资源简介

第 02 讲 平面向量的数量积
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 3 题,5 分 向量垂直的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
数量积的运算律
2024 年新Ⅱ卷，第 3 题,5 分 已知数量积求模 模长的相关计算
垂直关系的向量表示
向量垂直的坐标表示
2023 年新 I 卷，第 3 题,5 分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2023 年新Ⅱ卷，第 13 题,5 分 数量积的运算律 向量的模长运算
2022 年新Ⅱ卷，第 4 题,5 分 数量积及向量夹角的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
坐标计算向量的模
2021 年新 I 卷，第 10 题,5 分 数量积的坐标表示 逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021 年新Ⅱ卷，第 15 题,5 分 数量积的运算律 无
2020 年新 I 卷，第 7 题,5 分 用定义求向量的数量积 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为 5 分
【备考策略】1 通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3 能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学
和实际问题中的作用
5 会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理
解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，记作 a,b ,且 0,
定义
则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b
|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
投影
|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积
意义
2. 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论 几何表示 坐标表示
数量积 |a||b|cos a,b a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x21＋y21· x22＋y22
a⊥b 的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x12＋y21 x22＋y22
1. 数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出 b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0 不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可能 a⊥b.
3．在用|a|＝ a2求向量的模时，一定要先求出 a2再进行开方．
考点一、求平面向量的数量积
r r r r r r r r
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 a,b满足 | a |= 1,| b |= 3,| a - 2b |= 3，则 a ×b =（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D．2
r r r r r r
2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 a = 1,2 ,b = 4, -2 ,c = 1,l ，若 c × 2a + b = 0，则实数l =
r r r r r r r r r r r r r
3．（2021·全国·高考真题）已知向量 a + b + c = 0 ， a =1， b = c = 2， a ×b + b ×c + c × a = ．
4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为 2 的等边VABC 中，点E 为中线 BD 的三等分点（靠近点
uuur uuur
B），点 F 为 BC 的中点，则FE × FB =（ ）
A 3
1 3
．- B．- C． D
1
．
4 2 4 2
uuur uuur
1．（2023·全国·高考真题）正方形 ABCD的边长是 2，E 是 AB 的中点，则EC × ED =（ ）
A． 5 B．3 C． 2 5 D．5
r r r
2 r
r r
．（2024·黑龙江·二模）已知向量 a = 1, m ，b = n,6 ，若b = 3a ，则a ×b = ．
r r 1 r r r r r
3．（2022·全国·高考真题）设向量 a，b 的夹角的余弦值为 ，且 a =1， b = 3，则 2a + b ×b = ．3
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
4 2024· · VABC BAC = 60o
uuur uuur
．（ 河北衡水 模拟预测）在 中， , AB = 6, AC = 3, AM = 2MB,CN = NM ，则 AN ×CB =
（ ）
9 17A．- B． C．9 D．18
2
考点二、辨析数量积的运算律
r r r r r r r r r
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 a,b,c，则“ a × c = b × c ”是“ a = b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
r r r
2 r r r r r r．（湖北·高考真题）已知 a,b ,c 为非零的平面向量．甲： a ×b = a ×c, 乙：b = c ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
r r r
3．（上海·高考真题）若 a，b ， c均为任意向量，m R ，则下列等式不一定成立的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r
A． (a + b) + c = a + (b + c) B． (a + b) × c = a × c + b × c
r r r r r r r r r r
C．m(a + b) = ma + mb D． (a ×b)c = a(b × c)
r r r
4．（2023·全国·模拟预测）设 a,b,c是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ）
r r r r r r r r r rA． a ×b c = b ×c a B． a ×b a ×b
r r r r ra b c b c ra r r r r rC． × - × 与b 垂直 D． a - b a - b
r
5．（22-23 高三上·江苏扬州· r r开学考试）（多选）关于平面向量 a,b ,c ，下列说法不正确的是（ ）
r r
A r．若 a ×cr = b ×cr，则 ar = b
r r
B． a + b r r r r r×c = a ×c + b ×c
r r rC．若 a2 b 2 r r r= ，则 a ×c = b ×c
r r r
D． a ×b cr r× = b ×c ar×
考点三、模长综合计算
r r r r
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 a = (2,1)，b = (-2,4)，则 a - b （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
r r r r r r r r r
2．（2024·全国·高考真题）已知向量 a,b满足 a =1, a + 2b = 2，且 b - 2a ^ b ，则 b = （ ）
A 1 2 3． 2 B． C． D．12 2
ur uur r ur uur r ur uur
3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 e1,e o2 是单位向量，且它们的夹角是60 .若 a = e1 + 2e2 ,b = le1 - e2 ，且
r
| ar |=| b |，则l =（ ）
A．2 B．-2 C．2 或-3 D．3 或-2
r r r r r r r
4．（2024 高三下· 5全国·专题练习）已知向量 a = (-1,2)，向量b 满足 a- b = 2 5 ，且 cosáa,b = ，则 | b |=
5
（ ）
A． 5 B．5 C． 10 D．25
r r
1．（2024·陕西榆林· r r二模）若向量 a = (m, m -1),b = ( 2m,3),| a |=| b |，则m =（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 2 D．-2
r r r r
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 a = m, m ，m R ，b = 0,2 ，则 a + b 的最小值为 .
r r r r r
3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量 ar与b 的夹角为60°，且 a = 1, 3 ， b =1，则 a - 2b = （ ）．
A． 7 B． 5 C．4 D．2
r r r r r r r π r r π r r r
4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 a,b,c 满足： a ^ c ， a,b = ， b,c = ，且 a = c = 3， b = 2，3 6
r r r
则 a + b + c = .
考点四、夹角综合计算
r r r r r r
1．（2023·全国·高考真题）已知向量a = 3,1 ,b = 2,2 ，则 cos a + b, a - b =（ ）
1
A B 17 C 5 D 2 5． ． ． ．
17 17 5 5
r r r r r r r
2．（2023· r r全国·高考真题）已知向量 a,b ,c 满足 a = b =1, c
r
= 2 r r r r，且 a + b + c = 0 ，则 cosáa - c,b - c =
（ ）
4 2 2 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
r r r r r r r r r
3．（2022·全国·高考真题）已知向量a = (3, 4),b = (1,0),c = a + tb，若< a,c >=< b,c > ，则 t =（ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
r r r
4．（2023· r河南郑州·模拟预测）已知向量 a = ( 3,1) ，b = (m -1,3)，若向量 a，b 的夹角为锐角，则实数m 的
取值范围为（ ）
A． 1- 3, + B． 1+ 3 3, +
C． 1- 3,1+ 3 3 U 1+ 3 3, + D． 1+ 3,1+ 3 3 U 1+ 3 3, +
r r r r π r r r
1．（2024·山东日照·三模）已知 a 和b 是两个单位向量，若 a,b = ，则向量 a 与向量3 a - b
的夹角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 3 2 3
uuur uuur uuur uuur
2．（2024·广东江门·二模）设向量OA = (1, x),OB = (2, x) ，则 cosáOA, OB 的最小值为 .
3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形 ABCD中，点 E F 分别为 AD, BC 的中点， CD = 2 AB = 8, EF = 5，
uuur uuur
则 cos AB, DC =（ ）
5 55 23
A 55． B． C．- D．-16 64 8 40
r r r r r r r r
4．（2024·上海·模拟预测）已知向量 a，b r r， c 满足 a = b = 1， c = 2 ，且 a + b + c = 0 ，则
cos ar
r
- cr,b - cr = ．
考点五、垂直综合计算
r r
1．（2024·全国·高考真题）设向量 a = x +1, x ,b = x, 2 ，则（ ）
r r r r
A．“ x = -3 ”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x = -3 ”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
r r r
2 r r．（2024·全国·高考真题）已知向量 a = (0,1),b = (2, x)，若b ^ (b - 4a)，则 x =（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D．2
r r r r r r
3．（2023·全国·高考真题）已知向量a = 1,1 ,b = 1,-1 ，若 a + lb ^ a + mb ，则（ ）
A．l + m =1 B．l + m = -1
C．lm =1 D．lm = -1
r r r r
1．（2024·广西·三模）已知向量 a = -1,3 ,a ^ b ，那么向量b 可以是（ ）
A． 1,3 B． -1,
1
÷ C． 3, -1 D． 3,1
è 3
r r r r r r
2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量 a = 2,1 ，b = -2,4 ，若 2a + b ^ la - b ，则实数l =（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
r r r r r r
3．（2023·浙江宁波·一模）若 a,b是夹角为 60°的两个单位向量，la + b与-3a + 2b垂直，则l =（ ）
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 4 8 4
r r r r r r
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 a = (2, t) ，b = (1, 2)，若当 t = t1 时， a ×b = a × b ，当 t = t2 时，
ar
r
^ b ，则（ ）
A． t1 = -4， t2 = -1 B． t1 = -4， t2 =1
C． t1 = 4， t2 = -1 D． t1 = 4， t2 =1
考点六、求投影向量
r r r
1．（2024·山东青岛·二模）已知向量 a = -1,2 ，b = -3,1 ，则 ar在b 上的投影向量为（ ）
3 1 1 5 , 2 5
3 10 , 10

A． (- , ) B． (- ,1) C． - ÷ D．2 2 2 5 5 ÷
-
è è 10 10
÷÷

r r r r r r r r
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 a,b满足 a = 2,b = 3,0 , a - b = 10 ，则向量 a 在向量b 方向
上的投影向量为（ ）
1 1 1
A． ,0÷ B． ,0 C． ,0 D． 1,0
è 6 3 ÷ ÷è è 2
ar
r r r 1 r r r
3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量 与b 满足： a在b 方向上的投影向量为 b ，b 在 a方向上4
r r r
的投影向量为 a，且 a = 2，则 b = （ ）
A． 3 B． 2 C． 2 3 D． 4
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur AB AC uuur
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量 AB 与 AC 满足 uuur + uuur ÷
AB AC 1
× BC = 0，且 uuur × uuur =AB AC 2 ，则向 AB AC ÷è
uuur uuur
量CA在向量CB上的投影向量为（ ）
3 uuur 1 uuur 3 uuur 1 uuur
A． CB B． CB C．- CB D．- CB
2 2 2 2
r r r r r
1．（23-24 高三下· · e
r
湖北 开学考试）已知 是单位向量，且 2e - a = 10, a + 2e er在 上的投影向量为5er，则 a
r
与 e 的夹角为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
r r r r r r r r
2．（2024·浙江绍兴· r三模）若非零向量 a，b 满足 a = b = a + b ，则a + 2b 在b 方向上的投影向量为（ ）
r 3 r r 1 r
A． 2b B． b C．b D． b2 2
r r r r
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a = 2,m ，b = n,1 ， c = m +1,-1 ar
r
^ b b //cr
r r
，若 ， ，则b 在 a + c
r
上
的投影向量为（ ）
-1,3 10 3 10 1 3 1 3 A． B． - , ,- - ,
è 5 5 ÷
÷ C． ÷ D． ÷
è 5 5 è 5 5
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD, AC 与BD交于点O，则向
uuur uuur
量BO在向量BA上的投影向量为（ ）
1 uuur uuur uuur uuur
A． BA
1
B． BA
2 3
C． BA D． BA
2 3 3 4
uuur uuur5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，OA = 1, 3 ，点 B 在直线 x + 3y - 2 = 0上，则OB
uuur
在OA上的投影向量为（ ）

A． 1, 3 1,3 1 3 1 3 B． C． , ÷÷ D． , ÷
è 2 2 è 2 2
考点七、数量积范围的综合问题
r r r r r r r r r
1 2．（湖南·高考真题）设 a,b均是非零向量，且 a = 2 b ，若关于 x 的方程 x + a x + a ×b = 0有实根，则 a 与b
的夹角的取值范围为（　　）
é0 , π ù é πA． ê ú B． ê , π
ù é π 2π ù é π ù
C
6 3 ú
． ê , 3 3 ú
D． , π
ê 6 ú
2．（2022·北京·高考真题）在VABC 中， AC = 3, BC = 4, C = 90°．P 为VABC 所在平面内的动点，且
uuur uuur
PC = 1，则PA × PB 的取值范围是（ ）
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
3．（2023·全国·高考真题）已知eO 的半径为 1，直线 PA 与eO 相切于点 A，直线 PB 与eO 交于 B，C 两点，
uuur uuur
D 为 BC 的中点，若 PO = 2 ，则PA× PD的最大值为（ ）
A 1+ 2． B 1+ 2 2．
2 2
C．1+ 2 D． 2 + 2
r r r r r
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a = b = 2， c =1， ar r r r- c × b - c = 0 ，则 a - b 的取值范围是（ ）
é
é 6 7 -1 7 +1
ù
A． -1, 6 +1ù B． ê , ú
2 2
é
é ù 6 -1 6 +1ùC． 7 -1, 7 +1 D． ê ,
2 2
ú

