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第 02 讲 常用逻辑用语
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断命题的真假
单绝对值不等式
2024 年新Ⅱ卷，第 2 题，5 分 全称量词命题的否定及其真假判断
一元三次方程
存在量词命题的否定及其真假判断
2023 年新 I 卷，第 7 题，5 分 充分条件与必要条件 等差数列通项公式及前 n 项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，具体视命题情况而定，新教材体系下只考查充分条件与必
要条件和全称量词命题与存在量词命题及其否定，可直接考查，分值 5 分，也可作为知识点载体的形式考
查，例如 2023 年新Ⅰ卷第 7 题以数列知识点作为载体，难度随载体知识点而定，分值为 5 分
【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件
2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系
3.能理解全称量词与存在量词的意义
4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定
【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题
和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。
知识讲解
1．在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，我们把可判断 的陈述句叫做命题.
判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语句叫做假命题.
【答案】真假 真 假
2．在数学中，许多命题可表示为“若 p 则q”，其中 p 叫作命题的 ，q叫作命题的 .
【答案】条件 结论
3．充分条件与必要条件的定义
一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由条件 p 通过推理可以得出 q 。
由 p 可推出 q ，记作 p q ，并且说 p 是 q 的__________， q 是 p 的__________。
如果“若 p ，则 q ”为假命题，是指由条件 p 不能推出结论 q ，记作 p q ，则 p 不是 q 的充分条件， q
不是 p 的必要条件。
【答案】充分条件 必要条件
4．充分性和必要性的关系
在“若 p ，则 q ”中，
若： p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件
若： q p ，则 q 是 p 的充分条件， p 是 q 的必要条件
也就是说：在“若 p ，则 q ”中，
条件 结论，_________________；
结论 条件，_________________
【答案】充分性成立 必要性成立
5．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p q，则 p 是 q 的 条件，q 是 p 的 条件
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
p 是 q 的 条件 p q
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
【答案】 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要
6．集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题 p 对应集合 A，命题 q 对应集合 B
若 A B ，即 p q ， p 是 q 的充分条件（充分性成立）
若 A B ，即 q p ， p 是 q 的必要条件（必要性成立）
若 A B，即 p q ， q p ， p 是 q 的______________________
若 A B ，即 p q ， q p ， p 是 q 的______________________
若 A B ，即 p q ， q p ， p 是 q 的______________________
【答案】充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件
7．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ " ”表示.
（2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ $ ”表示.
【答案】 所有的 任意一个 存在一个 至少有一个
8．全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定
命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定
全称量词命题 对 M 中任意一个 x， p x 成立
存在量词命题 存在 M 中的元素 x， p x 成立
【答案】 "x M , p x $x0 M , p x0 $x M , p x "x M , p x
考点一、判断充分条件与必要条件
r r
1．（2024·全国·高考真题）已知向量a x +1, x ,b x,2 ，则（ ）
r r r r
A．“ x -3 ”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x -3 ”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
r r r r
【详解】对 A，当 a ^ b时，则 a ×b 0 ，
所以 x × (x +1) + 2x 0，解得 x 0或-3，即必要性不成立，故 A 错误；
r r
对 C，当 x 0时， a 1,0 ,b
r r
0,2 ，故 a ×b 0 ，
r r
所以 a ^ b，即充分性成立，故 C 正确；
r r
对 B，当 a / /b时，则 2(x +1) x2 ，解得 x 1± 3 ，即必要性不成立，故 B 错误；
对 D，当 x -1+ 3 时，不满足 2(x +1) x2
r r
，所以 a / /b不成立，即充分性不立，故 D 错误.
故选：C.
S
2．（2023·全国·高考真题）记 Sn 为数列 an 的前 n项和，设甲： an 为等差数列；乙：{ n }为等差数列，则n
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前 n 项和与第 n 项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法 1，甲： an 为等差数列，设其首项为 a1，公差为d ，
S na n(n -1) d , S n -1 d d S则 + n a + d n + a - , n+1
S
- n
d
n 1 2 n 1 2 2 1
，
2 n +1 n 2
因此{
Sn }为等差数列，则甲是乙的充分条件；
n
{Sn
S
} n+1
S
- n
nSn+1 - (n +1)S n nan+1 - Sn反之，乙： 为等差数列，即 t
n n +1 n n(n +1) n(n 1)
为常数，设为 ，
+
nan+1 - Sn
即 t S na - t × n(n +1) S (n -1)a - t ×n(n -1), n 2n(n +1) ，则 n n+1 ，有 n-1 n ，
两式相减得： an nan+1 - (n -1)an - 2tn ，即 an+1 - an 2t ，对 n 1也成立，
因此 an 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
n(n -1)
方法 2，甲： an 为等差数列，设数列 an 的首项 a1，公差为d ，即 Sn na1 + d ，2
Sn a (n -1) d d S则 + d n + a - ，因此{ n1 1 }为等差数列，即甲是乙的充分条件；n 2 2 2 n
S S S S
反之，乙：{ n }为等差数列，即 n+1 - n D, n S + (n -1)D ，
n n +1 n n 1
即 Sn nS1 + n(n -1)D， Sn-1 (n -1)S1 + (n -1)(n - 2)D ，
当 n 2时，上两式相减得： Sn - Sn-1 S1 + 2(n -1)D，当 n 1时，上式成立，
于是 an a1 + 2(n -1)D，又 an+1 - an a1 + 2nD -[a1 + 2(n -1)D] 2D 为常数，
因此 an 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
r r
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量a m,2m+3 ，b 1,4m+1 r r，则“ m 3 - ”是“ a 与b 共线”的（ ）4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出m 的值，判断得解.
r r
【详解】向量a m,2m+3 ，b 1,4m+1 ，
r r
若 a 与b 共线，则m 4m + 1 - 2m
3
+ 3 0 .解得m - 或m 1，
4
m 3
r r
所以“ - ”是“ a 与b 共线”的充分不必要条件，4
故选：A.
2．（2024·山东日照·二模）已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数 y x3在定义域R 上单调递增，
所以由 a > b推得出 a3 > b3，故充分性成立；
由 a3 > b3推得出 a > b，故必要性成立，
所以“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的充要条件.
故选：C
3．（2024·山东聊城·三模）“ a + b < -2，且ab >1”是“ a < -1，且b < -1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若 a < -1，且b < -1，根据不等式的加法和乘法法则可得 a + b < -2，且ab >1，即必要性成立；
当a 3,b
1 1
- - ，满足 a + b < -2，且ab >1，但是b - > -1，故充分性不成立，
2 2
所以“ a + b < -2，且ab >1”是“ a < -1，且b < -1”的必要不充分条件.
