资源简介

第 01 讲 平面向量的概念、线性运算及其坐标运算
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 3 题,5 分 平面向量线性运算的坐标表示 向量垂直的坐标表示
向量垂直的坐标表示
2023 年新 I 卷，第 3 题,5 分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022 年新Ⅱ卷，第 4 题,5 分 平面向量线性运算的坐标表示 数量积及向量夹角的坐标表示
数量积的坐标表示
2021 年新Ⅱ卷，第 10 题,5 分 坐标计算向量的模 逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
向量加法的法则
2020 年新Ⅱ卷，第 3 题,5 分 无
向量减法的法则
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1 了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示
2 掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3 掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4 理解向量的线性运算性质及其几何意义
5 会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
知识讲解
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
交换律：a＋b＝b＋a；
加法 求两个向量和的运算 结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
求 a 与 b 的相反向量
减法 a－b＝a＋(－b)
－b 的和的运算
|λ a|＝|λ||a|，当 λ>0 时，
λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝
求实数 λ 与向量 a 的 λa 与 a 的方向相同；当
数乘 λa＋μa；
积的运算 λ<0 时，λa 与 a 的方向相
λ(a＋b)＝λa＋λb
反；当 λ＝0 时，λa＝0
1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓
住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果．
2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同
类项的运算，在计算时可以进行类比．
3.向量共线定理
向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，
用向量共线定理求解则更加简洁．
→ → →
（1）若OA＝λOB＋μOC(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.
→ 1 → →
（2）P 为线段 AB 的中点 OP＝ (OA＋OB)．
2
4.向量的坐标运算
（1）两点间的向量坐标公式：
A x1, y1 ， B x2 , y2 ， AB 终点坐标 始点坐标 x2 x1, y2 y1
（2）向量的加减法
a x1, y1 ，b x2 , y2 a b x1 x2，y1 y2 ， a b x1 x2，y1 y2
（3）向量的数乘运算
a x, y ，则： a x, y x, y
（4）向量的模
a x, y a a x2 2，则 的模 y
（5）相反向量
已知 a (x, y) ，则 a ( x, y) ；已知
（6）单位向量
a x, y
x y
同向单位向量为 ,
x2 y2 x
2 y2

x , y

反向单位向量为
x2 y2 x2 y
2

（7）向量的平行关系
a x1, y1 ，b x2 , y2 ， a // b a b x1 y2 x2 y1
考点一、平面向量基本概念的综合考查
1．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．向量可以比较大小 B．向量的模可以比较大小
C．速度是向量，位移是数量 D．零向量是没有方向的
【答案】B
【分析】根据向量的相关概念直接判断即可.
【详解】向量不可以比较大小，但向量的模是数量，可以比较大小，A 错误，B 正确；
速度和位移都有方向和大小，是向量，C 错误；
零向量方向任意，D 错误.
故选：B
2．下列结论正确的是：（ ）
r r r r
A．若 a 与b 都是单位向量，则a b．
r r r r
B．若 a 与b 是平行向量，则a b．
uuuur uuur
C．若用有向线段表示的向量 AM 与 AN 相等，则点 M，N 重合
D．直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量
【答案】C
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
r r r r
【详解】对于 A、B，只有当 a 与b 的方向相同且模长相等时才有a b，故 A、B 均错误；
uuuur uuur
对于 C，若向量 AM AN ，又因为 A 是公共点，所以 M 与 N 重合，故正确；
对于 D，因为 x 轴与 y 轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故 D 错误；
故选：C.
3．（多选）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
r r r r
B．若 a b，则 a ，b 不是共线向量；
uuur uuur
C．若 AB DC ，则四边形 ABCD是平行四边形；
ar
r r r r
D． 与b 同向，且 a > b ，则ar > b
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的表示，共线向量的定义，以及向量的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断
和选择.
【详解】对 A：表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故 A 正确；
r r r r
对 B：若 a b，也有可能 a ，b 长度不等，但方向相同或相反，即共线，故 B 错误；
uuur uuur uuur uuur
对 C：若 AB DC ，则 AB ，DC 可以方向不同，所以四边形 ABCD不一定是平行四边形，故 C 错误；
对 D：因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，故 D 错误.
故选：BCD.
1．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行
C．模为 1 的向量都是相等向量
D．向量的模可以比较大小
【答案】D
【分析】由向量的相关概念逐一判断即可.
【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故 A 错；
由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故 B 错；
长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为 1 的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故 C 错；
向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故 D 正确.
故选：D.
2．下列说法正确的是（ ）
A ar
r r r r r r
．若 / /b ，b / /cr ，则 a / /c B．若 ar b 2ar ，则 3b
arr
C．对任意非零向量 a， ar 是和它同向的一个单位向量 D．零向量没有方向
【答案】C
【分析】结合共线向量、单位向量、零向量的定义逐项判断即得.
r r r r r
【详解】对于 A，当b 0时，任意向量都与b 共线，则 a,c 不一定共线，A 错误；
对于 B，向量不能比较大小，B 错误；
arr
对于 C，对任意非零向量 a， ar 是和它同向的一个单位向量，C 正确；
对于 D，零向量有方向，其方向是任意的，D 错误.
故选：C
3．下列说法错误的是（ ）
uuur uuur
A． CD DC
ur uur ur uur
B． e1 ， e2 是单位向量，则 e1 e2
uuur uuur uuur uuur
C．若 AB > CD ，则 AB > CD
D．两个相同的向量的模相等
【答案】C
【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案.
uuur uuur
【详解】对于 A， CD DC ，故 A 正确；
ur uur ur uur
对于 B， e1 ， e2 是单位向量，则 e1 e2 1，故 B 正确；
uuur uuur uuur uuur
对于 C，若 AB > CD ，则 AB,CD 不能比较大小，故 C 错误；
对于 D，两个相同的向量的模相等，故 D 正确.
故选：C.
4．（多选）下列说法错误的是（ ）
r r
A．若 ar b r与 都是单位向量，则 a b
B．方向为南偏西 60°的向量与北偏东 60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量
uuuur uuur
D．若用有向线段表示的向量 AM 与 AN 不相等，则点 M 与 N 不重合
【答案】AC
【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果.
r
【详解】对于 A，因为 ar与b 的方向可能不同，故错误；
对于 B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确；
对于 C，因为 x 轴、y 轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误；
uuuur uuur
对于 D，假设点 M 与点 N 重合，则向量 AM AN ，与已知矛盾，所以假设不成立，即点 M 与 N 不重合，
故正确；
故选：AC
考点二、相等向量及其应用
r r
r r a b
1．（23-24 高三上·辽宁·阶段练习）设 a，b 都是非零向量，下列四个条件中，能使 rar b 一定成立的是
（ ）
A ar
r r r r r
． 2b B r． a2 r b 2 C． a 2b D． a b
【答案】C
【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可.
ar
r
b r r
【详解】因为 rar b ，故 a,b 同向.
r r r r
对于 A: a 2b ， a,b 方向相反,A 选项错误；
B: ar
r r r
对于 2 b 2，得出 a b ,不能得出方向，B 选项错误；
r r
r urr a b
对于 C: ar 2b , a,b 方向向相同,则 r arb 成立，C 选项正确；
r r r
对于 D: a b , ar不能确定 ,b 的方向，D 选项错误.
故选：C．
ur uur ur uur ur uur
2．（2024 高三·上海·专题练习）已知向量 e1 ， e2 不共线，实数 x ， y 满足 (x y)e1 (x y)e2 e1 3e2 ，则 x 2y
（ ）
A．4 B． 4 C．2 D． 2
【答案】A
【分析】由已知结合平面向量基本定理可求 x ， y ，进而求出答案.
ur uur ur uur ur uur
【详解】由 e1 ， e2 不共线，实数 x ， y 满足 (x y)e1 (x y)e2 e1 3e2 ，
ìx y 1
得 í ，解得 x 2x y 3 ，
y 1，