1．（2024·河北唐山·二模）已知圆C ： x2 + y - 3 2 = 4 ，过点 0,4 的直线 l与 x 轴交于点 P ，与圆C 交于A ，
uuur uuur uuurB 两点，则CP × CA + CB 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,2
uuur
2．（2024·天津河北·二模）VABC 是等腰直角三角形，其中 AB ^ AC∣, AB∣=1， P 是VABC 所在平面内的一点，
uuur uuur uuur uuur uuur
若CP = lCA + mCB （l 0, m 0 且l + 2m = 2），则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
2 ù é0, 2
ù
A． ú B2 ． ê
,1ú C． é 1, 2 ù é ù2
D． 2, 2
è
r r r r
3．（2024· r r全国·模拟预测）已知 a,b ,c 为单位向量，且 3a - 5b = 7 ，则 2a
r r r
- c + b - 2c 的最小值为（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D．6
2 2
4 x y 2 2．（2024·山东日照·一模）过双曲线 - =1的右支上一点 P，分别向eC1 : (x + 4) + y = 3和4 12
uuuur uuur uuuureC 2 22 : (x - 4) + y =1作切线，切点分别为 M，N，则 PM + PN × NM 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
一、单选题 r r r
1．（2024·重庆· r三模）已知向量a = (3,1),b = ( r-2, x)，若 a ^ (ar + b)，则 | b |=（ ）
A．2 B．3 C 2 10． 2 5 D．
3
r r
2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量a = 1,m ，b = 2, -2m ，则下列结论一定错误的是（ ）
r r r r r r r r
A． a//b B． a ^ b C． b = 2 a D． a - b = 1, -3m
r r r r r r r
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量 | a |= 3,| a - b |=| a + 2b |，则 | a + b |=（ ）
A． 3 B．2 C． 5 D．3
r r
4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 a = r r-1,2 ，b = 3,4 ，则 a 在b 上的投影向量为（ ）
3
A． - ,
4 3 4 1 1- 1 1 ÷ B． , ÷ C． - , - ÷ D． , ÷
è 5 5 è 5 5 è 4 3 è 4 3
r r r r r r r r r
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量 a,b为单位向量， | c |= 3 且 a + b + c = 0 ，则 a 与b 的夹角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
r r r r r r
6．（2024· r r陕西安康·模拟预测）若平面向量 a,b 满足 a = 2, b = 1, a + b = 5 ，则向量 a,b 夹角的余弦值为
（ ）
A 2 B 2
1
． ．- C
1
． -
2 2 2
D．
2
uuur uuur uuur
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 ABCD中 A = 45o , AB =1, AD = 2 ，若 AP = AB + xAD x R ,
uuur
则 AP 的最小值为（ ）
A 1 2． 2 B． C．1 D． 22
二、填空题
8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若 O 是正八边形 ABCDEFGH 的中心，
uuur uuur uuur
AB =1，则 AC ×CD .
r r r r
9．（2024· r四川内江·模拟预测）已知向量 a = (-4,m)，b = (1, -2)满足 (a - 2b) ^ b ，则 m 的值为 .
uuur uuur
10．（2024·重庆·三模）已知正方形 ABCD，边长为 1，点 E 是 BC 边上一点，若 BE = 2CE ，则 AE ×CE = .
一、单选题
r r r r 1 r r r r
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量 a ，b 满足 a = b ，且 t = 时， a - tb 取得最小值，则 a,b =2
（ ）
π π 2π
A．0 B． C． D．
3 2 3
uuur uuur uuur
2．（2024·天津北辰·三模）在VABC 中， AB = 2 2 ，O为VABC 外心，且 AO × AC = 1，则 ABC 的最大值
为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线 C 的方程为 y2 = 4x，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点.设甲：直线 l 与
uuur uuur
过点 (1,0)；乙：OA ×OB = -3（O 为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
r r r r r r r r r
4．（2024· r四川成都·模拟预测）设向量 a，b 满足 a - b ^ a + 2b ，且 2 a = 3 b 0，则 cos < a,b >=（ ）
1 3 1
A．- B - C D
3
． ． ．
6 8 6 8
uuur uuur 1 uuur2 r 1 uuur 2 uuur r 3 uuur 1 uuur
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在VABC 中，BA × BC = BC ，若a = AB + AC ，b = AB + AC ，
2 3 3 4 4
r 2 uuur uuurc = AB 5+ AC ，则（
7 7 ）
r
b cr ar
r r r
A． > > B． b a
r
> > cr ar cr b cr arC． > > D． > > b
uuur uuur
6．（2024·四川成都·三模）在矩形 ABCD中， AB = 5， AD = 4，点E 满足 2AE = 3EB，在平面 ABCD中，动
uuur uuur uuur uuur
点 P 满足PE × PB = 0，则DP × AC 的最大值为（ ）
A． 41 + 4 B． 41 - 6 C． 2 13 + 4 D． 2 13 - 6
二、多选题
r r π r r
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 a ，b 的夹角为 ，且 a =1， b = 2，则（3 ）
r r r r rA． a - b ^ a B． a + b = 7
r r r r r
C． 2a + b 2b
r
= D 3． a 在b 的方向上的投影向量为 b
4
8．（2024·新疆·三模）已知点O 0,0 ， A 2,1 ，B 1,2 ，P cosa ,sina 0 a < 2π ，则下列结论正确的是
（ ）
π uuur uuur uuur uuur 3π
A．若a = ，则 AB ^ BP B．若 AB∥OP ，则a =2 4
uuur uuur
AB OP 1 24
uuur
C．若 × = - ， sin 2a = D． AP 的最大值为
25 5 +15
r r r r r r r r r r
9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算a *b =| a || b | ×sináa,b ，其中 áa,b 表示 a,b的
r r
夹角，则对于两个非零平面向量 a,b，下列结论一定成立的有（ ）
r r r r r
r
A． a 在b 上的投影向量为 | a | sináa,b
b
× r
| b |
r r r r r r
B． (a *b)2 + (a ×b)2 =| a |2 | b |2
r r r r
C．l(a *b) = (la)*b
r r r r
D．若 a *b = 0 ，则 a//b
三、填空题 uuur uuur
10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形 ABCD的边长为 13 ，正方形EFGH 边长为 1，则 AE × AG 的
uuur uuuur
值为 .若在线段 AB 上有一个动点M ，则ME × MG 的最小值为 .
r r r r r r r r r r
1．（2024·北京·高考真题）设 a ，b 是向量，则“ a + b · a - b = 0 ”是“ a = -b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·天津·高考真题）在边长为 1 的正方形 ABCD中，点E 为线段CD 的三等分点，
1 uur uur uuur uuur uuurCE = DE, BE = lBA + m BC ，则l + m = ；F 为线段 BE 上的动点，G 为 AF 中点，则
2 AF × DG
的最小值
为 ．
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur r r
3．（2023·天津·高考真题）在VABC 中，BC =1， A = 60o ， AD = AB,CE = CD AB ar，记 = , AC = b r，用 a,b2 2
uuur uuur 1 uuur uuur uuur
表示 AE = ；若BF = BC ，则 AE × AF 的最大值为 ．3
r r r r r r r r r
4．（2023·全国·高考真题）已知向量 a，b 满足 a - b = 3 ， a + b = 2a - b ，则 b = ．
r r
5 2023· · r ar b (2,3), ar
r r r
．（ 北京 高考真题）已知向量 a，b 满足 + = - b = (-2,1)，则 | a |2 - | b |2 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．1
v r r
6．（2022· · v全国 高考真题）已知向量 a = (m,3),b = (1, m +1) ．若 a ^ b，则m = ．
r r 1 r r r r r
7．（2022·全国·高考真题）设向量 a，b 的夹角的余弦值为 ，且 a =1， b = 3，则 2a + b ×b = ．3
r r r r r r r r
8．（2022·全国·高考真题）已知向量 a,b满足 | a |= 1,| b |= 3,| a - 2b |= 3，则 a ×b =（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D．2
uuur r uuur r uuur uuur r r uuur9．（2022·天津·高考真题）在VABC 中，CA = a,CB = b ，D 是 AC 中点，CB = 2BE ，试用 a,b 表示DE
uuur uuur
为 ，若 AB ^ DE ，则 ACB 的最大值为
r r r r r
10．（2021·全国·高考真题）已知向量a = 1,3 ,b = 3,4 ，若 (a - lb) ^ b ，则l = ．
r r r r r r r r
11．（2021·全国·高考真题）若向量 a,b满足 a = 3, a - b = 5,a ×b = 1，则 b = .
r r r r r r r
12．（2021·全国·高考真题）已知向量a = 3,1 ,b = 1,0 ,c = a + kb．若 a ^ c ，则 k = ．
r r r r r r r r r
13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 a,b,c，则“ a × c = b × c ”是“ a = b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
14．（2021·天津·高考真题）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D 为线段 BC 上的动点，DE ^ AB且交 AB
uuur uuur uuur uuur uuur
于点 E．DF //AB且交 AC 于点 F,则 | 2BE + DF |的值为 ； (DE + DF ) × DA的最小值为 ．
r r r r r r r r r r r r r
15．（2021·全国·高考真题）已知向量 a + b + c = 0 ， a =1， b = c = 2， a ×b + b ×c + c × a = ．
r r r r r r r r r r r r ur r r
16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 a,b,c, (c 0)满足 a = 1, b = 2,a ×b = 0, a - b × c = 0 .记向量 d 在 a,b
ur r r
方向上的投影分别为 x，y，d - a 在 c方向上的投影为 z，则 x2 + y2 + z2 的最小值为 .
17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点P1 cosa ,sina ，P2 cos b , -sin b ，
P3 cos a + b ,sin a + b ， A(1,0)，则（ ）
uuur uuur uuur uuur
A． OP1 = OP2 B． AP1 = AP2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C．OA ×OP3 = OP1 ×OP2 D．OA ×OP1 = OP2 ×OP3
r r r r
18．（2020·全国·高考真题）设向量 a = (1, -1),b = (m +1,2m - 4)，若 a ^ b，则m = .
r r r r r19．（2020·全国·高考真题）设 a,b 为单位向量，且 | a + b |=1，则 | ar - b |= .
r r r
20．（2020·全国·高考真题）已知单位向量 a，b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ）
r r r r r r r r
A． a + 2b B． 2a + b C．a - 2b D．2a - b
uuur 1 uuur uuur uuur
21．（2020·北京·高考真题）已知正方形 ABCD的边长为 2，点 P 满足 AP = (AB + AC)，则 | PD |= ；
2
uuur uuur
PB × PD = ．
ur uur ur uur r ur uur r ur uur r r
22．（2020·浙江·高考真题）设 e1 ， e2 为单位向量，满足 | 2e1 - e2 | 2 ， a = e1 + e2 ，b = 3e1 + e2 ，设 a，b 的
夹角为 ，则 cos2 的最小值为 ．
uuur uuur
23．（2020·山东·高考真题）已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP × AB 的取值范围是
（ ）
A． (-2,6) B． (-6,2)
C． (-2,4) D． (-4,6)
r r r r r r r r
24．（2020·全国·高考真题）已知向量 a，b 满足 | a |= 5 r， | b |= 6， a ×b = -6 ，则 cos < a, a + b > =（ ）
31 19 17 19
A． - B． - C D35 35 ． ．35 35
25．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形 ABCD中， B = 60° , AB = 3，BC = 6，且
uuuv uuuv uuuv uuuv 3 uuuur uuuur uuurAD = lBC, AD × AB = - ，则实数l 的值为 ，若M , N 是线段BC 上的动点，且 | MN |= 1，则
2 DM × DN
的最小值为 ．第 02 讲 平面向量的数量积
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 3 题,5 分 向量垂直的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
数量积的运算律
2024 年新Ⅱ卷，第 3 题,5 分 已知数量积求模 模长的相关计算
垂直关系的向量表示
向量垂直的坐标表示
2023 年新 I 卷，第 3 题,5 分 平面向量线性运算的坐标表示
利用向量垂直求参数
2023 年新Ⅱ卷，第 13 题,5 分 数量积的运算律 向量的模长运算
2022 年新Ⅱ卷，第 4 题,5 分 数量积及向量夹角的坐标表示 平面向量线性运算的坐标表示
坐标计算向量的模
2021 年新 I 卷，第 10 题,5 分 数量积的坐标表示 逆用和、差角的余弦公式化简、求值
二倍角的余弦公式
2021 年新Ⅱ卷，第 15 题,5 分 数量积的运算律 无
2020 年新 I 卷，第 7 题,5 分 用定义求向量的数量积 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为 5 分
【备考策略】1 通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积
2 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3 能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学
和实际问题中的作用
5 会用数量积解决向量中的最值及范围问题
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理
解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1．平面向量的数量积
设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，记作 a,b ,且 0,
定义
则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作 a·b
|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，
投影
|b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影
几何
数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积
意义
2. 向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
结论 几何表示 坐标表示
数量积 |a||b|cos a,b a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ a·a |a|＝ x12＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x21＋y21· x22＋y22
a⊥b 的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21 x22＋y22
1. 数量积运算律要准确理解、应用，
例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出 b＝c，两边不能约去一个向量．
2．a·b＝0 不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可能 a⊥b.
3．在用|a|＝ a2求向量的模时，一定要先求出 a2再进行开方．
考点一、求平面向量的数量积
r r r r r r r r
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 a,b满足 | a |= 1,| b |= 3,| a - 2b |= 3，则 a ×b =（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
r r r r 2
【详解】解：∵ | a - 2b |2 | ar |2 4ar= - ×b + 4 b ，
∵ | ar
r r
又 |=1,| b |= 3,| ar - 2b |= 3,
r r
∴9 1 r= - 4a ×b + 4 3 =13 4ar- ×b ，
r
∴ ar ×b =1
故选：C.
r r r r r r
2．（2024·山东潍坊·三模）已知向量 a = 1,2 ,b = 4, -2 ,c = 1,l ，若 c × 2a + b = 0，则实数l =
【答案】-3
【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.
r r
【详解】 2a + b = 2,4 + 4, -2 = 6,2 ，
r
c × r r2a + b = 1,l × 6,2 = 6 + 2l = 0，
解得l = -3 .
故答案为：-3
r r r r r r r r r r r r r
3．（2021·全国·高考真题）已知向量 a + b + c = 0 ， a =1， b = c = 2， a ×b + b ×c + c × a = ．
9
【答案】 - 2
r r r 2
【分析】由已知可得 a + b + c = 0，展开化简后可得结果.
r r r 2 r 2 r2 r2 r r r r r r r r r r r r【详解】由已知可得 a + b + c = a + b + c + 2 a ×b + b ×c + c × a = 9 + 2 a ×b + b ×c + c ×a = 0，
r r r r r r 9
因此， a ×b + b ×c + c × a = - .
2
9
故答案为： - .2
4．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为 2 的等边VABC 中，点E 为中线 BD 的三等分点（靠近点
uuur uuur
B），点 F 为 BC 的中点，则FE × FB =（ ）
3 1 3A 1．- B．- C． D．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.
uuur uuur
【详解】由已知有 | BA |= 2， | BC |= 2 ， ABC = 60°，
uuur uuur uuur uuur
所以BA × BC =| BA || BC | cos ABC 2 2
1
= = 2．
2
uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
已知D是 AC 的中点，则BD = (BA + BC)，BE
1 1
= BD = (BA + BC), BF = FC 1= BC ，
2 3 6 2
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur
所以FE = BE - BF = (BA + BC) BC
1 BA 1- = - BC ，
6 2 6 3
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur2
则FE × FB = BA - BC ÷ × - BC
1 1 1
÷ = - BA × BC + BC = - 2 + 4 =
è 6 3 è 2 12 6 12 6 2
．
故选：D．
uuur uuur
1．（2023·全国·高考真题）正方形 ABCD的边长是 2，E 是 AB 的中点，则EC × ED =（ ）
A． 5 B．3 C． 2 5 D．5
【答案】B
uuur uuur uuur uuur【分析】方法一：以 AB, AD 为基底向量表示 EC, ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 cos DEC ，进而根据数量积的定义运算求解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】方法一：以 AB, AD 为基底向量，可知 AB = AD = 2, AB × AD = 0，
uuur uur uuur 1 uuur uuur uuur uur uuur 1 uuur uuur
则EC = EB + BC = AB + AD, ED = EA + AD = - AB + AD，
2 2
uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur2 uuur2
所以EC × ED = AB + AD ÷ × - AB AD
1+ ÷ = - AB + AD = -1+ 4 = 3；
è 2 è 2 4
方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
uuur uuur
则E 1,0 ,C 2,2 , D 0,2 ，可得EC = 1,2 , ED = -1,2 ，
uuur uuur
所以EC × ED = -1+ 4 = 3；
方法三：由题意可得：ED = EC = 5,CD = 2，
DE2 + CE2 - DC 2 5 + 5 - 4 3
在VCDE中，由余弦定理可得 cos DEC = = = ，
2DE ×CE 2 5 5 5
uuur uuur uuur uuur
所以EC × ED = EC ED cos DEC = 5 5
3
= 3 .
5
故选：B.
r r r r
2．（2024·黑龙江·二模）已知向量 a = 1, m ，b = n,6 r r，若b = 3a ，则a ×b = ．
【答案】15
【分析】根据向量共线的坐标表示求出m 和 n，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.
r r
【详解】Q b = 3a ，即 n,6 = 3,3m ，\ n = 3，m = 2 ，
r r
\ a = r r1,2 ，b = 3,6 ，\ a ×b =1 3 + 2 6 =15 .
故答案为：15 .
r r 1 r r r r r
3．（2022·全国·高考真题）设向量 a，b 的夹角的余弦值为 ，且 a =1， b = 3，则 2a + b ×b = ．3
【答案】11
r r r r
【分析】设 a与b 的夹角为 ，依题意可得 cos
1
= ，再根据数量积的定义求出 a ×b ，最后根据数量积的运3
算律计算可得．
r r r r 1 1
【详解】解：设 a与b 的夹角为 ，因为 a与b 的夹角的余弦值为 ，即 cos = ，3 3
r r r r r r 1
又 a =1， b = 3，所以 a ×b = a × b cos =1 3 =1，
3
r r r r r r2 r r r 2所以 2a + b ×b = 2a ×b + b = 2a ×b + b = 2 1+ 32 =11．
故答案为：11．
uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
o uuur uuur4．（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中， BAC = 60 , AB = 6, AC = 3, AM = 2MB,CN = NM ，则 AN ×CB =
（ ）
17
A．-9 B． C．9 D．18
2
【答案】C
uuur uuur uuur uuur
【分析】将把 AN 与CB用 AB, AC 来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解.
uuur
AN 1
uuur 1 uuuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur
【详解】 = AC + AM = AC + AB，
2 2 2 3 CB = AB - AC
，
uuur uuur 1 uuurAN CB AC 1
uuur
× = + AB

