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专题 10 切线问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如 2024 年高考全国卷 II
卷及 2023 年全国卷乙卷在解答题中都考查了曲线的切线问题,曲线的切线问题主要涉及求曲线的斜率与方
程、曲线切线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围
等.
(一) 求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数 f(x)的导数 f′(x)；
②求切线的斜率 f′(x0)；③写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
【例 1】（2024 届北京市西城区北师大附属实验中学高三下学期 6 月热身练）已知函数 f (x) = xa ln x ，其中
a 为常数且 a 0 .
(1)求曲线 y = f (x) 在 x =1处的切线方程；
(2)讨论函数 f (x) 的单调区间；
(3)当 a =1时，若在点 M (x0 , f (x0 ))

x
1
0 >

÷处的切线 l 分别与 x 轴和 y 轴于，A，B 两点，O 为坐标原点，记
è e
VAOB的面积为 S，求 S 的最小值.
【解析】（1） f (x) = axa-1 ln x + xa-1 ， x > 0 .
因为 f (1) =1， f (1) = 0，所以切线方程为 y = x -1 .
(0, ) 1（2）定义域为 + ， f (x) = (a ln x +1)xa-1 ，令 f (x) = 0 ，解得 -x = e a .
1 1
当 a > 0时， -x (0,e a ) ， f (x) < 0 f (x) 的减区间为
-
(0,e a )；
1 1
- -
x (e a ,+ )， f (x) > 0 f (x)的增区间为 (e a , + ) .
1 1
当 a<0 时， - -x (0,e a ) ， f (x) > 0 f (x)的增区间为 (0,e a )；
1 1
-
x (e a ,+ )， f (x) < 0 f (x) 的减区间为
-
(e a , + ) .
（3）当 a =1时， f (x) = x ln x ， f (x) =1+ ln x .切线 l： y = (ln x0 +1)(x - x0 ) + x0 ln x0 ，
x ln x x
令 x = 0 y = -x < 0 y = 0 x = - 0 0 + x = 0， B 0 ；令 ， A 0 > 0ln x0 +1 ln x0 +1
.
1 1 x2S = | x || y 0
2 A B
|= × .
2 ln x0 +1
2 2x(ln x +1) - x x(2 ln x +1)
设 g(x)
x x 1= ， > . g (x) = =
2(ln x +1) e 2(ln x +1)2 2(ln x +1)2
.
1 1 1-x ( ,e 2 )， g (x) < 0 g(x) 1
-
在 ( ,e 2 ) 单调递减；
e e
1
- 1
x (e 2 ,+ )， g (x) > 0 g(x)在
-
(e 2 ,+ ) 单调递增.
1
- 1 1
所以 g(x)≥g(e 2 ) 1= .所以当 -x = e 2 时，S 的最小值为 .e 0 e
(二)求曲线过某点的切线
y0＝f（x0），
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组{y1－y0 得切点(x0,y ),进而确定切线方程．＝f′ 0（xx 0），1－x0
【例 2】（2024 届江苏省南通市高三下学期模拟预测）设 a > 0，函数 f (x) = ax3 - 2x +1．
(1)当 a =1时，求过点 (0, -1) 且与曲线 y = f (x) 相切的直线方程：
(2) x1, x2 是函数 f (x) 的两个极值点，证明： f x1 + f x2 为定值．
【解析】（1）当 a =1时， f (x) = x3 - 2x +1，则导数 f (x) = 3x2 - 2 ．
设切点为 x0 , x30 - 2x0 +1 f x = 3x2，则 0 0 - 2，
3 2
所以切线方程为 y - x0 - 2x0 +1 = 3x0 - 2 x - x0 ．
又切线过点 (0, -1) ，则-1- x3 - 2x +1 = 3x20 0 0 - 2 0 - x0 ，
2x3整理得， 0 = 2，解得 x0 = 1．
所以过点 (0, -1) 且与曲线 y = f (x) 相切的直线方程为 y = x -1．
（2）证明：依题意， f (x) = 3ax2 - 2(a > 0) ，令 f (x) = 0，得 x 2= ± ．
3a
2 2 2 2
x 2 2 - ,- 3a ÷÷ -
- , , +
è 3a è 3a 3a ÷
÷
3a 3a
÷÷
è
f x + 0 - 0 +
f x Z 极大值 ] 极小值 Z
不妨设 x1 < x
2 2
2，则 x1 = - , x2 = ．3a 3a
3 3
f x + f x = ax3 - 2x +1+ ax3 - 2x +1 a 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 = - 3a ÷÷ - - ÷÷ +1+ a ÷÷ - 2 +1 = 2è è 3a è 3a 3a
所以 f x1 + f x2 为定值．
(三)求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点 t, f t ,由已知条件整理出关于 t 的方程,把切线条数问题转化为关于 t
的方程的实根个数问题.
【例 3】（2024 届陕西省西安市第一中学 2024 届高三下学期模拟）已知函数
f (x) = x2 + 3x + 3, g(x) = 2ex+1 - x - 2 .
(1)判断 g(x)的零点个数；
(2)求曲线 y = f (x) 与曲线 y = g(x) 公切线的条数.
【解析】（1）解：由函数 g(x) = 2ex+1 - x - 2 ，可得其定义域为 (- , + )，且 g (x) = 2ex+1 -1，
令 g (x) > 0，得 x > -1- ln 2；令 g (x) < 0，得 x < -1- ln 2，
可知 g x 在 (- , -1- ln 2)上单调递减，在 (-1- ln 2,+ )上单调递增，
所以 g(x)min = g(-1- ln 2) = ln 2 > 0，故 g x 的零点个数为 0 .
（2）解：因为 f (x) = x2 + 3x + 3, g(x) = 2ex+1 - x - 2，所以 f (x) = 2x + 3, g (x) = 2ex+1 -1，
所以曲线 y = f (x) 在点 x1, x21 + 3x1 + 3 处的切线方程为：
y - x21 + 3x1 + 3 = 2x1 + 3 x - x1 ，即 y = 2x 21 + 3 x - x1 + 3，
曲线 y = g(x) 在点 x2 , 2ex2 +1 - x - 2 y - (2ex2 +1 - x - 2) = (2ex2 +12 处的切线方程为： 2 -1)(x - x2 )，
ì x2 +1 ì x2 +1
即 y = 2ex2 +1 -1 x + 2e -1 = 2x + 3 e = x + 22 - 2x ex2 +1 - 2 1 12 ，令 í 2 - 2x ex2 +1 - 2 = -x2 3，可得+ í 2 - 2x ex 2 +1 2 2 1 2 - 2 = -x1 + 3
，
消去x ，整理得 x21 - 5 + é2 4 - 2ln x1 + 2 ù x1 + 2 = 0，
令 x1 + 2 = t(t > 0)
1
，可得 t2 - 2t ln t -1 = 0 ，等价于 t - 2ln t - = 0，t
2
设h(t) = t - 2ln t
1
- (t > 0)，则 h (t) (t -1)= 0 ，所以 h(t)在 (0, + )上单调递增，
t t 2
又因为 h(1) = 0，所以 h(t)在 (0, + )上有唯一的零点 t =1，
由 x1 + 2 = 1，得 x1 = -1，所以曲线 y = f (x) 与曲线 y = g(x) 有且仅有一条公切线.
(四)曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.
4 x+a【例 】（2024 届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数 f x = e , g x = ln x +1 ,a Z .
(1)若 a = -1 .求证： f x > g x ；
(2)若函数 f x 与函数 g x 存在两条公切线，求整数 a的最小值.
1 a = -1 f x = ex-1【解析】（ ）当 时， ，
h x = f x - g x = ex-1令 - ln x +1 , x > -1，则 h x = ex-1 1- ，
x +1
m x ex-1 1= - m x = ex-1 1令 ，因为 + 2 > 0，x +1 (x +1)
所以m x 在区间 -1, + 1 1 1上单调递增，且m 0 = -1< 0, m 1 =1- = > 0 ，
e 2 2
1
所以存在 x0 0,1 ex0 -1，满足 = x0 +1 ，
当 x -1, x0 时，m x < 0, h x 单调递减；当 x x0 ,+ 时，m x > 0, h x 单调递增；
则当 x = x0时， h x 取得最小值，
h x = ex0 -1可得 0 - ln x
1 1
0 +1 = + x0 -1 = + x0 +1- 2 2 1 × x0 +1 - 2 = 0x0 +1 x 1
，
0 + x0 +1
因为 x0 0,1
1
，所以 = x +1x +1 0 不成立，故等号不成立，则
h x0 > 0，
0
所以当 a = -1时， f x > g x .
（2）设公切线 l A x , ex1 +a与两函数的图象分别相切于点 1 和点B x2 , ln x2 +1 ，
f x = ex+a因为 , g x 1= ，
x +1
1
所以直线 l x +a x的方程可表示为 y - e 1 = e 1 +a x - x1 或 y - ln x2 +1 = x - x x2 +1 2
，
ex +a 11则有 = x2 +1
，①
1 x- x ex1 +a 21 = ln x2 +1 - = ln x2 +1
1
+ -1
x ，②2 +1 x2 +1
1
由①可得 x1 = -ln x2 +1 - a，代入②可得 é a +1+ ln x2 +1 ù = ln x2 +1
1
+ -1
x2 +1 x
，
2 +1
即 a = x2ln x2 +1 - x2 +1 ，令 t = x2 +1, t 0, + ，则 a = t -1 lnt - t ，
令w t = t -1 lnt - t ，则w t = lnt 1- ， t 0, + ，
t
所以由复合函数的单调性可知w t 在区间 0, + 上单调递增，
又w 1 = -1< 0, w 2 = ln2 1- > 0，
2
1
根据零点存在定理知，存在 t0 1,2 ，使得 lnt0 = t ，0
所以w t = t -1 lnt - t 在区间 0,t0 上单调递减，在区间 t0 ,+ 上单调递增.
因为 y
1 1 5
= t0 + 在 1,2t 上单调递增，所以 2 < t0 + < ，0 t0 2
则w t

= w t0 = t0 -1 lnt - t
1
=1- t + 3
min 0 0 0 t ÷
- ,-1 ，
è 0 è 2
÷

又 a为整数，所以 a -1，故所求整数 a的最小值是 -1 .
(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足
条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.
【例 5】（2024 届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）已知函数 f (x) = aex , g(x) = ln x + b(a,b R) .
(1)当b =1时， f (x) g(x) 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知直线 l1、l2是曲线 y = g(x) 的两条切线，且直线 l1 、l2 的斜率之积为 1.
（i）记 x0 为直线 l1 、l2 交点的横坐标，求证： x0 <1；
（ii）若 l1 、l2 也与曲线 y = f (x) 相切，求 a,b的关系式并求出b的取值范围.
x a lnx +1【解析】（1）由于 ae lnx +1，则 ，ex
1
F x lnx +1= - lnx -1 1设 x ，则 F x = x ，F 1 = 0 ，且 y = - lnx -1在 0, + 上单减，e ex x
令F x > 0得0 < x < 1，令F x < 0得 x >1，
所以F x 在 0,1 单调递增， 1, + 1单调递减，所以F (x)max = F 1 ，则 a F 1 = .e
（2）（i）设两条切线在 g x 上的两个切点横坐标分别为 x1, x2 ，
有 g x g x
1 1
1 2 = × =1，即 x1x2 =1x ，1 x2
1
此时，切线为： y - lnx1 + b = x - x1 , y - lnx b
1
2 + = x - x2 x ，1 x2
x lnx2 - lnx1 lnx2 + lnx2 2lnx = = = 2
相减得 lnx
1 1
2 - lnx1 = - ÷ x = x - x x 02 1 ，所以 x 1 1x x 2 - x1 x - x - ，è 1 2 2 x 22 x2
k x 2lnx x 1= - - k x 2 1设 ÷， = -1- 2 0，所以 k x 在 0, + 上单调递减.è x x x
故当 x 0,1 时， k x > k 1 = 0，所以0 > 2lnx > x 1- x ÷；è
2lnx
x 1, + k x < k 1 = 0 0 < 2lnx < 1 x
2
0 = 1 <1当 时， ，所以 x - ÷ ，则 .
è x x2 - x2
（ii）由题意得：存在实数 s, t ，使 f x 在 x = s处的切线和 g x 在 x = t 处的切线重合，
f s - g t
1
所以 f s = g t = ，即 aes 1 ae
s - lnt - b - lnt - b
= = = t ，s - t t s - t s - t
则 s - t =1- tlnt - bt, s =1- tlnt - b -1 t ，
又因为 aes
1
= lna + s = -lnt ，所以 lna = -lnt - s = -lnt -1+ tlnt + b -1 t ，
t
题目转化为 h t = -lnt -1+ tlnt + b -1 t = lna有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为m,
1
，
m
h m h 1 则由 = ÷ 得-lnm -1+ mlnm b 1 m ln
1 1 1
+ - = - -1+ ln + b -1 1 ，
è m m m m m
b -1 1 - m ÷ b -1 1- m2
化简得 lnm = è m 1 = 2 = b -1
1+ m
，
m + - 2 m +1- 2m 1- m
m
所以 lna = m -1 lnm -1+ b -1 m = b -1 -1- m -1+ b -1 m = -b，
所以b = -lna ，（也可写为 a = e-b ）.
代入 h t 中得： h t = -lnt -1+ tlnt + b -1 t = -b有两个不等实根，
1 -1- lnt t +1 - 1- t lnt 1
即b 1
1- t lnt 1 t ÷ - = × - t - t - 2lnt，设
t +1 G t = × lnt,G t = è = t ，t +1 (t +1)2 (t +1)2
由于H t 1= - t - lnt 在 0, + 上单调递减且H 1 = 0 ，
t
所以G t 在 0,1 单调递增， 1, + 单调递减，
而 t无限趋近于 0 时，G t 无限趋向于负无穷大， t无限趋近于正无穷大时，G t 无限趋向于负无穷大，
G 1 = 0，所以b -1< 0，即b <1.
(六)圆锥曲线中抛物线的切线问题
x2
x2抛物线 = 2 py p 0 ，可以化为函数 y = 2 p ，所以我们可以利用导数研究抛物线的切线问题。
【例 6】（2024 届江苏省南通、扬州、泰州七市高三第三次调研）已知抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)的焦点为
F ，直线 l过点 F 交 C于 A, B两点， C在 A, B两点的切线相交于点 P, AB 的中点为 Q，且 PQ交 C于点
E ．当 l的斜率为 1 时， AB = 8．
(1)求 C的方程；
(2)若点 P 的横坐标为 2，求 QE ；
(3)设 C在点 E 处的切线与 PA, PB 分别交于点M , N ，求四边形 ABNM 面积的最小值．
【解析】（1）由题意，直线 l的斜率必存在.
p
设直线 l的方程为 y = kx + , A x1, y1 , B x2 , y2 ，2
ì ìΔ > 0,
y = kx
p
+
联立 í 2 得 x2 - 2 pkx - p2 = 0, (*)，所以 íx1 + x2 = 2 pk
x
2 = 2 py x1x2 = - p
2.
当 k =1时， x1 + x2 = 2 p，
AB p p此时 = y1 + y2 + p =

