (1) = f (1) - 3 = 0，则 f (x) 3x可转化为 F (x) 0 = F (1)，
根据 F (x)单调性可知不等式 f (x) 3x的解集为 (1, + )．
(三)积型抽象函数的应用
若给出形如 f x g x + f x g x 的式子通常构造函数 y = f x g x + c ，如给出 xf x + nf x 可构造函
数 y = xn f x ，如给出 f x + nf x ，可构造函数 y = f x enx ，如给出 f x + f x tan x ，可构造函数
y = f x sin x .
【例 3】（2024 年全国高考名校名师联席命制数学押题卷）若函数 f x 在 a,b 上满足 g x = f x f x 0
且不恒为 0，则称函数 f x 为区间 a,b 上的绝对增函数， g x 称为函数 f x 的特征函数，称任意的实数
c a,b 为绝对增点（ f x 为函数 f x 的导函数）．
(1)若 1 为函数 f x = a - x ex 的绝对增点，求 a的取值范围；
(2)绝对增函数 f x 的特征函数 g x 的唯一零点为 x0 ．
（ⅰ）证明： x0 是 f x 的极值点；
（ⅱ）证明： g x 不是绝对增函数．
1 f x = a - x ex f x = a -1- x ex【解析】（ ）因为函数 ，所以 ，
则 f x f x = x - a x - a +1 e2x ．
由 f x f x 0得 x - a x - a +1 0 ，解得 x a -1或 x a，
所以 f x 为区间 - ,a -1 及区间 a,+ 上的绝对增函数．
又 1 为函数 f x 的绝对增点，所以1< a -1或1 a ，解得 a 2或a < 1，
所以 a的取值范围为 - ,1 U 2, + ．
（2）（ⅰ）设 f x 为区间 a,b 上的绝对增函数，由题意知 g x0 = 0，当 x x0时， g x 0, x0 a,b ．
①若 f x0 = 0，存在Δx 0，且 f x 在区间 x0 - Δx, x0 上单调递增，则在区间 x0 - Δx, x0 上，
f x 0, f x < 0 ，则 g x < 0，与 g x 0矛盾．
若 f x0 = 0，存在Δx 0，且 f x 在区间 x0 - Δx, x0 上单调递减，则在区间 x0 - Δx, x0 上，
f x < 0, f x 0，则 g x < 0，与 g x 0矛盾．
若 f x0 = 0，存在Δx 0，且 f x 在区间 x0 - Δx, x '0 上不单调，则存在 x0 x0 - Δx, x0 ，且 f x0 = 0，
此时 g x0 = 0与 g x 有唯一零点 x0 矛盾．所以 f x0 0 ．
②若 f x0 0 ，不妨设 f x0 0，则 f x0 = 0，且存在Δx1 0，使得当 x x0 - Δx1, x0 + Δx1 时，
f x 0，且当 x x - Δx , x 0 1 0 U x0 , x0 + Δx1 时， f x > 0，即$Δx1 0，使 f x 在 x0 - Δx1, x0 上单调
递减，在 x0 , x0 + Δx1 上单调递增．
所以 x0 为 f x 的极值点．同理，当 f x0 < 0时也成立．
（ⅱ）若 g x 为绝对增函数，则 g x × g x 0在 a,b 上恒成立，
又 g x 0恒成立，所以 g x 0恒成立．
令j x = ex × g x ，所以j x 0 ，且j x = ex × g x + g x 0，
所以j x 在 a,b 上单调递增．又j x0 = 0，所以当 x a, x0 时，j x < 0 ，则 g x < 0，与 g x 0矛盾，
所以假设不成立，所以 g x 不是绝对增函数．
π
【例 4】定义在 (0, )上的函数 f (x) ，其导函数是 f (x)，且恒有 f (x) < f (x) × tan x成立，比较
2
3 f π π ÷ 与 f
è 6 è 3 ÷
的大小.

π
【解析】因为 x (0, )，所以 sin x 0， cos x 0．
2
由 f (x) < f (x) tan x ，得 f (x) cos x < f (x)sin x ．
即 f (x)sin x - f (x)cos x 0 ．
令 g(x)
f (x)
= ， x (0,
π) f (x)sin x - f (x)cos x，则 g (x) = 0．
sin x 2 sin2 x
f (x) π
所以函数 g(x) = 在 x (0, )上为增函数，
sin x 2
π π π
π f ( ) f (
π) f ( ) f ( )
则 g( ) < g(
π) ，即 6 < 3 6 < 3 3 f (
π
，所以 ，即 ) < f (
π)．
6 3 1sin π sin π 3 6 3
6 3 2 2
(四)商型抽象函数的应用
f x
若给出形如 f x g x - f x g x 的式子通常构造函数 y = + c ，如给出 xf x - nf
x
g x 可构造函数
f x f x f xy = n ，给出 f x - nf x ，可构造函数 y = nx ，给出 f x - f x tan x ，可构造函数 y = .x e sin x
【例 5】（2024 届湖北省襄阳市第五中学高三第二次适应性测试）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在
高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数 f(x)，g(x)满足:
①图象在 a,b 上是一条连续不断的曲线；
②在 a,b 内可导;
f b - f a f x
③对"x a,b ， g x 0 ，则$x a,b ，使得 =g b g a g x .-
特别的，取 g x = x，则有：$x a,b f b - f a ，使得 = f x ，此情形称之为拉格朗日中值定理.