÷
uuur uuur
AB - AC
2 3 è
1 uuuur 1 uuur uuur uuuur
= AB2 + AB × AC 1- AC 2 12 1= + 6 3 1 9 - = 9 .
3 6 2 6 2 2
故选：C.
考点二、辨析数量积的运算律
r r r r r r r r r
1．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 a,b,c，则“ a × c = b × c ”是“ a = b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
uuur r uuur r uuur uuur r r r
如图所示，OA = a,OB = b ,OC = cr, BA ar= - b ,当 AB ^ OC 时， ar - b 与 c垂直， ，所以
r
成立，此时 ar b ，
r r∴ 不是 a = b 的充分条件，
r r r r r r r r r
当 a = b 时， ar - b = 0 ，∴ a - b ×c = 0 ×c = 0 ,∴ 成立，
∴ ar
r
是 = b 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
r r r
2．（湖北· r高考真题）已知 a,b ,cr r为非零的平面向量．甲： a ×b ar cr= × , 乙：b = cr ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据向量运算法则，结合充分，必要条件的定义，即可判断.
r r r r r r r【详解】若 a ×b = a ×c ，则 a × b cr- = 0 r，因为 a,b ,cr为非零的平面向量，
r r r r
所以 a ^ b - c ，或b cr= ，所以甲不是乙的充分条件，
r
b cr ar
r
反过来， = ，能推出 ×b = ar r×c ，所以甲是乙的必要条件.
综上可知，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.
故选：B
r r r
3．（上海·高考真题）若 a，b ， c均为任意向量，m R ，则下列等式不一定成立的是（ ）
r r r r r r r r r r r r r
A． (a + b) + c = a + (b + c) B． (a + b) × c = a × c + b × c
r r r r r r r r r r
C．m(a + b) = ma + mb D． (a ×b)c = a(b × c)
【答案】D
【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断．
【详解】选项 A 是向量加法的结合律，正确；
选项 B 是向量数量积运算对加法的分配律，正确；
选项 C 是数乘运算对向量加法的分配律，正确；
r r
选项 D．根据数量积和数乘定义，等式左边是与 c共线的向量，右边是与 a共线的向量，两者一般不可能相
等，也即向量的数量积运算没有结合律存在．D 错．
故选：D．
r r r
4．（2023·全国·模拟预测）设 a,b,c是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ）
r r r r r r r r r rA． a ×b c = b ×c a B． a ×b a ×b
r r r r r r r r r r rC． a ×b c - b × c a与b 垂直 D． a - b a - b
【答案】C
【分析】利用平面向量的运算求解.
r r r
【详解】选项 A：因为 a,b,c是三个非零的平面向量，且相互不共线，
r r r r r r r
所以 a,c 不会同时与b 垂直，所以 a ×b 与b ×c 不会同时为 0，
r r r r r r
所以 a ×b c b × c a ，故 A 错误；（注意向量的数量积为一个常数）
r r r r r r r r r r
选项 B： a ×b = a b cos a,b ，由于cos a,b cos a,b ，
r r r r
（点拨：向量夹角的取值范围是 0, π ）所以a ×b a ×b ，故 B 错误；
r r r r r r r r r选项 C：因为 é a ×b c - b × c aù ×b = a ×b
r r
c ×b r r r r- b × c a ×b = 0，
r r且由 A 知 a × b r r r rc 与 b ×c a 不相等，所以 r r r r r ra ×b c b r- × c a与b 垂直，
（点拨：若两向量的数量积为 0，则两向量垂直）故 C 正确；
r r uuur r uuur r
选项 D：因为 a,b是非零向量，且不共线，所以设OA = a,OB = b ，
r r uuur r r r r
从而 a - b = BA ，在VOAB中，两边之差小于第三边，所以 a - b < a - b ，
r r r r r r
（提示： a,b不共线，所以 a - b a - b 中的等号不成立）故 D 错误．
故选:C.
r
5．（22-23 · r r高三上 江苏扬州·开学考试）（多选）关于平面向量 a,b ,c ，下列说法不正确的是（ ）
r r r rA．若 a ×c = b cr× ，则 ar = b
r r rB． a + b cr ar× = ×cr + b ×cr
r r rC．若 a2 = b 2 ar cr b cr，则 × = ×
r r r r r r
D． a ×b ×c = b ×c × a
【答案】ACD
【分析】由数量积性质可判断 A，由分配律可判断 B，由相反向量可判断 C，由向量垂直可以判断 D.
r r r
【详解】对于 A r，若 c = 0，则不一定有 a = b ，A 错误；
对于 B，根据分配律即可得到，B 正确；
r r r r
对于 C，若 a2 = b 2 r r r r，则可能 a = -b ，那么a × c b × c ，C 错误；
r r r r ar r r对于 D，若 a ^ b ，则有 a ×b = 0，那么就不一定有 ×b cr bcr ar× = × ，D 错误.
故选：ACD
考点三、模长综合计算
r r r r
1．（2022·全国·高考真题）已知向量 a = (2,1)，b = (-2,4)，则 a - b （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
r r r r
【分析】先求得 a - b，然后求得 a - b .
r r r r 2
【详解】因为 a - b = 2,1 - -2,4 = 4, -3 ，所以 a - b = 42 + -3 = 5 .
故选：D
r r r r r r r r r2．（2024·全国·高考真题）已知向量 a,b满足 a =1, a + 2b = 2，且 b - 2a ^ b ，则 b = （ ）
A 1 2． 2 B． C
3
． D．1
2 2
【答案】B
r r
【分析】由 b - 2a r r r r^ b r2 r r r r r2 r2得b = 2a ×b ，结合 a =1, a + 2b = 2，得1+ 4a ×b + 4b =1+ 6b = 4，由此即可得解.
r r r r r r r2 r r
【详解】因为 b - 2a ^ b ，所以 b - 2a ×b = 0，即b = 2a ×b ，
r r r
又因为 a =1, a + 2b = 2，
r r r2 r2
所以1+ 4a ×b + 4b =1+ 6b = 4，
r
b 2从而 = .
2
故选：B.
ur uur r ur uur r ur uur
3．（2024·广东肇庆·模拟预测）已知 e1,e2 是单位向量，且它们的夹角是60o .若 a = e1 + 2e2 ,b = le1 - e2 ，且
r
| ar |=| b |，则l =（ ）
A．2 B．-2 C．2 或-3 D．3 或-2
【答案】D
ur uur ur uur
【分析】根据条件将 e1 + 2e2 = le1 - e2 两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可.
r r ur uur ur uur
【详解】Q| a |=| b |，即 e1 + 2e2 = le1 - e2 ，
ur2 ur uur uur2 ur2 ur uur uur2
\e1 + 4e1 ×e2 + 4e
2
2 = l e1 - 2le1 ×e2 + e2
1 4 1 1 1\ + + 4 = l 2 - 2l 1 1 1 +1
2 2
解得l = 3或l = -2 .
故选：D.
r r r r r r r
4．（2024 5高三下·全国·专题练习）已知向量 a = (-1,2)，向量b 满足 a- b = 2 5 ，且 cosáa,b = ，则 | b |=
5
（ ）
A． 5 B．5 C． 10 D．25
【答案】B
r r 2 r r 2
【分析】由 a - b = a - b ，利用向量数量积运算和向量的模即可求解.
r r
【详解】由于向量 a = (-1,2)，可得 a = 5，
r r r r 2 r r 2 r 2 r r r r r 2由 | a - b |= 2 5 ，得 a - b = a - b = a - 2 a b cos a,b + b = 20，
r 5 r 2 r 2 r r r
故5 - 2 5 b + b = 20，得 b - 2 b -15 = 0，得 b = 5或 b = -3 (舍去)．
5
r
所以 b = 5
故选：B
r r
1．（2024·陕西榆林·二模）若向量 ar = (m, m -1),b = ( 2m,3),| ar |=| b |，则m =（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 2 D．-2
【答案】A
r r 2
【分析】根据 a = b ，从而可得m2 + m -1 = 2m2 + 9，从而可求解.
r r r r
【详解】若 a = b ，则 | a |2 =| b |2 ，即m2 + m -1 2 = 2m2 + 9，解得m = -4 .故 A 正确.
故选：A.
r r r r
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知向量 a = m, m ，m R ，b = 0,2 ，则 a + b 的最小值为 .
【答案】 2
r r 2
【分析】根据复数的坐标运算和复数模的坐标表示得到 a + b = 2 m +1 + 2 ，再利用二次函数性质即可得
到答案.
r r
【详解】 a + b = m, m + 2 ，
r r
所以 a + b = m2 + m + 2 2 = 2m2 + 4m + 4 = 2 m +1 2 + 2 2 .
当m = -1时等号成立.
故答案为： 2 .
r r r r r r
3．（2024·广西柳州·模拟预测）已知向量 a与b 的夹角为60°，且 a = 1, 3 ， b =1，则 a - 2b = （ ）．
A． 7 B． 5 C．4 D．2
【答案】D
r
【分析】根据 a的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模．
r
【详解】由 a = 1, 3 得， ar = 2，
r r r r r r r
又 b =1，则 a - 2b = a2 - 4a ×b + 4b 2 = 4 - 4 2 1 cos 60° + 4 = 2．
故选：D.
r r r r r r r π r r π r r r
4．（2024·湖南长沙·三模）平面向量 a,b,c 满足： a ^ c ， a,b = ， b,c = ，且 a = c = 3， b = 2，3 6
r r r
则 a + b + c = .
【答案】3 3 +1/1+ 3 3
r r r r r r r r r r r r 2
【分析】结合数量积的定义和性质求出 a ×c、 a ×b 和b ×c ，利用 a + b + c = a + b + c 即可求出答案.
r r r r
【详解】因为 a ^ c ，所以 a × c = 0 ，
r r r r r r r
因为 a = c = 3， b = 2 a,b
π b,c π， = ， = ，
3 6
r r r r r r π
所以 a ×b = a b cos a,b = 3 2 cos = 3，
3
r r r r r r
b ×c = b c cos b,c = 2 3 cos π = 3 3 ，
6
r r r 2 r r r 2
因为 a + b + c = a + b + c ，
r r r 2 r 2 r 2 r 2 r r r r r r 2a + b + c = a + b + c + 2 a ×b + a ×c + b ×c = 28 + 6 3 = 3 3 +1 ，
r r r r r r 2 2
所以 a + b + c = a + b + c = 3 3 +1 = 3 3 +1 .
故答案为：3 3 +1 .
考点四、夹角综合计算
r r r r r r
1．（2023·全国·高考真题）已知向量a = 3,1 ,b = 2,2 ，则 cos a + b, a - b =（ ）
1
A B 17 C 5 D 2 5． ． ． ．
17 17 5 5
【答案】B
r r r r r r r r【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 a + b , a - b , a + b × a - b ，从而利用平面向量余弦
的运算公式即可得解.
r r r r r r
【详解】因为 a = (3,1),b = (2, 2)，所以 a + b = 5,3 ,a - b = 1, -1 ，
r r r r r r
a + b = 52 + 32则 = 34, a - b = 1+1 = 2 ， a + b r r× a - b = 5 1+ 3 -1 = 2，
r r r r r r r ra + b × a - b
所以 cos a + b, a - b = r r r r
2 17
= = .
a + b a - b 34 2 17
故选：B.
r r r r r
2 2023· · ar,b ,cr a = b =1, c = 2 ar b cr
r r r r
．（ 全国 高考真题）已知向量 满足 ，且 + + = 0 ，则 cos
r
áa - c,b - c =
（ ）
4 2 2 4
A．- B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
r ra b cr
r r
0 , r r【详解】因为 + + = 所以 a +b = -c ,
r r r r r r r r r
即 a2 + b 2 + 2a ×b = c 2 ,即1+1+ 2a × b = 2 ,所以 a ×b = 0 .
uuur uuur r uuur
, OA ar,OB b,OC r如图设 = = = c ,
由题知, OA = OB =1,OC = 2,VOAB 是等腰直角三角形,
AB 2边上的高OD = , AD 2= ,
2 2
2 3 2
所以CD = CO + OD = 2 + = ,
2 2
tan ACD AD 1= = , cos ACD 3=
CD 3 ,10
r
cos ar cr,b crá - - = cos ACB = cos 2 ACD = 2cos2 ACD -1
2
2 3 4= ÷ -1 = .
è 10 5
故选:D.
r r r r r r r r r
3．（2022·全国·高考真题）已知向量a = (3, 4),b = (1,0),c = a + tb，若< a,c >=< b,c > ，则 t =（ ）
A．-6 B．-5 C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
r 9 + 3t +16 3 + t
【详解】解： c = 3+ t, 4 , cos ar,cr = cos b,cr ,即 =5 cr cr ,解得 t = 5 ,
故选：C
r r r
4．（2023· r河南郑州·模拟预测）已知向量 a = ( 3,1) ，b = (m -1,3)，若向量 a，b 的夹角为锐角，则实数m 的
取值范围为（ ）
A． 1- 3, + B． 1+ 3 3, +
C． 1- 3,1+ 3 3 U 1+ 3 3, + D． 1+ 3,1+ 3 3 U 1+ 3 3, +
【答案】C
r r r r
【分析】根据题意，由 a ×b > 0且 a，b 不共线，再用向量的坐标运算求解即可得答案.
ar
r
【详解】因为 = ( 3,1) ，b = (m -1,3)，
ar
r
所以 ×b = 3(m -1) + 3；
r r
因为向量 a，b 的的夹角为锐角，所以有 3(m -1) + 3 > 0，解得m >1- 3 .
r r
又当向量 a，b 共线时，3 3 - (m -1) = 0，解得：m =1+ 3 3 ，
所以实数m 的取值范围为 1- 3,1+ 3 3 U 1+ 3 3, + .
故选：C.
【点睛】本题考查根据向量的夹角范围求参数的范围问题，考查数量积的坐标运算和向量共线的坐标表示，
是中档题.
r r r r π r r r
1．（2024·山东日照·三模）已知 a 和b 是两个单位向量，若 a,b = ，则向量 a 与向量 a - b的夹角为（3 ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 3 2 3
【答案】B
【分析】根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解.
r r r r r r π
【详解】因为 a 和b 是单位向量，所以 a = b =1, 又因为 a,b = ，3
ar ar r r所以 × - b = ar2 ar b 1 1 1- × = -1 1 = ，2 2
r r
所以 a - b = r 2ar - b = 1+1 1- 2 1 1 =1，2
r r rr r r a × a - b r
所以 cos a, a b
1
- = r rr r r = ，又 a, a - b 2 0, π ，a × a - b
r r r π
所以向量 a 与向量 a - b的夹角为 .3
故选：B.
uuur uuur uuur uuur
2．（2024·广东江门·二模）设向量OA = (1, x),OB = (2, x) ，则 cosáOA, OB 的最小值为 .
2 2 2
【答案】 / 2
3 3
uuur uuur
【分析】先求得 cosáOA, OB 的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.
uuur uuur 2
【详解】 cosáOA,OB
2 + x
=
，令 2 + x
2 = t(t 2)，则 2 ，
x2 +1 x2 + 4 x = t - 2
uuur uuur
cos OA,OB t 1 1á = = =
所以 (t -1)(t + 2) 1 1 2
2
+ - 1 1 9 ，
t t 2 -2 -
+
è t 4 ÷ 8
1 1 2 uuur uuur当 = ，即 t = 4, x = 2时， cosáOA, OB 2 2取得最小值，且最小值为 ．
t 4 3
2 2
故答案为：
3
3．（2024·河北·模拟预测）平面四边形 ABCD中，点 E F 分别为 AD, BC 的中点， CD = 2 AB = 8, EF = 5，
uuur uuur
则 cos AB, DC =（ ）
5 55 55 23A． B． C．
16 64 -
D．-
8 40
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】由向量的加法法则可得 2FE = CD + BA，两边同时平方可得DC × AB =10，由平面向量的夹角公式
求解即可.
【详解】因为平面四边形 ABCD中，点E F 分别为 AD, BC 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以FE = FC + CD + DE = FB + BA + AE ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 2FE = FC + CD + DE + FB + BA + AE = CD + BA，
由 CD = 2 AB = 8可得： CD = 8, AB = 4 ，
uuur2 uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur uuur
两边同时平方可得： 4FE = CD + BA = CD + BA + 2CD × BA，
uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur
所以 4 25 = CD + BA + 2CD × BA = 64 +16 + 2CD × BA，
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
解得：DC × AB =10，所以 cosAB, DC u
AuuB × DC 10 5= r uuur = =
AB × DC 4 8 16
.
故选：A.
r r r r r r r r
4．（2024· · r r上海 模拟预测）已知向量 a，b ， c 满足 a = b = 1， c = 2 ，且 a + b + c = 0 ，则
cos ar cr
r
- ,b cr- = ．
4
【答案】 /0.8
5
r r r r r r r r r r r r r
【分析】根据已知条件依次求出 agb r= 0 、 agc = -1、b gc = -1，接着求出 a - c · b - c 、 a - c 和 b - c 即可
结合向量夹角余弦公式求解.
r r r r 2 r r
【详解】由题 a +b = -c ，故 ar r+ b = -c 2 cr= 2 ar2 b 2 2arg b cr即 + + = 2 ，
r r
1+1 r r+ 2agb = 2， agb = 0；
ar cr
r r r 2 r r r
+ = -b ，故 a + cr 2 = -b = b 2 2 r即 ar2 r+ c + 2agc = b 2，
r r r
1+ 2 + 2agc =1， argc = -1；
r r r rb cr 2 r 2 r r r2 r rb + c = -a ，故 + = -a = a2即b 2 + c + 2b gc = ar2 ，
r r r r
1+ 2 + 2b gc =1， b gc = -1，
ar r
r r r r r r r r r
所以 - c · b - c = a·b - a + b ·c + c 2 = 2c 2 = 4，
r r 2 r r
且 ar - cr ar cr 2 ar2 cr2 2ar= - = + - ·cr = 5 ， b - cr = b - cr = b 2 cr2 2b·cr+ - = 5 ，
r
r r r r a
r cr- · b r- c
所以 cos a - c,b
4 4
- c =
ar r
r r = = .
- c b - c 5 5 5
4
故答案为： .
5
考点五、垂直综合计算
r r
1．（2024·全国·高考真题）设向量 a = x +1, x ,b = x, 2 ，则（ ）
r r r r
A．“ x = -3 ”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x = -3 ”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x = 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x = -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
r r r r
【详解】对 A，当 a ^ b时，则 a ×b = 0 ，
所以 x × (x +1) + 2x = 0，解得 x = 0或-3，即必要性不成立，故 A 错误；
r r r r
对 C，当 x = 0时， a = 1,0 ,b = 0,2 ，故 a ×b = 0 ，
r r
所以 a ^ b，即充分性成立，故 C 正确；
r r
对 B，当 a / /b时，则 2(x +1) = x2 ，解得 x =1± 3 ，即必要性不成立，故 B 错误；
r r
对 D，当 x = -1+ 3 时，不满足 2(x +1) = x2 ，所以 a / /b不成立，即充分性不立，故 D 错误.
故选：C.
r r r
2 2024· r．（ 全国·高考真题）已知向量 a = (0,1),b = (2, x)，若b ^ (b - 4ar)，则 x =（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 x 的值.
r r r r r r
【详解】因为b ^ b - 4a ，所以b × b - 4a = 0，
r2 r r
所以b - 4a b 0即 4 + x2× = - 4x = 0，故 x = 2，
故选：D.
r r r r r r
3．（2023·全国·高考真题）已知向量a = 1,1 ,b = 1,-1 ，若 a + lb ^ a + mb ，则（ ）
A．l + m =1 B．l + m = -1
C．lm =1 D．lm = -1
【答案】D
r r r r
【分析】根据向量的坐标运算求出 a + lb， a + mb ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
r r r r r r
【详解】因为a = 1,1 ,b = 1,-1 ，所以 a + lb = 1+ l,1- l ， a + mb = 1+ m,1- m ，
由 r ra + lb r r r r^ a + mb 可得， a + lb × r ra + mb = 0，
即 1+ l 1+ m + 1- l 1- m = 0，整理得：lm = -1．
故选：D．
r r
1．（2024·广西·三模）已知向量 a = 1,3 ,ar r- ^ b ，那么向量b 可以是（ ）
A． 1,3 B． -1,
1
÷ C． 3, -1 D． 3,1
è 3
【答案】D
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.
r r
【详解】对于 A，因为 -1,3 × 1,3 = -1+ 9 = 8 0，所以 a,b 不垂直，故 A 错误；
r
对于 B，因为 -1,3 1× -1,

