资源简介

第 01 讲 集合
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算
2023 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 一元二次不等式的解法
2023 年新Ⅱ卷，第 2 题,5 分 元素的性质、集合的子集 无
2022 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 根号不等式的解法
2022 年新Ⅱ卷，第 1 题,5 分 集合的交集 单绝对值不等式的解法
2021 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 无
2021 年新Ⅱ卷，第 2 题,5 分 集合的交集、补集 无
2020 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的并集 无
2020 年新Ⅱ卷，第 1 题,5 分 集合的交集 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助 Venn 图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对
不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后
通过集合的运算得出答案。
知识讲解
1．集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母 A，B，C，…表示，集合中的每个对
象叫做这个集合的 ，通常用小写字母 a，b，c，…表示.
2．集合与元素的关系
一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素 a 在集合中 A 中，就说元素 a
集合 A，记作 ，如果元素 a 在不集合中 A 中，就说元素 a 集合 A，记作 .
3．集合的分类
含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫
作 ，记作 .
4．元素与集合
（1）集合中元素的特性： 、 、 .
（2）元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 集合 A，记作 ；如果 a 不是集合 A
中的元素，就说 a 集合 A，记作 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（4）常用数集及其记法：
正整 有理 实数 复数
数集 非负整数集（或自然数集） 整数集
数集 数集 集 集
符号 N*或（N＋） Z Q R C
注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集
合中只有一个元素 R.
5．集合间的基本关系
（1）如果集合A 的 都是集合 B 中的元素，这是我们说集合A 包含于 B ，或者集合 B 集合A ，记
为 .
（2）如果 A B, B A，那么我们称集合A 和集合 B 相等，记为 ．
（3）如果 A B ，且存在 x B, x A，则称A 是 B 的真子集，记为 ．
2
（4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ; x | x +1 = 0, x R
可记为 .
（5）如果集合A 中有 n个不同的元素，则A 的所有子集的个数为 .
6．集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并 {x|x∈A，或
由所有属于集合 A 集合 B 的元素组成的集合
集 x∈B}
交 {x|x∈A，且
由所有属于集合 A 集合 B 的元素组成的集合
集 x∈B}
补 {x|x∈U，且
由全集 U 中 集合 A 的所有元素组成的集合
集 x A}
7．交集的性质：
①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ； ④A∩ ＝ ；⑤A∩B B∩A.
8．并集的性质：
①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪ ＝ ；⑤A∪B B∪A.
9．补集的性质：
① U( UA)＝ ； ② UU＝ ；③ U ＝ ；
④A∩( UA)＝ ；⑤A∪( UA)＝ ；
⑥ U(A∩B)＝( UA) ( UB)；
⑦ U(A∪B)＝( UA) ( UB)．
考点一、判断元素与集合的关系
1．（2022·全国·高考真题）设全集U = {1,2,3,4,5}，集合 M 满足 U M = {1,3}，则（ ）
A． 2 M B．3 M C． 4 M D．5 M
ì mx +1 ü
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 A = íx 0 ，若 ，则 m 的取值范围是（ ）
mx -1
2 A

1 1 1 1 1 1 1
A．- m < B．- m C m - 1． 或m > 2 D．m - 或m 2 2 2 2 2 2 2
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ，则下列表示正确的是（ ）.
A．-2 A B． 2023 A
C．3k 2 +1 A D．-35 A
2．（23-24 2高三下·江西·阶段练习）已知 A = x x - ax +1 0 ，若2 A，且3 A，则 a的取值范围是（ ）
é5 ,10 5A． ê ÷ B． ,
10 ù é5 10
ú C． ê ,+ ÷ D．2 3 2 3 2
- , ÷
è è 3
考点二、集合中元素的特性
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = 0, m, m2 - 3m + 2 ，且2 A，则实数m 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
2．（23-24 高三上·辽宁· 2阶段练习）已知集合 A = 0,1, a , B = 1,0,2a + 3 ，若 A = B ，则a = （ ）
A． -1或 3 B．0 C．3 D．-3
1．（2024 高三·全国·专题练习）设集合 A = 2, a2 - a + 2,1- a , 若 4 A , 则 a的值为（ ）
A．-1,2 B．-3 C．-1, -3,2 D．-3,2
2．（22-23 高三上·重庆沙坪坝· 2阶段练习）若 a ,0,-1 = a,b,0 ，则 ab的值是（ ）
A．0 B．1 C． -1 D． ±1
考点三、集合间的基本关系
1．（2023·全国·高考真题）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则a = （ ）．
2
A．2 B．1 C． D． -13
2．（2024·辽宁·三模）若全集U = R ， A = x x < 2 ，B = y y = ex , x R ，则下列关系正确的是（ ）
A． A B B．B A C．B U A D． U A B
3．（2024·河北秦皇岛·三模）若集合 A = x | x a 2，B = x | x - 2x - 3 0 ，且 A B ，则 a的取值范围为
（ ）
A． 0,1 B． é 0, 3ù C． - ,1 D． - , 3ù
1．（2024· 2山东滨州·二模）已知集合 A = x Z x - 2x 0 ，则 A 的子集个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
2．（2024·浙江·二模）已知集合M = 1,2,3 ， N = 0,1,2,3,4,7 ，若M A N ，则满足集合A 的个数为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3．（2024·湖北·三模）已知 A = {x | x2 - 3x + 2 < 0}，B = x 1 < x < a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．{a |1 < a < 2} B．{a |1 < a 2}
C．{a | a > 2} D．{a | a 2}
考点四、集合的基本运算
1．（2024·全国· A = x∣- 5 < x3高考真题）已知集合 < 5 , B = {-3,-1,0,2,3}，则 AI B =（ ）
A．{-1,0} B．{2,3} C．{-3,-1,0} D．{-1,0,2}
2．（2024·全国·高考真题）集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，则 A A B = （ ）
A． 1,4,9 B． 3, 4,9 C． 1,2,3 D． 2,3,5
3．（2023·全国·高考真题）设全集U = 0,1,2,4,6,8 ，集合M = 0,4,6 , N = 0,1,6 ，则M UN =（ ）
A． 0,2,4,6,8 B． 0,1,4,6,8 C． 1,2,4,6,8 D．U
1．（2023·全国·高考真题）设集合U = R ，集合M = x x <1 ， N = x -1 < x < 2 ，则 x x 2 =（ ）
