资源简介

第 03 讲 三角函数的图象与性质
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 7 题,5 分 正弦函数图象的应用 图象交点问题
函数奇偶性的定义与判断
求余弦(型)函数的奇偶性
2024 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分 函数奇偶性的应用
余弦(型)函数的图象及应用
根据函数零点的个数求参数范围
求含 sinx(型)函数的值域和最值
2024 年新Ⅱ卷，第 9 题,6 分 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 求函数零点及方程根的个数
求正弦(型)函数的最小正周期
2023 年新 I 卷，第 15 题,5 分 余弦函数图象的应用 根据函数零点的个数求参数范围
正弦定理解三角形
2023 年新 I 卷，第 17 题,12 分 用和、差角的正弦公式化简、求值
三角形面积公式及其应用
由正 (余)弦函数的性质确定图象
2022 年新 I 卷，第 6 题,5 分 无
(解析式)
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求在曲线上一点处的切线方程
2022 年新Ⅱ卷，第 9 题,5 分 利用正弦函数的对称性求参数
(斜率)
求 sinx 型三角函数的单调性
2021 年新 I 卷，第 4 题,5 分 求 sinx 型三角函数的单调性 无
2020 年新 I 卷，第 10 题,5 分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 无
2020 年新Ⅱ卷，第 11 题,5 分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为 5-11 分
【备考策略】1 能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质
2 能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质
3 理解 y Asin( x ) h中 A、 、 、h 的意义，理解 A、 、 、h 的变化对图象的影
响，并能求出参数及函数解析式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加
强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的图象与性质
y sin x y cos x y tan x
图
象
定
ì p ü
义 R R íx x kp , k Z
2
域
值
-1,1 -1,1 R
域
当 x 2kp p 时，
2
当 x 2kp 时，
最 ymax 1；当 ymax 1；当 x 2kp p 既无最大值也无最小值
值
x 2kp p-
2 时， ymin -1．
时， ymin -1．
2. 三 周 角
函 期 2p 2p p 数
型 性 函
数 奇 的
图 偶 奇函数 偶函数 奇函数 象
和 性 性
质 é2kp p在 - , 2kp p ù
（1）正 ê 2 2 ú 在 2kp -p , 2kp 上是增函 弦
单 p p
型 上是增函数； 数； 在 kp - , kp ÷ 函
调 è 2 2
数 、 é2kp p 3p , 2kp ù 在 2kp , 2kp p 上是减函
余
性 在 ê 上是增函数．弦 2 2 ú 型
数．
函 上是减函数． 数
性 对 对称中心 kp ,0 kp p kp
质
对称中心 ,02 ÷
对称中心 ,02 ÷称 p è è
对称轴 x kp
性 2 对称轴 x kp 无对称轴
y Asin( x ) h， y Acos( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 - A, A
2p决定函数的周期，T

x 叫做相位，其中 叫做初相
（2）正切型函数性质
y A tan( x p ) h的周期公式为：T

（3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质
考点一、正弦型函数的图象与性质
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 f x 的最小正周期是 2π的是（ ）
A． sinx cosx B． sinxcosx
C． sin2x cos2x D． sin2x - cos2x
2．（2024·全国·高考真题）函数 f x sin x - 3 cos x 在 0, π 上的最大值是 ．
3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 f x p 7sin x - 6 ÷单调递增的区间是（ ）è
p π 3p
A
3p
． 0, ÷ B2 ．
,π C．
2 ÷
p , ÷ D． , 2p ÷
è è è 2 è 2
4．（2024·全国·高考真题）（多选）对于函数 f (x) sin 2x 和 g(x)
π
sin(2x - )，下列说法中正确的有（ ）
4
A． f (x) 与 g(x)有相同的零点 B． f (x) 与 g(x)有相同的最大值
C． f (x) 与 g(x)有相同的最小正周期 D． f (x) 与 g(x)的图象有相同的对称轴
5．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 f (x) sin(2x )(0
2π
< < π) ,0 的图像关于点 ÷ 中心对称，则
è 3
（ ）
5π
A． f (x)

在区间 0,

÷ 单调递减
è 12
π 11π
B． f (x)