÷ =1+1 = 2 0 a
r
，所以
3 ,b
不垂直，故 B 错误；
è
r
对于 C，因为 -1,3 × 3, -1 = -3 - 3 = -6 0 ar，所以 ,b 不垂直，故 C 错误；
r
对于 D，因为 -1,3 × 3,1 = -3 + 3 = 0 ar，所以 ^ b ，故 D 正确.
故选：D
r r r r
2．（2024·浙江台州·二模）已知平面向量 a = 2,1 ，b = -2,4 ，若 2a + b ^ r rla - b ，则实数l =（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.
r r
【详解】因为 a = 2,1 ，b = -2,4 ，
r r r r
所以 2a + b = (2,6)，la - b = 2l + 2,l - 4 ，
r r r r
因为 2a + b ^ la - b ，
r r r r
所以 2a + b × la - b = (2,6) × 2l + 2,l - 4 = 4l + 4 + 6l - 24 = 0，
解得l = 2 .
故选：D
r r r r r r
3．（2023·浙江宁波·一模）若 a,b是夹角为 60°的两个单位向量，la + b与-3a + 2b垂直，则l =（ ）
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 4 8 4
【答案】B
r r r r r r r r r r r r2 2
【分析】由题意先分别算出 a ,b , a ×b 的值，然后将“ la + b与-3a + 2b垂直”等价转换为 la + b × -3a + 2b = 0，
从而即可求解.
r 2 r 2 r2 r 2 r r r r °
【详解】由题意有 a = a =1,b = b =1,a ×b = a × b cos 60 =1 1
1 1
= ，
2 2
r r r r
又因为la + b与-3a + 2b垂直，
r r r r r 2 r r r2所以 la + b × -3a + 2b = -3la + 2l - 3 a ×b + 2b = -3l 1+ 2l - 3 + 2 = 0，2
整理得-2l
1
+ = 0，解得l
1
= .
2 4
故选：B.
r r r r r r
4．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量 a = (2, t) ，b = (1, 2)，若当 t = t1 时， a ×b = a × b ，当 t = t2 时，
r ra ^ b ，则（ ）
A． t1 = -4， t2 = -1 B． t1 = -4， t2 =1
C． t1 = 4， t2 = -1 D． t1 = 4， t2 =1
【答案】C
【分析】根据向量同向及数量积为 0 分别建立方程求解.
r r r r r
【详解】当 t = t
r 2 t
1 时，由 a ×b = a × b 可知 a与b 方向相同，得 = 1 > 0，解得 t1 = 4；1 2
r
当 t = t r2 时， a ×b = 0，即 2 + 2t = 0，解得 t2 = -1．
故选：C
考点六、求投影向量
r r r
1．（2024·山东青岛·二模）已知向量 a = -1,2 ，b = -3,1 r，则 a在b 上的投影向量为（ ）
3 1 1 5 , 2 5 3 10 , 10

A． (- , ) B． (- ,1) C． - ÷ D． -2 2 2 ÷ è 5 5 è 10 10 ÷
÷

【答案】A
【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.
r r r
【详解】依题意， a ×b = -1 (-3) + 2 1 = 5,| b |= (-3)2 +12 = 10 ，
r r
r r a ×b r 1 ra 3 1所以 在b 上的投影向量为 r b = b = (- , ) .
| b |2 2 2 2
故选：A
r r r r r r r r
2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知向量 a,b满足 a = 2,b = 3,0 , a - b = 10 ，则向量 a 在向量b 方向
上的投影向量为（ ）
1 ,0 1 ,0 1 A． ÷ B． ÷ C． ,0÷ D． 1,0 è 6 è 3 è 2
【答案】C
r r r r
【分析】将 a - b = 10 两边平方求出 a ×b ，然后由投影向量公式可得.
r r r r
【详解】因为 a = 2, b = 3， a - b = 10 ，
r r 2 r r r r r 3
所以 a - b ar r= 2 - 2a ×b + b 2 = 22 r- 2a ×b + 32 =10，得 a ×b = ，
2
r r r r
3
a ×b r r 1 1
所以向量 a 在向量b 方向上的投影向量为 r 2 ×b =
2 b = 3,0 =
9 6
,0 .
b è 2
÷

故选：C
r r r r 1 r r r
3．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知平面向量 a与b 满足： a在b 方向上的投影向量为 b ，b 在 a方向上4
r r r
的投影向量为 a，且 a = 2，则 b = （ ）
A． 3 B． 2 C． 2 3 D． 4
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，即可求解.
r r r r
r r r a
r
×b b 1 r a ×b 1
【详解】 a在b 方向上的投影向量为 a r r r = ba b b 4 ，即
r 2 = 4 ，①b
r r r r r rr r a ×b a r a ×b
b 在 a方向上的投影向量为 b r r ar
= a
a b ，即 ar 2
=1，②
ar 2 1 r r
由①②得 r 2 = 4 ，又 a = 2，所以 b = 4 .b
故选：D
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur AB AC uuur AB AC 1
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知非零向量 AB 与 AC 满足 uuur + uuur ÷ × BC = 0，且 uuur × uuur = AB AC ÷ AB AC 2
，则向
è
uuur uuur
量CA在向量CB上的投影向量为（ ）
3 uuur 1 uuur uuur uuur
A． CB B． CB
3 1
C．- CB D．- CB
2 2 2 2
【答案】B
【分析】根据给定条件，确定VABC 的形状，再利用投影向量的意义求解作答
uuur uuur
uAuB
AC
ur uuur uuur
uuur
【详解】因为 和 分别表示向量 AB 和向量 AC 方向上的单位向量，
| AB | AC
uuur uuurAB AC uuur
由 uuur + uuur ÷ × BC = 0，可得 A的角平分线与BC 垂直，