所以 x 2y 4 .
故选：A
r r
r r a b r r
1．（2023·北京大兴·三模）设 a ，b 是非零向量，“ r r ”是“ ”a b a b 的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.
r r
a b r r r r
【详解】由 r ra b 表示单位向量相等，则 a,b同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出a b，
r r
r r r r a b
由a b表示 a,b同向且模相等，则 r ra b ，
r r
a b r r
所以“ r r ”a b 是“ a b ”的必要而不充分条件.
故选：B
2．已知平行四边形 ABCD 的顶点 A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（5，6），则顶点 D 的坐标为 ．
【答案】（1，5）
【分析】设出点 D，利用向量的坐标的求法求出两个向量的坐标，再利用向量相等的坐标关系列出方程组，
求出点的坐标．
【详解】设 D（x，y）则
在平行四边形 ABCD 中
uuur uuur
∵ AB 4，1 ，DC 5 x，6 y
uuur uuur
又∵ AB DC
ì4 5 x ìx 1
∴ í1 6 y 解得
í
y 5
故答案为：（1，5）
【点睛】本题考查向量的坐标的求法；相等向量的坐标相同．
考点三、平面向量线性运算的综合考查
uuur
1．（广东·高考真题）如图所示，已知在VABC 中，D是边 AB 上的中点，则CD （ ）
uuur 1 uur uuur uur
A．BC BA BC 1B． BA
2 2
uuur 1 uur uuur uur
C． BC BA 1D．BC BA
2 2
【答案】B
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由题意得BD BA，再由CD CB BD BC
1
BA，即可得到答案.
2 2
uuur 1 uuur
【详解】由于D是边 AB 上的中点，则BD BA .
2
uuur uuur uuur uuur uuur
CD CB BD 1 BC BA .
2
故选：B.
uuur
2．（海南·高考真题）在VABC 中，D 是 AB 边上的中点，则CB =（ ）
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
A． 2CD CA B．CD 2CA C． 2CD CA D．CD 2CA
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurCB CA AB CA 2AD CA 2 CD CA 2CD CA
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
uuuur
3．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形 ABCD中， AB//CD ，且 AB 2CD ，点M 是BC 的中点，则 AM
（ ）
2 uuur uuur uuurAB 1 AD 1 AB 2
uuur
A． B． AD
3 2 2 3
uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur
C． AB AD D． AB AD
2 4 2
【答案】D
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
uuuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur
【详解】依题意可得 AM AB AC AB
1
AD DC
2 2 2 2
1 uuur uuur uuur uuur uuur
AD 1 AB 1 AB 3 1 AB AD
2 4 2 4 2 ．
故选：D
uuur 1 uuuur
4．（2024·全国·模拟预测）已知M 4, 2 ， N 6, 4 ，且MP MN ，则点 P 的坐标为（ ）
2
A． 1,1 B． 9, 1 C． 2,2 D． 2,-1
【答案】B
1 uuuur uuur uuur uuuur
【分析】由M , N 的坐标得出 MN ，设点P x, y ，得出MP ，根据MP
1
MN 列出方程组求解即可．
2 2
【详解】因为M 4, 2 ， N 6, 4 ，
1 uuuur 1
所以 MN 10, 2 5,1 ，
2 2
uuur
设P x, y ，则MP x 4, y 2 ，
uuur uuuur
又MP
1
MN ，
2
ìx 4 5 ìx 9
所以 í
y 2 1
，解得 í ，
y 1
所以点 P 的坐标为 9, 1 ．
故选：B．
uuur uuur
1．（2024·河南·模拟预测）已知向量 AB 2, 1 ， AC 3,2 ，点C 1,2 ，则点 B 的坐标为（ ）
A． 2, 1 B． 0,5 C． 2, 5 D． 2,-1
【答案】A
【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.
uuur uuur uuur
【详解】由题意得，CB AB AC (2, 1) (3, 2) ( 1, 3)，
uuur
设点 B 的坐标为 (x, y)，则CB (x 1, y 2) ( 1, 3)，所以点 B 的坐标为 ( 2, 1) .
故选：A.
uuur
2．（山东·高考真题）已知平行四边形 ABCD，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点（如图所示），设 AB ar，
uuur r uuur
AD b ，则EF 等于（ ）
1 r r 1 r r rA． a b B． a b 1 b arC． 2 2 2
1 r r
D． a b
2
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 AC ，则 AC 为VABC 的中位线，
uuur 1 uuur 1 r 1 r EF AC a b ，
2 2 2
故选：A
uuur uuur uuur uuur uuur
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）在VABC 中， AN 3NC, BP 4PN ，则 AP （ ）
1 uuur 3 uuur uuur uuur
A． AB CA
3 4
B． AB CA
5 5 5 5
3 uuur uuur uuurAB 1 CA 1 AB 3
uuur
C． D． CA
5 5 5 5
【答案】D
【分析】运用平面向量加法、减法、数乘运算即可.
【详解】如图，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为BP 4PN ，所以 AP AB BP
4
AB BN 4 1 4 AB AN AB AB AN ，
5 5 5 5
uuur uuur uuur 3 uuur
又 AN 3NC ，所以 AN AC ，4
uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur uuur
所以 AP AB AC AB
3
CA .
5 5 5 5
故选：D.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
4．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 ABCD是平行四边形， EC 2BE ， DF 2FC ，记 AB=a ， AD b ，
uuur
则EF （ ）
1 r 2 r 1 r 2 r
A． a b B． a b
3 3 3 3
2 r 1 r 2 r 1 r
C． a b D． a b
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