在区间 - ,

÷ 有两个极值点
è 12 12
x 7πC．直线 是曲线 y f (x) 的对称轴
6
D．直线 y 3 - x 是曲线 y f (x) 的切线
2
1．（2021·全国·高考真题）函数 f (x) sin
x cos x 的最小正周期和最大值分别是（
3 3 ）
A．3π和 2 B．3π和 2 C．6π和 2 D．6π和 2
π é π π ù
2．（2024·天津·高考真题）已知函数 f x sin3 x ÷ > 0 的最小正周期为 π．则 f x 在
è 3 ê
- ,
12 6 ú 的
最小值是（ ）
A 3
3 3
． - B．- C．0 D．
2 2 2
p
3．（2024·全国·高考真题）当 x [0, 2p ]时，曲线 y sin x 与 y 2sin 3x - ÷的交点个数为（6 ）è
A．3 B．4 C．6 D．8
1
4．（2022·天津·高考真题）已知 f (x) sin 2x，关于该函数有下列四个说法：
2
① f (x) 的最小正周期为 2π；
② f (x) 在[
π π
- , ]
4 4 上单调递增；
é ù
③当 x
π π 3 3
é ùê- , ú 时， f (x) 的取值范围为 ê- , ú； 6 3 4 4
④ f (x)
1 π π
的图象可由g(x) sin(2x )的图象向左平移 8 个单位长度得到．2 4
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
f x sin 2x - π π5 2024· · ．（ 河北唐山 二模）函数 0,2 ÷在 3 ÷上为单调递增函数，则
的取值范围为
è è
（ ）
é π π π π π π
A． ê- ,-
ù é- ,0ù éú B． ê ú C． ê ,
ù é
D． 0,
ù
2 6 6 6 2 ú ê 6 ú
考点二、余弦型函数的图象与性质
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 y f x 的图象关于直线 x 2对称，且 f x 的一个周期为 4，则 f x
的解析式可以是（ ）
sin p x cos p x A． 2 ÷
B． ÷
è è 2
p p
C． sin x ÷ D． cos x
è 4 ÷ è 4
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 f (x) cos2 x - sin2 x，则（ ）
f (x) p p p pA． 在 - ,-

÷ 上单调递减 B． f (x) 在 - , ÷ 上单调递增
è 2 6 è 4 12
p p 7p
C． f (x) 在 0, ÷上单调递减 D． f (x)

3 在
, ÷上单调递增
è è 4 12
3．（2024·全国·二模）已知函数 f x 2π 2π π cos - 2x
é
÷， x ê- ,
ù
ú ，则函数 f x 的单调递减区间è 3 3 3
为 .
π
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f (x) 2cos 2x ÷在区间 0,a 上的值域为 é ù
è 6
-2, 3 ，则 a的取值
范围为（ ）
é5π 5π ù é5π 11π ù é 2π 5π ù é5π ù
A． ê , ú B． ê , ú C． ê , ú D． ê , π 12 6 12 12 5 12 12 ú
π
5．（2024· 2江苏扬州·模拟预测）（多选）已知函数 f x 2cos x - ，则（ ）
è 6 ÷

A． f x 最小正周期为 2π
x πB． 是 f x 图象的一条对称轴
6
5π
C． ,1÷是 f x 图象的一个对称中心
è 12
π π
D． f x 在 - ,

÷上单调
è 4 4

1．（2024·全国·模拟预测）函数 f x -3cos 2x
π
÷的单调递增区间为（6 ）è
ékπ πA． ê - ,kπ
π π 2π
ù ,k Z ékπ , kπ ùú B． ê ú ,k Z 3 6 6 3
é 7π π ù é π 5π
C． êkπ - ,kπ - ú , k Z D． êkπ - , kπ
ù
ú , k Z 12 12 12 12
2．（2021·北京·高考真题）函数 f (x) cos x - cos 2x 是
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
9 9
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
3．（2024·福建漳州·一模）已知函数 f x 2cos π a 3x
é ù
÷在 ê0, ú 上单调递减，则实数 a的最大值为（6 6 ）è
2π 4π 5π 3π
A． B． C． D．
3 3 3 2
π
4．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知函数 f x sin 2x ÷ 2 3cos2 x
π
÷，则以下结论正确的为
è 4 è 8
（ ）
A． f x 的最小正周期为 π
f x 5π , 3 B． 图象关于点 ÷对称
è 24
C． f x 4π 3π 在 ,3 2 ÷ 上单调递减è
D．将 f x 11π图象向左平移 个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
24
考点三、正切型函数的图象与性质
1．（2024·上海·三模）函数 y tan(
π
- x )
6 的最小正周期为 ．
π
2．（2024·安徽·三模）“ - kπ,k Z ”是“函数 y tan x π 的图象关于 ,0