è AB AC
÷

所以VABC 为等腰三角形，且 AB = AC ，
uuur uuur uuur uuur
AB AC 1 AB AC uuur uuur 1 uuur uuur
又 uuur × uuur = uuur × uuur ×cos AB,AC = cos AB, AC
1
=
AB AC 2 ，得 ，所以 ，AB AC 2 2
uuur uuur uuur uuur
又 AB, AC 0, π π，所以 A = AB,AC = ,
3
所以VABC 为等边三角形，
1 uuur
uuur uuur uuur uuur uuur | CB |2 uuur uuur
所以向量CA在向量CB上的投影向量为 CBuu×urCA CuuBur 2 uuur CB 1× = × = CB ，
CB CB | CB |2 2
故选：B.
r 2er r r1．（23-24 高三下·湖北·开学考试）已知 e 是单位向量，且 - a = 10, a + 2er er r r在 上的投影向量为5e ，则 a
r
与 e 的夹角为（ ）
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】B
【分析】根据 2e
r ar- = 10, r r r r，推理得到a 2 - 4ar er× = 6，再由投影向量求得 a ×e = 3，联立得到 a = 3 2 ，利
用两向量的夹角公式计算即得.
r
【详解】因为 e 是单位向量，且 2e
r ar- = 10 ，
r r r r
两边平方得，4e 2 - 4a × e + a 2 10 ar2 4ar er= ，即 - × = 6（*），
ar 2err r r r +
r
×e
er 5er由 a + 2e 在 e 上的投影向量为5e ，可得 r 2 × = ，e
r r r r r r r
所以 a + 2e ×e = 5，即 a ×e = 3，代入（*）可得，a2 =18，即 a = 3 2 ，
r r
所以 cosa
r,er a ×e 3 2= = = ，
ar er 3 2 2
r
因为 a,e
r
0, π ar,er π，所以 = ．
4
故选：B．
r r r r r r r r r2．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 a，b 满足 a = b = a + b ，则a + 2b 在b 方向上的投影向量为（ ）
r 3 r rb 1
r
A． 2b B． C．b D． b2 2
【答案】B
r r 1 r 2
【分析】利用向量的模长关系可得 a ×b = - b ，再由投影向量的定义即可求出结果.
2
r r r r 2 r 2
【详解】根据题意 a = b = a
r
+ b r 2 r可得 a = b = a + b ，
2 ar 2 cos ar
r r
所以 ,b a
r
+ 2 = 0，则 cos a
r,b 1= -
2
ar
r r 2
所以 ×b
1 r 1
= - a 2 = - b ，
2 2
r r r r r 1 r 22
r r r a + 2b ×b r a
r
×b + 2 b r - + 2÷ b r r
则a + 2b 在b 方向上的投影向量为 3r 2 b = è 2 r b = r b = b .2 2
b b b 2
故选：B
r r
3．（2024·全国·模拟预测）已知向量 a = 2,m ，b = r rn,1 ， c = m +1, r r-1 ar r r r，若 ^ b ，b //c ，则b 在 a + c 上
的投影向量为（ ）
1,3 10 3 10 1 , 3 1 , 3- A． B． - ,5 5 ÷÷ C． - ÷ D． - ÷è è 5 5 è 5 5
【答案】D
r r r
【分析】根据已知条件求得m, n的值, 得到b 和 a + c 的坐标，即可利用投影向量的公式进行求解.
r r r
【详解】由 a ^ b 得m + 2n = 0 .由b / /cr 得m + n +1 = 0 .所以m = -2, n =1.
r r
所以b = 1,1 ,ar r+ c = 1,-3 ，所以b 在 ar cr+ 上的投影向量为
r
b × ar + cr ar cr 1- 3r r 2 × + = 2 1, -3
1 3= - ,

，
a + c 12 + -3 è 5 5 ÷
故选:D.
4．（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD, AC 与BD交于点O，则向
uuur uuur
量BO在向量BA上的投影向量为（ ）
1 uuur 1 uuurBA BA 2
uuur 3 uuur
A． B． C． BA D． BA
2 3 3 4
【答案】C
【分析】过O作OE ^ AB于E ，利用向量数量积的定义及投影向量的意义求解即得.
【详解】在直角梯形 ABCD中， AD / /BC 且BC = 2AD, AB ^ AD，过O作OE ^ AB于E ，
BE BO BC BE BE 2 2
则OE / / AD / /BC ，故 = = = 2 = = =EA OD AD ，从而 BA BE + EA 2 +1 3 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因此BO × BA =| BO || BA | cos OBE =| BE || BA |
2
= | BA |2 ，
3
uuur uuur
uuur uuur BO × BA uuur uuur
所以向量BO在向量BA上的投影向量为 uuur BA
2
= BA .
| BA |2 3
故选：C
uuur uuur
5．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 xOy 中，OA = 1, 3 ，点 B 在直线 x + 3y - 2 = 0上，则OB
uuur
在OA上的投影向量为（ ）
1 3 1 3
A． 1, 3 B． 1,3 C． , ÷÷ D． , ÷
è 2 2 è 2 2
【答案】C
【分析】根据题意，设点B 2 - 3m, m ，根据投影向量的公式求解.
uuur
【详解】根据题意，设点B 2 - 3m, m ，则OB = 2 - 3m, m ，
uuur uuur
则OB 在OA上的投影向量为
uuur uuur uuur
OAuu×urOB OA
1 2 - 3m + 3m
× uuur 1 1 3= 1, 3 = ,2 2 2 2 ÷OA OA ÷ .è
故选：C
考点七、数量积范围的综合问题
r r r r r r r r r
1 2．（湖南·高考真题）设 a,b均是非零向量，且 a = 2 b ，若关于 x 的方程 x + a x + a ×b = 0有实根，则 a 与b
的夹角的取值范围为（　　）
é
A． ê0 ,
π ù é π ù é π 2π ù é π ù
B．
6 ú ê
, πú C． ê , ú D． ê , π3 3 3 6 ú
【答案】B
r r r r 2
x2 + a x + a ×b = 0 r r a
r r
【分析】由 有实根，可得 a ×b ，再结合向量的夹角公式和 a = 2 b 可求得
4
r r
cos a,b 1 ，从而可求出两向量的夹角范围.
2
r r r
2
【详解】因为关于 x 的方程 x + a x + a ×b = 0有实根，
r r r r 22
所以 a - 4a ×b 0 r r a，所以 a ×b ，
4
r r r r
因为 a,b均是非零向量，且 a = 2 b ，
r 2 r 2
r r r r a 4 b
所以 cos a,b = r
a ×br r r 1= r 2 = ，a × b 4 a × b 8 b 2
r r
因为 a,b 0, π ，
r r
a,b é π所以 ê , π
ù
，
3 ú
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）在VABC 中， AC = 3, BC = 4, C = 90°．P 为VABC 所在平面内的动点，且
uuur uuur
PC = 1，则PA × PB 的取值范围是（ ）
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
【答案】D
P cosθ,sin θ uuur uuur【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C 0,0 ， A 3,0 ，B 0,4 ，
因为PC = 1，所以 P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，
设P cosθ,sin θ ， 0,2 ，
uuur uuur
所以PA = 3 - cos , -sin ，PB = -cos , 4 - sin ，
uuur uuur
所以PA × PB = -cos 3 - cos + 4 - sin -sin
= cos2 - 3cos - 4sin + sin2
=1- 3cos - 4sin
=1- 5sin +j ，其中 sinj 3 cosj 4= =5 ， 5 ，
uuur uuur
因为-1 sin +j 1，所以-4 1- 5sin +j 6 ，即PA × PB -4,6 ；
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）已知eO 的半径为 1，直线 PA 与eO 相切于点 A，直线 PB 与eO 交于 B，C 两点，
uuur uuur
D 为 BC 的中点，若 PO = 2 ，则PA× PD的最大值为（ ）
A 1+ 2 B 1+ 2 2． ．
2 2
C．1+ 2 D． 2 + 2
【答案】A
uuur uuur
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得PA× PD
1 2
= - sin 2a -
uuur uuur 1 2 uuur uuur
÷ ，或PA× PD = + sin 2a + ÷然后结合三角函数的性质即可确定2 2 4 2 2 4 PA× PD
的最大值.
è è
π
【详解】如图所示， OA =1, OP = 2 ，则由题意可知: APO = ，
4
由勾股定理可得 PA = OP2 - OA2 =1
当点 A, D位于直线PO异侧时或 PB 为直径时，设 OPC = a ,0 a

< ，
4
uuur uuur uuur uuur
则：PA× PD =| PA | × | PD | cos

a

+
è 4 ÷
=1 2 cosa cos a +

÷
è 4

= 2 cosa 2 cosa
2
- sina
è 2 2 ÷
÷

= cos2 a - sina cosa
1+ cos 2a 1
= - sin 2a
2 2
1 2
= - sin 2a -
2 2 4 ֏
0 a < ，则- 2a - <
4 4 4 4
\ 2a π π
uuur uuur
当 - = - 时，PA× PD有最大值1.4 4
当点 A, D

位于直线PO同侧时，设 OPCa ,0 < a < ，
4
uuur uuur uuur uuur
则：PA× PD =| PA | × | PD | cos
a -
è 4 ÷
=1 2 cosa cos a -

4 ֏

= 2 cosa 2 cosa
2
+ sina
è 2 2 ÷
÷

= cos2 a + sina cosa
1+ cos 2a 1
= + sin 2a
2 2
1 2
= + sin 2a + ÷，2 2 è 4
0 a 2a 3 < ，则 + <
4 4 4 4
uuur uuur\ 2a + = 1+ 2当 时，PA× PD有最大值 .4 2 2
uuur uuur 1+ 2
综上可得，PA× PD的最大值为 .
2
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
r r r r r r r r
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 a = b = 2， c =1， a - c × b - c = 0 r，则 a - b 的取值范围是（ ）
é ù
A． é 6 -1, 6 +1ù
7 -1, 7 +1 B． ê 2 2 ú
é
é 7 1, 7 1ù 6 -1, 6 +1
ù
C． - + D． ê
2 2
ú