b - a
(1)设函数 f x 满足 f 0 = 0，其导函数 f x 在 0, + f x上单调递增，证明：函数 y = 在 0, + 上为
x
增函数.
(2)若"a,b 0,e ln a ln b m b a 且 a b，不等式 - + - ÷ 0 恒成立，求实数m 的取值范围.b a è a b
f x f x - f1 0 【解析】（ ）由题 = ，
x x - 0
由柯西中值定理知：对"x 0，$x 0, x ，
f x - f 0 f x
使得 = = f x f x ， = f x ，
x - 0 1 x
又 f x 在 0, + 上单调递增，则 f x f x ，
f x
则 f x ，即 xf x - f x 0，
x
é f x ù xf x - f x
所以 ê =x ú x2
0，

f x
故 y = 在 0, + 上为增函数；
x
ln a ln b b a
（2） - + m

-

÷ 0
a ln a - b ln b
m，
b a è a b a2 - b2
取 f x = x ln x ， g x = x2，
因为 a b，所以由柯西中值定理，$x b,a ，
f a - f b a ln a - b ln b f x 1+ lnx
使得 = 2 2 = =g a - g b a - b g x 2x ，
1+ lnx
由题则有： m2x ，
设G x 1+ ln x= 0 < x < e G x - ln x， = ，
2x 2x2
当0 < x < 1时，G x 0 ，当1 < x < e 时，G x < 0，
所以G x 在 0,1 上单调递增，在 1,e 上单调递减，
所以G x 1= G 1 =max ，2
m 1
1
故
é
，所以实数m 的取值范围是 ê ,+ .2 2 ÷
【例 6】已知函数 f x 在 0,1 恒有 xf x 2 f x ，其中 f x 为函数 f x 的导数，若a ，b 为锐角三角
形两个内角，比较cos2 b f (sina ),sin2 a f (cos b ) 的大小.
g x f (x)= 0 < x <1 x
2 × f
g x x - 2x × f x x × f
x - 2 × f x
【解析】设 ，则
x2 = 4 = 3 0x x
所以函数 g x 在 0,1 上单调递增.
a ， b 为锐角三角形两个内角,则a + b π
2
0 π所以 < - b < a
π
< ，由正弦函数 y = sin x
0, π 在 2 ÷上单调递增.2 2 è
0 cos b sin π< = - b 则 ÷ < sina < 1
è 2
g cos g sin f cos b f sina 所以 b < a ，即
cos2
<
b sin2 a
所以 sin2 a × f cos b < cos2 b × f sina .
(五)根据 f x ± f -x = g x 构造函数
若给出形如 f x ± f x = g x 的式子通常构造偶函数或奇函数.
【例 7】设函数 f (x) 在 R 上存在导函数 f '( x ) , "x R ,有 f (x) - f (-x) = x3 ,在 (0, + )上有
2 f '(x) - 3x2 0 ,若 f (m - 2) - f (m) -3m2 + 6m - 4 ,求实数m 的取值范围.
3 3
【解析】因为 f x - f -x = x3 , f (x) x (-x)所以 - = f (-x) -
2 2
3
令 g(x) x= f (x) - \g(x) = g(-x)
2
即函数 g(x) 2为偶函数,因为 0, + 上有2 f ' x - 3x 0 ,
2
所以 g (x) 3x= f (x) - 0
2
即函数 g(x) 在 (0, + )单调递增；
又因为 f m - 2 - f m -3m2 + 6m - 4
3 3
所以 g(m - 2) - g(m) f (m 2) (m - 2)= - - - f (m) m+
2 2
= f (m - 2) - f (m) + 3m2 - 6m + 4 0
即 g(m - 2) g(m) ,所以 m - 2 m ,解得m 1 ,故选 B.
(六)信息迁移题中的抽象函数
求解此类问题关键是如何利用题中的信息.
【例 8】已知定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x 1对任意 x R 恒成立，则称函数 f x
为“线性控制函数”.