÷对称”的（ ）4 è 4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（多选）若函数 f x tan 2x π - ÷ 3，则（8 ）è
A． f x 的最小正周期为 π
ì 5π kπ ü
B． f x 的定义域为 íx x , k Z16 2
C． f x π , 3π 在 上单调递增
è16 16 ÷
D． f x π 的图象关于点 ,0
è16 ÷
对称

4．关于函数 y f x ，其中 f x tan x tan x 有下述四个结论：
π
① f x 是偶函数； ② f x 在区间 0, 2 ÷上是严格增函数；è
③ f x 在 -π, π 有 3 个零点； ④ f x 的最小正周期为 π．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
5．函数 f x tan sinx cosx ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的定义域为R B． f x 是奇函数
C． f x 是周期函数 D． f x 既有最大值又有最小值
π
1．（2024·湖北荆州·三模）函数 f (x) tan(2x ) 的最小正周期为（
3 ）
π π π
A． π B． C． D．
2 3 6
π
2．（2023·

河南·模拟预测）已知函数 f (x) tan 2x 3 ÷，则下列说法正确的是（ ）è
A． f x é π 7π ù为奇函数 B． f x 在区间 ê ,12 12 ú上单调递增
C． f x π 图象的一个对称中心为 ,0÷ D． f x 的最小正周期为 π
è12
π π
3．（多选）已知函数 f x tan x ÷ 1，则（2 4 ）è
A． f x 的一个周期为 2 B． f x ì 1 ü的定义域是 íx x k,k Z2
C． f x 1的图象关于点 ,1 ÷对称 D． f x 在区间 1,2 2 上单调递增è
9．（2024·湖南长沙·二模）已知函数 f x tan x 0,0
π
> < < π÷的最小正周期为 2π，直线 x 是
è 2 3
f x 图象的一条对称轴，则 f x 的单调递减区间为（ ）
π 5π
A． 2kπ - , 2kπ
ù
ú k Z è 6 6
5π 2π ù
B． 2kπ - , 2kπ -
è 3 3 ú
k Z

C． 2kπ
4π
- , 2kπ π- ùú k Z è 3 3
π
D． 2kπ - , 2kπ
2π
ùú k Z è 3 3
考点四、求三角函数的解析式及函数值
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 y f x 的图象关于直线 x 2对称，且 f x 的一个周期为 4，则 f x
的解析式可以是（ ）
sin p x cos p A． 2 ÷
B． x2 ÷è è
sin p x cos p x C． 4 ÷
D． 4 ÷è è
2．（2024·北京·高考真题）设函数 f x sin x > 0 .已知 f x1 -1， f x2 1，且 x1 - x2 的最小值为
π
，则 （ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 2cos( x )的部分图像如图所示，则满足条件
f (x) - f 7p f (x) f 4p- - ÷÷ ÷÷ > 0的最小正整数 x 为 ．
è è 4 è è 3
1
4．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x sin x ，如图 A，B 是直线 y 与曲线 y f x 的两个交
2
π
点，若 AB ，则 f π ．
6
5．（2022·全国·高考真题）记函数 f (x)
p
sin x

÷ b( > 0)
2p
的最小正周期为 T．若 < T < p ，且 y f (x)
è 4 3
3p p
的图象关于点 , 22 ÷
中心对称，则 f ÷ 2 （ ）è è
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
π 2π π 2π
6．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x sin x , > 0 在区间 ,6 3 ÷单调递增，直线 x 和 x è 6 3
为函数 y
5π
f x 的图像的两条相邻对称轴，则 f - ÷ （12 ）è
A 3
1
． - B．- C 1 3．
2 2 2
D．
2
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x Asin x (A > 0, > 0, < π) 的部分图像如图所示，则
f π f 7π 4 ÷
- 6 ÷
（ ）
è è
A 2 3 B 2 6． ． C．0 D．
2 2 2
2．（2024·重庆·三模）已知函数 f (x) Asin( x )
p p
A > 0, > 0, - < < ÷的部分图像如图所示，若
è 2 2
5p
f (q ) 1 ，则 f

