资源简介

第 03 讲 复数
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算 无
2024 年新Ⅱ卷，第 1 题，5 分 复数的模 无
2023 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算、共轭复数 无
2023 年新Ⅱ卷，第 1 题，5 分 复数的四则运算、复数的几何意义 无
2022 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算、共轭复数 无
2022 年新Ⅱ卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算 无
2021 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算、共轭复数 无
2021 年新Ⅱ卷，第 1 题，5 分 复数的四则运算、复数的几何意义 无
2020 年新 I 卷，第 1 题，5 分 复数的四则运算 无
2020 年新Ⅱ卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、
及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意
义，题型较为简单。
知识讲解
1．复数的定义
我们把形如 a + bi(a,b R) 的数叫做复数，其中 i 叫做 ，满足 i2 = ，虚数单位的周期
为 ．
【答案】 虚数单位 -1 4
2．复数通常用字母 z 表示，即 z = a + bi(a,b R)，其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 与 ．
【答案】 实部 虚部
3．对于复数 z = a + bi(a,b R)， 复数 z = a + bi(a,b R)， z 为实数 ； z 为虚数 ； z
为纯虚数 ； z 为非纯虚数 .
ì ______ ____

即复数 z = a + bi(a,b R) í ì ____ ___
_____ ____ í
____ ___
ì实数 b = 0
ìa = 0 ìa 0
【答案】 b = 0 b 0 í í ； í ì 纯虚数 a = 0
b 0

b 0 虚数 b 0 í
非纯虚数 a 0
4．在复数集C = a + bi a,b R 中任取两个数 a + bi， c + di a,b,c,d R ，规定 a + bi与 c + di 相等当且仅
当 ，即复数相等： a + bi = c + di a,b,c, d R .
ìa = c ìa = c
【答案】 í b = d í b = d
5．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于 0
的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（2）表示方法：复数 z 的共轭复数用 z 表示，即如果 z = a + bi ，那么 z = ．
【答案】 相等 互为相反数 a - bi
6．复数的几何意义
uuur
为方便起见，我们常把复数 z = a + bi 说成点Z 或说成向量OZ ，并且规定， 的向量表示同一个复数.
【答案】相等
7．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ．实轴上的点都表
示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
【答案】 复平面 实轴 虚轴 实数
8．复数的模
uuur
向量OZ 的模称为复数 z = a + bi 的模或绝对值，记作 或 ．即 | z |=| a + bi |= ，其中
a,b R ．如果b = 0，那么 z = a + bi 是一个实数 a，它的模就等于 ．
【答案】 z a + bi a2 + b2 a
9．复数的加、减法运算法则
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R)，则 z1 + z2 = ， z1 - z2 = ．
【答案】 a + c + b + d i a - c + b - d i
10．复数加法的运算律
对任意 z1, z2 , z3 C ，有
（1）交换律： z1 + z2 = ．（2）结合律： z1 + z2 + z3 = ．
【答案】 z2 + z1 z1 + z2 + z3
11．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R)是任意两个复数，那么它们的积
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ．
（2）复数乘法的运算律
对于任意 z1, z2 , z3 C，有
交换律 z1z2 =
结合律 z1z2 z3 =
乘法对加法的分配律 z1 z2 + z3 =
【答案】 ac - bd + bc + ad i z2z1 z1 z2z3 z1z2 + z1z3
12．设 z1, z2 的三角形式分别是 z1 = r1 cosq1 + i sinq1 , z2 = r2 cosq2 + i sinq2 ，
那么， z1z2 = = .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，
辐角相加.
【答案】 r1 cosq1 + i sinq1 × r2 cosq2 + i sinq2 r1r2 é cos q1 +q2 + i sin q1 +q2 ù
z
13 1．设 z1, z2 的三角形式分别是 z1 = r1 cosq1 + i sinq1 , z2 = r2 cosq2 + i sinq2 ，且 z2 0，那么， =z 2
g .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减
去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.
r
【答案】 1 cos(q1 -q2 ) + i sin(q1 -q2 )r2
考点一、复数的四则运算
1．（2024·全国·高考真题）设 z = 2i，则 z × z = （ ）
A． -i B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出 z ，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得， z = - 2i，故 zz = -2i2 = 2 .
故选：D
5 1+ i3
2．（2023·全国·高考真题） =（

）
2 + i 2 - i
A． -1 B．1 C．1- i D．1+ i
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
5 1+ i3 5 1- i
【详解】 = =1- i
(2 + i)(2 - i) 5
故选：C.
1．（2024·天津·高考真题）已知 i是虚数单位，复数 5 + i × 5 - 2i = ．
【答案】7 - 5i
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】 5 + i × 5 - 2i = 5 + 5i - 2 5i + 2 = 7 - 5i .
故答案为：7 - 5i .
2 + i
2．（2023·全国·高考真题）设 z = ，则 （
1 ）+ i2 + i5 z =
A．1- 2i B．1+ 2i C． 2 - i D． 2 + i
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
2 + i 2 + i i 2 + iz 2i -1【详解】由题意可得 = = = = =1- 2i，
1+ i2 + i5 1-1+ i i2 -1
则z = 1 + 2i .
故选：B.
1+ i 3
3．（2024·河南·三模）已知 i为虚数单位， 2 = （ ） 1- i
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
【答案】D
【分析】根据复数乘法、除法运算化简即可.
1+ i 3 1+ i 2 1+ i 2i 1+ i
【详解】 2 = = = -1- i . 1- i -2i -2i
故选：D
考点二、求复数的实部与虚部
1- i
1．（2024·全国·模拟预测）已知 z = ，则 z 的实部是（
1 i ）+
A．- i B．i C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据复数除法运算化简，由实部定义可得.
z 1- i 1- i
2
【详解】因为 = = = -i，所以 z 的实部是 0.
1+ i 1+ i 1- i
故选：C．
z + 2
2．（2024·黑龙江·三模）若 = i，则 z z -1 的虚部为（ ）
1- i
A． -1 B．1 C．3 D．-3
【答案】A
【分析】先利用乘法运算法则化简复数 z ，然后化简 z z -1 得3- i ，即可求出其虚部.
z + 2
【详解】因为 = i，所以 z = -2 + 1- i i = -1+ i ，所以 z = -1- i，
1- i
所以 z z -1 = -1+ i -2 - i = 3 - i ，则 z z -1 的虚部为 -1 .
故选：A
1．（2024·重庆·三模）设复数 z 满足 2z - iz =1，则 z 的虚部为（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．-3
3 3
【答案】A
【分析】设复数 z = a + bi(a,b R)，根据题意，列出方程，结合复数相等，求得b 的值，即可求解.
【详解】设复数 z = a + bi(a,b R)，
因为复数 z 满足 2z - iz =1，可得 2a + 2bi - i a - bi =1，
即 2a - b + 2b - a i =1 1，则 2a - b =1， 2b - a = 0，解得b = ，
3
1
所以复数 z 的虚部为 .
3
故选：A.
2．（2024·陕西· 3 4二模）复数 z = i 1+ i i - 2i 的实部为（ ）
A．1 B．3 C．-2 D．-1
【答案】B
【分析】通过复数的运算将复数化简成 a + bi的形式，即可得到实部.
【详解】由 z = i 1- i 1- 2i = 1+ i 1- 2i = 3- i，可得复数 z 的实部为 3，
故选：B .
3 2024· · 1+ iz
4
．（ 江西鹰潭 二模）已知 = ，则 z 的虚部为（ ）
1- i
A． 2i B． -2i C．-2 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数 z ，继而得 z 的虚部.
1+ i 4z [(1+ i)
2 ]2 (2i)2 -4(1+ i)
【详解】由 = = = = = -2(1+ i) = -2 - 2i ，
1- i 1- i 1- i (1- i)(1+ i)
则 z = -2 + 2i， z 的虚部为 2.
故选：D.
考点三、复数相等
1．（2023·全国·高考真题）设 a R, a + i 1- ai = 2,，则a = （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 a + i 1- ai = a - a2i + i + a = 2a + 1- a2 i = 2，
ì2a = 2
所以 í1 ，解得：
a =1．
- a
2 = 0
故选：C.
2．（2022·浙江·高考真题）已知a,b R,a + 3i = (b + i)i（ i为虚数单位），则（ ）
A． a =1,b = -3 B． a = -1,b = 3 C． a = - 1, b = - 3 D． a =1,b = 3
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求 a,b .
【详解】 a + 3i = -1+ bi，而 a,b为实数，故 a = -1,b = 3，
故选：B.