【详解】在YABCD中，EC 2BE ，DF 2FC ， AB=a ， AD b ，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur r r
所以EF CF CE CD
2
CB 1 2 a b .
3 3 3 3
故选：A
考点四、平面向量共线定理与点共线问题
uuur r r uuur r r uuur r r
1．（2022·四川绵阳·二模）已知平面向量 a，b 不共线， AB 4a 6b ，BC a 3b,CD a 3b ，则（　　）
A．A，B，D 三点共线 B．A，B，C 三点共线
C．B，C，D 三点共线 D．A，C，D 三点共线
【答案】D
【分析】根据平面向量共线的定义一一判断求解.
uuur uuur uuur r r r r r
【详解】对 A，BD BC CD a 3b a 3b 6b uuur与 AB 不共线，A 错误；
uuur r r uuur r r uuur uuur
对 B， AB 4a 6b, BC a 3b 则 AB 与BC 不共线，B 错误；
uuur r r uuur r r uuur uuur
对于 C，BC a 3b,CD a 3b 则BC 与CD不共线，C 错误；
uuur uuur uuur r r r r r r uuur
对于 D， AC AB BC 4a 6b a 3b 3a 9b 3CD，
uuur uuur
即 AC //CD，又线段 AC 与 CD 有公共点 C，所以 A，C，D 三点共线，D 正确.
故选：D.
uuur uuur
2．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 e
r
1， e
r
2是平面上两个不共线的单位向量，且 AB e
r r r r
1 2e2，BC 3e1 2e2，
uuur
DA 3er 6er1 2 ，则（ ）
A．A 、 B 、C 三点共线 B．A 、 B 、D三点共线
C．A 、C 、D三点共线 D． B 、C 、D三点共线
【答案】C
r r r r
【分析】根据向量 a,b共线则 a b R 判断即可.
uuur r r uuur r uuur uuur
【详解】对 A，因为 AB e1 2e2，BC 3e1 2e
r
2，不存在实数 使得 AB BC ，故A 、 B 、C 三点不共
线，故 A 错误；
uuur
B AB er r
uuur uuur uuur
对 ，因为 1 2e2，DA 3e
r
1 6e
r
2 ，不存在实数 使得 AB DA，故A 、 B 、D三点不共线，故 B 错
误；
uuur uuur uuur
AC AB BC 2er r
uuur uuur 2 uuur
对 C，因为 1 4e2，DA 3e
r r
1 6e2 ，则 AC DA，故A 、C 、D三点共线，故 C 正确；3
uuur
BC 3er 2er
uuur uuur uuur uuur
对 D，因为 1 2，BD DA AB DA
r
3e1 6e
r r r r r
2 e1 2e2 4e1 4e2 ，不存在实数 使得
uuur uuur
BC BD，故 B 、C 、D三点不共线，故 D 错误.
故选：C
uuur uuur 3π
3．（2024·贵州黔东南·二模）已知向量 AB 1, 3 , AC 1, tana , A, B,C 三点共线，则 tan a .
4
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】由点共线可得 tana 3，再利用两角和的正切公式即可求得结果.
uuur P uuur【详解】因为 A, B,C 三点共线，所以 AB AC ，
所以 tana 3 1 3，
tana 3π 3π tan 3 1 1
可得 tan a 4
4 1 tana tan 3π 1 3 1 2
4
1
故答案为： 2
r r uuur
AB ar
r uuur r uuur r
1．已知 a,b为不共线向量， 5b , BC 2a
r
8b ,CD 3 ar b ，则（ ）
A． A, B, D 三点共线 B． A, B,C 三点共线
C． B,C , D 三点共线 D． A,C , D 三点共线
【答案】A
uuur uuur
【分析】运用向量的加法运算，求得 BD AB ，从而得出结论.
uuur uuur uuur r r r r r r uuur
【详解】因为 BD BC CD 2a 8b 3a 3b a 5b AB，所以 A, B, D 三点共线，
故选：A．
2．（2024·辽宁·二模）（多选）VABC 的重心为点G ，点 O，P 是VABC 所在平面内两个不同的点，满足
uuur uuur uuur uuur
OP OA OB OC ，则（ ）
O, P,G uuur uuurA． 三点共线 B．OP 2OG
uuur uuur uuur uuur
C．2OP AP BP CP D．点 P 在VABC 的内部
【答案】AC
【分析】根据三角形重心的性质，向量共线的判定及向量的线性运算即可判断．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】OP OA OB OC OG GA OG GB OG GC
uuur uuur uuur uuur
3OG GA GB GC ，
因为点G 为VABC 的重心，
uuur uuur uuur r uuur uuur
所以GA GB GC 0 ，所以OP 3OG ，
所以O, P,G 三点共线，故 A 正确，B 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP BP CP AO OP BO OP CO OP
uuur uuur uuur uuur
(AO BO CO) 3OP，
uuur uuur uuur uuur
因为OP OA OB OC ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 (AO BO CO) 3OP OP 3OP 2OP，即2OP AP BP CP，故 C 正确；
uuur uuur
因为OP 3OG ，
所以点 P 的位置随着点O位置的变化而变化，故点 P 不一定在VABC 的内部，故 D 错误；
故选：AC．
考点五、平行向量（共线向量）求参数
r r r
1．（2024·上海·高考真题）已知 k R,a 2,5 ,b 6,k r，且 a / /b ，则 k 的值为 ．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
r r
【详解】Qa / /b ， 2k 5 6，解得 k 15．
故答案为：15．
r r r r r r
2．（2024·浙江杭州·三模）已知不共线的平面向量 a ，b 满足 a b ∥ a 2b ，则正数 （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】B
【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出 .思路二：由共线向量基本定理即可得解.
【详解】方法一：由已知有1×2 × ， > 0，解得 2 .
r r r r
方法二：设 a b m a 2b ì1 m , m R ，由题意 í 2 0，解得 m > 2 .
故选：B.
ur uur r ur uur r ur uur r r
3．（23-24 高一下·广东河源·期中）已知 e1,e2 是两个不共线的向量， a e1 3e2 ,b ke1 e2 ，若 a与b 是共线
向量，则 k .
1
【答案】
3
r r
【分析】根据向量共线可设b a, R ，进而对比系数列式求解即可.
ur uur r ur uur r ur uur
【详解】因为 e1,e2 是两个不共线的向量， a e1 3e2 ,b ke1 e2 ，
r r r r ur uur ur uur ur uur
若 a与b 是共线向量，设b a, R ，则 ke1 e2 e1 3e2 e1 3 e2 ，
ìk 1
则 í1 3 ，解得
k .
3
1
