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第 02 讲 幂函数与二次函数
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 1 题,5 分 解三次不等式 交集的概念及计算
2023 年新 I 卷，第 1 题,5 分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算
二次函数单调区间求参数值 函数的单调性求参数值
2023 年新 I 卷，第 4 题,5 分
或范围 判断指数型复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本
性质，难度中等偏下
1
【备考策略】1. 2掌握幂函数的定义及一般形式，掌握 y x, y x , y x3 , y x 1 1 , y x 2 x 的图象
x
和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3. 理解并掌握幂函数 y x ，
q
0 的单调性和奇偶性
p
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
1. 幂函数
（1）幂函数的定义及一般形式

形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数
（2）幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
＞0时，f x 在第一象限单调递增f x x
＜0时，f x 在第一象限单调递减
②幂函数的奇偶性
为偶数，f x 为偶函数
为整数
为奇数，f x 为奇函数
f x x p为偶数时，f x 为非奇非偶函数
q 为分数，设 q为奇数，f x 为奇函数 p p为奇数时 q为偶数，f x 为偶函数
2. 一元二次方程：
ax2 + bx + c 0(a 0)
2
①方程有两个实数根 D b 4ac 0
D > 0

②方程有同号两根 x x c
> 0
1 2 a
D > 0

③方程有异号两根 c
x1x2 < 0 a
b c
④韦达定理及应用： x1 + x2 , x xa 1 2

a
2
x2 2 2 D b 4ac1 + x2 (x1 + x2 ) 2x x
2
1 2 , x1 x2 (x1 + x2 ) 4x1x2 a a
x3 + x3 2 2 21 2 (x1 + x2 )(x1 x1x2 + x2 ) (x1 + x2 ) é(x1 + x2 ) 3x1x2 ù
3. 二次函数
2
2
①一般式： y ax + bx + c a(x b 4ac b+ )2 + ( a 0 b )，对称轴是 x ,
2a 4a 2a
b , 4ac b
2
顶点是（－ ) ；
2a 4a
②顶点式： y a(x + m)2 + k ( a 0 )，对称轴是 x m,顶点是 m , k ；
③交点式： y a(x x1)(x x2 ) ( a 0 )，其中（ x1,0），（ x2 ,0）是抛物线与 x 轴的交点
4. 二次函数的性质
①函数 y ax2 + bx + c(a 0) b的图象关于直线 x 对称。
2a
② a b b> 0时，在对称轴 （ x ）左侧， y 值随 x 值的增大而减少；在对称轴（ x ）右侧； y
2a 2a
2
的值随 x 值的增大而增大。当 x b 4ac b 时， y 取得最小值
2a 4a
③ a b b< 0 时，在对称轴 （ x ）左侧， y 值随 x 值的增大而增大；在对称轴（ x ）右侧； y
2a 2a
2
的值随 x b 4ac b值的增大而减少。当 x 时， y 取得最大值
2a 4a
5. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
b2 4ac D > 0 D 0 D < 0D
一元二次方程 有两个不等实根 有两个相等实根
ax2 + bx + c 0 a 0 x1， x2（设 x x b 无实数根
的根 x1 < x
1 2
2 ） 2a
二次函数
y ax2 + bx + c a > 0
的图象
ax2 + bx + c > 0 a > 0 x x < x1或x > x2 x x b
的解集 2a
R

ax2 + bx + c < 0 a > 0 x x1 < x < x2
的解集
6. 解分式不等式
g x
① < 0 f x g x 0
g x
< ② > 0 f x g x > 0f x f x
g x f x g x 0 g x f x g x 0
③ 0 ④ 0 f x f x 0 f x

f x 0
7. 解单绝对值不等式
x a a > 0 x a 或 x a ， x < a a > 0 a < x < a
考点一、幂函数的图象
1．（23-24 高三·阶段练习）已知幂函数 f (x) 的图象过点 (16,4)，则函数 f (x) 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
1
2．（2023 高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数 y xn 在第一象限内的图象.已知 n分别取±2,± 四
2
个值，与曲线C1 C2 C3 C4相应的 n依次为（ ）
2, 1A． ,
1
, 2 B． 2,
1 , 1 2,
2 2 2 2
1 1 1 1
C． , 2,2, D． 2, , , 2
2 2 2 2
3 2 a．（23-24 高三·阶段练习）函数 f x ax + 2x +1与 g x x 在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
1．（23-24 高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点P 8,4 ，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 高三·阶段练习）（多选）现有 4 个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
p 3 q 1A． ，m 2 ， ， n 3
2
p 4 q 1B． ，m 3， ， n 2
3
C． p 2
1
，m 3， q ， n 3
2
p 1 m 1D． ， ， q 2
1
3 ，
n
2 4
3．（22-23 高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
3 2 3 2 3 1 1
① y x 4 ；② y x 3 ；③

y x 2 ；④ y x 3 ；⑤ y x 2 ；⑥ y x 3 ；⑦ y x3 ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, + )上单调递减的函数为（ ）
A． y = x-2 B． y x 1
1
C． y = x2 D． y x3
m
2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数 *y x n （m、 n N 且互质）的图象，则（ ）
m m
A．m，n 是奇数且 <1 B．m 是偶数，n 是奇数，且 <1
n n
m m
C．m 是偶数，n 是奇数，且 >1 D．m，n 是偶数，且 >1
n n
2
3．（23-24 高二下·浙江·期中）幂函数 y xm 2m 3 m Z 的图象关于 y 轴对称，且在 0, + 上是减函数，则
m 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3
1．（1993·全国·高考真题）函数 y= x5 在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． f x 3x5 B． f x 2x
f x 1
1
C． D．
x f x 2x
3
3 2024· · f x m2 m 1 x2m 3．（ 广东广州 模拟预测）若幂函数 在 0, + 上单调递增，则实数m 的值为
（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
2 3 2
1．（安徽·高考真题）设 a＝ 3 5 ，b＝ 2 5 2 5 5 ÷ 5 ÷
，c＝ ÷ ，则 a，b，c 的大小关系是(　　)
è è è 5
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
2 3 1
2．（2023·广东广州·二模）已知 a 33 ，b 24 ， c 43 ，则（ ）
A． cC．b < a < c D． c < b < a
2 2
1．（2024·
3 3
福建三明·三模）若 a 2 1 1
,b ÷ ÷ ,c log ，则（2 ）
è 3 è 3 3 3
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > c > a
1 1 3
2 2 4 4．设 a 3 4 ÷ ,b ÷ ,c
2
÷ ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
è 4 è 3 è 3
A． cC． a < c < b D．b考点四、幂函数的综合应用
1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数 f (x) 满足以下条件：①定义域为[0, + ) ；② f (x) 为增函数；③
x1 + x2 f x + f x对任意的x1， x2 [0, + ) ，都有 f 1