A． U M U N B． N U U M
C． U M I N D．M U N
2．（2024· 2湖南长沙·二模）已知集合 A = x | log2 (-x + 2x + 4) > 0 , B = y | y = 2x , x >1 ，则 AI B =（ ）
A． 2,3 B． 0,2 C． -1,2 D． - ,3
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知集合 A = x x +1 0 , B = x log2 x + 2 < 2 ,C = x x2 + 2x - 3 < 0 ，则
R A B C =（ ）
A． x - 3 < x -1 B． x - 2 < x -1
C． x -1< x <1 D． x -1< x < 2
考点五、集合新定义
1．（2024·河南·三模）定义集合运算： A B = z | z = xy x + y , x A, y B ，若集合 A = 0,2 ， B = -1,1 ，
则集合 A B 中所有元素之和为 ．
2．（浙江·高考真题）设集合 S，T，S N*，T N*，S，T 中至少有两个元素，且 S，T 满足：
①对于任意 x，y S，若 x≠y，都有 xy T
y
②对于任意 x，y T，若 xx
下列命题正确的是（ ）
A．若 S 有 4 个元素，则 S∪T 有 7 个元素
B．若 S 有 4 个元素，则 S∪T 有 6 个元素
C．若 S 有 3 个元素，则 S∪T 有 5 个元素
D．若 S 有 3 个元素，则 S∪T 有 4 个元素
1．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用 card A 来表示有限集合 A 中元素的个数．集合M = 1,2,3,4 ，
N = x x > m ，若 card M I N = 2，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． 2,3 B． 2,3 C． 2,3 D． 2, +
2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数 n 3，有 n个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T = a - b a,b S , a b ，
如果min T =1，则称集合S 为一个 n元规范数集．（注：min X 表示数集 X 中的最小数）．对于集合
M = -0.1,-1.1,2,2.5 、N = -1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则（ ）
A．M 是规范数集， N 不是规范数集 B．M 是规范数集， N 是规范数集
C．M 不是规范数集， N 是规范数集 D．M 不是规范数集， N 不是规范数集
考点六、集合多选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合 AI B = B U C ，则一定有（ ）
A．C B B．B C
C．B A D． A B
πx 1 πx 1
2．（2024·全国·模拟预测）设集合M = {x | cos = }， N = {x | cos = - }，则（ ）
3 2 3 2
A．6k M U N ,k Z B．6k +1 M U N ,k Z
C．6k + 3 Z M U N , k Z D．3k z M U N ,k Z
．．
1．（2024·河南新乡·二模）已知集合M = {x | x < 3}, N = {x | x2 - 3x 0},则（ ）
A．M N = B．M N = R C． R M N D． R (M I N ) = (0, + )
2 2024· · A = x | 3x2．（ 江西 模拟预测）设集合 - 2x -1 = 0 ，B = x | ax -1 = 0 ，若 A B = A，则 a的值可以
为（ ）
1
A．1 B．0 C．- D．-3
3
3．（2024·湖北·模拟预测）设U 为全集，集合 A, B,C 满足条件 A B = A C ，那么下列各式中不一定成立的
是（ ）
A．B A B．C A
C． AI U B = AI UC D． U A B = U A C
一、单选题
1．（2024·广东广州·三模）已知集合 A = x -3 < x < 4 ，B = x 3 < x < 5 ，则 x | 4 x < 5 = （ ）
A． AI R B B． R A B C． R A U B D． R A I B
2．（2024·湖南·模拟预测）设全集U = Z，集合M = {x N | -2 < x 3}， N = 0,1,2 ，则M U N =（ ）
A． B． 3 C． 2,3 D． 0,1, 2,3
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合 A = x -1 < x < 7 ，B = x 0 < x < 9 ，则 A B =（ ）
A． -1,0 B． -1,9 C． 0,7 D． 0,9
4．（2024·广东广州·模拟预测）设集合M = x lg x > 0 ， N = x Z e ex e2 ，则M N =（ ）
A． 2 B． 1,2 C． x 1< x 2 D． x x 1
5 2．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合 A = -1,1,2,3,5 , B = x∣2x - 3x - 2 > 0 ，则 AI B =（ ）
A． -1,3,5 B． -1,2,3,5 C． 3,5 D． 2,3,5
6．（2024· 2湖南常德·一模）已知集合 A = {x∣3 - x >1},B = 0,1,2,3,4 ，则 AI B =（ ）
A． 3,4 B． 2,3,4 C． 0,1 D． 0,1,2
7．（2024·天津· *三模）设全集U = x N x 8 ，集合 A = 1,3,5,8 ，B = 5,6,7,8 ，则 U A U B =（ ）
A． 1,2,3,4,5,8 B． 1,2,3,4,6,7 C． 5,6,7,8 D． 2,4
二、填空题
8．（2024· 2湖南长沙·三模）已知集合 A = 1,2,4 ，B = a,a ，若 A B = A，则a = ．
9．（2024· · A = x∣x2河北沧州 二模）已知集合 <1 , B = {x∣x > a} a R ，若 A B ，则 a的取值范围
为 .
10．（2024·全国·模拟预测）设集合 A = 2,3,4,5,6 ，B = 1, a + 2, 2a +1 ．若 A B = x N+ x < 7 ，则a = ．
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知集合 A = 0,1,2,3,4 , B ì x ü= íx N N ，则2 A B 的子集的个数为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
2．（2024·广东广州·二模）已知集合 A = 0,2,4 , B = x Z x -1 2 ，则 A ZB = （ ）
A． 2 B． 0,2 C． 0,1,2 D． 0,1,2,4
3．（2024·湖南·二模）已知集合 A = {x∣-1 < x < 2}, B = {x∣- 2 < x <1}，则集合 A B A B =（ ）
A． -1,1 B． -2,2 C． -2, -1 1,2 D． (-2,-1] [1, 2)
4．（2024·河南·三模）若集合 A = y∣y = x -1, x N , B = z∣z = x + 2y, x, y N ，则（ ）
A． A N B． AI B = N
C．B N D． AU B = N
5 2．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合 A = x N 2x - x -15 0 ，B = y y = cos x ，则 AI B =（ ）
A． x -1 x 1 B． 0,1 C． -1,0,1 D． 1
6．（2024· 2黑龙江·模拟预测）设集合U = R ， A = x x - 2x - 3 < 0 ，B = 1,2,3,5 ，则图中阴影部分表示的
集合为（ ）．
A． 1,3,5 B． 3,5 C． 2,3,5 D． 2,3
7．（2024·河北保定·二模）已知集合 A = x Z x +1 > 0 ，B = x x a ，若 A B 中有 2 个元素，则 a 的取
值范围是（ ）
A． 2,4 B． 1,2 C． 2,4 D． 1,2
8．（2024·湖北荆州·三模）已知集合 A = x 2x - x2 0 ，B = R A ，其中R 是实数集，集合C = - ,1 ，则
B C =（ ）
A． - ,0 B． 0,1 C． - ,0 D． 0,1
二、填空题
9．（2024·江苏南京·二模）已知集合 A = {1,2,4}，B = {(x, y∣) x A, y A, x - y A}，则集合 B 的元素个数
为 ．
A x N | log x 3 2 B ìx x - 3 0ü10．（2024·湖南邵阳·三模） = 2 - ， = í ，则 AI B = .