【答案】C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由CA ^ CB想到构造矩形 ACBD，运用极
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur
化恒等式推导出结论 OA + OB = OC + OD ，求得 |OD| ,最后用三角形三边关系定理得到 | CD |的范围，
转化即得.
【详解】
r uuur r uuur r uuur
如图，设 a = OA，b = OB， c = OC ，点C 在圆 x2 + y2 =1上，
r
点 A, B在圆 x2
uuur r uuur r r r
+ y2 = 4 r r上，则 a - c = CA，b - cr = CB ，由 a - c × b - c = 0 可得：CA ^ CB，
r r uuur uuur uuur
作矩形 ACBD , 则 | a - b |=|OA - OB |=| BA | .
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur 2
下证： OA + OB = OC + OD .
uuur uuur uuur
AB,CD uuur uuur uuur uuur uuur设 交于点 P ，连接OP ,因OA = OP + PA, 2 2 2则 OA = OP + PA + 2OP × PA，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
同理可得：OB = OP + PB + 2OP × PB ，两式左右分别相加得：
uuur2 uuur2 uuur
uuur2 uuur2
2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
OA 1 BA+ OB = 2OP + PA + PB = 2OP + BA = 2(OP + ) = 2(OP DC+ )，
2 4 4
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
= 2[(OC + OD )2 (OC - OD+ )2 ] 2 2 .
2 2 = OC + OD
ar 2
r 2 r uuur 2 uuur
即 + b = c 2 + OD ，故 |OD |= 4 + 4 -1 = 7 .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r uuur
又 CD - OC OD OC + CD ，因 | CD |=| BA |=| a - b |， | OC |= 1
r r r r r r
即 | a - b | -1 7 1+ | a - b |，故有 a - b é 7 -1, 7 +1ù ．
故选:C．
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量的线性运算的模长范围问题，属于较难题.
处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：
（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；
（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；
（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.
1．（2024· 2河北唐山·二模）已知圆C ： x2 + y - 3 = 4 ，过点 0,4 的直线 l与 x 轴交于点 P ，与圆C 交于A ，
uuur uuur uuurB 两点，则CP × CA + CB 的取值范围是（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,2 D． 0,2
【答案】D
uuur uuur uuur
【分析】作出线段 AB 的中点D，将CA + CB转化为 2CD ，利用垂径定理，由图化简得
uuur uuur uuur uuur 2 uuurCP × CA + CB = 2 | CD | ，只需求 | CD |的范围即可，故又转化成求过点M (0 , 4 ) 的弦 AB 长的范围问题.
【详解】
如图，取线段 AB 的中点D，连接CD ，则CD ^ AB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur由CP × CA + CB = 2CP ×CD = 2(CD + DP) ×CD = 2 | CD |2 ，
因直线 l经过点M (0 , 4 ) ，考虑临界情况，
当线段 AB 中点D与点M 重合时（此时CM ^ AB），弦长 AB 最小，此时CD 最长，
为 | CD |max =| CM |= 4 - 3 = 1，（但此时直线 l与 x 轴平行，点 P 不存在）；
当线段 AB 中点D与点C 重合时，点 P 与点O重合，CD 最短为 0（此时符合题意）.
uuur uuur uuur
故CP × CA + CB 的范围为[0, 2) .
故选：D.
uuur uuur uuur
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆C 的弦 AB 想到取其中点D，将CA + CB转化为 2CD ，利
uuur uuur
用垂径定理，将所求式转化成2 | CD |2 ，而求 | CD |范围即求弦 AB 的长的范围即可.
uuur
2．（2024·天津河北·二模）VABC 是等腰直角三角形，其中 AB ^ AC∣, AB∣=1， P 是VABC 所在平面内的一点，
uuur uuur uuur uuur uuur
若CP = lCA + mCB （l 0, m 0 且l + 2m = 2），则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是（ ）
2 ù é 2 ù
A． 0, ú B． ê ,1ú C． é 1, 2 ù D． é 2, 2ùè 2 2
【答案】B
【分析】根据向量共线定理的推论，投影向量的概念，数形结合，即可求解．
uuur uur uuur uuur uuur
【详解】设CQ = 2CA，CP = lCA + mCB （l 0, m 0 且l + 2m = 2），
uuur
CP l
uuur uuur
则 = CQ + mCB
l
（l 0，m 0且 + m =1），
2 2
则 P 在线段QB 上，如图所示，
uuur uuur
当 P 与Q重合时，CA在CP上的投影向量的长度取得最大值，最大值为 | CA |=1；
uuur uuur
当 P 与 B 重合时，CA在CP 1 2上的投影向量的长度取得最小值，最大值为 | CB |= ；
2 2
uuur uuur é 2 ù
则CA在CP上的投影向量的长度的取值范围是 ê ,12 ú ．
故选：B.
r r r r r r r
3．（2024· · ar,b ,cr全国 模拟预测）已知 为单位向量，且 3a - 5b = 7 ，则 2a - c + b - 2c 的最小值为（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D．6
【答案】B
r r r
【分析】由 3a
r
- 5b r r= 7 ，得 a ×b
1
= - ，可得 a - b = 3 ，由
2
2ar r
r r r
- c + b - 2cr = 2ar - cr r r+ 2b - c 2a - 2b = 2 3 ，当等号成立时可得最小值.
r r r r r r
【详解】 a,b ,cr r r为单位向量，有 a = b = c =1，得 a2 = b 2 = c 2 =1，
r
3ar - 5b = 7 3ar r 2 r r r r由 ，得 - 5b = 9a2 - 30a ×b + 25b 2 = 49，
ar
r r
有 ×b
1 ar= - ，所以 ,b
2π
= ，
2 3
r
ar b ar r- = - b 2 r r r r= a2 - 2a ×b + b 2 = 3 ，
r
b cr
r
= =1 b ,cr r
r r r r r
， = c,b ，有 b - 2c = 2b - c ，
r r r
则 2a
r r
- c + b - 2cr 2ar cr 2b r r= - + - c 2a - 2b = 2 3 ，
r r r
当且仅当 2a - c 与 2b cr- 方向相反时“ = ”成立，
r r a 1,0 ,b 1 3
r 1 3
如取 = = - , ÷÷ ,c = , ÷÷时，可使“ = ”成立.
è 2 2 è 2 2
r r r2a c b 2cr所以 - + - = 2 3 .
min
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
r r r r r
本题关键点是由已知条件得 b - 2c
r 2b cr r r r r r r r= - ，这样就能得到 2a - c + b - 2c = 2a - c + 2b - c 2a - 2b .
x2 y24 2024· · - =1 P eC : (x + 4)2．（ 山东日照 一模）过双曲线 的右支上一点 ，分别向 1 + y
2 = 3和
4 12
uuuur uuur uuuur
eC2 : (x - 4)
2 + y2 =1作切线，切点分别为 M，N，则 PM + PN × NM 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
x2 y2
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线 - =1的左右焦点为 F1 -4,0 ， F2 4,0 ，连接 PF1， PF2 ，4 12
F1M ， F2 N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求
值．
x2 y2
【详解】由双曲线方程 - =1可知： a = 2,b = 2 3,c = a2 + b2 = 4，
4 12
可知双曲线方程的左、右焦点分别为F1 -4,0 ，F2 4,0 ，
2
圆C1 : x + 4 + y2 = 3的圆心为C1 -4,0 （即F1），半径为 r1 = 3 ；
圆C2 : x - 4
2 + y2 =1的圆心为C2 4,0 （即F2 ），半径为 r2 =1．
连接PF1，PF2 ，F1M ， F2 N ，则MF1 ^ PM , NF2 ^ PN ，
可得 uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 2 uuur 2PM + PN × NM = PM + PN × PM - PN = PM - PN = PF 2 - r2 - PF 2 21 1 2 - r2
= PF 2 21 - 3 - PF2 -1 = PF 2 21 - PF2 - 2= PF1 - PF2 × PF1 + PF2 - 2
= 2a PF1 + PF2 - 2 2a × 2c - 2 = 2 2 2 4 - 2 = 30，
当且仅当 P 为双曲线的右顶点时，取得等号，即 uuuur uuur uuuurPM + PN × NM 的最小值为 30.
故选：C.
uuuur uuur uuuur uuuur 2 uuur 2【点睛】关键点点睛：根据数量积的运算律可得 PM + PN × NM = PM - PN ，结合双曲线的定义整理得
uuuur uuur uuuurPM + PN × NM = 2a PF1 + PF2 - 2，结合几何性质分析求解.
一、单选题 r r r
1．（2024·重庆· r三模）已知向量a = (3,1),b = ( r r-2, x)，若 a ^ (a + b)，则 | b |=（ ）
A．2 B．3 C． 2 5 D 2 10．
3
【答案】C
r r
【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量 x 即可求得b ，进而得 | b | .
r r
【详解】因为 a + b = 1,1+ x ，
r r r r
所以 a × a + b = 3+ 1+ x = 0， x = -4 ，故b = (-2,-4)，
r
所以 b = (-2)2 + (-4)2 = 2 5 .
故选：C.
r r
2．（2024·北京大兴·三模）已知平面向量a = 1,m ，b = 2, -2m ，则下列结论一定错误的是（ ）
r r r r r r r
A． a//b B． a ^ b C． b = 2 a D． a
r
- b = 1, -3m
【答案】D
r r
【分析】根据向量共线的坐标表示求出参数m 的值，即可判断 A；根据 a ×b = 0 及数量积的坐标表示求出m ，
r r
即可判断 B；表示出 a ， b ，即可判断 C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断 D.
r r
【详解】对于 A：若 a//b ，则1 -2m = 2m ，解得m = 0，故 A 正确；
r r r r
对于 B：若 a ^ b，则 a ×b =1 2 - 2m2 = 0，解得m = ±1，故 B 正确；
r r
对于 C 2 2：因为 a = 1+ m ， b = 22 + -2m = 4 + 4m2 = 2 1+ m2 ，
r r
显然 b = 2 a ，故 C 正确；
r r
对于 D： a - b = 1,m - 2, -2m = -1,3m ，故 D 错误.
故选：D
r r r r r r r
3．（2024·黑龙江·模拟预测）已知向量 | a |= 3,| a - b |=| a + 2b |，则 | a + b |=（ ）
A． 3 B．2 C． 5 D．3
【答案】D
r r r r r r r r r
【分析】对 | a - b |=| a + 2b | 2两边平方化简可得b + 2a ×b = 0，再对 | a + b |平方化简后再开方即可.
r r r r r r r r r r r r
【详解】由 | a - b |=| a + 2b | 2 2 2 2两边平方得， a + b - 2a ×b = a + 4b + 4a ×b ，
r2 r r
所以b + 2a ×b = 0，
r r r
| a + b |2 = 2
r2 r r r
所以 a + b + 2a ×b =| a |2 = 9，
r r
所以 | a + b |= 3，
故选：D.
r r r r
4．（2024·湖南·模拟预测）已知平面向量 a = -1,2 ，b = 3,4 ，则 a 在b 上的投影向量为（ ）
3 4 3 4 1 1 1 1
A． - ,- ÷ B． , ÷ C． - , - D． ,
è 5 5 ÷ ÷ è 5 5 è 4 3 è 4 3
【答案】B
【分析】根据向量在向量上的投影向量的定义求解即可.
r r
【详解】设 a 与b 的夹角为 ，
r
a cos r rr r × r rb a ×b 5 3 4 则 a 在b 上的投影向量为 r g = r 2 gb = 3,4 =b 25
,
b è 5 5
÷ .