÷
2
，则 f (x) ．
è 2 2
2023 5 2023 5
2．（2023·全国·模拟预测）已知 x， y R，满足 x 1 + x ， 2y +1 + 2y ，则 x + 2y （
2 ）2
A．-1 B．0 C．1 D．2
1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形 ABCD的三个顶点 A, B，C 分别在函数
1 x
y log 3 33 x, y x , y ÷÷ 的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若 A 点的纵坐标是 2，则 D 点的
3 è 3
坐标是 ．
2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： f x ．
2
① f x R ② x R f x f x x f x③ 0 < x < x 1 < 1 x的定义域为 ； ， ； 1 2 ，都有 ÷ < 1 ．
è x2 f x2 x2
考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式
1．（2024·上海·高考真题）已知 x R, 则不等式 x2 2x 3 < 0的解集为 ．
x 2
2．（全国·高考真题）不等式 > 0的解集是（ ）
x + 3
A． ( 3,2) B． (2,+ )
C． ( , 3) U (2, + ) D． ( , 2) (3,+ )
3．（2024·全国· 3高考真题）已知集合 A x∣ 5 < x < 5 , B { 3, 1,0,2,3}，则 AI B （ ）
A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0} D．{ 1,0,2}
1．（2024·福建福州·一模）已知集合 A
x 2 2 x 0 ，B x x 3x < 0 ，则 A B （x 2 ） +
A．{x∣x 2或 x 3} B． x 2 < x < 3
C． x 0 < x 2 D．{x∣x 2或 x 3}
2．（2024·全国·一模）已知集合M x Z log2 x <1 ， N x x3 x 0 ，则M N （ ）
A． 1,1 B． 1,0,1
C． 2, 1,1 D． 2, 1,0,1
3．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）不等式 (x2 2x 3)(x2 + 4x + 4) < 0的解集是（ ）
A． x | x < 1或 x > 3 B． x | 1< x < 2 或 2 < x < 3
C． x | 1< x < 3 D． x | 2 < x < 3
考点六、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·高考真题）设函数 f x 2x x a 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2, +
f (x) x2 (m 2)x 1 é 12．（2024·全国·模拟预测）若函数 + 在 ê ,
1 ù
上单调，则实数m 的取值范围为（ ）
2 2 ú
é1 ,1ù U é3, 9 ù é1 ,2ùA． ê ú ê ú B． ê ú U
é3, 9 ù
2 2 2 ê 2 ú
é 1
C． ê ,1
ù U éú ê3,
9 ù é 1
ú D． ê , 2
ù
ú U
é
ê3,
9 ù
2 2 2 2 ú
3 2．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 f x x + ax +1在 2,6 上不单调，则 a的取值范围为（ ）
A． 2,6 B． , 2 U 6,+
C． 4,12 D． , 4 U 12,+
x2 2ax, x 1

4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数 f (x) a 是R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 1, x <1 2
4 4
A． (0, ) B． (0, ] C5 ．( 0, 1) D．
(0,1]
5
2
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x 2x +2x+a 的值域为M .若 1, + M ，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． ,1 B． ,1 C． 1, + D． 1, +
2
1．（2024·辽宁·一模）若函数 f x 3 2x +ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
2．（2024· 2山东·二模）已知函数 f x 2x mx +1在区间 1, + 上单调递增，则 f 1 的取值范围是
（ ）．
A． 7, + B． 7,+
C． ,7 D． ,7
3．（2024· 2河南信阳·模拟预测）若函数 f x x m 2 x 1 é 1+ 在 ê ,
1 ù
ú上单调，则实数m 的值可以为 2 2
（ ）
1 5
A． 1 B． C． D．3
2 2
a x a 2 1, x < a
4．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数 f x 的值域为R ，则实数 a 的取值范围
x 2a 2, x a
为 ．
5 2024· · f x x2．（ 河南 模拟预测）已知函数 6x + 7 在 1, m m >1 上的最大值为A ，在 m, 2m 1 上的最
大值为 B ，若 A 2B ，则实数m 的取值范围是 ．
一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点 2,4 ，则函数的解析式为（ ）
A． y 2x B． y = x2 C． y log2x D． y sinx
2．（2024·山东日照·二模）已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·北京朝阳·一模）已知 a R ，则“ 0 < a < 1 ”是“函数 f x 1 a x3在R 上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁·模拟预测）若 a > b，则下列说法正确的是（ ）
A． a2 > b2 B． lg(a b) > 0 C． a5 > b5 D． a3 > b3
5．（2024·广西·二模）下列函数中，在 0,2 上单调递增的是（ ）
A． f x x 1 B． f x x2 2x
1
C． f x 1 D．
x f x x 4
6 3 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合M x x < 2 , N x x 8x 20 < 0 ，则M N （ ）
A． x 2 < x <10 B． x 0 x < 8 C． x 2 < x <10 D． x 2 < x < 8
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数 f (x) x2 + (a 1)x 1的单调递增区间是[1, + ) ，则实数 a 的值是
（ ）
A． 3 B．3 C． 1 D．1
x2 + x, 2 < x < 0
8．（2024·北京西城·一模）已知函数 f x ，若 f x 存在最小值，则 c的最大值为（ ）
x ,0 x < c
1 1 1
A 1． B． C． D．
16 8 4 2
x3 1, x <1
9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 f x ，满足 f a 1 < f 3 a ，则实数 a的取值范围是
lnx, x 1
（ ）
A． , 2 B． 2, + C． ,0 D． 0, +
二、填空题
10．（2023· 2广东珠海·模拟预测）已知函数 f x x + mx 2x +1在区间 2, + 上是增函数，则实数m 的取
值范围是 .
一、单选题
1．（2023· 2四川成都·模拟预测）幂函数 f x m 3m 3 xm 在区间 0, + 上单调递减，则下列说法正确的
是（ ）
A．m 4 B． f x 是减函数
C． f x 是奇函数 D． f x 是偶函数
1 1 1 1
2．（2024·广东·一模）已知集合 A , , , , 2,3

，若 a,b,c A且互不相等，则使得指数函数 y a x ，
2 3 2 3
对数函数 y logb x ，幂函数 y xc 中至少有两个函数在 (0, + )上单调递增的有序数对 (a,b, c)的个数是
（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
n
3．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知实数m, n满足 (m +1)3 + m (n 1)3 + n 0，则 （
m ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
二、填空题
4．（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) x (0 < < 1) 在区间 ( 1,0) 上单调递减，则 的一个取值
为 ．
2
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 p ：函数 f (x) x m +m在区间 (0, + )上单调递增，命题q：m < a ，
若 p 是q的充分不必要条件，则 a的取值范围是 .
1
6 10．（22-23 高一上·全国·课后作业）已知幂函数 f (x) 1 ÷ ，若 f a 1 < f 8 2a ，则 a 的取值范围
è x
是 .
1011
7．（2022 高三·全国·专题练习）不等式 x2 1 + x2022 + 2x2 1 0的解集为： ．
8．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）关于 x 的不等式 ax2 2x +1 0在 0,2 上有解，则实数 a的取值范围
是 .
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x x ax b ,a,b R，若对任意的 x0 0,4 ，使得
f x0 M ，求实数M 的取值范围是 ．
10 2．（23-24 高三下·江苏南京·强基计划）已知函数 f x ax + bx + c b > a ，对于"x R ， f x 0恒成立，
b a
求 的最大值是 .
a + b + c
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）设 a,b R ，则“ a3 b3 ”是“ 3a 3b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·天津·高考真题）设a 1.010.5,b 1.010.6 ,c 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
0.7 1
3．（2022·天津·高考真题）已知 a 20.7，b
1
÷ ， c log2 ，则（ ）
è 3 3
A． a > c > b B．b > c > a C． a > b > c D． c > a > b
1
4．（全国·高考真题）函数 y x3 的图象是
A． B．
C． D．
5．（山东·高考真题）关于函数 y x2 + 2x，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是 1 B．函数图象的对称轴是直线 x 1
C．函数的单调递减区间是 1, + D．函数图象过点 2,0
6．（全国·高考真题）函数 y x2 + bx + c(x [0,+ )) 是单调函数的充要条件是（ ）
A．b 0 B．b 0 C．b > 0 D．b < 0
7．（全国·高考真题）若函数 f x x2 + 2ax 与 g x a 在区间 1,2 上都是减函数，则 a的取值范围
x +1
（ ）
A． 1,0 U 0,1 B． 1,0 U 0,1 C． 0,1 D． 0,1
二、填空题
8．（上海·高考真题）若 ，则满足 的 取值范围是 .第 02 讲 幂函数与二次函数
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 1 题,5 分 解三次不等式 交集的概念及计算
2023 年新 I 卷，第 1 题,5 分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算
二次函数单调区间求参数值 函数的单调性求参数值
2023 年新 I 卷，第 4 题,5 分
或范围 判断指数型复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本
性质，难度中等偏下
1
【备考策略】1. 2掌握幂函数的定义及一般形式，掌握 y x, y x , y x3 , y x 1 1 , y x 2 x 的图象
x
和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3. 理解并掌握幂函数 y x ，
q
0 的单调性和奇偶性
p
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
1. 幂函数
（1）幂函数的定义及一般形式

