资源简介

第 02 讲 三角恒等变换
（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）
（14 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数的化简、求值
2024 年新 I 卷，第 4 题,5 分 用和、差角的余弦公式化简、求值
同角三角函数基本关系
2024 年新 I 卷，第 13 题,5 分 用和、差角的正切公式化简、求值 同角三角函数基本关系
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023 年新 I 卷，第 8 题,5 分 三角函数求值
二倍角的余弦公式
2023 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 半角公式、二倍角的余弦公式 无
2023 年新Ⅱ卷，第 16 题,5 分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 特殊角的三角函数值
用和、差角的余弦公式化简、求值
2022 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分 无
用和、差角的正弦公式化简、求值
正、余弦齐次式的计算
2021 年新 I 卷，第 6 题,5 分 二倍角的正弦公式
三角函数求值
逆用和、差角的余弦公式化简、求值 数量积的坐标表示
2021 年新 I 卷，第 10 题,5 分
二倍角的余弦公式 坐标计算向量的模
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为 5-11 分
【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公
式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考
知识讲解
1. 正弦的和差公式
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
2. 余弦的和差公式
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
3. 正切的和差公式
tan tan tan
1 tan tan
tan tan tan
1 tan tan
4. 正弦的倍角公式
1
sin 2 2sin cos sin cos sin 2
2
5. 余弦的倍角公式
cos 2 cos2 sin 2 cos sin cos sin
升幂公式：
cos 2 1 2sin 2 ， cos 2 2cos2 1
降幂公式：
sin 2 1 cos 2 cos2 1 cos 2 ，
2 2
6. 正切的倍角公式
tan 2 2 tan
1 tan2
7. 半角公式
α 1－cos α
(1)sin ＝± .
2 2
α 1＋cos α
(2)cos ＝± .
2 2
α 1－cos α sin α 1－cos α
(3)tan ＝± ＝ ＝ .
2 1＋cos α 1＋cos α sin α
α
以上称之为半角公式，符号由 所在象限决定．
2
8. 万能公式
2 tan x 1 x tan2 2 tan x
sin x 2x cos x
2
x tan x
2
1 tan2 1 tan2 1 tan2 x
2 2 2
9. 和差化积与积化和差公式
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
2sin Acos B sin(A B) sin(A B)
2cos Acos B cos(A B) cos(A B)
2sin Asin B cos(A B) cos(A B)
10. 推导公式
(sin cos )2 (sin cos )2 2
11. 辅助角公式
y a sin x b cos x ， (a 0) y a2 b2 sin(x )，其中 tan b ， ( , )
a 2 2
考点一、正弦两角和与差的基本应用
1．（福建·高考真题） sin15°cos 75° cos15°sin105°等于（　）
A．0 B 1． 2 C．1 D
3
．
2
2．（全国·高考真题） sin 20o cos10o cos160o sin10o =
A 3 3． B．
2 2
1
C． D 1．
2 2
π π
3．（2020·

全国·高考真题）已知 sinq sin q ÷ =1，则 sin q 3 6 ÷
= （ ）
è è
2
A 1 3 2． 2 B． C． D．3 3 2
4．（2024·全国·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， tan tan 4 ， tan tan 2 1，
则 sin( ) .
1．（2024 高三·全国·专题练习） sin 435o ．
2．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经
过点P 1, 3 ，则 sin π 6 ÷ （ ）è
1
A． B 1 3． 2 C． D．12 2
π π
3．（2024 高三·全国·专题练习）化简： sin ÷cos cos ÷sin ．
è 3 è 3
1
4．（2024·河南·三模）若 sin( ) ，且 tan 2 tan ，则 sin( ) （ ）6
3 2 2A． B． C． D 13 ．2 2 2
π 3
5．（2024·云南·模拟预测）若 sinq sin q

÷ ，则 sin

q
π
（
6 ÷ ）è 3 2 è
A 1
1
． 2 B
3 C D 3． ． ．
2 3 3
考点二、余弦两角和与差的基本应用
1．（高考真题） sin163°sin223° sin253°sin313°
1 1
A． B． C 3 3． D．
2 2 2 2
2．（2024·全国·高考真题）已知 cos( ) m, tan tan 2，则 cos( ) （ ）
m
A． 3m B． C m． D．3m
3 3
1 1
3．（2023·全国·高考真题）已知 sin ,cos sin ，则 cos 2 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C． D．
9 9 9 9
1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点
P cos π ,sin π π ÷ ，则 cos ÷ （ ）
è 3 3 è 6
A 0 B 1 C 2 D 3． ． 2 ． ．2 2
3
cos 0,
π 12 π
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知 ， ÷ ， sin ， ,π ÷，则 cos （2 2 ）5 è 13 è
33 56 63 16
A． B． C． D．
65 65 65 65
π π
3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若 cos ÷ cos 1，则 cos ÷ （ ）
è 3 è 6
A 3 B 3 C 2 3 D 2 3． ． ． ．
3 3 3 3
1 1
4．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知 cos α β ， tan tan ，则 cos 2 2 （
3 ）4
31 5 31 5
A． B． C． D． 81 9 81 9
π π
5．（2024·全国·模拟预测）已知q ,0÷，32tanq 25sin2q ，则 cos2
q
4 ÷ （ ）è è
A 7 2． B 2 C 2 7 2． ． D．
10 10 10 10
考点三、正切两角和与差的基本应用
1．（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ 3 B．－2+ 3 C．2－ 3 D．2+ 3
1
2．（重庆·高考真题）若 tan , tan(
1
) ,则 tan =
3 2
1 1 5 5
A． B． C． D．
7 6 7 6
cos π
3．（2024·全国·高考真题）已知 3，则 tan ÷ （ ）cos sin è 4
A． 2 3 1 B． 2 3 1 C 3． D．1 3
2
π
4．（2020·全国·高考真题）已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=（
4 ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
5．（2022·全国·高考真题）若 sin( ) cos( )

2 2 cos 4 ÷
sin ，则（ ）
è
A． tan 1 B． tan 1
C． tan 1 D． tan 1
1．（2024·山西吕梁·二模）已知角 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上，终边经过点 3,1 ，则
tan π ÷ （ ）
è 6
A． 3 B 3 C 3． ． D． 3
3 3
π π
2．（2024·重庆·三模）已知 cos 4 ÷
3cos 4 ÷
，则 tan （ ）
è è
1
A 1．2 B． 2 C．3 D． 3
3
π
．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5，则 tan 4 ÷ （ ）è
1 1
A． 7 B．7 C． D．
7 7
1
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 sin 2cos , tan ，则 tan tan （ ）
2
3 5 4 6
A． B． C． D．
5 3 5 5
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知0 < < < π，且 sin 2cos ， sin sin 3cos cos 0，则
tan （ ）
1
A． 1 B 3 1． C． D．
2 2 2
考点四、拼凑角思想在三角恒等变换中求值
π π 1
1．（2024·四川·模拟预测）已知 , π ÷ ， sin 2 ，则
sin （
6 ÷ 5 ）è è
A 3 2 6 B 1 6 2． ． C 3 2 6 D 6 2 1． ．
10 10 10 10
2．（浙江·高考真题）若 0＜α＜ ，﹣ ＜β＜0，cos（ +α）= ，cos（ ﹣ ）= ，则 cos（α+ ）
=（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
1 1
3．（23-24 高三下·浙江金华·阶段练习）已知 cos ， sin sin ，则 cos2 sin2 （
3 12 ）
1 1 1 1A． 2 B． C． D．3 6 8
π π π 1 π 6
4．（22-23

高一下·江西景德镇·期中）已知 0, π ， , ÷满足 sin ÷ 2 2 ， cos ÷ ，è è 3 3 è 6 6
则 sin 2 （ ）
A 2 10 2 B 2 10 2 C 2 10 2 D 2 10 2． ． ． ．
9 9 9 9
1
1．（2024·河北石家庄·三模）已知角 , 满足 tan , 2sin cos sin ，则 tan （
3 ）
1 1 1
A． B． C． D．2
3 6 7
é π ù é 3π ù
2．（2024· · 3 6山西 三模）若 sin 2 ,sin ，且 ê , π4 ú , êπ, ú ，则 cos （2 ）3 6
A 5 2 30． B． C 6 D 2 5 2． ．
6 6 3 6
3 1 5 3．（2024·重庆·模拟预测）已知 , 都是锐角，cos ，sin( ) ，则 cos 2 的值为（ ）
7 14
1
A． B 1． 2 C
3
． D 3．
2 2 2
考点五、拼凑角思想在三角恒等变换中求角
1 23-24 · · sin 5 ,sin 10．（ 高三上 贵州铜仁 阶段练习）已知 ，且 和 均为钝角，则 的值为
5 10
（ ）
π
A B 5π 5π
7π 7π
． ． 4 C． 4 或 D．4 4 4
1 1
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 tan , tan ,且 , (0, ) ,则2 （
2 ）7
3 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
π
3．（22-23 高三·全国·期末）已知0 < < < , cos 2 cos 2 1 2cos cos ，则（
2 ）
πA． B．
π

6 3
π πC． D．
6 3

1．（2023 高三·全国·专题练习）已知 cos 2 5 ， sin 10 ，且 0, ÷ ， 0, ÷，则 的值
5 10 è 2 è 2
是（ ）
3 7 5
A． B． C． D4 ．4 4 4
π 3π
2．（22-23 高三上·山东青岛·期中）已知 π， π ， sin 2
4
，
4 2 cos
2
，则
5 10
（ ）
3
A． π
π 5 π πB． C． D．
4 4 4 2
é π ù é π ù
3．（2024·吉林长春· 5 10模拟预测）已知 cos 2 ， sin ， ê0, ú ， ê ,05 10 2 2 ú
，则

（ ）
π 3π 5π π 3πA． B． C． D． 或
4 4 4 4 4
考点六、正弦倍角公式的应用
1． sin15o cos15o （ ）
1 1
A B 3 3． ． C． D．
4 4 4 4
π
2．（2024·河南·二模）已知 sinx cosx
1
，则 cos 2x

÷ 2 （3 ）è
- 3 3 8 8A． B． C． D．
5 5 9 9
1 cos 2
3．（2024·四川自贡·三模）已知角 满足 3，则 sin 2 （ ）
sin 2
A 3 10 3 10
3 3
． B． C．- D．
10 10 5 5
1．（2024·山东济南·三模）若 sin cos 2 ，则 tan （ ）
A．1 B． 1 C．2 D． 2
tan2

2．（2024·山东·模拟预测）已知 sin2
4
，则 tan π （5 ） ÷
è 4
A．4 B．2 C． 2 D． 4
考点七、余弦倍角公式的应用
3
1．（山东·高考真题）已知 cos x ，则 cos 2x （ ）
4
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 4 8 8
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 f (x) cos2 x sin2 x，则（ ）

A． f (x)

在 ,

÷ 上单调递减 B． f (x) 在 , 上单调递增
è 2 6 è 4 12 ÷
0, 7 f (x) f (x) , C． 在 3 ÷上单调递减
D． 在 ÷上单调递增
è è 4 12
π 5π
3．（2021·全国·高考真题） cos2 cos2 （
12 12 ）
A 1 B 3 2 3． 2 ． C． D．3 2 2
4．（全国·高考真题）函数 f (x) cos4 x sin4 x的最小正周期是

A． B． C．2 D． 4
2
2
1．（2020·全国·高考真题）若 sin x ，则 cos 2x ．
3
2 x 2 x2．（2024·北京顺义·三模）已知函数 f x cos sin ，则（ ）
2 2
A． f x π π 为偶函数且周期为4π B． f x 为奇函数且在 , ÷上有最小值
è 4 12
C． f x 0, π π 为偶函数且在 3 ÷上单调递减 D． f x 为奇函数且 ,0 为一个对称中心è è 4 ÷
3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 10,

，则 sin ， cos 2 ．
2
考点八、升幂公式与降幂公式的应用
1 2
π
．（浙江宁波·期末） sin =
12
A 2 3 B 2 3
3 1
． ． C． D．
4 4 4 4
2．（2024·浙江·模拟预测）若8 tan 3cos ，则 cos 2 ．
q π q π 1 π
3．（2024·浙江·三模）已知 cos

÷cos
÷ ，则 cos
2q ÷ 2 3 2 6 4 （ ）è è è 3
1
A． B 1 3 3． 2 C． D．2 2 2

4．（2024·全国·模拟预测）已知 , 5 2 1为锐角，满足 sin sin ,cos ，则 sin ，
6 9 2
cos ．
5π 1 π
1．（2024·浙江绍兴·二模）若 sin ÷ ，则 cos 2 ÷ （12 3 6 ）è è
A 2 2
7 7
． B 2 2． C． D．
9 9 9 9
π
2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1 2 3cos ，则 sin 2 ÷ （ ）
è 6
1 7 3 7
A． B． C． D．
8 8 4 8
π 1 π
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 sin ÷ 3cos ，则 sin 2 6 ÷
．
è 3 5 è
4．（2024·黑龙江·三模）已知 cos 1 ,sin sin 1 ，则 cos 2 2 .
2 3
2cos 2x π cos x π cos3x 1 π 5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ÷ ÷ ，则 cos 2x ÷
è 12 è 12 4 è 3
考点九、正切倍角公式的应用
1
1．（2024 高三·全国·专题练习）若 tan(π ) ，则 tan 2 ．
2
π π 2
2．（2024·安徽合肥·三模）已知q 0, ÷ , tan q ÷ tanq ，则 tan 2q .
è 2 è 4 3
π sinq
3．（23-24 高三上·广东湛江·阶段练习）已知q (0, )，且 sin 2q ，则 tanq 2 （ ）sinq cosq
A． 2 1 B． 2 1 C． 3 1 D． 3 1
1 tan2 π
1．（2024 高三· 8全国·专题练习） π ．tan
8
1
2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 a 0, π ，且 sina cosa ，则 tan2a （ ）
5
12 12 24 24
A． B． C． D．
7 7 7 7
π
3．（2024·全国·模拟预测）已知q 0, ÷ ， sin2
π q 1 5
，则 tan
π
2 8 4 ÷ 2 10
2q
4 ÷
（ ）
è è è
1 17 31
A． B． C． D．13
13 31 17
考点十、半角公式的应用
1．（2023·全国·高考真题）已知 1 5 sin