2q

3 3 ÷
（ ）
è
2 2 7 7
A．- B． C．- D9 ．9 9 9
π π π
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线 x , x 是函数 f x Asin x A > 0, > 0, < ÷图象的两条12 3 è 2
π π
相邻的对称轴，且 f ÷ - f ÷ -4，则 f （ ）
è 3 è12
A．- 3 B． 3 C． -1 D．1

4．（2024·安徽·三模）已知函数 f x 2sin x > 0,
π
< ÷的部分图象如下图所示，若曲线 y f x
è 2
3π 1
过点 A - , -2÷，B 0, 2 ，C x1, f x8 1 ，D x2 , f x2 ，且 f x1 - f x2 - ，则 cos 2x1 - 2x2 è 2
（ ）
7
A B -
7
C 3 7 3 7． ． ． D． -
8 8 8 8
5．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C 是直线 y m与函数 f (x) 2sin( x ) （ > 0，0 < < π ）的图
π
象的三个交点，如图所示．其中，点 A(0, 2)，B，C 两点的横坐标分别为 x1, x2 ，若 x2 - x1 ，则（4 ）
π f ( πA． B． ) - 2
4 2
C． f (x)
π
的图象关于 (π,0) 中心对称 D． f (x) 在[0, ]上单调递减
2
考点五、由三角函数的图象求参数值
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 f (x) cos( x )

> 0,0 <
π
< ÷的部分图象如图所示，若"x R ，
è 2
f x m - f x ，则正整数m 的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知函数 f x Asin x A > 0,
π
> 0,0 < < ÷的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为
è 2
π 5π π
,1÷，与 x 轴的一个交点的坐标为 ,0 M N y t f x 12 ÷．设 ， 为直线 与 的图象的两个相邻交点，且 MN ，è 6 è 3
则 t 的值为（ ）
1 1
A．± B 1 3．- C．
2 2 2
D．±
2
π
3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，直线 y -1与函数 f x A0 sin 2x A0 > 0, < ÷ 的图象的三个
è 2
相邻的交点分别为 A，B，C，其横坐标分别为 xA， xB ， xC ，且 xC - x B 2(xB - xA ) xA ，则 的值为（ ）
π π π π
A． - B． C．- D6 ．6 3 3
π
1．（2024·山西长治·一模）已知函数 f (x) Asin( x )(A > 0, > 0,| |< ) 的部分图象如图所示，若方程
2
f (x) m π在[- ,0]上有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
2
A．[-2, - 3] B． (-2, - 3] C． (-2, -1] D．[-2,-1]
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x sin x 3cos x ( > 0) 在区间[a,b]上是减函数，且 f a 1，
f b -1，b - a π ，则 （ ）
1 2
A． B． C．1 D．2
3 3
f x Asin x π- 3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 ÷ B（ A > 0, > 0, B为常数）， f (x)max f x1 3，
è 3
f (x)min f x -1 x - x
π
2 ，且 1 2 的最小值为 ，若 f x 在区间 a,b 上恰有 8 个零点，则b - a的最小值为2
（ ）
11π 7π 10π
A．3π B． C． D．
3 2 3
4．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 f x Asin x (A > 0, > 0, < π) 的部分图象如图所示，将
f x π的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在区间 0, t 上的值域为 é - 3,2ù4 ，则 t
的取值范围为（ ）
é5π , 2π ù é π 5π ù é5π 5π ù é5πA． ê ú B． ê , ú C． ê , ú D． ê , π
ù
12 3 4 6 12 6 12 ú
考点六、三角函数图象与性质的综合应用
1．（2024·河北唐山·一模）已知函数 f x sin x cos x > 0 的最小正周期为 π，则（ ）
A． f x é π π ù 3π 在 ê- , ú 单调递增 B． ,0÷ 是 f x 的一个对称中心 8 8 è 8
f x é π π ù πC． 在 ê- , ú的值域为 é ù 1, 2 D． x 是 f x 的一条对称轴 6 6 8
2．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数 f x sin 2x 1，将 f x π的图象向左平移 个单位长度，
4
得到函数 g x 9π的图象，若关于 x 的方程 g x a a R é ù在 ê0, 上有5个实数根，x 8 ú 1，
x2， x3 ， x4， x5
x1 < x2 < x3 < x4 < x5 ，则 x1 2 x2 x3 x4 x5 （ ）
9π 7π
A． B．6π C． D．5π
2 2
3．（2024·天津红桥·一模）将函数 f (x)
π
的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 单位，得到函数
3
g(x) sin(2x ) 0
π
< < ÷的部分图象（如图所示）．对于"x1， x2 [a,b]，且 x1 x2 ，若 g x1 g x2 ，
è 2
g x x 3都有 1 2 成立，则下列结论中不正确的是（ ）2
A． g(x) sin
2x π ÷
è 3
B． f (x) sin
4x π- ÷
è 3
g(x) éπ, 3π ùC． 在 ê ú上单调递增 2
4π
D．函数 f (x)
é0, ù x 85π在 ê ú的零点为3 1
, x2 ,L, xn ，则 x1 2x2 2x3 L 2x n-1
xn 12
1
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x cosx - ，现给出下列四个结论：
cosx
① f x π 的图象关于点 ,02 ÷对称；è
②函数 h x f x 的最小正周期为 2π；
③函数 g x 2 f x f x π 在 0, 2 ÷上单调递减；è
π
④对于函数 g x 2 f x f x ,"x 0, ÷ ,3 g x g x π ．
è 2
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
π π
5．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）设函数 f (x) 的定义域为 R， f (x - ) 为奇函数， f (x )4 为偶函数，4
当 x (
π , π] f (x) cos 4- 时， x ，则（ ）
4 4 3
A． f (x 4π) f (x)
3π
B． f (x) 的图象关于直线 x 对称
4
3π
C． f (x) 在区间 ( , 2π)上为增函数 D．方程 f (x) - lg x 0 仅有 4 个实数解
2
1．（2024·山东滨州·二模）已知函数 f (x) sin