形如 y x ( R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数
（2）幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
＞0时，f x 在第一象限单调递增f x x
＜0时，f x 在第一象限单调递减
②幂函数的奇偶性
为偶数，f x 为偶函数
为整数
为奇数，f x 为奇函数
f x x p为偶数时，f x 为非奇非偶函数
q 为分数，设 q为奇数，f x 为奇函数 p p为奇数时 q为偶数，f x 为偶函数
2. 一元二次方程：
ax2 + bx + c 0(a 0)
2
①方程有两个实数根 D b 4ac 0
D > 0

②方程有同号两根 x x c
> 0
1 2 a
D > 0

③方程有异号两根 c
x1x2 < 0 a
b c
④韦达定理及应用： x1 + x2 , x xa 1 2

a
2
x2 2 2 D b 4ac1 + x2 (x1 + x2 ) 2x x
2
1 2 , x1 x2 (x1 + x2 ) 4x1x2 a a
x3 + x3 2 2 21 2 (x1 + x2 )(x1 x1x2 + x2 ) (x1 + x2 ) é(x1 + x2 ) 3x1x2 ù
3. 二次函数
2
2
①一般式： y ax + bx + c a(x b 4ac b+ )2 + ( a 0 b )，对称轴是 x ,
2a 4a 2a
b , 4ac b
2
顶点是（－ ) ；
2a 4a
②顶点式： y a(x + m)2 + k ( a 0 )，对称轴是 x m,顶点是 m , k ；
③交点式： y a(x x1)(x x2 ) ( a 0 )，其中（ x1,0），（ x2 ,0）是抛物线与 x 轴的交点
4. 二次函数的性质
①函数 y ax2 + bx + c(a 0) b的图象关于直线 x 对称。
2a
② a b b> 0时，在对称轴 （ x ）左侧， y 值随 x 值的增大而减少；在对称轴（ x ）右侧； y
2a 2a
2
的值随 x 值的增大而增大。当 x b 4ac b 时， y 取得最小值
2a 4a
③ a b b< 0 时，在对称轴 （ x ）左侧， y 值随 x 值的增大而增大；在对称轴（ x ）右侧； y
2a 2a
2
的值随 x b 4ac b值的增大而减少。当 x 时， y 取得最大值
2a 4a
5. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
b2 4ac D > 0 D 0 D < 0D
一元二次方程 有两个不等实根 有两个相等实根
ax2 + bx + c 0 a 0 x1， x2（设 x x b 无实数根
的根 x1 < x
1 2
2 ） 2a
二次函数
y ax2 + bx + c a > 0
的图象
ax2 + bx + c > 0 a > 0 x x < x1或x > x2 x x b
的解集 2a
R

ax2 + bx + c < 0 a > 0 x x1 < x < x2
的解集
6. 解分式不等式
g x
① < 0 f x g x 0
g x
< ② > 0 f x g x > 0f x f x
g x f x g x 0 g x f x g x 0
③ 0 ④ 0 f x f x 0 f x

f x 0
7. 解单绝对值不等式
x a a > 0 x a 或 x a ， x < a a > 0 a < x < a
考点一、幂函数的图象
1．（23-24 高三·阶段练习）已知幂函数 f (x) 的图象过点 (16,4)，则函数 f (x) 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解.
【详解】

设幂函数的解析式为 f x x ,
由幂函数 y f x 的图象过点 16,4 ,\4 16 ，解得 1 ,
2
\ y f x x ，其定义域为 0, + ，且是增函数，
当0 < x <1时，其图象在直线 y x 的上方，故 C 满足题意.
故选：C
1
2．（2023 高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数 y xn 在第一象限内的图象.已知 n分别取±2,± 四
2
个值，与曲线C1 C2 C3 C4相应的 n依次为（ ）
2, 1 , 1 , 2 2, 1 , 2, 1A． B．
2 2 2 2
1
C． , 2, 2,
1 1 1
D． 2, , , 2
2 2 2 2
【答案】A
【分析】作直线 x 2分别与曲线C1 C2 C3 C4相交，结合函数 y 2x 的单调性即可判断.
1 1
【详解】因为函数 y 2x 为增函数，所以 22 > 22 > 2 2 > 2 2 ，
1 1
所以作直线 x 2分别与曲线C1 C2 C3 C4相交，交点由上到下分别对应的 n 值为 2, , , 2，2 2
1 1
由图可知，曲线C1 C2 C3 C4相应 n 值为 2, , , 2 .2 2
故选：A
3．（23-24 2高三·阶段练习）函数 f x ax + 2x +1与 g x xa在同一直角坐标系中的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象得出 a的正负，结合幂函数特点可得答案.
【详解】对于 A，二次函数开口向下，所以 a<0，此时 g x xa与图中符合；
对于 B，二次函数开口向上，所以 a > 0，此时 g x xa在 0, + 为增函数，不符合；
对于 C，二次函数开口向上，所以 a > 0，此时 g x xa在 0, + 为增函数，符合；
对于 D，二次函数开口向上，所以 a > 0，此时 g x xa在 0, + 为增函数，符合；
故选：B.
1．（23-24 高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点P 8,4 ，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C

【分析】设幂函数为 f x x ，然后将P 8,4 坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
2
【详解】设幂函数为 f x x ，则8 4， 23 22 ，得3 2，得 ，3
2
所以 f x x 3 ，定义域为R ，所以排除 AD，
2 2
因为 f x ( x)3 x 3 f x ，所以函数为偶函数，所以排除 B，
故选：C
2．（23-24 高三·阶段练习）（多选）现有 4 个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A． p 3
1
，m 2 ， q ， n 3
2
B． p 4
1
，m 3， q ， n 2
3
C． p 2 ，m 3， q
1
， n 3
2
p 1 1D． ，m
1
， q 23 ，
n
2 4
【答案】AB
【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可.
【详解】对于幂函数 y x ，若函数在 0, + 上单调递增，则 > 0，若函数在 0, + 上单调递减，则
< 0，所以 n < 0 ，D 选项错误；
当 x >1时，若 y x 的图象在 y x 的上方，则 > 1，若 y x 的图象在 y x 的下方，则 <1，
所以 p >1, m >1,0 < q <1，C 选项错误；
因为当 x >1时，指数越大，图象越高，所以 p > m，
综上， p > m >1 > q > 0 > n ，AB 选项正确.
故选：AB
3．（22-23 高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
3 2 3 2 3 1 1
① y x 4 ；② y x 3 ；③ y x 2 ；④ y x 3 ；⑤