(1)判断函数 f x = sinx和 g x = ex 是否为“线性控制函数”，并说明理由；
(2)若函数 f x 为“线性控制函数”，且 f x 在R 上严格增，设 A B 为函数 f x 图像上互异的两点，设直线 AB
的斜率为 k ，判断命题“ 0 < k 1”的真假，并说明理由；
(3)若函数 f x 为“线性控制函数”，且 f x 是以T (T 0)为周期的周期函数，证明：对任意 x1, x2 都有
f x1 - f x2 T .
【解析】（1） f x = cosx 1，故 f x = sinx是“线性控制函数”；
g 1 = e 1，故 g x = ex 不是“线性控制函数”.
（2）命题为真，理由如下：
设 A x1, f x1 , B x2 , f x2 ，其中 x1 < x2
f x - f x
由于 f x 在R 上严格增，故 f x1 < f x2 ，因此 k = 1 2 0x1 - x2
由于 f x 为“线性控制函数”，故 f x 1，即 f x -1 0
令F x = f x - x，故F x = f x -1 0，因此F x 在R 上为减函数
f x - f x f xk -1 = 1 2 -1 = 1 - x1 - f x2 - x2 F x1 - F x = 2 0 k 1，
x1 - x2 x1 - x2 x1 - x2
综上所述，0 < k 1，即命题“ 0 < k 1”为真命题.
f a - f b
（3 ）根据（2）中证明知，对任意 a < b 都有 k = 1
a - b
由于 f x 为“线性控制函数”，故 f x -1，即 f x +1 0
令G x = f x + x ，故G x = f x +1 0，因此F x 在R 上为增函数
f a - f b f a + a - f b + b G a - G b f a - f b
+1 = = 0 -1
a - b a - b a - b a - b
f a - f b f a - f b
因此对任意 a < b 都有 -1,1 ，即 1
a - b a - b
当 x1 = x2时，则 f x1 - f x2 = 0 T 恒成立
当 x1 x2 时，
f x1 - f x2 f x1 - f x2
若 x2 - x1 T ，则1 ，故 f x1 - f x2 Tx1 - x2 T
若 x2 - x1 T 时，则存在 x3 x1, x1 +T 使得 f x3 = f x2
f x1 - f x3 f x1 - f x
故 1 3 ，因此 f x1 - f x2 = f x1 - f x3 < Tx1 - x3 T
综上所述，对任意 x1, x2 都有 f x1 - f x2 T .
T
（事实上，对任意 x1, x2 都有 f x1 - f x2 ，此处不再赘述）2
【例 9】定义：若曲线 C1和曲线 C2有公共点 P，且在 P 处的切线相同，则称 C1与 C2在点 P 处相切．
(1) 2 2设 f x = 1- x , g x = x - 8x + m．若曲线 y = f x 与曲线 y = g x 在点 P 处相切，求 m 的值；
(2)设 h x = x3，若圆 M： x2 + y - b 2 = r 2 r 0 与曲线 y = h x 在点 Q（Q 在第一象限）处相切，求 b 的
最小值；
(3)若函数 y = f x 是定义在 R 上的连续可导函数，导函数为 y = f x ，且满足 f x f x 和 f x < 2
都恒成立.是否存在点 P，使得曲线 y = f x sin x和曲线 y=1 在点 P 处相切？证明你的结论．
【解析】（1）设点P(x1, y1)，由 f (x) =1- x2 , g(x) = x2 -8x + m ，求导得 f (x) = -2x, g (x) = 2x -8，
于是-2x1 = 2x1 -8，解得 x1 = 2，由 f (x1) = g(x1)，得1- 22 = 22 -8 2 + m，解得m = 9，
所以 m 的值为 9.
（2）设切点Q(x2 , x
3
2 ), x2 0，由 h x = x3求导得 h (x) = 3x2 2，则切线的斜率为 h (x2 ) = 3x2 ，
3
2 x - b又圆 M： x + (y - b)2 = r2 的圆心M (0,b)，直线MQ 的斜率为 2 ，x2
x3
则由 2
- b 1
×3x22 = -1
3
，得b = x2 + 3x ，令j(x)
1
= x3 + , x 0 2 1，求导得j (x) = 3x - ，
x2 2 3x 3x2
0 3当 < x < 时，j (x) < 0 x 3，当 时，j (x) 0 j(x) (0, 3 3，即函数 在 )上递减，在 ( ,+ )上递增，
3 3 3 3
因此当 x 3= 时，j(x) 3 4 3min = j( ) = ，3 3 9
3 4 3
所以当 x2 = 时，b3 min
= .