x - 7
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）集合 A = 1,2,3,4,5,9 ，B = x x +1 A ，则 AI B =（ ）
A． 1,2,3,4 B． 1,2,3 C． 3,4 D． 1, 2,9
2．（2024·北京·高考真题）已知集合M = {x | -4 < x 1}， N = {x | -1< x < 3}，则M N =（ ）
A． x -4 < x < 3 B． x -1 < x 1
C． 0,1,2 D． x -1 < x < 4
3．（2024·天津·高考真题）集合 A = 1,2,3,4 ，B = 2,3,4,5 ，则 AI B =（ ）
A． 1,2,3,4 B． 2,3,4 C． 2,4 D． 1
4．（2023·全国·高考真题）设全集U = Z ,集合M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}， U(M N ) =
（ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k -1,k Z}
C．{x∣x = 3k - 2,k Z} D．
5．（2023·天津·高考真题）已知集合U = 1,2,3,4,5 , A = 1,3 , B = 1,2,4 ，则 U B U A = （ ）
A． 1,3,5 B． 1,3 C． 1,2,4 D． 1,2,4,5
6．（2023·北京·高考真题）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x -1< 0}，则M N =（ ）
A．{x∣-2 x <1} B．{x∣-2 < x 1}
C．{x∣x -2} D．{x∣x <1}
7．（2023·全国·高考真题）设全集U = 1,2,3,4,5 ，集合M = 1,4 , N = 2,5 ，则 N U U M =（ ）
A． 2,3,5 B． 1,3,4 C． 1,2,4,5 D． 2,3,4,5
8．（2023·全国·高考真题）已知集合M = -2, -1,0,1,2 N = x x2， - x - 6 0 ，则M N =（ ）
A． -2, -1,0,1 B． 0,1,2 C． -2 D． 2
9．（2023·全国·高考真题）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则a = （ ）．
2
A．2 B．1 C． D3 ． -1
10．（2022·全国·高考真题）已知集合 A = -1,1,2,4 , B = x x -1 1 ，则 AI B =（ ）
A．{-1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{-1,4}
11．（2022·全国·高考真题）集合M = 2,4,6,8,10 , N = x -1 < x < 6 ，则M N =（ ）
A．{2,4} B．{2,4,6} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6,8,10}
ì 5ü
12．（2022·全国·高考真题）设集合 A = {-2, -1,0,1,2}, B = íx∣0 x < ，则 AI B =（2 ）
A． 0,1,2 B．{-2, -1,0} C．{0,1} D．{1,2}
13．（2022· 2全国·高考真题）设全集U = {-2, -1,0,1,2,3}，集合 A = {-1,2}, B = x∣x - 4x + 3 = 0 ，则 U (A B) =
（ ）
A．{1,3} B．{0,3} C．{-2,1} D．{-2,0}
14．（2022·全国·高考真题）若集合M = {x∣ x < 4}, N = {x∣3x 1}，则M N =（ ）
A． x 0 ì 1 x < 2 B． íx x < 2ü C． x 3 x 16 ìx 1 < D． í x <16ü
3 3

第 01 讲 集合
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 一元三次不等式的解法及范围估算
2023 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 一元二次不等式的解法
2023 年新Ⅱ卷，第 2 题,5 分 元素的性质、集合的子集 无
2022 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 根号不等式的解法
2022 年新Ⅱ卷，第 1 题,5 分 集合的交集 单绝对值不等式的解法
2021 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的交集 无
2021 年新Ⅱ卷，第 2 题,5 分 集合的交集、补集 无
2020 年新 I 卷，第 1 题,5 分 集合的并集 无
2020 年新Ⅱ卷，第 1 题,5 分 集合的交集 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助 Venn 图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对
不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后
通过集合的运算得出答案。
知识讲解
1．集合的概念
一般地，我们把指定的某些对象的全体称为 ，通常用大写字母 A，B，C，…表示，集合中的每个对
象叫做这个集合的 ，通常用小写字母 a，b，c，…表示.
【答案】 集合 元素
2．集合与元素的关系
一个集合确定后，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，如果元素 a 在集合中 A 中，就说元素 a
集合 A，记作 ，如果元素 a 在不集合中 A 中，就说元素 a 集合 A，记作 .
【答案】 属于 a A 不属于 a A
3．集合的分类
含有有限个元素的集合叫作 ，含有无限个元素的集合叫作 ，不含任何元素的集合叫
作 ，记作 .
【答案】 有限集 无限集 空集
4．元素与集合
（1）集合中元素的特性： 、 、 .
（2）元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 集合 A，记作 ；如果 a 不是集合 A
中的元素，就说 a 集合 A，记作 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法.
（4）常用数集及其记法：
正整 有理 实数 复数
数集 非负整数集（或自然数集） 整数集
数集 数集 集 集
符号 N*或（N＋） Z Q R C
注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集
合中只有一个元素 R.
【答案】 确定性 互异性 无序性 属于 a A 不属于 a A N
5．集合间的基本关系
（1）如果集合A 的 都是集合 B 中的元素，这是我们说集合A 包含于 B ，或者集合 B 集合A ，记
为 .
（2）如果 A B, B A，那么我们称集合A 和集合 B 相等，记为 ．
（3）如果 A B ，且存在 x B, x A，则称A 是 B 的真子集，记为 ．
（4）在数学中，我们常用韦恩图来表示集合，如图所示的两个集合，它们的关系是 ; x | x2 +1 = 0, x R
可记为 .
（5）如果集合A 中有 n个不同的元素，则A 的所有子集的个数为 .
【答案】 任何一个元素 包含 A B A = B A B A B 2n
6．集合的基本运算
文字语言 符号语言 图形语言 记法
并 {x|x∈A，或
由所有属于集合 A 集合 B 的元素组成的集合
集 x∈B}
交 {x|x∈A，且
由所有属于集合 A 集合 B 的元素组成的集合
集 x∈B}
补 {x|x∈U，且
由全集 U 中 集合 A 的所有元素组成的集合
集 x A}
【答案】 或属于 A∪B 且属于 A∩B 不属于 U A
7．交集的性质：
①A∩B A；②A∩B B；③A∩A＝ ； ④A∩ ＝ ；⑤A∩B B∩A.
【答案】 A =
8．并集的性质：
①A∪B A；②A∪B B；③A∪A＝ ；④A∪ ＝ ；⑤A∪B B∪A.
【答案】 A A =
9．补集的性质：
① U( UA)＝ ； ② UU＝ ；③ U ＝ ；
④A∩( UA)＝ ；⑤A∪( UA)＝ ；
⑥ U(A∩B)＝( UA) ( UB)；
⑦ U(A∪B)＝( UA) ( UB)．
【答案】 A U U U I
考点一、判断元素与集合的关系
1．（2022·全国·高考真题）设全集U = {1,2,3,4,5}，集合 M 满足 U M = {1,3}，则（ ）
A． 2 M B．3 M C． 4 M D．5 M
【答案】A
【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可
【详解】由题知M = {2,4,5} ,对比选项知，A 正确, BCD错误
故选: A
ì mx +1 ü
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 A = íx 0 ，若2 A，则 m 的取值范围是（ ）
mx -1
1
A．- m
1 1 1 1 1 1
< B．- m C 1．m - 或m > 2 D．m - 或m 2 2 2 2 2 2 2
【答案】A
mx +1
【分析】将 x = 2代入 0，然后转化为一元二次不等式求解可得.
mx -1
2m +1 ì 2m +1 2m -1 0
【详解】因为2 A，所以 0 ，等价于 ，
2m í-1 2m -1 0
1 m 1解得- < .
2 2
故选：A
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合 A = x x = 3k +1,k Z ，则下列表示正确的是（ ）.
A．-2 A B． 2023 A
C．3k 2 +1 A D．-35 A
【答案】A
【分析】令3k +1分别为选项中不同值，求出 k 的值进行判定.
【详解】当 k = -1时， x = -2，所以-2 A，故 A 正确；
当 k = 674时， x = 3 674 +1 = 2023，所以 2023 A，故 B 错误；
当 k =1或 k = 0时，3k 2 +1 = 3k +1，所以3k 2 +1 A，故 C 错误；
当 k = -12 时， x = -12 3+1 = -35，所以-35 A，故 D 错误.
故选：A
2．（23-24 · · A = x x2高三下 江西 阶段练习）已知 - ax +1 0 ，若2 A，且3 A，则 a的取值范围是（ ）
é5 ,10 5 ,10 ù é5 10 A． ê ÷ B． C． ,+ D． - , 2 3 è 2 3 ú ÷ ÷ ê 2 è 3
【答案】A
【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案.