y x 2 ；⑥ y x 3 ；⑦ y x3 ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
1
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故 y x 3 满足；
2
图象（2）关于 y 轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 y x 3 满足；
3
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故 y x 2 满足；
2
图象（4）关于 y 轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故 y x 3 满足；
1
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故 y x3 满足；
3
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 x 增大递减，故 y x 4 满足；
3
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随 x 增大递增，故 y x 2 满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
考点二、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0, + )上单调递减的函数为（ ）
1
A． y = x-2 B． y x 1 C． y = x2 D． y x3
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅 A,C 为偶函数， C. y = x2 在区间 (0, + )上单调递增函数，故选
A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
m
2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数 （m、 n N*y x n 且互质）的图象，则（ ）
m
A．m，n 是奇数且 <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数，且 <1
n n
m m
C．m 是偶数，n 是奇数，且 >1 D．m，n 是偶数，且 >1
n n
【答案】B
【分析】
根据图象得到函数的奇偶性及 0, + 上单调递增，结合 m、 n N* 且互质，从而得到答案.
m
【详解】由图象可看出 y x n 为偶函数，且在 0, + 上单调递增，
m
故 0,1 且m 为偶数，又 m、 n N* 且互质，故 n 是奇数.n
故选：B
2
3．（23-24 高二下·浙江·期中）幂函数 y xm 2m 3 m Z 的图象关于 y 轴对称，且在 0, + 上是减函数，则
m 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】首先根据幂函数的单调性，确定m 得到取值，再回代函数确定函数的奇偶性，即可求解.
2
【详解】因为幂函数 y xm 2m 3， m Z 在区间 0, + 上是减函数，
所以m2 2m 3 < 0 ，解得： 1 < m < 3，
因为m Z，得m 0,1,2，
当m 0时，函数 y x 3是奇函数，不关于 y 轴对称，故舍去，
当m 1时，函数 y x 4 是偶函数，关于 y 轴对称，故舍去，
当m 2 时，函数 y x 3是奇函数，不关于 y 轴对称，故舍去，
所以m 1.
故选：A
3
1．（1993·全国·高考真题）函数 y= x5 在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
【答案】A
【详解】
3
考查幂函数 y x5 .
3
∵ >0，根据幂函数的图象与性质
5
可得在[ 1,1]上的单调增函数，是奇函数．
故选 A.
n
点睛：对于形如 y m n xm 的幂函数，研究函数性质时，可以将函数化简为 y x ，可知定义域及函数奇偶性，
幂函数的单调性可以只研究第一象限，再结合奇偶性即可得结论.
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A． f x 3x5 B． f x 2x
1 1
C． f x D．
x f x 2x
3
【答案】AD
【分析】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解.
【详解】对于 A， f x 3x5是奇函数，在其定义域上单调递减，故 A 正确；
对于 B x， f x 2 是在其定义域上单调递增的指数函数，故 B 错误；
对于 C， f 1 1, f 1 1，故 f x 1 在其定义域上不单调递减，故 C 错误；
x
1
对于 D， f x 2x3 是奇函数，在其定义域上单调递减，故 D 错误.
故选：AD.
3．（2024· 2 2m 3广东广州·模拟预测）若幂函数 f x m m 1 x 在 0, + 上单调递增，则实数m 的值为
（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
【答案】A
【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果.
f x m2 m 1 x2m 3【详解】因为幂函数 在 0, + 上是增函数，
m2 m 1 1
所以 ，解得m 2 .
2m 3 > 0
故选：A.
考点三、利用幂函数单调性进行大小比较
2 3 2
1．（安徽·高考真题）设 a＝ 3 5 b 2 5， ＝ ，c＝ 2 5 ÷ ÷ ÷ ，则 a，b，c 的大小关系是(　　)
è 5 è 5 è 5
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
2 x 2
【详解】试题分析：∵函数 y ( )5 是减函数，∴ c > b；又函数 y x 5 在
(0, + )上是增函数，故 a > c .从而选
A
考点：函数的单调性.
2 3 1
2．（2023·广东广州·二模）已知 a 33 ，b 24 ， c 43 ，则（ ）
A． cC．b < a < c D． c < b < a
【答案】D
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断b < a ， c < a，再对b ， c进行取对数，结合对数函数的性
质即可判断 c < b ，进而即可得到答案．
2 1 3 1 1
【详解】由 a 33 93 ，b 24 84 ， c 43 ，
1 1 1
则b 84 < 83 < 93 < a， c < a，
1 1
log b log 84 3 log c log 43 2又 2 2 ， 2 2 ，4 3
则 log2 c < log2 b ，即 c < b ，
所以 c < b < a ．
故选：D．
2 2
1．（2024·
3 3
福建三明·三模）若 a 2 1 ÷ ,b