为锐角， cos ，则 （ ）．
4 2
A 3 5 B 1 5 C 3 5． ． ． D 1 5．
8 8 4 4
1
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知 为锐角，若 sin ，则 cos2 （ ）
4 2
A 4 15 B 4 15 C 4 15 D 15． ． ． ．
8 8 4 4
3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做 Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而
无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明
更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O上一点，CH ^ AB，垂足为 H ，记 COB q ，则由
tan BCH BH 可以直接证明的三角函数公式是（ ）CH
tan q sinqA． B． tan
q sinq

2 1 cosq 2 1 cosq
tan q 1 cosqC． D． tan
q 1 cosq

2 sinq 2 sinq

1．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 3,4 ，则 tan （ ）
2
A．3 B 1． 2 C． 2 D
1
． 2 或 2
1 π
2．（2023·全国·模拟预测）已知 是锐角， cos ，则 cos （3 2 6 ÷ ）è
A 1 6 B 1 6 C 3 2 D 2 3． ． ． ．
2 6 2 6 6 3 2 6
3．若 sinq
3 5π
， < q < 3π
q q
，则 tan cos （ ）
5 2 2 2
A 3 10 B 3 10 3 10 3 10． ． C．3 D．3
10 10 10 10
考点十一、辅助角公式的应用
1．（2024·全国·高考真题）函数 f x sin x 3 cos x 在 0, π 上的最大值是 ．
2．（2020·北京·高考真题）若函数 f (x) sin(x ) cos x的最大值为 2，则常数 的一个取值为 ．
3．（全国·高考真题）设当 x q 时，函数 f (x) sin x 2cos x 取得最大值，则 cosq .
1
4．（2024 高三·湖北·二模）在VABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c， cosC ， c 8，则
3
当 a b 取得最大值时， sin A .
1．（2024·湖北·二模）函数 f x 3cos x 4sin x，当 f x 取得最大值时， sin x （ ）
4 4 3 3
A． B． C． D．-
5 5 5 5
π
2．（2024·四川南充·二模）已知函数 f (x) 3sin x 4cos x．设 x q 时， f (x) 取得最大值．则 cos q ÷
è 4
（ ）
A 7 2． B 7 2 2． C． D 2．
10 10 10 10
3．（2024·山东·模拟预测）若函数 f x cos x sin x π

÷的最大值为 2，则常数 的一个取值
è 3
为 ．
4．（2024·河北保定·三模）已知锐角 ， （ ）满足 sin 2cos sin 2cos ，则 sin( )的值
为（ ）
3 10 2 5 3 4A． B． C． D．
10 5 5 5
考点十二、万能公式的综合应用
tan 2

1．（21-22 高三上·四川成都·阶段练习）已知 为锐角且 tan sin 2
3 ，则 的值
÷ 2 ÷
è 4 è
是 ．
π 2 tan( π2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知 sin(2 ) ，则 ) tan(
π
)
3 12 ．12 3

1．（2022·四川眉山·模拟预测）若 0, ，2 ÷ sin 2 cos
2 ，则 cos 2 的值为（ ）
è
3 1 3
A．- B． C．0 D．
5 2 5
π π π
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 sin ÷ 2sin ÷，则 sin 2 ÷ （4 4 4 ）è è è
A 2． B 2 C 7 2 7 2． ． D．
10 10 10 10
考点十三、积化和差与和差化积公式的综合应用
4
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 cos cos ,sin sin
3
，则 tan 的值为（ ）
5 5
24 7 7
A． B．
24
C． D．
7 24 24 7
2．（2024·安徽阜阳·一模）已知 sin sin a,cos cos b ab 0 ，则 cos ，
sin .
1
3．（2024·广东· 2 2一模）已知cos cos ,sin 1 ，则 cos 2 2 （ ）
12 4
7 7 2 2
A． B． C． D．
9 9 9 9
1．（2024·山东·模拟预测）已知 sin x cos y cos x sin y
1
， cos 2x cos 2y
1
，则 sin x y （
2 ）4
1 3 1
A 1． 2 B． C． D． 4 4 4
2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ， B ，C 满足 A B C π，且 cos A cos B cosC 1，则
(1 cos A )(1 cos B )(1 cosC )=（ ）
A．0 B．1
C． 2 D． 3
考点十四、三角恒等变换的综合应用
1．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）函数 f (x) 3sin x(1 cos x)的最大值为（ ）
3 5 5 9
A． 3 B2 ．
3 C． D．
4 8 4
2 2024· · : sin 20o．（ 新疆 一模）已知 q sin 20o q sin 40o q 0，则 tanq （ ）
A． 3 B 3 C 3． ． D． 3
3 3
3．（2024·全国·模拟预测）已知角 , 满足： sin sin 5sin ，其中 π 2kπ ， π 2kπ，
tan
π 2kπ k Z ，则 2 （ ）tan
2
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
π (1 sin )(1 cos )
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知 (0, )， 4 2 1，则 sin 2 （
2 ）(1 sin )(1 cos )
A 4 2 1 B 4 2 1 C 4 2 1 D 4 2 1． ． ． ．
8 16 8 16
1．（2024·安徽阜阳·一模）已知 sin sin a,cos cos b ab 0 ，则 cos ，
sin .
1
2．（2024·重庆·三模）已知函数 f (x) 满足 f tan x .若 x、x 是方程 2024x2sin 2x 1 2 x 2024 0的两根，则
f (x1) f (x2 ) = .
π 3
3．（2024·湖北荆州·三模）设0 < < < ， tan m tan ， cos ，若满足条件的 与 存在且
2 5
唯一，则m ， tan tan .
4．（2024·四川成都·三模）若 VABC 为锐角三角形，当 2tanA 9tanB 17tanC 取最小值时，记其最小值为m ，
对应的 tanA n ，则mn .
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 f x 的最小正周期是 2π的是（ ）
A． sinx cosx B． sinxcosx
C． sin2x cos2x D． sin2x cos2x
15
2．（2024·河北保定·二模）若 4tan ，则 cos2 （ ）
sin
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 8 8 8
2 π π
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知 sin2 ,

0,

÷，则 sin （3 4 4 ÷ ）è è
5
A 6 B C 30 15． ． ． D．
6 6 6 3
sin sin π 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 ÷ cos sin
π π
6
÷，则 tan3
2α
4 ÷
（ ）
è è è
A． 2 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 2 3
π π tan 2
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 < < < ，且 cos sin
1
， ，则 cos tan 3 （ ）4 4 2
A 11 B 11 35 35． ． C． D．
6 6 6 6
π π
6．（2024·陕西·模拟预测）已知 , ÷，若 tan 2
3
tan
π
2cos2 sin 2
2 4 ÷，则 （ ）è 2 è 4 tan
18 2 2 18
A． B． C． D．
5 5 5 5
二、填空题
7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算： cos 72°cos 36° .
7 (π, 38．（2024·上海·模拟预测）已知 cos ， π)，则 cos


9 ．2 2
9．（2024·江苏苏州·三模）函数 f (x) | sin x | cos x 的值域是 .
10．（2024·湖南·模拟预测）已知 tan 3， tan( ) 5，则 tan(2 ) .
π 4 π
1．（2024·山东·模拟预测）已知 cos ÷ cos sin
2 ，则
3 5 ÷
（ ）
è è 6
7 24 24
A 7． B． C． D．
25 25 25 25
2．（2024·河北衡水·三模）已知 sin(3 ) msin( )，tan(2 ) n tan ，则 m，n 的关系为（ ）
m 1 m m 1
A．m 2n B． n C． n D． n
m m 1 m 1
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知 cos 10° cos 50° cos 50° ，则 tan （ ）
A 3 3． B． C． 3 D． 3
3 3
4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设 , R ，则
“ cos 2 cos sin 2 sin sin π
cos π π π÷ ÷ cos ÷sin
π
÷ ”是“ kπ ，
è 4 è 4 è 4 è 4 8
k Z ”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
π 3
5．（2024·福建泉州·二模）若 , 0, ÷ , tan m tan ,sin( ) ，且 与 存在且唯一，则
è 2 5
tan m tan （ ）
1 1A．2 B．4 C． 2 D． 4
π
6．（2024·江苏南通·模拟预测）已知0 < < < ， sin 4 ， tan tan 2，则 sin sin （
2 ）5
A 1
1 2 2
． 2 B． C． D．5 5 2
7．（2024·山西吕梁·三模）设函数 f x sinx 3cosx 1.若存在实数a,b, 使得 af x bf x 1对任意
x R 恒成立，则 a b （ ）
A． 1 B．0 C．1 D． ±1
8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在VABC 中，若 sin2 A sin2B 1，则下列说法正确的是（ ）
A． sinA cosB
π
B． A B
2
C． sinA ×sinB 1的最大值为 2 D． tanA × tanB 1
π 2
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知 a, (0, )， sin(2 ) 2sin ， tan ，则 tan( ) ．
2 3
10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知 cos 20° q cos 20° q cos 40° q 0 ，则 tanq .
1．（2023·全国·高考真题）过点 0, 2 与圆 x2 y2 4x 1 0 相切的两条直线的夹角为 ，则 sin （ ）
A 1 B 15 C 10 6． ． ． D．
4 4 4
2．（2021·北京·高考真题）函数 f (x) cos x cos 2x 是
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
9 9
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
3．（2021·浙江·高考真题）已知 , ,g 是互不相同的锐角，则在 sin cos ,sin cosg ,sing cos 三个值中，大
1
于 2 的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020·全国·高考真题）已知 sinq sin
π π
q ÷ =1，则 sin q =
è 3 è 6 ÷
（ ）

1 3 2A 2． 2 B． C． D．3 3 2
π
5．（2020·全国·高考真题）已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=（
4 ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
π
6．（2020·浙江·高考真题）已知 tanq 2，则 cos 2q ； tan(q ) ．
4

7．（2020· 2江苏·高考真题）已知 sin ( ) 2 = ，则 sin 2 3 的值是 .4
2
8．（2020·全国·高考真题）若 sin x ，则 cos 2x ．
3
π
9．（2019·全国·高考真题）已知 ∈（0， ），2sin2α=cos2α+1，则 sinα=
2
A 1． 5 B
5
．
5
C 3 D 2 5． ．
3 5
tan 2
π
10．（2019·江苏·高考真题）已知 tan π 3 ，则 sin 2 . 4 ÷ è 4
÷ 的值是

è
11．（2019·北京·高考真题）函数 f(x)=sin22x 的最小正周期是 ．
12．（2019·全国·高考真题）函数 f (x) sin(2x
3π
) 3cos x 的最小值为 ．
2
5 1
13．（2018·全国·高考真题）已知 tan ÷ ，则 tan ．
è 4 5
14．（2018·全国·高考真题）已知 sin cos 1， cos sin 0，则 sin ．
1
15．（2018·全国·高考真题）若 sin ，则 cos2
3
8 7 7 8
A． B． C． D．
9 9 9 9
f x tanx16．（2018·全国·高考真题）函数 的最小正周期为
1 tan2x