5 10
【详解】由题意得 4 - 2a +1 0且9 - 3a +1 > 0，解得 a < ．
2 3
故选：A
考点二、集合中元素的特性
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知集合 A = 0, m, m2 - 3m + 2 ，且2 A，则实数m 为（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
【答案】B
【分析】由题意可得m = 2 或m2 -3m+ 2 = 2，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可求得答案.
【详解】因为 A = 0, m, m2 - 3m + 2 且2 A，
所以m = 2 或m2 -3m+ 2 = 2，
①若m = 2 ，此时m2 - 3m + 2 = 0，不满足元素的互异性；
②若m2 -3m+ 2 = 2，解得m = 0或 3，
当m = 0时不满足元素的互异性，当m = 3时， A = {0,3,2}符合题意.
综上所述，m = 3 .
故选：B
2．（23-24 2高三上·辽宁·阶段练习）已知集合 A = 0,1, a , B = 1,0,2a + 3 ，若 A = B ，则a = （ ）
A． -1或 3 B．0 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】由集合相等的含义得 a2 = 2a + 3，求解并验证互异性即可.
【详解】Q A = B，
\a2 = 2a + 3，解得 a = -1或3，
当 a = -1时， a2 = 2a + 3 =1，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当 a = 3时， a2 = 2a + 3 = 9，
此时 A = B = 0,1,9 ，满足题意.
综上， a = 3 .
故选：C.
1．（2024 高三·全国·专题练习）设集合 A = 2, a2 - a + 2,1- a , 若 4 A , 则 a的值为（ ）
A．-1,2 B．-3 C．-1, -3,2 D．-3,2
【答案】D
【分析】根据集合的确定性，互异性，无序性，进行求解.
【详解】由集合中元素的确定性知 a2 - a + 2 = 4或1- a = 4 .
当 a2 - a + 2 = 4时, a = -1或 a = 2 ; 当1- a = 4时, a = -3 .
当 a = -1时, A = 2,4,2 不满足集合中元素的互异性, 故 a = -1舍去;
当 a = 2时, A = 2,4,-1 满足集合中元素的互异性, 故 a = 2满足要求;
当 a = -3时, A = 2,14,4 满足集合中元素的互异性, 故 a = -3满足要求.
综上, a = 2或 a = -3 .
故选: D.
2．（22-23 2高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）若 a ,0,-1 = a,b,0 ，则 ab的值是（ ）
A．0 B．1 C． -1 D． ±1
【答案】C
2 ìa
2 = a ìa2 = b
【分析】根据 a ,0,-1 = a,b,0 得到 í 或 í ，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可.
b = -1 a = -1
ìa2 = a ìa2 2 = b ìa = 0 ìa =1 ìa = 0【详解】因为 a ,0,-1 = a,b,0 ，所以① í 或② í ，由①得 í 或 í ，其中 与
b = -1 a = -1 b = -1 b = -1
í
b = -1
ìa =1 ìb =1
元素互异性矛盾，舍去， íb 1符合题意，由
②得 ía 1，符合题意，两种情况代入得
ab = -1 .
= - = -
故选：C.
考点三、集合间的基本关系
1．（2023·全国·高考真题）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则a = （ ）．
2
A．2 B．1 C． D -13 ．
【答案】B
【分析】根据包含关系分a - 2 = 0和 2a - 2 = 0 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 A B ，则有：
若a - 2 = 0，解得 a = 2，此时 A = 0,-2 ，B = 1,0,2 ，不符合题意；
若 2a - 2 = 0 ，解得 a =1，此时 A = 0,-1 ，B = 1, -1,0 ，符合题意；
综上所述： a =1 .
故选：B.
2．（2024·辽宁·三模）若全集U = R ， A = x x < 2 ，B = y y = ex , x R ，则下列关系正确的是（ ）
A． A B B．B A C．B U A D． U A B
【答案】D
【分析】求出集合 B 中函数的值域，得到集合 B ，判断两个集合的包含关系.
【详解】全集U = R ， A = x x < 2 ，则 U A = x x 2 ，
B = y y = ex , x R = y y > 0 ，所以 U A B .
故选：D
3．（2024· 2河北秦皇岛·三模）若集合 A = x | x a ，B = x | x - 2x - 3 0 ，且 A B ，则 a的取值范围为
（ ）
A． 0,1 B． é0, 3ù C． - ,1 D． - , 3ù
【答案】D
【分析】首先解一元二次不等式求出集合 B ，再分 a<0、 a 0两种情况讨论，确定集合A ，再根据集合的
包含关系得到不等式，解得即可.
【详解】由 x2 - 2x - 3 0，即 x +1 x - 3 0 ，解得-1 x 3，
所以B = x | x2 - 2x - 3 0 = -1,3 ，
当 a<0时， A = x | x a = ，符合 A B ，
当 a 0时，由 x a，解得0 x a2 ，
所以 A = x | x a = x | 0 x a2 ，
ìa2 3
因为 A B ，所以 í ，解得0 a 3 .
a 0
综上可得 a的取值范围为 - , 3ù .
故选：D
1．（2024·山东滨州·二模）已知集合 A = x Z x2 - 2x 0 ，则 A 的子集个数为（ ）
A．4 B．7 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据题意求集合 A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解.
【详解】由题意可得： A = x Z x2 - 2x 0 = x Z 0 x 2 = 0,1,2 ，
可知 A 有 3 个元素，所以 A 的子集个数为 23 = 8 .
故选：C.
2．（2024·浙江·二模）已知集合M = 1,2,3 ， N = 0,1,2,3,4,7 ，若M A N ，则满足集合A 的个数为
（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合 A 即可得解.
【详解】因为M A N ，
所以A 可以是 1,2,3 , 1,2,3,4 , 1,2,3,0 , 1,2,3,7 , 1,2,3,0,4 , 1,2,3,0,7 , 1,2,3,7,4 , 1,2,3,0,4,7 ，共 8 个，
故选：D
3．（2024·湖北·三模）已知 A = {x | x2 - 3x + 2 < 0}，B = x 1 < x < a ，若 A B ，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A．{a |1 < a < 2} B．{a |1 < a 2}
C．{a | a > 2} D．{a | a 2}
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式求出集合 A，进而根据集合的包含关系即可求解.
2
【详解】解：因为 A = x x - 3x + 2 < 0 = x 1< x < 2 ，且B = x 1 < x < a ，
若 A B ，则 a 2.
故选：D.
考点四、集合的基本运算
1．（2024· · A = x∣- 5 < x3全国 高考真题）已知集合 < 5 , B = {-3,-1,0,2,3}，则 AI B =（ ）
A．{-1,0} B．{2,3} C．{-3,-1,0} D．{-1,0,2}
【答案】A
【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.
A = x | - 3 5 < x < 3【详解】因为 5 , B = -3, -1,0,2,3 ，且注意到1< 3 5 < 2 ，
从而 AI B = -1,0 .
故选：A.
2．（2024·全国·高考真题）集合 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，则 A A B = （ ）
A． 1,4,9 B． 3, 4,9 C． 1,2,3 D． 2,3,5
【答案】D
【分析】由集合 B 的定义求出 B ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 A = 1,2,3,4,5,9 , B = x x A ，所以B = 1,4,9,16,25,81 ，
则 AI B = 1,4,9 ， A A I B = 2,3,5
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）设全集U = 0,1,2,4,6,8 ，集合M = 0,4,6 , N = 0,1,6 ，则M UN =（ ）
A． 0,2,4,6,8 B． 0,1,4,6,8 C． 1,2,4,6,8 D．U
【答案】A
【分析】由题意可得 U N 的值，然后计算M U N 即可.