故答案为： .
3
r r r r r r
4．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a 1,2 ,b x,6 ，若 a 2b / / 2a b ，则 x ．
【答案】 3
【分析】根据向量线性运算的坐标表示，及向量平行的坐标表示进行计算即可.
ar
r
【详解】由题意得 2b 1,2 2 x,6 1 2x, 10 ，
r
2ar b 2,4 x,6 2 x, 2 ．
rar 2b / / 2ar r又 b ，
所以 10 2 x 2 1 2x ，
解得 x 3．
故答案为： 3 .
r r r
1．（2024·山东菏泽·模拟预测）设向量 a 1, k
1
，b 2, k 2 r，若2 a / /b ，则实数 k 的值为（ ）
A． 2 B． 1 C．2 D．1
【答案】D
【分析】利用向量平行得到方程，求出答案.
r r 2
【详解】 a / /b ，故 k 2
1
k 0 ，解得 k 1.
2
故选：D
ur uur r ur uur r ur ur r r
2．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 e1 ， e2 不共线， a (2k 1)e1 2e2 ，b e1 e2 ，且 a//b ，则 k
（ ）
1 3
A． B．0 C．1 D．
2 2
【答案】A
r r
【分析】依题意可得 a tb ，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.
r ur uur r ur ur r r
【详解】因为 a (2k 1)e1 2e2 ，b e1 e2 且 a//b ，
r r ur uur ur uur
所以 a tb ，即 (2k 1)e1 2e2 t e1 e2 ，
ur uur
又 e1 ， e2 不共线，
ì2k 1 t ìt 2
所以 í2 ，解得 t í 1
.
k 2
故选：A
r r r r
3．（2024·江苏·二模）已知非零向量 a (cos 2a ,sin(a
π
))，b (sin(a
π
),1)，若 a / /b，则 sin 2a （ ）4 4
4 3
A． 1 B 10． C． D．
10 5 5
【答案】D
2 π
【分析】利用两个向量平行的性质可得 sin (a ) cos2a
1
，化简可得 tana ，利用齐次式即可得到答
4 3
案.
ì π k1π
r r ìcos 2a 0 a 4 2
【详解】因为 a，b 为非零向量，所以 í ，即 k Z,k Z
sin(a
π) 0 í 1 2
4 a
π
k π
4 2
r r π
因为 a / /b，所以 sin2 (a
π) cos2a 1 cos 2a ，则
4 2 cos2a
，
2
即1 sin 2a 2cos2a ，
即 sin2a cos2a 2sinacosa 2cos2a 2sin2a ，由于 cosa 0，所以两边同除 cos2a ，
可得：3tan2a 2tana 1 0，解得：tan = 1或 tana 1(3 舍去),
2
sin2a 2tana 3 3所以 1 tan2a .1 1 5
9
故选：D
一、单选题
1．（23-24 高三下·江苏扬州·阶段练习）下列命题中，正确的是（ ）
r r r r r r r r
A．若 a b ，则a b B．若 a > b ，则 a > b
r r r r r r r r r r
C．若a b，则 a / /b D．若 a // b,b // c ，则 a / /c
【答案】C
【分析】根据向量的概念逐一判断.
r r r r
【详解】对于 A：若 a b ，则 a,b只是大小相同，并不能说方向相同，A 错误；
对于 B：向量不能比较大小，只能相同，B 错误；
r r r r
对于 C：若a b，则 a,b方向相同，C 正确；
r r r r r r r
对于 D：若 a // b,b // c ，如果b 为零向量，则不能推出 a,c 平行，D 错误.
故选：C.
uuur uuur uuur
2．（22-23 高一下·贵州遵义·阶段练习）在四边形 ABCD中，若 AC AB AD ，则（ ）
A．四边形 ABCD是平行四边形 B．四边形 ABCD是矩形
C．四边形 ABCD是菱形 D．四边形 ABCD是正方形
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由 AC AB AD 推出BC AD，再根据向量相等的定义得 BC AD 且BC / / AD ，从而可得答案.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为 AC AB AD ，故 AC AB AD，即BC AD，
故 BC AD 且BC / / AD ，故四边形 ABCD一定是平行四边形，
不一定是菱形、正方形和矩形，故 A 正确；BCD 不正确.
故选：A.
uuur uuur
3．（2024 高三·全国·专题练习）设D, E, F 分别为VABC 的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC （ ）
uuur 1 uuur uuur uuur
A． AD B． AD
1
C． BC D．
2 2 BC
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算可得结果.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】EB FC EC BC FB BC uuur uuur EC FB
1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur AB AC AB AC AD，2 2 2
故选：A.
uuur uuur uuur
4．（2021·全国·二模）已知向量 a和b 不共线，向量 AB a mb ，BC 5a 3b，CD 3a 3b，若A B D
三点共线，则m （ ）
A．3 B．2 C．1 D． 2
【答案】A
uuur uuur
【分析】根据 A、B、D 共线的条件得到BD AB ，进而得到 2a 6b a m b ，根据平面向量基本定理
中的分解唯一性，得到关于m, 的方程组，求解即得.
【详解】因为A B D三点共线，
uuur uuur
所以存在实数 λ，使得BD AB ，
uuur uuur uuur r r
BD BC CD 2a 6b，
所以 2a 6b a m b ，
ì 2
∴ í m 3 .
6 m
，解得
故选：A.
5．（2024·陕西西安·一模）已知点 P 是VABC 的重心，则（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur uuurAP AB AC AP 1
uuur 1 uuur
A． B． AB AC
6 6 4 4
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur
C． AP AC BC D． AP AB BC
3 3 3 3
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设BC 的中点为 D，连接 AD ，点 P 是VABC 的重心，则 P 在 AD 上，
uuur 2 uuur uuur uuurAP AD 2 1 AB AC 1 uuur uuur uuur2AB BC 2 AB 1 uuur且 BC3 3 2 3 3 3
2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur uuur
(AC CB) 1 BC AC BC ，
3 3 3 3
由此可知 A，B，C 错误，D 正确，
故选：D
7 uuur uuur
6．（2024·广东深圳·模拟预测）已知点 A 2,6 ，B 2, 3 ，C 0,1 ，D ,6 ，则与向量 AB 2CD同方向
2
的单位向量为（ ）
3 10 10 10 3 10
A． , B． ,
10 10