故选：B
考点二、根据命题的条件求参数值或范围
1．（2023·江西萍乡·二模）集合 A {x∣-1 < x < 2}, B {x∣- 2 < x < m}，若 x B 的充分条件是 x A，则实数m
的取值范围是（ ）
A． -1,2 B． 2, + C． -2,2 D． 2, +
【答案】B
【分析】根据题意A 是 B 的子集，从而求解.
【详解】 A {x∣-1 < x < 2}, B {x∣- 2 < x < m}，
因为 x B 的充分条件是 x A，所以 A B ，
则m 2，
故选：B.
2．（23-24 高三上·广东佛山·阶段练习）关于 x 的一元二次方程 x2 + x + m 0有实数解的一个必要不充分条件
的是（ ）
1 1 1 1
A．m < B．m C．m < - D．m <
2 4 2 4
【答案】A
1
【分析】由D 0可得m ，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
4
【详解】因为一元二次方程 x2 + x + m 0有实根，
1
所以D 1- 4m 0，解得m .
4
( , 1] ( , 1又 - 是 - ) 的真子集，
4 2
1 1
所以“ (- , ) ”是“ (- , ] ”的必要不充分条件.
2 4
故选：A
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 z a + bi i(a,b R, i 为虚数单位 )的共轭复数为 z ，则“ z 为纯虚数”
的充分必要条件为（ ）
A． a2 + b2 0 B． ab 0
C． a 0,b 0 D． a 0,b 0
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为 z a + bi i -b + ai a,b R ，
由 z -b - ai为纯虚数，即-b 0且-a 0，
即 a 0且b 0 .
故选：D.
2．（2024·山东·二模）已知 p :1 < 2x < 4， q : x2 - ax -1< 0，若 p 是q的充分不必要条件，则（ ）
3 3
A． a B．0 < a C． a > 2 D．0 < a 2
2 2
【答案】A
1
【分析】首先化简命题 p ，依题意可得当0 < x < 2时 x2 - ax -1< 0恒成立，参变分离可得 a > x - 在0 < x < 2
x
上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
【详解】命题 p :1 < 2x < 4，即 p : 0 < x < 2，
因为 p 是q的充分不必要条件，
显然当 x 0时满足 q : x2 - ax -1< 0，
所以当0 < x < 2时 x2 - ax -1< 0恒成立，
则 a > x
1
- 在0 < x < 2上恒成立，
x
f x x 1 0,2 3又函数 - 在 上单调递增，且 f 2 ，
x 2
3
所以 a .
2
故选：A
2 2
3．（23-24 高三上·广东汕头·阶段练习）命题 p : x y方程 + 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则使命题 p
5 - m m -1
成立的充分必要条件是（　　）
A． 4 < m < 5 B．3 < m < 5
C．1< m < 5 D．1< m < 3
【答案】B
【分析】求出当命题 p 为真命题时实数m 的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论.
x2 y2
【详解】若命题 p 为真命题，则方程 + 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，
5 - m m -1
ìm -1 > 5 - m
所以， í5 m 0 ，解得
3 < m < 5，
- >
因此，使命题 p 成立的充分必要条件是3 < m < 5 .
故选：B．
考点三、判断全称量词命题和存在量词命题真假
1．（2023·河北·模拟预测）命题 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命题q：$x R， 2x2 - 4x + 3 0，则（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
【答案】D
【分析】对于命题 p ：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结合二次函数的D
判别式分析判断.
【详解】对于命题 p ：令 t x > 1，则 y t + 2t 2 - 3 2t 2
1
+ t - 3开口向上，对称轴为 t - ，
4
且 y |x 1 0，则 y 2t 2 + t - 3 > 0，
所以"x >1， x + 2x - 3 > 0，即命题 p 为真命题；
对于命题q：因为D -4 2 - 4 2 3 -8 < 0，
所以方程 2x2 - 4x + 3 0无解，即命题q为假命题；
故选：D.
2．（湖南·高考真题）下列命题中的假命题是
A 2．"x R ， 2x-1 > 0 B．"x N *， x -1 > 0
C．$x R， lg x <1 D．$x R， tan x 2
【答案】B
【详解】试题分析：当 x=1 时，（x-1）2=0,显然选项 B 中的命题为假命题，故选 B．
考点：特称命题与存在命题的真假判断．
1．（22-23 高三下·河北·阶段练习）已知命题 p : $x N，ex < 0（ e为自然对数的底数）
;q : "x R，x2 + x 0，则下列为真命题的是（ ）
A． p 真，q假 B． p 真，q真
C． p 假，q真 D． p 假，q假
【答案】C
【分析】由全称量词，特称量词定义判断命题 p，q 正误可得答案.
【详解】Q"x N, ex > 0,\命题 p 为假命题，Q "x R x2，必有 0, x 0 x2，所以 + x 0，
\命题q为真命题.
故选：C.
2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（ ）
1
A．"x R ，且 x 0, x + 2
x
B．$x R，使得 x2 +1 2x
2 2
C x + y 2xy．若 x＞0，y＞0，则
2 x + y
D x
5
x
2 - 4x + 5
．若 ，则 的最小值为 1
2 2x - 4
【答案】A
【分析】A 举反例，B 找一个满足条件的，C 基本不等式的应用，D 分离常数结合基本不等式.
1
【详解】解析：选 A.对于 A，"x R ，且 x 0, x + 2对 x＜0 时不成立；
x
对于 B，当 x＝1 时，x2＋1＝2，2x＝2， x2 +1 2x 成立，正确；
2 2
C x 0 y 0 x2 + y2对于 ，若 ＞ ， ＞ ，则 (x + y)2 2xy × 4xy 8x2 y2 x + y 2xy，化为 ，当且仅当 x y > 0
2 x + y
时取等号，C 正确；
2 2
对于 D， y
x - 4x + 5 (x - 2) +1 1 1
é(x - 2) + ù 5ê ú ，因为 x ，所以 x - 2 > 0，所以2x - 4 2(x - 2) 2 x - 2 2
1 é(x - 2) 1+ ù 1 1
1
ê ú 2 (x - 2) × 1，当且仅当 x - 2 ，即 x 3时取等号.故 y 的最小值为 1，D2 x - 2 2 x - 2 x - 2
正确.
故选：A
考点四、全称量词命题和存在量词命题的否定
1．（2024·全国·高考真题）已知命题 p："x R ， | x +1|>1；命题 q：$x > 0 ， x3 x ，则（ ）
A．p 和 q 都是真命题 B． p 和 q 都是真命题
C．p 和 q 都是真命题 D． p 和 q 都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 x=-1、 x 1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 p 而言，取 x=-1，则有 x +1 0 <1，故 p 是假命题， p 是真命题，
对于q而言，取 x 1，则有 x3 13 1 x ，故q是真命题， q 是假命题，
综上， p 和q都是真命题.
故选：B.