1．（2024·河南·模拟预测）已知 i为虚数单位， a,b R ，满足 a - 2i i = b + i ，则 a + b =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简 a - 2i i ，再根据复数相等的充要条件得出方程组，求出 a、b
的值，即可得解.
【详解】因为 a - 2i i = 2 + ai，
ìa =1
又 a - 2i i = b + i 且 a,b R ，所以 í ，故 a + b = 3b 2 ． =
故选：D．
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 z(i - 3) = z + 2 ，则 z =（ ）
4 2
A． + i
4 2
B． - i
9 9 9 9
4 2 i 4 2C．- + D．- - i
9 9 9 9
【答案】D
【分析】设 z = a + bi(a,b R)，则 z = a - bi ，根据题意，结合复数的乘法运算和相等复数建立方程组，解之
即可求解.
【详解】设 z = a + bi(a,b R)，则 z = a - bi ，
因为 z(i - 3) = z + 2 ，所以 (a + bi)(i - 3) = a - bi + 2，
即-3a - b + (a - 3b)i = a + 2 - bi，
ì 4
ì-3a - b = a + 2 a = - 9
所以 í
a
，解得 ，
- 3b = -b í b 2= -
9
z 4 2所以 = - - i．
9 9
故选：D．
m + i
3．（2024·河北保定·三模）若复数 z 满足 z - z = ，则实数m =（
3 i ）-
1 1 1 1A． B． C．- -2 D．3 2 3
【答案】B
【分析】设 z = a + bi a,b R ，根据复数相等，即可列式求m .
【详解】设 z = a + bi a,b R ，则 z = a - bi ，所以 z - z = 2bi，
z z m + i由 - = ，得 2bi 3 - i = m + i，则 2b + 6bi = m + i，
3 - i
ì
2b = m b
1
=
ì 6
所以 í ，解得 í .
6b =1 m 1=
3
故选：B.
考点四、复数的分类及纯虚数概念考查
4 - 2i
1．（2024·河北·二模）已知复数 z = + ai a R a = 1+ i 2 是实数，则 （ ）
A． 2 B．- 2 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】根据复数的四则运算法则计算得到 z = -1+ (a - 2)i，再根据实数的定义求解即可.
z 4 - 2i ai= 4 - 2i【详解】 = 2 + + ai = -1+ (a - 2)i 1+ i 1+ 2i -1
因为 z 是实数，
所以a - 2 = 0，即 a = 2 .
故选：D.
1+ ai
2．（2024·河南·三模）已知复数 a R 为纯虚数，则 a的值为（ ）
1+ i
A．2 B．1 C． -1 D．-2
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求出 z，根据复数为纯虚数，列出相应等式和不等式，即可求得答案.
1+ ai 1+ ai 1- i 1+ a + a -1 i
【详解】 = =1+ i 1+ i 1- i 2 ，
ì1+ a = 0
由题意得 í ，所以 a = -1，
a -1 0
故选：C．
1．（2024· 2辽宁大连·二模）设 x R ，则“ x =1”是“复数 z = x -1 + x +1 i为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由复数 z 为纯虚数求得 x 的值，再根据充分必要条件关系判断.
ìx2 -1 = 0
【详解】因为复数 z 为纯虚数，所以 í ，解得 x =1，
x +1 0
所以 x =1是复数 z 为纯虚数的充要条件.
故选：A.
m + i
2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数 为实数，则实数m 等于（ ）
2 + i
1 1
A． B． -1 C．- D．2
3 2
【答案】D
m + i
【分析】由复数的除法把 化简，表示成复数的代数形式，由虚部为 0，求m 的值.
2 + i
m + i m + i 2 - i 2m +1 2 - m
= = + i m + i【详解】 2 i 2 i 2 i 5 5 ，若复数 为实数，+ + - 2 + i
则 2 - m = 0，即m = 2 .
故选：D.
考点五、复数的几何意义
1．（2023·全国·高考真题）在复平面内， 1+ 3i 3 - i 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为 1+ 3i 3- i = 3+ 8i - 3i2 = 6 + 8i ，
则所求复数对应的点为 6,8 ，位于第一象限.
故选：A.
2 - i
2．（2021·全国·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
1- 3i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
2 - i
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
1- 3i
2 - i 2 - i 1+ 3i 5 + 5i 1+ i 1 1
【详解】 = = = ，所以该复数对应的点为
1 3i 10 10 2
, ÷，
- è 2 2
该点在第一象限，
故选：A.
3．（2024·山西·三模）已知复数 1+ 2i - m 3- i 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 m 的取值范围
是 ．
【答案】 (- , -2)
【分析】整理得到不等式组，解出即可.
【详解】由于 (1+ 2i) - m(3 - i) = (1- 3m) + (2 + m)i，
ì1- 3m > 0
故点 (1- 3m, 2 + m)位于第四象限，因此 í2 m 0 ，解得
m < -2，
+ <
即m 的取值范围是 (- , -2) .
故答案为： (- , -2) .
1．（2024·山东·二模）已知复数 z 满足 1- i z = 3 + i ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】由题意求出 z ，进而解出 z ，判断 z 在复平面内对应的点所在象限即可.
z 3+ i 3 + i 1+ i 【详解】由题意知： = = =1+ 2i1- i 1- i 1 ，+ i
所以 z = 1 - 2i，所以 z 在复平面内对应的点 1, -2 位于第四象限.
故选：D.
2
2．（2024· z江西·模拟预测）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为 1,-1 ，则 = （ ）1- 2i
4 2 2 4 4 2 2 4
A． - i B． - i C． + i D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义，由复平面内复数 z 对应的点的坐标可以得出对应复数的代数形式，再结合复
数的四则运算法则，即可得解.
【详解】因为复数 z 对应的点的坐标为 1,-1 ，所以 z =1- i，
2
z2 = 1- i 2
z 2i 2i 1+ 2i 4 2
所以 = -2i，所以 = - = - = - i1- 2i 1- 2i 1- 2i 1 ．+ 2i 5 5
故选：A．
3．（2024·江西·模拟预测）若复数 z 的共轭复数 z 满足 i2023 z =1- 2i，则 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． 2,1 B． -2,1
C． -2, -1 D． 2,-1
【答案】D
【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得 z = 2 + i，得到 z = 2- i，结合复数的几何意义，即可求解.
z 1- 2i 1- 2i【详解】由 i2023 z =1- 2i，可得 = 2023 = = 2 + i ，则 z = 2- i，i -i
则 z 在复平面内对应的点的坐标为 2,-1 ．
故选：D.
考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题
1．（2024·全国·高考真题）已知 z = -1- i ，则 z = （ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
z = -1- i z = -1 2 + -1 2【详解】若 ，则 = 2 .
故选：C.
2 2 3．（2023·全国·高考真题） 2 + i + 2i = （ ）
A．1 B．2 C． 5 D．5
【答案】C
【分析】由题意首先化简 2 + i2 + 2i3，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得 2 + i2 + 2i3 = 2 -1- 2i =1- 2i，
则 2 + i2 + 2i3 = 1- 2i = 12 + -2 2 = 5 .
故选：C.
3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数 z 在复平面内对应的点为 a,b ，且 z + i = 4，则（ ）
A． a2 + b +1 2 = 4 B． a2 + b +1 2 =16
C． a +1 2 + b2 = 4 D a +1 2． + b2 =16
【答案】B
【分析】借助导数的几何意义可得 z = a + bi ，再利用模长公式即可得.
2
【详解】由题意得 z = a + bi ，所以 a + b +1 i = 4，则 a2 + b +1 =16 .
故选：B.
1．（2024·福建南平·二模）若复数 z 满足 z + i = 2i z - i ，则 z = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.
【详解】由题意可知，复数 z 满足 z + i = 2i(z - i) ，
z 2 - i (2 - i)(1+ 2i) 4 3则可转化为 = = = + i1- 2i (1- 2i)(1+ 2i) 5 5 ，
所以 | z |= (4)2 + (3)2 =1.
5 5
故选：A.
2．（2024·贵州毕节· 2 5三模）若复数 z 满足 1+ i + i × z = 3i2024 - 4i ，则 | z |=（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出 z = -4 - 3i，再由复数的模长公式求解即可.
1+ i2 + i5 × z = 3i2024【详解】因为 - 4i，则 1-1+ i × z = 3 - 4i，
3- 4i 3- 4iz i 3i - 4i
2 3i + 4
即 = = 2 = = = -4 - 3i ，i i -1 -1
故 z = -4 2 + -3 2 = 5 .
故选：B.