【详解】由题意可得 U N = 2,4,8 ，则M U U N = 0,2,4,6,8 .
故选：A.
1．（2023·全国·高考真题）设集合U = R ，集合M = x x <1 ， N = x -1 < x < 2 ，则 x x 2 =（ ）
A． U M U N B． N U U M
C． U M I N D．M U N
【答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 x | x 2 即可.
【详解】由题意可得M U N = x | x < 2 ，则 U M U N = x | x 2 ，选项 A 正确；
U M = x | x 1 ，则 N U U M = x | x > -1 ，选项 B 错误；
M I N = x | -1 < x < 1 ，则 U M N = x | x -1或 x 1 ，选项 C 错误；
U N = x | x -1或 x 2 ，则M U U N = x | x <1或 x 2 ，选项 D 错误；
故选：A.
2．（2024·湖南长沙·二模）已知集合 A = x | log2 (-x2 + 2x + 4) > 0 , B = y | y = 2x , x >1 ，则 AI B =（ ）
A． 2,3 B． 0,2 C． -1,2 D． - ,3
【答案】A
【分析】解对数不等式化简集合 A，求出指数函数值域化简集合 B，再利用交集的定义求解即得.
2
【详解】由 log2 (-x + 2x + 4) > 0 -x
2 + 2x + 4 >1，得-1 < x < 3，则 A = (-1,3)，
当 x >1时， 2x > 2，则B = (2,+ ) ，所以 AI B = (2,3) .
故选：A
3 2024· · A = x x +1 0 , B = x log x + 2 < 2 ,C = x x2．（ 河北衡水 模拟预测）已知集合 2 + 2x - 3 < 0 ，则
R A B C =（ ）
A． x - 3 < x -1 B． x - 2 < x -1
C． x -1< x <1 D． x -1< x < 2
【答案】C
【分析】先分别求集合 A, B,C ，进而利用集合的交集与补集运算即可求解.
【详解】 A = x x +1 0 = x x -1 ；
由B = ìx + 2 > 0x log2 x + 2 < 2 ，得 ílog x + 2 < log 4，解得-2 < x < 2， 2 2
所以B = x - 2 < x < 2 ；
C = x x2 + 2x - 3 < 0 = x - 3 < x <1 ；
R A = x x > -1 ，B C = x - 2 < x <1
于是 R A B C = x -1< x <1 .
故选：C.
考点五、集合新定义
1．（2024·河南·三模）定义集合运算： A B = z | z = xy x + y , x A, y B ，若集合 A = 0,2 ， B = -1,1 ，
则集合 A B 中所有元素之和为 ．
【答案】4
【分析】根据新定义求出集合 A B 中的所有元素，即可得解.
【详解】 A = 0,2 ，B = -1,1 ，
当 x = 0， y = ±1时， z = 0；
当 x = 2， y = -1时， z = -2；
当 x = 2， y =1时， z = 6 .
所以 A B = 0, -2,6 ，所以集合 A B 中所有元素之和为0 + -2 + 6 = 4 .
故答案为：4
2．（浙江·高考真题）设集合 S，T，S N*，T N*，S，T 中至少有两个元素，且 S，T 满足：
①对于任意 x，y S，若 x≠y，都有 xy T
y
②对于任意 x，y T，若 xx
下列命题正确的是（ ）
A．若 S 有 4 个元素，则 S∪T 有 7 个元素
B．若 S 有 4 个元素，则 S∪T 有 6 个元素
C．若 S 有 3 个元素，则 S∪T 有 5 个元素
D．若 S 有 3 个元素，则 S∪T 有 4 个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合 S 和集合 T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取 S = 1,2,4 ，则T = 2,4,8 ，此时 S UT = 1,2,4,8 ，包含 4 个元素，排除选项 C；
若取 S = 2,4,8 ，则T = 8,16,32 ，此时 S UT = 2,4,8,16,32 ，包含 5 个元素，排除选项 D；
若取 S = 2,4,8,16 ，则T = 8,16,32,64,128 ，此时 S UT = 2,4,8,16,32,64,128 ，包含 7 个元素，排除选项
B；
下面来说明选项 A 的正确性：
设集合 S = p1, p2 , p3 , p4 ，且 p1 < p2 < p3 < p4， p1, p2 , p3 , p4 N * ，
p
p p < p p p p , p p T 4则 1 2 2 4 ，且 1 2 2 4 ，则 Sp ，1
p4
同理 S
p4 p p p
， S 3 S 3 S 2p p ， ，
S
2 3 p2 p
，
1 p
，
1
p p
若 p1 =1
3 3 2
，则 p2 2，则 < p3，故 = pp p 2 即 p3 = p2 ，2 2
p p> 4 p> 4 1 p> 4 p4又 4 p p ，故
= = p
p p2 2 ，所以 p
3
4 = p2 ，
2 3 3 2
故 S = 1, p 2 32 , p2 , p2 ，此时 p52 T , p2 T 4，故 p2 S ，矛盾，舍.
p p
p 2 2 3
p3 p2 3 2
若 1 ，则 < < p3 ，故 = p2 , = pp p p p 1即 p3 = p1 , p2 = p1 ，1 1 1 1
p4 p4 p p p
又 p4 > > > 4 >1 4 4p p p ，故
= = p
p p3 1，所以 p4 = p
4
1 ，
1 2 3 3 1
S = p , p2 3 4 3 4 5 6 7故 1 1 , p1 , p1 ，此时 p1 , p1 , p1 , p1 , p1 T .
q q
q T S = pi , i =1,2,3,4 i+3若 ， 则 p3 ，故 p3 1 ，故 q = p1 , i =1,2,3,4，1 1
4 5 6 7 4 5 6
即 q p1 , p1 , p1 , p1 ，故 p1 , p1 , p1 , p71 = T ，
此时 S T = p 2 3 41, p1 , p1 , p1 , p4 , p5 , p6 71 1 1 , p1 即 S UT 中有 7 个元素.
故 A 正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去
解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜
法宝.
1．（2024·山东威海·二模）在研究集合时，用 card A 来表示有限集合 A 中元素的个数．集合M = 1,2,3,4 ，
N = x x > m ，若 card M I N = 2，则实数 m 的取值范围为（ ）
A． 2,3 B． 2,3 C． 2,3 D． 2, +
【答案】A
【分析】根据题意，确定M I N = {3,4}，从而求出m 的值.
【详解】由题：M I N = {3,4}
所以 2 m < 3，
故选：A.
2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数 n 3，有 n个实数元素的集合S ，定义其相伴数集T = a - b a,b S , a b ，
如果min T =1，则称集合S 为一个 n元规范数集．（注：min X 表示数集 X 中的最小数）．对于集合
M = -0.1,-1.1,2,2.5 、N = -1.5,-0.5,0.5,1.5 ，则（ ）
A．M 是规范数集， N 不是规范数集 B．M 是规范数集， N 是规范数集
C．M 不是规范数集， N 是规范数集 D．M 不是规范数集， N 不是规范数集
【答案】C
【分析】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.
【详解】集合M = -0.1, -1.1,2,2.5 中， 2 M , 2.5 M ，则 | 2 - 2.5 |= 0.5 <1，
即M 的相伴数集中的最小数不是 1，因此M 不是规范数集；
集合 N = -1.5, -0.5,0.5,1.5 ， | -1.5 - (-0.5) |=1,| -0.5 - 0.5 |=1,| 0.5 -1.5 |=1，
| -1.5 - 0.5 |=| -0.5 -1.5 |= 2,| -1.5 -1.5 |= 3，
即 N 的相伴数集中的最小数是 1，因此 N 是规范数集.