故选：B.
r r r r r r r r r
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量 a,b为单位向量， | c |= 3 且 a + b + c = 0 ，则 a 与b 的夹角为（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】C
r r
【分析】利用转化法求得 a ×b ，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.
r r r r r r r r r
【详解】因为向量 a,b均为单位向量，即 | a |=| b |= 1，且 a + b + c = 0 ， | c |= 3 ，
r r r r r r r r
则 a + b = -c，两边平方可得 | a |2 + | b |2 +2a ×b =| c |2 ，
r r r r r r r r r r
即 2a ×b =1，所以 a ×b =| a | × | b | ×cosáa,b = cos
1
áa,b = ，
2
r r r r π
又0 áa,b π ，所以 a 与b 的夹角为 ．3
故选：C．
r r r r r r
6．（2024· · ar陕西安康 模拟预测）若平面向量 ,b 满足 a = 2, b = 1, a + b = 5 r，则向量 a,b 夹角的余弦值为
（ ）
A 2 B 2 C 1
1
． ．- ． 2 D．-2 2 2
【答案】A
r r
【分析】根据已知条件，将 a + b = 5 两边同时平方，即可求解.
r r
【详解】设向量 a,b 夹角为 ，
ar
r
+ b = 5 r r r两边平方得则 a2 + b 2 2ar+ ×b = 5，
r
又 a
r
= 2, b =1，
2
即2 +1+ 2 2 1 cos = 5，解得 cos = .
2
故选：A.
uuur uuur uuur
7．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 ABCD中 A = 45o , AB =1, AD = 2 ，若 AP = AB + xAD x R ,
uuur
则 AP 的最小值为（ ）
A 1 B 2． 2 ． C．1 D． 22
【答案】B
uuur
【分析】利用平面向量的数量积的运算律，求出 | AP |2 的表达式，利用二次函数的最值即得.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由 AP = AB + xAD 可得 | AP |2 = (AB + xAD)2 =| AB |2 +x2 | AD |2 +2xAB × AD
=1+ 2x2 + 2x 1 2 cos 45o 2x2 1 1 = + 2x +1 = 2(x + )2 + ，
2 2
1 uuur uuur
因 x R ，故 x = - 时， | AP |2
1 2
2 min
= ，即 AP 的最小值为 .
2 2
故选：B．
二、填空题
8．（2024·陕西·模拟预测）如图是某人设计的正八边形八角窗，若 O 是正八边形 ABCDEFGH 的中心，
uuur uuur uuur
AB =1，则 AC ×CD .
2
【答案】
2
【分析】利用向量的加法结合数量积的定义求解.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
【详解】 AC ×CD = AB + BC ×CD = AB ×CD + BC ×CD = 0 +1 1 cos 45o = .2
2
故答案为： .
2
r r r r
9．（2024· r四川内江·模拟预测）已知向量 a = (-4,m)，b = (1, -2)满足 (a - 2b) ^ b ，则 m 的值为 .
【答案】 -7
r r r r r r r
【分析】根据向量坐标运算得 a - 2b = (-6,m + 4) r，结合 (a - 2b) ^ b 得到 (a - 2b) ×b = 0 计算得到答案；
r r r
【详解】根据题意，向量 a - 2b = (-6,m + 4) ，b = (1, -2)，
(ar
r r r r
因为 - 2b) ^ b ，所以 (ar - 2b) ×b = -6 - 2(m + 4) = 0 ，则m = -7 .
故答案为： -7 .
uuur uuur
10．（2024·重庆·三模）已知正方形 ABCD，边长为 1，点 E 是 BC 边上一点，若 BE = 2CE ，则 AE ×CE = .
2
【答案】-
9
uuur uuur uuur uuur
【分析】借助平面向量的三角形法则，用 AB, AC 作为基底，分别表示 AE,CE 向量，然后用平面向量的线性
运算和数量积即可得解.
uuur uuur uuur uuur 2 uuur
【详解】因为在单位正方形 ABCD，点E 是BC 边上一点，又 BE = 2CE ，所以 AE = AB + BE = AB + BC ，
3
uuur 1 uuurCE = - BC ，
3
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur2
所以 AE ×CE = AB + BC × - BC = - AB × BC
2 2
- BC = - .
è 3 ÷ 3 ÷ è 3 9 9
2
故答案为：-
9
一、单选题
r r r r 1 r r r r
1．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量 a ，b 满足 a = b ，且 t = 时， a - tb 取得最小值，则 a,b =2
（ ）
π π 2π
A．0 B． C． D．
3 2 3
【答案】B
uuur r uuur r
【分析】设OA = a，OB = b，根据向量减法的几何意义，可得线段 OB 的中点 C 满足 AC ^ OA ，即可求得
r r
a ，b 的夹角.
uuur r uuur r r r
【详解】设OA = a，OB = b，则 a - tb 为直线 OB 上的点 C 与点 A 之间的距离，
r r
由 t
1
= 时， a - tb 取得最小值，得 C 为线段 OB 的中点且 AC ^ OA ，
2
r r r r π
由于 a = b ，所以 áa,b = AOC = .
3
故选：B
uuur uuur uuur
2．（2024·天津北辰·三模）在VABC 中， AB = 2 2 ，O为VABC 外心，且 AO × AC = 1，则 ABC 的最大值
为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】
uuur uuur 1 uuur
根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得 AO 在 AC 方向上的投影向量为 AC ，从而求得2
uuur
AC = 2 ，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值．
【详解】
uuur uuur 1 uuur
由 O 为△ABC 外心，可得 AO 在 AC 方向上的投影向量为 AC ，2
uuur uuur uuur2 uuur
则 AO × AC
1
= AC = 1，故 AC = 2 ，
2
uuur uuur
又 AB = 2 2 ，设 BC = a，
22 2 + a2 2- 2 2
则 cos ABC 6 + a = =
2 2 2a 4 2a
3 a 3 a 3
= + 2 = ，
2 2a 4 2 2 2a 4 2 2
当且仅当 a = 6 时等号成立，
由0°＜ ABC＜180°可知，0°＜ ABC 30°，
故 ABC 的最大值为30°．
故选：A．
3．（2024·四川内江·模拟预测）曲线 C 的方程为 y2 = 4x，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点.设甲：直线 l 与
uuur uuur
过点 (1,0)；乙：OA ×OB = -3（O 为坐标原点），则（ ）
A．甲是乙的必要不充分条件 B．甲是乙的充分不必要条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用巧设的直线与抛物线联立方程组，用坐标运算来研究向量积，再分析充要关系，即可得解.
【详解】因为直线 AB 的斜率不可能为 0，所以可设直线 AB 的方程为 x = my + n ，
y2
与抛物线 y2 = 4x联立，消去 x 得： = my + n y2 - 4my - 4n = 0 ，
4
2
A x , y , B x , y y y = -4n x x y
2 y21 2 -4n 再设 ，则 ，所以 21 1 2 2 1 2 ，1 2 = = = n16 16
uuur uuur
由OA ×OB = x1, y1 × x2 , y2 = x1x 22 + y1y2 = n - 4n ，
uuur uuur
当直线 AB 经过点 1,0 时， n =1，则OA ×OB = n2 - 4n = -3，此时甲是乙的充分条件；
uuur uuur
当OA ×OB = n2 - 4n = -3时，解得 n =1或 n = 3，即直线 AB 经过点 1,0 或 3,0 ，此时甲不是乙的必要条件；
故选：B.
r r r r r r r r r
4．（2024· r四川成都·模拟预测）设向量 a，b 满足 a - b ^ a + 2b ，且 2 a = 3 b 0，则 cos < a,b >=（ ）
1 3 1
A．- B
3
．- C． D．
6 8 6 8
【答案】A
r r urr r
r
【分析】根据 (a
r
- b) ar^ + 2b r r r r r r r a·b，得到 a - b · ar + 2b = 0 r 2 2 2 4 2，化简得 a·b = 2b - b = b ，代入 cos a,b = r r3 3 a b
即可.
r r r r r r
【详解】Q向量 a,b 满足 a - b ^ a + 2b ，
ar rb · ar r r r\ - + 2b = 0 , ar2 ar即 + ·b - 2b 2 = 0 ,
r r r r r 9 r r
\a·b = 2b 2 - a2 = 2b 2 1- b 2 = - b 2 ,
4 4
r r 1
r
2
r
cos ar,b a·b
- b 1
\ =
ar
r = 43 r = - ,b b 2 6
2
故选：A.
uuur uuur 1 uuur2 r 1 uuur 2 uuur r 3 uuur 1 uuur
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）在VABC 中，BA × BC = BC ，若a = AB + AC ，b = AB + AC ，
2 3 3 4 4
r 2 uuur 5 uuurc = AB + AC ，则（ ）7 7
r
b cr r
r
a r r r r
r r r r
A． > > B． b > a > c C． a > c > b D． c > a > b
【答案】A
uuur uuur uuur2
【分析】由BA BC
1
× = BC 得出 AB = AC ，再借助平行四边形定则画图可解.
2
uuur uuur 1 uuur2 uuur uuur
【详解】如图，设BC 的中点为D，则BA × BC = BC = BC × BD ，所以
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurBA × BC - BC × BD = BC × BA - BD = BC × DA = 0， AD ^ BC ，则 AB = AC ．
r 1 uuur uuurd AB 3 AC r r
r r
设 = + ，由于 AB = AC 2，则
4 4 d
2 = b ，则 b = d ．
r r r
假如a,d ,c 的起点均为A ，运用加法的平行四边形法作图求和，对角线对应的终点E, F ,G 如图所示，所以
r
b r r> c > a ．
故选：A．
uuur uuur
6．（2024·四川成都·三模）在矩形 ABCD中， AB = 5， AD = 4，点E 满足 2AE = 3EB，在平面 ABCD中，动
uuur uuur uuur uuur
点 P 满足PE × PB = 0，则DP × AC 的最大值为（ ）
A． 41 + 4 B． 41 - 6 C． 2 13 + 4 D． 2 13 - 6
【答案】A
【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.
【详解】以 O 为坐标原点（O是 BE 中点），建立如图所示的直角坐标系，
uuur uuur uuur uuur
因为在矩形 ABCD中， AB = 5， AD = 4， 2AE = 3EB，PE × PB = 0，
所以动点 P 在以 O 为圆心，1 为半径的圆上运动，故设P cos ,sin ，
则 A 0,4 , D 4,4 ,C 4,-1 ,
uuur uuur
DP × AC = cos - 4,sin - 4 × 4,-5 = 4 cos - 4 - 5 sin - 4 = 41cos +j + 4 ，
uuur uuur
其中锐角j 满足 tanj
5
= ，故
4 DP × AC
的最大值为 41 + 4 ,
故选：A.
二、多选题
r r π r r
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量 a ，b 的夹角为 ，且 a =1， b = 2，则（3 ）
ar r rA． - b ^ ar rB． a + b = 7
r r r r2a r
r
C． + b = 2b D 3． a 在b 的方向上的投影向量为 b
4
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可．
r r r r π 1 ar rb ar ar 2 ar r【详解】 a ×b = a b cos =1 2 =1， - × = - ×b =1-1 = 0 ，故 A 正确；3 2
r r 2 r 2 r 2 r r r ra + b = a + b + 2a ×b =1+ 4 + 2 = 7，所以 a + b = 7 ，故 B 正确；
r 2 r 2 r r r
2ar + b = 4 ar 2 r+ b + 4a ×b = 4 + 4 + 4 =12，所以 2a + b = 2 3 ，
r r r r
又因为 2b = 4 ，所以 2a + b 2b ，故 C 错误；
r r r
r a ×b b 1 r
ar在b 上的投影向量为 r × r = bb b 4 ，故 D 错误；
故选：AB．
8．（2024·新疆·三模）已知点O 0,0 ， A 2,1 ，B 1,2 ，P cosa ,sina 0 a < 2π ，则下列结论正确的是
（ ）
π uuur uuur uuur uuur 3π
A．若a = ，则 AB ^ BP B．若 AB∥OP ，则a =2 4
uuur uuur uuur
C．若 AB ×OP
1 24
= - ， sin 2a = D． AP 的最大值为
25 5 +15
【答案】ACD
π uuur uuur uuur uuur
【分析】对于 A，当a = 时，计算 AB × BP = 0 即可；对于 B，由 AB / /OP ，即存在实数l ，使得2
uuur uuur uuur uuur
AB = lOP，计算得 tana = -1即可；对于 C，由 AB ×OP
1 1
= - 得，-cosa + sina = - 两边平方结合二倍角公
5 5
uuur
式即可；对于 D，由向量的模运算得 | AP |= 6 - 2 5 sin(a +j) 即可.
uuur uuur
【详解】由题意可知， AB = (-1,1)，OP = (cosa ,sina )，
a π
uuur
对于 A，当 = 时， P(0,1)，所以BP = (-1, -1) ,
2
uuur uuur uuur uuur
即 AB × BP =1-1 = 0 ，故 AB ^ BP，故 A 正确；
uuur uuur
对于 B，因为 AB / /OP ，
uuur uuur ì-1 = l cosa
所以存在实数l ，使得 AB = lOP，即 í1 ， = l sina
解得 tana = -1，故a
3π a 7π= 或 = ，故 B 错误；
4 4
uuur uuur
对于 C，因为 AB ×OP = -cosa + sina
1
= - ，
5
所以 (-cosa + sina )2
1
= ，解得 sin 2a
24
= ，故 C 正确；
25 25
uuur
对于 D，因为 AP = (cosa - 2,sina -1)，
uuur
所以 | AP |= (cosa - 2)2 + (sina -1)2 = 6 - 4cosa - 2sina
= 6 - 2 5 sin(a +j) ，其中 sinj
2 5 5
= ,cosj = ，
5 5
uuur
所以当 sin(a +j) = -1时， | AP | 2max = 6 + 2 5 = (1+ 5) = 5 +1，故 D 正确.
故选：ACD.
r r r r r r r r r r
9．（2024·广东江门·三模）定义两个非零平面向量的一种新运算a *b =| a || b | ×sináa,b ，其中 áa,b 表示 a,b的
r r
夹角，则对于两个非零平面向量 a,b，下列结论一定成立的有（ ）
r
r r r r r b
A． a 在b 上的投影向量为 | a | sináa,b × r
| b |
r r r r r r
B． (a *b)2 + (a ×b)2 =| a |2 | b |2
r r r r
C．l(a *b) = (la)*b
r r r r
D．若 a *b = 0 ，则 a//b
【答案】BD
【分析】先对新定义进行理解，再结合平面向量数量积的运算逐一判断即可得解．
r r r r r
r
【详解】对于选项 A， a 在b 上的投影向量为 | a | cosáa,b
b
× r ，故选项 A 错误，
| b |
r r r r r r r r r r r r r r
对于选项 B， (a *b)2 + (a ×b)2 = (| a || b | ×sináa,b )2 + (| a || b | ×cosáa,b )2 =| a |2 | b |2 ，故选项 B 正确，
r r r r r r r r r r r r
对于选项 C，l(a *b) = l a b ×sináa,b , (la)*b = l a b ×sináa,b ，
r r r r
显然l < 0 时，l(a *b) = (la)*b不成立，故选项 C 错误，
r r r r r r r r r r
对于选项 D，由 a *b = 0 ，所以 | a || b | ×sináa,b = 0，则 áa,b = 0 ，即 a//b ，故选项 D 正确，
故选：BD．
【点睛】思路点睛：对于向量的新定义的运算需正确理解向量的新定义运算，再结合向量的投影、向量的
运算和向量的平行等进行推理运算即可.
三、填空题 uuur uuur
10．（2024·天津河东·二模）如图所示，正方形 ABCD的边长为 13 ，正方形EFGH 边长为 1，则 AE × AG 的
uuur uuuur
值为 .若在线段 AB 上有一个动点M ，则ME × MG 的最小值为 .
11
【答案】 6
4
uuur uuur uuuur uuur
【分析】易知正方形 ABCD与正方形EFGH 的中心为O，然后将涉及到的向量用 AO,OG 或MO,OG 来表示，
结合数量积的运算律即可求解.
【详解】由已知得正方形 ABCD与正方形EFGH 的中心重合，不妨设为O，
所以 AO 26 2= ，OG = OE = ，
2 2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur
2 2
2
则 AE × AG = AO + OE 26 2× AO + OG = AO + AO × OE + OG - OG = AO - OG = 2 ÷÷ - = 6；è è 2 ÷÷
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuuur uuur uuur uuur2 uuuur2 uuur2 uuuur2ME × MG = MO + OE × MO + OG = MO + MO × OG + OE - OG = MO - OG = MO 1- ，2
13
显然，当M 为 AB 的中点时， MO ＝ ，
min 2
uuur uuuur所以 ME 13 1 11× MG = - =
min 4 2 4
11
故答案为：6； ．
4
r r
1．（2024·北京·高考真题）设 a ，b 是向量，则“ r
r r r r r r ra + b · a - b = 0 ”是“ a = -b或a = b ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
r r r
【分析】根据向量数量积分析可知 ar + b r× a - b = 0等价于 ar = b ，结合充分、必要条件分析判断.
r r r r r r r r【详解】因为 a + b × a - b = a2 - b 2 = 0 r 2 r2，可得 a = b ，即 a = b ，
r r r r r r可知 a + b × a - b = 0等价于 a = b ，
r r r r r r r r r r
若a = b或a = -b，可得 a = b ，即 a + b × a - b = 0，可知必要性成立；
r r r r r r r若 a + b × a - b 0 ar= ，即 = b r r，无法得出a = b或a = -b，
ar
r r
r r r r r例如 = 1,0 ,b = 0,1 ，满足 a = b ，但 a b且 a -b，可知充分性不成立；
r r r r r r r r综上所述，“ a + b × a - b = 0 ”是“ a b且 a -b ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2024·天津·高考真题）在边长为 1 的正方形 ABCD中，点E 为线段CD 的三等分点，
1 uur uur uuur uuur uuurCE = DE, BE = lBA + m BC ，则l + m = ；F 为线段 BE 上的动点，G 为 AF 中点，则 的最小值
2 AF × DG
为 ．
4 5
【答案】 -
3 18
uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur【分析】解法一：以 BA, BC 为基底向量，根据向量的线性运算求 BE ，即可得l + m ，设BF = k BE ，求 AF , DG ，
uuur uuur uuur
结合数量积的运算律求 AF × DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 BE ，即可得l + m ，
uuur uuur
uuur uuur设F a, 1-3a , a é- ,0ùê ú ，求3 AF , DG ，结合数量积的坐标运算求 AF × DG 的最小值.
CE 1
uuur 1 uuur uur uuur uur uur uuur
【详解】解法一：因为 = DE ，即CE = BA BE BC CE
1
，则 = + = BA + BC ，
2 3 3
4
可得l
1
= , m = 1 l + m =
3 ，所以 ；3
uuur uuur uuur uuur
由题意可知： BC = BA =1, BA × BC = 0，
uuur uuur 1 uuur uuur
因为F 为线段 BE 上的动点，设BF = k BE = k BA + k BC, k 0,1 ，
3
uuur uuur uuur uuur uuur
AF AB BF AB k BE 1
uuur uuur
则 = + = + = k -1÷ BA + k BC ，
è 3
uuur uuur uuur uuur 1 uuurDG DA AG BC AF 1 1G = + = - + = k -1
uuur 1 uuur
又因为 为 AF 中点，则 ÷ BA +
k -1 ÷ BC ，2 2 è 3 è 2
uuur uuur é 1 uuur uuurù é1 1 uuurAF × DG = k -1 BA + k BC × k -1 BA + 1
uuur
可得 ê ÷ ú ê k -1 BC
ù
è 3 2
3 ÷ ÷è è 2 ú
1 1
2 1 2
= k -1

÷ + k

k -1
5 6= 3
2 3 2 ÷ 9
k - ÷ - ，
è è è 5 10
uuur uuur 5
又因为 k 0,1 ，可知：当 k =1时， AF × DG 取到最小值- ；18
解法二：以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 A -1,0 , B 0,0 ,C 0,1 , D 1,1 , E 1- - ,1

3 ÷
，
è
uuur uuur uuur
可得BA = -1,0 , BC = 0,1 , BE 1= - ,1

÷ ，
è 3
uuur uuur uuur ì -l
1
= -
因为BE = lBA + m BC
4
= -l, m ，则 í 3 ，所以l + m = ；
m =1
3
é 1 ù é 1 ù
因为点F 在线段BE : y = -3x, x ê- ,0ú 上，设F a,-3a , a ê- ,0 ， 3 3 ú
a -1 3
G 且 为 AF 中点，则G ,- a2 2 ÷，è
uuur uuur
可得 AF = a +1, -3a , DG a +1 3= , - a -1