A． B． C． D．2
4 2
17．（2018·全国·高考真题）已知函数 f x 2cos2 x sin2 x 2，则
A． f x 的最小正周期为 ，最大值为3
B． f x 的最小正周期为 ，最大值为 4
C． f x 的最小正周期为 2π，最大值为3
D． f x 的最小正周期为 2π，最大值为 4第 02 讲 三角恒等变换
（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）
（14 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数的化简、求值
2024 年新 I 卷，第 4 题,5 分 用和、差角的余弦公式化简、求值
同角三角函数基本关系
2024 年新 I 卷，第 13 题,5 分 用和、差角的正切公式化简、求值 同角三角函数基本关系
用和、差角的正弦公式化简、求值
2023 年新 I 卷，第 8 题,5 分 三角函数求值
二倍角的余弦公式
2023 年新Ⅱ卷，第 7 题,5 分 半角公式、二倍角的余弦公式 无
2023 年新Ⅱ卷，第 16 题,5 分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 特殊角的三角函数值
用和、差角的余弦公式化简、求值
2022 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分 无
用和、差角的正弦公式化简、求值
正、余弦齐次式的计算
2021 年新 I 卷，第 6 题,5 分 二倍角的正弦公式
三角函数求值
逆用和、差角的余弦公式化简、求值 数量积的坐标表示
2021 年新 I 卷，第 10 题,5 分
二倍角的余弦公式 坐标计算向量的模
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为 5-11 分
【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公
式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考
知识讲解
1. 正弦的和差公式
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
2. 余弦的和差公式
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sin
3. 正切的和差公式
tan tan tan
1 tan tan
tan tan tan
1 tan tan
4. 正弦的倍角公式
1
sin 2 2sin cos sin cos sin 2
2
5. 余弦的倍角公式
cos 2 cos2 sin 2 cos sin cos sin
升幂公式：
cos 2 1 2sin 2 ， cos 2 2cos2 1
降幂公式：
sin 2 1 cos 2 cos2 1 cos 2 ，
2 2
6. 正切的倍角公式
tan 2 2 tan
1 tan2
7. 半角公式
α 1－cos α
(1)sin ＝± .
2 2
α 1＋cos α
(2)cos ＝± .
2 2
α 1－cos α sin α 1－cos α
(3)tan ＝± ＝ ＝ .
2 1＋cos α 1＋cos α sin α
α
以上称之为半角公式，符号由 所在象限决定．
2
8. 万能公式
2 tan x 1 x tan2 2 tan x
sin x 2x cos x
2
x tan x
2
1 tan2 1 tan2 1 tan2 x
2 2 2
9. 和差化积与积化和差公式
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
2sin Acos B sin(A B) sin(A B)
2cos Acos B cos(A B) cos(A B)
2sin Asin B cos(A B) cos(A B)
10. 推导公式
(sin cos )2 (sin cos )2 2
11. 辅助角公式
y a sin x b cos x (a 0) y a2 b2， sin(x ) b ，其中 tan ， ( , )
a 2 2
考点一、正弦两角和与差的基本应用
1．（福建·高考真题） sin15°cos 75° cos15°sin105°等于（　）
A．0 B 1 3． 2 C．1 D． 2
【答案】C
【分析】由题得原式= sin15°cos75° cos15°sin 75°，再利用和角的正弦公式化简计算.
【详解】由题得原式= sin15°cos 75° cos15°sin 75°=sin(15o 75o ) sin 90o 1 .
故选 C
【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属
于基础题.
2．（全国·高考真题） sin 20o cos10o cos160o sin10o =
A 3． B 3．
2 2
1
C． D 1．
2 2
【答案】D
【详解】原式= sin 20o cos10o cos 20o sin10o =
1
sin 30o = 2 ，故选 D.
考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.
π π
3．（2020·全国·高考真题）已知 sinq sin

q

÷ =1

3 ，则
sin q ÷ = （ ）
è è 6
1 3 2A． 2 B． C D
2
．
3 3
．
2
【答案】B
【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】由题意可得： sinq 1 sinq 3 cosq 1，
2 2
3
则： sinq 3 cosq 1 3， sinq 1 3 cosq ，
2 2 2 2 3

从而有： sinq cos cosq sin 3 ，
6 6 3
sin q 3即 ÷ .
è 6 3
故选：B.
【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.
4．（2024·全国·高考真题）已知 为第一象限角， 为第三象限角， tan tan 4 ， tan tan 2 1，
则 sin( ) .
2 2
【答案】
3
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 tan 2 2 ，再缩小 的范围，最后结合同角的平
方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
tan tan 4
【详解】法一：由题意得 tan 2 21 tan tan 1 2 1 ，
2kπ,2kπ π 因为 ÷ ,
2mπ π,2mπ 3π ÷， k, m Z，
è 2 è 2
则 2m 2k π π, 2m 2k π 2π ， k, m Z，
又因为 tan 2 2 < 0，
2m 2k π 3π则 , 2m 2k π 2π

÷ ， k, m Z，则 sin < 0，
è 2
sin
2 2 sin2 cos2 1 sin 2 2则 cos ，联立 ，解得 . 3
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 cos 0,cos < 0 ,
cos cos 1 ， cos
cos 1

sin2 cos2 1 tan2 sin2 cos2 1 tan2
，

则 sin( ) sin cos cos sin cos cos (tan tan )
4cos cos 4 4 4 2 2
2 1 tan 1 tan2 (tan tan )2 (tan tan 1)2 42 2 3
2 2
故答案为： .
3
1．（2024 高三·全国·专题练习） sin 435o ．
6 2
【答案】
4
【分析】先利用诱导公式得 sin 435o sin 75o ，再利用两角和的正弦公式求解.
o o o o o o o o o o
【详解】 sin 435 sin 360 75 sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos 45 sin 30
2 3 2 3 6 2
．
2 2 2 2 4
6 2
故答案为：
4
2．（23-24 高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经
过点P 1, 3 ，则 sin π 6 ÷ （ ）è
1
A． B 1 3． 2 C． D．12 2
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出角 的正余弦值，再利用差角的正弦公式计算即得.
【详解】由题意， sin 3 , cos 1 .
2 2
sin π 3则 ÷ sin
1 cos ( 3 )2 (1 )2 1.
è 6 2 2 2 2
故选：D.
π
3．（2024 高三·全国·专题练习）化简： sin ÷cos cos
π
÷sin ．
è 3 è 3
3 1
【答案】 / 3
2 2
【分析】根据两角差的正弦公式和特殊角的三角函数值得出答案；
é π ù π 3
【详解】原式=sin ê 3 ÷
ú =sin ．
è 3 2
3
故答案为： .
2
1
4．（2024·河南·三模）若 sin( ) ，且 tan 2 tan ，则 sin( ) （
6 ）
3 2 2A． B． C． D 13 ．2 2 2
【答案】D
【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算 sin cos , cos sin ，再根据和角公式计算即可.
【详解】因为 sin( ) sin cos cos sin
1
，
6
sin 2sin
又 tan 2 tan ，即 sin cos 2cos sin cos cos ，则 ，
所以 sin cos
1
, cos sin 1 ，
3 6
故 sin( ) sin cos cos sin
1 1 1
.
3 6 2
故选：D
π
5．（2024·云南·模拟预测）若 sinq sin q π 3

÷ ，则 sin q

÷ （6 ）è 3 2 è
1
A 1 3 3． 2 B． C． D．2 3 3
【答案】A
【分析】根据题意，利用两角和与差的三角函数，准确运算，即可求解.
【详解】由 sinq sin q
π

π π π π π π 3
3 ÷
sin q ÷ sin q ÷ 2sin q ÷cos ，
è è 6 6 è 6 6 è 6 6 2
π 1
即 2sin q π 3 3



÷ ，所以 sin q .
è 6 2 2
÷
è 6 2
故选：A.
考点二、余弦两角和与差的基本应用
1．（高考真题） sin163°sin223° sin253°sin313°
1 1
A． B． C 3 3． D．
2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用诱导公式转化，原式=sin163° sin223°+cos163°cos223°再通过两角和公式化简，转化成特殊角得
出结果．
1
【详解】原式=sin163° sin223°+cos163°cos223°=cos（163°-223°）=cos（-60°）= .
2
故选 A.
【点睛】本题主要考查了诱导公式应用及两角和与差的余弦公式．要熟记公式是关键．
2．（2024·全国·高考真题）已知 cos( ) m, tan tan 2，则 cos( ) （ ）
m
A． 3m B m． C． D．3m
3 3
【答案】A
【分析】根据两角和的余弦可求 cos cos ,sin sin 的关系，结合 tan tan 的值可求前者，故可求
cos 的值.
【详解】因为 cos m，所以 cos cos sin sin m，
而 tan tan 2，所以 sin sin 2cos cos ，
故 cos cos 2cos cos m即 cos cos m，
从而 sin sin 2m ，故 cos 3m，
故选：A.
1
3．（2023·全国·高考真题）已知 sin ,cos sin 1 ，则 cos 2 2 （ ）．
3 6
7 1 1 7
A． B． C． D．
9 9 9 9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 sin( )，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 sin( ) sin cos cos sin
1 cos sin 1 ，而 ，因此 sin cos
1

2 ，3 6
则 sin(
2
) sin cos cos sin ，
3
cos(2 2 ) cos 2( ) 1 2sin2 2 2 1所以 ( ) 1 2 ( ) .
3 9
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解
题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角
相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得
的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点
P cos π ,sin π cos π ，则 3 3 ÷ 6 ÷
（ ）
è è
A 1 2 3．0 B． 2 C． D．2 2
【答案】D
【分析】根据三角函数的定义求出 sin ， cos ，再由两角差的余弦公式计算可得.
π π 1 3
【详解】因为P cos ,sin ÷ ，即P , ÷ ，
è 3 3 2 2 ÷è

P 1 , 3 3 cos 1即角 的终边经过点 ÷÷ ，所以 sin ， ，
è 2 2 2 2
π π π 1 3 3 1 3
所以 cos 6 ÷
cos cos sin sin .
è 6 6 2 2 2 2 2
故选：D
3 π 12 π
2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知cos

， 0, ÷ ， sin ， 2
,π
2 ÷
，则 cos （ ）
5 è 13 è
33 56 63 16
A． B． C． D．
65 65 65 65
【答案】A
【分析】利用平方关系求出 sin , cos ，然后由余弦的两角差公式可得.
3 π 12 π
【详解】因为cos
0, ， ， sin ， ,π ，
5 2 ÷ 13 2 ÷è è
sin 1 3
2
4 12
2
5
所以 ÷ , cos 1 ，
è 5 ÷ 5 è 13 13
cos cos cos sin sin 3 5 4 12 33所以 ÷ .5 è 13 5 13 65
故选：A
π π
3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若 cos ÷ cos 1 cos

，则

÷ （3 6 ）è è
A 3 B 3 C 2 3 D 2 3． ． ． ．
3 3 3 3
【答案】A
π π
【分析】首先对 cos ÷ cos 进行化简整理，得到 3 cos( ) ，求得结果.
è 3 6
π 1
【详解】 cos ÷ cos 3 cos
3
sin cos
è 2 2
3 cos 3 sin 3 cos( π ) 1，
2 2 6
所以 cos
π

3
÷ .
è 6 3
故选：A.
1 1
4．（23-24 高三下·江苏扬州·开学考试）已知 cos α β ， tan tan ，则 cos 2 2 （ ）3 4
31 5 31 5
A． B． C． D81 81 ．

9 9
【答案】C
【分析】利用两角余弦的和差公式结合二倍角公式求解即可.
【详解】由题意得 cos 1 cos cos sin sin ，
3
tan tan 1
sin α sin β 1 4 1
又 ，则 cos α cos β sin α sin β
4 cos α cos β 4
，解得 ， ，
9 9
故 cos 5 cos cos sin sin ，
9
则 cos 2 2 2cos2 1 31 ，
81
故选：C
π π
5．（2024·全国·模拟预测）已知q ,0÷，32tanq 25sin2q

，则 cos q ÷ 4 （2 ）è è
A 7 2 B 2 C 2 D 7 2． ． ． ．
10 10 10 10
【答案】B
【分析】先根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的关系求出 cosq ,sinq ，再根据两角差的余弦公式即可得
解.
32sinq
【详解】因为32tanq 25sin2q ，所以 50sinqcosq ，
cosq
q π ,0 cos2q 16 cosq 4 3因为 ÷，所以 ， ， sinq ，
è 2 25 5 5
所以 cos
π
q

÷ cosqcos
π sinqsin π 4 2 3 2 2 .
è 4 4 4 5 2 5 2 10
故选：B．
考点三、正切两角和与差的基本应用
1．（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ 3 B．－2+ 3 C．2－ 3 D．2+ 3
【答案】D
【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算
求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
3
0 0 0 0 0 0 tan 45
0 tan 300 1
【详解】详解： tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 ) = 0 0
3 2 3.
1 tan 45 tan 30
1 3
3
【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．
1 1
2．（重庆·高考真题）若 tan , tan( ) ,则 tan =
3 2
1 1 5 5
A． B． C． D．
7 6 7 6
【答案】A
1 1
tan tan[( ) ] tan( ) tan

2 3 1
【详解】试题分析： ，故选 A.
1 tan( ) tan 1 1 1 7
2 3
考点：两角和与差的正切公式．
cos π
3．（2024·全国·高考真题）已知 3

，则 tan （ ）
cos sin 4 ֏
A． 2 3 1 B． 2 3 3 1 C． D．1 3
2
【答案】B
cos
【分析】先将 弦化切求得 tan ，再根据两角和的正切公式即可求解.
cos sin
cos
【详解】因为 3 ，
cos sin
1
所以 3 3，
1 tan tan 1
，
3
tan tan 1所以

÷ 2 3 1，
è 4 1 tan
故选：B.
π
4．（2020·全国·高考真题）已知 2tanθ–tan(θ+ )=7，则 tanθ=（
4 ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.
Q2 tanq tan q 7 2 tanq tanq 1【详解】 ÷ ，\ 7 ，
è 4 1 tanq
令 t tanq , t 1，则 2t
1 t
7，整理得 t 2 4t 4 0 ，解得 t 2，即 tanq 2 .
1 t
故选：D.
【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.
5．（2022·全国·高考真题）若 sin( ) cos( ) 2 2 cos

÷sin ，则（4 ）è
A． tan 1 B． tan 1
C． tan 1 D． tan 1
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得： sin cos cos sin cos cos sin sin 2 cos sin sin ,
即： sin cos cos sin cos cos sin sin 0，
即： sin cos 0
所以 tan 1
故选：C
[方法二]：特殊值排除法