故选：C
考点六、集合多选题
1．（2024·吉林长春·模拟预测）若集合 AI B = B U C ，则一定有（ ）
A．C B B．B C
C．B A D． A B
【答案】AC
【分析】根据 AI B A以及 AI B B，可得B C A、B C B 、可得C B A，结合选项即可求解.
【详解】因为 AI B A， AI B = B U C ，
所以B C A，所以B A，C A，
因为 AI B B， AI B = B U C ，
所以B C B ，所以C B，所以C B A，
故选项 A、C 正确，B、D 错误.
故选：AC.
2．（2024·全国·模拟预测）设集合M = {x | cos
πx 1
= }， N = {x | cos
πx 1
= - }，则（ ）
3 2 3 2
A．6k M U N ,k Z B．6k +1 M U N ,k Z
C．6k + 3 Z M U N , k Z D．3k z M U N ,k Z
【答案】BCD
【分析】先分别求出集合M ， N ，计算M N 和 z M U N ，再逐项判断即可.
πx 1 πx π
【详解】对集合M ，由 cos = ，得 = ± + 2kπ, k Z ，解得 x = 6k ± 1, k Z ，即
3 2 3 3
M = {x | x = 6k ±1,k Z}；
N cos πx 1 πx 2π对集合 ，由 = - ，得 = ± + 2kπ, k Z ，解得 x = 6k ± 2， k Z ，即
3 2 3 3
N = {x | x = 6k ± 2, k Z}．
所以M U N = {x | x = 6k ±1或 x = 6k ± 2,k Z}，A 错误，B 正确，
Z M U N = {x | x = 6k 或 x = 6k ± 3, k Z} = x | x = 3k,k Z ，C，D 正确．
故选：BCD
1．（2024·河南新乡·二模）已知集合M = {x | x < 3}, N = {x | x2 - 3x 0},则（ ）
A．M N = B．M N = R C． R M N D． R (M I N ) = (0, + )
【答案】BCD
【分析】先求解不等式 x2 - 3x 0得集合 N ，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系即
可一一判断正误.
【详解】由 x2 - 3x 0可得 x 0 或 x 3，即 N = {x | x 0 或 x 3} .
对于 A 项，M N = {x | x < 3} {x | x 0或 x 3} = {x | x 0} ，故 A 项错误；
对于 B 项，M N = {x | x < 3} {x | x 0或 x 3} = R ,故 B 项正确；
对于 C 项，因 R M = {x | x 3} {x | x 0或 x 3}，故 R M N ，故 C 项正确；
对于 D 项， R (M I N ) = ( R M ) ( R N ) = {x | x 3} {x | 0 < x < 3} = {x | x > 0}，故 D 项正确.
故选：BCD.
2 2．（2024·江西·模拟预测）设集合 A = x | 3x - 2x -1 = 0 ，B = x | ax -1 = 0 ，若 A B = A，则 a的值可以
为（ ）
1
A．1 B．0 C．- D．-3
3
【答案】ABD
【分析】由 A B = A，可得B A，再分 a = 0和 a 0两种情况讨论即可.
2 ì 1 ü
【详解】 A = x | 3x - 2x -1 = 0 = í- ,1 ，
3


因为 A B = A，所以B A，
当 a = 0时，B = A，
a 0 B = x | ax -1 = 0 = ì1 ü当 时， í ，
a
1 1 1
则 = - 或 =1，所以 a = -3或1，
a 3 a
综上所述， a = -3或 0 或1.
故选：ABD.
3．（2024·湖北·模拟预测）设U 为全集，集合 A, B,C 满足条件 A B = A C ，那么下列各式中不一定成立的
是（ ）
A．B A B．C A
C． AI U B = AI UC D． U A B = U A C
【答案】ABC
【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.
【详解】当U = 1,2,3 ， A = 1 ，B = 2,3 ，C = 1,2,3 时，满足 A B = A C ，
此时，B,C 不是A 的子集，所以 A、B 不一定成立；
U B = 1 , UC = ， AI U B = 1 , AI UC = ，所以 C 不一定成立；
对于 D，若"x U A I B ，则 x A，但 x B ，因为 A B = A C ，
所以 x C ，于是 x U A IC ，所以 U A I B U A IC ，
同理若"x U A IC ，则 x U A I B， U A IC U A I B ，
因此， U A B = U A C 成立，所以 D 成立.
故选：ABC.
一、单选题
1．（2024·广东广州·三模）已知集合 A = x -3 < x < 4 ，B = x 3 < x < 5 ，则 x | 4 x < 5 = （ ）
A． AI R B B． R A B C． R A U B D． R A I B
【答案】D
【分析】利用集合的混合运算，逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】由题得： A = x -3 < x < 4 ，B = x 3 < x < 5 ， A B = x | 3 < x < 4 ，
R A = x | x 4或 x -3 ， R B = x | x 5或 x 3 ，
所以 AI R B = x | -3 < x 3 ，故 A 错误；
R A B = x | x 4或 x 3 ，故 B 错误；
R A B = x | x -3或 x > 3 ，故 C 错误；
R A B = x | 4 x < 5 ，故 D 正确；
故选：D.
2．（2024·湖南·模拟预测）设全集U = Z，集合M = {x N | -2 < x 3}， N = 0,1,2 ，则M U N =（ ）
A． B． 3 C． 2,3 D． 0,1, 2,3
【答案】B
【分析】求出集合M ，再求M 与 U N 交集即可.
【详解】∵ M = {x N | -2 < x 3}，
∴ M = {0,1,2,3}，由 N = 0,1,2 ，
所以M U N = 3 .
故选：B
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合 A = x -1 < x < 7 ，B = x 0 < x < 9 ，则 A B =（ ）
A． -1,0 B． -1,9 C． 0,7 D． 0,9
【答案】B
【分析】根据并集含义即可得到答案.
【详解】 A B = x -1 < x < 9 = -1,9 .
故选：B.
4．（2024·广东广州·模拟预测）设集合M = x lg x > 0 ， N = x Z e ex e2 ，则M N =（ ）
A． 2 B． 1,2 C． x 1< x 2 D． x x 1
【答案】D
【分析】根据对数、指数函数的单调性解不等式求出集合 M、N，结合并集的概念与运算即可求解.
【详解】因为M = x x >1 ， N = x Z 1 x 2 = 1,2 ，
所以M N = x x 1 .
故选：D
5．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合 A = -1,1,2,3,5 , B = x∣2x2 - 3x - 2 > 0 ，则 AI B =（ ）
A． -1,3,5 B． -1,2,3,5 C． 3,5 D． 2,3,5
【答案】A
【分析】解一元二次不等式，求集合 B ，进而求得 A B .
【详解】集合B = {x∣x
1
< - 或 x > 2 ，所以 A B = -1,3,5 .
2
故选：A .
6 2024· · A = {x∣3 - x2．（ 湖南常德 一模）已知集合 >1},B = 0,1,2,3,4 ，则 AI B =（ ）
A． 3,4 B． 2,3,4 C． 0,1 D． 0,1,2
【答案】C
【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算即可求解.