x1 +
+ x + ÷ 2 ÷ + p = x1 + x2 + 2 p = 8，
è 2 è 2
所以 4 p = 8，即 p = 2 .所以 C的方程为 x2 = 4y .
（2）由(1)知， x1 + x2 = 2 pk = 4k ，
则 xQ = 2k 2，代入直线 y = kx +1得 yQ = 2k +1，则 AB 中点Q 2k, 2k 2 +1 .
x
因为 x2 = 4y ，所以 y = ，
2
则直线 PA方程为 y - y
x1 x 1 11 = - x1 2，即 y = x x - x ，2 2 1 4 1
1 x2 1 21 1 4 1
- x2 x
同理，直线 PB方程为 y = x x - x2 ，所以 x = 4 = 1
+ x2
2 2
= 2k ，
4 2 P 1 x 2
2 1
- x2
x
y 1 x + x x
2
1 2 1 x1x2
P = - = = -1，所以 P(2k,-1) .4 4 4
因为 xP = 2,2k = 2，即 k =1，此时 Q(2,3), P(2,-1)，
所以直线 PQ的方程为 x = 2 ，代入 x2 = 4y ，得 y =1，所以 E(2,1)，所以 | QE |= 2 .
（3）由（2）知Q 2k, 2k 2 +1 , P(2k,-1) ，所以直线 PQ方程为 x = 2k ，
代入 x2 = 4y ，得 y = k 2 ，所以 E 2k,k 2 ，所以 E 为 PQ的中点.
因为 C 1在 E 处的切线斜率 y = 2k = k ，
2
所以 C在 E 处的切线平行于 AB ，
3
又因为 E 为 PQ的中点，所以 S = S四边形ABNM 4 VABP
.
由(1)中 (*)式得 x2 - 4kx - 4 = 0，所以 x1 + x2 = 4k ，
因为直线 AB 方程为 y = kx +1，
所以 AB = y1 + y2 + p = kx1 +1 + kx2 +1 + 2 = k x1 + x2 + 4 = 4k 2 + 4 .
2k 2 + 2
又 P(2k,-1)到直线 AB 的距离 h = = 2 k 2 +1，
k 2 +1
S 1 1
3
所以 2 2VABP = AB × h = × 4k + 4 × 2 k +1 = 4 k 2 +1 2 4 ，2 2
(当且仅当 k = 0时取“ = ”)
S 3所以 = S 3四边形ABNM VABP ，所以四边形 ABNM 的面积的最小值为 3.4
【例 1】（2024 届广东省汕头市潮南区高三下学期高考考前测试）已知函数 f (x) = x(ex - ax2 ) .
(1)若曲线 y = f (x) 在 x=- 1处的切线与 y 轴垂直，求 y = f (x) 的极值.
(2)若 f (x) 在 (0, + )只有一个零点，求a .
【解析】（1）函数 f (x) = x(ex - ax2 )的定义域为 R，求导得 f (x) = (x +1)ex - 3ax2 ， f (-1) = -3a ，
依题意， f (-1) = 0 ，则 a = 0， f (x) = x ex , f (x) = (1+ x)ex ，
当 x < -1时， f (x) < 0 ，当 x > -1时， f (x) > 0 ，
因此函数 f (x) 在 (- , -1)上单调递减，在 (-1, + )上单调递增，
f (x) 1所以函数 在 x=- 1处取得极小值 f (-1) = - ，无极大值.
e
（2）函数 f (x) = x(ex - ax2 )在 (0, + )只有一个零点，等价于 y = ex - ax2在 (0, + )只有一个零点，
设 g(x) = ex - ax2，则函数 g(x)在 (0, + )只有一个零点，当且仅当 g(x) = 0在 (0, + )只有一解，
ex x
即 a = 在 (0, + ) e只有一解，于是曲线 y = (x > 0) 与直线 y = a 只有一个公共点，
x2 x2
x x
j(x) e (x 0) e (x - 2)令 = > ，求导得j (x) = ，当 x < 22 3 时，j
(x) < 0，当 x > 2时，j (x) > 0 ，
x x
因此函数j(x) 在 (0,2)上单调递减，在 (2,+ ) 上单调递增，
2
函数j(x) 在 x = 2 e取得极小值同时也是最小值j(2) = ，
4
当 x 0 时，j(x) + ；当 x + 时，j(x) + ，
j(x) e
x
画山 = 大致的图象，如图，
x2
2
g(x) e在 (0, + )只有一个零点时， a = j(2) = ，
4
2
所以 f (x) 在 (0, + ) e只有一个零点吋， a = .
4
x
【例 2】（2024 届陕西省安康市高新中学高三下学期模拟考试）已知函数 f x = ae a 0 , g x = x2 , g x
为 g x 的导函数.
(1)证明：当 a =1时，"x 0, + , f (x) > g x ；
(2)若 f x 与 g x 有两条公切线，求 a 的取值范围.
x
【解析】（1）当 a =1时， f x = e ， g x = 2x，
"x 0, + , f (x) > g x 等价于证明"x 0, + , ex > 2x ，
令 h x =ex - 2x x > 0 x， h x =e - 2，
当0 < x < ln 2时， h x < 0， h x 在 0, ln 2 上单调递减，
当 x > ln 2时， h x > 0， h x 在 ln 2,+ 上单调递增，所以 h x h ln 2 =2 - 2ln 2 > 0，
"x 0, + , ex所以 > 2x ，即"x 0, + , f (x) > g x ；
（2）设一条公切线与 f x = aex , g x = x2 x 2切点分别为 x 11, ae , x2 , x2 ，
则 f x = aex , g x = 2x y - aex1 = aex1 x - x y - x2，可得切线方程为 1 ， 2 = 2x2 x - x2 ，
ìaex1 = 2x2
因为它们是同一条直线，所以 í ，
-x ae
x1 x1
1 + ae = -x
2
2
4x - 4 4x - 4
可得 a = 1
ex
，令 p x = x ，1 e
若 f x 与 g x y 4x - 4有两条公切线，则 = y = ax 与 的图象有两个交点，e
则 p x 8 - 4x= x ，当 x < 2时， p x > 0， p x 在 - , 2 上单调递增，e
当 x > 2时， p x < 0 ， p x 4在 2, + 上单调递减，所以 p x p 2 =
e2
，
且当 x >1时， p x > 0，当 x <1时， p x < 0，可得 p x 的大致图象如下图，
4
所以0 < a < 2 .e
【例 3】（2024 届天津市和平区高三三模）已知函数 f x = lnx g x = nx2， + mx n,m R ，
h x = f x + g x ．
(1)若 n = 0，函数 h x 存在斜率为 3 的切线，求实数 m的取值范围；
1
(2)若 n = ，试讨论函数 h x 的单调性；
2
(3)若 n 0，设函数 f x 的图象C1与函数 g x 的图象C2 交于两点 A、B，过线段 AB 的中点 H 作 x 轴的垂
线分别交C1、C2 于点 D、E ，问是否存在点 H ，使C1在 D处的切线与C2 在 E 处的切线平行？若存在，求
出点 H 的横坐标；若不存在，请说明理由．
1
【解析】（1）因为 n = 0，所以 h x = lnx + mx ， h x = + m，
x
1
因为函数 h x 存在斜率为 3 的切线，所以 h x = + m = 3在 0, + 有解，
x
1
所以 = 3- m > 0，得 m < 3，所以实数 m的取值范围为 - ,3 .
x
1 1 2
（2）因为 n = ，所以 h x = lnx + x2 + mx x > 0 1 x + mx +1， h x = + x + m = ，2 2 x x
令 h x = 0，即 x2 + mx +1= 0， Δ = m2 - 4 ，
（ⅰ）当 Δ = m2 - 4 0 时，即 -2 m 2 ， h x 0， h x 在 0, + 上单调递增．
（ⅱ）当 Δ = m2 - 4 > 0时，即 m < -2 ，或 m > 2 ，
-m - m2 2x2 + mx +1= 0有两根 x1，x2 ， x - 4 -m + m - 41 = ， x2 = ，2 2
①当 m > 2 时， x1 < x2 < 0， x 0, + 时， h x > 0， h x 在 0, + 上单调递增．
②当 m < -2 时， 0 < x1 < x2 ， x 0, x1 时， h x > 0， x x1, x2 时， h x < 0， x x2 , + 时，
h x > 0，
h x 在 0, x1 ， x2 ,+ 上单调递增，在 x1, x2 上单调递减．
综上，当 m -2 时，函数 h x 在 0, + 上单调递增；
-m - m2 - 4 -m + m2 - 4
当 m < -2 时，函数 h x 在 0, ÷， ,+ 2 ÷ ÷÷ 上单调递增，在è è 2
-m - m2 - 4 , -m + m
2 - 4
÷÷上单调递减．
è 2 2
（3）
设点 A ， B 的坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ，且 0 < x1 < x2 ，
y1 = lnx
2 2
1 = nx1 + mx1， y2 = lnx2 = nx2 + mx2 ，
1
则点 D与点 E x + x的横坐标均为 1 2 ， f x = ， g x = 2nx + m，
2 x
2 x + x
所以C1在点 D处的切线斜率为 k1 = Cx x ， 2 在点 E 处的切线斜率为 k2 = 2n ×
1 2 + m = n x1 + x2 + m
1 +
，
2 2
假设C1在点 D处的切线与C2 在点 E 处的切线平行，则有 k1 = k2 ，
2
即 = n x1 + x2 + mx + x ，则有下式成立：1 2
2 x2 - x1 = n x22 - x21 + m x2 - x1 = nx22 + mx2 - nx21 + mxx1 + x 1 2

2 x2

-1
= y - y x= lnx - lnx = ln 2 x2 2 x2 - x

1 è x
÷
1
2 1 2 1 x ，即 ln = = ，1 x1 x1 + x 1 x2 + 2
x1
x2
设 = t >1
2 t -1lnt x ，有 = ，设 r t
2 t -1
= lnt - t >1 ，
1 1+ t 1+ t
r t 1 4 t -1
2
则 = - 2 = > 0，所以 r t 在 1, + 上单调递增，t t +1 t t +1 2
故 r t > r 1 = 0 2 t -1 2 t -1，即 lnt > ，与 lnt = 矛盾，所以假设不成立，
1+ t 1+ t
所以不存在点 H 使C1在点 D处的切线与C2 在点 E 处的切线平行．
【例 4】（2024 届上海市七宝中学高三三模）若曲线 C 的切线 l 与曲线 C 共有 n 个公共点（其中 n N ，
n 1），则称 l 为曲线 C 的“Tn -切线 ”.
(1)若曲线 y = f x 在点 1,-2 处的切线为T2 -切线，另一个公共点的坐标为 3,4 ，求 f 1 的值；
(2)求曲线 y = x3 - 3x2 所有T1 -切线的方程；
(3)设 f x = x + sin x ，是否存在 t (0, π) ，使得曲线 y = f x 在点 t，f t 处的切线为T3 -切线？若存在，2
探究满足条件的 t 的个数，若不存在，说明理由．
4 - (-2)
【解析】（1）依题意，该切线的斜率为 = 3，因此 f (1) = 3 .
3-1
（2）由 y = x3 - 3x2 ，求导得 y = 3x2 - 6x ，
则曲线 y = x3 - 3x2 3 2 3 2 2在 (x0 , x0 - 3x0 )处的切线方程为： y - (x0 - 3x0 ) = (3x0 - 6x0 ) x - x0 ，
令 h(x) = x3 - 3x2 - (3x20 - 6x0 )x + 3x
3
0 - 6x
2
0 - x
3 2
0 + 3x0 ，整理得 h(x) = (x - x0 )
2 (x + 2x0 - 3)，
此切线为 T1 -切线，等价于方程 h(x) = 0 有且仅有一个根，即 x0 = 3 - 2x0 ，即 x0 = 1，
所以曲线 y = x3 - 3x2 的 T1 -切线仅有一条，为 y = -3x +1 .
（3）由 (x + sin x) =1+ cos x，得曲线 y = f (x) 在点 (t, f (t)) 处的切线方程为：
y - t - sin t = (1+ cos t)(x - t) ，即 y = (1+ cos t)x + sin t - t cos t ，
令 g(x) = (x + sin x) -[(1+ cos t)x + sin t - t cos t] = sin x - x cos t - sin t + t cos t ，
求导得 g (x) = cos x - cos t ，由 t (0,
π) ，得 cos t (0,1)，
2
对 k Z ，当 x (2kπ - t, 2kπ + t) 时， g (x) = cos x - cos t > 0, y = g(x)为严格增函数；
当 x (2kπ + t, 2kπ + 2π - t) 时， g (x) = cos x - cos t < 0, y = g(x) 为严格减函数，
函数 y = g(x) 所有的极大值为 g(2kπ + t) = -2kπ cos t ，
当 k = 0时，极大值等于 0，即 g(t) = 0，
当 k 为正整数时，极大值全部小于 0，即 y = g(x) 在 (t, + )无零点，
当 k 为负整数时，极大值全部大于 0，
函数 y = g(x) 所有的极小值为 g(2kπ - t) = (2t - 2kπ)cos t - 2sin t ，
当 k = 0时，极小值 g(-t) = 2t cos t - 2sin t = 2cos t(t - tan t) < 0 ，
且随着 k 的增大，极小值 (2t - 2kπ)cos t - 2sin t 越来越小，
因此 y = f (x) 在点 (t, f (t))(0 < t
π
< )处的切线为 T -切线，
2 3
等价于 y = g(x) 有三个零点，等价于 (2t + 2π)cos t - 2sin t = 0，即 tan t - t = π 有解，
h(t) = tan t - t h (t) 1令 ，则 = -1 = tan2 t > 0，
cos2 t
因此 y = h(t)
π
为 (0, ) 上的严格增函数，因为 h(0) = 0 < π,h(
3) 12.6 > π ，
2 2
于是存在唯一实数 t (0,
π) ，满足 tan t - t = π ，
2
π
所以存在唯一实数 t (0, ) ，使得曲线 y = f (x) 在点 (t, f (t)) 处的切线为 T3 -切线.2
【例 5】（2024 届福建省泉州第五中学高三下学期适应性监测）已知抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)的焦点为 F，
O 为坐标原点，抛物线 C 上不同两点 A，B 同时满足下列三个条件中的两个：① | FA | + | FB |=| AB |；②
| OA |=| OB |=| AB |= 8 3 ；③直线 AB 的方程为 y = 6 p ．
(1)请分析说明 A，B 满足的是哪两个条件？并求抛物线 C 的标准方程；
(2)若直线 AB 经过点 M (0,m)(m > 0) ，且与（1）的抛物线 C 交于 A，B 两点， N (0,n)，若
m
MNA = MNB ，求 的值；
n
(3)点 A，B，E 为（1）中抛物线 C 上的不同三点，分别过点 A，B，E 作抛物线 C 的三条切线，且三条切线
两两相交于 M，N，P，求证： △MNP的外接圆过焦点 F．
p
【解析】（1）若同时满足①②：由 | FA | + | FB |=| AB |，可得 AB 过焦点 F 0, ÷，
è 2
当 | OA |=| OB |时， | AB |= 2 p而 | OA |=| OB | 5= p | AB |= 2 p，所以①②不同时成立
2
若同时满足①③由① | FA | + | FB |=| AB | F ，可得 AB 过焦点 0,
p
÷，
è 2
p
因为直线 AB 的方程为 y = 6 p ，不可能过焦点 F 0, ÷，所以①③不同时成立
è 2
只能同时满足条件②③，因为② | OA |=| OB |=| AB |= 8 3 ；
π
且直线 AB 的方程为 y = 6 p ，所以6 p =| OA | sin =12，解得 p = 2 ．
3
所以抛物线 C 的标准方程为 x2 = 4y ．
（2）如图：
设直线 AB 的方程为 y = kx + m(k 0), A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ìy = kx + m
联立方程组 íx2 4y ，整理得= x
2 - 4kx - 4m = 0，