解法一:设 β=0 则 sinα +cosα =0，取 = ，排除 A, B；
4

再取 α=0 则 sinβ +cosβ= 2sinβ，取 β = ，排除 D；选 C.
4
[方法三]：三角恒等变换
sin( ) cos( ) 2 sin（ ）= 2 sin（[ ） ]
4 4
2 sin （ ）cos 2 co（s ）sin 2 2 co（s ）sin
4 4 4

所以 2 sin（ ）cos 2 co（s ）sin
4 4
sin （ ）cos co（s ）sin =0即 sin

（ ）=0
4 4 4
\sin（ ）=sin（ ）cos co（s ）sin = 2 sin（ 2 ） co（s ）=0
4 4 4 2 2
\sin（ ）= co（s ）即t an( ）=- 1,
故选：C.
1．（2024·山西吕梁·二模）已知角 的顶点在原点，始边在 x 轴的正半轴上，终边经过点 3,1 ，则
tan π ÷ （ ）
è 6
A． 3 B 3． C 3． D． 3
3 3
【答案】A
3
【分析】根据三角函数的定义可得 tan ，即可利用和差角公式求解，或者根据特殊角得
3
5π 2kπ,k Z，代入求解.
6
π tan tan
π
3 6
【详解】方法一；由角 终边经过点 3,1 ，可得 tan ，所以 tan ÷ π 3 .3 è 6 1 tan tan
6
故选：A.
方法二：角 终边经过点 3,1 ，故为 3 5π第二象限角， tan ，则 2kπ,k Z，
3 6
则 tan
π tan
2π
3 .
è 6 ÷ 3
故选:A.
cos π 3cos π 2．（2024·重庆·三模）已知 ÷ ÷，则 tan （4 ）è è 4
1
A．2 B 1． 2 C．3 D． 3
【答案】B
【分析】利用诱导公式得到 sin
π 3cos π π ÷ ÷，即可求出 tan 4 ÷ ，再由两角和的正切公式展开计è 4 è 4 è
算可得.
π π
【详解】因为 cos ÷ 3cos 4 ÷
，
è è 4
cos é π π ù 3cos 所以 ê
π

2 4 ÷ú 4 ÷
，
è è
sin π π 3cos 即 4 ÷ ÷
，
è è 4
π
tan π
tan tan
所以 3，则 tan
π 4 ÷ ÷ 3
1
，解得 tan .
è 4 è 4 1 tan tan π 2
4
故选：B
π
3．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5 tan ，则

4 ÷ （ ）è
1 1
A． 7 B．7 C． D．
7 7
【答案】B
【分析】先根据已知及同角三角函数的平方关系弦化切，再根据正切的和角公式计算即可.
ì3sin 4cos 5 3sin 4cos 2 25 9 tan
2 24 tan 16
【详解】因为 í ，
sin
2 cos2 1 sin2 cos2 tan2 1
整理得16 tan2 24 tan 9 4 tan 3 2 0，
所以 tan
3
，
4
3
1
又 tan
π tan 1 4
÷ 7 .
è 4 1 tan 1 3
4
故选：B
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 sin 2cos , tan 1 ，则 tan tan （ ）
2
3 5 4 6
A． B． C． D．
5 3 5 5
【答案】C
【分析】利用两角和差的正余弦公式展开，两边同除 cos cos ，得到 tan × tan 1
tan tan
.再利用
2
两角差的正切公式展开 tan ，将 tan × tan 1 tan tan 换成 ，化简即可得到答案.
2
【详解】 sin 2cos ，所以 sin cos cos sin 2 cos cos sin sin ，
cos cos tan tan 2 2 tan × tan tan tan 1 tan tan 两边同除 ，得到 ，即 × .
2
tan tan tan tan tan 1
1 tan × tan 1 1 tan tan

2 ，\ tan tan
4

.
2 5
故选：C.
5．（2024·贵州黔东南·二模）已知0 < < < π，且 sin 2cos ， sin sin 3cos cos 0，则
tan （ ）
1
A 3 1． 1 B． C． D．
2 2 2
【答案】C
【分析】找出 tan 和 tan 的关系，求出 tan 和 tan 即可求解.
【详解】Qsin sin 3cos cos 0，
\sin sin 3cos cos ，
\ tan tan 3①，Qsin 2cos ，\ tan 2 tan tan tan tan 2 21 ， tan tan 1 3
ìtan 1 ìtan 3
\ tan tan 4 ②，由①②解得 í
tan 3
或 í
tan
，
1
Q0 < < < π ，\ tan < tan ，
ìtan 3 tan tan tan 1\í ，\ .
tan 1 1 tan tan 2
故选：C.
考点四、拼凑角思想在三角恒等变换中求值
π π 11．（2024·四川·模拟预测）已知 , π ÷ ， sin ÷ ，则 sin 2 （ ）è è 6 5
A 3 2 6 B 1 6 2 C 3 2 6 6 2 1． ． ． D．
10 10 10 10
【答案】C
(π
π 1 π 2π
【分析】根据 , π) sin( ) π 2 6， ，求出 ( , π)，计算 ，再利用两角差的正
2 6 5 6 3 cos( ) 6 5
弦公式得到 sin sin((
π
) π )展开即可.
6 6
π
【详解】因为 ( , π) ，
2
π 2π 7π
所以 ( , )，
6 3 6
又因为 sin(
π
) 1 0，
6 5
π (2π所以 , π)，
6 3
π π 2 6
所以 cos( ) 1 sin2 ( ) ，
6 6 5
所以由两角差的正弦公式得
sin sin(( π) π ) sin( π π ) cos cos( π )sin π
6 6 6 6 6 6
1 3 2 6 1 3 2 6
，
5 2 5 2 10
sin 3 2 6所以 .
10
故选：C.
2．（浙江·高考真题）若 0＜α＜ ，﹣ ＜β＜0，cos（ +α）= ，cos（ ﹣ ）= ，则 cos（α+ ）
=（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【答案】C
【详解】∵0＜a＜ ，﹣ ＜β＜0，
∴ ＜ +α＜ ， ＜ ﹣ ＜
∴sin（ +α）= = ，sin（ ﹣ ）= =
∴cos（α+ ）=cos[（ +α）﹣（ ﹣ ）]=cos（ +α）cos（ ﹣ ）+sin（ +α）sin（ ﹣ ）=
故选 C
cos 13．（23-24 高三下·浙江金华·阶段练习）已知 ， sin sin 1 ，则 cos2 sin2 （
3 12 ）
1 1 1 1A． 2 B． C． D．3 6 8
【答案】C
【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出 cos cos ，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简
即可求解．
1
【详解】由 cos( ) 得 cos cos sin sin
1

3 3
，
又 sin sin
1 5
，所以 cos cos 12 12 ，
cos2 sin2 1 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 2
cos ( ) ( ) cos ( ) ( )
所以
2 2 2 2
cos( )cos( )
(cos cos sin sin )(cos cos sin sin )
( 5 1 ) ( 5 1 ) 1 1 1
12 12 12 12 2 3 6 ．
故选：C．
π π π 1 π 6
4．（22-23 高一下·

江西景德镇·期中）已知 0, π ， , ÷满足 sin2 2 ÷ ， cos è è 3 3 6 ÷ ，è 6
则 sin 2 （ ）
A 2 10 2 B 2 10 2 C 2 10 2 D 2 10 2． ． ． ．
9 9 9 9
【答案】B
【分析】注意到α 2β α
π π
2 π π β ÷，后结合 0, π ， 3 6
,
2 2 ÷，利用二倍角，两角和的正弦è è
公式可得答案.
【详解】因 0, π π π 4π ，则α sin π 1 3 sin π， ，又 < ，
3 3 3 ÷ ÷è è 3 3 2 3
π
则α
π , π π 2 2 ÷，得cos α .3 è 2 ÷è 3 3
é π ù π 2
因 cos
π 6
÷ ，则cos ê2 β ÷ú 2 cos
2
β 6 6 6 6 ÷
1 .
è è è 3
π , π π 2π π , cos π 6 1
π
cos π
π
,0 又 2 2 ÷，则è 6 3 3 ÷
，结合 < ，则 ÷，得è è 6 ÷ 6 2 3 6 è 2
π 30
si n β ÷ ，
è 6 6
é
2 β π
ù
2 β π β π 5则si n ê ÷ú cos ÷ si n ÷ .
è 6 è 6 è 6 3
又注意到α 2β α
π 2 β π ，3 ÷è 6
则 sin 2 sin
π cos é π ù π é π ù
3 ÷ ê
2 6 ÷ú
cos ÷sin ê2 è è è 3 è 6
÷
ú
1 2 2 2 5 2 10 2
÷ ÷ ÷ .3 è 3 è 3 ÷ è 3 ÷ 9
故选：B
1
1．（2024·河北石家庄·三模）已知角 , 满足 tan , 2sin cos sin ，则 tan （
3 ）
1 1 1
A． B． C． D．2
3 6 7
【答案】C
【分析】借助 对已知化简，可求出 tan 的值，再由 tan tan 可解.
【详解】因为 2sin cos sin ，即 2sin é ù cos sin ，
所以 2sin cos 2cos sin cos sin ，
整理得 2sin cos 3cos sin ，变形得 tan 3 1 tan ，
2 2
所以 tan tan é
tan tan
1 ù 1 . tan tan 7
故选：C
3 6 é π ù é 3π ù2．（2024·山西·三模）若 sin 2 ,sin ，且
3 6 ê
, πú , êπ, ú ，则 cos （4 2 ）
A 5 2 B 30． ． C 6 2 5 2． D．
6 6 3 6
【答案】D
é π π
【分析】根据 sin 2 3 6 结合 的范围分析可得 ê , ÷， cos 2 ，再根据4 2 sin
6
结合
3 3 6
cos 30的范围分析可得 ，由 2 结合两角和差公式分析求解.
6
é π ù é π ù 3
【详解】因为 ê , πú ，则 2 ê , 2π ，且 sin 2 0， 4 2 ú 3
2 π é , π é π π 6则 ê ÷，可得 ê , ÷， cos 2 1 sin
2 2 ，
2 4 2 3
又因为
é
êπ,
3π ù π
ú，则

,
5π ù
2 2 4 ú
，且 sin 6 0，
è 6
可得
π
30 , π ，2 ÷ cos 1 sin
2 ，
è 6
所以 cos cos é 2 ù cos 2 cos sin 2 sin
6 30 3 6 2 5 2
÷÷ 3

6 ÷÷
.
è è 3 6 6
故选：D.
3．（2024· 1重庆·模拟预测）已知 , 都是锐角，cos ，sin( ) 5 3 ，则 cos 2 的值为（ ）
7 14
1
A． B 1 3 3． 2 C． D．2 2 2
【答案】A
4 3 y cos x cos( ) 11【分析】根据题意，求得 sin ，再由 的单调性，求得 ，利用两角差的余弦
7 14
公式，求得cos cos[( ) ]
1
，结合余弦的倍角公式，即可求解.
2
【详解】由 与 1均为锐角，且cos ，sin( 5 3 4 3 ) ，所以 sin ，
7 14 7
0 π ,0 π 0 < < π cos 11因为 < < < < ，可得 ， ± ，
2 2 14
又因为 y cos x在 (0, π) 上单调递减，且 < ，所以 cos cos( ) ，
因为 cos
1
，所以 cos( )
11
，
7 14
所以 cos cos[( ) ] cos( )cos sin( )sin
11 1 5 3 4 3 1
，
14 7 14 7 2
则 cos 2 2cos2 1 2 (
1)2 1 1 .
2 2
故选：A.
考点五、拼凑角思想在三角恒等变换中求角
1 5 10．（23-24 高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知 sin ,sin ，且 和 均为钝角，则 的值为
5 10
（ ）
π 5π 7π 7πA． B． 4 C
5π
． 或 D．
4 4 4 4
【答案】D
【分析】根据角度范围求解 cos , cos ，再求解 cos( )，结合角度范围判断即可.
【详解】∵ 和 均为钝角，
∴ cos 2 5 1 sin2 ， cos 1 sin2 3 10 ．
5 10
cos( ) cos cos sin sin 2 5
3 10 5 10 2
∴ ．
5 10 ÷÷è 5 10 2
由 和 均为钝角，得 π < < 2π ，∴
7
．
4
故选：D
tan 1 tan 12．（2024 高三·全国·专题练习）已知 , ,且 , (0, ) ,则2 （
2 ）7
3 3
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出 tan 2 ,再根据 tan 2 tan é 2 ù 结合两角和的正切
公式求得 tan 2 ,根据 tan tan é ù 求出 tan ,从而可得 , 的范围,即可得出 2 的范围,
即可得解.
1
【详解】因为 tan ,
2
2 tan 所以 tan 2

4 2 1 tan 3 ,
tan 2 tan
故 tan 2 tan é 2

ù 11 tan 2 , × tan

由 tan
1
,所以 ,

÷ ,7 è 2
1 1

又 tan tan é 2 7
1
ù
1 1 1 3
,
2
÷
è 7
所以
0, 4 ÷
,
è
故 2 ,0 ,
3
所以2 .
4
故选：A.
π
3．（22-23 高三·全国·期末）已知0 < < < , cos 2 cos 2 1 2cos cos ，则（
2 ）
A．
π
B．
π