9
（3）假设存在P(x0 ,1) 满足题意，
则有 f (x0 )sin x0 =1，对函数 y = f (x) sin x 求导得： y = f (x)sin x + f (x) cos x，
于是 f (x0 )sin x0 + f (x0 ) cos x0 = 0，即 f (x0 )sin x0 = - f (x0 ) cos x0 ，
平方得[ f (x0 )]
2 sin2 x0 = [ f (x0 )]
2 cos2 x = [ f (x )]20 0 (1- sin
2 x0 )，
2 2 1
即有[ f (x0 )] sin x0 + [ f (x0 )]
2 sin2 x 2 20 = [ f (x0 )] ，因此[ f (x0 )] × 2 +1 = [ f (x )]
2
[ f (x )] 0 ，0
整理得[ f (x0 )]
2 + [ f (x0 )]
2 = [ f (x 40 )] ，而恒有 f x f x [ f (x )]2成立，则有 0 [ f (x )]20 ，
从而[ f (x0 )]
4 2[ f (x 20 )] ，显然 f (x0 ) 0，于是[ f (x
2
0 )] 2，即 | f (x0 ) | 2 与 f x < 2 恒成立矛盾，
所以假设不成立，即不存在点 P 满足条件.
【例 1】（2024 年全国统一考试数学押题卷）函数与函数之间存在位置关系.已知函数 f x 与 g x 的图象在
它们的公共定义域 D内有且仅有一个交点 x0 , f x0 ，对于"x1 D且 x1 - , x0 ， x2 D且 x2 x0 , + ，
若都有 é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù < 0，则称 f x 与 g x 关于点 x0 , f x0 互穿；若都有
é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù 0，则称 f x 与 g x 关于点 x0 , f x0 互回.已知函数 f x 与 g x 的定
义域均为R ，导函数分别为 f x 与 g x ， f x 与 g x 的图象在R 上有且仅有一个交点 m, f m ，
f x 与 g x 的图象在R 上有且仅有一个交点 m, f m .
(1) f x = ex若 ， g x =1+ x ，试判断函数 f x 与 g x 的位置关系.
(2)若 f x 与 g x 关于点 m, f m 互回，证明： f x 与 g x 关于点 m, f m 互穿且
é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
(3)研究表明：若 f x 与 g x 关于点 m, f m 互穿，则 f x 与 g x 关于点 m, f m 互回且
2 3 i
é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+
x x x
上恒成立.根据以上信息，证明： ex 1+ x + + + ×××+ （ i
2 6 i!
为奇数）.
【解析】（1）设H x = f x - g x = ex - 1+ x = ex - x -1，
则H x = ex -1，当 x < 0 时，H x < 0 ，当 x 0时，H x 0，
\H x 在 - ,0 上单调递减，在 0, + 上单调递增，
所以H x H 0 = e0 -1 = 0 ，即 f x g x ，当且仅当 x = 0时取等号.
又 f x 与 g x 的图象在R 上有且仅有一个交点 0,1 ，
\函数 f x 与 g x 关于点 0,1 互回.
（2）设 x1 < m ， x2 m，则 é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù 0，（互回的定义的应用）
设h x = f x - g x ，则 h x = f x - g x ，故 h x1 h x2 0 .
①若 h x1 , h x2 均大于零，因为 h m = f m - g m = 0 ，（提示： f x 与 g x 的图象交于点
m, f m .
所以h x 0，所以 h x 单调递增，
又 h m = f m - g m = 0 ，（提示： f x 与 g x 的图象交于点 m, f m ）
所以 h x1 < 0 ， h x2 0，
所以 h x1 × h x2 = é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù < 0， h x1 × h x2 0 ，
所以 f x 与 g x 关于点 m, f m 互穿且 é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
②若 h x1 , h x2 均小于零，因为 h m = f m - g m = 0 ，
所以 h x 0，所以 h x 单调递减，
又 h m = f m - g m = 0 ，
所以 h x1 0， h x2 < 0，
所以 h x1 × h x2 = é f x1 - g x1 ù × é f x2 - g x2 ù < 0， h x1 × h x2 0 ，
所以 f x 与 g x 关于点 m, f m 互穿且 é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
综上， f x 与 g x 关于点 m, f m 互穿且 é f x - g x ù × é f x - g x ù 0 在 m,+ 上恒成立.
x2 3 i
（3）设 fi x = ex ， gi x =1+ x
x x
+ + +L+ （ i N*）
2 6 i!
2 3 i-1
则 f ' x x x xi = ex = fi-1 x （ i 2 '）， gi x =1+ x + + +L+ = g x 2 6 i 1 ! i-1 （ i 2）-
' '
（关键：寻找 fi x 与 fi-1 x ， gi x 与 gi-1 x ， i 2之间的关系）
易知 f1 x = ex ， g1 x =1+ x ，
由（1）可知 f1 x 与 g1 x 关于点 0,1 互回.
0
因为 fi 0 = e =1 = gi 0 ，
所以"i N*， fi x 与 gi x 的图象交于点 0,1 .