则 x1 + x2 = 4k, x1 × x2 = -4m ．因为 MNA = MNB ，直线 AN，BN 的斜率之和为 0，
k k y1 - n y2 - n
x2 y1 - n + x+ = + = 1 y2 - n 即 AN BN = 0，x1 x2 x1x2
所以 x2 y1 - n + x1 y2 - n = x2 kx1 + m - n + x1 kx2 + m - n = 2kx1x2 + (m - n) x1 + x2 = 0 ，
即 2kx1x2 + (m - n) x1 + x2 = 2k × (-4m) + (m - n)(4k) = 0，
所以-4k(m + n) = 0
m
，即 = -1．
n
（3）设过点 A，B，E 的三条切线分别为 l1, l2 , l3 ，倾斜角分别为a1 ,a2 ,a3 ，
令 A
x , 1 x2 , B 1 2 1 1 ÷ x2 , x2 ÷ , E x3 ,
1 x2
4 4 4 3 ÷，è è è
y x 1 1由 = 得： tana1 = x1, tana2 = x2 , tana
1
3 = x l
1 1
3 1： y = x1x - x
2
2 2 2 2 2 4 1
l y 1 x x 1 x2 l y 1 1 2 1 1 2所以 1： = 2 1
- 1 ； 2： = x2x - x ； l4 2 4 2 3
： y = x3x - x .2 4 3
l , l M x1 + x3 x1x3 联立 1 3 直线方程可得 , ÷
è 2 4
l , l N x2 + x3 , x2x3 联立 2 3 直线方程可得 ÷
è 2 4
1 x 11 - x2
\ tan MPN = tan a a 2 2 2 x1 - x1 - 2 = = × 2
1 1+ x 1 x1 × x2 + 4
2 1
× x
2 2
x1x3 -1 x2x3
Qk 4 x1x - 4
-1
3 , k 4 x2x3 - 4又 MF = x = = =1 + x3 2 ，x + x NF x1 3 2 + x3 2 x2 + x3
2 2
x1x3 - 4 x2x3 - 4-
k - k 2 x + x 2 x + x 2 x - x x2 + 4
\ tan MFN x - x= MF NF = 1 3 2 3 = 1 2 3 = 2 × 1 2
1+ kMF ×kNF x 21+ 1x3 - 4 x2x3 - 4 4 + x1x2 x3 + 4 4 + x1x2
4 x1 + x3 x2 + x3
所以 tan MPN = tan MFN MPN = MFN .
所以： M , F, P, N 四点共圆，即 △MNP的外接圆过焦点 F．
1.（2024 届北京市陈经纶中学高三下学期三模）已知 f x = 2 x - a ln x - ax -1．
(1)若 a = -1，求曲线 y = f x 在点P 1, 2 处的切线方程；
(2)若函数 y = f x 存在两个不同的极值点 x1, x2 ，求证： f x1 + f x2 > 0．
【解析】（1）当 a = -1时， f x = 2 x + ln x + x -1，
f x 1 1= + +1, f 1 = 3
x x ，
所以曲线 y = f x 在点P 1, 2 处的切线方程为 y - 2 = 3 x -1 ，即 y = 3x -1；
1 a 1 a
（2） f x = - - ax ，令 f (x) = 0，得
- - a = 0
x x x
，令 t = x ，则 t > 0，
原方程可化为 at2 - t + a = 0 ①，则 t1 = x1 , t2 = x2 是方程①的两个不同的根，
ìΔ =1- 4a2 > 0
1
所以 í1 ，解得0 < a < ，
> 0 2 a
1 2 2 2 1
由韦达定理得 t1 + t2 = ,t1t2 =1，则 t1 + t2 = t1 + ta 2 - 2t1t2 = 2 - 2a ，
所以 f (x1) + f (x2 ) = 2( x1 + x2 ) - a(ln x1 + ln x2 ) - a(x1 + x2 ) - 2
= 2(t 11 + t
2 2 2 2
2 ) - a ln(t1 t2 ) - a(t1 + t2 ) - 2 = 2a + - 2a ，
令 h a = 2a 1 1 1 1+ - 2 0 < a <

÷，则 h a = 2 - 2 < 0

a 2 a
0 < a <
2 ÷
，
è è
h a 0, 1 所以函数 在 ÷上单调递减，
è 2
h a 2a 1所以 = + - 2 > h 1 ÷ =1 > 0，所以 f (x1) + f (x ) > 0 .a 2è 2
2．（2024 届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知函数 f (x) = ln x + ax2 - x + a +1 .
(1)证明曲线 y = f x 在 x =1处的切线过原点；
(2)讨论 f x 的单调性；
【解析】（1）由题设得 f (x)
1
= + 2ax -1(x > 0) ，所以 f (1) =1+ 2a -1 = 2a ，
x
又因为 f (1) = a -1+ a +1 = 2a ，所以切点为 (1, 2a) ，斜率 k = 2a ，
所以切线方程为 y - 2a = 2a(x -1)，即 y = 2ax 恒过原点．
2
（2）由（1）得 f (x) 2ax - x +1= (x > 0) ，
x
当 a = 0时， f (x)
-x +1
= ，
x
当 x (0,1) 时， f (x) > 0， f (x) 在( 0, 1)上单调递增，
当 x (1,+ )时， f (x) < 0 ， f (x) 在 (1, + )上单调递减；
当 a 0时，令 t x = 2ax2 - x +1，则D =1-8a，
当 a > 0且D =1-8a
1
0时，即 a 时， f (x) 0， f (x) 在 (0, + )上单调递增，
8
1
当0 < a < 时，D =1-8a > 0，
8
由 t x = 2ax2 - x +1 > 0 0 1- 1-8a 1+ 1-8a，则 < x < ，或 x > ，则 f (x) > 0，
4a 4a

所以 f (x) 在 0,
1- 1-8a 1+ 1-8a
4a ÷÷上单调递增，在
,+
è è 4a
÷上单调递增；

由 t x = 2ax2 - x +1 < 0 1- 1-8a x 1+ 1-8a，则 < < ，则 f (x) < 0 ，
4a 4a
1- 1-8a ,1+ 1-8a

所以 f (x) 在 4a 4a ÷÷上单调递减；è
当 a < 0时，D =1-8a > 0，则 t x = 2ax2 - x +1为开口向下的二次函数，
1
对称轴 x = < 0， t 0 =1 1 ， t =1
1
- >1，
4a è 4a ÷ 8a
2 1+ 1-8a 1+ 1-8a
由 t x = 2ax - x +1 > 0，则0 < x < ，则 f (x) > 0，所以 f (x) 在 0,
4a 4a
÷÷上单调递增，
è

由 t x = 2ax2 - x +1 < 0 1+ 1-8a，则 x 1+ 1-8a> ，则 f (x) < 0 ，所以 f (x) 在 ,+ 4a ÷上单调递减；4a è
综上：当 a = 0时， f (x) 在( 0, 1)上单调递增， f (x) 在 (1, + )上单调递减；
当 a
1
时， f (x) 在 (0, + )上单调递增；
8
1 0,1- 1-8a
1+ 1-8a
当0 < a < 时， f (x) 在 4a ÷÷上单调递增，在
,+
4a ÷上单调递增，
f (x) 在
8 è è
1- 1-8a ,1+ 1-8a


è 4a 4a ÷
÷上单调递减；

1+ 1-8a , 0,1+ 1-8a

当 a < 0时， f (x) 在 + ÷上单调递减， f (x)4a 在 4a ÷÷上单调递增.è è
3．（2024 届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数 f x = x - a ln x,a R .
(1) 2当 a = 2时，曲线 y = f x 与曲线 f x = -x + m 恰有一条公切线 y = -x + t ，求实数m与 t的值；
h x x a ln x 1(2)若函数 = - - 有两个极值点 x1, x2 x1 < x2 且 h x2 - h x
4
1 - ，求 a的取值范围.x e
2
【解析】（1）解：当 a = 2时， f x = x - 2ln x，可得 f x =1- ，
x
令 f x 2=1- = -1，可得 x =1，又由 f 1 =1，所以切点 1,1 在直线 y = -x + t 上，则 t = 2，
x
因为 y = -x2 + m，所以 y = -2x，令 y = -1
1
，则 x = ，
2
在直线 y = -x + 2
1 3
方程中，令 x = ，可得 y = ，
2 2
1
又因为点 ,
3 2 7
÷在曲线 y = -x + m上，所以m = .
è 2 2 4
2
（2）解：函数 h x = x - a ln x 1- h x 1 a 1 x - ax +1，可得 = - + = x > 0 ，
x x x2 x2
ìx1 + x2 = a
x x =1
由函数 h x 有两个极值点，所以 x2 ax 1 0 1 2- + = 有两个不等正根，则 í
a > 2
，
0 < x1 <1 < x2
由 h x2 - h x1 = x2 - a ln x
1 1
2 - - xx 1
+ a ln x1 +
2 x1
x - x
= x2 - x1 + a ln x - ln x + 2 11 2 = 2
1
- x1 ÷ + 2 x
1
+ ln x 4 -
x x 1 ÷ 1 ，1 2 è x1 è x1 e
1
可得 - x1 ÷ + x
1 2
1 + ÷ ln x1 - ，
è x1 è x1 e
g x 1 1= - x + x + 1 令 ÷ ln x 0 < x <1 ， g (x) = - 2 -1+ 1
1 ln x 1 1 1 1- ÷ + + = -

÷ ln x > 0，x è x x è x2 x2 è x2
所以 g x 在区间 0,1 上单调递增，
g 1 1 1 2因为 ÷ = e - + + e÷ -1 = - ，
è e e è e e
1
所以由 - x
1 2
1 ÷ + x +
1
x 1 x ÷
ln x1 - ，可得 x1 <1，
è 1 è 1 e e
2
令函数m x = x 1 1+ , x éê ,1
1 x -1
÷，可得 x e m x =1- = < 0， x2 x2
所以m x [1在 ,1) 上单调递减，可得m x > m 1 = 2, m x = m 1 = e 1+
e max e ֏ e
，
a x 1又因为 = 1 + ，所以 a
2,e 1ù
x 的取值范围是
+ ú .
1 è e
4．（2024 届建省泉州市高中毕业班 5 月适应性练习）已知函数 f x = ax3 - 2x2 - 2x + a a 0 ．
(1)当 a =1时，若直线 y = -3x + b 与曲线 y = f x 相切，求b ；
(2)若直线 y = -2x - 2与曲线 y = f x 恰有两个公共点，求 a．
【解析】（1）当 a =1时， f x = x3 - 2x2 - 2x +1， f x = 3x2 - 4x - 2，
因为直线 y = -3x + b 与曲线 y = f x 相切，
2
设切点为 x0 , y0 ，则切线斜率 k = f x0 = 3x0 - 4x0 - 2，
ì x 10 =
ì3x2

0 - 4x0 - 2 = -3 ì x0 =1 3
y = -3x + b 4可得 í 0 0 ，解得 íy0 = -2或 íy0 = ，
y = x 3 - 2x 2 - 2x +1
27
0 0 0 0 b =1

b 31 = 27
b 1 b 31所以 = 或 = ．
27
（2）因为直线 y = -2x - 2与曲线 y = f x 恰有两个公共点，
所以方程 ax3 - 2x2 - 2x + a = -2x - 2，
a x3 +1 - 2 x2即方程 -1 = 0有两个不等实根，
3 2
因为 x=- 1是方程 a x +1 - 2 x -1 = 0的一个根；
当 x -1 2时，方程可化为 ax - a + 2 x + a + 2 = 0（*），
依题意，方程（*）有不等于 -1的唯一根，
因为 a 0，若 a = 0，则（*）即-2x + 2 = 0， x =1，满足条件；
ì a + a + 2 + a + 2 0 2
若 a > 0，则由 í ，解得： a = ．
V= a + 2
2 - 4a a + 2 = 0 3
2
综上所述， a = 0或 a = ．
3
5．（2024 山东省青岛市高三第三次适应性检测）已知 O 为坐标原点，曲线 f x = alnx 在点 P 1，0 处
x
的切线与曲线 g x = e + b 在点Q 0，1+ b 处的切线平行，且两切线间的距离为 2 ，其中 b 0 .
(1)求实数 a，b 的值;
(2)若点 M，N 分别在曲线 y = f x ，y = g x 上，求 ONP 与 OMQ 之和的最大值;
(3)若点 A，B 在曲线 y = f x 上，点 C，D 在曲线 y = g x 上，四边形 ABCD 为正方形，其面积
1 2S 为 ，证明: S > 2 e -
è 2 ÷
附:ln2 ≈ 0.693.
【解析】（1）因为 f x a= ，所以 f 1 = a ，又因为 g x = ex ，所以 g 0 =1，
x
解得 a =1，所以 f x 在 1,0 处的切线方程为: y = a x -1 = x -1，
所以 g x 在 0,1+ b 处的切线方程为: y = x +1+ b ，
2 + b
2 2 + b所以 = = ，解得 b = 0 .
2 2
（2）（法一）由（1）知： P 1,0 ，Q 0,1 ，记直线 NP，ON 的倾斜角分别为a，b ，
斜率分别为 k1，k2 ，所以 ONP = a - b N x, ex，设 ，x 0 且 x 1，
ex ex
- x
所以 tan ONP = tan a b k1 - k2 x -1 x e- = = = ,
1+ k k x x 2 2x1 2 1 e e+ × x - x + e
x -1 x
ex e
x x2 - 3x +1- e2x
令m x = 2 2x x 0，x 1 ，则m x = 2 2x 2
，
x - x + e x - x + e
当 x > 0 x时，设函数 n x = e - x -1，则 n x = ex -1 > 0，
所以 n x 在 0，+ 单调递增，所以 n x n 0 = 0，即 ex x +1 >1，
所以 x2 - 3x +1- e2x x2 - 3x +1- x +1 2 = -5x < 0，
所以m x 0,1 1,+ m 1 1在 ， 均单调递减，且 = <1，
e
当 x < 0 时， x2 - 3x +1- e2x >1- e2x > 0，所以m x 在 - ，0 单调递增，
所以m x < m 0 =1.当 x = 0 1时， tan ONP =1 ;当 x =1时， tan ONP = ，
e
所以，当点 N 坐标为Q 0,1 π时， ONP最大为 .
4
同理，函数 f x = lnx 与 g x = ex 的图象关于直线 y = x 对称，
且 P，Q y = x OMQ
π
也关于直线 对称，所以 最大为 ，
4
π
所以 ONP与 OMQ 之和的最大值为 .
2
2 2
（法二）由（1）知: P 1,0 ，Q 0,1 O P W : ，点 ， 在圆 x
1
-
1 1
÷ +

