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(共50张PPT)
第六节　双曲线
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必 备 知 识
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
差的绝对值
焦点
焦距
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
图形
简单几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：________，对称中心：________ 顶点 ____________ A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 ____________ ____________ 离心率 实虚轴 实轴长|A1A2|＝________；虚轴长|B1B2|＝__________；实半轴长__________，虚半轴长__________ a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0) 坐标轴
原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
2a
2b
a
b
a2＋b2
【常用结论】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　)
(4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
×
√
√
×
2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x.故选C.
3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为__________．
＝1
解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，
解得λ＝15，
所以所求双曲线的方程为＝1.
4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6
解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，
∴a＝1，b＝4.
则||PF1|－|PF2||＝2，
可设|PF2|＝4，
则|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
2或
解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，
当＝时，e＝ ＝＝2；
当＝时，e＝ ＝ ＝.
课堂互动探究案
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
问题思考·夯实技能

【问题1】　方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？




【问题2】　如何由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求出其渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程为y＝kx，如何设双曲线方程？
答案：若A＞0，B＜0表示焦点在x轴上的双曲线；若A＜0，B＞0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB＜0.
答案：由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求渐近线方程，只需把1变成0，整理得±＝0.反过来，若双曲线的渐近线方程为y＝kx，则双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
关键能力·题型剖析
题型一 双曲线的定义及应用
例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
答案： A　
解析：如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.
(2)已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．2 B．2
C． D．2
答案：D
解析：设θ＝∠F1PF2＝60°，则＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故选D.
题后师说
(1)在利用双曲线的定义求双曲线的轨迹时，要注意分清是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固训练1
(1)[2024·江西上饶模拟]已知圆x2＋y2－4y＝0的圆心为S，过点T(0，－2)的直线m交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点M，则点M的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
答案： D　
解析： x2＋y2－4y＝0，即圆x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因为SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故点M的轨迹为双曲线．
故选D.
(2)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．不能确定
答案：C
解析：双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1，
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C.
题型二 双曲线的标准方程
例2(1)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案： B　
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为＝1.故选B.
(2)[2024·河南许昌模拟]已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：A　
解析：根据渐近线方程可设双曲线C方程为：＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1.故选A.
(3)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PQ|＝4，△PQF1的周长为20，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
答案：C
解析：因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，
因为过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
则△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，则b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.故选C.
题后师说
求双曲线方程的两种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北张家口模拟]“k>2”是“＝1表示双曲线”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
答案： B　
解析：当(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2时，＝1表示双曲线，
所以“k>2”是“＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选B.
(2)已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
答案：D
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2，
a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线方程为＝1.故选D.
题型三 双曲线的几何性质
角度一　渐近线
例3(1)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案： D　
解析：由题意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
渐近线方程为y＝± x＝±x.故选D
(2)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案：C
解析：设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
因为＝ ＝，所以＝4，则＝2，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
题后师说
求双曲线渐近线方程的两种常用方法
角度二　离心率
例4(1)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|OP|＝c，|PF|＝2a，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
答案： B　
解析：
由题意知点P在第一象限且在双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为α，则tan α＝，即＝，
结合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
结合题意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故选B.
(2)[2024·九省联考]设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
答案：D
解析：由双曲线的对称性可知＝＝，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令＝＝m，则＝＝2m，
由双曲线定义可知＝2a，
故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
题后师说
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
巩固训练3
(1)[2024·江苏镇江模拟]点(0，4)到双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．5
答案： C　
解析：由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距离为d＝＝＝，所以＝，
不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故选C.
(2)[2024·河北唐山模拟]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为______．
2　
解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，
由题意解得
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
(3)[2024·安徽黄山模拟]设双曲线＝1(a>0，b>0)，其右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点H，且与另一条渐近线交于点Q，若＝，则双曲线的离心离为__________．
2
解析：设点H为第一象限内一点，如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，因为＝，则H为FQ的中点，
又因为OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因为∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，则∠FOH＝，
直线OH的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝2.