÷ ,c
1
log ，则（2 ）
è 3 è 3 3 3
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > c > a
【答案】A
【分析】根据幂函数的单调性可判断 a,b的大小，利用对数函数的单调性判断 a 的范围，即可得答案.
2 2 2 2
2 3 2 3【详解】由题意得 a 1
3 1 3 3 ÷
3 ÷
,b ÷ ÷ ，
è è è 3 è 3
2 2
2 2 3 3
由于 y x 3 在 (0, + )上单调递增，故1 13
2
> a > b 1 3 ÷ ÷
；
è è 3
而 y log 2 x
1 2
在 (0, + )上单调递减，故 c log 2 > log 2 13 3 ，3 3 3
故 c > a > b，
故选：A
1 1 3
2．设 a 3
2 4 4
÷ ,b
4
÷ ,c
2
÷ ，则 a,b,c的大小关系是（ ）
è 4 è 3 è 3
A． cC． a < c < b D．b【答案】A
1 1 1 3 1
4 2 4 4 4
【解析】易得b 4 1，再由 a 3 9> <1,c 2 8 3 ÷ 4 ÷ 16 ÷ 3 ÷ ÷
<1，利用幂函数的单调性判断.
è è è è è 27
1 1 1 3 1
2 4
【详解】因为 a 3 9 <1,b 4
4 2 4 8 4
4 ÷
>1,c
16 ÷ 3 ÷ ÷
÷ <1，
è è è è 3 è 27
0 8 9
1
且 < < <1， y x 4 在 0, + 上递增，27 16
1 1
8 4 9 4所以 27 ÷
< ÷ ，即 c < a，
è è16
综上： c故选：A
考点四、幂函数的综合应用
1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数 f (x) 满足以下条件：①定义域为[0, + ) ；② f (x) 为增函数；③
x x [0, + ) f x1 + x对任意的 ， ，都有 2
f x1 + f x2
1 2 ÷ ，则 f (x) ．è 2 2
1
【答案】 x 2 （答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
1
【详解】由题意可知 f (x) x 2 的定义域为[0, + ) ，且 f (x) 在[0, + ) 上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的x1， x2 [0, + ) ，
f x1 + x2 x1 + x2
f x
0, 1 + f x2 x + x > 1 2 ÷ > 0 ，
è 2 2 2 2
2 2
x + x
则 1 2
x1 + x÷ 2
x + x
÷ 1 2
2 x1x2 2 x 1
x2 2 x1x2
÷ ÷ 0，è 2 è 2 4 4
当且仅当 x1 x2时取等号，
x1 + x2 ff x1 + f x2 1即 2 ÷ ，即è 2 f (x) x
2 满足③，
1
故答案为： x 2
2023 5 2023 5
2．（2023·全国·模拟预测）已知 x， y R，满足 x 1 + x ， 2y +1 + 2y ，则 x + 2y （
2 ）2
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】令 f x x2023 + x x 2023 5， R ，易得 f x 为奇函数且为增函数，再由 x 1 + x 和
2
2y +1 2023 + 2y 5 ，变形得到 f x 1 3 ， f 2y +1 3 求解．
2 2 2
f x x2023 + x x R f x x 2023【详解】解：令 ， ，则 + x f x ，
∴ f x 为奇函数．
x 1 2023 5∵ + x ，
2
x 1 2023 x 1 3∴ + ．
2
2y +1 2023又∵ + 2y 5 ，
2
2y +1 2023∴ + 2y +1 3 ，
2
∴ f x 3 1 ， f 2y +1 3 ．
2 2
又∵ f x 在 R 上单调递增，
∴ x 1+ 2y +1 0，即 x + 2y 0 ．
故选：B．
1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形 ABCD的三个顶点 A, B，C 分别在函数
1 x
y log 3 x, y x
3 , y 3 ÷÷ 的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若 A 点的纵坐标是 2，则 D 点的3
3 è
坐标是 ．
1 1
【答案】 ( , )
3 81
【分析】根据指对幂函数的图象及解析式求出 A 点的横坐标、C 点纵坐标，即可得 D 点的坐标.
【详解】由题意， A, B纵坐标都为 2，则 B 点横坐标为 8，即C 点横坐标为 8，
A 3 1 3 1所以 点的横坐标为 ( )2 ，C 点纵坐标为 ( )8 ，
3 3 3 81
由 ABCD为矩形及题图知：D 点的坐标是 (
1 , 1 ) .
3 81
1 1
故答案为： ( , )
3 81
2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： f x ．
2
① f x 的定义域为R ；② x R ， f x f x 0 f x< x < x x1 1 x；③ 11 2 ，都有 < < ．
è x
÷
2 f x2 x2
5 q q
【答案】 x3 （答案不唯一，形如 f x x p ，p，q 为奇数，且1< < 2p 均可）
【分析】根据题意函数需分别满足题中①②③的条件，且答案不唯一.
f x1 f x> 2 x2 2 1 x2
【详解】由③知 (不妨取 x > 0时 f x > 0 )，
f x1 f x2 <
x1 x2
f x
所以函数 在 0, + f x 上是增函数，函数 2 在 0, + 上是减函数，x x
又由①②，函数为奇函数且定义域为R ，
5
所以可取幂函数 f x x3 ．
5 q q
故答案为： x3 （答案不唯一，形如 f x x p ， p ，q为奇数，且1< < 2p 均可）.
考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式
1．（2024·上海·高考真题）已知 x R, 则不等式 x2 2x 3 < 0的解集为 ．
【答案】 x | 1< x < 3
【分析】求出方程 x2 2x 3 0的解后可求不等式的解集.
【详解】方程 x2 2x 3 0的解为 x= 1或 x 3，
故不等式 x2 2x 3 < 0的解集为 x | 1< x < 3 ，
故答案为： x | 1< x < 3 .
x 2
2．（全国·高考真题）不等式 > 0的解集是（ ）
x + 3
A． ( 3,2) B． (2,+ )
C． ( , 3) U (2, + ) D． ( , 2) (3,+ )
【答案】C
【分析】分式不等式转化成整式不等式求解即可.
x 2
【详解】由 > 0 x 2 x + 3 > 0，解得 x > 2或 x < 3 .
x + 3
故选：C
3 3．（2024·全国·高考真题）已知集合 A x∣ 5 < x < 5 , B { 3, 1,0,2,3}，则 AI B （ ）
A．{ 1,0} B．{2,3} C．{ 3, 1,0} D．{ 1,0,2}
【答案】A
【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.
3 3
【详解】因为 A x | 5 < x < 5 , B 3, 1,0,2,3 ，且注意到1< 3 5 < 2 ，
从而 AI B 1,0 .
故选：A.
x 2
1 2．（2024·福建福州·一模）已知集合 A x 0 ，B x x x 3x < 0 ，则 A B （ ） + 2
A．{x∣x 2或 x 3} B． x 2 < x < 3
C． x 0 < x 2 D．{x∣x 2或 x 3}
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合 A, B，再按照集合的并集运算即可.
x 2
【详解】 0，则 x 2 x + 2 0，且 x + 2 0 ，解得 2 < x 2 ，
x + 2
则集合 A {x∣ 2 < x 2}，B {x∣x(x 3) < 0} {x∣0 < x < 3}
则 A B x 2 < x < 3
故选：B.
2．（2024·全国· 3一模）已知集合M x Z log2 x <1 ， N x x x 0 ，则M N （ ）
A． 1,1 B． 1,0,1
C． 2, 1,1 D． 2, 1,0,1
【答案】A
【分析】解集合中的不等式，得到这两个集合，再由定义求交集.
【详解】不等式 log2 x < 1，即0 < x < 2，当 x Z时，不等式解集为 1,1 ，即M 1,1 ，
3
不等式 x x x x +1 x 1 0 ，解得 x 1或0 x 1，即 N x x 1或0 x 1 ，
所以M I N 1,1 .
故选：A
3．（23-24 高三上·河南南阳·阶段练习）不等式 (x2 2x 3)(x2 + 4x + 4) < 0的解集是（ ）
A． x | x < 1或 x > 3 B． x | 1< x < 2 或 2 < x < 3
C． x | 1< x < 3 D． x | 2 < x < 3
【答案】C
【分析】先因式分解，然后分 x 2和 x 2求解即可.
【详解】 (x2 2x 3)(x2 + 4x + 4) < 0 (x 3)(x +1)(x + 2)2 < 0，
当 x 2时，不等式显然不成立；
2
当 x 2时， x + 2 > 0 ，所以原不等式 x 3 x +1 < 0，
解得 1 < x < 3 .
综上，原不等式的解集为 x | 1< x < 3 .
故选：C
考点六、二次函数的综合应用
1 2023· · f x 2x x a ．（ 全国 高考真题）设函数 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2, +
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 y 2x 在 R x x a 上单调递增，而函数 f x 2 在区间 0,1 上单调递减，
2 a
则有函数 y x(x a a a) (x )2 在区间 0,1 上单调递减，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范围是 2, + .
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 f (x) x2 (m 2)x
1 1
+1 é , ù在 ê ú上单调，则实数m 的取值范围为（2 2 ）
é1 ù é 9 ù é1 ù é 9 ù
A． ê ,1ú U ê3, ú B． ê , 2ú U ê3, 2 2 2 2 ú
é 1 9 1 9
C． ê ,1
ù U é3, ù é ù é ù
2 ú ê 2ú
D． , 2 U 3,
ê 2 ú ê 2 ú
【答案】C
【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解.
2
【详解】令 g x x m 2 x +1，
m 2 1 , m 2 1 , m 2 1 , m 2 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2
则 1 或 1 或 或 g 0 g

0 g 1
1
0 g 0,
÷ ÷ è 2 è 2 è 2
÷ ÷ è 2
1
解得3
9
m ≤m≤1
2 或 ，2
1
即实数 m 得取值范围为[ ,1]U [3,
9] .
2 2
故选：C．
3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 f x x2 + ax +1在 2,6 上不单调，则 a的取值范围为（ ）
A． 2,6 B． , 2 U 6,+
C． 4,12 D． , 4 U 12,+
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【详解】函数 f x x2 + ax +1 a a的图象对称轴为 x ，依题意， 2 < < 6，得 4 < a <12，
2 2
所以 a的取值范围为 4,12 .
故选：C
x2 2ax, x 1

4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数 f (x) a 是R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）
x 1, x <1 2
(0, 4) (0, 4A． B． ] C．( 0, 1) D5 ．
(0,1]
5
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.