【详解】由 A = {x∣3 - x2 >1}得 A = x - 2 < x < 2 ，
所以 AI B = 0,1 ，
故选：C
7 2024· · U = x N*．（ 天津 三模）设全集 x 8 ，集合 A = 1,3,5,8 ，B = 5,6,7,8 ，则 U A U B =（ ）
A． 1,2,3,4,5,8 B． 1,2,3,4,6,7 C． 5,6,7,8 D． 2,4
【答案】B
【分析】利用补集、并集的定义直接求解即得.
【详解】依题意，全集U = {1,2,3,4,5,6,7,8}，则 A = 1,3,5,8 ，B = 5,6,7,8 ，
得 U A = {2,4,6,7}, U B = {1,2,3,4}，所以 U A U B = 1,2,3,4,6,7 .
故选：B
二、填空题
8．（2024· 2湖南长沙·三模）已知集合 A = 1,2,4 ，B = a,a ，若 A B = A，则a = ．
【答案】2
【分析】由 A B = A得B A，令 a =1、 a = 2、 a = 4求出集合 B，即可求解.
【详解】由 A B = A，得B A .
当 a =1时， a = a2，不满足元素的互异性，舍去；
当 a = 2时，B = {2,4}，满足B A，符合题意；
当 a = 4时， B = {4,16}，不满足B A，舍去.
综上， a = 2 .
故答案为：2
9．（2024· 2河北沧州·二模）已知集合 A = x∣x <1 , B = {x∣x > a} a R ，若 A B ，则 a的取值范围
为 .
【答案】 - ,1
【分析】求出集合A ，根据集合 A B ，即可求出.
【详解】由题意知 A = {x | -1< x <1}，又B = {x∣x > a} a R 且 A B ，故a < 1，即 a的取值范围为
- ,1 .
故答案为： - ,1 .
10．（2024·全国·模拟预测）设集合 A = 2,3,4,5,6 ，B = 1, a + 2, 2a +1 ．若 A B = x N+ x < 7 ，则a = ．
【答案】2
【分析】先根据题目条件以及集合中元素的互异性证明 a = 2，再验证 a = 2满足条件即可.
【详解】由于 A B = x N+ x < 7 = 1,2,3,4,5,6 ，而B A B ，故 1, a + 2, 2a +1 1,2,3,4,5,6 .
所以 a + 2是整数，且1 2a +1 6，再由集合中元素的互异性知 2a +1 1， a + 2 2a +1 .
a 0 a 5从而 是整数，且 ， a 0，a 1，得 a = 2 .
2
当 a = 2时， A = 2,3,4,5,6 ，B = 1,4,5 ，故 A B = 1,2,3,4,5,6 = x N+ x < 7 ，满足条件.
故答案为： 2 .
一、单选题
ì x ü
1．（2024·安徽·三模）已知集合 A = 0,1,2,3,4 , B = íx N N2 ，则 A B 的子集的个数为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】B
【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得.
ì x ü
【详解】由 A = 0,1,2,3,4 , B = íx N N ，可得 AI B = 0,2,4 ，
2
则 A B 的子集的个数为 23 = 8 .
故选：B.
2．（2024·广东广州·二模）已知集合 A = 0,2,4 , B = x Z x -1 2 ，则 A ZB = （ ）
A． 2 B． 0,2 C． 0,1,2 D． 0,1,2,4
【答案】B
【分析】求出 B 中不等式的解集，找出解集中的整数解，确定出 ZB即可得出答案．
【详解】由 x -1 2解得， x -1或 x 3，即B = x Z x -1或x 3 ，
ZB = x Z -1 < x < 3 = 0,1,2
Q A = 0,2,4 ，
\ AI ZB = 0,2 .
故选：B．
3．（2024·湖南·二模）已知集合 A = {x∣-1 < x < 2}, B = {x∣- 2 < x <1}，则集合 A B A B =（ ）
A． -1,1 B． -2,2 C． -2, -1 1,2 D． (-2,-1] [1, 2)
【答案】D
【分析】利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解．
【详解】由题意， A B = -1,1 , A B = -2,2 ，所以 A B A B = -2,-1 1,2 .
故选：D.
4．（2024·河南·三模）若集合 A = y∣y = x -1, x N , B = z∣z = x + 2y, x, y N ，则（ ）
A． A N B． AI B = N
C．B N D． AU B = N
【答案】B
【分析】由集合A 中含有元素 -1可以排除 AD 两个选项，由 B 中含无理数元素排除 C 选项，由 y = 0 时， z = x
得 N B ，判断出选项 B 正确.
【详解】依题意可得 A = -1 U N ，所以 A、D 均错误；
因为B = z∣z = x + 2y, x, y N ，所以 B 中含无理数元素，故 C 错误；
集合 B 中，当 y = 0 时， z = x N ，所以 N B ,所以 AI B = N ，所以 B 正确；
故选：B.
5．（2024·湖北鄂州· 2一模）已知集合 A = x N 2x - x -15 0 ，B = y y = cos x ，则 AI B =（ ）
A． x -1 x 1 B． 0,1 C． -1,0,1 D． 1
【答案】B
【分析】根据题意，将集合 A, B化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
A x N 2x2 x 15 0 ìx N 5 ü【详解】 = - - = í - x 3 = 0,1,2,3 ，
2
而B = y -1 y 1 ，故 AI B = 0,1 ，
故选：B．
6．（2024· 2黑龙江·模拟预测）设集合U = R ， A = x x - 2x - 3 < 0 ，B = 1,2,3,5 ，则图中阴影部分表示的
集合为（ ）．
A． 1,3,5 B． 3,5 C． 2,3,5 D． 2,3
【答案】B
【分析】解不等式得到 A = x -1< x < 3 ，利用补集和交集概念求出答案.
【详解】因为 x2 - 2x - 3 < 0等价于 x +1 x - 3 < 0 ，解得-1 < x < 3，
所以 A = x -1< x < 3 ，所以 U A = {x x 3或 x -1}，
则由韦恩图可知阴影部分表示 U A B = 3,5 ．
故选：B．
7．（2024·河北保定·二模）已知集合 A = x Z x +1 > 0 ，B = x x a ，若 A B 中有 2 个元素，则 a 的取
值范围是（ ）
A． 2,4 B． 1,2 C． 2,4 D． 1,2
【答案】B
【分析】根据 AI B = 0,1 即可求解.
【详解】 A = x Z x +1 > 0 = x Z x > -1 ，
因为 A B 中只有 2 个元素，则 AI B = 0,1 ，所以1 a < 2 .
故选：B
8．（2024· 2湖北荆州·三模）已知集合 A = x 2x - x 0 ，B = R A ，其中R 是实数集，集合C = - ,1 ，则
B C =（ ）
A． - ,0 B． 0,1 C． - ,0 D． 0,1
【答案】B
【分析】解出一元二次不等式后，结合补集定义与交集定义计算即可得.
【详解】由 2x - x2 0 可得 x 0 或 x 2，则B = R A = x 0 < x < 2 ，
又C = - ,1 ，故B IC = 0,1 .
故选：B.
二、填空题
9．（2024·江苏南京·二模）已知集合 A = {1,2,4}，B = {(x, y∣) x A, y A, x - y A}，则集合 B 的元素个数
为 ．
【答案】2
【分析】利用列举法求解集合B = 2，1 ， 4，2 ，即可求解.
【详解】当 x =1时， y =1，2，4， x - y分别为0, -1, -3 ,均不能满足 x - y A，
当 x = 2时， y =1时可满足 x - y =1 A，
x = 2时， y = 2, x - y=0， x = 2时， y = 4, x - y= - 2均不满足 x - y A，
当 x = 4时， y = 2可满足 x - y = 2 A， x = 4时， y =1, x - y=3， x = 4时， y = 4, x - y=3均不满足 x - y A，
所以B = 2，1 ， 4，2 ，故集合 B 的元素有 2 个，
故答案为：2
ì x - 3 ü
10．（2024·湖南邵阳·三模） A = x N | log2 x - 3 2 ， B = íx 0x - 7 ，则 AI B = .