10 10


2 5 , 5
4 3
C． D
,
5 5 ． 5 5
【答案】A
【分析】由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.
uuur uuur 7 uuur uuur
【详解】由题意 AB 4, 9 ,CD ,5 ，所以 AB 2CD 3,1 ，
2
uuur uuur
uuur uuur AB
从而与向量 AB 2CD同方向的单位向量为 uuur
2CuuDur 1 3,1 3 10 10 ,
AB 2CD 9 1
.
10 10
故选：A.
r r
r r r r a b
7．（22-23 高一下·江西九江·期中）设 a,b为两个非零向量，则“ a 2023b ”是“ r r ”的（ ）
| a | | b |
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合共线向量的定义分析判断
r r
r r r r a b
【详解】因为 a 2023b ，所以 a,b同向共线，所以 r r ，
| a | | b |
r r
a b r r r r
因为 r r ，所以 a,b同向共线，此时 a 2023b 不一定成立，
| a | | b |
r r
r r a b
所以“ a 2023b ”是“ r r ”的充分不必要条件.
| a | | b |
故选：A
二、多选题
8．（22-23 高一下·吉林四平·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．单位向量是模为1的向量 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】ACD
【分析】根据零向量的定义与性质，判断出 A 项的正误；根据共线向量与相等向量的定义，判断出 B、D 两
项的正误；根据单位向量的定义，判断出 C 项的正误．
【详解】解：对于 A，零向量的方向是任意的，零向量与任一向量平行，故 A 项正确；
对于 B，根据共线向量的定义，可知方向相反的两个非零向量一定共线，故 B 项错误；
对于 C，根据单位向量的定义，可知 C 项正确；
对于 D，方向相同且模相等的两个向量相等，因此方向相反的两个非零向量一定不相等，D 项正确．
故选：ACD．
三、填空题 r r
9．（22-23 高三上·福建厦门·开学考试）写出一个与向量 a 1,2 共线的向量b .
【答案】 2,4 （答案不唯一）
【分析】根据共线向量定理求解即可
r r
【详解】与向量 a 1,2 共线的向量为 a 1,2 .
r r
取 2，可得出一个与向量 a 1,2 共线的向量为b 2,4
r
（答案不唯一，满足 a R 即可）.
故答案为： 2,4 （答案不唯一）
r r r r r
10．（2024·陕西西安·一模）已知平面向量 a 2, 1 ,b 4, x ，若b 与 a b 共线，则实数 x ．
【答案】2
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
r r
【详解】 a b 2, 1 4, x 2, x 1 ，
r r r若b 与 a b 共线，则 4 x 1 2x 0，
解得 x 2 .
故答案为： 2 .
一、单选题
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量.
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
③ av
v
0（ 为实数），则 必为零.
v v
④ , m v
v
为实数，若 a mb ，则 a与b 共线.
其中正确的命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比
v v v
较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若 a 0（ 为实数），则 a也可以零，因此命题也
v v v v
是错误的；若 , m 为 0，尽管有 a mb ，则 a与b 也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案 A．
2．已知， A 2,3 , B 4,5 uuuv，则与 AB 共线的单位向量是（ ）
r 3 10 10 v 3 10 10 v e , e , 3 10 10

A． 10 10
B． 10 10
或 e ,
10 10
erC． ( 6,2)
v
D． e 6,2 ev或 6,2
【答案】B
uuur
AB uuur
【分析】利用± uuurAB 求得与 AB 共线的单位向量
uuur
uuur uuur uuur AB 3 10 10
【详解】 AB 6,2 , AB 36 4 2 10 ，故与 AB 共线的单位向量为± uuur ± ,10 10 ，即AB
r
e 3 10
r
, 10 3 10 10

或 e 10 10
,
10 10
，故选 B.