6 3
π π
C． D．
6 3
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据 ， 的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将 2 ， 2 ( ) ( ) ，
则cos[( ) ( )] cos[( ) ( )] 1 2cos( ) cos( )，
2cos( )cos( ) 2cos( ) cos( ) 1 0，
[cos( ) 1][2cos( ) 1] 0 1，即 cos( ) 1或 cos( ) ．
2
0 π π又 < < < ，所以0 < < π, < < 0，
2 2
所以 cos( ) 1，所以选项 A，B 错误，
cos( ) 1 π π即 ，则 ，所以 ．则 C 错，D 对，
2 3 3
故选：D

1．（2023 2 5 10高三·全国·专题练习）已知 cos ， sin ，且 0, ÷ ， 0, ÷，则 的值
5 10 è 2 è 2
是（ ）
3 7 5
A． B． C． D
4 4 4
．
4
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得 sin , cos ，利用两角和差余弦公式可求得 cos ，结合
0, 可得结果.
Q 0, 5 3 10【详解】 ÷， 2
0,
2 ÷
，\sin 1 cos2 ， cos 1 sin2 ，
è è 5 10
cos cos cos sin sin 2 5 3 10 5 10 2\ ，
5 10 5 10 2
又 0, ，\ .
4
故选：B.
π
2．（22-23 高三上·山东青岛·期中）已知 π， π
3π
， sin 2
4
，
4 2 cos5
2
，则
10
（ ）
3 π 5 π
A． π B． C． π D．
4 4 4 2
【答案】A
【分析】求出 的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出 sin 的值，
即可得解.
π π 4 π π π
【详解】因为 π，则 2 2π ，因为 sin 2 ，则 2 π ，可得 ，
4 2 5 2 4 2
π 3π π因为 ，则
5π 5π
， 2π，
2 2 4 4
所以， cos 2 1 sin2 2
3
，
5 sin 1 cos
2 7 2 ，
10
所以， sin sin é 2 ù sin cos 2 cos sin 2
7 2

3 2 4 2
10 5 ÷ 10 ÷
，
è ÷è 5 2
3π
所以， .
4
故选：A.
é π ù é π ù
3．（2024· 5 10吉林长春·模拟预测）已知 cos 2 ， sin ， ê0, ú ， ê ,05 10 2 2 ú
，则

（ ）
π 3π π 3π
A． B． C
5π
． 4 D． 或4 4 4 4
【答案】B
【分析】求出 2 、 的范围，利用平方关系求出 sin 2 、 cos ，再由 2 求出
cos ，结合 的范围可得答案.
é
【详解】因为 ê0,
π ù
ú ，所以 2 0, π ， 2
2
所以 sin 2 1 cos2

2 1 5 2 5 ÷÷ ，
è 5 5
é0, π ù é π ù é π π ù因为 ê ú ， ,0 2 ê 2 ú
，所以 , ，
ê 2 2 ú
2
所以 cos 1 sin2

1 10 3 10 10 ÷÷
，
è 10
又由 2 知
cos cos é2 ù cos 2 cos sin 2 sin
5 3 10 2 5 10 2
÷÷
è 5 ÷
÷
10 5 è 10 2
又因为 0, π ，所以α β 3π .
4
故选：B.
考点六、正弦倍角公式的应用
1． sin15o cos15o （ ）
1 1
A B 3． ． C． D 3．
4 4 4 4
【答案】A
【分析】结合倍角公式以及特殊角的三角函数值即可求出结果.
o o 1
【详解】 sin15 cos15 sin 30o
1 1 1
，
2 2 2 4
故选：A.
1 π
2．（2024·河南·二模）已知 sinx cosx ，则 cos 2x ÷ 2 （3 ）è
- 3 3 8 8A． B． C． D．
5 5 9 9
【答案】D
【分析】对已知等式两边平方结合平方关系、二倍角公式以及诱导公式即可运算求解.
1
【详解】Qsinx cosx ,\(sinx cosx)2 1 sin2x
1 , sin2x 8 , cos 2x π 8 \ \
3 9 9
÷ sin2x .
è 2 9
故选：D.
1 cos 2
3．（2024·四川自贡·三模）已知角 满足 3，则 sin 2 （ ）
sin 2
A 3 10 3 10
3 3
． B． C．- D．
10 10 5 5
【答案】D
【分析】结合题意运用倍角公式和化正弦余弦为正切，即可求解.
1 cos 2 2sin2
【详解】由 3得 3，即 tan 3，
sin 2 2sin cos
\sin 2 2sin cos 2 tan 3 .
sin2 cos2 1 tan2 5
故选：D.
1．（2024·山东济南·三模）若 sin cos 2 ，则 tan （ ）
A．1 B． 1 C．2 D． 2
【答案】B
【分析】由同角的三角函数和二倍角公式结合特殊角的三角函数计算可得.
【详解】因为 sin cos 2 ，
所以 sin cos 2 sin2 cos2 2sin cos 1 sin 2 2，
所以 sin 2 1 2 2kπ
3
π,k Z kπ 3 π,k Z，
2 4
所以 tan 1，
故选：B
tan2
4
2．（2024·山东·模拟预测）已知 sin2 ，则 tan π （ ）5
è 4 ÷
A．4 B．2 C． 2 D． 4
【答案】D
tan2
2 5 2tan
【分析】由已知可得1 tan tan ，利用
2 tan



2 ，可求值.
4 ÷ 1 tan 2tan è
2sin cos 2tan 4 2 5
【详解】因为 sin2 2 2 2 ，所以1 tan tan ，sin cos tan 1 5 2
tan2 2tan
1 tan 2tan 2tan
所以 tan 1 tan
2 4
4 ÷ 1 tan (1 tan )
2 1 tan2 2tan ．
è
故选：D.
考点七、余弦倍角公式的应用
cos x 31．（山东·高考真题）已知 ，则 cos 2x （ ）
4
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 4 8 8
【答案】D
【解析】根据余弦二倍角公式计算即可得到答案.
2
3 1
【详解】 cos 2x 2cos2 x 1 2 ÷ 1 .
è 4 8
故选：D
【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，属于简单题.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 f (x) cos2 x sin2 x，则（ ）

A． f (x)
, 在 ÷ 上单调递减 B． f (x) 在 ,

÷ 上单调递增
è 2 6 è 4 12
0, , 7 C． f (x) 在 ÷上单调递减 D． f (x)3 在 ÷上单调递增è è 4 12
【答案】C
【分析】化简得出 f x cos 2x ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
2 2
【详解】因为 f x cos x sin x cos 2x .

对于 A 选项，当 < x <

时， < 2x < ，则 f x 在 ,
2 6 3 2 6 ÷
上单调递增，A 错；
è
x B < <

对于 选项，当 时， < 2x < ，则 f x 在 ,

÷ 上不单调，B 错；4 12 2 6 è 4 12
2
对于 C 选项，当0 < x < 时，0 < 2x < ，则 f x 0, 在 3 ÷上单调递减，C 对；3 3 è
7 7 7
对于 D 选项，当 < x < 时， < 2x < ，则 f x 在 , ÷上不单调，D 错.4 12 2 6 è 4 12
故选：C.
π 5π
3．（2021·全国·高考真题） cos2 cos2 （ ）
12 12
A 1 B 3 C 2． 2 ． ． D
3
．
3 2 2
【答案】D
2 5
【分析】由题意结合诱导公式可得 cos cos2 cos2 sin2 ，再由二倍角公式即可得解.
12 12 12 12
2
【详解】由题意， cos cos2
5 cos2 cos2 cos2 ÷ sin
2
12 12 12 è 2 12 12 12
cos 3 .
6 2
故选：D.
4．（全国·高考真题）函数 f (x) cos4 x sin4 x的最小正周期是

A． B． C．2 D． 4
2
【答案】B
【分析】将函数利用平方差公式及二倍角公式化成最简，在代入公式求周期．
4 4
【详解】 f (x) cos x sin x cos2 x sin2 x cos2 x sin2 x) cos 2x ，∴函数 f (x) 的最小正周期
T 2 .选 B
2
【点睛】本题关键是把函数化成 f x Acos wx k 的形式，属基础题．
1．（2020·全国·高考真题）若 sin x
2
，则 cos 2x ．
3
1
【答案】
9
【分析】直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可.
cos 2x 1 2sin2【详解】 x 1
2 8 1
2 ( )2 1 .
3 9 9
1
故答案为： .
9
【点睛】本题考查了余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
f x cos2 x sin2 x2．（2024·北京顺义·三模）已知函数 ，则（ ）
2 2
A． f x 为偶函数且周期为4π B． f x π , π 为奇函数且在 ÷上有最小值
è 4 12
C． f x π π 为偶函数且在 0, 3 ÷上单调递减 D． f x 为奇函数且è ,04 ÷为一个对称中心è
【答案】C
【分析】由二倍角公式得 f x cos x ，再根据余弦函数性质判断即可；
【详解】解：因为 f x cos2 x sin2 x cos x ，
2 2
π
所以，函数 f x 为偶函数且周期为 2π，在 0, 3 ÷上单调递减.è
所以，ABD 选项错误，C 选项正确.
故选：C
3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 10,

，则 sin ， cos 2 ．
2
3 10 4
【答案】
10 5
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求
出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ sin cos ，即
2 3sin cos 10 ，
3 10 10
即 10 sin cos ÷÷ 10
10
，令
10 10 sinq
， cosq 3 10 ，
è 10 10
则 10 sin q 10 ，∴ q 2k k Z ， ，即 q 2k ，
2 2
∴ sin sin 3 10 q 2k ÷ cosq ，
è 2 10
则 cos 2 2cos2 1 2sin2
4
1 .
5
3 10 4
故答案为： ； .
10 5
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ sin cos ，即
2 3sin cos 10 ，
又 sin2 cos2 1，将 cos 3sin 10 10sin2 6 10sin 9 0 sin 3 10 代入得 ，解得 ，
10
则 cos 2 2cos2 1 2sin2
4
1 .
5
3 10 4
故答案为： ； .
10 5
考点八、升幂公式与降幂公式的应用
2 π1．（浙江宁波·期末） sin =
12
3 1
A 2 3 B 2 3． ． C． D．
4 4 4 4
【答案】A
【分析】利用降次公式求得所求表达式的值.
1 cos 1
3

【详解】依题意 sin2 6 2 2 3 .
12 2 2 4
故选：A
【点睛】本小题主要考查降次公式，属于基础题.
2．（2024·浙江·模拟预测）若8 tan 3cos ，则 cos 2 ．
7
【答案】
9
sin
【分析】本题考查同角三角函数的基本关系和二倍角余弦公式的应用.根据 tan ， sin2 cos2 1，
cos
解得 sin ，结合二倍角余弦公式进行解答即可．
tan sin 8 sin 【详解】因为 可得 3cos ，因为 sin2 cos2 1，
cos cos
可得8sin 3cos2 3 1 sin2 ，解得 sin 1 或 sin 3（舍去）
3
2
所以 cos 2 1 2sin2 1 2 1 7 ÷ ．
è 3 9
7
故答案为: ．
9
q π q π 1 π
3．（2024·浙江·三模）已知 cos ÷cos ÷ ，则 cos

2q

2 3 2 6 4 （3 ÷ ）è è è
1
A． B 1 3 3． 2 C． D．2 2 2
【答案】A
【分析】根据诱导公式和二倍角公式化简等式，在利用二倍角公式计算得到结果；
cos q π cos q π cos q π cos q π π【详解】∵ ÷ ÷ ÷

÷ cos
q π q π


2 3 ÷
sin ÷
è è 2 6 è 2 3 è 2 3 2 è 2 3 è 2 3
1 sin 2π 1 q ÷ sin
q π π 1 π 1 ÷ cos(q ) ，2 è 3 2 è 6 2 2 6 4
cos q π 1∴ ÷ ，
è 6 2
∴ cos

2q
π
÷ 2cos
2
q
π 1

3 6 ÷
1 ，
è è 2
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）已知 , 5 2 1

为锐角，满足 sin sin ,cos ，则 sin ，
6 9 2
cos ．
5 1 5 1【答案】 / / 0.25
3 3 4

【分析】由 ,

，利用两角和与差的正弦公式和余弦的二倍角公式，求出
2 2 2 2
sin ；再用余弦的二倍角公式求出 cos .
2

【详解】因为 , ，所以
2 2 2 2
sin sin sin sin 2sin cos × ，
è 2 2 ÷ ÷ è 2 2 2 2
5 2
又 sin sin ，所以 sin cos 5 2 ，
6 2 2 12
因为 ,

为锐角，所以 为锐角，
2
又cos 1 1 2sin2 ，所以
2 9 sin
5
，
2 3
sin cos 5 2又 ，所以cos 10 ，
2 2 12 2 4
所以cos 2cos2 1 2 10 1 1 ．
2 16 4
5 1
故答案为： ； .
3 4
5π 1 π
1．（2024·浙江绍兴·二模）若 sin ÷ ，则 cos 2 ÷ （ ）
è 12 3 6
è
A 2 2 B 2 2
7 7
． ． C． D．
9 9 9 9
【答案】D
5π 7
【分析】由降幂公式求出 cos(2 ) ，再结合诱导公式求解即可．
6 9
1 cos 5π 2
【详解】由已知得， sin2 5π
÷ 5π 7