2．（2024·广东梅州·一模）命题“ $x (0,+ ), ln x x -1”的否定是（ ）
A．$x (0,+ ), ln x x -1
B．$x (0,+ ), ln x x -1
C．"x (0,+ ), ln x x -1
D．"x (0, + ), ln x x -1
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“ $x (0,+ ), ln x x -1”的否定是“"x (0,+ ), ln x x -1 ”.
故选：C
1．（2024·山东潍坊·二模）已知命题 p ：$x -1,1 ， x2 > a，则 p 为 ．
【答案】"x -1,1 , x2 a
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】由特称命题的否定为全称命题可得 p 为"x -1,1 , x2 a .
2
故答案为："x -1,1 , x a
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“ "x 1, + ， x3 - 2x +1 > 0 ”的否定是（ ）
A．"x - ,1 ， x3 - 2x +1 > 0 B．"x 1, + ， x3 - 2x +1 0
C．$x - ,1 ， x3 - 2x +1 > 0 D．$x 1, + ， x3 - 2x +1 0
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ "x 1, + ， x3 - 2x +1 > 0 ”的否定是$x 1, + ， x3 - 2x +1 0 .
故选：D.
考点五、根据全称量词命题和存在量词命题的真假，求参数值或范围
1．（2024·辽宁·三模）若“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围为 .
【答案】 - , 4
4
【分析】将问题转化为“ a x + 在 (0, + )上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
x
【详解】因为“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0 ”是假命题，
所以“ "x 0, + ， x2 - ax + 4 0 ”为真命题，
4
其等价于 a x + 在 0, + 上恒成立，
x
4
又因为对勾函数 f x x + 在 (0, 2]上单调递减，在[2,+ )上单调递增，
x
所以 f x f 2 4min ，
所以 a 4，即实数 a的取值范围为 - , 4 .
故答案为： - , 4 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于"x 0, + ， ex > ax +1”为真命题，写出符合条件的 a的一个
值： ．
【答案】 -1（答案不唯一）
【分析】当 x 0, + 时， ex >1，当 a<0时，可得 a可取任意负数，即可求解.
【详解】对于"x 0, + ， ex >1，
当 a<0时，对于"x 0, + ， ax +1<1，则 a可取任意负数，如 -1；
故答案为： -1 .
1
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 p : "x -1,0 , a x - 5x，若 p 为假命题，则 a的取值范围是 2
【答案】 1, +
【分析】根据全称命题的真假可知 p : $x -1,0 , a 1> x - 5x 为真命题，由此构造函数2
f (x) 1 x - 5x, x -1,0 ，结合单调性求得最值，即可求得答案.2
1
【详解】由题意知命题 p : "x -1,0 , a x - 5x为假命题，2
则 p : $x
1
-1,0 , a > x - 5x 为真命题，2
设 f (x)
1
x - 5x, x -1,0 ，则 a > f (x)min ，2
由于 y 2x
1
在 R 上单调递增，故 f (x) x - 5x在 -1,0 上单调递减，2
则 f (x)
1
min 0 - 5 0 1，故 a > 1，2
故答案为： 1, +
2．（2024·辽宁·模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 ，使得函数 f x x2 - 2mx在区间 a,+ 内单调，若 p 的
否定为真命题，则 a的取值范围是 .
【答案】 - , -1
【分析】先给出命题 p 的否定，由函数 f (x) x2 - 2mx的单调性进行求解.
【详解】命题 p 的否定为：任意m -1,1 ，使得函数 f (x) x2 - 2mx在区间[a, + )内不单调，
由函数 f (x) x2 - 2mx在 - ,m 上单调递减，在 m,+ 上单调递增，
则 a < m ，而m -1,1 ，
得 a < -1，
故答案为： - , -1
考点六、常用逻辑用语多选题综合
1．（2024·重庆·三模）命题“存在 x > 0，使得mx2 + 2x -1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．m > -2 B．m > -1 C．m > 0 D．m > 1
【答案】CD
m 1- 2x 1- 2x【分析】根据题意，转化为存在 x > 0，设定 > 2 ，利用二次函数的性质，求得 2 的最小值为 -1，x x
求得m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
1- 2x 1 1 1
【详解】由题意，存在 x > 0，使得mx2 + 2x -1 > 0，即m > ( )2 - 2 ( -1)2 -1，x2 x x x
1 1 0 1- 2x当 - 时，即 x 1时， 2 的最小值为 -1，故m > -1；x x
所以命题“存在 x > 0，使得mx2 + 2x -1 > 0 ”为真命题的充分不必要条件是 m m -1 的真子集，
结合选项可得，C 和 D 项符合条件.
故选：CD.
2．（2023·湖南常德·一模）已知平面 α，β，直线 l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若a ^ b ，a b m, l ^ m, l a ，则 l ^ b
B．若a∥b，l a ，m b ，则 l // m
C．若m a ，则“ l ^ a ”是“ l ^ m ”的充分不必要条件
D．若m a ， l a ，则“ l∥a ”是“ l P m ”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据面面垂直的性质定理可判断 A,根据线面平行的判断以及性质可判断 BD,根据线面垂直的性质可
判断 C.
【详解】由面面垂直的性质定理可知 A 正确,
对于 B,若a∥b，l a ，m b ，则 l // m ,或者 l, m 异面，故 B 错误,
对于 C,若m a , l ^ a 则 l ^ m ,故充分性成立,但是 l ^ m ，m a ，不能得到 l ^ a ，故 C 正确，
对于 D,若m a ， l a ， l∥a ,不能得到 l P m ,因为 l, m 有可能异面，但是 l P m，m a ， l a ，则
l∥a ，故 D 正确，
故选：ACD
1．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．命题 p : $x [1,+ ),ex00 x0 +1的否定是："x [1, + ),ex < x +1
B．若"x (0, + ),ax < x2 +1，则实数 a (- , 2]
C．已知a, b R，“ a > b ”是 a | a |> b | b |的充要条件
D．“函数 y tan x 的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“sin x0 0 ”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据命题的否定可判断 A，根据恒成立以及基本不等式可判断 B，根据不等式的性质可判断 C，根
据正切函数以及正弦函数的性质可判断 D.