a 1
x2 2ax, x 1
a 4
【详解】由 f (x) a 是R 上的增函数，得 > 0 ，解得0 < a ，
x 1, x <1 2 5 2 a
1 1 2a 2
4
所以实数 a 的取值范围是 (0, ] .5
故选：B
2
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x 2x +2x+a 的值域为M .若 1, + M ，则实数 a的取值范围是
（ ）
A． ,1 B． ,1 C． 1, + D． 1, +
【答案】B
【分析】化复合函数 f x 2 2x +2x+a 为 f u 2u ，u x2 + 2x + a，根据已知条件 1, + M ，确定u 的取值
范围，再根据u 的取值范围确定 a的取值范围即可.
x2【详解】因为 f x 2 +2x+a u，令u x2 + 2x + a，所以 f u 2 ；
令函数u x2 + 2x + a的值域为 N ，因为 1, + M ，
所以 0, + N ，所以 x2 + 2x + a必须能取到 0, + 上的所有值，
u 4 a 2
2 4a 4
min 0 ，解得 a 1 .4 4
故选：B
2
1．（2024·辽宁·一模）若函数 f x 3 2x +ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 4 B． 4,16 C． 16, + D． 16, +
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设 f u 3u ，u 2x2 + ax，则 f u 3u 在 , + 上单调递增.
2
因为 f x 3 2x +ax 在区间 (1, 4)内单调递减，所以函数u 2x2 + ax在区间 1,4 内单调递减，
a
结合二次函数的图象和性质，可得： 1，解得 a 4.
4
故选：A
2．（2024·山东· 2二模）已知函数 f x 2x mx +1在区间 1, + 上单调递增，则 f 1 的取值范围是
（ ）．
A． 7, + B． 7,+
C． ,7 D． ,7
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得m 4，再由 f 1 3 m，进而求得 f 1 的取值范围.
【详解】由函数 f x 2x2 mx +1 m的对称轴是 x ，
4
m
因为函数在区间 1, + 上是增函数，所以 1，解得m 4，
4
又因为 f 1 3 m，因此3 m 7，所以 f 1 的取值范围是 7, + .
故选：A．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数 f x x2 m 2 x 1 é 1 1+ ù在 ê , ú上单调，则实数m 的值可以为 2 2
（ ）
1 5
A． 1 B． C． D．3
2 2
【答案】BD
【分析】分别讨论D 0和D > 0两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案.
【详解】①当D (m 2)2 4 0，即0 m 4时， f x x2 m 2 x +1 x2 m 2 x +1，所以 f (x) 的
对称轴为 x
m 2
，则 f (x) 的图象如下：
2
2 é 1 1 ù m 2 1 m 2 1
结合图象可知，要使函数 f x x m 2 x +1 在 ê , ú上单调，则 或 ，解得：m 3 2 2 2 2 2 2
或m 1，即3≤m≤ 4 或0 m 1；
m 2
②当D (m 2)2 4 > 0，即m < 0或m > 4 ，令 h(x) x2 m 2 x +1，则 h(x) 的对称轴为 x ，则 h(x)
2
的图象如下：
2
结合图象可知，要使函数 f x x m 2 x 1+1 é在 ê ,
1 ù
上单调，
2 2 ú
1 m 2 1 m 2 1 m 2 1 m 2
2 2

2 2

2 2 2 2
则 1 ，或 ，或 ，或 h( ) 0 h( 1 ) 0 h(1) 0 h( 1 ) 0
2 2 2 2
9 1
解得： 4 < m≤ ，或 m < 0，
2 2
1
综上：3 m
9
或 ≤m≤12 ；2
故选：BD
a x a 2 1, x < a
4．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数 f x 的值域为R ，则实数 a 的取值范围
x 2a 2, x a
为 ．
【答案】 1,0
【分析】
利用分段函数的值域是各段值域的并集，结合二次函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】当 a 0时，
若 x < a，可得 f x 1；
若 x a， f x 2，函数 f x 的值域不可能为R ；
②当 a<0时， 2a < a，
所以函数 f x 在 ,a ， a,+ 上单调递增，
若函数 f x 的值域为R ，只需 a 2 1，可得 1 a < 0．
由上知，实数 a 的取值范围为 1,0 ．
故答案为： 1,0
5．（2024·河南· 2模拟预测）已知函数 f x x 6x + 7 在 1, m m >1 上的最大值为A ，在 m, 2m 1 上的最
大值为 B ，若 A 2B ，则实数m 的取值范围是 ．
é
【答案】 ê3 3,
3ù
2ú
【分析】作出 f (x) 的图象，分1 < m 5和m > 5两种情况讨论函数 f (x) 在 1, m m >1 上的最大值和在
m, 2m 1 上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案.
2 2
【详解】由函数 f x x 6x + 7 x 3 2 ，作出 f (x) 的图象如下：
由题得： f (1) f (3) f (5) 2，
当1 < m 5 2时，函数 f x x 6x + 7 在 1, m m >1 上的最大值为 2，即 A 2，
要使 A 2B ，则B 1，令 f (x) 1，解得： x1 3 3 ， x2 2， x3 4， x4 3+ 3 ，
2
由图可得，要使函数 f x x 6x + 7 在 m, 2m 1 上的最大值为 B ，且B 1，
m 3 3 m 4 3
则 ，或 ，解得：3 3 m .
2m 1 2 2m 1 3+ 3 2
当m > 5时，
f x x2由图， 6x + 7 在 1, m m >1 2上最大值 A f m m 6m + 7 > 0，
在 m, 2m 1 上单调递增，最大值B f 2m 1 > f m A > 0，
A 2B 不可能成立，
é 3ù
综上，实数m 的取值范围是 ê3 3, ， 2 ú
é
故答案为： ê3 3,
3ù
.
2ú
一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点 2,4 ，则函数的解析式为（ ）
A． y 2x B． y = x2 C． y log2x D． y sinx
【答案】B
【分析】先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案.
【详解】设幂函数的解析式为 y x ，由于函数过点 2,4 ，故 4 2 ，解得 2，该幂函数的解析式为
y = x2 ；
故选：B
2．（2024·山东日照·二模）已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数 y x3在定义域R 上单调递增，
所以由 a > b推得出 a3 > b3，故充分性成立；
由 a3 > b3推得出 a > b，故必要性成立，
所以“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的充要条件.
故选：C
3 3．（2024·北京朝阳·一模）已知 a R ，则“ 0 < a < 1 ”是“函数 f x 1 a x 在R 上单调递增”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分 a 1， a > 1，a < 1讨论函数 f x 的单调性，进而根据充分性和必要性的概念确定答案.
【详解】对于函数 f x 1 a x3
当 a 1时， f x 0，为常数函数，
当 a > 1时，1 a < 0，函数 f x 1 a x3在R 上单调递减，
当a < 1时，1 a > 0 3，函数 f x 1 a x 在R 上单调递增，
“ 0 < a < 1 ” “ f x 1 a x3所以 是 函数 在R 上单调递增”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．（2024·辽宁·模拟预测）若 a > b，则下列说法正确的是（ ）
A． a2 > b2 B． lg(a b) > 0 C． a5 > b5 D 3． a > b3
【答案】C
【分析】利用特殊值判断 A、B、D，根据幂函数的性质判断 C.
【详解】对于 A：当 a 0、b = -1，满足 a > b，但是 a2 < b2 ，故 A 错误；
对于 B：当 a 0、b = -1，满足 a > b，但是 lg(a b) lg1 0，故 B 错误；
对于 C：因为 y x5在定义域R 上单调递增，若 a > b，则 a5 > b5，故 C 正确
对于 D：当 a 1、b = -1，满足 a > b，但是 a3 b3 ，故 D 错误.
故选：C
5．（2024·广西·二模）下列函数中，在 0,2 上单调递增的是（ ）
A． f x x 1 B f x x2． 2x
1
C． f x 1 D． 4
x f x x
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.
【详解】对于 A， f x x 1 ，其定义域为[1, + )，不符合题意；
对于 B， f x x2 2x，在 (0,1)上为减函数，不符合题意；
1
对于 C， f x ，在 0,2 上单调递减，不符合题意；
x
1
对于 D， f x x 4 4 x ，在 0,2 上单调递增，符合题意；
故选：D.
6．（2024· 3 2全国·模拟预测）已知集合M x x < 2 , N x x 8x 20 < 0 ，则M N （ ）
A． x 2 < x <10 B． x 0 x < 8 C． x 2 < x <10 D． x 2 < x < 8
【答案】D
【分析】先求出集合M , N ，再根据交集的定义即可得解.
M x 3【详解】因为 x < 2 x x < 8 ，
N x x2 8x 20 < 0 x x 10 x + 2 < 0 x 2 < x <10 ，
所以M N x 2 < x < 8 ．
故选：D．
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数 f (x) x2 + (a 1)x 1的单调递增区间是[1, + ) ，则实数 a 的值是
（ ）
A． 3 B．3 C． 1 D．1
【答案】C
【分析】求出二次函数的单调递增区间，利用相等集合列式求解即得.
a 1
【详解】函数 f (x) x2 + (a 1)x 1的单调递增区间是[ ,+ )，
2
[1, ) [ a 1, ) a 1因此 + + ，即 1，解得 a 1，
2 2
所以实数 a 的值是 1 .
故选：C
x2 + x, 2 < x < 0
8．（2024·北京西城·一模）已知函数 f x ，若 f x 存在最小值，则 c的最大值为（ ）
x ,0 x < c
1 1 1
A． B C 1． ． D．
16 8 4 2
【答案】A
【分析】运用二次函数的性质求得 2 < x < 0的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解
即可.
2
1 1 1 1
【详解】当 2 < x < 0时， f (x) x2 + x x + ÷ ，故当 x 时， f x 有最小值为 ；
è 2 4 2 4
0 x < c 时， f (x) x 单调递减，所以 c < f x 0，
f (x) c 1 1 1由题意 存在最小值，则 ，解得0 < c ，即 c的最大值为 .
4 16 16
故选：A
x3 1, x <1
9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 f x ，满足 f a 1 < f 3 a ，则实数 a的取值范围是
lnx, x 1
（ ）
A． , 2 B． 2, + C． ,0 D． 0, +
【答案】A
【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到 a 1< 3 a，解出即可.
【详解】当 x <1 f x x3时， 1，此时 f x 单调递增，
当 x 1时， f x ln x，此时 f x 3单调递增，且 f 1 0 1 1，
则 x R时， f x 单调递增，
若有 f a 1 < f 3 a ，则有 a 1< 3 a，解得 a < 2，
故选：A.
二、填空题
10 2．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数 f x x + mx 2x +1在区间 2, + 上是增函数，则实数m 的取
值范围是 .
【答案】 2, +
【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数m 的不等式，解之即可.
2 m 2
【详解】二次函数 f x x + m 2 x +1的图象开口向上，对称轴为直线 x ，
2
因为函数 f x 在区间 2, + m 2上是增函数，则 2，解得m 2 .
2
因此，实数m 的取值范围是 2, + .
故答案为： 2, + .
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）幂函数 f x m2 3m 3 xm 在区间 0, + 上单调递减，则下列说法正确的
是（ ）
A．m 4 B． f x 是减函数
C． f x 是奇函数 D． f x 是偶函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断 AB，再由奇函数的定义判断 CD.
【详解】函数 f x m2 3m 3 xm 为幂函数，则m2 3m 3 1，解得m 4 或m 1.
当m 4 f x x4时， 在区间 0, + 上单调递增，不满足条件，排除 A；
m 1 f x x 1当 时， 在区间 0, + 上单调递减，满足题意.
函数 f x x 1在 ,0 和 0, + 上单调递减，但不是减函数，排除 B；
1
因为函数定义域关于原点对称，且 f ( x) f (x) ，
x
所以函数 f (x) 是奇函数，不是偶函数，故 C 正确，D 错误.
故选：C.
1 1 1 1
2．（2024·广东·一模）已知集合 A , , , , 2,3