由（2）得 f2 x 与 g2 x 关于点 0,1 互穿，（提示： f 2 x = f1 x ， g2 x = g1 x ）
由（3）得 f3 x 与 g3 x 关于点 0,1 互回，
易得当 i为奇数时， fi x 与 gi x 关于点 0,1 互回，
所以"x1 - ,0 ， x2 0, + ，有 é fi x1 - gi x1 ù × é fi x2 - gi x2 ù 0（ i为奇数）.（提示：互回的定义
的应用）
由题意得 é fi x2 - gi x2 ù × é fi-1 x2 - gi-1 x2 ù 0对任意正整数 i恒成立，（提示：由本问信息可得）
所以 é fi-1 x2 - gi-1 x2 ù × é fi-2 x2 - gi-2 x2 ù 0
é fi-2 x2 - gi-2 x2 ù × é fi-3 x2 - gi-3 x2 ù 0，L，
é f2 x2 - g2 x2 ù × é f1 x2 - g1 x2 ù 0
累乘得 é fi x2 - gi x2 ù × é fi-1 x2 - gi-1 x2
2
ù Lé f1 x2 - g1 x2 ù 0
所以 é fi x2 - gi x2 ù × é f1 x2 - g1 x2 ù 0
易知 f1 x2 - g1 x2 0，（点拨： f1 x g1 x ，当且仅当 x = 0时等号成立，又 x2 0, + ，所以
f1 x2 g1 x2 .所以 fi x2 - gi x2 0 .
因为 é fi x1 - gi x1 ù × é fi x2 - gi x2 ù 0，（ i为奇数），
所以 fi x1 - gi x1 0（ i为奇数），
因为 fi 0 = gi 0 ，所以 fi x gi x （ i为奇数），
2 3 i
即 ex 1 x x x x+ + + + + （ i为奇数），得证.
2 6 i!
【例 2】（2024 届上海市普陀区桃浦中学高三上学期期末）对于一个在区间 I 上连续的可导函数 y = f (x) ，
在 I 上任取两点 (x1, f x1 )， (x2 , f x2 ) ，如果对于任意的x1与x2的算术平均值的函数值大于等于对于任意
的x1与x2的函数值的算术平均值，则称该函数在 I 上具有“M 性质”.如果对于任意的x1与x2的几何平均值的
函数值大于等于对于任意的x1与x2的函数值的几何平均值，则称 y = f (x) 在 I 上具有“L 性质”.
(1)如果函数 y =loga x在定义域内具有“M 性质”，求 a的取值范围.
1
(2) 2对于函数 y = ax - ln x，若该函数的一个驻点是 x = ，求 a，并且证明该函数在 x ée , + ù上具有“L 性e
质”.
(3)设存在m, n I ，使得 f (m) = f (n) .
①证明:取x (m, n)，则有 f (m) - f (n) = f (x )(m - n)
②若 I = [a,b]，设命题 p :函数 y = f (x) 具有“ M 性质”，命題 q : f (x) 为严格减函数，试证明 p 是q的必要条
件.
(可用结论:若函数 f (x) 在区间 I 上可导，且在区间 I 上连续，若有 (a,b) I ，且 f (a) = f (b) ，则 f (x) 在区间
I 上存在驻点)
【解析】（1）由函数 f (x) = loga x在 (0, + )上具有“ M 性质”，
x + x 1
可得对任意 x1, x2 (0,+ ), log 1 2a loga x1 + log2 2 a x2 = loga x1x2 .
又 x1 + x2 2 x1x2 ，所以 a 1；
1
（2）令 g(x) = ax - ln x, g (x) a
1
= - 由 g

÷ = 0，得a = ex è e
1
则 g(x) = e x - ln x ，在 0,
1
÷上严格减:在 ,+ e ÷ 上严格增
.
è è e
要证 g(x)在 é e
2 ,+ 上具有“ L性质”.