3．（2024·辽宁·二模）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z - i =1，则 z - 3 的最小值为（ ）
A． 3 -1 B．1 C． 3 +1 D．3
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
【详解】 z - i =1的几何意义是复数 z 对应的点 Z 到点 A 0,1 的距离为 1，
即点 Z 在以点 A 0,1 为圆心，1 为半径的圆上，
| z - 3 |的几何意义是点 Z 到点B( 3,0) 的距离．
如图所示，故 | z - 3 |min = DB = AB -1 = 2 -1 =1．
故选：B．
考点七、复数的三角形式
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 z = a + bi(a,b R,i是虚数单位 )在复平面内对应点为Z ，设 r = OZ ,q 是
以 x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则 z = a + bi = r cosq + isinq ，把 r cosq + isinq
叫做复数 a + bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
3 3
[r cosq + isinq ]n = r n cosnq + isinnq n N* 1 3- + i = 2π，例如： ÷÷ cos + isin
2π
÷ = cos2π + isin2π =1，
è 2 2 è 3 3
4
(1 + i)4 = 2
cos π + isin
π
÷÷ = 4 cosπ + isinπ = -4，复数 z 满足： z3 =1+ i ，则 z 可能取值为（ ）
è è 4 4
2 cos π isin π 2 cos 3π isin 3π A． + B． +
è 12 12 ÷ è 4 4 ÷
6 2 cos 5π isin 5π 6 2 cos17π isin 17π C． + ÷ D． +
è 4 4 è 12 12 ÷
【答案】D
6 é 2kπ π 2kπ π ù
【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得 z = 2 êcos +3 12 ÷
+ i sin + ÷ , k Z，即
è è 3 12 ú
可得解.
【详解】设 z = r cosq + i sinq ，
z3 1 i= 2 π π= + 3则 cos + i sin ÷ = r cos3q + i sin 3q ，
è 4 4
π 2kπ π
所以 r = 6 2 ，3q = 2kπ + ,k Z，即q = + ,k Z，4 3 12
z 6 2 écos 2kπ π i sin 2kπ π ù所以 = ê + ÷ + + ÷ú , k Z
è 3 12 è 3 12
17π
故 k = 2时，q = 6，故 z 可取 2 cos
17π
+ isin 17π ，
12 è 12 12 ÷
故选：D
【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再
利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 (cos x + i ×sin x)n = cos(nx) + i ×sin(nx) （其中 i 为虚数单位）是由法国
2
数学家棣莫弗（1667-1754 π π ）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 cos + i ×sin ÷ 在复平面内所对应的点位
è 3 3
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.
2

【详解】 cos
π
+ i ×sin π = cos 2π + i ×sin 2π 1 3= - + i，
è 3 3 ÷ 3 3 2 2
1 3
在复平面内所对应的点为 - , ÷÷ ，在第二象限.
è 2 2
故选：B.
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个复数
z1 = r1 cosq1 + isinq1 ， z2 = r2 cosq2 + isinq2 r1, r2 > 0 ，则 z1z2 = r1r2 é cos q1 +q2 + isin q1 +q2 ù .设
z 1 3= - - i，则 z2024 的虚部为（ ）
2 2
A 3． - B 3． C．1 D．0
2 2
【答案】B
【分析】变形复数 z ，根据题中定义进行计算，即可判定.
1 3 4π 4π
【详解】 z = - - i = cos + isin ，
2 2 3 3
z2024 cos 4π 2024 isin 4π 2024所以 = +
3 3
= cos 2π + isin 2π 1 3= - + i ,
3 3 2 2
所以 z2024
3
的虚部为 .
2
故选:B.
2π 2π
2．（2023· 2 2022全国·模拟预测）已知复数 z = cos + i sin ，则 z -1 z -1 L z -1 =（ ）
2023 2023
A．2022 B．2023 C．-2022 D．-2023
【答案】B
【分析】根据题意结合复数运算可得 x 的方程 x2023 -1 = 0的根为1, z, z2 , × × ×, z2022 ，进而整理可得
x - z x - z2 × × × x - z2022 =1+ x + ×××+ x2022 ，取 x =1即可得结果.
2n × π n
【详解】设 zn = cos + i sin
2 × π , n N, n 2022 ，
2023 2023
2023
2023
n
z cos 2 × π
n
i sin 2 × π

则 n = + = cos2023 2023 ÷ 2
n × π + i sin 2n × π =1，
è
由题意可得： z0 =1, z = z
n
n ,n N
*,n 2022
可得关于 x 的方程 x2023 -1 = 0的根为1, z, z2 , × × ×, z2022 ，
x2023故 -1 = x -1 x - z x - z2 × × × x - z2022 ，
2023
整理得 x - z x x -1- z2 × × × x - z2022 = =1+ x + ×××+ x2022 ，x -1
x - z x - z2即 × × × x - z2022 =1+ x + ×××+ x2022 ，
x =1 1- z 1- z2 × × × 1- z2022令 ，可得 =1+1+ ×××+12022 = 2023，
且 2022 为偶数，所以 z -1 z2 -1 L z2022 -1 = 2023 .
故选：B.
考点八、欧拉公式
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式 eiq = cosq + isinq 把自然对数的底数 e，虚数单位 i， cosq 和sinq
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则 eiπ +1 =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D． i
【答案】B
【分析】把q = π代入欧拉公式即可。
【详解】 eiπ +1 = cos π + i sin π +1 = -1+1 = 0 .
故选：B
2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物
理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“ eiπ +1 = 0 ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公
p i 5p i
式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式： eiq = cosq + isinq 的一种特殊情况．根据欧拉公式， e 3 + e 6 =（ ）
A 2 B 3． ． C． 2 D． 3
2 2
【答案】C
p 5p
【分析】化简复数 i ie 3 + e 6 ，利用复数的模长公式可求得结果.
p i 5p i
e 3 e 6 cos p i sin p cos 5p i sin 5p 1- 3 1+ 3【详解】 + = + + + = + i ，
3 3 6 6 2 2
p 5p 2 2i i
因此， e 3 + e 6 1- 3 1+ 3= ÷÷ + ÷÷ = 2 .
è 2 è 2
故选：C.
1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式： eiq = cosq + isinq 将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中
占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数 e3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断
【详解】由题意可得： e3i = cos3+ i ×sin 3对应的点为 cos3,sin3 ，
3 π∵ , π ÷，则 cos3 < 0,sin 3 > 0，
è 2
故 cos3,sin3 位于第二象限.
故选：B.
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 eiq = cosq + isinq ，则在下列表达式中表示sinq 的是（ ）
eiq - e-iq iq -iqA． B e + e．
2i 2i
C e
-iq - eiq iq -iq
． D e + e．-
2i 2i
【答案】A
【分析】根据题设 eiq 的表达式求出 e-iq 的表达式，再代入选项逐一检验即得.
【详解】因 eiq = cosq + isinq ，则e-iq = cos(-q ) + i sin(-q ) = cosq - i sinq ，
eiq - e-iqA cosq + i sinq - (cosq - i sinq ) 2sinq × i对于 ， = = = sinq ，故 A 项正确；
2i 2i 2i
eiq + e-iqB cosq + i sinq + (cosq - i sinq ) 2cosq对于 ， = = = -cosq × i，故 B 项错误；
2i 2i 2i
e-iqC - e
iq eiq - e-iq cosq + i sinq - (cosq - i sinq ) 2sinq × i
对于 ， = - = - = - = -sinq ，故 C 项错误；
2i 2i 2i 2i
eiqD B + e
-iq
对于 ，由 项知，- = cosq × i ，故 D 项错误.
2i
故选：A.
考点九、复数多选题
1．（2024·福建福州·三模）已知复数 z1, z2 ，下列结论正确的是（ ）
A 2 2．若 z1 = z2 ，则 z1 = z2 B． z1 - z2 = z1 - z2
C．若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 或 z2 = 0 D
2
．若 z1 0且z1 = z2，则 z1z2 = z1
【答案】BCD
【分析】通过列举特殊复数验证 A；设 z1 = a + bi, a,b R ，则 z2 = a - bi, a,b R ，通过复数计算即可判断
B；由 z1 × z2 = 0 得 z1 z2 = 0，即可判断 C；设 z1 = a + bi, a,b R ，通过复数计算即可判断 D.
2 2
【详解】对于 A，设 z1 =1+ i，则 z2 =1- i，所以 z21 = (1+ i)2 = 2i ，而 z1 = (1- i) = -2i，
z2 2所以 1 z2 ，故 A 不正确；
对于 B，设 z1 = a + bi(a,b R), z2 = c + di(c,d R)，
则 z1 - z2 = (a - c) - (b - d )i = (a - bi) - (c - di) = z1 - z2 ，故 B 正确；
对于 C，若 z1 × z2 = 0 ，所以 z1 × z2 = 0，所以 z1 z2 = 0，
所以 z1 = 0或 z2 = 0 ，所以 z1, z2 至少有一个为 0，故 C 正确.