【答案】 4,5,6
【分析】根据对数不等式求集合 A，根据分式不等式求集合 B，进而可得 A B .
【详解】若 log2 x - 3 2 ，则0 < x - 3 4，解得3 < x 7 ，
所以 A = x N | 3 < x 7 = 4,5,6,7 ；
x - 3 ì x - 3 x - 7 0
若 0，则
x 7 í
，解得3 x < 7 ，
- x - 7 0
所以B = x | 3 x < 7 ；
所以 AI B = 4,5,6 .
故答案为： 4,5,6 .
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）集合 A = 1,2,3,4,5,9 ，B = x x +1 A ，则 AI B =（ ）
A． 1,2,3,4 B． 1,2,3 C． 3,4 D． 1, 2,9
【答案】A
【分析】根据集合 B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.
【详解】依题意得，对于集合 B 中的元素 x ，满足 x +1 =1,2,3,4,5,9，
则 x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B = {0,1,2,3,4,8}，
于是 A B = {1,2,3,4} .
故选：A
2．（2024·北京·高考真题）已知集合M = {x | -4 < x 1}， N = {x | -1< x < 3}，则M N =（ ）
A． x -4 < x < 3 B． x -1 < x 1
C． 0,1,2 D． x -1 < x < 4
【答案】A
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得M N = -4,3 ，
故选：A.
3．（2024·天津·高考真题）集合 A = 1,2,3,4 ，B = 2,3,4,5 ，则 AI B =（ ）
A． 1,2,3,4 B． 2,3,4 C． 2,4 D． 1
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合 A = 1,2,3,4 ，B = 2,3,4,5 ，
所以 AI B = 2,3,4 ，
故选：B
4．（2023·全国·高考真题）设全集U = Z ,集合M = {x∣x = 3k +1,k Z}, N = {x∣x = 3k + 2, k Z}， U(M N ) =
（ ）
A．{x | x = 3k,k Z} B．{x∣x = 3k -1,k Z}
C．{x∣x = 3k - 2,k Z} D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集Z = x | x = 3k,k Z U x | x = 3k +1,k Z U x | x = 3k + 2,k Z ，U = Z ，所以，
U M U N = x | x = 3k,k Z ．
故选：A．
5．（2023·天津·高考真题）已知集合U = 1,2,3,4,5 , A = 1,3 , B = 1,2,4 ，则 U B U A = （ ）
A． 1,3,5 B． 1,3 C． 1,2,4 D． 1,2,4,5
【答案】A
【分析】对集合 B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【详解】由 U B = {3,5}，而 A = {1,3}，
所以 U B U A = {1,3,5} .
故选：A
6．（2023·北京·高考真题）已知集合M = {x∣x + 2 0}, N = {x∣x -1< 0}，则M N =（ ）
A．{x∣-2 x <1} B．{x∣-2 < x 1}
C．{x∣x -2} D．{x∣x <1}
【答案】A
【分析】先化简集合M , N ，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，M = {x∣x + 2 0} = {x | x -2}， N = {x∣x -1< 0} = {x | x <1}，
根据交集的运算可知，M I N = {x | -2 x <1} .
故选：A
7．（2023·全国·高考真题）设全集U = 1,2,3,4,5 ，集合M = 1,4 , N = 2,5 ，则 N U U M =（ ）
A． 2,3,5 B． 1,3,4 C． 1,2,4,5 D． 2,3,4,5
【答案】A
【分析】利用集合的交并补运算即可得解.
【详解】因为全集U = {1,2,3,4,5}，集合M = {1,4}，所以 U M = 2,3,5 ，
又 N = {2,5}，所以 N U U M = {2,3,5}，
故选：A.
8．（2023·全国·高考真题）已知集合M = -2, -1,0,1,2 N = x x2， - x - 6 0 ，则M N =（ ）
A． -2, -1,0,1 B． 0,1,2 C． -2 D． 2
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 N ，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合M 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
2
【详解】方法一：因为 N = x x - x - 6 0 = - , -2 3, + ，而M = -2, -1,0,1,2 ，
所以M N = -2 ．
故选：C．
方法二：因为M = -2, -1,0,1,2 ，将-2, -1,0,1,2代入不等式 x2 - x - 6 0 ，只有-2使不等式成立，所以
M N = -2 ．
故选：C．
9．（2023·全国·高考真题）设集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，则a = （ ）．
2
A．2 B．1 C． D3 ． -1
【答案】B
【分析】根据包含关系分a - 2 = 0和 2a - 2 = 0 两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为 A B ，则有：
若a - 2 = 0，解得 a = 2，此时 A = 0,-2 ，B = 1,0,2 ，不符合题意；
若 2a - 2 = 0 ，解得 a =1，此时 A = 0,-1 ，B = 1, -1,0 ，符合题意；
综上所述： a =1 .
故选：B.
10．（2022·全国·高考真题）已知集合 A = -1,1,2,4 , B = x x -1 1 ，则 AI B =（ ）
A．{-1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{-1,4}
【答案】B
【分析】方法一：求出集合 B 后可求 A B .
【详解】[方法一]：直接法
因为B = x | 0 x 2 ，故 AI B = 1,2 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x=-1代入集合B = x x -1 1 ，可得 2 1，不满足，排除 A、D；
x = 4代入集合B = x x -1 1 ，可得3 1，不满足，排除 C.
故选：B.
【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；
方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．
11．（2022·全国·高考真题）集合M = 2,4,6,8,10 , N = x -1 < x < 6 ，则M N =（ ）
A．{2,4} B．{2,4,6} C．{2,4,6,8} D．{2,4,6,8,10}
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为M = 2,4,6,8,10 ， N = x | -1< x < 6 ，所以M I N = 2,4 ．
故选：A.
12．（2022·全国·高考真题）设集合 A = {-2, -1,0,1,2}, B =
ì
íx
5ü
∣0 x <
2
，则 AI B =（ ）

A． 0,1,2 B．{-2, -1,0} C．{0,1} D．{1,2}
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为 A = -2, -1,0,1,2 ，B = ìíx 0 x 5∣ < ü ，所以 AI B = 0,1,2 ．
2
故选：A.
13．（2022·全国·高考真题）设全集U = {-2, -1,0,1,2,3}，集合 A = {-1,2}, B = x∣x2 - 4x + 3 = 0 ，则 U (A B) =
（ ）
A．{1,3} B．{0,3} C．{-2,1} D．{-2,0}
【答案】D
【分析】解方程求出集合 B,再由集合的运算即可得解.
2
【详解】由题意，B= x x - 4x + 3 = 0 = 1,3 ，所以 A B = -1,1,2,3 ,
所以 U A B = -2,0 .
故选：D.
14．（2022·全国·高考真题）若集合M = {x∣ x < 4}, N = {x∣3x 1}，则M N =（ ）
A． x 0 ì x < 2 B． íx 1 x ü ì 1 ü < 23 C． x 3 x <16 D． íx x <163
【答案】D
【分析】求出集合M , N 后可求M N .
ì 1 ü
【详解】M = {x∣0 x <16}, N = {x∣x
1
}，故M N = íx x <163 3
，

故选：D

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