1.(多选)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案：ACD
解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
y＝±x
解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3．[2022·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，
则C的离心率为________．
解析：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.课后定时检测案61　双曲线　
一、单项选择题
1．[2024·辽宁沈阳模拟]若方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围为(　　)
A．(－1，2) B．(－∞，－1)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
2．[2024·江苏泰州模拟]若双曲线ky2－8x2＝8的焦距为6，则该双曲线的离心率为(　　)
A．　　B．C．3　　　D．
3．[2024·山东临沂模拟]知双曲线C：－＝1的一条渐近线斜率为－2，实轴长为4，则C的标准方程为(　　)
A．y2－＝1B．－＝1
C．－x2＝1D．－＝1
4．[2024·山西吕梁模拟]若双曲线C的一条渐近线的方程为x＋2y＝0，则下列选项中不可能为双曲线C的方程的是(　　)
A．－y2＝1B．－＝1
C．－＝1D．－＝1
5．[2024·河北邯郸模拟]若双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，则m＝(　　)
A．－1　　B．±1C．2　　　D．±2
6．[2024·河北保定模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若FN垂直于x轴，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　B．2C．　　D．
7．已知圆M：(x＋4)2＋y2＝16，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(4，0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为(　　)
A.－＝1(x≤－2)
B．－＝1
C．x2－＝1(x≤－1)
D．x2－＝1
8．(素养提升)[2024·重庆沙坪坝模拟]设F1，F2分别是双曲线C：－＝1的左、右两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||＝|－|，则△PF1O的面积为(　　)
A．4B．2
C．3D．2
二、多项选择题
9．[2024·山东枣庄模拟]已知曲线C1：5x2＋y2＝5，C2：x2－4y2＝4，则(　　)
A．C1的长轴长为
B．C2的渐近线方程为x±2y＝0
C．C1与C2的离心率互为倒数
D．C1与C2的焦点相同
10．(素养提升)[2024·河北沧州模拟]已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上第一象限内一点，且∠F1PF2＝，|F1F2|＝2，F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，则(　　)
A．C的实轴长为2
B．C的离心率为2
C．△F1PF2的面积为2
D．∠F1PF2的平分线所在直线的方程为x－y－1＝0
三、填空题
11．[2024·河北石家庄模拟]已知双曲线－＝1(b>0，a为正整数)的离心率e＝，焦距不大于4，试写出双曲线的一个方程：________________．
12．[2024·安徽六安模拟]已知双曲线－＝1(a，b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F1作与一条渐近线垂直的直线l，且l与双曲线的左右两支分别交于M，N两点，若|MN|＝|NF2|，则该双曲线的渐近线方程为________________．
四、解答题
13．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积．
?优生选做题?
14．[2024·河北石家庄模拟]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左右焦点分别是F1，F2，左右顶点分别是A1，A2，离心率为2，点P在C上，若直线A1P，A2P的斜率之和为，△PF1F2的面积为，则a＝(　　)
A．1B．
C．D．2
15．[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线E：－＝1(a>1)的中心为坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，且点A(5，－)在双曲线E上．
(1)求双曲线E的渐近线方程；
(2)若直线l1与直线l2：x＝交于点C，点D是双曲线E上一点，且满足＝0，记直线CD的斜率为k1，直线OD的斜率为k2，求k1·k2.
课后定时检测案61　双曲线
1．解析：依题意，得(k＋1)(k－2)<0，则－1答案：A
2．解析：因为ky2－8x2＝8为双曲线，所以k≠0，化为标准方程为：－＝1.由焦距为6可得：c＝＝3，解得k＝1.所以双曲线为－＝1.所以双曲线的离心率为e＝＝＝.故选A.
答案：A
3．解析：由题意双曲线C：－＝1的焦点在y轴上，则2a＝4，a＝2，又－＝－2，则b＝1，故C的标准方程为－x2＝1.故选C.