x
【详解】对于 A,命题 p : $x0 [1,+ ),e 0 x0 +1的否定是："x [1, + ),ex < x +1 ,故 A 正确，
2 1
对于 B, "x (0, + ),ax < x2 +1 a x +1 1，则 < x + 对"x (0,+ ) 恒成立，故 a < x + x ÷ ，由于x x è min
x 0, x 1> + 2，故 a < 2，因此 B 错误，
x
对于C， a, b R，若 a > b 0 ，则 a | a | a2 > b | b | b2，若0 a > b ，此时 a | a | -a2 > b | b | -b2，若a > 0 > b，
则 a | a | a2 > b | b | -b2，因此对任意的 a > b，都有 a | a |> b | b |，充分性成立，若 a | a |> b | b |，如果
a < 0,b < 0 ，则由 a | a |> b | b | -a2 > -b2 a2 < b2 0 > a > b，如果 a > 0,b > 0 ，则由
a | a |> b | b | a2 > b2 a2 > b2 a > b > 0 ，若 a > 0,b < 0 ，显然满足 a | a |> b | b |，此时a > 0 > b，如果
a < 0 < b，不满足 a | a |> b | b |，综合可知： a > b，所以必要性成立，故“ a > b ”是 a | a |> b | b |的充要条件，故
C 正确，
对于 D， y tan x
kπ
的对称中心为 ,0÷ ,k Z ,所以 sin
kπ
2 不一定为
0，sin x0 0，则 x0 kπ,k Z ,此时
è 2
tan kπ=0 ，故 kπ,0 ,k Z 是 y tan x 的对称中心，故函数 y tan x 的图象关于 x0 ,0 中心对称”是
“sin x0 0 ”的必要不充分条件，故 D 正确，
故选：ACD
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 a,b > 0，则使得“ a > b ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A 1 1． a < b B．
| a - 2 |>| b - 2 |
C． a2b ab2 a b D ln a2 +1 > ln b2- > - ． +1
【答案】AD
1 1 1
【分析】由不等式的性质可判断 AD；取特值可判断 B； a2b - ab2 > a - b 可化为 a + > b + 结合 y x + 的
a b x
单调性可判断 C.
b a
【详解】对于 A，因为 ab > 0， < ，故 a > b,故 A 选项正确；
ab ab
对于 B，取 a 1,b 2，此时满足1 > 0，但 a < b ，B 选项错误；
对于 C， a2b - ab2 > a - b 可得： a2b + b > ab2 + a，
2 2
则b a2 +1 > a b2 +1 a +1 b +1，因为 a,b > 0，即 >
a b
a 1 1所以 + > b + ，因为函数 y x
1
+ 在 (0, + )不单调，所以 C 选项错误；
a b x
2
对于 D，由 ln a +1 > ln b2 +1 可知， a2 > b2 ，因为 a,b > 0，
所以 a > b，故 D 选项正确，
故选：AD．
1．（2024·河南·三模）命题“ $x > 0, x2 + x -1 > 0 ”的否定是（ ）
A．"x > 0, x2 + x -1 > 0 B．"x > 0, x2 + x -1 0
C．$x 0, x2 + x -1 > 0 D．$x 0, x2 + x -1 0
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，
即命题“ $x > 0, x2 + x -1 > 0 ”的否定为“ "x > 0, x2 + x -1 0 ”.
故选：B.
2．（2024·四川成都·模拟预测）命题$x -1,1 , x + x < 0的否定是（ ）
A．$x -1,1 , x + x 0
B．"x -1,1 , x + x 0
C．"x - ,-1 1,+ , x + x 0
D．"x - ,-1 1,+ , x + x < 0
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题$x -1,1 , x + x < 0，
则其否定为"x -1,1 , x + x 0 .
故选:B
π
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“ "x 0, ÷ ,sinx + cosx >1”的否定是（2 ）è
$x A． 0,
π
÷ ,sinx + cosx 1
π
B．$x

2
0, ÷ ,sinx + cosx >1
è è 2
$x π C． 0, ÷ ,sinx + cosx 1 x
0, π> $ D． ÷ ,sinx + cosx 1
è 2 è 2
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可.
π π
【详解】命题“ "x 0, ÷ ,sinx + cosx >1” 的否定是“ $x 0, ÷ ,sinx + cosx 1”.
è 2 è 2
故选：A
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 p : "VABC, A + B + C π，则 p 为（ ）
A．$VABC, A + B + C π B．"VABC, A + B + C π
C．$VABC, A + B + C π D．"VABC, A + B + C π
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得解.
【详解】根据全称命题的否定，得 p 为：$VABC, A + B + C π .
故选：A.
1
5．（2024·新疆·二模）使“ >1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
x
1
A． x > 0 B．0 < x <
2
C．0 < x <1 D．0 < x < 2
【答案】B
【分析】
1
先解分式不等式 >1，求得解集，依题意，只需使选项的范围是该解集的真子集即得.
x
【详解】
1 1- x
由 >1，得 > 0，解得0 < x <1，则选项中的 x 的范围组成的集合是 0,1 的真子集，
x x
1 1
由选项知，选项A,C,D均不满足，选项 B 满足.故使“ >1”成立的一个充分不必要条件可以是“ 0 < x < ”.
x 2
故选：B.
6．（2024·河北唐山·一模）已知 x R ， p ：“ x2 - x > 0 ”，q：“ x >1”，则 p 是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由 x2 - x > 0 ，即 x x -1 > 0，解得 x >1或 x < 0 ，
所以 p ：“ x >1或 x < 0 ”，
故由 p 推不出q，即充分性不成立，
由q推得出 p ，即必要性成立，
所以 p 是q的必要但不充分条件.
故选：B
7．（2024·天津·二模）已知 a,b R ，则“ a = b = 0 ”是“ a + b 0 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若 a = b = 0，则 a + b 0，即充分性成立；
若 a + b 0，例如 a 1,b -1，满足条件，但 a = b = 0不成立，即必要性不成立；
综上所述：“ a = b = 0 ”是“ a + b 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2024·福建漳州·三模）已知数列 an 是公比不为 1 的正项等比数列，则 t 2是 a1 ×a10 at ×a9成立的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用下标和性质判断充分性，根据通项公式化简可判断必要性.
【详解】由下标和性质可知，若 t 2，则 a1 ×a10 at ×a9；
9 t-1 8 2 9 2 t+7
记数列 an 是公比为q，若 a1 ×a10 at ×a9，则 a1 ×a1q a1q ×a1q ，即 a1 q a1 q ，
因为数列 an 是公比不为 1 的正项等比数列，所以 q9 qt+7 ，得 t + 7 9, t 2 .
综上，则 t 2是 a1 ×a10 at ×a9成立的充要条件.
故选：A
9．（2024·北京朝阳·二模）已知a , b 是两个互相垂直的平面， l, m 是两条直线，a b l ，则“ m ^ l ”是
“ m ^ a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知，a ^ b ,a I b l ，
若m ^ l ，当m b 时，有m ^ a ；当m b 时，m 与a 可能相交、平行、垂直.
若m ^ a ，由 l a ，得m ^ l .
故“ m ^ l ”是“ m ^ a ”是必要不充分条件.