对于 D，设 z1 = a + bi, a,b R,a2 + b2 0 ，则 z1 = a - bi, a,b R ，
所以 z1z2 = a + bi a - bi = a2 + b2，而 z
2
1 = a
2 + b2 ，
2
所以 z1z2 = z1 ，故 D 正确.
故选：BCD.
2．（2024·福建莆田·三模）若 z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A z．若 z + z = 0 ，则 = i B．若 z × z = 2 z ，则 z = 2
z
C．若 z1 = z z
2
，则 1 = z D．若 z + z1 = 0，则 z1 × z + z = 0
【答案】BCD
【分析】利用共轭复数的定义可判定 A、C，利用复数的乘法运算法则结合模长公式可判定 B、D.
【详解】对于 A z，由 z + z = 0 ，得 = -1，则 A 错误.
z
B z × z = z 2 2对于 ，因为 ，所以 z = 2 z ，解得 z = 2或 z = 0（舍去），则 B 正确.
对于 C，设 z = a + bi （ a,b R ，且 ab 0），
则 z1 = z = a - bi ，所以 z1 = a + bi = z ，则 C 正确.
对于 D，由 z + z1 = 0，得 z1 = -z .
设 z = a + bi （ a,b R ，且 ab 0），则 z1 × z = -z × z = -(a
2 + b2 )，
z 2 = a2 + b2 2，从而 z1 × z + z = 0，则 D 正确.
故选：BCD
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数 z1, z2 满足： z1 为纯虚数， z2 -1 = 2 z2 - 4 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． z21 = - z
2
1 B．3 z2 7
C． z1 - z2 的最小值为 3 D． z1 - z2 + 3i 的最小值为 3
【答案】ABD
【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得 A；借助复数的几何意义计算可得 B；借助圆与直线的距离可
得 C、D.
【详解】对 A：Q z1 为纯虚数，\可设 z1 = bi b 0 ,\ z21 = -b2 = - z
2
1 ,\选项 A 正确；
对 B：设 z2 = m + ni m, n R ，Q z2 -1 = 2 z2 - 4 ，
则 m -1 2 + n2 = 4 m - 4 2 + 4n2 ，即 m - 5 2 + n2 = 4，
则 z2 所对应点的轨迹是以 5,0 为圆心，以 2 为半径的圆，
\3 z2 7，\选项 B 正确；
对 C：Q z1 为纯虚数，\ z1对应点在 y 轴上（除去原点），
z2 所对应点的轨迹是以 5,0 为圆心，以 2 为半径的圆，
\ z1 - z2 的取值范围为 3, + ，\ z1 - z2 无最小值，选项 C 错误；
对 D：Q z1 - z2 + 3i = b + 3 i - z2 ，
表示点 0,b + 3 到以 5,0 为圆心，以 2 为半径的圆上的点的距离，
Q b + 3 i b 0 为纯虚数或 0， 0,b + 3 在 y 轴上（除去点 0,3 ），
\当b = -3时 z1 - z2 + 3i 取得最小值 3，∴选项 D 正确.
故选：ABD．
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1z2 R ，则 z1 = z2
C 2．若 z1 = z2 ，则 z1 = z
2
2 D．若 z
2
1 + z
2
2 = 0 ，则 z1 = z2
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断 A；举出反例即可判断 BC；根据复数的乘法运算
及复数的模的计算公式即可判断 D.
【详解】设 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R ，
对于 A， 若 z1 = z2 ，则 z1 = c - di，故 z1z2 = c
2 + d 2 R ，故 A 正确；
对于 B，当 z1 = z2 = i时， z1z2 = -1 R, z2 = -i z1，故 B 错误；
对于 C，当 z =1, z = i 21 2 时， z1 =1, z
2
2 = -1，故 C 错误；
对于 D 2 2 2，若 z21 + z
2
2 = 0 ，则 z
2 = -z21 2 ，所以 z1 = -z2 = z2 ，
2 2 2 2 2z1 = a - b + 2abi = a2 - b2 + 4a2b2 = a2 + b2 = a2 + b2 = z 21 ，
z2同理 2 = z
2 2 2
2 ，所以 z1 = z2 ，所以 z1 = z2 ，故 D 正确.
故选：AD.
2．（2024·山东济宁·三模）已知复数 z1, z2 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． z1z2 = z1 × z2 B． z1 + z2 = z1 + z2
C．“ z1z2 R ”是“ z1 = z2 ”的必要不充分条件 D．“ z1 = z2 ”是“ z
2
1 = z
2
2 ”的充分不必要条件
【答案】AC
【分析】根据复数加法、乘法、乘方运算，结合复数的几何意义计算，依次判断选项即可.
【详解】A：设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R)，则 z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i ，
所以 z1z2 = (ac - bd )
2 + (ad + bc)2 = a2c2 + b2d 2 + a2d 2 + b2c2 ，
z z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 = a + b c + d = a c + b d + a d + b c ，则 z1z2 = z1 z2 ，故 A 正确；
B：设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R)，则 z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i ，
所以 z + z = (a + c)2 + (b + d )2 = a2 + b21 2 + c
2 + d 2 + 2(ac + bd ) ，
z + z 2 2 21 2 = a + b + c + d
2 ，则 z1 + z2 z1 + z2 ，故 B 错误；
C：由选项 A 知， z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (ad + bc)i ， z2 = c - di，
a = c
又 z1z2 R
ì
，所以 ad + bc = 0，不一定有 í ，即推不出 z1 = zb d 2 ； = -
ìa = c
由 z1 = z2 ，得 a + bi = c - di，则 í ，则 ad + bc = 0，即 z zb = -d 1 2
R ，

所以“ z1z2 R ”是“ z1 = z2 ”的必要不充分条件，故 C 正确；
D：设 z1 = a + bi, z = c + di(a,b,c,d R)，则 z2 = (a2 - b22 1 ) + 2abi,z22 = (c2 - d 2 ) + 2cdi ，
若 z1 = z a2 b2 c2 2 22 ，则 + = + d 2 ，即 a2 + b2 = c2 + d 2，推不出 z1 = z2 ；
2
若 z1 = z
2
2 ，则 z
2
1 = z
2
2 ，
又 z2 = (a2 - b2 )2 + 4a2b2 = (a21 + b
2 )2 = a2 + b2 = z 21 ，
2 2 2 2
同理可得 z2 = z2 ，所以 z1 = z2 ， z1 = z2 ；
2
所以“ z1 = z2 ”是“ z1 = z
2
2 ”的必要不充分条件，故 D 错误.
故选：AC
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程 z2 + 2z + 3 = 0的两个复数根分别为 z1, z2 ，则（ ）
A． z1 = z2 B． z1 + z2 = 2
C z 2． 1z2 = z1 D． z1 - z2 = 2 2
【答案】ACD
【分析】解方程求出 z1, z2 ，再结合共轭复数、模的意义及复数运算逐项判断即可各个选项.
2
【详解】方程 z2 + 2z + 3 = 0可转化为 z +1 = -2 = 2i2 ，解得 z = -1+ 2i或-1- 2i，
不妨设 z1 = -1+ 2i ， z2 = -1- 2i ，
对于 A，显然 z1 = z2 ，故 A 正确；
对于 B， z1 + z2 = -2，故 B 错误；
对于 C，由 z1 = z2 ，则 z1z2 = z
2
1 ，故 C 正确；
对于 D， z1 - z2 = -1+ 2i - -1- 2i = 2 2i = 2 2 ，故 D 正确.
故选：ACD.
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 i 是虚数单位，若 a + 2i 1- i 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用复数的乘法计算，再借助纯虚数的定义求解即得.
ìa + 2 = 0
【详解】依题意， a + 2i 1- i = a + 2 + (2 - a)i 是纯虚数，于是 í ，解得 a = -2 ，
2 - a 0
所以实数 a 的值为-2 .