【点睛】本小题主要考查单位向量的知识，考查共线向量的坐标表示，属于基础题.
uuur uuur uuur
3．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知O为坐标原点，P1P 2PP2 ，若P1 1,2 、P2 2, 1 ，则与OP 共线的单
位向量为（ ）
A． 3, 4 B． 3, 4 或 3,4
3 , 4 3 , 4 3 4C． 或

D．
5 5 5 5
,
5 5
【答案】C
uuur uuur
【分析】求出OP 的坐标，除以 OP ，再考虑方向可得．
uuur uuur uuur uuur r uuuur uuur r uuuur uuur
【详解】由P1P 2PP2 得P1P 2PP2 0，即P1P2 PP2 0，P1P2 P2P ，
uuur uuur uuur uuur
OP2 OP1 OP OP2 ，
uuur uuur uuur
OP 2OP2 OP1 2(2, 1) (1, 2) (3, 4) ，
uuur
OP 32 ( 4)2 5，
uuur
uuur OP 3 4 3 4
与OP 同向的单位向量为 uuur ( , )OP 5 5 ，反向的单位向量为
( , )．
5 5
故选：C．
4．下列命题中正确的是（ ）
r r
A．若 ar b ，则3ar > 2b
uuur uuur uuur uuur
B．BC BA DC AD
r r
C．若 a
r b ar b r r，则 a与b 的方向相反
ar
r
b cr r rD r．若 ，则 a b c
【答案】B
【分析】对于 A：利用向量不能比较大小直接判断；对于 B：利用向量的线性运算法则直接判断；对于 C：
r r r
由 a
r
b ar b r r r r r r，可以得到 a与b 的方向相同或 a与b 中有零向量.对于 D： a,b ,c 的方向不确定.即可判
断.
【详解】对于 A：因为向量不能比较大小，所以 A 错误；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于 B：BC BA DC AC DC CD CA AD .故 B 正确；
r r ra b ar b r r r r对于 C：若 ，则 a与b 的方向相同或 a与b 中有零向量.故 C 错误；
r r r
对于 D：若 a b c
r
ar，但 ,b ,cr的方向不确定.故 D 错误.
故选：B
uuur uuur
5．（2024·四川·模拟预测）如图，D是VABC 边 AC 的中点，E 在BD上，且 DE 2EB，则（ ）
uuur 2 uuur 1 uuur uuurAE AB AC AE 2
uuur 1 uuur
A． B． AB AC
3 6 3 3
uuur 5 uuur 1 uuur uuur 3 uuur 1 uuur
C． AE AB AC D． AE AB AC
6 6 4 8
【答案】A
【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由题意有BE
1
BD 1 1 BA BC 1 AB AC 1 1 AB AB AC ，3 3 2 6 3 6
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AE AB BE AB
1
AB 1 AC 2 AB 1 AC ．
3 6 3 6
故选：A
uuur uuuur
6．（2023·湖北武汉·三模）如图，在VABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段 AM 上一点， AG 2GM ，
uuur uuur uuur uuur 4 1
过点 G 的直线分别交直线 AB ， AC 于 P，Q 两点， AB xAP x > 0 ， AC y AQ y > 0 ，则 x y 1的最
小值为（ ）．
3 9
A． B． C．3 D．9
4 4
【答案】B
uuur x uuur y uuur
【分析】先利用向量的线性运算得到 AG AP AQ，再利用三点共线的充要条件，得到 x y 3，再利
3 3
用基本不等式即可求出结果.
uuuur 1 uuur uuur uuur uuuur
【详解】因为 M 为线段BC 的中点，所以 AM (AB AC)，又因为 AG 2GM ，所以2
uuur 2 uuuur 1 uuur uuurAG AM (AB AC)，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又 AB xAP x x y> 0 ， AC y AQ y > 0 ，所以 AG AP AQ，
3 3
又 P,G,Q
x y
三点共线，所以 1，即 x y 3，
3 3
4 1 1 (4 1 ) x (y 1) 1 é4 x 4(y 1) 1ù 1 (5 2 x 4(y 1) 9所以 ê × ) ，x y 1 4 x y 1 4 y 1 x ú 4 y 1 x 4
x 4(y 1) 8 1
当且仅当 ，即 x , y y 1 x 时取等号. 3 3
故选：B.
二、填空题
r r r r r r
7．（2024·青海西宁·二模）若向量 a,b不共线，且 xa b / / a yb ，则 xy的值为 ．
【答案】1
r r
【分析】根据题意，可设 a,b 为一组基向量，利用向量共线定理和向量基本定理运算求解.
r r r r
【详解】因为 a,b 不共线，所以可设 a,b 为一组基向量，
r r r r r因为 xa b ar∥ yb ，所以$ R，使得 xar b ar yb ，
r r ìx ,
所以 xar b ar yb ，所以 í ，消去 ，得 xy 1．
1 y,
故答案为：1.
r r r r r r
8．（2022·广西柳州·三模）已知平面向量 a 2, 1 ，b k, 2 ，若 a / /b，则 3a 2b .
【答案】 5
r r
【分析】由向量平行可得 k 4，再由向量线性运算的坐标表示可得3a 2b ( 2,1)，最后应用向量模长的
r r
坐标运算求 3a 2b .
r
【详解】由题设， 4 k 0，即 k 4，则b 4,2 ，
r r r r
所以3a 2b (6, 3) ( 8,4) ( 2,1)，故 3a 2b ( 2)2 12 5 .
故答案为： 5 .
9．（2024·山西·三模）如图，函数 f x cos wx φ uur uuur 的图象经过点 A，B，点 T 在 x 轴上，若TB 2AB ，则
点 B 的纵坐标是 ．
【答案】 3 1/ 1 3
【分析】设T (t,0)
p 2kπ j
，计算出 t ， k Z，再设 A x0 , y0 ，根据中点公式得到 B 的坐标，将其代入w
2
三角函数解析式并结合二倍角的余弦公式得到 2y0 2y0 1 0，解出即可.
p 2kπ j
【详解】由题意设T (t,0) ，则wt j π 2kπ, t ， k Z，
w
设 A x0 , y0 y
uur uuur
， 0 cos wx0 j ，因为TB 2AB ，
所以A 为线段TB的中点，所以B