è 6 1 ，即 cos(2 ) ，÷ 6 9
è 12 2 9
cos 2 π cos 2 5π π cos 2 5π 7则 6 ÷ 6 ÷ 6 ÷
，
è è è 9
故选：D．
π
2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1 2 3cos ，则 sin 2 6 ÷
（ ）
è
1 7 3 7
A． B． C． D．
8 8 4 8
【答案】D
sin π 1【分析】先由辅助角公式得 ÷ ，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.
è 3 4
1 3
【详解】由2sin 1 2 3cos 得4 sin cos 1 sin
π 1÷÷ ，即 ÷ ，
è 2 2 è 3 4
所以 sin

2
π
÷ sin
é π
ê 2
π ù cos 2 π 1 2sin2 π 7 ，
è 6 2
3 ÷è ú ÷ ÷ è 2 è 3 8
故选：D
3．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 sin
π ÷ 3cos
1
，则 sin

2
π

3 5 6 ÷
．
è è
23
【答案】 25
【分析】先将条件式化简可得 sin
π 1
÷ ，再利用诱导公式和二倍角余弦公式将所求式子变形得解.
è 3 5
【详解】由 sin
π ÷ 3 cos
1
1 3 1，得 ，
è 3 5
sin cos 3 cos
2 2 5
1 π 1
即 sin 3 cos 1 ，所以 sin ÷ ，
2 2 5 è 3 5
sin 2 π sin é π 2π ù 2π π 所以 6 ÷
ê 2 ÷ú cos 2 ÷ cos 2 2 3 3 3 ÷è è è è
π 2 23
1 2sin2 3 ÷
1 .
è 25 25
23
故答案为： .25
1 1
4．（2024·黑龙江·三模）已知 cos ,sin sin ，则 cos 2 2 .
2 3
17 17
【答案】 /
18 18
1
【分析】已知 cos ,sin sin 1 ，由两角和的余弦公式求得 cos cos 1 ，再由两角和的余弦公
2 3 6
式求 cos ，倍角公式求 cos 2 2 .
【详解】因为 cos cos cos sin sin 1 ，而 sin sin 1 cos cos 1 ，因此 ，
2 3 6
则 cos cos cos sin sin 1 1 1 ，
6 3 6
所以 cos 2 2 2cos2 1 1 17 1 .
18 18
17
故答案为： .
18
2cos 2x π π 5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ÷cos x ÷ cos3x
1
，则 cos

2x
π
÷
è 12 è 12 4 è 3
7
【答案】 / 0.875
8
3x 2x π π π x cos x 【分析】由 ÷ ÷ ，结合两角和的余弦公式化简条件可求得 ÷，再利用二倍角的
è 12 è 12 è 6
余弦公式求 cos
2x π ÷ 即可.
è 3
【详解】因为 2cos
π π 1
2x ÷cos x ÷ cos3x ，
è 12 è 12 4
π π é π π ù 1
所以 2cos 2x ÷cos x cos 2x x ，
è 12 ÷ ÷ ÷ è 12 ê è 12 è 12
ú
4

所以 cos 2x
π

π π
÷cos x ÷ sin 2x

÷sin
x π 1 ÷ ，
è 12 è 12 è 12 è 12 4
所以 cos
π 1
x ÷
è 6 4
cos 2x π 2 所以 ÷ 2cos x
π 7
÷ 1 .
è 3 è 6 8
7
故答案为：
8
考点九、正切倍角公式的应用
1
1．（2024 高三·全国·专题练习）若 tan(π ) ，则 tan 2 ．
2
4
【答案】
3
【分析】利用诱导公式化简已知，得 tan
1

2 ，再利用二倍角公式求解
.
tan(π ) 1 1【详解】因为 ，则 tan
2 2
，
2 ( 1 )
所以 tan 2
2 tan 4
2 ．
1 tan2 1 ( 1 )2 3
2
4
故答案为：
3
q π 2．（2024·安徽合肥·三模）已知 0, ÷ , tan

q
π

2
÷ tanq ，则 tan 2q .
è 2 è 4 3
3
【答案】
4
1
【分析】利用两角和差的正切公式计算 tanq ，再使用二倍角的正切公式即可.
2
tan q π 2【详解】由 ÷ tanq ，
è 4 3
q (0, π且 )2 ，
tanq 1 2
得 tanq ，
1 tanq 3
整理得 2tan2 q 5tanq 3 0 ，
解得 tanq
1
（舍）或 tanq 3，
2
所以 tan 2q
2 tanq 2 3 3
．
1 tan2 q 1 32 4
3
故答案为： .
4
π sinq
3．（23-24 高三上·广东湛江·阶段练习）已知q (0, )，且 sin 2q ，则 tanq 2 （ ）sinq cosq
A． 2 1 B． 2 1 C． 3 1 D． 3 1
【答案】B
【分析】根据题意，利用倍角公式，化简得到 sin 2q cos 2q ，求得 tan 2q 1，再结合正切的倍角公式，
即可求解.
sinq
【详解】因为 sin 2q
sinq
，可得 2sinq cosq ，
sinq cosq sinq cosq
1
因为q (0,
π)，可得 sinq 0，所以 2cosq2 ，sinq cosq
即 2sinq cosq 2cos2 q 1，可得 2sinq cosq 1 2cos2 q ，
2 tanq
即 sin 2q cos 2q ，所以 tan 2q 1，则 2 1，1 tan q
即 tan2 q 2 tanq 1 0 ，解得 tanq 1 2 或 tanq 1 2
因为q (0,
π)，可得 tanq 02 ，所以 tanq 1 2 .
故选：B.
1 tan2 π
1．（2024 高三· 8全国·专题练习） π ．tan
8
【答案】 2
【分析】利用二倍角公式计算可得.
1 π

tan2 2 1 tan
2 π
8 ÷8 2 2 è 2
【详解】 tan π 2 tan π 2 tan π tan π .
8 8 8 4
1 tan2 π
8
故答案为： 2
1
2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知 a 0, π ，且 sina cosa ，则 tan2a （ ）
5
12 12 24 24
A． B． C． D．
7 7 7 7
【答案】C
【分析】根据 sina cosa
1
结合 a 0, π 可得sina,cosa与 tan a ，进而可得 tan2a .
5
【详解】 sina cosa
1 1
则 sina cosa 2 1 2sin a cos a ，
5 25
sin a cos a 12即 ，
25
又因为 a 0, π π，故 sin a 0 ， cos a < 0 ， a ,π ÷ ，
è 2
故 sina cosa 2 1 2sin a cos a 49 π 7 ，因为 a
25
,π ÷ ，则 sina cosa 2 ，è 5
sina cosa 1结合 可得 sina
4 cosa 3 ， ，则 tana
4
.
5 5 5 3
8
tan2a 2 tan a

3 24
故 2 2 1 tan a 4 .1
7

è 3 ÷
故选：C
π π
3．（2024·全国·模拟预测）已知q 0, ÷ ， sin2
π q 1 5
÷ ，则 tan

2q ÷ （2 4 ）è è 8 4 2 10 è
1 17 31
A． B． C． D．13
13 31 17
【答案】B
【分析】根据题意及二倍角公式、诱导公式、两角差的正切公式、同角三角函数的基本关系即可求解．
【详解】由 sin2
π q 1 5


÷ ，
è 8 4 2 10
cos π q 2 π q 5则 ÷ 1 2sin ÷ ，
è 4 2 è 8 4 5
π
所以 cos q ÷ 2cos
2 π q 1 3 ÷ ，
è 2 è 4 2 5
所以 sinq cos
π 3
q

2 ÷
．
è 5
q π 又因为 0, ÷ ，
è 2
4 3
则 cosq ， tanq ，
5 4
所以 tan2q
2tanq 24
，
1 tan2q 7
则 tan

2q
π tan2q 1 17 ÷ ．
è 4 1 tan2q 31
故选：B．
考点十、半角公式的应用

1．（2023·全国· 1 5高考真题）已知 为锐角， cos ，则 sin （ ）．
4 2
A 3 5 B 1 5 C 3 5． ． ． D 1 5．
8 8 4 4
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
1 5
【详解】因为 cos 1 2sin2 ，而 为锐角，
2 4
2
sin 3 5 5 1解得： 5 1
2
．
8 16 4
故选：D．
1
2．（2024·湖南邵阳·二模）已知 为锐角，若 sin ，则 cos2 （ ）
4 2
A 4 15 B 4 15． ． C 4 15 15． D．
8 8 4 4
【答案】A
【分析】由平方关系以及半角公式（二倍角公式）运算即可求解.
1 2 1 15
【详解】已知 为锐角，若 sin ，则
4 cos 1 ÷
，
è 4 4
15
所以 cos2 1 cos
1
4 4 15 .
2 2 2 8
故选：A.
3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做 Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而
无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明
更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O上一点，CH ^ AB，垂足为 H ，记 COB q ，则由
tan BH BCH 可以直接证明的三角函数公式是（
CH ）
A． tan
q sinq
B． tan
q sinq

2 1 cosq 2 1 cosq
q 1 cosq q 1 cosq
C． tan D． tan
2 sinq 2 sinq
【答案】C
【分析】根据直角三角形中的定义写出 sinq , cosq ，用q 表示出 BCH ，然后分析可得．
【详解】由已知 COB q ，则 CBO
π q BCH q ， ，
2 2 2
q BH CH OH
又 tan ， sinq ， cosq ，BH OH OB OC ，
2 CH OC OC
1 OH1 cosq
OC BH q因此
sinq CH
tan ，
CH 2
OC
故选：C．

1．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 3,4 ，则 tan （ ）
2
A．3 B 1 1． 2 C． 2 D． 2 或 2
【答案】C
【分析】根据已知条件求出 sin 和 cos 的值，再利用 tan
sin
求解即可.
2 1 cos
【详解】∵角 是第二象限角，且终边经过点 3,4 ，
∴ sin =
4
， cos
3
，
5 5
sin 2 ×sin ×cos 4
∴ tan
2 sin
2 2 5 2
2 cos 2cos2 1 cos 1 3
.

2 2 5 ֏
故选：C．
πcos 1 cos 2．（2023·全国·模拟预测）已知 是锐角， ，则 （ ）3 è 2 6 ÷

A 1 6 B 1 6． ． C 3 2． D 2 3．
2 6 2 6 6 3 2 6
【答案】D
【分析】
根据倍角公式的变形求出 sin
3 cos 6 ， ，再由两角和的余弦公式求解.
2 3 2 3
π
【详解】因为 是锐角，所以0 < < ，
2 4
1 cos 1
1 1 1
因为 sin2 3 1 ， cos2 1 cos 3 2 ，
2 2 2 3 2 2 2 3
sin 3 6所以 ， cos ，
2 3 2 3
cos π π π 6 3 3 1 2 3所以 2 6 ÷
cos cos sin sin ．
è 2 6 2 6 3 2 3 2 2 6
故选：D．
3 5π q q
3．若 sinq ， < q < 3π，则 tan cos （
2 2 2 ）5
A．3 10 B．3 10 C．3 3 10 D 3 3 10 ．
10 10 10 10
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可
3 5π
【详解】因为 sinq ， < q < 3π，
5 2
所以 cosq
4
1 sin2q ，
5
5π q 3π
因为 < < ，
4 2 2
sin q 0 q所以 < ， cos < 0，
2 2
sin q 1 cosq 3 10所以 ，
2 2 10
cosq 1 cosq 10 ，
2 2 10
sin q
所以 tan
q
2
2 cosq
3，
2
q q 10
则 tan cos 3 ，
2 2 10
故选：B.
考点十一、辅助角公式的应用
1．（2024·全国·高考真题）函数 f x sin x 3 cos x 在 0, π 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 f x sin x 3 cos x π 2sin x ÷，当 x 0, π 时， x
π
é
π 2π
, ù，
è 3 3 ê 3 3 ú
x π π x 5π当 时，即 时， f x 2 .
3 2 6 max
故答案为：2
2．（2020·北京·高考真题）若函数 f (x) sin(x ) cos x的最大值为 2，则常数 的一个取值为 ．

【答案】 （2k ,k Z 均可）
2 2
【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得 f x cos2 sin 1 2 sin x q ，可得
cos2 sin 1 2 2，即可解出.
【详解】因为 f x cos sin x sin 1 cos x cos2 sin 1 2 sin x q ，
所以 cos2 sin 1 2 2，解得 sin 1

，故可取 .
2

故答案为： （2k

,k Z 均可）.
2 2
【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运
算能力，属于基础题.
3．（全国·高考真题）设当 x q 时，函数 f (x) sin x 2cos x 取得最大值，则 cosq .
2 5
【答案】 ；
5
5 2 5
【详解】f(x)＝sin x－2cos x＝ 5 sin x cos x5 5 ÷÷＝ 5
sin(x－φ)，其中 sin φ 2 5＝ ，cos φ 5＝ ，当 x
è 5 5