故选：D
2 2024· · z i2023 + i2024 = i2025．（ 河北 三模）已知复数 z 满足 ，则 z 的共轭复数的虚部是（ ）
1 1 1 1A． i B． 2 C． - i D -2 2 ． 2
【答案】D
【分析】由已知求得 z ，可求 z 的共轭复数的虚部.
z i2023 + i2024 = i2025【详解】由 ，可得 z i3+4 505 + i0+4 506 = i1+4 506 ，
i i(1+ i) -1+ i 1 1
所以 z 1- i = i ，所以 z = = = = - + i1- i (1- i)(1+ i) 2 2 2 ，
1
所以 z
1 1
= - - i
2 2 ，所以 z 的共轭复数的虚部是- .2
故选：D.
i(1+ i)
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 z = - 2i ，则 z =（
1 i ）-
A．-2+ i B．-1+ 2i C．-2- i D．-1- 2i
【答案】B
【分析】根据复数的除法法则及共轭复数的定义即可求解.
i(1+ i) i(1+ i)2 2i2
【详解】 z = - 2i = - 2i = - 2i = -1- 2i，
1- i (1- i)(1+ i) 2
所以 z = -1+ 2i .
故选：B．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）设 z1 ， z2 是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．若 z = z1 × z2，则 | z |=| z1 | × | z2 | B．若 z = z1 × z2，则 z = z1 × z2
C．若 | z1 |=| z
2
2 |，则 z1 = z
2
2 D．若 | z1 |=| z2 |，则 z1 × z1 = z2 × z2
【答案】C
【分析】对于 A，利用复数模的定义即可判断；对于 B，利用共轭复数的定义即可判断；对于 C，利用复数
共轭复数相乘的性质即可判断；对于 D，举反例即可判断.
【详解】设 z1 = a + bi ， z2 = c + di，其中 a,b,c, d R．
对于 A， z = z1z2 = (a + bi)(c + di) = ac - bd
2 + bc + ad 2 =
(ac)2 + (bd )2 + (bc)2 + (ad )2 ，
z1 × z2 = a
2 + b2 × c2 + d 2 = ac 2 + bd 2 + bc 2 + ad 2 ，
所以 z = z1 × z2 ，故 A 正确；
对于 B， z = (a + bi)(c + di) = (ac - bd ) + (bc + ad )i ， z = (ac - bd ) - (bc + ad )i，
z1 × z2 = a - bi c - di = ac - bd - bc + ad i ，
所以 z = z1 × z2 ，故 B 正确；
对于 C， z1 = a + bi = a
2 + b2 ， z2 = c + di = c
2 + d 2 ，
由 | z |=| z |，得 a2 + b2 = c2 + d 21 2 ．
2
因为 z1 = a
2 -b2 +2abi z2 = c2， 2 - d 2 + 2cdi ，
z2所以 1 = z
2
2 不一定成立，如 z1 =1， z2 = i，
2
此时 | z1 |=| z2 |，而 z1 = 1 z
2
， 2 = -1 z
2 2
，即 1 z2 ，故 C 错误；
对于 D，由 | z |=| z |，得 a2 + b2 2 21 2 = c + d ， z1 × z1 = (a + bi)(a - bi) = a
2 + b2，
z2 × z2 = (c + di)(c - di) = c
2 + d 2，所以 z1 × z1 = z2 × z2 ，故 D 正确﹒
故选:C．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数 z 满足 z × 1+ i = 2 - i，则 z =（ ）
1 3 i 1 3A． + B． - i
2 2 2 2
1 3 1 3
C．- - i D．- + i
2 2 2 2
【答案】A
【分析】根据题设求出 z ，从而求出 z 的值.
2 - i 2 - iz 1- i 1- 3i 1 3【详解】由题知， = = = = - i1+ i 1+ i 1- i 2 2 2 ，
所以 z
1 3
= + i .
2 2
故选：A.
1- i
6．（2024·山东泰安·二模）若复数 z 满足 = i，则 z =（
z ）
A． 5 B．2 C． 2 D．1
【答案】C
【分析】根据复数的乘、除法运算可得 z = -1- i ，则 z = -1+ i，结合复数的几何意义即可求解.
1- i i z 1- i (1- i)i【详解】由 = ，得 = = = -1- iz i i2 ，
所以 z = -1+ i，故 z = 1+1 = 2 .
故选：C
二、多选题
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数 z = 2 + ai （ a为实数），若 z = 5 ，则 a的值可能为（ ）
A．-3 B． -1 C．1 D．3
【答案】BC
【分析】根据题意结合复数的模长公式运算求解即可.
【详解】由题意可知： z = 22 + a2 = 5 ，解得 a = ±1，
结合选项可知：BC 正确；AD 错误.
故选：BC.
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设 i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． z1z2 = z1 × z2 B．若 z1, z2 互为共轭复数，则 z1 = z2
C z = z z2 = z2．若 1 2 ，则 1 2 D．若复数 z = m +1+ m -1 i为纯虚数，则m = -1
【答案】ABD
【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.
【详解】解：由题意得：
对于选项 A：令 z1 = a + bi,z2 = c + di
则 z1 × z2 = a + bi c + di = ac - bd + ad + bc i
= ac - bd 2 + ad + bc 2
= a2c2 + b2d 2 + a2d 2 + b2c2
z × z = a2 + b2 c2 + d 2 = a2c2 2 2 2 2 2 21 2 + b d + a d + b c
所以 z1z2 = z1 × z2 ，故 A 正确；
对于选项 B：令 z1 = a + bi,z2 = a - bi ， z1 = a2 + b2 , z2 = a2 + b2 ，所以 z1 = z2 ，故 B 正确；
对于选项 C：令 z1 = a + bi,z2 = a - bi ， z1 = z
2
2 = a + b
2 ，根据复数的乘法运算可知：
z2 = a + bi 2 = a21 - b2 + 2abi
2 2 2
， z2 2 22 = a - bi = a - b - 2abi ， z1 z2 ，所以 C 错误；
对于选项 D：若复数 z = m +1+ m -1 i为纯虚数，则m +1 = 0，即m = -1，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题
9．（2024· 2上海·三模）设 z = m -1+ m -1 i（ i为虚数单位），若 z 为纯虚数，则实数 m 的值为 ．
【答案】 -1
【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.
2
2 ìm -1 = 0
【详解】由 z = m -1+ m -1 i为纯虚数，得 í ，解得m = -1，
m -1 0
所以实数 m 的值为 -1 .
故答案为： -1
p
10．（2024·广东·二模）设q R ， i为虚数单位，定义 eiq = cosq + i ×sinq ，则复数 ie 6 + i的模为 ．
【答案】 3
【分析】根据给定的定义求出复数，再利用模的意义计算得解.
i π
【详解】依题意， e 6 + i = cos π + i ×sin π 3 3+ i = + i，
6 6 2 2
所以复数 i
p 3 2 3 2
e 6 + i的模为 ( ) + ( ) = 3 .2 2
故答案为： 3
一、单选题
1- 2i
1．（2024·河北保定·二模）复数 z = 3 =（ ）2 - i
2 1
A． 2 - i B． - i
5 5
C 2 5 5 2 5 5． + i D． - i
5 5 5 5
【答案】D
【分析】根据复数乘除法以及模长计算公式，整理化简即可求得结果.
1- 2i
z 5
5 2 - i 2 5 5
【详解】 = 3 = = = - i .2 - i 2 + i 2 + i 2 - i 5 5
故选：D.
z
2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数 z 满足 =1+ i，则 z 的共轭复数 z 在复平面上对应的点位于（3 i ）-
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的运算性质求出 z ，再利用共轭复数的性质求出 z ，最后利用复数和对应点的关系求解即
可.
z
【详解】由题意得 =1+ i，故 z = (1+ i)(3- i) = 3 + 3i - i - i2 = 2i + 4，
3- i
故 z = -2i + 4，显然 z 在复平面上对应的点是 (4,-2) ，在第四象限，故 D 正确.
故选：D
3．（2024·江苏南通·三模）已知 z 为复数，则“ z = z ”是“ z2
2
= z ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【分析】正向可得 z R ，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得 a = 0或b = 0，则必要性不成立.
【详解】若 z = z ，则 z R ，则 z2 = z 2 ，故充分性成立；
若 z2
2
= z ，设 z = a + b i, a,b R ，则 z2 = a2 + 2abi - b2 ， z 2 = a2 - 2abi - b2 ，
则 2ab = 0， a = 0或b = 0,\ z 与 z 不一定相等，则必要性不成立，
则“ z = z ”是“ 2z2 = z ”的充分非必要条件，
故选：A
-2 + ai
4．（2024·四川成都·模拟预测）复数 z = 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 a的值为（　　）
1- i
A．1 B． 2 C． -1 D．-2
【答案】D
-2 - a + a - 2 i
【分析】利用复数除法法则得到 z = ，从而得到方程，求出答案.