答案：C
4．解析：对于A，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，符合题意；
对于B，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，符合题意；
对于C，由题易知双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±2x，不符题意；
对于D，由题意可知，此双曲线的渐近线方程为：y＝±x，即x±2y＝0，符合题意．故选C.
答案：C
5．解析：当λ>0时，双曲线焦点在x轴上，a2＝λ，b2＝，故＝，渐近线方程为y＝±x，当λ<0时，双曲线焦点在y轴上，b2＝－λ，a2＝－，故＝，渐近线方程为y＝±x，所以其渐近线方程为y＝±x，又因为双曲线x2－m2y2＝λ(λ≠0)的两条渐近线互相垂直，所以－×＝－1，解得m＝±1.故选B.
答案：B
6．解析：由题意，在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，右焦点为F，FN垂直于x轴，
由题意可知：F(c，0)，B(0，b)，N(c，)，
因为M是BF中点，则M(，)，可得＝(，)，＝(c，)，
且O，M，N三点共线，则∥，可得×＝c×，即a＝b，所以e＝＝＝.故选A.
答案：A
7．解析：因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|，由圆M：(x＋4)2＋y2＝16，得M(－4，0)，该圆的半径r＝4，因为点P在圆上运动时，有||QP|－|QM||＝4，于是有||QA|－|QM||＝4，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以c＝4，2a＝4，可得a＝2，所以b2＝c2－a2＝12，所以点Q的轨迹方程为－＝1.故选B.
答案：B
8．解析：由||＝|－|＝||＝c＝，
所以P是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线C的交点，
又F1(－，0)，F2(，0)，即它们也在P点所在的圆上，且||为直径，
所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°，
如图，||－||＝2a＝2，且||2＋||2＝4c2＝24，
所以(2＋||)2＋||2＝24 ||2＋2||－8＝0 ||＝－，
则||＝＋，故△PF1O的面积为×||||＝2．故选D.
答案：D
9．解析：曲线C1：5x2＋y2＝5整理得＋x2＝1，则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中a＝5，b＝1，所以c＝a－b＝4，离心率为e1＝＝＝，故曲线C1的长轴长2a1＝2，故A错误；
曲线C2：x2－4y2＝4整理得－y2＝1，则曲线C2是焦点在x轴上的双曲线，其中a＝4，b＝1，所以c＝a＋b＝5，离心率为e2＝＝，C2的渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故B正确；
e1·e2＝×＝1，所以C1与C2的离心率互为倒数，故C正确；
C1的焦点在y轴上，C2的焦点在x轴上，焦点位置不同，故D错误．故选BC.
答案：BC
10．解析：由题意，在C：－＝1(a>0，b>0)中，
∵F1关于∠F1PF2的平分线的对称点Q恰好在C上，
∴P，F2，Q三点共线，且|PF1|＝|PQ|，
∵∠F1PF2＝，∴|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|.
设|PF1|＝|F1Q|＝|PQ|＝m，|PF2|＝n，
根据双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝m－n＝2a，|QF1|－|QF2|＝m－(m－n)＝2a，
解得m＝4a，n＝2a，即|PF2|＝|QF2|＝2a，∴PQ⊥F1F2.
在△F1PF2中，根据勾股定理可得，16a2＝4a2＋12，解得a＝1，
∴C的实轴长为2，所以A正确；
又a＝1，c＝，∴C的离心率为，所以B不正确；
△F1PF2的面积为×2×2＝2，∴C正确；
∵PQ⊥F1F2，∴P(，2)，
∵∠F1PF2＝，易得∠F1PF2的平分线的倾斜角为，
∴∠F1PF2的平分线所在直线的方程为y－2＝(x－)，即x－y－1＝0，所以D正确．故选ACD.