需证 g x1 × x2 g x1 × g x2 ，
即证 é g
2
x ù1 × x2 g x1 × g x2 ，
而 é g x1 × x2
2
ù
=
2
e x1x
2
2 - ln x1x2 = e x1x2 - 2e x1x2 ln x1x2 + ln2 x1x2 ，
g x1 × g x2 = ex1 - ln x1 ex2 - ln x2 = e2x1x2 - e x1 ln x2 + x2 l nx + ln x1 × ln x
2 1 2
则 ln x1x2 - 2e x1x2 ln x1x2 = ln x1x2 - e x1x2 ln x1x4 2
ln x1 ln x2 - e x1 ln x2 + x2 ln x1 ，
1
需证 ln x + ln x 2 - e x x ln x x + e x ln x + x ln x ln x ln x ，
4 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
1
由 ln x1 + ln x2
2 ln x ln x
4 1 2
，
e x1 ln x2 + x2 ln x1 - e x1x2 ln x1x2
= é e x2 × x2 - x1 × ln x1 + x1 × x1 - x ù2 × ln x2
= 2e x2 - x1 x2 ln x1 - x1 × ln x2
ln x ln x
= 2e x1x2 x - x 1 22 1 ÷÷
è x1 x2
ln x ln x
故只需证 2e x1x2 x - x 1 22 1 - ÷÷ 0，
è x1 x2
ln x
下面给出证明：设 h(x) = ，则 h (x)
1- ln x
=
x x2
，
即在 (e, + )上h (x) < 0,h(x)递减，
所以 x1 - x2 é h x1 - h x2 ù 0，
2e x x ln x ln x x 1 2即 1 2 2 - x1 -x x ÷÷ 0 .è 1 2
1
综上， ln x1 + ln x
2
2 - e x1x2 ln x1x2 + e x1 ln x2 + x2 ln x1 p ln x1 ln x2 成立，4
故 g x1 × x2 g x1 × g x2 ，得证.
（3）①令 g(x) = ( f (m) - f (n))x - f (x)(m - n)， g (x) = f (m) - f (n) - f (x)(m - n) ，
由可用结论，令 x = x 为该函数的驻点，则0 = g (x ) = f (m) - f (n) - f (x )(m - n) ，
即取x (m, n)，则有 f (m) - f (n) = f (x )(m - n)，得证.
②取 x1, x2 (a,b)，设 x1 < x2 ,uk (0,1),k {1,2}，
记 2x0 = x1 + x2 , h = x2 - x0 = x0 - x1，则 x1 = x0 - h, x2 = x0 + h ，由①中的结论，则有:
f x0 + h - f x0 = hf x0 + u1h （1）
f x0 - h - f x0 = hf x0 - u2h （2）
由(1) - (2)，得 f x0 - h + f x0 + h - 2 f x0 = h é f x0 + u1h - f x0 - u2h ù 对 f (x) 在区间 x0 - u2h, x0 + u1h
使用①中的结论，则：
f (x ) u1 + u2 h2 = h é f x0 + u1h - f x0 - u2h ù ，
其中，x x0 - u2h, x0 + u1h .
由于 f (x) 是严格减函数，则 f (x ) 0，
f x + h + f x - h即 f x 0 0 0 ，2
即 f
x1 + x2 f x + f x
÷
1 2 .
è 2 2
所以 p 是q的必要条件.
【例 3】已知函数 f x 的定义域为 0, + f x ，导函数为 f x ，若 f x < 恒成立，求证：
x +1
f 3 - 2 f 1 < 0 .
f xg x x 0 f fx x 【解析】设函数 = ，因为 < ， x 0 ，
x +1 x +1
x +1 f x - f x
所以 x +1 f x - f x < 0 '，则 g x = < 0 ，x +1 2
所以 g x 在 0, + 上单调递减，
g 1 g 3 f 1 f 3 从而 ,即 ，所以 f 3 - 2 f 1 < 0 .
2 4
1 2 1
【例 4】已知函数 f x 满足 f x + f ' x = x ，且 f 0 =1，判断函数 g x = 3é f x ù - f x 零点的个数.e 2
【解析】 f x + f ' x 1= ex f x + ex f ' x =1 éx e
x f x ù x ' =1，∴ e f x = x + c， f x
x + c
= x ，∵e e
f 0 =1 x +1代入，得 c =1，∴ f x =
ex
.
2g x 1= 3 é f x ù - f x = 0 f x = 0或 f x
1
= ，
2 6
f x 0 x +1= x = 0 x = -1； f x
1 x +1 1
= x = e
x = 6 x +1 ，
e 6 e 6
如图所示，
1
函数 y = ex 与函数 y = 6 x +1 的图像交点个数为 2 个，所以 f x = 的解得个数为 2 个；综上，零点个数为
6
3 个.
【例 5】已知定义在 R 上的函数 f x 的导数为 f x ,且满足 f x + f -x = 2sin x ,当 x 0 时
f x x -sin x -cos x π ,求不等式 f 2x - f x - ÷ < sin 2x + cos x的解集.
è 2
【解析】设 g x = f x - sin x ,则 g -x = f -x + sin x ,所以 g x - g -x
= f x - f -x -2sin x = 0 ,所以 g x 是偶函数,设 h x = x - sin x x 0 ,则 h x = 1- cos x 0 ,所
以 h x h 0 , 即 x - sin x 0 , 所 以 x 0 时 f x x - sin x - cos x -cos x , 所 以 x 0 时
g x = f x + cos x 0 , g x 在 0, + 上 是 增 函 数 , 所 以 f 2x - f π x - ÷ < sin 2x + cos x
è 2
f 2x - sin 2x
< f x π- - sin x π ÷ -

÷ g 2x g
x π g 2x < g x π- π< - ÷ ÷ 2x < x - è 2 è 2 è 2 è 2 2
2
2x 2 x π x π 3x π π π< - ÷ + ÷ - ÷ < 0 - < x < ,故选 C.