，
è 2 2 ÷
uuur uuur a +1 2 2
AF 3× DG = + -3a - a -1 2 3则 = 5 a + - ，
2 2 ÷ 5 ÷è è 10
uuur uuur
且 a
1
é- ,0ù a 1 5ê 3 ú，所以当
= - 时， 取到最小值为- ；
3
AF × DG 18
4 5
故答案为： ；- .
3 18
uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur r r
3．（2023·天津·高考真题）在VABC 中，BC =1， A = 60o ， AD = AB,CE = CD ，记 AB ar= , AC b r= ，用 a,b2 2
uuur uuur 1 uuur uuur uuur
表示 AE = ；若BF = BC ，则3 AE × AF
的最大值为 ．
1 r 1 r
【答案】 a + b
13
4 2 24
r uuur
【分析】空 1 r：根据向量的线性运算，结合E 为CD 的中点进行求解；空 2：用 a,b 表示出 AF ，结合上一空
uuur uuur r r
答案，于是 AE × AF 可由 a,b 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
uuur uuur uuur
uuur uuur r ìAE + ED = AD
【详解】空 1：因为E 为CD 的中点，则ED + EC = 0，可得 íuuur uuur uuur ，
AE + EC = AC
uuur uuur uuur
两式相加，可得到 2AE = AD + AC ，
uuur 1 r r uuur r2AE a b AE 1 a 1
r
即 = + ，则 = + b ；
2 4 2
uuur uuur uuur
uuur
BF 1
uuur uuur uuur r ìAF + FC = AC
空 2：因为 = BC ，则
3 2FB + FC = 0
，可得 íuuur uuur uuur ，
AF + FB = AB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur得到 AF + FC + 2 AF + FB = AC + 2AB ，
uuur r r uuur 2 r 1 r
即3AF = 2a + b，即 AF = a + b .3 3
uuur uuur r r r r r 2 r r r2
于是 AE × AF
1 a 1= + b 2 1 1 ÷ ×

a + b

÷ = 2a + 5a ×b + 2b .è 4 2 3 3 12 è
记 AB = x, AC = y，
uuur uuur
AE AF 1
r 2 r r r2 1
则 × = 2a + 5a ×b + 2b = 2x2 + 5xy cos 60o 2y2 1+ = 2x2 5xy + + 2y2 ，12 12 12 2 ÷è
在VABC 中，根据余弦定理：BC 2 = x2 + y2 - 2xy cos 60o = x2 + y2 - xy =1，
uuur uuur
AE × AF 1= 2xy 5xy+ + 2 1 9xy= + 2 于是 ÷ ÷ ，12 è 2 12 è 2
由 x2 + y2 - xy = 1和基本不等式， x2 + y2 - xy =1 2xy - xy = xy ，
故 xy 1，当且仅当 x = y =1取得等号，
则 x = y 1
uuur uuur
= 13时， AE × AF 有最大值 .24
1 r 1 r 13
故答案为： a + b； .
4 2 24
r r ar
r r
b 3 ar b 2ar
r r
4．（2023·全国·高考真题）已知向量 a，b 满足 - = ， + = - b ，则 b = ．
【答案】 3
r r r
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 c = a - b ，结合数量积的运算律
运算求解.
r ra b 2ar
r r r 2 r r 2
【详解】法一：因为 + = - b ，即 a + b = 2a - b ，
r 2 r r r2 r 2 r r r2 r 2 r r
则 a + 2a ×b + b = 4a - 4a ×b + b ，整理得 a - 2a ×b = 0，
r r r r 2
又因为 a - b = 3 ，即 a - b = 3，
r r2 r r r2 r2
则 a - 2a ×b + b = b = 3，所以 b = 3 .
r
c ar
r r r r r r r r r r
法二：设 = - b ，则 c = 3,a + b = c + 2b, 2a - b = 2c + b，
r r 2 r r 2 r r r r r r r r
由题意可得： c + 2b = 2c + b 2 2 2 2，则 c + 4c ×b + 4b = 4c + 4c ×b + b ，
r2 r r r2
整理得： c = b ，即 b = c = 3 .
故答案为： 3 .
r r r r
5．（2023· r r r r北京·高考真题）已知向量 a，b 满足 a + b = (2,3), a - b = (-2,1)，则 | a |2 - | b |2 =（ ）
A．-2 B． -1 C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
r r r r r
【详解】向量 a,b 满足 a + b = (2,3), ar - b = (-2,1)，
r r r r r r
所以 | a |2 - | b |2 = (a + b) × (a - b) = 2 (-2) + 3 1 = -1.
故选：B
v r r
6．（2022· v全国·高考真题）已知向量 a = (m,3),b = (1, m +1) ．若 a ^ b，则m = ．
3
【答案】- / -0.75
4
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
v
【详解】由题意知： av ×b = m + 3(m +1) = 0，解得m
3
= - .
4
3
故答案为：- .
4
r r 1 r r r r r
7．（2022·全国·高考真题）设向量 a，b 的夹角的余弦值为 ，且 a =1， b = 3，则 2a + b ×b = ．3
【答案】11
r r 1 r r
【分析】设 a与b 的夹角为 ，依题意可得 cos = ，再根据数量积的定义求出 a ×b ，最后根据数量积的运3
算律计算可得．
r r r r 1
【详解】解：设 a与b 的夹角为 ，因为 a与b 的夹角的余弦值为 ，即 cos
1
= ，
3 3
r r r r r r
又 a =1， b = 3，所以 a ×b = a × b cos
1
=1 3 =1，
3
r r r r r r2 r r r 2所以 2a + b ×b = 2a ×b + b = 2a ×b + b = 2 1+ 32 =11．
故答案为：11．
r r r r r r r r
8．（2022·全国·高考真题）已知向量 a,b满足 | a |= 1,| b |= 3,| a - 2b |= 3，则 a ×b =（ ）
A．-2 B． -1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
r r∵ | a 2b |2 | ar
r r 2
【详解】解： - = |2 -4ar ×b + 4 b ，
r r
又∵ | ar |=1,| b |= 3,| ar - 2b |= 3,
r
∴9 1 4ar b 4 3 13 4ar
r
= - × + = - ×b ，
r
∴ ar ×b =1
故选：C.
uuur uuur r uuur uuur r uuur
9．（2022· r天津·高考真题）在VABC 中，CA = a,CB = b ，D 是 AC r中点，CB = 2BE ，试用 a,b 表示DE
uuur uuur
为 ，若 AB ^ DE ，则 ACB 的最大值为
3 r 1 r
【答案】 b - a
2 2 6
uuur r r uur uur
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出DE ，以 a,b 为基底，表示出AB, DE ，由 AB ^ DE
r2 r 2 r r
可得3b + a = 4b × a，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点E 为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0), B(1,0),C(3,0), A(x, y)，由 AB ^ DE 可得点A 的轨迹为
以M (-1,0) 为圆心，以 r = 2为半径的圆，方程为 (x +1)2 + y2 = 4，即可根据几何性质可知，当且仅当CA与eM
相切时， C 最大，即求出．
【详解】方法一：
uuur uuur uuur r
DE=CE CD 3 b 1
r
- = - a ，
2 2
uuur uuur uuur r r uuur uuur r r r r
AB = CB - CA = b - a, AB ^ DE (3b - a) × (b - a) = 0，
r r r2 r r r2
r2 r 2 r r cos ACB ar ×br 3b + a
2 3 a b r
3b + a = 4a ×b = = r r r r
3 r
= ，当且仅当 a = 3 b 时取等号，而
a b 4 a b 4 a b 2

0 < ACB < π ，所以 ACB (0, ]．
6
3 r 1 r
故答案为： b - a； ．
2 2 6
方法二：如图所示，建立坐标系：
E(0,0), B(1,0),C(3,0), A(x, y)，
uuur uuur
DE = ( x + 3 , y- - ), AB = (1- x, -y)，
2 2
uuur uuur 2
DE ^ AB x + 3 ( )(x -1) y+ = 0 (x +1)2 + y2 = 4 ，所以点A 的轨迹是以M (-1,0) 为圆心，以 r = 2为半径的
2 2
r 2 1
圆，当且仅当CA与eM 相切时， C 最大，此时 sin C = = = , C = ．
CM 4 2 6
3 r 1 r
故答案为： b - a； ．
2 2 6
r r r r r
10．（2021·全国·高考真题）已知向量a = 1,3 ,b = 3,4 ，若 (a - lb) ^ b ，则l = ．
3
【答案】
5
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
r r r r r
【详解】因为 a - lb = 1,3 - l 3,4 = 1- 3l,3 - 4l ，所以由 a - lb ^ b可得，
3 1- 3l + 4 3- 4l = 0 l 3，解得 = ．
5
3
故答案为： ．
5
r r
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 a = x1, y1 ,b = x2 , y2 ，
r r r r
a ^ b a ×b = 0 x1x2 + y1y2 = 0，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
r r r r r r r r
11．（2021·全国·高考真题）若向量 a,b满足 a = 3, a - b = 5,a ×b = 1，则 b = .
【答案】3 2
r r
【分析】根据题目条件，利用 a - b模的平方可以得出答案
r r
【详解】∵ a - b = 5
r r 2 r 2 r2 r r r 2
∴ a - b = a + b - 2a ×b = 9 + b - 2 = 25
r
∴ b = 3 2 .
故答案为：3 2 .
r r r r r r r
12．（2021·全国·高考真题）已知向量a = 3,1 ,b = 1,0 ,c = a + kb．若 a ^ c ，则 k = ．
10
【答案】- .
3
r
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 c 的坐标，利用向量的数量积为零求得 k 的值
Qar
r r
【详解】 = 3,1 ,b = 1,0 , cr ar\ = + kb = 3+ k,1 ,
Qar cr^ ,\ar r×c = 3 3+ k +1 1 = 0 10，解得 k = - ,
3
10
故答案为：- .
3
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
pr = x1, y1 ,q
r
= x2 , y2 垂直的充分必要条件是其数量积 x1x2 + y1 y2 = 0 .
r r r r r r r r r
13．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 a,b,c，则“ a × c = b × c ”是“ a = b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
uuur r uuur r uuur uuur r r r
如图所示，OA = a,OB = b ,OC cr= , BA ar= - b ,当 AB ^ OC r时， a - b 与 c垂直， ，所以
r r
成立，此时 a b ，
r
∴ 不是 ar = b 的充分条件，
r r r r r
当 a = b 时， a - b = 0 ，∴ r r r r ra - b ×c = 0 ×c = 0 ,∴ 成立，
r
∴ 是 ar = b 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
14．（2021·天津·高考真题）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D 为线段 BC 上的动点，DE ^ AB且交 AB
uuur uuur uuur uuur uuur
于点 E．DF //AB且交 AC 于点 F,则 | 2BE + DF |的值为 ； (DE + DF ) × DA的最小值为 ．
11
【答案】 1
20
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur
【分析】设BE = x ，由 (2BE + DF )2 = 4BE + 4BE × DF + DF 可求出；将 (DE + DF ) × DA化为关于 x 的关系式
即可求出最值.
x 0, 1 【详解】设BE = x ， ÷，QVABC 为边长为 1 的等边三角形，DE ^ AB，
è 2
\ BDE = 30o , BD = 2x, DE = 3x, DC =1- 2x ，
Q DF //AB，\VDFC 为边长为1- 2x的等边三角形，DE ^ DF ，
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2
\(2BE + DF )2 = 4BE + 4BE × DF + DF = 4x2 + 4x(1- 2x) cos 0o + (1- 2x)2 =1，
uuur uuur
\| 2BE + DF |=1，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
Q(DE + DF ) × DA = (DE + DF ) × (DE + EA) = DE + DF × EA
2
= ( 3x)2 + (1- 2x) (1- x) 3 11= 5x2 - 3x +1 = 5 x - ÷ + ，
è 10 20
3 uuur uuur uuur 11
所以当 x = 时， (DE + DF ) × DA的最小值为 .
10 20
11
故答案为：1； .
20
r r r r r r r r r r r r r
15．（2021·全国·高考真题）已知向量 a + b + c = 0 ， a =1， b = c = 2， a ×b + b ×c + c × a = ．
9
【答案】 - 2
【分析】由已知可得 r r r 2a + b + c = 0，展开化简后可得结果.
r r r 2 r 2 r2 r2 r r r r r r r r r r r r【详解】由已知可得 a + b + c = a + b + c + 2 a ×b + b ×c + c × a = 9 + 2 a ×b + b ×c + c ×a = 0，
r r r r r r
因此， a ×b + b ×c + c × a
9
= - .
2
9
故答案为： - .2
r r r r r r r r r r r r ur r r
16．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 a,b,c, (c 0)满足 a = 1, b = 2,a ×b = 0, a - b × c = 0 .记向量 d 在 a,b
ur r r
方向上的投影分别为 x，y，d - a 在 c方向上的投影为 z，则 x2 + y2 + z2 的最小值为 .
2
【答案】
5
r r r
【分析】设 a = (1,0),b = (0，2),c = (m,n) ，由平面向量的知识可得 2x + y - 5z = 2，再结合柯西不等式即可得
解.
r r
【详解】由题意，设 a = (1,0),b (0 2),cr= ， = (m,n) ，
r r r
则 a - b ×c = m - 2n = 0，即m = 2n，
ur r r ur
又向量 d 在 a,b方向上的投影分别为 x，y，所以 d = x, y ，
ur r
ur r r (d - a) ×cr m x -1 + ny 2x - 2 + y
所以d - a 在 c方向上的投影 z = r = = ，| c | m2 + n2 ± 5
即 2x + y m 5z = 2 ,
x2 y2 z2 1
2
+ + = é 2 2 ù 2 2 2
1 2 2
所以 ê2 +1 + ± 5 ú x + y + z 2x + y m 5z = ，10 10 5
ì
x
2
=
ì x y z 5
= = 1
当且仅当 í 2 1 m 5 即 í y = 5 时，等号成立，
2x + y m 5z = 2


z = m
5
5
所以 x2 + y2
2
+ z2 的最小值为 .
5
2
故答案为： .
5
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 x, y, z之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小值.
17．（2021·全国·高考真题）（多选）已知O为坐标原点，点P1 cosa ,sina ，P2 cos b , -sin b ，
P3 cos a + b ,sin a + b ， A(1,0)，则（ ）
uuur uuur uuur uuur
A． OP1 = OP2 B． AP1 = AP2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
C．OA ×OP3 = OP1 ×OP2 D．OA ×OP1 = OP2 ×OP3
【答案】AC
uuur uuur uuur uuur
【分析】A、B 写出OP1 ，OP2 、 AP1 ， AP2 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D 根据向量的坐
标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
uuur uuur uuur
【详解】A：OP1 = (cosa ,sina )，OP2 = (cos b , -sin b )，所以 | OP1 |= cos
2 a + sin2 a =1，
uuur uuur uuur
| OP2 |= (cos b )
2 + (-sin b )2 =1，故 | OP1 |=| OP2 |，正确；
uuur uuur
B： AP1 = (cosa -1,sina )， AP2 = (cos b -1, -sin b )，所以
uuur
| AP |= (cosa -1)2 + sin21 a = cos
2 a - 2cosa +1+ sin2 a 2(1 cosa ) a a= - = 4sin2 = 2 | sin |，同理
2 2
uuur uuur uuur
| AP2 |= (cos b -1)
2 + sin2 b = 2 | sin b |，故 | AP1 |,| AP2 |不一定相等，错误；2
uuur uuur
C：由题意得：OA ×OP3 =1 cos(a + b ) + 0 sin(a + b ) = cos(a + b )，
uuur uuur
OP1 ×OP2 = cosa ×cos b + sina × (-sin b ) = cos(a + b )，正确；
uuur uuur uuur uuur
D：由题意得：OA ×OP1 =1 cosa + 0 sina = cosa ，OP2 ×OP3 = cos b cos(a + b ) + (-sin b ) sin(a + b )
uuur uuur uuur uuur
= cos β + α + β = cos α + 2β ，故一般来说OA ×OP1 OP2 ×OP3 故错误；
故选：AC
r r r r
18．（2020·全国·高考真题）设向量 a = (1, -1),b = (m +1,2m - 4)，若 a ^ b，则m = .
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所

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