答案：ACD
11．解析：由e＝＝得4c2＝7a2，又c2＝a2＋b2，所以4(a2＋b2)＝7a2，即2b＝a.又c≤2，所以≤20，得7a2≤80.因为a为正整数，所以a＝1或a＝2或a＝3，即b＝或b＝或b＝，则双曲线方程为x2－＝1或－＝1或－＝1.
答案：x2－＝1，－＝1，－＝1(写出其中一个即可)
12．解析：如图，设直线l：y＝－x，F1S⊥l且垂足为S，
因为|F1N|－|F2N|＝2a，故|F1M|＝2a，所以|F2M|＝4a，
而F1S⊥l，故F1S＝b，故cos∠SF1F2＝，
在△F1MF2中，由余弦定理可得16a2＝4a2＋4c2－2×2c×2a×，
整理得到：2a2＋2ab－b2＝0，故＝1＋，
因此该双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x.
答案：y＝±(＋1)x
13．解析：(1)因为e＝，
所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
因为过点P(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.
所以双曲线方程为x2－y2＝6，即－＝1.
(2)证明：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，所以c＝2，不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则F1(－2，0)，F2(2，0).
方法一　kMF1＝，kMF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－，
因为点M(3，m)在双曲线上，
所以9－m2＝6，m2＝3，
所以kMF1·kMF2＝－1，
所以MF1⊥MF2，所以·＝0.
方法二　因为＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.
因为M点在双曲线上，
所以9－m2＝6，即m2＝3，
所以·＝0.
(3)△F1MF2的底边长|F1F2|＝4，
△F1MF2的高h＝|m|＝，所以S△F1MF2＝6.
14．解析：∵e＝＝2，c2＝4a2，c2＝a2＋b2，
∴c＝2a，3a2＝b2，
∵＝·2c·|yP|＝，
∴|yP|＝＝　①，
|xP|＝＝＝　②，
∵kA1P＋kA2P＝>0，A1(－a，0)，A2(a，0)，
∴kA1P＋kA2P＝＋＝＝2××＝＝，故＝　③，
由①②③，得＝×，解得a＝1.故选A.
答案：A
15．解析：(1)由题意得－(－)2×＝1，a>1，解得a＝4.
所以双曲线方程为：－＝1，
于是其渐近线为y＝x或y＝－x，即3x－4y＝0或3x＋4y＝0.
(2)设C(，t)，D(x0，y0)，F2(5，0)，因为·＝0，
所以(5－，－t)·(5－x0，－y0)＝0，整理得ty0＝(x0－5).
因为点D(x0，y0)在双曲线上，所以－＝1，即y＝(x－16)，
所以k1·k2＝·＝
＝＝.第六节　双曲线
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．
3．了解双曲线的简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】　方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
【问题2】　如何由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求出其渐近线方程？已知双曲线的渐近线方程为y＝kx，如何设双曲线方程？
关键能力·题型剖析
题型一 双曲线的定义及应用
例1(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．－x2＝1
(2)已知双曲线x2－y2＝2，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为(　　)
A．2 B．2
C． D．2
题后师说
(1)在利用双曲线的定义求双曲线的轨迹时，要注意分清是双曲线还是双曲线的一支．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
巩固训练1
(1)[2024·江西上饶模拟]已知圆x2＋y2－4y＝0的圆心为S，过点T(0，－2)的直线m交圆S于C，D两点，过点T作SC的平行线，交直线SD于点M，则点M的轨迹为(　　)
A．直线 B．圆
C．椭圆 D．双曲线
(2)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l经过F2且与双曲线右支相交于A，B两点，若|AB|＝2，则△ABF1的周长为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．不能确定
题型二 双曲线的标准方程
例2(1)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程是(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(2)[2024·河南许昌模拟]已知双曲线C的渐近线方程为2x±3y＝0，且经过点(3，2)，则C的标准方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
(3)[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，且|PQ|＝4，△PQF1的周长为20，则该双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B．＝1
C．－y2＝1 D．＝1
题后师说
求双曲线方程的两种方法
巩固训练2
(1)[2024·河北张家口模拟]“k>2”是“＝1表示双曲线”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知点F1，F2分别是等轴双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上，|F1F2|＝2|OP|，△PF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为(　　)