2
-2 + ai -2 + ai 1+ i -2 - a + a - 2 i
【详解】Q z

= = =
1- i 1- i 1 i 2 在复平面上对应的点位于虚轴上，+
ì-2 - a = 0
∴ í ，即 a = -2 .
a - 2 0
故选：D
1 m + i
5．（2024·广东广州·三模）当- < m < 2时，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
2 2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．
m + i m + i 2 - i 2m +1 2 - m
【详解】 = = + i2 + i 2 + i 2 - i 5 5
1 m 2 2m +1 0, 2 - m因为- < < ，所以 > > 0，
2 5 5
m + i
故复数 在复平面内的对应点位于第一象限，
2 + i
故选：A．
6．（2024·安徽·模拟预测）若 z C, i 为虚数单位， z + 2i -1 =1，则 z - i 的最大值为（ ）
A．2 B． 10 -1 C．4 D． 10 +1
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义可得复数 z 对应的点的轨迹为以点 1, -2 为圆心，1 为半径的圆，进而求出 z - i
的最大值.
【详解】根据题意，复数 z 对应的点的轨迹为以点 1, -2 为圆心，1 为半径的圆，
所求式子 z - i 的几何意义表示点 0,1 到圆上点的距离的最大值，
2
如图所示，最大值为 1- 0 + -2 -1 2 +1 = 10 +1 .
故选：D.
7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数 z1 和 z2 满足 z1 = z1 - z2 =1, z1 + z2 = 3，则 z2 =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】设 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R ，利用复数的模长结合已知组成方程组，解出即可.
【详解】设 z1 = a + bi, z2 = c + di, a,b,c,d R
因为 z =1，所以 a21 + b2 =1，即 a2 + b2 =1，①
z 2 2 2又 1 - z2 =1，所以 a - c + b - d 2 =1，即 a - c + b - d =1，②
又 z1 + z2 = 3
2 2 2
，所以 a + c + b + d 2 = 3 ，即 a + c + b + d = 3，③
② + ③ 2 2 2可得 2 a + b + c + d 2 = 4，④
把①代入④可得 c2 + d 2 = 1，
所以 z2 = c
2 + d 2 =1，故 A 正确；
故选：A.
二、多选题
8．（2024·福建宁德·三模）已知 z1, z2 是两个复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1 + z2 为实数，则 z1 = z2
z z
C．若 z1, z
1 1
2 均为纯虚数，则 z 为实数 D．若
z , z
2 z
为实数，则 1 2 均为纯虚数
2
【答案】AC
【分析】根据题意，复数 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R) ，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，
逐项判定，即可求解.
【详解】设复数 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R) ，则 z2 = c - di(c,d R)，
对于 A 中，由 z2 = c - di，且 z1 = z2 ，可得 a + bi = c - di，所以 a = c,b = -d ，
2 2
所以 z1z2 = (a + bi)(c + di) = (a + bi)(a - bi) = a + b R ，所以 A 正确；
对于 B 中，由 z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i R ，可得b + d = 0，即b = -d ，
但 a与 c不一定相等，所以 z1 与 z2 不一定相等，所以 B 错误；
对于 C 中，由 z1, z2 均为纯虚数，可得 a = c = 0,b 0, d 0，
z1 bi b
此时 = = Rz ，所以 C 正确；2 di d
z1 a + bi a + bi c - di (ac + bd ) + (bc - ad )i
对于 D 中，由 z 为实数，即
= = R
2 c + di c + di c - di c2
，
+ d 2
可得bc - ad = 0 ，但 a,c 不一定为 0 ，所以 D 错误.
故选：AC.
三、填空题
9．（2024·湖南衡阳·三模）已知1- 2i是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0（其中 p、q 为实数）的一个根，则 p - q
的值为 .
【答案】 -7
【分析】思路一：把 x =1- 2i 代入方程 x2 + px + q = 0中，再利用复数相等求出 p 、q，即可得解.
思路二：依题意根据虚根成对原理可得1+ 2i 也是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0的一个根，利用韦达定理求出 p 、
q，即可得解.
【详解】方法一：由已知可得 (1- 2i)2 + p(1- 2i) + q = 0，即 ( p + q - 3) - (4 + 2 p)i = 0，
ì p + q - 3 = 0 ì p = -2
所以 í p - q = -7 .
4 2 p 0
，解得 íq 5 ，所以+ = =
方法二：因为1- 2i是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0（其中 p、q 为实数）的一个根，
所以1+ 2i 也是该方程的一个根，
ì1- 2i +1+ 2i = - p ì p = -2
由韦达定理得 í 1- 2i 1+ 2i = q ，解得 í ，所以 p - q = -7 . q = 5
故答案为： -7 .
10．（2024·江西南昌·三模）已知复数 | z -1+ 2i |= 2 ， | z - 3 + 4i |= 2 ，那么 z = .
【答案】 2 - 3i
【分析】设出复数 z 的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得.
ì(x -1)2 + (y + 2)2 = 2 ìx - y = 5
【详解】设 z = x + yi, x, y R ，则 í ，即有
(x - 3)
2 + (y í+ 4)2 = 2 (x - 3)
2 + (y 4)2 2，+ =
ìx = 2
解得 íy 3，所以
z = 2 - 3i .
= -
故答案为： 2 - 3i
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设 z = 5 + i ，则 i z + z = （ ）
A．10i B． 2i C．10 D．-2
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由 z = 5 + i z = 5 - i,z + z =10，则 i z + z =10i .
故选：A
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (-1, 3)，则 z 的共轭复数 z =（ ）
A．1+ 3i B．1- 3i
C．-1+ 3i D． -1- 3i
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数 z ，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】 z 在复平面对应的点是 (-1, 3)，根据复数的几何意义， z = -1+ 3i ，
由共轭复数的定义可知， z = -1- 3i .
故选：D
z 1- i3．（2023·全国·高考真题）已知 = ，则 （ ）
2 + 2i z - z =
A．- i B． i C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 z ，再由共轭复数的概念得到 z ，从而解出．
z 1- i 1- i 1- i -2i 1【详解】因为 = = = = - i ，所以 z
1
= i
2 2i 2 1 ，即+ + i 1- i 4 2 2 z - z = -i．
故选：A．
4．（2022·全国·高考真题）若 z =1+ i．则 | iz + 3z |=（ ）
A． 4 5 B． 4 2 C． 2 5 D． 2 2
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为 z =1+ i，所以 iz + 3z = i 1+ i + 3 1- i = 2 - 2i，所以 iz + 3z = 4 + 4 = 2 2 ．
故选：D.
z
5．（2022·全国·高考真题）若 z = -1+ 3i ，则 =（ ）zz -1
A．-1+ 3i B． -1- 3i C 1 3 1 3．- + i D．- - i
3 3 3 3
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】 z = -1- 3i, zz = (-1+ 3i)(-1- 3i) =1+ 3 = 4.
z -1+ 3i 1 3
= = - + i
zz -1 3 3 3
故选 ：C
6．（2022·全国·高考真题）已知 z = 1- 2i，且 z + az + b = 0，其中 a，b 为实数，则（ ）
A． a =1,b = -2 B． a = -1,b = 2 C． a =1,b = 2 D． a = -1,b = -2
【答案】A
【分析】先算出 z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】 z = 1- 2i
z + az + b =1- 2i + a(1+ 2i) + b = (1+ a + b) + (2a - 2)i
由 z + az + b = 0 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
ì1+ a + b = 0 ìa =1
得 í ,2a 2 0 即- = í b = -2
故选: A
7．（2021·全国·高考真题）设 2 z + z + 3 z - z = 4 + 6i，则 z =（ ）
A．1- 2i B．1+ 2i C．1+ i D．1- i
【答案】C
【分析】设 z = a + bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 a、b 的等式，解出这两个未知数
的值，即可得出复数 z .
【详解】设 z = a + bi ，则 z = a - bi ，则 2 z + z + 3 z - z = 4a + 6bi = 4 + 6i，
ì4a = 4
所以， í a = b =1 .
6b 6
，解得 ，因此， z =1+ i
=
故选：C.