－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数 f(x)取得最大值，即 θ＝2kπ＋ ＋φ 时，函数 f(x)取到最大值，所以 cos θ＝－
2 2
sin φ 2 5＝－ .
5
1
4．（2024 高三·湖北·二模）在VABC 中，内角A ， B ，C 所对的边分别为 a，b ， c， cosC ， c 8，则
3
当 a b 取得最大值时， sin A .
6
【答案】
3
【分析】由正弦定理可求出VABC 的外接圆半径，借助于正弦定理进行边化角运算可得
a b 2R(sin A sin B) ，在VABC 中， sin B sin(A C)，由两角和的正弦公式展开代入 C 的正余弦值计
算，由辅助角公式即可求出结果.
1 c 8 12QcosC sin C 2 2
2R 6 2
【详解】解： ，\ ，设VABC 外接圆半径为 R ．则 sin C 2 2 2 ，3 3 3
得R 3 2 ，
则 a b 2R(sin A sin B) 6 2[sin A sin(A C)] 6 2(sin A sin AcosC sin C cos A)
6 2(4 sin A 2 2 cos A) 6 2 2 2 ( 6 sin A 3 cos A) 8 3 sin(A )
3 3 3 3 ，3
6 3
其中， cos ， sin ．
3 3
当 sin(A ) 1 A
π
．即 时， a b 取得最大值，
2
π π 6
此时 A ．所以 sin A sin( ) cos .
2 2 3
6
故答案为：
3
1．（2024·湖北·二模）函数 f x 3cos x 4sin x，当 f x 取得最大值时， sin x （ ）
4 4 3 3
A． B． C． D．-
5 5 5 5
【答案】B
【分析】由辅助角公式、诱导公式直接运算即可求解.
【详解】 f x 3cos x 4sin x 5 3 cos x
4
sin x ÷ 5cos x ，
è 5 5
其中 cos
3
,sin 4 ，
5 5
而 f x 3cos x 4sin x 5cos x 5，
4
等号成立当且仅当 x 2kπ k Z ，此时 sin x sin sin .
5
故选：B.
π
2．（2024·四川南充·二模）已知函数 f (x) 3sin x 4cos x．设 x q 时， f (x)

取得最大值．则 cos q
è 4 ÷
（ ）
A 7 2 B 7 2 2 2． ． C． D．
10 10 10 10
【答案】C
【分析】利用辅助角公式求出q ，再利用诱导公式以及正弦的和差角公式可得答案.
【详解】 f (x) 3sin x 4cos x 5
3 sin x 4 cos x 5sin x cos 3 ,sin 4 ÷ ，其中 ；
è 5 5 5 5
所以当 x 2kπ
π
时， k Z， f (x) 取得最大值，
2
由题意q 2kπ
π
，即q 2kπ
π
.
2 2
cos q π

÷ cos

2kπ
π π π
÷ sin



4 2 4 4 ÷è è è
2
sin cos 2 .
2 10
故选：C
π
3．（2024·山东·模拟预测）若函数 f x cos x sin x ÷的最大值为 2，则常数 的一个取值
è 3
为 ．
π π
【答案】 （答案不唯一，满足 2kπ,k Z 即可）
6 6
1
【分析】利用和（差）角公式化简，再判断 sin 0，利用辅助角公式化简，再结合函数的最大值，求
2
出 .
【详解】因为 f x cos x π sin x 3 ÷è
cos x cos sin x sin sin x cos π cos x sin π
3 3
3
cos ÷÷cos x sin
1
÷sin x，
è 2 è 2
若 sin
1
0 cos 3，则 ± ，所以 f x 0或 f x 3 cos x，显然不满足 f x 的最大值为 2，2 2
所以 sin
1
0，
2
3
2 2

cos
则 f x sin
1

3 2
2 ÷
cos ÷÷ sin x q ，（其中 tanq ），è è 2 sin 1
2
2
1
2
3
依题意可得 sin ÷ cos è 2
÷
2 ÷
4，
è
sin π 即 sin 3 cos 2，所以 ÷ 1，
è 3
π π所以 2kπ,k Z
π
，解得 2kπ,k Z .
3 2 6
π π
故答案为： （答案不唯一，满足 2kπ,k Z 即可）
6 6
4．（2024·河北保定·三模）已知锐角 ， （ ）满足 sin 2cos sin 2cos ，则 sin( )的值
为（ ）
A 3 10 B 2 5
3 4
． ． C． D．
10 5 5 5
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简已知函数，得到正弦型函数，再利用自变量的范围得到函数是不单调的，所
以自变量不相等但函数值相等的情形就是两角互补，从而就可以通过运算得到结果.
π
【详解】设 f (x) sin x 2cos x 5 sin(x ) 2 5，其中 sin ， cos 5 ， (0, )，
5 5 2
π π
当 x (0, )时， x+ ( , + ) 0，π ，
2 2
此时 f (x) sin x 2cos x 5 sin(x )在 0，π ，有增有减，
又因为 f ( ) f ( )，且 ，所以 π，所以 π 2 ，
所以 sin( ) sin(π 2 ) sin 2 2sin cos
4
.
5
故选：D.
考点十二、万能公式的综合应用
tan 2

1．（21-22 高三上·四川成都·阶段练习）已知 为锐角且 tan sin 2
3 ，则 的值
÷ 2 ÷
è 4 è
是 ．
3
【答案】 /-0.6
5
【分析】由题意首先求得 tan 的值，然后利用诱导公式和二倍角公式求得三角函数式的值即可.
tan tan tan 1 tan 2
tan 1 【详解】由 tan tan 1 3 ，
è 4 ÷ 1 tan
得3tan2 5 tan 2 0，
1
解得 tan 2 ，或 tan .
3
因为 为锐角，故 tan 2 .
2 2 2sin 2

cos 2 cos 2 cos sin 1 tan 1 4 3
è 2 ÷ 1 cos2 sin2 1 tan2 1 4 5
3
故答案为: - .
5
π π
2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知 sin(2 π ) 2 ，则 tan( ) tan( )
12 3 3 12
．
【答案】5
π π x 2 π【分析】由条件等式右边含有 2 ，可联想到 2 12 中分离出 来处理，设 ，待求表达式中用
x
4 3
表示，结合万能公式进行求解.
π π 2 π π π
【详解】设 x 2 ，于是 sin(2 ) sin(x ) sin xcos cos xsin ，
3 12 3 4 4 4
2 2 2 tan
x 1 tan2 x
整理可得 sin x cos x ，根据万能公式， sin x cos x 2 2 ，
3 3 1 tan2 x 1 tan2 x
2 2
2 x 1 6 x
整理可得 tan tan ，
2 5 5 2
π π x π π x π
由 x 2 可得， , ，
3 3 2 2 12 2 4
故 tan(
π
) tan( π ) tan x π tan x π
3 12 2 2 ÷ 2 4 ÷，è è
sin x π x
tan x π
÷ cos
è 2 2 1根据诱导公式， ÷ 2 ，
è 2 2 cos x π
x
sin tan
x
è 2 2 ÷ 2 2
x
tan x π
tan 1
2根据两角和的正切公式， 2 4 ÷ ，è 1 x tan
2
π π 1 tan
x 1 tan x 1 tan x 1 tan x 1
故 tan( ) tan( ) x ×
2 2 2 2 5
3 12 .tan 1 tan x tan2 x tan x 1 6 x x 1 1 x tan tan tan
2 2 2 2 5 5 2 2 5 5 2
故答案为：5

1．（2022·四川眉山·模拟预测）若 0, ÷ ， sin 2 cos2 ，则 cos 2 的值为（2 ）è
- 3 1 3A． B． C．0 D．
5 2 5
【答案】D
1
【分析】结合二倍角公式化简可求 tan ，再结合万能公式可求 cos 2 .
2
0, 【详解】因为

÷ ，2 sin 2 cos
2 ，所以 cos 0且 2sin cos cos2 ，
è
1 2 1
1

解得 tan ，所以 cos 2 cos2 sin2
1 tan 3
4 .
2 1 tan2 1 1 5
4
故选：D
π π π
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知 sin ÷ 2sin ÷，则 sin 2 （4 4 4 ÷ ）è è è
A 2 B 2 C 7 2 D 7 2． ． ． ．
10 10 10 10
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换公式化简求解即可.
【详解】由 sin


π 2sin π ÷
2 2
4
÷可得4 sin cos 2sin 2cos
，
è è 2 2
得 tan 3，则 sin2 2sin cos
2sin cos 2tan 3
，
cos2 sin2 1 tan2 5
2 2 2
cos2 cos sin 1 tan 4 ，
cos2 sin2 1 tan2 5
故 sin 2
π 2
÷ sin2
2
cos2 2 3 2 4 7 2 ．
è 4 2 2 2 5 2 5 10
故选：C.
考点十三、积化和差与和差化积公式的综合应用
4 3
1．（2024 高三·全国·专题练习）已知 cos cos ,sin sin ，则 tan 的值为（ ）
5 5
24 7 7
A．
24
B． C． D．
7 24 24 7
【答案】A
【分析】
tan 3根据和差化积公式化简，得到 ，再利用正切二倍角公式求出答案.
2 4
【详解】
由和差化积公式，得 cos cos 2cos
cos 4 ，
2 2 5
sin sin 3 3 2cos sin ，所以 tan ．
2 2 5 2 4
2 tan
所以 tan tan 2 24 ×

÷
2
è 2 1 tan2
．
7
2
故选：A．
2．（2024·安徽阜阳·一模）已知 sin sin a,cos cos b ab 0 ，则 cos ，
sin .
a2 b2 2 2ab
【答案】
2 a2 b2
【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式

即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到 tan ，再利用倍角公式化简转化即可得解.
2
【详解】由 sin sin a 可得 sin sin 2 a2 ，即 sin2 sin2 2sin sin a2 ，
由 cos cos b 可得 cos cos 2 b2 ，即 cos2 cos2 2cos cos b2 ，
2 2
两式相加可得 2 2 sin sin cos cos a b ，
2 2
即 2 2cos a2 b2 a b 2，解得 cos ；
2
sin sin sin 因为 ÷ sin ÷ 2sin cos a ，
è 2 2 è 2 2 2 2
cos cos cos cos 2 2 ÷
÷
è è 2 2
2cos cos b ，
2 2
2sin
cos
所以 tan 2 2
a

2 2cos
，
cos b
2 2
2sin cos 2tan 2 a 2ab
所以 sin 2 2 2 b2 2 2 ．
sin2 cos2 tan2 1 a a b
2 2 2 ÷ 1è b
a2 b2 2 2ab
故答案为： ； .
2 a2 b2
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
3．（2024·广东· 2一模）已知cos cos2
1
,sin 1 ，则 cos 2 2 （ ）
12 4
7 7 2
A．
2
B． C． D．
9 9 9 9
【答案】B
1
【分析】根据条件，利用余弦的二倍角及积化和差公式，得到 sin( )sin( ) ，从而得到
12
sin 1 ，即可求出结果.
3
2
【详解】因为 cos cos2
1 cos2 1 cos2 1
(cos2 cos2 ) 1 sin( )sin( ) ，
2 2 2 12
得到 sin( )sin(
1
) ，又 sin 1 1 ，所以 sin ，
12 4 3
所以 cos 2 2 1 2sin2 ( ) 1 2 7 ，
9 9
故选：B.
1．（2024·山东·模拟预测）已知 sin x cos y cos x sin y
1
， cos 2x cos 2y
1
，则 sin x y （ ）2 4
A 1
1 3 1
． 2 B． C． D． 4 4 4
【答案】D
【分析】先利用两角和的正弦公式求出 sin x y ，再根据
cos 2x cos 2y cos é x y x y ù cos é x y x y ù 结合两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】 sin x cos y cos x sin y sin x y 1 ，
2
cos 2x cos 2y cos é x y x y ù cos é x y x y ù 2sin x y sin x y
sin x 1 y ，
4
所以 sin x y 1 .
4
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ， B ，C 满足 A B C π，且 cos A cos B cosC 1，则
(1 cos A )(1 cos B )(1 cosC )=（ ）
A．0 B．1
C． 2 D． 3
【答案】A
【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.
【详解】因为 A B C π C π A B cosC cos é π A B ù cos A B .
由和差化积公式得：
A B A B
cos A cos B cosC 1 2cos cos cos A B 1
2 2
2cos A B cos A B 1 cos A B 2cos2 A B .
2 2 2
所以 cos
A B cos A B cos A B 0 sin C sin B sin A ÷ 0 sin
A 0 B 或 sin 0或 sin
C
0 .
2 è 2 2 2 2 2 2 2 2
若 sin
A
0 cos A 1 2sin2 A 1，则 1 cos A 1 cos B 1 cosC 0 ；
2 2
B C
同理，当 sin 0或 sin 0时，都有 1 cos A 1 cos B 1 cosC 0 .
2 2
故选：A
考点十四、三角恒等变换的综合应用
1．（23-24 高二上·湖南长沙·期末）函数 f (x) 3sin x(1 cos x)的最大值为（ ）
3 5 5 9
A． 3 B． 3 C． D2 ．4 8 4
【答案】D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法结合四元基本不等式
求解即可.
【详解】法一：不妨设 x 0,2π ，则 f (x) 3 cos x 2 3 cos2 x 3 ，
整理得到: f (x) 3 2cos x 1 cos x 1 ,
x 0, π 5π π 5π当 ÷