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
题型三 双曲线的几何性质
角度一　渐近线
例3(1)[2024·河南开封模拟]已知双曲线x2－my2＝1(m>0)的左、右焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，则双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(2)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　)
A．y＝±2x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
题后师说
求双曲线渐近线方程的两种常用方法
角度二　离心率
例4(1)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0)，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|OP|＝c，|PF|＝2a，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　　B．2　　　C．　　　D．3
(2)[2024·九省联考]设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为(　　)
A． B．2
C． D．
题后师说
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
巩固训练3
(1)[2024·江苏镇江模拟]点(0，4)到双曲线＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．5
(2)[2024·河北唐山模拟]已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为______．
(3)[2024·安徽黄山模拟]设双曲线＝1(a>0，b>0)，其右焦点为F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点H，且与另一条渐近线交于点Q，若＝，则双曲线的离心离为__________．
1.(多选)[2020·新高考Ⅰ卷]已知曲线C：mx2＋ny2＝1.(　　)
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.
3．[2022·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．
4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－F2B，则C的离心率为________．
第六节　双曲线
问题思考·夯实技能
【问题1】　答案：若A＞0，B＜0表示焦点在x轴上的双曲线；若A＜0，B＞0表示焦点在y轴上的双曲线，当上述两种条件都不满足时，不表示双曲线，所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB＜0.
【问题2】　答案：由双曲线方程＝1(a>0，b>0)求渐近线方程，只需把1变成0，整理得±＝0.反过来，若双曲线的渐近线方程为y＝kx，则双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．
关键能力·题型剖析
例1　解析：
如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.
解析：设θ＝∠F1PF2＝60°，则＝|PF1||PF2|sin θ，
而cos θ＝
＝，且||PF1 |-|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c，所以|PF1||PF2|＝，故＝＝＝＝2.故选D.
答案： A　
答案：D
巩固训练1　解析： x2＋y2－4y＝0，即圆x2＋(y－2)2＝12，故S(0，2)，r＝2，
因为SC平行于TM，|SD|＝|SC|，所以|MT|＝|MD|，故||MT|－|MS||＝|SD|＝2，
故点M的轨迹为双曲线．
故选D.
解析：双曲线x2－my2＝1(m>0)的实半轴长a＝1，
由双曲线的定义，可得|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
所以|AF1|＝2＋|AF2|，|BF1|＝2＋|BF2|，
则△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF2|＋|BF2|＋6＝|AB|＋6＝8.故选C.
答案： D　
答案：C
例2　解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为＝1.故选B.
解析：根据渐近线方程可设双曲线C方程为：＝λ(λ≠0)，
∵双曲线C过点(3，2)，∴λ＝2－1＝1，
∴双曲线C的标准方程为＝1.故选A.
解析：因为双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
所以＝，
因为过F2的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，
所以|PF1|－|PF2|＝2a，|QF1|－|QF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，|QF1|＝|QF2|＋2a，
则△PQF1的周长为|PF1|＋|QF1|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋8＝20，
所以a＝3，则b＝1，
所以双曲线的标准方程为－y2＝1.故选C.
答案： B　
答案：A　
答案：C
巩固训练2　解析：当(k＋2)(k－2)>0，即k<－2或k>2时，＝1表示双曲线，
所以“k>2”是“＝1表示双曲线”的充分不必要条件．
故选B.
解析：|F1F2|＝2|OP|，O是F1F2的中点，所以PF1⊥PF2，
a＝b，则c＝a，
解得a＝2，
所以双曲线方程为＝1.故选D.
答案： B　
答案：D
例3　解析：由题意可得x2－my2＝1 ＝1(m>0)，故c2＝22＝1＋ m＝，
渐近线方程为y＝± x＝±x.故选D.