2x
π 2kπ j
0 , 2y0 ， k Z，
w
又点 B 在函数图象上，所以 2y0 cos 2wx0 π 2kp j j cos 2 wx0 j ，
又 cos 2 wx0 j 2cos2 wx0 j 1 ， k Z，
所以 2y 20 2y0 1 2y
2
即 0 2y 1 0 y
3 1
0 ，所以 0 （负舍），2
则点 B 的纵坐标是 3 1.
故答案为： 3 1.
r
10．（2022 高三·全国·专题练习）设两个向量 a ( 2， 2 cos2
r
a ) 和b ＝ m,
m
sina
2 ，其中
、m、a 为

r r
实数.若 a 2b ，则 的取值范围是 .m
【答案】[ 6,1]
r r
【分析】由 a 2b 可得 2 2m ，且 2 cos2 a m 2sin a，整理得 4m2 9m 4 1 sin2 a 2sina ，结
合三角函数和二次函数性质求出1 sin2 a 2sina 范围，即可得m 范围，同时将 代换成关于m 表达式，即
可求解.
r
【详解】∵2 b ＝ (2m,m 2sin a) a
r
， ( 2， 2 cos2a ) ，
∴ 2 2m ，且 2 cos2 a m 2sin a，
∴ (2m 2)2 m cos2 a 2sina ，即 4m2 9m 4 1 sin2 a 2sina ，
又∵1 sin2 a 2sina (sina 1)2 2， sina [ 1,1]，
∴ (sina 1)2 2 [ 2,2]，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
1
解得 ≤m≤2，
4
1 1
∴ 4，又∵λ＝2m－2，
2 m