故选：B
2 2
10．（2024· x y河北邢台·二模）若点 P 是双曲线 C： - 1上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，则16 9
“ PF1 8”是“ PF2 16 ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】 a 4,b 3,c 42 + 32 5，
当点 P 在左支时， PF1 的最小值为 c - a 1，
当点 P 在右支时， PF1 的最小值为 a + c = 9 ，
因为 PF1 8，则点 P 在双曲线的左支上，
由双曲线的定义 PF2 - PF1 PF2 -8 2a 8，解得 PF2 16；
当 PF2 16，点 P 在左支时， PF1 8；在右支时， PF1 24；推不出 PF1 8；
故为充分不必要条件，
故选：D.
1．（2024·全国·模拟预测）已知命题 p : "x Z, x2 0，则 p 为（ ）
A．$x Z, x2 0 B．$x Z, x2 0
C．$x Z, x2 < 0 D．$x Z, x2 < 0
【答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：
命题 p : "x Z, x2 0的否定为： p 为$x Z, x2 < 0．
故选：C．
2．（2024·天津·二模）已知 p ： x -1 < 2，q： x + 2 0，则 p 是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解.
【详解】由 x -1 < 2，解得-1 < x < 3，由 x + 2 0，解得 x -2，
所以 p 能推出q，q不能推出 p ，则 p 是q的充分不必要条件.
故选：A
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知a , b ,g 是三个不同的平面，a Ig m, b Ig n，则“ m∥n ”是
“a ∥b ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由a Ig m, b Ig n，若a //b ，由面面平行的性质知：m//n，必要性成立；
由a Ig m, b Ig n，若m//n，则a //b 或a , b 相交，充分性不成立．
相交情况如下：
故选：B.
4．（2024· *湖北武汉·模拟预测）已知数列 an ，则“ an-2 + an+2 2an n 3，n N ”是“数列 an 是等差数列”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先判断充分性：由已知可得 an+2 - an an - an-2 ，数列 an 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数
列，举例可知数列 an 不一定是等差数列，再判断必要性：数列 an 是等差数列，可得 2an an-2 + an+2 ，可
得结论.
【详解】先判断充分性：Qan-2 + an+2 2an ,\an+2 - an an - an-2 ，
*
令 n 2k k N ，则 a2k +2 - a2k a2k - a2k -2 L a4 - a2 ,\数列 an 的偶数项成等差数列，
令 n 2k -1 k N* ，则 a2k +1 - a2k -1 a2k -1 - a2k -3 L a3 - a1,\数列 an 的奇数项成等差数列，
但数列 an 不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“ a + a 2a n 3, n N*n-2 n+2 n ”不是“数列 an 是等差数列”的充分条件；
a + a a + a a a
再判断必要性：若数列 a 是等差数列，则 2a a + a n-2 n + n n+2 a + n-2 + n+2n n n-1 n+1 2 2 n ，2 2
\2a a + a ∴“ a *n n-2 n+2 ， n-2 + an+2 2an n 3, n N ”是“数列 an 是等差数列”的必要条件；
综上，“ an-2 + an+2 2an n 3, n N * ”是“数列 an 是等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2024·江西·模拟预测）已知数列 an 满足 an n - a a R ，则“ a 1”是 an 是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当 a 1时 an n - a 0，则 an n - a n - a ，
所以 an+1 - an n +1- a - n - a 1 > 0，即 an+1 > an ，所以 an 是递增数列，故充分性成立；
ì1
5 a n 5
,n 1
当 a

4时 n - í ，则 a < a5 1 2
< a3 4
所以当数列 an 是递增数列， a可以大于1，所以必要性不成立，
所以“ a 1”是 an 是递增数列的充分不必要条件.
故选：B
6．（2024·北京·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .则“ a,b,c成等比数列”是 sin B 3 的
2
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
1
【分析】先将b2 ac 3代入余弦定理，利用基本不等式得到 cos B ，从而得到2 sin B
，接着根据
2
sin B 3 得到 B 可能为钝角，不满足 a,b,c成等比数列，从而得答案.
2
【详解】当 a,b,c成等比数列时，b2 ac，
a2cos B + c
2 - b2 2ac - ac 1
所以 ，当且仅当 a c 时等号成立，
2ac 2ac 2
π 3
又B 0, π ，所以B ，所以 sin B ，充分性满足；3 2
π ù é 2π
当 sin B 3 时，B 0, ú ê , π

÷，
2 è 3 3
é 2π
而当B ê , π ÷时，b 为最长的边，不满足 a,b,c成等比数列，必要性不满足. 3
则“ a,b,c成等比数列”是 sin B 3 的充分不必要条件.
2
故选：A.
2 2
7．（2024· x y山东泰安·二模）已知双曲线C : - 1，则“ m 2 ”是“双曲线C 的离心率为 3 ”的（ ）
m m + 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得m 的取值范围为{-4,2}，再根据包含关系分析充
分、必要条件.
【详解】若双曲线C 的离心率为 3，则有：
ìa2 m > 0
当双曲线C 的焦点在 x 轴上，则 í 2 ，解得m > 0，
b m + 2 > 0
1 m + 2可得 + 3 ，解得m 2 ；
m
ìa2 - m + 2 > 0
当双曲线C 的焦点在 y 轴上，则 í 2 ，解得m < -2，
b -m > 0
-m
可得 1+ 3- m + 2 ，解得m -4；
综上所述：m 的取值范围为{-4,2} .
显然 2 是{-4,2}的真子集，
所以“ m 2 ”是“双曲线C 的离心率为 3 ” 充分不必要条件.
故选：A.
8．（2024·河南新乡·三模）已知直线 l1 : 2x + my -1 0，l2 : m +1 x + 3y +1 0，则“ m 2 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【详解】当m 2 时，直线 l1 : 2x + 2y -1 0，l2 : 3x + 3y +1 0，则 l1//l2，
当 l1//l
2 m -1
2时， ，解得m 2 ，m +1 3 1
所以“ m 2 ”是“ l1//l2 ”的充要条件.
故选：C
9．（2024·全国·三模）已知a ，b 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，若m a ，a I b l ，则
“ m∥l ”是“ m∥b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若m a ，a I b l ，m∥l ，且m b ，所以直线与平面平行的判定定理知m∥b ；
若m a ，a I b l ，m∥b ，所以直线与平面平行的性质定理知m∥l ；
所以“ m∥l ”是“ m∥b ”的充要条件.
故选：C.
10．（2024· 2四川凉山·二模）已知命题“ "x R ， sin π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，则 m 的取值范围为
（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“ "x R ， sin2 π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，
“ $x R sin2则 0 ， π + x + 2cos x + m > 0 ”是真命题，
2
所以m > -sin π + x - 2cos x 有解，
m > é-sin2所以 π + x - 2cos x ùmin ，
又-sin2 π + x - 2cos x -sin2 x - 2cos x cos2 x - 2cos x -1 cos x -1 2 - 2，
2
因为 cos x -1,1 ，所以 é-sin π + x - 2cos xù -2min ，
即m > -2 .