y -
= 上.
è 2 è 2 ÷ 2
下面证明：直线 l : y = x +1与圆 W 和曲线 y = g x 均相切，
1 2
因为圆 W 的圆心到直线 l的距离为 = ，所以直线 l与圆 W 相切，
2 2
即，除点 0,1 外，圆 W 上的点均在直线 l : y = x +1下方,
又因为m x = ex - x +1 ，则m x = ex -1，
所以m x 在 - ，0 单调递减，在 0，+ 单调递增，
所以m x m 0 = 0，
即，除点 0,1 外，曲线 y = g x 上的点均在直线 l : y = x +1上方.
π
所以，当点 N 坐标为Q 0,1 时， ONP最大为 ，
4
同理，函数 f x = lnx 与 g x = ex 的图象关于直线 y = x 对称，
且 P Q
π
， 也关于直线 y = x 对称，所以 OMQ 最大为 ，
4
π
综上知: ONP与 OMQ 之和的最大值为 .
2
（3）因为曲线 y = f x +1 +1与与曲线 y = g x 与有唯一交点，且关于 y = x +1对称，
并分居两侧，
所以曲线 y = f x 的上的点到曲线 y = g x 上的点的最小距离 2 ，且此时这两点只能为 P 1，0 , Q 0，1 ，
假设函数 f x = lnx x与函数 g x = e 的图象关于直线 y = kx + m 对称，
P 1，0 y = kx + m P g x = ex则点 关于 的对称点 在 上，
点Q 0，1 关于 y = kx + m 的对称点 Q 在 f x = lnx 上，
因为 PQ = P Q = 2 ，所以 P 与 Q重合， Q 与 P 重合，
所以 y = x 是函数 f x = lnx 与函数 g x = ex的图象的唯一对称轴，所以 A, D和 B,C 分别关于直线 y = x 对
称，
设 A x1,lnx1 , B x2, lnx2 , C x3, ex3 , D x , ex44 ，其中 x1 < x2 , x4 < x3 ，
x - lnx
所以 BC = 2 x2 - x1 = 2 x2 - x3 = 2 2 2 = 2 x2 - lnx2 ，2
即 x1 = x3 = lnx2 ，
又因为 BC = 2 ex3 - lnx2 = 2 lnx2 - lnx1 ，
x
即 e 1 + lnx1 = 2lnx2 = 2x1，
所以 x1为方程 ex + lnx - 2x
x
= 0的根，即 h x = e + lnx - 2x x > 0 的零点为 x1，
因为 h x = ex 1 1+ - 2 x +1+ - 2 1 1= x + -1 2 x × -1 =1 > 0，
x x x x
所以 h x 在 0，+ 单调递增，
h 1 故 ÷ = e - ln 2 -1< e - 0.69 -1 = e -1.69 < 0， h 1 = e - 2 > 0，
è 2
1
< x <1 j x = ex所以 1 ，令 - x x > 0 ，2
则j x = ex -1 > 0，所以j x 在 0，+ 单调递增，
2
2 2
所以 S = é 2 x2 - x ù1 = 2 ex1 - x1 > 2
1
e - 2 ֏
6.（2022 高考全国卷甲文）已知函数 f (x) = x3 - x, g(x) = x2 + a ,曲线 y = f (x) 在点 x1, f x1 处的切线也
是曲线 y = g(x) 的切线．
（1）若 x1 = -1 ,求 a；
（2）求 a 的取值范围．
【解析】（1）由题意知, f (-1) = -1- (-1) = 0 , f (x) = 3x2 -1, f (-1) = 3-1 = 2 ,
则 y = f (x) 在点 -1,0 处的切线方程为 y = 2(x +1) ,即 y = 2x + 2 ,
设该切线与 g(x)切于点 x2 , g(x2 ) , g (x) = 2x ,则 g (x2 ) = 2x2 = 2 ,解得 x2 =1 ,则 g(1) =1+ a = 2 + 2 ,解
得 a = 3 .
（2）因为 f (x) = 3x2 -1,所以 y = f (x) 3 2在点 x1 , f (x1) 处的切线方程为 y - x1 - x1 = 3x1 -1 (x - x1) ,整
理得 y = 3x21 -1 x - 2x31 ,
设该切线与 g(x)切于点 x2 , g(x2 ) , g (x) = 2x ,则 g (x2 ) = 2x2 ,
则切线方程为 y - x22 + a = 2x2 (x - x2 ) ,整理得 y = 2x 22x - x2 + a ,
ì3x2 -1 = 2x 2 21 2 3x
则 í 2 3 1
1 3 9
3 ,整理得 a = x - 2x = - - 2x = x
4 3 1- 2x3 - x2 + ,
-2x1 = -x
2
2 + a
2 1 ÷ 1 1 1 1
è 2 2 4 2 4
（另法：求出 y = f (x) x 2 3在点 1 , f (x1) 处的切线方程 y = 3x1 -1 x - 2x1 后代入 g x 解析式,用 D = 0求解）
h(x) 9= x4 - 2x3 3- x2 1+ , h (x) = 9x3 2令 则 - 6x - 3x = 3x(3x +1)(x -1) ,令 h (x) > 0 ,解得
4 2 4
1
- < x < 0 或 x >1 ,
3
令 h (x) < 0
1
,解得 x < - 或 0 < x <1 ,则 x 变化时, h (x), h(x)的变化情况如下表：
3
- , 1- 1-
1
x ÷ - ,0÷ 0 0,1 1 1, +
è 3 3 è 3
h (x) - 0 + 0 - 0 +
h(x) 5 1] -127 Z 4 ] Z
则 h(x) 的值域为 -1, + ,故 a的取值范围为 -1, + .
1
7.（2024 届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数 f x = a ln x + x - 有三个零点 x1, x2 , xx 3
（ x1 < x2 < x3）.
(1)求 a 的取值范围；
(2)过点 x1,0 与 x3 ,0 分别作 f x 的切线，两切线交于 M 点，求 M 点到 y 轴的距离.
2
【解析】（1）由 f x = a ln x + x 1- 得 f x a 1 x + ax +1= +1+ 2 = 2 ，x x x x
当 a > 0时， f x > 0，则 f x 在 0, + 上单调递增，函数 a > 0至多一个零点，不符合题意；
当 a<0时，由题意只需使 f x = 0在 0, + 有两个异号根即可，
ìΔ = a2 - 4 > 0

所以 í-a > 0 ，解得 a < -2；综上， a < -2 .

1 > 0
（2）当 a < -2时， f 1 = a + 2 < 0 .又 f 1 = 0，故 x2 =1， x1 <1 < x3 .
又知当 f
1
x1 = 0时，有 a ln x1 + x1 - = 0x ，1
a ln 1 1+ - x = 0 1 所以 f = 0 x x =1x1 x
1 ，即 x ÷ ，故 1 3
.
1 è 1
又 f x 0 f x x x y a 1 1 x x a 11 = ，所以 在 = 1处的切线方程为 = + +x x 2 ÷ - 1 - - ，è 1 1 x1
所以 f x 在 x = x3处的切线方程为 y = ax1 +1+ x 2
1
1 x - x1 - a - x ，1
联立整理得两直线交点横坐标 xM = 0 .故 M 点到 y 轴的距离 0.
8.（2024 3 2届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数 f x = ax + bx + cx a > 0 的极小值为-2，其导
函数 f x 的图象经过 A -1,0 ，B 1,0 两点.
(1)求 f x 的解析式；
(2)若曲线 y = f x 恰有三条过点P 1,m 的切线，求实数m的取值范围.
【解析】（1） f x = 3ax2 + 2bx + c，
因为 a > 0，且 f x 的图象经过 A -1,0 ，B 1,0 两点.
所以当 x - ,-1 时， f x > 0， f x 单调递增；
当 x -1,1 时， f x < 0， f x 单调递减；
当 x 1,+ 时， f x > 0， f x 单调递增.
所以 f x 在 x =1处取得极小值，所以 f 1 = a + b + c = -2，
又因为 f -1 = 0， f 1 = 0，所以3a - 2b + c = 0，3a + 2b + c = 0，
ì3a - 2b + c = 0

解方程组 í3a + 2b + c = 0得 a =1，b = 0，c = -3，

a + b + c = -2
3
所以 f x = x - 3x .
（2）设切点为 x0 , y0 ，则 y0 = x30 - 3x0 ，
因为 f x = 3x2 - 3，所以 f x0 = 3x20 - 3，
所以切线方程为 y - x3 - 3x = 3x20 0 0 - 3 x - x0 ，
将P 1,m 2x3 - 3x2代入上式，得 0 0 + m + 3 = 0 .
因为曲线 y = f x 恰有三条过点P 1,m 的切线，所以方程 2x3 - 3x2 + m + 3 = 0有三个不同实数解.
记 g x = 2x3 - 3x2 + m + 3 2，则导函数 g x = 6x - 6x = 6x x -1 ，
令 g x = 0 ，得 x = 0或 1.
列表：
x - ,0 0 0,1 1 1, +
g x + 0 - 0 +
g x ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以 g x 的极大值为 g 0 = m + 3， g x 的极小值为 g 1 = m + 2，
ì g 0 > 0
所以 í ，解得-3 < m < -2 .故m的取值范围是 -3, -2 g 1 0
.
<
9.（2024 届辽宁省丹东市高三总复习质量测试二）设函数 y = F x 的定义域为 I，若 x0 I ，曲线 y = F x
在 x = x0处的切线 l 与曲线 y = F x 有 n 个公共点，则称 (x0 , F (x0 )) 为函数 F x 的“n 度点”，切线 l 为一条
“n 度切线”．
2
(1)判断点 1, f 1 是否为函数 f (x) = x - - 3ln x 的“2 度点”，说明理由；
x
(2)设函数 g x = ex + ax2 - ex .
①直线 y = 2x -1是函数 y = g x 的一条“1 度切线”，求 a 的值；
②若 a = -1，求函数 y = g x 的“1 度点”.
2
【解析】（1）因为 f x = x - - 3ln x ，所以 f x =1 2 3+ 2 - ， f 1 = 0，x x x
则函数 f x 在点 1,-1 处的切线方程 l : y = -1，
f x x 2 3ln x x 2将切线 l 的方程与 = - - 联立得 - - 3ln x +1 = 0，
x x
记 h x x 2= - - 3ln x +1，
x
2
Q h x 1 2 3 x - 3x + 2 x -1 x - 2 = + 2 - = = ，x x x2 x2
当 1< x < 2时， h x < 0，当 0 < x <1和 x > 2时， h ' x > 0，
则 h x 在 0,1 上单调递增，在 1,2 上单调递减，
所以 h x 在 x =1处取得极大值， h 1 = 0，
h x 在 1,2 上单调递减，在 (2, + ) 上单调递增，
所以 h x 在 x = 2 处取得极小值，
h 2 = 2 - 3ln 2 = ln e2 - ln8 ，因为 e2 < 8，所以 h 2 < 0，
2
又因为 h(e ) = e2
2
- 2 - 6 +1 = e
2 2- - 5 > 0，
e e2
所以 h x 在 (2, + ) 上存在唯一零点，
则点 1, f 1 为函数 f x 2= x - - 3ln x 的“2 度点”．
x
（2）①设直线 y = 2x -1与曲线 y = g x 相切于点 P x1, 2x1 -1 ，
Q g x = ex + ax2 - ex \ g x = ex， + 2ax - e ，
ì2x1 -1 = e
x1 + ax21 - ex x
则 í 1 1ex
，整理得 e x
1 + 2ax - e = 2 1
- 2 + ex1 + 2x1 - 2 = 0 ，
1
对于给定函数 p x 我们定义它的导数为 p x ，定义它的导数 p x 的导数为 p x .
G x = ex设 x - 2 + ex + 2x - 2，则G x = ex x -1 + e + 2，G x = ex x ，
\G x 在 (- ,0) 上单调递减，在 (0, + ) 上单调递增，\G x G 0 = e +1 > 0，
\G x 在 R 上递增，又G 1 = 0，\ x1 = 1，\a = 1，经检验符合题意；
②设点 P(x2 , g(x2 )) ，曲线 y = g x 在点 P 处的切线方程为 y = g x2 x - x2 + g x2 ，
令 H x = g x - g x2 x - x2 - g x2 ，
Q曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P，\H x 有唯一零点，
H (x) = ex - ex2 - 2(x - x2 )，且 H (x2 ) = H x2 = 0，
\H (x) = ex - 2，令 H (x) = 0，则 x = ln 2 ，
\ x (- , ln 2)， H (x) < 0， H x 单调递减；
x (ln 2,+ )， H (x) > 0， H (x) 单调递增；
（i）若 x = ln 2 ，由 x (- , ln 2)， H (x) > 0； x (ln 2,+ )， H (x) > 0，
\ H (x)在 R 上单调递增，\H x 只有唯一零点 x = ln 2 ；
（ii）若 x2 > ln 2，由 x (ln 2,+ )， H x 单调递增，且 H x2 = 0，
则当 x ln 2, x2 ， H x < 0 ， H x > H x2 = 0，
当 x (- , ln 2)， H (x) = ex - x2 - ex - g (x2 )(x - x
2
2 ) - g(x2 ) < -x + bx + c ，
其中 b = -e - g x2 ， c = 2 - g x2 + x2g x2 ，
必存在 m < ln 2，使得 -m2 + bm + c < 0，
\H m < 0，故 H x 在 m, ln 2 内存在零点，即 H x 在 R 上至少有两个零点；
iii x < ln 2 ex x
3
（ ）若 ，同理利用 > ，可得 H x 在 R 上至少有两个零点；
6
综上所述，函数 y = g x 的“1 度点”为 P ln 2,2 - ln2 2 - e ln 2 ．
10．（2024 届河北省衡水市高三下学期大数据应用调研联合测评）过点 P a,b 可以作曲线 y = x + ex 的两条
切线，切点为 A, B .
1
(1)证明： a b - a > - ；
e
(2)设线段 AB 中点坐标为 x0 , y0 ，证明： a + y0 > b + x0 .
t
【解析】（1）证明：设切点 A t, et + t ， y =1+ ex ，所以 kPA =1 et e + t - b+ = ，t - a
t t - a -1 et即关于 的方程 + b - a = 0有两个不相等的实数根.
设 f t = t - a -1 et + b - a，则 f t = t - a et = 0， t = a .
当 t < a 时， f t < 0，则 f t 在 - ,a 上单调递减；
当 t > a时， f t > 0，则 f t 在 a,+ 上单调递增，
f t a所以 在 t = a处取值得最小值，即 f a = b - a - e .
当 t + 时， f t + ，当 t - 时， f t b - a，
ìb - a > 0
若满足方程有两个不相等的实数根，则 í
b - a - e
a ，< 0
于是 0 < b - a < ea ，即 ln b - a < a ，得 b - a ln b - a < b - a a ,
设 g x = x ln x， g x = ln x +1 = 0 1，得 x = ，
e