解析：设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
因为＝ ＝，所以＝4，则＝2，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C.
答案： D　
答案：C
例4　解析：
由题意知点P在第一象限且在双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上，
设渐近线的倾斜角为α，则tan α＝，即＝，
结合sin2α＋cos2α＝1，可得cosα＝±，
结合题意可知α∈(0，)，故cos α＝，
又|OP|＝c，|PF|＝2a，
在△PFO中利用余弦定理得|PF|2＝|OF|2＋|OP|2－2|OF||OP|cos α，
即4a2＝c2＋c2－2c2cos α，
即cos α＝－＝，即c2－ac－2a2＝0，
故e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．故选B.
解析：由双曲线的对称性可知＝＝，有四边形AF1BF2为平行四边形，
令＝＝m，则＝＝2m，
由双曲线定义可知＝2a，故有2m－m＝2a，即m＝2a，
即＝＝m＝2a，＝＝4a，
＝cos ∠AF2B＝2a×4a cos ∠AF2B＝4a2，
则cos ∠AF2B＝，即∠AF2B＝，故∠F2BF1＝，
则有cos ∠F2BF1＝＝＝－，
即＝－，即＝－，则e2＝7，由e>1，故e＝.故选D.
答案： B　
答案：D
巩固训练3　解析：由题意可得双曲线的一条渐近线为：by－ax＝0，
所以(0，4)到by－ax＝0的距离为d＝＝＝，所以＝，
不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，所以e＝＝.故选C.
解析：直线x－y－2＝0与x轴交点为(2，0)，斜率为，
由题意解得
所以双曲线的实轴长为2a＝2.
解析：设点H为第一象限内一点，如图所示，
设双曲线的左焦点为F′，因为＝，则H为FQ的中点，
又因为OH⊥FQ，所以|OF|＝|OQ|，且∠QOH＝∠FOH＝∠QOF′，
又因为∠QOH＋∠FOH＋∠QOF′＝3∠FOH＝π，则∠FOH＝，
直线OH的方程为y＝x，则＝tan ＝，
因此，该双曲线的离心率为e＝＝＝＝＝2.
答案： C　
答案：2　
答案：2
随堂检测
1．解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为 的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0 y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1 y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.
答案：ACD
2．解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，
所以e＝＝ ＝2，所以＝3，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案：y＝±x
3．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.
答案：
4．解析：由题意可知，F1(－c，0)，F2(c，0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以，即，所以y0)．
＝(c，－y0)，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即＝0，解得＝4c2.
因为点A(c，－y0)在双曲线C上，所以＝1，又＝4c2，所以＝1，即＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝.
答案：第六节　双曲线
必 备 知 识
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
简单几何性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：________，对称中心：________
顶点 ____________ A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 ____________ ____________
离心率 e＝，e∈____________ 离心率决定双曲线开口的大小，e越大开口越大
实虚轴 实轴长|A1A2|＝________；虚轴长|B1B2|＝__________；实半轴长__________，虚半轴长__________
a，b，c的关系 c2＝________(c>a>0，c>b>0)
【常用结论】
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)
(2)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.(　　)
(4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)
2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．
第六节　双曲线
必备知识
1．差的绝对值　焦点　焦距
2．坐标轴　原点　A1(－a，0)，A2(a，0)　y＝±x　 y＝±x　(1，＋∞)　2a　2b　a　b　a2＋b2
夯实基础
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x.故选C.
答案：C
3．解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，
代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，
解得λ＝15，
所以所求双曲线的方程为＝1.
答案：＝1
4．解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，
∴a＝1，b＝4.
则||PF1|－|PF2||＝2，
可设|PF2|＝4，
则|PF1|＝2或|PF1|＝6，
∵c＝>4，∴|PF1|>2，
∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.
答案：6
5．解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，
当＝时，e＝ ＝＝2；
当＝时，e＝ ＝ ＝.
答案：2或

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