8．（2021·全国·高考真题）已知 z = 2- i，则 z z + i =（ ）
A．6 - 2i B． 4 - 2i C．6 + 2i D． 4 + 2i
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为 z = 2 - i 2，故 z = 2 + i ，故 z z + i = 2 - i 2 + 2i =4+4i - 2i - 2i = 6 + 2i
故选：C.第 03 讲 复数
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算 无
2024 年新Ⅱ卷，第 1 题，5 分 复数的模 无
2023 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算、共轭复数 无
2023 年新Ⅱ卷，第 1 题，5 分 复数的四则运算、复数的几何意义 无
2022 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算、共轭复数 无
2022 年新Ⅱ卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算 无
2021 年新 I 卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算、共轭复数 无
2021 年新Ⅱ卷，第 1 题，5 分 复数的四则运算、复数的几何意义 无
2020 年新 I 卷，第 1 题，5 分 复数的四则运算 无
2020 年新Ⅱ卷，第 2 题，5 分 复数的四则运算 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、
及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意
义，题型较为简单。
知识讲解
1．复数的定义
我们把形如 a + bi(a,b R) 的数叫做复数，其中 i 叫做 ，满足 i2 = ，虚数单位的周期
为 ．
2．复数通常用字母 z 表示，即 z = a + bi(a,b R)，其中的 a 与 b 分别叫做复数 z 的 与 ．
3．对于复数 z = a + bi(a,b R)， 复数 z = a + bi(a,b R)， z 为实数 ； z 为虚数 ； z
为纯虚数 ； z 为非纯虚数 .
ì ______ ____

即复数 z = a + bi(a,b R) í ì____ ___
_____ ____

í
____ ___
4．在复数集C = a + bi a,b R 中任取两个数 a + bi， c + di a,b,c,d R ，规定 a + bi与 c + di 相等当且仅
当 ，即复数相等： a + bi = c + di a,b,c, d R .
5．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于 0
的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（2）表示方法：复数 z 的共轭复数用 z 表示，即如果 z = a + bi ，那么 z = ．
6．复数的几何意义
uuur
为方便起见，我们常把复数 z = a + bi 说成点Z 或说成向量OZ ，并且规定， 的向量表示同一个复数.
7．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x 轴叫做 ，y 轴叫做 ．实轴上的点都表
示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
8．复数的模
uuur
向量OZ 的模称为复数 z = a + bi 的模或绝对值，记作 或 ．即 | z |=| a + bi |= ，其中
a,b R ．如果b = 0，那么 z = a + bi 是一个实数 a，它的模就等于 ．
9．复数的加、减法运算法则
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R)，则 z1 + z2 = ， z1 - z2 = ．
10．复数加法的运算律
对任意 z1, z2 , z3 C ，有
（1）交换律： z1 + z2 = ．（2）结合律： z1 + z2 + z3 = ．
11．复数的乘法
（1）复数的乘法法则
设 z1 = a + bi, z2 = c + di(a,b,c,d R)是任意两个复数，那么它们的积
(a + bi)(c + di) = ac + bci + adi + bdi2 = ．
（2）复数乘法的运算律
对于任意 z1, z2 , z3 C，有
交换律 z1z2 =
结合律 z1z2 z3 =
乘法对加法的分配律 z1 z2 + z3 =
12．设 z1, z2 的三角形式分别是 z1 = r1 cosq1 + i sinq1 , z2 = r2 cosq2 + i sinq2 ，
那么， z1z2 = = .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，
辐角相加.
z
13．设 z1, z2 的三角形式分别是 z1 = r1 cosq1 + i sinq1 , z2 = r2 cosq2 + i sinq 12 ，且 z2 0，那么， =z 2
g .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减
去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.
考点一、复数的四则运算
1．（2024·全国·高考真题）设 z = 2i，则 z × z = （ ）
A． -i B．1 C．-1 D．2
5 1+ i3
2．（2023·全国·高考真题） =（

）
2 + i 2 - i
A． -1 B．1 C．1- i D．1+ i
1．（2024·天津·高考真题）已知 i是虚数单位，复数 5 + i × 5 - 2i = ．
2 + i
2．（2023·全国·高考真题）设 z = 2 5 ，则 z = （1 i i ）+ +
A．1- 2i B．1+ 2i C． 2 - i D． 2 + i
1+ i 3
3．（2024·河南·三模）已知 i为虚数单位， 2 = （ ） 1- i
A．1+ i B．1- i C．-1+ i D．-1- i
考点二、求复数的实部与虚部
z 1- i1．（2024·全国·模拟预测）已知 = ，则 z 的实部是（
1 i ）+
A．- i B．i C．0 D．1
z + 2
2．（2024·黑龙江·三模）若 = i，则 z z -1 的虚部为（ ）
1- i
A． -1 B．1 C．3 D．-3
1．（2024·重庆·三模）设复数 z 满足 2z - iz =1，则 z 的虚部为（ ）
1 1
A． B．- C．3 D．-3
3 3
2 2024· · z = i 1+ i3 i4．（ 陕西 二模）复数 - 2i 的实部为（ ）
A．1 B．3 C．-2 D．-1
3 1+ i
4
．（2024·江西鹰潭·二模）已知 z = ，则 z 的虚部为（ ）
1- i
A． 2i B． -2i C．-2 D．2
考点三、复数相等
1．（2023·全国·高考真题）设 a R, a + i 1- ai = 2,，则a = （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2022·浙江·高考真题）已知a,b R,a + 3i = (b + i)i（ i为虚数单位），则（ ）
A． a =1,b = -3 B． a = -1,b = 3 C． a = - 1, b = - 3 D． a =1,b = 3
1．（2024·河南·模拟预测）已知 i为虚数单位， a,b R ，满足 a - 2i i = b + i ，则 a + b =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 z(i - 3) = z + 2 ，则 z =（ ）
4 2 4 2
A． + i B． - i
9 9 9 9
4 2 i 4 2C．- + D．- - i
9 9 9 9
m + i
3．（2024·河北保定·三模）若复数 z 满足 z - z = ，则实数m =（
3 ）- i
A 1
1 1 1
． B． C．- D．-2 3 2 3
考点四、复数的分类及纯虚数概念考查
4 - 2i
1．（2024·河北·二模）已知复数 z = 2 + ai a R 1+ i 是实数，则
a = （ ）
A． 2 B．- 2 C．-2 D．2
1+ ai
2．（2024·河南·三模）已知复数 a R 为纯虚数，则 a的值为（ ）
1+ i
A．2 B．1 C． -1 D．-2
1．（2024· 2辽宁大连·二模）设 x R ，则“ x =1”是“复数 z = x -1 + x +1 i为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
m + i
2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数 为实数，则实数m 等于（ ）
2 + i
1 1
A． B． -1 C．- D．2
3 2
考点五、复数的几何意义
1．（2023·全国·高考真题）在复平面内， 1+ 3i 3 - i 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2 - i
2．（2021·全国·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
1- 3i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·山西·三模）已知复数 1+ 2i - m 3- i 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 m 的取值范围
是 ．
1．（2024·山东·二模）已知复数 z 满足 1- i z = 3 + i ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2
2．（2024· z江西·模拟预测）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标为 1,-1 ，则 = （ ）1- 2i
4 2 2 4 4 2 2 4
A． - i B． - i C． + i D． + i
5 5 5 5 5 5 5 5
3．（2024·江西·模拟预测）若复数 z 的共轭复数 z 满足 i2023 z =1- 2i，则 z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A． 2,1 B． -2,1
C． -2, -1 D． 2,-1
考点六、复数的模长及与模相关的轨迹问题
1．（2024·全国·高考真题）已知 z = -1- i ，则 z = （ ）
A．0 B．1 C． 2 D．2
2．（2023· 2 3全国·高考真题） 2 + i + 2i = （ ）
A．1 B．2 C． 5 D．5
3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数 z 在复平面内对应的点为 a,b ，且 z + i = 4，则（ ）
A． a2 + b +1 2 = 4 B． a2 + b +1 2 =16
C a +1 2． + b2 = 4 D． a +1 2 + b2 =16
1．（2024·福建南平·二模）若复数 z 满足 z + i = 2i z - i ，则 z = （ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
2 2024· · z 1+ i2 + i5 × z = 3i2024．（ 贵州毕节 三模）若复数 满足 - 4i ，则 | z |=（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．（2024·辽宁·二模）已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 z - i =1，则 z - 3 的最小值为（ ）
A． 3 -1 B．1 C． 3 +1 D．3
考点七、复数的三角形式
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 z = a + bi(a,b R,i是虚数单位 )在复平面内对应点为Z ，设 r = OZ ,q 是
以 x 轴的非负半轴为始边，以OZ 所在的射线为终边的角，则 z = a + bi = r cosq + isinq ，把 r cosq + isinq
叫做复数 a + bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
3 3
[r cosq + isinq ]n = r n cosnq + isinnq n N* 1 3，例如： - + i

÷÷ = cos
2π
+ isin 2π ÷ = cos2π + isin2π =1，
è 2 2 è 3 3
4
(1+ i)4 = 2

cos
π
+ isin π ÷÷ = 4 cosπ + isinπ = -4，复数 z 满足： z3 =1+ i ，则 z 可能取值为（ ）
è è 4 4
π
A． 2 cos + isin
π 3π