故选：B.
r r r r r r r r r r1．（2024·北京·高考真题）已知向量 a ，b ，则“ a + b · a - b 0 ”是“ a b或a -b ”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量数量积分析可知 r r r ra + b × a - b r 0等价于 ar b ，结合充分、必要条件分析判断.
r r r r
【详解】因为 ar r r+ b × a - b a2 b 2 0 r 2 r2 r- ，可得 a b ，即 a b ，
r r可知 a + b r r× a - b r 0 r等价于 a b ，
r r r r r r r r
若a b或a -b，可得 a b ，即 ar + b × ar - b 0，可知必要性成立；
r r r r r若 ar r r r r+ b × a - b 0，即 a b ，无法得出a b或a -b，
r r r r r r r r
例如 a 1,0 ,b 0,1 ，满足 a b ，但 a b且 a -b，可知充分性不成立；
r r r r r r r r
综上所述，“ a + b × a - b 0 ”是“ a b且 a -b ”的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2024·天津·高考真题）设 a,b R ，则“ a3 b3 ”是“ 3a 3b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， a3 b3和3a 3b 都当且仅当 a b，所以二者互为充要条件.
故选：C.
y x
3．（2023·北京·高考真题）若 xy 0，则“ x + y 0 ”是“ + -2x y ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
x y
【分析】解法一：由 + -2y x 化简得到
x + y 0即可判断；解法二：证明充分性可由 x + y 0得到 x -y ，
x y
代入 +
x y
y x 化简即可，证明必要性可由
+ -2
y x 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
x y x y
由 +y x 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把
x + y 0代入即可，证明必要性可由 +y x 通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把 x + y 0代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 xy 0
x y
，且 + -2y x ，
所以 x2 + y2 -2xy ，即 x2 + y2 + 2xy 2 0 ，即 x + y 0，所以 x + y 0 .
所以“ x + y 0
x y
”是“ + -2y x ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 xy 0，且 x + y 0，所以 x -y ，
x y -y y
所以 + + -1-1 -2y x y -y ，
所以充分性成立；
x y
必要性：因为 xy 0，且 + -2y x ，
所以 x2 + y2 -2xy ，即 x2 + y2 + 2xy 0 ，即 x + y 2 0，所以 x + y 0 .
所以必要性成立.
x x y所以“ + y 0 ”是“ + -2y x ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 xy 0，且 x + y 0，
x y x2 + y2
2
x2 + y2 + 2xy - 2xy x + y - 2xy -2xy
所以 + -2，
y x xy xy xy xy
所以充分性成立；
必要性：因为 xy 0
x y
，且 + -2y x ，
x y x2 + y2 x2 + y2 + 2xy - 2xy x + y 2 - 2xy x + y 2
所以 + - 2 -2，
y x xy xy xy xy
x + y 2 2
所以 0，所以 x + y 0，所以 x + y 0，
xy
所以必要性成立.
x y
所以“ x + y 0 ”是“ + -2y x ”的充要条件.
故选：C
4．（2023·全国·高考真题）设甲：sin2 a + sin2 b 1，乙： sina + cos b 0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
2 π【详解】当sin a + sin2 b 1时，例如a , b 0但 sina + cos b 0，
2
即sin2 a + sin2 b 1推不出 sina + cos b 0；
当 sina + cos b 0时， sin2 a + sin2 b (-cos b )2 + sin2 b 1，
即 sina + cos b 0能推出sin2 a + sin2 b 1 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
5．（2023·天津·高考真题）已知 a,b R ，“ a2 b2 ”是“ a2 + b2 2ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 a2 b2 ，则 a ±b，当a -b 0时 a2 + b2 2ab不成立，充分性不成立；
由 a2 + b2 2ab，则 (a - b)2 0，即 a b，显然 a2 b2 成立，必要性成立；
所以 a2 b2 是 a2 + b2 2ab的必要不充分条件.
故选：B
6．（2022·天津·高考真题）“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由 x 为整数能推出 2x +1为整数，故“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的充分条件，
x 1由 , 2x +1为整数不能推出 x 为整数，故“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的不必要条件，
2
综上所述，“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
7．（2022·浙江·高考真题）设 x R ，则“ sin x 1 ”是“ cos x 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 sin2 x + cos2 x 1可得：
当 sin x 1时， cos x 0，充分性成立；
当 cos x 0时， sin x ±1，必要性不成立；
所以当 x R ， sin x 1是 cos x 0的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2022·北京·高考真题）设 an 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存在正整数 N0 ，
当 n > N0 时， an > 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 an 的公差为d ，则 d 0，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 an 的公差为d ，则 d 0，记 x 为不超过 x 的最大整数.
若 an 为单调递增数列，则 d > 0，
若 a1 0，则当 n 2时， an > a1 0；若 a1 < 0，则 an a1 + n -1 d ，
a a + n -1 d > 0 n 1 a a由 n 1 可得 > - 1
é
，取 N 1
ù
0 ê1- ú +1，则当 n > N0 时， an > 0，d d
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0 ”；
若存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0，取 k N* 且 k > N0 ， ak > 0 ，
假设 d < 0 ，令 an ak + n - k d < 0可得 n > k
a
- k ，且 k
a
- k > k ，
d d
a
当 n >
ék - k ùê ú +1时， an < 0，与题设矛盾，假设不成立，则 d > 0，即数列 an 是递增数列. d
所以，“ an 是递增数列” “存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0 ”.
所以，“ an 是递增数列”是“存在正整数 N0 ，当 n > N0 时， an > 0 ”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2021·天津·高考真题）已知 a R ，则“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 a > 6，则 a2 > 36 ，故充分性成立；
若 a2 > 36 ，则 a > 6或 a < -6 ，推不出 a > 6，故必要性不成立；
所以“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的充分不必要条件.
故选：A.
r r r r r r r r r
10．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 a,b,c，则“ a × c b × c ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
uuur r uuur r uuur uuur r r r
如图所示，OA a,OB b ,OC cr, BA ar - b ,当 AB ^ OC 时， ar - b 与 c垂直， ，所以
r
成立，此时 ar b ，
r
∴ 不是 ar b 的充分条件，
r r r r r r r r r r
当 a b 时， a - b 0 ，∴ a - b ×c 0 ×c 0 ,∴ 成立，
r
∴ 是 ar b 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
11．（2021·全国·高考真题）等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，设甲：q > 0 ，乙： Sn 是递增数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当q > 0 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 Sn 是递增数列时，必有 an > 0成立即可说
明q > 0 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为-2,-4,-8,L时，满足q > 0 ，
但是 Sn 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 Sn 是递增数列，则必有 an > 0成立，若q > 0 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q > 0 成
立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．第 02 讲 常用逻辑用语
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断命题的真假
单绝对值不等式
2024 年新Ⅱ卷，第 2 题，5 分 全称量词命题的否定及其真假判断
一元三次方程
存在量词命题的否定及其真假判断
2023 年新 I 卷，第 7 题，5 分 充分条件与必要条件 等差数列通项公式及前 n 项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，具体视命题情况而定，新教材体系下只考查充分条件与必
要条件和全称量词命题与存在量词命题及其否定，可直接考查，分值 5 分，也可作为知识点载体的形式考
查，例如 2023 年新Ⅰ卷第 7 题以数列知识点作为载体，难度随载体知识点而定，分值为 5 分
【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件
2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系
3.能理解全称量词与存在量词的意义
4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定
【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题
和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。
知识讲解
1．在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，我们把可判断 的陈述句叫做命题.