，若 a,b,c A且互不相等，则使得指数函数 y a x ，
2 3 2 3
对数函数 y logb x ，幂函数 y xc 中至少有两个函数在 (0, + )上单调递增的有序数对 (a,b, c)的个数是
（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
【答案】B
【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解.
【详解】若 y a x 和 y logb x 在 (0, + )上单调递增， y xc 在 (0, + )上单调递减，
A2 ×C1则有 2 2 4 个；
若 y a x 和 y xc 在 (0, + )上单调递增， y logb x 在 (0, + )上单调递减，
C1 1则有 2 ×C2 ×C
1
2 8个；
若 y logb x 和 y xc 在 (0, + )上单调递增， y a x 在 (0, + )上单调递减，
1 1 1
则有C2 ×C2 ×C2 8个；
若 y a x 、 y log c 2 1b x 和 y x 在 (0, + )上单调递增，则有A2 ×C2 4 个；
综上所述：共有 4 + 8 + 8 + 4 24个.
故选：B.
【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧
（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加
法计数原理．
（2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
3．（23-24 高三上·广东深圳·期末）已知实数m, n满足 (m +1)3 + m (n 1)3 + n 0
n
，则 （
m ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
【答案】A
【分析】根据题意可得， (m +1)3 + m +1 1，且 (n 1)3 + n 1 1 3，构造函数 f x x + x ，则 f x 为单调
递增的奇函数，可得m +1 n 1 ，从而求解.
【详解】Q(m +1)3 + m (n 1)3 + n 0，
\(m +1)3 + m +1 1，且 (n 1)3 + n 1 1，
3
令函数 f x x + x ，因为其定义域为R ，且 f x x 3 + x x3 + x f x ，且 y x3 , y x 在R
上均单调递增，
则 f x 为单调递增的奇函数，
且 f m +1 1, f n 1 1，
\m +1 n 1 ，即m n ，
显然m
n
0,\ 1 .
m
故选：A.
二、填空题
4．（2024·北京延庆·一模）已知函数 f (x) x (0 < < 1) 在区间 ( 1,0) 上单调递减，则 的一个取值
为 ．
2
【答案】 3 （不唯一）
【分析】根据幂函数的单调性奇偶性即可得解.
【详解】因为 f (x) x (0 < < 1) 在 (0, + )上单调递增，又 f (x) 在区间 1,0 上单调递减，
所以 f (x)
2
可以为偶函数，不妨取 ，
3
2
此时 f (x) x 3 3 x2 ，函数定义域为 x R ，
2 2
且 f ( x) x 3 3 x 2 f (x) ，故 f (x) x 3 为偶函数，
满足在区间 ( 1,0) 上单调递减.
2
故答案为： 3 （不唯一）
2
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 p ：函数 f (x) x m +m在区间 (0, + )上单调递增，命题q：m < a ，
若 p 是q的充分不必要条件，则 a的取值范围是 .
【答案】 1, +
【分析】根据题意可得命题 p ：0 < m <1，由 p 是q的充分不必要条件，可得 0,1 是 ( ,a)的真子集，即
可得到答案.
2
【详解】因为函数 f (x) x m +m在区间 (0, + )上单调递增，所以 m2 + m > 0，解得：0 < m <1，又因为 p 是
q的充分不必要条件，则 0,1 是 ( ,a)的真子集，即 a的取值范围是 1, +
故答案为： 1, +
1
6．（22-23 10高一上·全国·课后作业）已知幂函数 f (x) 1 ÷ ，若 f a 1 < f 8 2a ，则 a 的取值范围
è x
是 .
【答案】 (3, 4)
【分析】根据题意得到幂函数 f x 的定义域和单调性，得到不等式 f a 1 < f 8 2a 的等价不等式组，
即可求解.
1
1 10 1 1 【详解】由幂函数 f (x) ÷ x 10 ，
è x 10 x
可得函数 f x 的定义域为 (0, + )，且是递减函数，
a 1 > 8 2a