在 0,
1
÷上， g x
1
< 0，则 g x 单调递减，在 ,+ ÷上， g x > 0e ，则 g x 单调递增，è e è
g x = x ln x x 1= 1 1 1所以 ，在 处取得最小值，即 g = - ，所以 a b - a > - .
e è e ÷ e e
（2）证明：设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
1 1 x x 1
则 y0 = y 1 21 + y2 = e + e + x0 ，即 y0 - x0 = y 1 x1 x22 2 2 1 + y2 = e + e ，2
在点 A x1, y1 , B x2 , y2 处的切线方程都过 P a,b ，
b - x - ex1 = 1+ ex于是，由 11 a - x1 ，得 x1 - a +1 b - a+ ex = 0 ，1
b - x - ex由 22 = 1+ ex2 a - x b - a2 ，得 x2 - a +1 + = 0ex2
x - x ex1 +x2
两式相减整理得： b - a = 1 2 ，
ex1 - ex2
x - x ex1 +x ex1 +x2 é e2x2 1 1 - e2x2 ù b - a - y0 - x0 = 1 2 - ex1 + ex2 = 2 x - x -x xe 1 - ex 2 2 2 e 1 - ex ê 1 2 ú2 ex1 +x 2
ex1 +x2 é2 x x ex -x 1= - - 1 2 + ù
2 ex1 - ex2 ê 1 2 ex1 -x2 ú ，
ex1 +x2
x > x ,m = x - x > 0 > 0 h m 2m em 1不妨设 1 2 1 2 ，所以 2 ex ex ，则 = - +1 - 2 em ，
h m 1= 2 - em - m 2 - 2 = 0，所以 h m 在 0, + 上单调递减，于是 h m < h 0 = 0 ，e
于是 b - a - y0 - x0 < 0，即 a + y0 > b + x0 .
“拐点”又称“反曲点”，是曲线上弯曲方向发生改变的点.设j x 为函数j x 的导数，若 a 为j x 的极值
点，则 a ,j a 为曲线 y = j x 的拐点.
11.（2024 届陕西省西安市第一中学高三下学期 4 月月考）已知曲线 C： y = x3 - 3x2 +1.
(1)求 C 的拐点坐标；
(2)证明：C 关于其拐点对称；
(3)设 l为 C 在其拐点处的切线，证明：所有平行于 l的直线都与 C 有且仅有一个公共点.
【解析】（1）设 f x = x3 - 3x2 +1，则 f x = 3x2 - 6x .
设 g x = f x ，则 g x = 6x - 6 ，
当 x <1时， g x < 0， g x 单调递减，当 x >1时， g x > 0， g x 单调递增，
故 x =1是 f x = g x 的极小值点，且为唯一极值点.
所以曲线 C： y = f x 的拐点为 1, f 1 ，即 1,-1 .
2 f x + f 2 - x = x3 - 3x2 +1+ 2 - x 3 2（ ）因为 - 3 2 - x +1 = -2 .
所以 C： y = f x 关于其拐点 1,-1 对称.
（3）因为 C 在拐点 1,-1 处的切线方程 l为： y = -3x + 2 .
设平行于 l的直线方程为 y = -3x + b b 2 ，
并与 C 的方程联立有 x3 - 3x2 +1 = -3x + b .
设 h x = x3 - 3x2 + 3x +1- b，则 h x = 3x2 - 6x + 3 = 3 x -1 2 0，
则 h x 在 R 上单调递增.
因为 h b -1 = b -1 b - 2 b - 3 ，故当 b =1,2,3时， l与 C 有唯一公共点.
当 b <1时， b -1< 0，且 h b -1 < 0， h 0 =1- b > 0，
故存在唯一 x1 b -1, 0 ，使得 h x1 = 0，此时 l与 C 有唯一公共点.
同理，当 b > 3时， b -1 > 2 ，且 h b -1 > 0， h 2 = 3- b < 0，
故存在唯一 x2 2,b -1 ，使得 h x2 = 0，此时 l与 C 有唯一公共点.
当 1 < b < 2 时， h 0 = 1- b < 0，且 h 1 = 2 - b > 0，
故存在唯一 x3 0,1 ，使得 h x3 = 0 ，此时 l与 C 有唯一公共点.
同理，当 2 < b < 3时， h 2 = 3- b > 0，且 h 1 = 2 - b < 0，
故存在唯一 x4 1,2 ，使得 h x4 = 0，此时 l与 C 有唯一公共点.
综上，所有平行于 l的直线都与 C 有且仅有一个公共点.
12.设函数 f (x) = aex ， g(x) = ln x + b ，其中 a， b R ， e是自然对数的底数．
(1)设 F (x) = xf (x) ，当 a = e-1 时，求 F (x)的最小值；
(2)证明：当 a = e-1 ， b <1时，总存在两条直线与曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 都相切；
2
(3)当 a > 2 时，证明： f (x) > x[g(x) - b] ．e
【解析】（1）由题设 F x = xex-1 ，则 F x = x +1 ex-1 ，
当 x (- ,-1)时， F (x) < 0， F (x)单调递减，当 x (-1, + )时， F (x) > 0， F (x)单调递增，
故 x=- 1时， F (x)取得最小值 F -1 = -e-2 ；
2 f x = ex-1 f x = ex-1 m, em-1 y = em-1x + 1- m em-1（ ）由 ，则 在 处的切线方程为 ，
由 g (x)
1
= ，则 g(x) = lnx + b 在点 n, lnn + b 1处的切线方程为 y = x + lnn + b -1，
x n
ì
em-1
1
= m-1
由题意得 í n ， m -1 e - m + b = 0，
1- m em-1 = lnn + b -1
令 h m = m -1 em-1 - m + b h x = mem-1，则 -1，
由（1）得 m < -1时， h (m)单调递减，且 h (m) < 0，当 m > -1时， h (m)单调递增，
又 h 1 = 0，当 m <1时， h (m) < 0， h(m)单调递减；当 m > 1时， h (m) > 0 ， h(m)单调递减，
1 b <1 h b -1 = b - 2 eb-2 1由（ ）及 ，得 +1 > - +1 > 0，
e
y =ex -x-1 y =ex由 ，则 -1，故 x < 0 有 y < 0， y 递减， x > 0有 y > 0， y 递增，
所以 y e0 - 0 -1 = 0，则 ex x +1，仅当 x = 0时等号成立，而 3- b > 2，
2
故 h 3- b = 2 - b e2-b + 2b - 3 > 2 - b 3- b + 2b - 3 = b 3 3 - ÷ + > 0 ， h 1 = b -1< 0，
è 2 4
\函数 h(m)在 (b -1,1)和 (1,3 - b) 内各有一个零点，
故当 b <1时，总存在两条直线与曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 都相切；
x x
（3）证明： f x > x é g x - b
ae
ù - lnx > 0，令G x
ae
= - lnx x > 0 ，
x x
以下证明：当 a
2
> 2 时，G(x)的最小值大于 0，e
a x -1 e
x a
G x 1 x -1 e
x - x
求导 = 2 - = 2 ，x x x
①当 0 < x 1时，G (x) < 0，则G x 递减，G x G 1 = ae > 0，
a x -1 é ù
②当 x >1时，G x = 2 êex
x
-
x ú ， ê a x -1 ú
令 H x
1
= ex x- ， H x = ex + 2 > 0a x 1 H- a x 1 ，故 x 在 1, + - 上递增，
H 2 e2 2 ae
2 - 2 t 2
又 = - = 0，取 t (1, 2) > e
2 ae
且使
a a a t -1 ，即 1< t < ae2 ，-1
H t = et t则 - < e2 - e2 = 0 ，故 H t H 2 < 0，故 H (x)a t -1 存在唯一零点 x0 1,2 ，
aex0
即G(x)有唯一的极值点 x0 1,2 ，又G x0 = - lnxx 0 ，0
x
H (x ) ex x 10且 0 = -
0 = 0 ex0 = 0，即 G(x ) = - lnxa(x0 -1) a(x0 -1)
，故 0 x0 -1
0 ，
QG x 1 1= - 2 - < 0 x ，故 G(x0 )是 (1, 2)x -1 上的减函数，0 0
\G x0 > G 2
2
= 1- ln2 > 0 ，\G x > 0，综上所求，当 a > 2 时， f (x) > x[g(x) - b] ．e
x
13.（2024 1届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）已知函数 f (x) = + lnx, g(x) e= - kf (x),k R .
x x
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
(2)若函数 g(x)在 x =1处取得极大值，求实数 k 的取值范围：
(3)已知 a,b R ，曲线 y = f (x) 在不同的三点 (x1, f (x1)), (x2 , f (x2 )), (x3 , f (x3))处的切线都经过点 (a, b)，且
2 - a 1 1 2 2 - a
x1 < x2 < x3 ，当 0 < a < 2 时，证明： 1+ < + < -24 x1 x3 a 24
.
1 1 1 x -1
【解析】（1）函数 f (x) = + lnx的定义域为 (0, + ) ，求导得 f (x) = - 2 + = ，x x x x2
当 0 < x <1时， f (x) < 0 ，当 x >1时， f (x) > 0，即 f (x) 在( 0, 1)上递减，在 (1, + )上递增，
所以函数 f (x) 的单调减区间为( 0, 1)，单调增区间为 (1, + ) .
2 e
x k (x -1)(ex - k)
（ ）依题意，函数 g(x) = - - klnx, x (0, + )，求导得 g (x) = ，
x x x2
当 k e时，当 x >1时， g (x) > 0，则函数 g(x)在 x =1处不可能取到极大值；
当 k > e时，由 g (x) < 0，得 1< x < ln k ，由 g (x) > 0，得 0 < x <1或 x > lnk ，
则函数 g(x)在 x =1处取到极大值，所以 k > e .
（3）由（1）知， f (x)
x -1
= 2 ，曲线 y = f (x) 过 (a, b)有三条不同的切线，切点为 (xi , f (xi )), i =1,2,3，x
于是 f xi - b = f xi xi - a ，方程 f x - b = f x x - a 有 3 个不同的根，
1
该方程整理为 + lnx b
x -1
- = 2 × (x - a)，x x
h(x) x -1设 = 2 × (x - a) (
1
- + lnx - b) h (x) 1，求导得 = - 3 (x - 2)(x - a)，x x x
而 0 < a < 2 ，当 0 < x < a 或 x > 2时， h (x) < 0 ，当 a < x < 2 时， h (x) > 0，
则函数 h(x) 在 (0, a), (2,+ ) 上单调递减，在 (a, 2) 上单调递增，
显然 h(x) 有 3 个不同的零点 x1 < x2 < x3 ，必有 0 < x1 < a < x2 < 2 < x3 ，
则 h(a)
1
= - - lna + b < 0，且 h(2)
a a 1
= - - ln2 + b > 0 ，即 + ln2 < b < + lna，
a 4 4 a
又 h(x) 1
a + 2 a
= - + 2 - lnx + b
2 a
= 0，设 t = , m = (0,1)，
x x x 2
1 a + 2 a则方程 - + 2 - lnx + b
m
= 0即为： t 2 - m +1 t + lnt +1- ln2 + b = 0，
x x 2
记 t
2
1 = , t
2 , t 22 = 3 = t , t , t
m 2
x x x ，则 1 2 3 为 t - m +1 t + lnt +1- ln2 + b = 0有三个不同的根，1 2 3 2
a 1 2 - a 1 1 2 2 - am 1 + < + < - 2 - a 4 2 - a设 = < ，要证
2 24 x x a 24
，即证 2 + < t1 + t < - ，
1 3 12 3 a 12
2 2 - 2m t 2 2 - 2m 13- m 2 1- m即证 + <
12 1
+ t3 < - ，即证 < tm 12 6 1
+ t3 < - ，m 6
2 (m -13)(m2 - m +12)
即证 (t t
13- m)(t t 2 1- m1 + 3 - 1 +6 3
- + ) < 0，即证 t + t - 2 - < ，
m 6 1 3 m 36m(t1 + t3)
又 -(m +1)t
m
+ t 21 1 + lnt
m
1 + b = 0且 -(m +1)t
2
3 + t3 + lnt2 2 3
+ b = 0，
m 2 2 lnt - lnt
则 lnt1 - lnt3 + (t
2 2
1 - t3 ) - (m +1)(t - t
1 3
2 1 3
) = 0，即 t1 + t3 - 2 - = - m m t ，1 - t3
t
2 lnt1 - lnt3 (m -13)(m
2 - m +12) (t + t )ln 1
于是即证 - <
1 3 2
m t t 36m(t t ) ，即证
t3 (m -13)(m - m +12)+ > 0，
1 - 3 1 + 3 t1 - t3 72
t1 x3 2 1
设u = = > = >1，记j(u)
(u +1)lnu
= ,u >1，求导得j (u)
1
= 2 (u
1
- - 2lnu)
t x a m (u 1) u ，3 1 u -1 -
设 F (u)
1 1 2 1
= u - - 2lnu，则 F (u) =1+ 2 - = (1- )
2 > 0，
u u u u
则函数 F (u)在 (1, + )上单调递增，有 F (u) > F (1) = 0，
j (u) > 0 j (u) (1, + ) j(u) j( 1 ) (m +1)lnm于是 ，即 在 上为增函数，有 > = ，
m m -1
(u +1)lnu (m -13)(m2 - m +12) (m +1)lnm (m -13)(m2 - m +12)
因此 + > +
u -1 72 m -1 72
m +1 [lnm (m -1)(m -13)(m
2 - m +12)
= × + ]
m -1 72(m +1)
w(m) lnm (m -1)(m -13)(m
2 - m +12)
记 = + ,0 < m <1，
72(m +1)
w (m) (m -1)
2 (3m3 - 20m2 - 49m + 72) (m -1)2 (3m3 + 3)
则 = 2 > 2 > 0，72m(m +1) 72m(m +1)
于是w(m)在( 0, 1)为增函数，则w(m) < w(1) = 0，
2 2
所以 lnm
(m -1)(m -13)(m - m +12)
+ < 0 (m +1)lnm (m -13)(m - m +12)，即 + > 0，
72(m +1) m -1 72
从而原不等式得证.
x214.（2024 届天津市北辰区高三三模）已知 f x = ex - ，曲线 y = f x 在点 P x0 , f x0 x0 > 0 处的切2
线为 l : y = g(x) .
(1)当 x0 = 0时，求直线 l的方程；
(2)证明： l与曲线 y = f x 有一个异于点 P 的交点 x1, f x1 ，且 x1 < 0；
x
(3) 0在（2）的条件下，令 = t tx ，求 的取值范围.1
【解析】（1）当 x0 = 0
x
时， P 0,1 ，而 f x = e - x ，所以 f 0 =1 .
所以 l的方程是 y =1× x - 0 +1，即 x - y +1 = 0 ；
2
（2）由于 f (x) = ex - x ，故 l的方程 y = f x0 x - x x00 + f x0 可化为 y = e - x0 x x- x0 + ex0 - 0 .2
2
设 g x = ex0 - x0 x - x0 ex x+ 0 - 0 ，则直线 l的方程为 y = g x .2
2 2
令 F x f x g x ex x ex x x x ex x= - = - - 0 - - - 0 + 00 0 ，2 2
h x 1 1设 = - x2 + x -1 ex ，则对 x > 0有 h x = -x + xex = x ex -1 > 0，所以 h x 在 0, + 上单调递增.
2
2 2
记u = ex0 - x0 - ex0 - x + 2 1+ ex x00 - x 00 x0 + ，则
è 2
÷