, 2π ÷时， f (x) 0 ；当 x ,3 3 3 3 ÷时，
f (x) < 0 ，
è è è
f x 0, π , 5π π故 在 ÷ , 2π ÷ 上为增函数，在 ,
5π
3 3 ÷ 为减函数，è 3 è 3 è
而 f 2π 0 f π 9 9， ÷ ，故 f x 的最大值为 .
è 3 4 4
2 tan x 1 tan2 x
法二：由万能公式得 sin x 2x ， cos x
2 ，
tan2 1 tan2 x 1
2 2
2 tan x 1 tan2 x 4 3 tan x
代入原式并化简得 f (x) 3 2 (1 2 ) 2 ，
tan2 x 1 tan2 x 1 (tan2 x 1)2
2 2 2
tan x令 t ，因为题设中欲求最大值，故可设 t 0 ,
2
f (t) 4 3t 4 3 1 4 3 4 3 9
故原式转化为 (t 2 1)2 3 1


(t 2 t 2 )2 é 3 1 1 1 4 ，ê( t )
ù
(4 ( t )3 ( 1ú 4 × )
3 )
3 t 3 t 3 t 3 t
3 9
当且仅当 t 时取等，显然最大值为 .
3 4
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一三角函数名，然后再
用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
2．（2024· o新疆·一模）已知: sin 20 q sin 20o q sin 40o q 0，则 tanq （ ）
A． 3 B 3 3． C． D． 3
3 3
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换计算即可.
【详解】由 sin 20o q sin 20o q sin 40o q 0
2sin 20o cosq sin 40o cosq cos 40o sinq ，
sinq 2sin 20o sin 40o 2sin 20
o sin 60o 20o
则 tanq
cosq cos 40o cos 40o
3 sin 20o 3 cos 20o o o
2 2
3 sin 20 30 .
3
cos 40o cos 40o
故选：D
【点睛】思路点睛：利用等式条件及正弦的和差角公式及同角三角函数的商数关系得出
tanq 2sin 20
o sin 40o
，再根据特殊角及正弦的差角公式与诱导公式计算即可.
cos 40o
3．（2024·全国·模拟预测）已知角 , 满足： sin sin 5sin ，其中 π 2kπ ， π 2kπ，
tan
π 2kπ k Z ，则 2 （ ）
tan
2
3 5
A．1 B． C．2 D．
2 2
【答案】B
【分析】利用和差化积公式和二倍角公式求解即可.
sin sin 【详解】因为

÷ sin
cos × cos sin ，
è 2 2 2 2 2 2
sin sin ÷ sin cos cos sin ，
è 2 2 2 2 2 2
所以 sin sin 2sin
cos ，又 sin 2sin ×cos ，
2 2 2 2
于是由 sin sin 5sin 可得 2sin cos 5 2sin cos ，即
2 2 2 2
2cos 5sin
sin ÷ 0，2 è 2 2
cos 0 5sin sin 所以 或 0．
2 2 2
因为 π 2kπ k Z ，所以 cos 0，
2

所以5sin sin 0，即5sin sin ，
2 2 2 2
5 sin cos cos sin sin cos cos sin 4sin cos 6cos sin 所以 ÷ ，即 ，
è 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

tan 3
tan 3
所以 tan ，即 2 .
2 2 2 tan 2
2
故选：B．
π (1 sin )(1 cos )
4．（2024·辽宁丹东·一模）已知 (0, )， 4 2 1，则 sin 2 （ ）2 (1 sin )(1 cos )
A 4 2 1 B 4 2 1． ． C 4 2 1 4 2 1． D．
8 16 8 16
【答案】A
1 sin cos 1
【分析】首先结合二倍角公式、半角公式以及角的范围将已知等式变形为 2 2cos 1 1 4 2 1，解得
sin
2 2
sin 2 cos 1 ，两边平方即可求解.
4
【详解】因为 (0,
π) π，所以 (0, )

，所以 cos sin

，
2 2 4 2 2
sin
2
cos ×2cos2
(1 sin )(1 cos )
è 2 2
÷ 2
所以
(1 sin )(1 cos ) 2
sin

cos × 2sin2
è 2 2 ÷ 2
sin cos cos 1 sin cos 1 2 2 ÷ è 2 2 2 4 2 1
sin
，
cos
cos 1 1
2 2 ÷
sin sin
è 2 2 2
1
所以 sin cos 1 1 sin cos ×
2 2 2 4 2 1
1
× 4 2 1 ，2
即 2 2 sin cos 2 2 1，
所以 sin cos 1 2 ，
4
2

即 sin cos 2 2 1 2sin cos 1 sin 2 1 ÷÷ ，
è 4
sin 2 4 2 1所以 .
8
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键是得出 sin cos 1 2 ，由此即可顺利得解.
4
1．（2024·安徽阜阳·一模）已知 sin sin a,cos cos b ab 0 ，则 cos ，
sin .
a2 b2 2 2ab
【答案】
2 a2 b2
【分析】第一空，将已知条件两边同时平方两式相加，结合同角三角函数基本关系与余弦函数的和差公式

即可求解；第二空，利用三角函数的和差公式得到 tan ，再利用倍角公式化简转化即可得解.
2
【详解】由 sin sin a 可得 sin sin 2 a2 ，即 sin2 sin2 2sin sin a2 ，
由 cos cos b 可得 cos cos 2 b2 ，即 cos2 cos2 2cos cos b2 ，
两式相加可得 2 2 sin sin cos cos a2 b2 ，
2 2
即 2 2cos a2 b2，解得 cos a b 2 ；
2
sin sin sin sin 因为 ÷ 2sin cos a ，
è 2 2 è 2 2 ÷ 2 2
cos cos cos cos

2 2 ÷
2 2 ÷è è
2cos cos b ，
2 2

tan
2sin cos
2 2 a所以
2 2cos cos
，
b
2 2
2sin cos 2tan 2 a
sin 2 2 2 b 2ab所以
sin2 cos2
2 2 2 ．
tan2 1 a a b
2 2 2 b ÷
1
è
a2 b2 2 2ab
故答案为： ； 2 .2 a b2
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握三角函数半角公式的转化，从而得解.
1
2．（2024·重庆·三模）已知函数 f (x) 满足 f tan x .若 x1、x2 是方程 2024x2sin 2x x 2024 0的两根，则
f (x1) f (x2 ) = .
【答案】0
2 1
【分析】法一：令 t tanx
2t 1 t
，根据三角变换得 sin2x 2 ，则 f t ，从而 f t f ÷ 0，利用1 t 2t è t
韦达定理得 x1x2 1，即可求得 f x1 f x2 0 .
π
法二：利用韦达定理得 x1x2 1，设 x1 tan ，则可取 x2 tan ÷，代入解析式利用诱导公式化简求解
è 2
即可.
2sin x cos x 2tanx 2t
【详解】法一：令 t tanx ，则 sin2x 2sin x cos x
sin2
，
x cos2 x 1 tan2x 1 t 2
1 1
2

1 t 2 1

t ÷ t 2 1 1
于是 f t ，则 f ÷ è f t ，即 f t f ÷ 0，2t è t 2 1 2t è t ÷
è t
又 x1、x2 是方程 2024x2 x 2024 0的两根，所以 x1x2 1，
1
故 f x1 f x2 f x1 f ÷ 0 .
è x1
法二： x1、x2 是方程 2024x2 x 2024 0的两根，所以 x1x2 1，
设 x1 tan ，则可取 x tan
π
2

2 ÷
，
è
于是 f x1 f x2 f tan f
tan π 1 1 1 1 ÷÷ 0
è è 2 sin2 sin π
.
2 sin2 sin2
故答案为：0
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用 x1x2 1巧妙的换元，结合诱导公式，或者二倍角公式，整体
代入求解.
π
3．（2024·湖北荆州·三模）设0 < < < ， tan m tan ， cos 3 ，若满足条件的 与 存在且
2 5
唯一，则m ， tan tan .
1
【答案】 1
9
【分析】由 tan m tan 得到 sin cos mcos sin ，再结合 cos 3 ，利用 sin 4 ，得
5 5
cos sin 4到 ， sin cos
4m 4 m 1
5 m 1 5 ，从而 sin m 1 5 m ，再由满足条件的
与 存
1
4 m 1
sin 在且唯一，得到 唯一，从而 15 m 1 ，求得 m 即可.
sin msin
【详解】解：由 tan m tan ，得 ，即 sin cos mcos sin cos cos ，
因为0 < <
π
< ， tan m tan
π
，所以 < < 0，0 < m <1，
2 2
又 cos 3 ，所以 sin < 0，
5
从而 sin sin cos cos sin m 1 cos sin 4 ，
5
所以 cos sin
4

5 m 1 ，
4m
所以 sin cos mcos sin 5 m 1 ，
4 m 1所以 sin sin cos cos sin 5 m 1 ，
π
因为 , 0, ÷，所以 0, π ，
è 2
因为满足条件的 与 存在且唯一，所以 唯一，
4 m 1所以 sin 1 m 1 5 m 1 ，所以 ，经检验符合题意， 9
所以 tan
1
tan ，
9
tan 4 tan tan tan 9 tan 则 3 1 tan tan 1 9 tan2 ，
解得 tan
1
，
3
所以 tan tan 9 tan2 1.
1
故答案为： ，1
9
4sin m 1 【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出 15 m 1 ，求出
m ，由此即可顺利得解.

4．（2024·四川成都·三模）若 VABC 为锐角三角形，当 2tanA 9tanB 17tanC 取最小值时，记其最小值为m ，
对应的 tanA n ，则mn .
【答案】160
ìtan A v 0
tan B u 1 tan C v u 1【分析】令 í 2tanA 9tanB 17tanC
tan A tan B 1 u 0
，则 ， ，代入 中，通过
v u uv
构造，利用基本不等式和二次函数的性质求最小值和最小值成立的条件.
【详解】VABC 为锐角三角形，
tan C tan A B tan A tan B 0 ， tan A tan B 1 0，
tan A tan B 1
ìtan A v 0 u 1
令 í tan B tan C
v u 1

tan A tan B 1 u 0
，则 ， ，
v u uv
2tanA 9tanB 17tanC 2v 9u 9 17v 17u 17
v u uv
z 2v 9u 9 17v 17u 17令 u,v 0 ，
v u uv
z 2v 9u 9 17v 17u 17 26 9u 17v 17则 2v
v u uv v v u uv
2v 26 é18u 17 v 1 ù 15 9u 17v ê ÷ú ÷ 2v
26 é18u 17 v 1 ù 45
v 17v u è16 v è17v 16u v ê

17v u

è16 v ÷ ú 2
2v 26 18u 17 45 2v 26 6 45 2 13 3 45 v è 17v 2u ÷ 2 v v 2
v ÷
è v v 2
é 2
2 v 16 3 1 1
ù 45 é2 8 3 1 1 3
ù 45 3

45
ê ÷ ÷ú ê ú 2 8 40 .
è v è v v 2 ê è v 2
÷ 4 2 ú è 4
÷
2
ì12u 17v 17
前两个“ ”取“=”的条件是 í ，在u ,v 4时，所有“ ”全部取“=”v 4 ， 3
17
所以当且仅当u ,v 4时， 2tanA 9tanB 17tanC 取最小值 40，
3
即m 40, n 4，所以mn 40 4 160 .
故答案为：160.
9u 9 17v 17u 17
【点睛】关键点点睛：令 z 2v u,v 0 ，构造成
v u uv
z 2v 26 é18u 17 v 1 ù 15 9u 17v ê

÷ú ÷ 是关键，可利用基本不等式和二次函数性质求最小值，而且v 17v u è16 v è17v 16u
等号成立的条件相同.
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 f x 的最小正周期是 2π的是（ ）
A． sinx cosx B． sinxcosx
C． sin2x cos2x D． sin2x cos2x
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对 A， sinx cosx 2sin
x π

÷，周期T 2π，故 A 正确；
è 4
对 B， sinxcosx
1
sin2x 2π，周期T π，故 B2 错误；2
对于选项 C， sin2x cos2x 1，是常值函数，不存在最小正周期，故 C 错误；
2π
对于选项 D， sin2x cos2x cos2x ，周期T π2 ，故 D 错误，
故选：A．
15
2．（2024·河北保定·二模）若 4tan ，则 cos2 （ ）
sin
1 1 7 7
A． B． C． D．
8 8 8 8
【答案】D
【分析】利用同角基本关系式和二倍角公式求解.
15
【详解】由 4tan ，得 4sin2 15cos ，
sin
1
即 4cos2 15cos 4 0，解得cos 或 cos 4（舍），4
所以 cos2 2cos2 1
7
.
8
故选：D.
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知 sin2
2 , 0, π sin π ÷，则

÷ （3 ）è 4 è 4
6 5A． B． C 30 D 15． ．
6 6 6 3
【答案】C
【分析】由余弦的二倍角公式求解．

【详解】∵ 0,
π π (π , π ) π ÷ ，∴ ， sin ÷ 0，
è 4 4 4 2 è 4
π 2 π
又 sin 2
2
，则 cos(2 ) sin 2 1 2sin2 ( )3 ，2 3 4
π 30
所以 sin( ) ，
4 6
故选：C．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知 sin sin
π cos sin π π ÷

÷，则 tan 2α

÷ （6 3 4 ）è è è
A． 2 3 B． 2 3 C． 2 3 D． 2 3
【答案】B
【分析】由两角和差公式、二倍角公式逆用可得 tan 2 3 ，进一步结合两角和的正切公式即可得解.
3
【详解】由题意 sin2 1 sin cos 3 cos2 1 sin cos 3，即 cos 2 1 sin 2

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