÷ B． 2 cos + isin
3π
è 12 12 è 4 4 ÷
6 2 cos 5π isin 5π 17π 17π C． + D
6
． 2 cos + isin
è 4 4 ÷ è 12 12 ÷
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 (cos x + i ×sin x)n = cos(nx) + i ×sin(nx) （其中 i 为虚数单位）是由法国
2
1667-1754 cos π π+ i ×sin 数学家棣莫弗（ ）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 ÷ 在复平面内所对应的点位
è 3 3
于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现了棣莫弗定理：设两个复数
z1 = r1 cosq1 + isinq1 ， z2 = r2 cosq2 + isinq2 r1, r2 > 0 ，则 z1z2 = r1r2 é cos q1 +q2 + isin q1 +q2 ù .设
z 1 3= - - i，则 z2024 的虚部为（ ）
2 2
A 3 B 3． - ． C．1 D．0
2 2
2π 2π
2 2023· 2 2022．（ 全国·模拟预测）已知复数 z = cos + i sin ，则 z -1 z -1 L z -1 =（ ）
2023 2023
A．2022 B．2023 C．-2022 D．-2023
考点八、欧拉公式
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式 eiq = cosq + isinq 把自然对数的底数 e，虚数单位 i， cosq 和sinq
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则 eiπ +1 =（ ）
A． -1 B．0 C．1 D． i
2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物
理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“ eiπ +1 = 0 ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公
p i 5p i
式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式： eiq = cosq + isinq 的一种特殊情况．根据欧拉公式， e 3 + e 6 =（ ）
A 2 B 3． ． C． 2 D． 3
2 2
1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式： eiq = cosq + isinq 将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中
占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数 e3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 eiq = cosq + isinq ，则在下列表达式中表示sinq 的是（ ）
eiq - e-iq eiq + e-iqA． B．
2i 2i
e-iq - eiq eiq + e-iqC． D．-
2i 2i
考点九、复数多选题
1．（2024·福建福州·三模）已知复数 z1, z2 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 z1 = z
2 2
2 ，则 z1 = z2 B． z1 - z2 = z1 - z2
C 2．若 z1z2 = 0，则 z1 = 0 或 z2 = 0 D．若 z1 0且z1 = z2，则 z1z2 = z1
2．（2024·福建莆田·三模）若 z 是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A z．若 z + z = 0 ，则 = i B．若 z × z = 2 z ，则 z = 2
z
C．若 z1 = z ，则 z1 = z D．若 z + z1 = 0，则 z1 × z + z
2 = 0
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数 z1, z2 满足： z1 为纯虚数， z2 -1 = 2 z2 - 4 ，则下列结论正确的是
（ ）
A z2 2． 1 = - z1 B．3 z2 7
C． z1 - z2 的最小值为 3 D． z1 - z2 + 3i 的最小值为 3
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 z1 ， z2 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1z2 R ，则 z1 = z2
C．若 z 2 2 2 21 = z2 ，则 z1 = z2 D．若 z1 + z2 = 0 ，则 z1 = z2
2．（2024·山东济宁·三模）已知复数 z1, z2 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． z1z2 = z1 × z2 B． z1 + z2 = z1 + z2
C 2 2．“ z1z2 R ”是“ z1 = z2 ”的必要不充分条件 D．“ z1 = z2 ”是“ z1 = z2 ”的充分不必要条件
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程 z2 + 2z + 3 = 0的两个复数根分别为 z1, z2 ，则（ ）
A． z1 = z2 B． z1 + z2 = 2
C． z1z2 = z
2
1 D． z1 - z2 = 2 2
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 i 是虚数单位，若 a + 2i 1- i 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
2 2024· · 2023 2024 2025．（ 河北 三模）已知复数 z 满足 z i + i = i ，则 z 的共轭复数的虚部是（ ）
1
A i B 1
1 1
． ． C． - i2 D2 2 ．
-
2
i(1+ i)
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 z = - 2i ，则 z =（
1 i ）-
A．-2+ i B．-1+ 2i C．-2- i D．-1- 2i
4．（2024·河北沧州·模拟预测）设 z1 ， z2 是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．若 z = z1 × z2，则 | z |=| z1 | × | z2 | B．若 z = z1 × z2，则 z = z1 × z2
C．若 | z 2 21 |=| z2 |，则 z1 = z2 D．若 | z1 |=| z2 |，则 z1 × z1 = z2 × z2
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数 z 满足 z × 1+ i = 2 - i，则 z =（ ）
1 3 i 1 3A． + B． - i
2 2 2 2
1 3 i 1 3C．- - D．- + i
2 2 2 2
1- i
6．（2024·山东泰安·二模）若复数 z 满足 = i，则 z =（ ）z
A． 5 B．2 C． 2 D．1
二、多选题
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数 z = 2 + ai （ a为实数），若 z = 5 ，则 a的值可能为（ ）
A．-3 B． -1 C．1 D．3
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设 i为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． z1z2 = z1 × z2 B．若 z1, z2 互为共轭复数，则 z1 = z2
C．若 z1 = z2 ，则 z21 = z
2
2 D．若复数 z = m +1+ m -1 i为纯虚数，则m = -1
三、填空题
9．（2024·上海·三模）设 z = m2 -1+ m -1 i（ i为虚数单位），若 z 为纯虚数，则实数 m 的值为 ．
10．（2024·广东·二模）设q R ， i为虚数单位，定义 eiq = cosq + i ×sinq ，则复数 i
p
e 6 + i的模为 ．
一、单选题
1- 2i
1．（2024·河北保定·二模）复数 z = 3 =（ ）2 - i
2 1
A． 2 - i B． - i
5 5
C 2 5 5 i D 2 5 5． + ． - i
5 5 5 5
z
2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数 z 满足 =1+ i，则 z 的共轭复数 z 在复平面上对应的点位于（3 i ）-
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·江苏南通·三模）已知 z 为复数，则“ z z ”是“ 2 2= z = z ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
-2 + ai
4．（2024·四川成都·模拟预测）复数 z = 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 a的值为（　　）
1- i
A．1 B． 2 C． -1 D．-2
1 m + i
5．（2024·广东广州·三模）当- < m < 2时，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
2 2 + i
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·安徽·模拟预测）若 z C, i 为虚数单位， z + 2i -1 =1，则 z - i 的最大值为（ ）
A．2 B． 10 -1 C．4 D． 10 +1
7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数 z1 和 z2 满足 z1 = z1 - z2 =1, z1 + z2 = 3，则 z2 =（ ）
A．1 B． 2 C． 3 D．2
二、多选题
8．（2024·福建宁德·三模）已知 z1, z2 是两个复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若 z1 = z2 ，则 z1z2 R B．若 z1 + z2 为实数，则 z1 = z2
z1 zC 1．若 z1, z2 均为纯虚数，则 z 为实数 D．若 为实数，则
z
z 1
, z2 均为纯虚数
2 2
三、填空题
9．（2024·湖南衡阳·三模）已知1- 2i是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0（其中 p、q 为实数）的一个根，则 p - q
的值为 .
10．（2024·江西南昌·三模）已知复数 | z -1+ 2i |= 2 ， | z - 3 + 4i |= 2 ，那么 z = .
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设 z = 5 + i ，则 i z + z = （ ）
A．10i B． 2i C．10 D．-2
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (-1, 3)，则 z 的共轭复数 z =（ ）
A．1+ 3i B．1- 3i
C．-1+ 3i D． -1- 3i
z 1- i3．（2023·全国·高考真题）已知 = ，则 （ ）
2 + 2i z - z =
A．- i B． i C．0 D．1
4．（2022·全国·高考真题）若 z =1+ i．则 | iz + 3z |=（ ）
A． 4 5 B． 4 2 C． 2 5 D． 2 2
z
5．（2022·全国·高考真题）若 z = -1+ 3i ，则 =（ ）zz -1
A 1 1 3 1 3．- + 3i B． -1- 3i C．- + i D．- - i
3 3 3 3
6．（2022·全国·高考真题）已知 z = 1- 2i，且 z + az + b = 0，其中 a，b 为实数，则（ ）
A． a =1,b = -2 B． a = -1,b = 2 C． a =1,b = 2 D． a = -1,b = -2
7．（2021·全国·高考真题）设 2 z + z + 3 z - z = 4 + 6i，则 z =（ ）
A．1- 2i B．1+ 2i C．1+ i D．1- i
8．（2021·全国·高考真题）已知 z = 2- i，则 z z + i =（ ）
A．6 - 2i B． 4 - 2i C．6 + 2i D． 4 + 2i

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