因为 f a 1 < f 8 2a ，可得 a 1 > 0 ，解得3 < a < 4，

8 2a > 0
即实数 a的取值范围为 (3, 4) .
故答案为： (3, 4)
1011
7．（2022 高三·全国·专题练习）不等式 x2 1 + x2022 + 2x2 1 0的解集为： ．
é 2 2 ù
【答案】 ê ,
2 2
ú

2 1011 2 2 1011 1011 1011【分析】不等式变形为 x 1 + x 1+ x + x2 0，即 x2 + x2 1 x2 + 1 x2 ，构造函数
f x x1011 + x，判断出函数得单调性，再根据函数的单调性解不等式即可.
1011 1011
【详解】不等式变形为 x2 1 + x2 1+ x2 + x2 0，
2 1011 2 2 1011所以 x + x 1 x + 1 x2 ，
f x x1011令 + x，则有 f x2 f 1 x2 ，
因为函数 y x1011, y x 在 R 上单调递增，
所以 f (x) 在 R 上单调递增，
则 x2 1 x2 2 x 2 ，解得 ，
2 2
é 2 ù
故不等式的解集为 ê ,
2
2 2 ú
．

é 2 2 ù
故答案为： ê , .
2 2
ú

8．（23-24 高一上·江苏盐城·期末）关于 x 的不等式 ax2 2x +1 0在 0,2 上有解，则实数 a的取值范围
是 .
【答案】 ,1
【分析】根据题意将不等式转化为 a
2x 1
2 在 0,2 能成立即可，再由二次函数性质求出x
y 2x 1 2 ÷ , x 0,2 即可得 a的取值范围是 ,1x .è max
2x 1
【详解】由不等式 ax2 2x +1 0以及 x 0,2 可得 a 2 ，x
依题意可知 a
2x 1 ÷ , x 0,2 即可，
è x2 max
2x 1
令 y 2 , x 0,2 ，x
2x 1 1 2 x 0,2 1 é 1又 y 1 ÷ +1，由 可得 , +

，
x2 è x x ê 2
÷

利用二次函数性质可知 ymax 1 1
2 +1 1，即可得 a 1；
即实数 a的取值范围是 ,1 .
故答案为： ,1
9．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f x x ax b ,a,b R，若对任意的 x0 0,4 ，使得
f x0 M ，求实数M 的取值范围是 ．
1 ù
【答案】 ,
è 4 ú
【分析】利用换元法结合三点控制法求解即可.
【详解】令 x t, x t 2 ，则 f x g t at 2 + t b , t 0,2 ，
g 0 M b M

取三点控制得 g 1 M ，进而 a +1 b M ，

g 2 M 4a + 2 b M
3b 3M

化简得 4a + 4 4b 4M ，可得8M 3b + 4a + 4 4b + 4a + 2 b ，

4a + 2 b M
即8M 3b + 4a + 4 4b 4a + 2 b 2 1，解得M ．
4
1 ù
故答案为： ,
è 4 ú
10 2．（23-24 高三下·江苏南京·强基计划）已知函数 f x ax + bx + c b > a ，对于"x R ， f x 0恒成立，
b a
求 的最大值是 .
a + b + c
1
【答案】
3
b
2 b a 1b a
【分析】根据题目得到 a > 0, D 0 ，从而 c ，故 a b ，换元后得到结合基本不等式求4ac + + c 21 b b+ +
a 4a2
出最值.
【详解】Q f x 0 恒成立，
\a > 0,Δ b2 4ac 0 b > a ，
b2
\a2 < b2 4ac，\c ，
4a
b
b a b a 1
\ a
a b ，+ + c b2a b b b
2
+ + 1+ +
4a a 4a2
t b令 1
b
> 0，则 t +1，
a a
b a t 4t 4

所以 a + b + c 1 t 1 1
2
+ + + t +1 2 t + 6t + 9 t 9+ + 6
4 t
4 1

3
2 t 9× + 6 ，
t
当且仅当 t
9 b
，即 t 3， 4时，等号成立.
t a
1
故答案为：
3
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）设 a,b R ，则“ a3 b3 ”是“ 3a 3b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， a3 b3和3a 3b 都当且仅当 a b，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．（2023·天津·高考真题）设a 1.010.5,b 1.010.6 ,c 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 y 1.01x在 R 上递增，则 a 1.010.5 < b 1.010.6，
由 y x0.5 在[0, + ) 上递增，则 a 1.010.5 > c 0.60.5 .
所以b > a > c .
故选：D
0.7
3．（2022·天津·高考真题）已知 a 20.7
1
，b 1 ÷ ， c log2 ，则（3 ）è 3
A． a > c > b B．b > c > a C． a > b > c D． c > a > b
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 a、b 、 c的大小关系.
0.7
【详解】因为 20.7 1> ÷ > 0 log2 1 > log
1
2 ，故 a > b > c .
è 3 3
故答案为：C.
1
4．（全国·高考真题）函数 y x3 的图象是
A． B． C．
D．
【答案】B
1 1
【分析】先找出函数图象上的特殊点（1，1），（8，2）， ( , ) ，再判断函数的走向，结合图形，选出正确
8 2
的答案．
【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除 A，D；
(1 , 1由特殊点（8，2）， ) ，可排除 C．
8 2
故选 B．
5 2．（山东·高考真题）关于函数 y x + 2x，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是 1 B．函数图象的对称轴是直线 x 1
C．函数的单调递减区间是 1, + D．函数图象过点 2,0
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可.
2
【详解】 y x2 + 2x x 1 +1，最大值是 1，A 正确；
对称轴是直线 x 1，B 正确；
单调递减区间是 1, + ，故 C 错误；
令 x 2的 y 22 + 2 2 0，故 2,0 在函数图象上，故 D 正确，
故选：C
6．（全国·高考真题）函数 y x2 + bx + c(x [0,+ )) 是单调函数的充要条件是（ ）
A．b 0 B．b 0 C．b > 0 D．b < 0
【答案】A
b
【分析】因为函数 y x2
é
+ bx + c在 ê , + ÷上单调递增，且在 0, + 上是单调函数，比较即可求解参数范 2
围．
y x2
b
bx c , ù é
b
【详解】函数 + + 在 ú 上单调递减，在 ê , +

÷上单调递增，
è 2 2
b
又在区间 0, + 上是单调函数，所以 0 ，解得b 0，
2
故选：A
7．（全国·高考真题）若函数 f x x2 + 2ax 与 g x a 在区间 1,2 上都是减函数，则 a的取值范围
x +1
（ ）
A． 1,0 U 0,1 B． 1,0 U 0,1 C． 0,1 D． 0,1
【答案】D
【分析】分别讨论两个函数的单调性， f (x) 是二次函数，由对称轴可得， g(x)
a
，只要 a > 0在 (0, + )
x +1
上一定递减，两者结合可得．
【详解】对于 f (x) x2 + 2ax ，开口向下，对称轴为 x a
若函数在区间 1,2 上都是减函数，则区间 1,2 在对称轴的右侧，所以可得： a 1；
g(x) a a对于 ，其相当于将 y 的图象向左平移 1 个单位，得到如下函数图像：
x +1 x
a a
此时我们可以判断，当 a > 0时，则函数 y 在第一象限为单调递减，而 g(x) 在 ( 1, + )单调递减，
x x +1
故的取值范围是 (0,1] .
故选：D．
【点睛】本题考查函数的单调性，掌握二次函数与反比例函数的单调性是解题关键．
二、填空题
8．（上海·高考真题）若 ，则满足 的 取值范围是 .
【答案】( 0, 1)
1 2 2 1 2 1
【详解】根据幂函数的性质，由于 < ，所以当0 < x <1时 x 3 < x 2 ，当 x >1时， x 3 > x 2 ，因此 f (x) < 0的2 3
解集为( 0, 1) .
【考点】幂函数的性质.

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