∴ 2
2
，
m m
∴ 6 2
2
1，
m

∴ 的取值范围是[ 6,1] .
m
故答案为：[ 6,1] .
一、单选题 uuur uuur uuur
1．（四川·高考真题）如图，正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF （ ）
r uuur uuur uuur
A．0 B． BE C． AD D．CF
【答案】D
【详解】将 平移到 ， 平移到 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故BA CD EF CB BA AF CF ，
故选 D.
本题主要考查平面向量的基本概念及线性运算
考点：向量的加法.
uuur uuur uuur
2．（安徽·高考真题）若 AB (2, 4)， AC (1,3) , 则BC （ ）
A．（1，1） B．（－1，－1） C．（3，7） D．（-3,-7）
【答案】B
uuur uuur
【详解】试题分析：因为向量 AB (2, 4)， AC (1,3)，所以 ．故
选 B．
考点：向量减法的坐标的运算．
3．（辽宁·高考真题）已知点 A 1,3 , B 4, 1 , uuuv则与 AB 同方向的单位向量为
3 4 4 3 3 4 4 3 A． ， B． ， C． ， D． ， 5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】A
uuur
uuur uuur r AB 1 3 4
【详解】试题分析： AB (4 1, 1 3) (3, 4) ,所以与 AB 同方向的单位向量为 e uuur (3, 4) ( , )AB 5 5 5 ，
故选 A.
考点：向量运算及相关概念.
uuur r uuur r uuuur
4．（山东·高考真题）如下图，M 是线段OB的中点，设向量OA a，OB b，那么 AM 能够表示为（ ）
r 1 r r r
A． a b
1
B． a b
2 2
r r r r
C． a
1
b D． a
1
b
2 2
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
uuuur uuuur uuur r r
【详解】由题意， AM OM OA
1
b a ．
2
故选：B
uuuv
5．（全国·高考真题）在△ ABC 中， AD 为BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB
3 uuuv 1 uuuvAB AC 1
uuuv uuuv
A． B． AB
3
AC
4 4 4 4
3 uuuv 1 uuuv uuuv uuuv
C． AB
1 3
AC D． AB AC
4 4 4 4
【答案】A
uuuv 1 uuuv 1 uuuv
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE BA BD ，之后应用向量
2 2
uuuv uuuv uuuv uuuv 3 uuuv 1 uuuv
的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC ，之后将其合并，得到BE BA AC ，下一步应4 4
uuuv 3 uuuv 1 uuuv
用相反向量，求得EB AB AC ，从而求得结果.
4 4
【详解】根据向量的运算法则，可得
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
BE 1 BA 1 BD 1 BA 1 BC 1 BA 1 BA AC
2 2 2 4 2 4
1 uuuv 1 uuuv 1 uuuv 3 uuuv 1 uuuv
BA BA AC BA AC ，
2 4 4 4 4
uuuv 3 uuuv 1 uuuv
所以EB AB AC ，故选 A.
4 4
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6．（福建·高考真题）设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点，
uuur uuur uuur uuur
则OA OB OC OD等于
uuuur uuuur uuuur uuuur
A．OM B． 2OM C．3OM D． 4OM
【答案】D
【详解】试题分析：由已知得，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
而CA AC, DB BD,所以OA OB OC OD 4OM ，选 D.
考点：平面向量的线性运算，相反向量.
r uuur r uuur r uuur r
7．（山东·高考真题）已知向量 ar b r与 且 AB a 2b，BC 5ar 6b，CD 7ar 2b 则一定共线的三点是（ ）
A．A，C，D 三点 B．A，B，C 三点
C．A，B，D 三点 D．B，C，D 三点
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算及共线定理即可求解.
uuur
A AB ar
r uuur r r uuur r r
【详解】对于 ，因为 2b，BC 5a 6b，CD 7a 2b ，
uuur uuur uuur r r r r r r
所以 AC AB BC a 2b 5a 6b 4a 8b ，
uuur uuur
所以 AC CD ,所以 A，C，D 三点不共线，故 A 错误；
uuur r r uuur r r
对于 B，因为 AB a 2b，BC 5a 6b ，
uuur uuur
所以 AB BC ,所以 A，B，C 三点不共线，故 B 错误；
uuur r r uuur r uuur r
对于 C，因为 AB a 2b，BC 5ar 6b r，CD 7a 2b
uuur uuur uuur r r r r r r
所以 BD BC CD 5a 6b 7a 2b 2a 4b ，
uuur uuur
所以BD 2AB ，又 B 是BD与 AB 的公共点，
所以 A，B，D 三点共线，故 C 正确；
uuur r r uuur r r
对于 D，因为BC 5a 6b，CD 7a 2b ，
uuur uuur
所以BC CD ,所以 B，C，D 三点不共线，故 D 错误.
故选：C.
r r r r r r
8．（广东·高考真题）已知平面向量 a 1,2 ，b 2, m ，且a∥b，则 2a 3b等于（ ）
A．（-2，-4） B．（-3，-6） C．（-5，-10） D．（-4，-8）
【答案】D
r r r
【分析】由a∥b，求得b 2, 4 ，再利用向量的坐标运算求解.
r r
【详解】解：因为 a 1,2 ，b r r 2, m ，且a∥b，
r
所以 m=-4，b 2, 4 ，
r r
所以 2a 3b =（-4，-8），
故选：D
v
9．（海南·
v
高考真题）平面向量 a，b 共线的充要条件是（ ）
v v
A． av v，b 方向相同 B． a，b 两向量中至少有一个为零向量
v v v
C．$ R v，b av D．存在不全为零的实数 1， 2 ， 1a 2b 0
【答案】D
r r r r
【解析】根据 a，b 共线的定义得到向量 a，b 共线的充要条件
r r
【详解】由 a，b 共线的定义，
r r r r r
若 a，b 均为零向量，则显然符合题意，且存在不全为零的实数 1， 2，使得 1a 2b 0 ；
r r r r
若 a 0，则由两向量共线知，存在 0，使得b a ，
r r r
即 a b 0，符合题意.
故选:D.
【点睛】本题考查了对向量共线定义的理解，特别注意零向量与任意向量共线，属于基础题.
二、填空题 r r
10 r．（全国·高考真题）已知向量 a (m, 4),b (3, 2)，且 ar∥b ，则m ___________.
【答案】 6
【分析】由向量平行的坐标表示得出 2m 4 3 0，求解即可得出答案.
r r
【详解】因为 a∥b ，所以 2m 4 3 0，解得m 6 .
故答案为： 6
【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
r uuur
11 r．（上海·高考真题）已知点 A( 1,5) 和向量 a (2,3)，若 AB 3a ，则点 B 的坐标为 ．
【答案】
【详解】试题分析：设点 ， ，因此 ，得 ，得点
．
考点：平面向量的坐标表示．
r r r r
12 r r．（全国·高考真题）设向量 a，b 不平行，向量 a b 与a 2b 平行，则实数 ．
1
【答案】 2
r r r r r r r k， 1
【详解】因为向量 a b 与 a 2b 平行，所以 a b r （k a 2b），则{ 1 2k,所以 ．2
考点：向量共线．
v v v v v v
13．（全国·高考真题）已知向量 a= 1,2 ，b= 2, 2 ， c= 1, ．若 c P 2a+b ，则 ．
1
【答案】 2
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
r r
【详解】由题可得 2a b 4,2
r
Qcr / / 2ar b , cr 1,
1
4λ 2 0 ,即 λ
2
1
故答案为 2
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
14．（浙江·高考真题）已知 a > 0，若平面内三点 A（1， a），B（2， a2 ），C（3， a3 ）共线，则
a= ．
【答案】1 2 / 2 1
uuur uuur
【详解】Q AB (1, a2 a)，BC (1,a3 a2 ) ，
a2 a a3 a2 a > 0 a2 2a 1 0, a 1 2 (舍负)．
故答案为：1 2 .
r r r r r
15．（陕西·高考真题）已知向量 a 2 r（ ，﹣1），b （﹣1，m）， c （﹣1，2），若（ a b ）∥ c ，则 m＝
【答案】-1
r r r r r
【分析】先求出 a b （1，m﹣1），再由（ a b ）∥ c ，能求出 m．
r r r
【详解】解：∵向量 a （2，﹣1），b （﹣1，m）， c （﹣1，2），
r r
∴ a b （1，m﹣1），
ar
r r
∵（ b ）∥ c ，
1 m 1
∴ ，
1 2
解得 m＝﹣1．
【点睛】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算法则的合理运用．21世纪载言
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「小学致有资源攻许卷成川川合
第01讲平面向量的概念、线性运算及其坐标运算
(5类核心考点精讲精练)
.考情探究。
1.5年真题考点分布
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024年新1卷，第3题，5分
平面向量线性运算的坐标表示
向量垂直的坐标表示
向量垂直的坐标表示
2023年新1卷，第3题，5分
平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2022年新Ⅱ卷，第4题，5分
平面向量线性运算的坐标表示
数量积及向量夹角的坐标表示
数量积的坐标表示
2021年新Ⅱ卷，第10题，5分
坐标计算向量的模
逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
向量加法的法则
2020年新卷，第3题，5分
无
向量减法的法则
2.命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念，理解向量的几何表示
2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义
3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义
4理解向量的线性运算性质及其几何意义
5会向量间的坐标运算
【命题预测】本节一般考查平面向量的基本概念、线性运算及坐标运算，易理解，易得分，需重点复习
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小学教肖资源及丝爸应平个
知识点1向量的有关概念
知识点2向量的线性运算
核心知识点
知识点3向量共线定理
知识点4向量的坐标运算
平面向量的概念、
考点1平面向量基本概念的综合考查
线性运算及其坐标运算
考点2相等向量及其应用
考点3平面向量线性运算的综合考查
核心考点
考点4平面向量共线定理与点共线问题
考点5平行向量（共线向量）求参数
知识进邂
1.向量的有关概念
()向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行.
(⑤)相等向量：长度相等且方向相同的向量，
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量：
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
a+b
6
交换律：a十b=b十a:
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
结合律：
a+b
(a+b)+c=a+(b+c)
平行四边形法则
求a与b的相反向量
减法
a-b=a+(-b)
一b的和的运算
三角形法则
24=4,当>0时，
(ua)=(u)a:(入+)a=
求实数1与向量a的
a与a的方向相同：当
数乘
a十ua:
积的运算
<0时，a与a的方向相
A(a+b)=ia+ib
反：当元=0时，1a=Q
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