判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语句叫做假命题.
2．在数学中，许多命题可表示为“若 p 则q”，其中 p 叫作命题的 ，q叫作命题的 .
3．充分条件与必要条件的定义
一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由条件 p 通过推理可以得出 q 。
由 p 可推出 q ，记作 p q ，并且说 p 是 q 的__________， q 是 p 的__________。
如果“若 p ，则 q ”为假命题，是指由条件 p 不能推出结论 q ，记作 p q ，则 p 不是 q 的充分条件， q
不是 p 的必要条件。
4．充分性和必要性的关系
在“若 p ，则 q ”中，若： p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件
若： q p ，则 q 是 p 的充分条件， p 是 q 的必要条件，也就是说：在“若 p ，则 q ”中，
条件 结论，_________________；结论 条件，_________________
5．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若 p q，则 p 是 q 的 条件，q 是 p 的 条件
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
p 是 q 的 条件 p q
p 是 q 的 条件 p q 且 q p
6．集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题 p 对应集合 A，命题 q 对应集合 B ，若 A B ，即 p q ， p 是 q 的充分条件（充分性成立）
若 A B ，即 q p ， p 是 q 的必要条件（必要性成立），若 A B，即 p q ， q p ， p 是 q 的
______________________，若 A B ，即 p q ， q p ， p 是 q 的______________________
若 A B ，即 p q ， q p ， p 是 q 的______________________
7．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ " ”表示.
（2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ $ ”表示.
8．全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定
命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定
全称量词命题 对 M 中任意一个 x， p x 成立
存在量词命题 存在 M 中的元素 x， p x 成立
考点一、判断充分条件与必要条件
r r
1．（2024·全国·高考真题）已知向量a x +1, x ,b x,2 ，则（ ）
r r r r
A．“ x -3 ”是“ a ^ b ”的必要条件 B．“ x -3 ”是“ a / /b ”的必要条件
r r r r
C．“ x 0 ”是“ a ^ b ”的充分条件 D．“ x -1+ 3 ”是“ a / /b ”的充分条件
2．（2023·全国·高考真题）记 S
S
n 为数列 an 的前 n项和，设甲： an 为等差数列；乙：{ n }为等差数列，则n
（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
r r 3 r r
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量a m,2m+3 ，b 1,4m+1 ，则“ m - ”是“ a 与b 共线”的（ ）4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2024·山东日照·二模）已知 a,b R ，则“ a > b ”是“ a3 > b3 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·山东聊城·三模）“ a + b < -2，且ab >1”是“ a < -1，且b < -1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二、根据命题的条件求参数值或范围
1．（2023·江西萍乡·二模）集合 A {x∣-1 < x < 2}, B {x∣- 2 < x < m}，若 x B 的充分条件是 x A，则实数m
的取值范围是（ ）
A． -1,2 B． 2, + C． -2,2 D． 2, +
2．（23-24 高三上·广东佛山·阶段练习）关于 x 的一元二次方程 x2 + x + m 0有实数解的一个必要不充分条件
的是（ ）
m 1 1 1A． < B．m C．m < - D．m
1
<
2 4 2 4
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 z a + bi i(a,b R, i 为虚数单位 )的共轭复数为 z ，则“ z 为纯虚数”
的充分必要条件为（ ）
A． a2 + b2 0 B． ab 0
C． a 0,b 0 D． a 0,b 0
2．（2024·山东·二模）已知 p :1 < 2x < 4， q : x2 - ax -1< 0，若 p 是q的充分不必要条件，则（ ）
a 3A． B．0 < a
3
C． a > 2 D．0 < a 2
2 2
2 2
3．（23-24 x y高三上·广东汕头·阶段练习）命题 p :方程 + 1表示焦点在 y 轴上的椭圆，则使命题 p
5 - m m -1
成立的充分必要条件是（　　）
A． 4 < m < 5 B．3 < m < 5
C．1< m < 5 D．1< m < 3
考点三、判断全称量词命题和存在量词命题真假
1．（2023·河北·模拟预测）命题 p ："x >1， x + 2x - 3 > 0，命题q：$x R， 2x2 - 4x + 3 0，则（ ）
A． p 真q真 B． p 假q假 C． p 假q真 D． p 真q假
2．（湖南·高考真题）下列命题中的假命题是
A．"x R ， 2x-1 > 0 B．"x N * x -1 2， > 0
C．$x R， lg x <1 D．$x R， tan x 2
1．（22-23 高三下·河北·阶段练习）已知命题 p : $x N，ex < 0（ e为自然对数的底数）
;q : "x R，x2 + x 0，则下列为真命题的是（ ）
A． p 真，q假 B． p 真，q真
C． p 假，q真 D． p 假，q假
2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A．"x R ，且 x 0, x
1
+ 2
x
B．$x R，使得 x2 +1 2x
C x 0 y 0 x
2 + y2 2xy
．若 ＞ ， ＞ ，则
2 x + y
x 5
2
D．若 x - 4x + 5，则 的最小值为 1
2 2x - 4
考点四、全称量词命题和存在量词命题的否定
1．（2024·全国·高考真题）已知命题 p："x R ， | x +1|>1；命题 q：$x > 0 ， x3 x ，则（ ）
A．p 和 q 都是真命题 B． p 和 q 都是真命题
C．p 和 q 都是真命题 D． p 和 q 都是真命题
2．（2024·广东梅州·一模）命题“ $x (0,+ ), ln x x -1”的否定是（ ）
A．$x (0,+ ), ln x x -1
B．$x (0,+ ), ln x x -1
C．"x (0,+ ), ln x x -1
D．"x (0, + ), ln x x -1
1．（2024·山东潍坊·二模）已知命题 p ：$x -1,1 ， x2 > a，则 p 为 ．
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“ "x 1, + ， x3 - 2x +1 > 0 ”的否定是（ ）
A．"x - ,1 ， x3 - 2x +1 > 0 B．"x 1, + ， x3 - 2x +1 0
C．$x - ,1 ， x3 - 2x +1 > 0 D．$x 1, + ， x3 - 2x +1 0
考点五、根据全称量词命题和存在量词命题的真假，求参数值或范围
1．（2024·辽宁·三模）若“ $x 0, + ，使 x2 - ax + 4 < 0 ”是假命题，则实数 a的取值范围为 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于"x 0, + ， ex > ax +1”为真命题，写出符合条件的 a的一个
值： ．
1
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 p : "x -1,0 , a x - 5x，若 p 为假命题，则 a的取值范围是 2
2．（2024· 2辽宁·模拟预测）命题 p ：存在m -1,1 ，使得函数 f x x - 2mx在区间 a,+ 内单调，若 p 的
否定为真命题，则 a的取值范围是 .