2
x x 2 2u = e 0 - x - e 00 - x0 + 2 1+ ex x0 - x0 x0 + 0 ÷ < ex0 - x0 - ex0 - x0 = 0 .
è 2
x2 x2
由于 F 0 =1- ex0 - x0 -x - ex0 + 0 =1- 00 + x x02 2 0 -1 e = h x0 > h 0 = 0，
u2 x2 2 2
且 F u = eu - - ex0 - x0 u x u x- 0 - ex0 + 0 <1- + ex0 - x u + x + 02 2 2 0 0 2
1 u
2 2
ex x x u x0 u
2
x
2
= - + 0 - 0 0 - + = - - e
x
0 - x0 u +
x
1+ e 0 - x 00 x0 + ÷ < 0，2 2 2 è 2
故一定存在 x1 u,0 ，使得 F x1 = 0，即 f x1 = g x1 .
而 x1 < 0 < x0 ，故 x1, f x1 是 l : y = g x 与曲线 y = f x 的交点，且 x1 < 0；
2
（3）对 k > 0，设j t = e-kt k 1 t et t k +1e + + × - - t 2 .
2
则 j t = -ke-kt + k +1 t +1 ×et - et - k +1 2 t ，
j t = k 2e-kt + k +1 t + 2 ×et - et - k +1 2 ，
j t = -k 3e-kt + k +1 t + 3 ×et - et .
t > 0 j t k 4e-kt由于当 时， 的导数 + k +1 t + 4 ×et - et > k 4e-kt + 4 ×et - et = k 4e-kt + 3 ×et > 0，
故j t 在 0, + 上单调递增.
若 0 < k 2 ，则 j 0 = -k 3 + 3 k +1 -1 = -k 3 + 3k + 2 = 2 - k k +1 2 0 .
t > 0 j 所以对 有 t > j 0 0 ，从而j t 在 0, + 上单调递增；
所以对 t > 0有j t > j 0 = 0，从而j t 在 0, + 上单调递增；
所以对 t > 0有j t > j 0 = 0，从而j t 在 0, + 上单调递增；
所以对 t > 0有j t > j 0 = 0，从而j t 在 0, + 上无零点.
若 k > 2，则 j 0 = -k 3 + 3 k +1 -1 = -k 3 + 3k + 2 = 2 - k k +1 2 < 0 .
t > 0 j t = -k 3e-kt + k +1 t + 3 ×et - et > -k 3e-kt由于对 有 + 3 ×et - et = 2et - k 3e-kt > 2et - k 3，
k33 ln 1+ ÷÷
故 j ln 1
k
+ > 2e è 2 ÷÷ ÷ - k
3 = 2 > 0 .
è è 2
k 3
从而存在 v 0, ln 1+ ÷ j ÷ 使 v = 0 .
è è 2 ÷
j 结合 t 0, + 在 上单调递增，知对 0 < t < v有j t < j v = 0，从而j t 在 0,v 上单调递减；
所以对 0 < t < v有j t < j 0 = 0，从而j t 在 0,v 上单调递减；
所以对 0 < t < v有j t < j 0 = 0，从而j t 在 0,v 上单调递减；
所以j v < j 0 = 0，又由于对 t > 1有
0 h t 1 1 t 2 t
t 1 t t t t t t t
< ÷ = - + -1

÷e2 <1- t
2 + ×e2 < ×e2 1- t 2 t+ ×e2 1 1= t ×e2 - t 2 = t e2 - t2 8 ÷
，
è è 2 2 2 2 2 2 2 è 2
t k +1 21
故对 t > 1有 e2 > t ，从而当 t >1+ 2ln 1+ ÷ >1 ÷ 时，有2 è 2
2 2
j t = e-kt + k +1 t ×et t k +1 2 k +1- e - t = e-kt + kt + t -1 et - t 2
2 2
t k +1
2
2 t k +1
2
t k +1
2 t t t k +1 2
> t ×e - t = t e - t ÷ > t e - e2 ÷ = t ×e2 e2 - ÷ > 0
.2 è 2 ÷ è 2 ÷ è 2 ÷
结合j v < j 0 = 0，就知道j t 在 0,v 上存在零点，从而j t 在 0, + 上存在零点.
2
综上，对 k > 0 k +1，函数j t = e-kt + k +1 t ×et - et - t 2在 0, + 上存在零点的充要条件是 k > 2 .
2
x1
最后，一方面我们取 k = - x ，就有0
2
x
- 1 +12 2 ÷
0 = F x ，x1 = ex
x
1 - 1 - ex x x0 - x x - x - ex0 + 0 = ex1 + - 1 +1 x ×ex0 - ex0 - è 0 0 1 0 ÷ 0 x2 = j x 2 2 è x 0 00 2
所以j
1 x
t 1 1在 0, + 上存在零点 x0 ，故 - = - = k > 2t x ，得 - < t < 0；0 2
1 1
另一方面，对任意 - < t < 0，取 k = - > 2，则j t 在 0, + 上存在零点.
2 t
记该零点为 x0 ，取 x1 = -kx0 ，则
0 x e-kx k 1 x ex k +1ex
2
= j = 0 + + × 0 - 0 - x20 0 2 0
2
x
- 1 +1 x x ÷ 2 2
= ex1 + - 1 +1 x ×ex0 - ex0 - è 0 x2 ex x1 ex x x x ex x . ÷ = 1 - - 0 00 0 - 0 1 - 0 - + 0 = F x
è x0 2 2 2
1
x0 1
所以这样的 x0 , x1满足原条件，且 = - = tx1 k
.
综上， t
1
的取值范围是 - ,0

2 ÷
.
è 专题 10 切线问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,如 2024 年高考全国卷 II
卷及 2023 年全国卷乙卷在解答题中都考查了曲线的切线问题,曲线的切线问题主要涉及求曲线的斜率与方
程、曲线切线的条数、公切线问题,确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围
等.
(一) 求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数 f(x)的导数 f′(x)；
②求切线的斜率 f′(x0)；③写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
【例 1】（2024 届北京市西城区北师大附属实验中学高三下学期 6 月热身练）已知函数 f (x) = xa ln x ，其中
a 为常数且 a 0 .
(1)求曲线 y = f (x) 在 x =1处的切线方程；
(2)讨论函数 f (x) 的单调区间；
(3)当 a =1时，若在点 M (x0 , f (x0 ))

x
1
0 >

÷处的切线 l 分别与 x 轴和 y 轴于，A，B 两点，O 为坐标原点，记
è e
VAOB的面积为 S，求 S 的最小值.
【解析】（1） f (x) = axa-1 ln x + xa-1 ， x > 0 .
因为 f (1) =1， f (1) = 0，所以切线方程为 y = x -1 .
(0, ) 1（2）定义域为 + ， f (x) = (a ln x +1)xa-1 ，令 f (x) = 0 ，解得 -x = e a .
1 1
当 a > 0时， -x (0,e a ) ， f (x) < 0 f (x) 的减区间为
-
(0,e a )；
1 1
- -
x (e a ,+ )， f (x) > 0 f (x)的增区间为 (e a , + ) .
1 1
当 a<0 时， - -x (0,e a ) ， f (x) > 0 f (x)的增区间为 (0,e a )；
1 1
-
x (e a ,+ )， f (x) < 0 f (x) 的减区间为
-
(e a , + ) .
（3）当 a =1时， f (x) = x ln x ， f (x) =1+ ln x .切线 l： y = (ln x0 +1)(x - x0 ) + x0 ln x0 ，
x ln x x
令 x = 0 y = -x < 0 y = 0 x = - 0 0 + x = 0， B 0 ；令 ， A 0 > 0ln x0 +1 ln x0 +1
.
1 1 x2S = | x || y 0
2 A B
|= × .
2 ln x0 +1
2 2x(ln x +1) - x x(2 ln x +1)
设 g(x)
x x 1= ， > . g (x) = =
2(ln x +1) e 2(ln x +1)2 2(ln x +1)2
.
1 1 1-x ( ,e 2 )， g (x) < 0 g(x) 1
-
在 ( ,e 2 ) 单调递减；
e e
1
- 1
x (e 2 ,+ )， g (x) > 0 g(x)在
-
(e 2 ,+ ) 单调递增.
1
- 1 1
所以 g(x)≥g(e 2 ) 1= .所以当 -x = e 2 时，S 的最小值为 .e 0 e
(二)求曲线过某点的切线
y0＝f（x0），
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组{y1－y0 得切点(x0,y ),进而确定切线方程．＝f′ 0（xx 0），1－x0
【例 2】（2024 届江苏省南通市高三下学期模拟预测）设 a > 0，函数 f (x) = ax3 - 2x +1．
(1)当 a =1时，求过点 (0, -1) 且与曲线 y = f (x) 相切的直线方程：
(2) x1, x2 是函数 f (x) 的两个极值点，证明： f x1 + f x2 为定值．
【解析】（1）当 a =1时， f (x) = x3 - 2x +1，则导数 f (x) = 3x2 - 2 ．
设切点为 x0 , x30 - 2x0 +1 f x = 3x2，则 0 0 - 2，
3 2
所以切线方程为 y - x0 - 2x0 +1 = 3x0 - 2 x - x0 ．
又切线过点 (0, -1) ，则-1- x3 - 2x +1 = 3x20 0 0 - 2 0 - x0 ，
2x3整理得， 0 = 2，解得 x0 = 1．
所以过点 (0, -1) 且与曲线 y = f (x) 相切的直线方程为 y = x -1．
（2）证明：依题意， f (x) = 3ax2 - 2(a > 0) ，令 f (x) = 0，得 x 2= ± ．
3a
2 2 2 2
x 2 2 - ,- 3a ÷÷ -
- , ,+
è 3a è 3a 3a ÷
÷
3a 3a
÷÷
è
f x + 0 - 0 +
f x Z 极大值 ] 极小值 Z
不妨设 x1 < x
2 2
2，则 x1 = - , x2 = ．3a 3a
3 3
f x + f x = ax3 - 2x +1+ ax3 - 2x +1 a 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 = - 3a ÷÷ - - ÷÷ +1+ a ÷÷ - 2 +1 = 2è è 3a è 3a 3a
所以 f x1 + f x2 为定值．
(三)求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点 t, f t ,由已知条件整理出关于 t 的方程,把切线条数问题转化为关于 t
的方程的实根个数问题.
【例 3】（2024 届陕西省西安市第一中学 2024 届高三下学期模拟）已知函数
f (x) = x2 + 3x + 3, g(x) = 2ex+1 - x - 2 .
(1)判断 g(x)的零点个数；
(2)求曲线 y = f (x) 与曲线 y = g(x) 公切线的条数.
【解析】（1）解：由函数 g(x) = 2ex+1 - x - 2 ，可得其定义域为 (- , + )，且 g (x) = 2ex+1 -1，
令 g (x) > 0，得 x > -1- ln 2；令 g (x) < 0，得 x < -1- ln 2，
可知 g x 在 (- , -1- ln 2)上单调递减，在 (-1- ln 2,+ )上单调递增，
所以 g(x)min = g(-1- ln 2) = ln 2 > 0，故 g x 的零点个数为 0 .
（2）解：因为 f (x) = x2 + 3x + 3, g(x) = 2ex+1 - x - 2，所以 f (x) = 2x + 3, g (x) = 2ex+1 -1，
所以曲线 y = f (x) 在点 x1, x21 + 3x1 + 3 处的切线方程为：
y - x21 + 3x1 + 3 = 2x1 + 3 x - x1 ，即 y = 2x 21 + 3 x - x1 + 3，
曲线 y = g(x) 在点 x2 , 2ex2 +1 - x - 2 y - (2ex2 +1 - x - 2) = (2ex2 +12 处的切线方程为： 2 -1)(x - x2 )，
ì x2 +1 ì x2 +1
即 y = 2ex2 +1 -1 x + 2e -1 = 2x + 3 e = x + 22 - 2x ex2 +1 - 2 1 12 ，令 í 2 - 2x ex2 +1 - 2 = -x2 3，可得+ í 2 - 2x ex 2 +1 2 2 1 2 - 2 = -x1 + 3
，
消去x ，整理得 x21 - 5 + é2 4 - 2ln x1 + 2 ù x1 + 2 = 0，
令 x1 + 2 = t(t > 0)
1
，可得 t2 - 2t ln t -1 = 0 ，等价于 t - 2ln t - = 0，
t
2
设h(t) = t - 2ln t
1
- (t > 0)，则 h (t) (t -1)= 0 ，所以 h(t)在 (0, + )上单调递增，
t t 2
又因为 h(1) = 0，所以 h(t)在 (0, + )上有唯一的零点 t =1，
由 x1 + 2 = 1，得 x1 = -1，所以曲线 y = f (x) 与曲线 y = g(x) 有且仅有一条公切线.
(四)曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.
4 x+a【例 】（2024 届湖南省长沙市第一中学高三上学期月考）已知函数 f x = e , g x = ln x +1 ,a Z .
(1)若 a = -1 .求证： f x > g x ；
(2)若函数 f x 与函数 g x 存在两条公切线，求整数 a的最小值.
1 a = -1 f x = ex-1【解析】（ ）当 时， ，
h x = f x - g x = ex-1令 - ln x +1 , x > -1，则 h x = ex-1 1- ，
x +1
m x ex-1 1= - m x = ex-1 1令 ，因为 + 2 > 0，x +1 (x +1)
所以m x 在区间 -1, + 1 1 1上单调递增，且m 0 = -1< 0, m 1 =1- = > 0 ，
e 2 2
1
所以存在 x0 0,1 ex0 -1，满足 = x0 +1 ，
当 x -1, x0 时，m x < 0, h x 单调递减；当 x x0 ,+ 时，m x > 0, h x 单调递增；
则当 x = x0时， h x 取得最小值，
h x = ex0 -1可得 0 - ln x
1 1
0 +1 = + x0 -1 = + x0 +1- 2 2 1 × x0 +1 - 2 = 0x0 +1 x 1
，
0 + x0 +1
因为 x0 0,1
1
，所以 = x +1x +1 0 不成立，故等号不成立，则
h x0 > 0，
0
所以当 a = -1时， f x > g x .
（2）设公切线 l A x , ex1 +a与两函数的图象分别相切于点 1 和点B x2 , ln x2 +1 ，
f x = ex+a因为 , g x 1= ，
x +1
1
所以直线 l x +a x的方程可表示为 y - e 1 = e 1 +a x - x1 或 y - ln x2 +1 = x - x x2 +1 2
，
ex +a 11则有 = x2 +1
，①
1 x- x ex1 +a 21 = ln x2 +1 - = ln x2 +1
1
+ -1
x ，②2 +1 x2 +1
1
由①可得 x1 = -ln x2 +1 - a，代入②可得 éa +1+ ln x2 +1 ù = ln x2 +1
1
+ -1
x2 +1 x
，
2 +1
即 a = x2ln x2 +1 - x2 +1 ，令 t = x2 +1, t 0, + ，则 a = t -1 lnt - t ，
令w t = t -1 lnt - t ，则w t = lnt 1- ， t 0, + ，
t
所以由复合函数的单调性可知w t 在区间 0, + 上单调递增，
又w 1 = -1< 0, w 2 = ln2 1- > 0，
2
1
根据零点存在定理知，存在 t0 1,2 ，使得 lnt0 = t ，0
所以w t = t -1 lnt - t 在区间 0,t0 上单调递减，在区间 t0 ,+ 上单调递增.
因为 y
1 1 5
= t0 + 在 1,2t 上单调递增，所以 2 < t0 + < ，0 t0 2
则w t