è 2 è 2 è 2 2 6
【例 6】已知定义域为R 的函数 y = f x ，其导函数为 y = f x ，满足对任意的 x R 都有 f x <1.
sin x
(1)若 f x = ax + ，求实数 a 的取值范围；
4
(2)若存在M 0，对任意 x R ，成立 f x M ，试判断函数 y = f x - x 的零点个数，并说明理由；
(3)若存在 a、b a < b ，使得 f a = f b ，证明：对任意的实数x1、 x2 a,b ，都有
f x f x b - a1 - 2 < .2
sin x cos x
【解析】（1）若 f x = ax + ，则 f (x) = a + ，
4 4
由题意，对任意的 x R 都有 f x <1，
a cos x则 + <1
cos x
，即-1< a + <1，
4 4
cos x cos x
所以-1- < a <1- ，
4 4
1 cos x 3 cos x 3由于 - 的最小值为 ，-1- 的最大值为- ，
4 4 4 4
3 3 3 3
所以- < a < ，即实数 a 的取值范围为 - ,4 4 4 4 ÷
；
è
（2）依题意， y = f x -1< 0，
所以， y = f x - x 在R 上为减函数，所以至多一个零点；
f x M -M < f x < M ，，
当 x = -M -1时， y = f x - x = f -M -1 + M +1 0，
当 x = M +1时， y = f x - x = f M +1 - M -1 < 0，
所以 y = f x - x 存在零点，综上存在 1 个零点；
f x - f x
（3）因为 f x 1 2 <1，由导数的定义得 <1，
x1 - x2
即 f x1 - f x2 < x1 - x2 ，
不妨设 a x1 x2 b
若 x
b - a
1 - x2 ，则 f x1 - f x
b - a
2 < x1 - x2 2 2
b - a
若 x1 - x2 ，2
则 f x1 - f x2 = f x1 - f b + f a - f x2
< f x1 - f b + f a - f x2
< b - x1 + x2 - a
b a b - a b - a< - - = .
2 2
1.若定义域为 D 的函数 y = f x 使得 y = f x 是定义域为 D 的严格增函数，则称 f x 是一个“T 函数”．
(1) x 3分别判断 f1 x = 3 ， f2 x = x 是否为 T 函数，并说明理由；
(2)已知常数 a 0，若定义在 0, + 上的函数 y = g x 是 T 函数，证明：
g a +1 - g a < g a + 3 - g a + 2 ；
(3)已知 T 函数 y = F x 的定义域为R ，不等式F x < 0的解集为 - ,0 ．证明：F x 在R 上严格增．
2．对于一个函数 f x 和一个点M a,b ，令 s x = (x - a)2 + ( f x - b)2 ，若P x0 , f x0 是 s x 取到最小
值的点，则称 P 是M 在 f x 的“最近点”．
1
(1)对于 f (x) = (x 0) ，求证：对于点M 0,0 ，存在点 P ，使得点 P 是M 在 f x 的“最近点”；
x
(2) x对于 f x = e , M 1,0 ，请判断是否存在一个点 P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与 y = f (x)
在点 P 处的切线垂直；
(3)已知 y = f (x) 在定义域 R 上存在导函数 f (x) ，且函数 g(x) 在定义域 R 上恒正，设点
M1 t -1, f t - g t ，M 2 t +1, f t + g t ．若对任意的 t R ，存在点 P 同时是M1, M 2 在 f x 的“最近
点”，试判断 f x 的单调性．
3．（2024 届江苏省盐城市滨海县高三下学期高考适应性考试）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函
数 z = f (x, y)在约束条件 g(x, y) 的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数
L(x, y,l) = f (x, y) + lg(x, y)，其中 l 为拉格朗日系数．分别对 L(x, y,l) 中的 x, y, λ部分求导，并使之为 0，
得到三个方程组，如下：
ìLx (x, y,l) = fx (x, y) + lgx (x, y) = 0

íLy (x, y,l) = f y (x, y) + lg y (x, y) = 0，解此方程组，得出解 (x, y)，就是二元函数 z = f (x, y)在约束条件 g(x, y)

Ll (x, y,l) = g(x, y) = 0
的可能极值点． x, y 的值代入到 f (x, y)中即为极值．
补充说明：【例】求函数 f (x, y) = x2 + xy + y2关于变量 x 的导数．即：将变量 y 当做常数，即： fx (x, y) = 2x + y ，
下标加上 x ，代表对自变量 x 进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 Lx , Ly , Ll 表示分别对 x, y, λ进行求
导．
(1)求函数 f (x, y) = x2 y2 + 2xy + xy2关于变量 y 的导数并求当 x =1处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 x, y 满足 g(x, y) = 4x2 + y2 + xy -1 = 0 ，求 f (x, y) = 2x + y 的最大值．
1
(3)①若 x, y, z为实数，且 x + y + z =1 x2 + y2 + z2，证明： ．
3
2a2 1 1②设 a b c 0，求 + + -10ac + 25c2ab a(a b) 的最小值．-
4．（2024 届浙江省宁波市宁波九校高三上学期期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函
y = u x v x 数，其一般形式为 u x 0，u x 1 ，幂指函数在求导时可以将函数“指数化"再求导.例如，对
y = xx x é lnx x 于幂指函数 ， y = x = e ù = exlnx = exlnxê ú lnx +1 .