考点六、常用逻辑用语多选题综合
1．（2024·重庆·三模）命题“存在 x > 0，使得mx2 + 2x -1 > 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．m > -2 B．m > -1 C．m > 0 D．m > 1
2．（2023·湖南常德·一模）已知平面 α，β，直线 l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若a ^ b ，a b m, l ^ m, l a ，则 l ^ b
B．若a∥b，l a ，m b ，则 l // m
C．若m a ，则“ l ^ a ”是“ l ^ m ”的充分不必要条件
D．若m a ， l a ，则“ l∥a ”是“ l P m ”的必要不充分条件
1．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．命题 p : $x0 [1,+ ),e
x0 x0 +1的否定是："x [1, + ),ex < x +1
B．若"x (0, + ),ax < x2 +1，则实数 a (- , 2]
C．已知a, b R，“ a > b ”是 a | a |> b | b |的充要条件
D．“函数 y tan x 的图象关于 x0 ,0 中心对称”是“sin x0 0 ”的必要不充分条件
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 a,b > 0，则使得“ a > b ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A 1 1． a < b B．
| a - 2 |>| b - 2 |
C． a2b - ab2 > a - b D． ln a2 +1 > ln b2 +1
1．（2024·河南·三模）命题“ $x > 0, x2 + x -1 > 0 ”的否定是（ ）
A．"x > 0, x2 + x -1 > 0 B．"x > 0, x2 + x -1 0
C．$x 0, x2 + x -1 > 0 D．$x 0, x2 + x -1 0
2．（2024·四川成都·模拟预测）命题$x -1,1 , x + x < 0的否定是（ ）
A．$x -1,1 , x + x 0
B．"x -1,1 , x + x 0
C．"x - ,-1 1,+ , x + x 0
D．"x - ,-1 1,+ , x + x < 0
π
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“ "x 0, 2 ÷
,sinx + cosx >1”的否定是（ ）
è

A．$x 0,
π
÷ ,sinx cosx 1 x
0, π+ B．$ ÷ ,sinx + cosx >1
è 2 è 2
π
C．$x 0, ÷ ,sinx + cosx 1 x
0, π> D．$ ÷ ,sinx + cosx 1
è 2 è 2
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 p : "VABC, A + B + C π，则 p 为（ ）
A．$VABC, A + B + C π B．"VABC, A + B + C π
C．$VABC, A + B + C π D．"VABC, A + B + C π
1
5．（2024·新疆·二模）使“ >1”成立的一个充分不必要条件是（ ）
x
1
A． x > 0 B．0 < x <
2
C．0 < x <1 D．0 < x < 2
6．（2024·河北唐山·一模）已知 x R ， p ：“ x2 - x > 0 ”，q：“ x >1”，则 p 是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·天津·二模）已知 a,b R ，则“ a = b = 0 ”是“ a + b 0 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·福建漳州·三模）已知数列 an 是公比不为 1 的正项等比数列，则 t 2是 a1 ×a10 at ×a9成立的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2024·北京朝阳·二模）已知a , b 是两个互相垂直的平面， l, m 是两条直线，a b l ，则“ m ^ l ”是
“ m ^ a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x2 y210．（2024·河北邢台·二模）若点 P 是双曲线 C： - 1上一点，F1，F2 分别为 C 的左、右焦点，则16 9
“ PF1 8”是“ PF2 16 ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
1．（2024·全国·模拟预测）已知命题 p : "x Z, x2 0，则 p 为（ ）
A．$x Z, x2 0 B．$x Z, x2 0
C．$x Z, x2 < 0 D．$x Z, x2 < 0
2．（2024·天津·二模）已知 p ： x -1 < 2，q： x + 2 0，则 p 是q的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知a , b ,g 是三个不同的平面，a Ig m, b Ig n，则“ m∥n ”是
“a ∥b ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
4．（2024· *湖北武汉·模拟预测）已知数列 an ，则“ an-2 + an+2 2an n 3，n N ”是“数列 an 是等差数列”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·江西·模拟预测）已知数列 an 满足 an n - a a R ，则“ a 1”是 an 是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·北京·三模）在VABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b,c .则“ a,b,c 3成等比数列”是 sin B 的
2
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2 2
7．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线C : x y- 1，则“ m 2 ”是“双曲线C 的离心率为 3 ”的（ ）
m m + 2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·河南新乡·三模）已知直线 l1 : 2x + my -1 0，l2 : m +1 x + 3y +1 0，则“ m 2 ”是“ l1//l2 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条
件
9．（2024·全国·三模）已知a ，b 是两个不同的平面，m，l 是两条不同的直线，若m a ，a I b l ，则
“ m∥l ”是“ m∥b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024·四川凉山·二模）已知命题“ "x R ， sin2 π + x + 2cos x + m 0 ”是假命题，则 m 的取值范围为
（ ）
A． -2, + B． -2, + C． - , -1 D． - , -2
r r r r r r r r r r
1．（2024·北京·高考真题）已知向量 a ，b ，则“ a + b · a - b 0 ”是“ a b或a -b ”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·天津·高考真题）设 a,b R ，则“ a3 b3 ”是“ 3a 3b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
y x
3．（2023·北京·高考真题）若 xy 0，则“ x + y 0 ”是“ + -2x y ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2023·全国·高考真题）设甲：sin2 a + sin2 b 1，乙： sina + cos b 0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5．（2023·天津·高考真题）已知 a,b R ，“ a2 b2 ”是“ a2 + b2 2ab ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．（2022·天津·高考真题）“ x 为整数”是“ 2x +1为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
7．（2022·浙江·高考真题）设 x R ，则“ sin x 1 ”是“ cos x 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必
要条件
8．（2022·北京·高考真题）设 an 是公差不为 0 的无穷等差数列，则“ an 为递增数列”是“存在正整数 N0 ，
当 n > N0 时， an > 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2021·天津·高考真题）已知 a R ，则“ a > 6 ”是“ a2 > 36 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
r r r r r r r r r
10．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 a,b,c，则“ a × c b × c ”是“ a b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
11．（2021·全国·高考真题）等比数列 an 的公比为 q，前 n 项和为 Sn ，设甲：q > 0 ，乙： Sn 是递增数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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