= w t0 = t0 -1 lnt - t
1
=1- t + 3
min 0 0 0 t ÷
- ,-1 ，
è 0 è 2
÷

又 a为整数，所以 a -1，故所求整数 a的最小值是 -1 .
(五)确定满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足
条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解.
【例 5】（2024 届重庆市南开中学校高三第九次质量检测）已知函数 f (x) = aex , g(x) = ln x + b(a,b R) .
(1)当b =1时， f (x) g(x) 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)已知直线 l1、l2是曲线 y = g(x) 的两条切线，且直线 l1 、l2 的斜率之积为 1.
（i）记 x0 为直线 l1 、l2 交点的横坐标，求证： x0 <1；
（ii）若 l1 、l2 也与曲线 y = f (x) 相切，求 a,b的关系式并求出b的取值范围.
x a lnx +1【解析】（1）由于 ae lnx +1，则 ，
ex
1
F x lnx +1= - lnx -1 1设 x ，则 F x = x ，F 1 = 0 ，且 y = - lnx -1在 0, + 上单减，e ex x
令F x > 0得0 < x < 1，令F x < 0得 x >1，
所以F x 在 0,1 单调递增， 1, + 1单调递减，所以F (x)max = F 1 ，则 a F 1 = .e
（2）（i）设两条切线在 g x 上的两个切点横坐标分别为 x1, x2 ，
有 g x g x
1 1
1 2 = × =1，即 x1x2 =1x ，1 x2
1
此时，切线为： y - lnx1 + b = x - x1 , y - lnx b
1
2 + = x - x2 x ，1 x2
x lnx2 - lnx1 lnx2 + lnx2 2lnx = = = 2
相减得 lnx
1 1
2 - lnx1 = - ÷ x = x - x x 02 1 ，所以 x 1 1x x 2 - x1 x - x - ，è 1 2 2 x 22 x2
k x 2lnx x 1= - - k x 2 1设 ÷， = -1- 2 0，所以 k x 在 0, + 上单调递减.è x x x
故当 x 0,1 时， k x > k 1 = 0，所以0 > 2lnx > x 1- x ÷；è
2lnx
x 1, + k x < k 1 = 0 0 < 2lnx < 1 x
2
0 = 1 <1当 时， ，所以 x - ÷ ，则 .
è x x2 - x2
（ii）由题意得：存在实数 s, t ，使 f x 在 x = s处的切线和 g x 在 x = t 处的切线重合，
f s - g t
1
所以 f s = g t = ，即 aes 1 ae
s - lnt - b - lnt - b
= = = t ，s - t t s - t s - t
则 s - t =1- tlnt - bt, s =1- tlnt - b -1 t ，
又因为 aes
1
= lna + s = -lnt ，所以 lna = -lnt - s = -lnt -1+ tlnt + b -1 t ，
t
题目转化为 h t = -lnt -1+ tlnt + b -1 t = lna有两个不等实根，且互为倒数，
不妨设两根为m,
1
，
m
h m h 1 则由 = ÷ 得-lnm -1+ mlnm b 1 m ln
1 1 1
+ - = - -1+ ln + b -1 1 ，
è m m m m m
b -1 1 - m ÷ b -1 1- m2
化简得 lnm = è m 1 = 2 = b -1
1+ m
，
m + - 2 m +1- 2m 1- m
m
所以 lna = m -1 lnm -1+ b -1 m = b -1 -1- m -1+ b -1 m = -b，
所以b = -lna ，（也可写为 a = e-b ）.
代入 h t 中得： h t = -lnt -1+ tlnt + b -1 t = -b有两个不等实根，
1 -1- lnt t +1 - 1- t lnt 1
即b 1
1- t lnt 1 t ÷ - = × - t - t - 2lnt，设
t +1 G t = × lnt,G t = è = t ，t +1 (t +1)2 (t +1)2
由于H t 1= - t - lnt 在 0, + 上单调递减且H 1 = 0 ，
t
所以G t 在 0,1 单调递增， 1, + 单调递减，
而 t 无限趋近于 0 时，G t 无限趋向于负无穷大， t 无限趋近于正无穷大时，G t 无限趋向于负无穷大，
G 1 = 0，所以b -1< 0，即b <1.
(六)圆锥曲线中抛物线的切线问题
x2
x2抛物线 = 2 py p 0 ，可以化为函数 y = 2 p ，所以我们可以利用导数研究抛物线的切线问题。
【例 6】（2024 届江苏省南通、扬州、泰州七市高三第三次调研）已知抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)的焦点为
F ，直线 l过点 F 交 C于 A, B两点， C在 A, B两点的切线相交于点 P, AB 的中点为 Q，且 PQ交 C于点
E ．当 l的斜率为 1 时， AB = 8．
(1)求 C的方程；
(2)若点 P 的横坐标为 2，求 QE ；
(3)设 C在点 E 处的切线与 PA, PB 分别交于点M , N ，求四边形 ABNM 面积的最小值．
【解析】（1）由题意，直线 l的斜率必存在.
p
设直线 l的方程为 y = kx + , A x1, y1 , B x2 , y2 ，2
ì ìΔ > 0,
y = kx
p
+
联立 í 2 得 x2 - 2 pkx - p2 = 0, (*)，所以 íx1 + x2 = 2 pk
x
2 = 2 py x1x2 = - p
2.
当 k =1时， x1 + x2 = 2 p，
AB p p此时 = y1 + y2 + p =

x1 +
+ x + ÷ 2 ÷ + p = x1 + x2 + 2 p = 8，
è 2 è 2
所以 4 p = 8，即 p = 2 .所以 C的方程为 x2 = 4y .
（2）由(1)知， x1 + x2 = 2 pk = 4k ，
则 xQ = 2k 2，代入直线 y = kx +1得 yQ = 2k +1，则 AB 中点Q 2k, 2k 2 +1 .
x
因为 x2 = 4y ，所以 y = ，
2
则直线 PA方程为 y - y
x1 x 1 11 = - x1 2，即 y = x x - x ，2 2 1 4 1
1 x2 1 21 1 4 1
- x2 x
同理，直线 PB方程为 y = x x - x2 ，所以 x = 4 = 1
+ x2
2 2
= 2k ，
4 2 P 1 x 2
2 1
- x2
x
y 1 x + x x
2
1 2 1 x1x2
P = - = = -1，所以 P(2k,-1) .4 4 4
因为 xP = 2,2k = 2，即 k =1，此时 Q(2,3), P(2,-1)，
所以直线 PQ的方程为 x = 2 ，代入 x2 = 4y ，得 y =1，所以 E(2,1)，所以 | QE |= 2 .
（3）由（2）知Q 2k, 2k 2 +1 , P(2k,-1) ，所以直线 PQ方程为 x = 2k ，
代入 x2 = 4y ，得 y = k 2 ，所以 E 2k,k 2 ，所以 E 为 PQ的中点.
因为 C 1在 E 处的切线斜率 y = 2k = k ，
2
所以 C在 E 处的切线平行于 AB ，
3
又因为 E 为 PQ的中点，所以 S = S四边形ABNM 4 VABP
.
由(1)中 (*)式得 x2 - 4kx - 4 = 0，所以 x1 + x2 = 4k ，
因为直线 AB 方程为 y = kx +1，
所以 AB = y1 + y2 + p = kx1 +1 + kx2 +1 + 2 = k x1 + x2 + 4 = 4k 2 + 4 .
2k 2 + 2
又 P(2k,-1)到直线 AB 的距离 h = = 2 k 2 +1，
k 2 +1
S 1 1
3
所以 2 2VABP = AB × h = × 4k + 4 × 2 k +1 = 4 k 2 +1 2 4 ，2 2
(当且仅当 k = 0时取“ = ”)
S 3所以 = S 3四边形ABNM VABP ，所以四边形 ABNM 的面积的最小值为 3.4
【例 1】（2024 届广东省汕头市潮南区高三下学期高考考前测试）已知函数 f (x) = x(ex - ax2 ) .
(1)若曲线 y = f (x) 在 x=- 1处的切线与 y 轴垂直，求 y = f (x) 的极值.
(2)若 f (x) 在 (0, + )只有一个零点，求a .
【解析】（1）函数 f (x) = x(ex - ax2 )的定义域为 R，求导得 f (x) = (x +1)ex - 3ax2 ， f (-1) = -3a ，
依题意， f (-1) = 0 ，则 a = 0， f (x) = x ex , f (x) = (1+ x)ex ，
当 x < -1时， f (x) < 0 ，当 x > -1时， f (x) > 0 ，
因此函数 f (x) 在 (- , -1)上单调递减，在 (-1, + )上单调递增，
f (x) 1所以函数 在 x=- 1处取得极小值 f (-1) = - ，无极大值.
e
（2）函数 f (x) = x(ex - ax2 )在 (0, + )只有一个零点，等价于 y = ex - ax2在 (0, + )只有一个零点，
设 g(x) = ex - ax2，则函数 g(x)在 (0, + )只有一个零点，当且仅当 g(x) = 0在 (0, + )只有一解，
ex x
即 a = 在 (0, + ) e只有一解，于是曲线 y = (x > 0) 与直线 y = a 只有一个公共点，
x2 x2
x x
j(x) e (x 0) e (x - 2)令 = > ，求导得j (x) = ，当 x < 22 3 时，j
(x) < 0，当 x > 2时，j (x) > 0 ，
x x
因此函数j(x) 在 (0, 2) 上单调递减，在 (2,+ ) 上单调递增，
2
函数j(x) 在 x = 2 e取得极小值同时也是最小值j(2) = ，
4
当 x 0 时，j(x) + ；当 x + 时，j(x) + ，
j(x) e
x
画山 = 大致的图象，如图，
x2
2
g(x) e在 (0, + )只有一个零点时， a = j(2) = ，
4
2
所以 f (x) 在 (0, + ) e只有一个零点吋， a = .
4
x
【例 2】（2024 届陕西省安康市高新中学高三下学期模拟考试）已知函数 f x = ae a 0 , g x = x2 , g x
为 g x 的导函数.
(1)证明：当 a =1时，"x 0, + , f (x) > g x ；
(2)若 f x 与 g x 有两条公切线，求 a 的取值范围.
x
【解析】（1）当 a =1时， f x = e ， g x = 2x，
"x 0, + , f (x) > g x 等价于证明"x 0, + , ex > 2x ，
令 h x =ex - 2x x > 0 x， h x =e - 2，
当0 < x < ln 2时， h x < 0， h x 在 0, ln 2 上单调递减，
当 x > ln 2时， h x > 0， h x 在 ln 2,+ 上单调递增，所以 h x h ln 2 =2 - 2ln 2 > 0，
"x 0, + , ex所以 > 2x ，即"x 0, + , f (x) > g x ；
（2）设一条公切线与 f x = aex , g x = x2 x 2切点分别为 x 11, ae , x2 , x2 ，
则 f x = aex , g x = 2x y - aex1 = aex1 x - x y - x2，可得切线方程为 1 ， 2 = 2x2 x - x2 ，
ìaex1 = 2x2
因为它们是同一条直线，所以 í ，
-x ae
x1 x1
1 + ae = -x
2
2
4x - 4 4x - 4
可得 a = 1
ex
，令 p x = x ，1 e
若 f x 与 g x y 4x - 4有两条公切线，则 = y = ax 与 的图象有两个交点，e
则 p x 8 - 4x= x ，当 x < 2时， p x > 0， p x 在 - , 2 上单调递增，e
当 x > 2时， p x < 0 ， p x 4在 2, + 上单调递减，所以 p x p 2 =
e2
，
且当 x >1时， p x > 0，当 x <1时， p x < 0，可得 p x 的大致图象如下图，
4
所以0 < a < 2 .e
【例 3】（2024 届天津市和平区高三三模）已知函数 f x = lnx g x = nx2， + mx n,m R ，
h x = f x + g x ．
(1)若 n = 0，函数 h x 存在斜率为 3 的切线，求实数 m的取值范围；
1
(2)若 n = ，试讨论函数 h x 的单调性；
2
(3)若 n 0，设函数 f x 的图象C1与函数 g x 的图象C2 交于两点 A、B，过线段 AB 的中点 H 作 x 轴的垂
线分别交C1、C2 于点 D、E ，问是否存在点 H ，使C1在 D处的切线与C2 在 E 处的切线平行？若存在，求
出点 H 的横坐标；若不存在，请说明理由．
1
【解析】（1）因为 n = 0，所以 h x = lnx + mx ， h x = + m，
x
1
因为函数 h x 存在斜率为 3 的切线，所以 h x = + m = 3在 0, + 有解，
x
1
所以 = 3- m > 0，得 m < 3，所以实数 m的取值范围为 - ,3 .
x
1 1 2
（2）因为 n = ，所以 h x = lnx + x2 + mx x > 0 1 x + mx +1， h x = + x + m = ，2 2 x x
令 h x = 0，即 x2 + mx +1= 0， Δ = m2 - 4 ，
（ⅰ）当 Δ = m2 - 4 0 时，即 -2 m 2 ， h x 0， h x 在 0, + 上单调递增．
（ⅱ）当 Δ = m2 - 4 > 0时，即 m < -2 ，或 m > 2 ，
-m - m2 2x2 + mx +1= 0有两根 x1，x2 ， x - 4 -m + m - 41 = ， x2 = ，2 2
①当 m > 2 时， x1 < x2 < 0， x 0, + 时， h x > 0， h x 在 0, + 上单调递增．
②当 m < -2 时， 0 < x1 < x2 ， x 0, x1 时， h x > 0， x x1, x2 时， h x < 0， x x2 , + 时，
h x > 0，
h x 在 0, x1 ， x2 ,+ 上单调递增，在 x1, x2 上单调递减．
综上，当 m -2 时，函数 h x 在 0, + 上单调递增；
-m - m2 - 4 -m + m2 - 4
当 m < -2 时，函数 h x 在 0, ÷， ,+ 2 ÷ ÷÷ 上单调递增，在è è 2
-m - m2 - 4 , -m + m
2 - 4
÷÷上单调递减．
è 2 2
（3）
设点 A ， B 的坐标为 x1, y1 , x2 , y2 ，且 0 < x1 < x2 ，
y1 = lnx
2 2
1 = nx1 + mx1， y2 = lnx2 = nx2 + mx2 ，
1
则点 D与点 E x + x的横坐标均为 1 2 ， f x = ， g x = 2nx + m，
2 x
2 x + x
所以C1在点 D处的切线斜率为 k1 = Cx x ， 2 在点 E 处的切线斜率为 k2 = 2n ×
1 2 + m = n x1 + x2 + m
1 +
，
2 2
假设C1在点 D处的切线与C2 在点 E 处的切线平行，则有 k1 = k2 ，
2
即 = n x1 + x2 + mx + x ，则有下式成立：1 2
2 x2 - x1 = n x22 - x21 + m x2 - x1 = nx22 + mx2 - nx21 + mxx1 + x 1 2