1
(1) x-已知 f x = x x，x 0，求曲线 y = f x 在 x =1处的切线方程；
1
(2)若m 0且m 1， x 0 .研究 g x 1+ m
x x
= ÷ 的单调性；
è 2
s s
t s
t t
(3)已知 a，b，s，t 均大于 0 a + b a + b，且 a b ，讨论 ÷ 和 ÷ 大小关系.
è 2 è 2
5．（湖北省八市高三下学期 3 月联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 f x 在 x = 0处
3 n
n n N* f 0 的 阶导数都存在时， f x = f 0 + f 0 x + x2 f 0 f 0+ x3 + ×××+ xn + ×××．注： f x
2! 3! n!
表示 f x 的 2 阶导数，即为 f x f n 的导数， x n 3 表示 f x 的 n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算 sin
1
的值，精确到小数点后两位；
2
x2 x4 x6 2(2)由该公式可得： cosx =1- + - + ×××．当 x 0 时，试比较 cosx 1 x与 - 的大小，并给出证明（不使
2! 4! 6! 2
用泰勒公式）；
n 1 1
(3) * n -设 n N ，证明： k =1 n + k tan 1 4n + 2 .
n + k
6. f (x) (ex )2函数 满足 f (x
f (-x)
+ 2) = （ e为自然数的底数），且当 x 1时，都有 f (x) + f (x) 0（ f 2 (x) 为e
f (x) f (2022) f (2020)的导数），比较
e2020
,
e2022
的大小 .
7.设函数 f (x) 在 R 上可导，其导函数为 f (x) ，且 2 f (x) + xf (x) 0 ．求证： f (x) 0 .
8.已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为R ， f 2x + 3 是偶函数，记 g x = f x ， g x + 2 也是偶
函数，求 f 2023 的值.
9. 定义在 0, + 上的函数 y = f x 有不等式 2 f x < xf x < 3 f x 恒成立，其中 y = f x 为函数 y = f x
f 2
的导函数，求证： 4 < < 8f 1 .
10．已知 f x 为定义域R 上函数 f x 的导函数，且 f x + f 2 - x = 0 ， x 1， x -1 f x + 2 f x 0
且 f 3 =1，求不等式 f x
4

x -1 2 的解集
f (2)
11.定义在区间 (0, + )上函数 f (x) 使不等式 2 f (x) < xf '(x) < 3 f (x) 恒成立，（ f '(x)为 f (x) 的导数），求 f (1) 的
取值范围.
12.设 y = f x f x 是定义在R 上的奇函数.若 y = (x 0) 是严格减函数，则称 y = f x 为“ D函数”.
x
(1)分别判断 y = -x x 和 y = sinx 是否为D函数，并说明理由；
1 1
(2)若 y = - 是D函数，求正数 ax 的取值范围；a +1 2
(3)已知奇函数 y = F x 及其导函数 y = F x 定义域均为R .判断“ y = F x 在 0, + 上严格减”是“ y = F x
为D函数”的什么条件，并说明理由.
13.设M 是定义在R 上且满足下列条件的函数 f x 构成的集合：
①方程 f (x) - x = 0有实数解；
②函数 f x 的导数 f x 满足0 < f (x) <1．
x sin x
（1）试判断函数 f (x) = + 是否集合M 的元素，并说明理由；
2 4
（2）若集合M 中的元素 f x 具有下面的性质：对于任意的区间 m, n ，都存在 x0 [m,n]，使得等式
f (n) - f (m) = (n - m) f x0 成立，证明：方程 f (x) - x = 0有唯一实数解．
（3）设x1是方程 f (x) - x = 0的实数解，求证：对于函数 f (x) 任意的 x2 , x3 R，当 x2 - x1 <1， x3 - x1 <1时，
有 f x3 - f x2 < 2．
14.设定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，若 f x + f x 2 ， f 0 = 2024，求不等式
f (x) 2 2022 + x （其中 e 为自然对数的底数）的解集e

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