2 x2

-1
= y - y x= lnx - lnx = ln 2 x2 2 x2 - x

1 è x
÷
1
2 1 2 1 x ，即 ln = = ，1 x1 x1 + x 1 x2 + 2
x1
x2
设 = t >1
2 t -1lnt x ，有 = ，设 r t
2 t -1
= lnt - t >1 ，
1 1+ t 1+ t
r t 1 4 t -1
2
则 = - 2 = > 0，所以 r t 在 1, + 上单调递增，t t +1 t t +1 2
故 r t > r 1 = 0 2 t -1 2 t -1，即 lnt > ，与 lnt = 矛盾，所以假设不成立，
1+ t 1+ t
所以不存在点 H 使C1在点 D处的切线与C2 在点 E 处的切线平行．
【例 4】（2024 届上海市七宝中学高三三模）若曲线 C 的切线 l 与曲线 C 共有 n 个公共点（其中 n N ，
n 1），则称 l 为曲线 C 的“Tn -切线 ”.
(1)若曲线 y = f x 在点 1,-2 处的切线为T2 -切线，另一个公共点的坐标为 3,4 ，求 f 1 的值；
(2)求曲线 y = x3 - 3x2 所有T1 -切线的方程；
(3)设 f x = x + sin x ，是否存在 t (0, π) ，使得曲线 y = f x 在点 t，f t 处的切线为T3 -切线？若存在，2
探究满足条件的 t 的个数，若不存在，说明理由．
4 - (-2)
【解析】（1）依题意，该切线的斜率为 = 3，因此 f (1) = 3 .
3-1
（2）由 y = x3 - 3x2 ，求导得 y = 3x2 - 6x ，
则曲线 y = x3 - 3x2 3 2 3 2 2在 (x0 , x0 - 3x0 )处的切线方程为： y - (x0 - 3x0 ) = (3x0 - 6x0 ) x - x0 ，
令 h(x) = x3 - 3x2 - (3x20 - 6x0 )x + 3x
3
0 - 6x
2
0 - x
3 2
0 + 3x0 ，整理得 h(x) = (x - x0 )
2 (x + 2x0 - 3)，
此切线为 T1 -切线，等价于方程 h(x) = 0 有且仅有一个根，即 x0 = 3 - 2x0 ，即 x0 = 1，
所以曲线 y = x3 - 3x2 的 T1 -切线仅有一条，为 y = -3x +1 .
（3）由 (x + sin x) =1+ cos x，得曲线 y = f (x) 在点 (t, f (t)) 处的切线方程为：
y - t - sin t = (1+ cos t)(x - t) ，即 y = (1+ cos t)x + sin t - t cos t ，
令 g(x) = (x + sin x) -[(1+ cos t)x + sin t - t cos t] = sin x - x cos t - sin t + t cos t ，
求导得 g (x) = cos x - cos t ，由 t (0,
π) ，得 cos t (0,1)，
2
对 k Z ，当 x (2kπ - t, 2kπ + t) 时， g (x) = cos x - cos t > 0, y = g(x)为严格增函数；
当 x (2kπ + t, 2kπ + 2π - t) 时， g (x) = cos x - cos t < 0, y = g(x) 为严格减函数，
函数 y = g(x) 所有的极大值为 g(2kπ + t) = -2kπ cos t ，
当 k = 0时，极大值等于 0，即 g(t) = 0，
当 k 为正整数时，极大值全部小于 0，即 y = g(x) 在 (t, + )无零点，
当 k 为负整数时，极大值全部大于 0，
函数 y = g(x) 所有的极小值为 g(2kπ - t) = (2t - 2kπ)cos t - 2sin t ，
当 k = 0时，极小值 g(-t) = 2t cos t - 2sin t = 2cos t(t - tan t) < 0 ，
且随着 k 的增大，极小值 (2t - 2kπ)cos t - 2sin t 越来越小，
因此 y = f (x) 在点 (t, f (t))(0 < t
π
< )处的切线为 T -切线，
2 3
等价于 y = g(x) 有三个零点，等价于 (2t + 2π)cos t - 2sin t = 0，即 tan t - t = π 有解，
h(t) = tan t - t h (t) 1令 ，则 = -1 = tan2 t > 0，
cos2 t
因此 y = h(t)
π
为 (0, ) 上的严格增函数，因为 h(0) = 0 < π,h(
3) 12.6 > π ，
2 2
于是存在唯一实数 t (0,
π) ，满足 tan t - t = π ，
2
π
所以存在唯一实数 t (0, ) ，使得曲线 y = f (x) 在点 (t, f (t)) 处的切线为 T3 -切线.2
【例 5】（2024 届福建省泉州第五中学高三下学期适应性监测）已知抛物线C : x2 = 2 py( p > 0)的焦点为 F，
O 为坐标原点，抛物线 C 上不同两点 A，B 同时满足下列三个条件中的两个：① | FA | + | FB |=| AB |；②
| OA |=| OB |=| AB |= 8 3 ；③直线 AB 的方程为 y = 6 p ．
(1)请分析说明 A，B 满足的是哪两个条件？并求抛物线 C 的标准方程；
(2)若直线 AB 经过点 M (0,m)(m > 0) ，且与（1）的抛物线 C 交于 A，B 两点， N (0,n)，若
m
MNA = MNB ，求 的值；
n
(3)点 A，B，E 为（1）中抛物线 C 上的不同三点，分别过点 A，B，E 作抛物线 C 的三条切线，且三条切线
两两相交于 M，N，P，求证： △MNP的外接圆过焦点 F．
p
【解析】（1）若同时满足①②：由 | FA | + | FB |=| AB |，可得 AB 过焦点 F 0, ÷，
è 2
当 | OA |=| OB |时， | AB |= 2 p而 | OA |=| OB | 5= p | AB |= 2 p，所以①②不同时成立
2
若同时满足①③由① | FA | + | FB |=| AB | F ，可得 AB 过焦点 0,
p
÷，
è 2
p
因为直线 AB 的方程为 y = 6 p ，不可能过焦点 F 0, ÷，所以①③不同时成立
è 2
只能同时满足条件②③，因为② | OA |=| OB |=| AB |= 8 3 ；
π
且直线 AB 的方程为 y = 6 p ，所以6 p =| OA | sin =12，解得 p = 2 ．
3
所以抛物线 C 的标准方程为 x2 = 4y ．
（2）如图：
设直线 AB 的方程为 y = kx + m(k 0), A x1, y1 , B x2 , y2 ，
ìy = kx + m
联立方程组 íx2 4y ，整理得= x
2 - 4kx - 4m = 0，

则 x1 + x2 = 4k, x1 × x2 = -4m ．因为 MNA = MNB ，直线 AN，BN 的斜率之和为 0，
k k y1 - n y2 - n
x2 y1 - n + x+ = + = 1 y2 - n 即 AN BN = 0，x1 x2 x1x2
所以 x2 y1 - n + x1 y2 - n = x2 kx1 + m - n + x1 kx2 + m - n = 2kx1x2 + (m - n) x1 + x2 = 0 ，
即 2kx1x2 + (m - n) x1 + x2 = 2k × (-4m) + (m - n)(4k) = 0，
所以-4k(m + n) = 0
m
，即 = -1．
n
（3）设过点 A，B，E 的三条切线分别为 l1, l2 , l3 ，倾斜角分别为a1 ,a2 ,a3 ，
令 A
x , 1 x2 , B 1 2 1 1 ÷ x2 , x2 ÷ , E x3 ,
1 x2
4 4 4 3 ÷，è è è
y x 1 1由 = 得： tana1 = x1, tana2 = x2 , tana
1
3 = x l
1 1
3 1： y = x1x - x
2
2 2 2 2 2 4 1
l y 1 x x 1 x2 l y 1 1 2 1 1 2所以 1： = 2 1
- 1 ； 2： = x2x - x ； l4 2 4 2 3
： y = x3x - x .2 4 3
l , l M x1 + x3 x1x3 联立 1 3 直线方程可得 , ÷
è 2 4
l , l N x2 + x3 , x2x3 联立 2 3 直线方程可得 ÷
è 2 4
1 x 11 - x2
\ tan MPN = tan a a 2 2 2 x1 - x1 - 2 = = × 2
1 1+ x 1 x1 × x2 + 4
2 1
× x
2 2
x1x3 -1 x2x3
Qk 4 x1x - 4
-1
3 , k 4 x2x3 - 4又 MF = x = = =1 + x3 2 ，x + x NF x1 3 2 + x3 2 x2 + x3
2 2
x1x3 - 4 x2x3 - 4-
k - k 2 x + x 2 x + x 2 x - x x2 + 4
\ tan MFN x - x= MF NF = 1 3 2 3 = 1 2 3 = 2 × 1 2
1+ kMF ×kNF x 21+ 1x3 - 4 x2x3 - 4 4 + x1x2 x3 + 4 4 + x1x2
4 x1 + x3 x2 + x3
所以 tan MPN = tan MFN MPN = MFN .
所以： M , F, P, N 四点共圆，即 △MNP的外接圆过焦点 F．
1.（2024 届北京市陈经纶中学高三下学期三模）已知 f x = 2 x - a ln x - ax -1．
(1)若 a = -1，求曲线 y = f x 在点P 1,2 处的切线方程；
(2)若函数 y = f x 存在两个不同的极值点 x1, x2 ，求证： f x1 + f x2 > 0．
2．（2024 届山东省青岛第五十八中学高三下学期二模）已知函数 f (x) = ln x + ax2 - x + a +1 .
(1)证明曲线 y = f x 在 x =1处的切线过原点；
(2)讨论 f x 的单调性；
3．（2024 届四川省成都市树德中学高三下学期适应性考试）已知函数 f x = x - a ln x,a R .
(1) 2当 a = 2时，曲线 y = f x 与曲线 f x = -x + m 恰有一条公切线 y = -x + t ，求实数m 与 t 的值；
(2)若函数 h x = x - a ln x 1- 有两个极值点 x1, x x < x
4
2 1 2 且 h x2 - h x1 - ，求 a的取值范围.x e
4．（2024 3 2届建省泉州市高中毕业班 5 月适应性练习）已知函数 f x = ax - 2x - 2x + a a 0 ．
(1)当 a =1时，若直线 y = -3x + b 与曲线 y = f x 相切，求b ；
(2)若直线 y = -2x - 2与曲线 y = f x 恰有两个公共点，求 a．
5．（2024 山东省青岛市高三第三次适应性检测）已知 O 为坐标原点，曲线 f x = alnx 在点 P 1，0 处
的切线与曲线 g x = ex + b 在点Q 0，1+ b 处的切线平行，且两切线间的距离为 2 ，其中 b 0 .
(1)求实数 a，b 的值;
(2)若点 M，N 分别在曲线 y = f x ，y = g x 上，求 ONP 与 OMQ 之和的最大值;
(3)若点 A，B 在曲线 y = f x 上，点 C，D 在曲线 y = g x 上，四边形 ABCD 为正方形，其面积
1 2
为 S，证明: S > 2 e -
è 2 ÷
附:ln2 ≈ 0.693.
6.（2022 高考全国卷甲文）已知函数 f (x) = x3 - x, g(x) = x2 + a ,曲线 y = f (x) 在点 x1, f x1 处的切线也
是曲线 y = g(x) 的切线．
（1）若 x1 = -1 ,求 a；
（2）求 a 的取值范围．
1
7.（2024 届四川省成都市第七中学高三上学期考试）已知函数 f x = a ln x + x - 有三个零点 x1, x2 , xx 3
（ x1 < x2 < x3）.
(1)求 a 的取值范围；
(2)过点 x1,0 与 x3 ,0 分别作 f x 的切线，两切线交于 M 点，求 M 点到 y 轴的距离.
8.（2024 3 2届江苏省南通市高三上学期质量监测）已知函数 f x = ax + bx + cx a > 0 的极小值为-2，其导
函数 f x 的图象经过 A -1,0 ，B 1,0 两点.
(1)求 f x 的解析式；
(2)若曲线 y = f x 恰有三条过点P 1,m 的切线，求实数m 的取值范围.
9.（2024 届辽宁省丹东市高三总复习质量测试二）设函数 y = F x 的定义域为 I，若 x0 I ，曲线 y = F x
在 x = x0处的切线 l 与曲线 y = F x 有 n 个公共点，则称 (x0 , F (x0 )) 为函数 F x 的“n 度点”，切线 l 为一条
“n 度切线”．
1, f 1 f (x) x 2(1)判断点 是否为函数 = - - 3ln x 的“2 度点”，说明理由；
x
(2) x设函数 g x = e + ax2 - ex .
①直线 y = 2x -1是函数 y = g x 的一条“1 度切线”，求 a 的值；
②若 a = -1，求函数 y = g x 的“1 度点”.
10．（2024 届河北省衡水市高三下学期大数据应用调研联合测评）过点 P a,b 可以作曲线 y = x + ex 的两条
切线，切点为 A, B .
1
(1)证明： a b - a > - ；
e
(2)设线段 AB 中点坐标为 x0 , y0 ，证明： a + y0 > b + x0 .
11.（2024 届陕西省西安市第一中学高三下学期 4 月月考）已知曲线 C： y = x3 - 3x2 +1.
(1)求 C 的拐点坐标；
(2)证明：C 关于其拐点对称；
(3)设 l为 C 在其拐点处的切线，证明：所有平行于 l的直线都与 C 有且仅有一个公共点.
12.设函数 f (x) = aex ， g(x) = ln x + b ，其中 a， b R ， e是自然对数的底数．
(1)设 F (x) = xf (x) ，当 a = e-1 时，求 F (x)的最小值；
(2)证明：当 a = e-1 ， b <1时，总存在两条直线与曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 都相切；
2
(3)当 a > 2 时，证明： f (x) > x[g(x) - b] ．e
x
13. 2024 1 e（ 届天津市十二区重点学校高三下学期联考二）已知函数 f (x) = + lnx, g(x) = - kf (x),k R .
x x
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
(2)若函数 g(x)在 x =1处取得极大值，求实数 k 的取值范围：
(3)已知 a,b R ，曲线 y = f (x) 在不同的三点 (x1, f (x1)), (x2 , f (x2 )), (x3 , f (x3))处的切线都经过点 (a, b)，且
2 - a 1 1 2 2 - a
x1 < x2 < x3 ，当 0 < a < 2 时，证明： 1+ < + < -24 x1 x3 a 24
.
2
14.（2024 x届天津市北辰区高三三模）已知 f x = ex - ，曲线 y = f x 在点 P x
2 0
, f x0 x0 > 0 处的切
线为 l : y = g(x) .
(1)当 x0 = 0时，求直线 l的方程；
(2)证明： l与曲线 y = f x 有一个异于点 P 的交点 x1, f x1 ，且 x1 < 0；
x
(3) 0在（2）的条件下，令 = tx ，求
t的取值范围.
1

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