x
π ( π ÷ > 0)6 在 0,2π 上有且仅有 4 个零点，直线 x 为函è 6
数 y f (x)
π
图象的一条对称轴，则 f 3 ÷
（ ）
è
1
A 3 1． - B．- C． 2 D
3
．
2 2 2
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x sin x ( > 0)满足：对"x R ，有
f 0 f x f π ÷ ，若存在唯一的 值，使得 y f x
é π
在区间 ê - m,
π
mùú (m > 0)上单调递减，则实数 mè 2 4 4
的取值范围是（ ）
0, π ù π , π ù π , π ù π , π ùA． 12ú B． C．è 28 12 ú
D．
è è 20 12 ú è 28 20 ú
3．（2024· 2广西·模拟预测）已知函数 h(x) cos x a sin x
1
- (a 1 )，若 h x 在区间 (0, nπ)(n N*)内恰好有
2 2
2022 个零点，则 n 的取值可以为（ ）
A．2025 B．2024 C．1011 D．1348
π 3π
4．（2024·山东烟台·三模）若定义在R 上的函数 f x 满足： f ÷ 0， f ÷ 0，且对任意x ， x2 R ，
è 4 è 4 1
都有 f x1 x2 f x
π
1 - x2 4 f x1 × f x2 ÷ ，则（4 ）è
A． f 0 0 B． f x 为偶函数
C． π是 f x π的一个周期 D． f x 图象关于 x 4 对称
5．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）已知函数 f x sinx sinx - cos2x，则（ ）
A． f x 的图象关于点 π,0 对称
B． f x 的值域为 -1,2
1
C．若方程 f x - 在 0, m 17π 10π ù上有 6 个不同的实根，则实数m 的取值范围是
4
,
è 6 3 ú
6
D．若方程 é f x 2ù - 2af x a2 1 a R 在 0,2π 上有 6 个不同的实根 xi i 1,2,L,6 ，则 a xi 的取
i 1
值范围是 0,3π
一、单选题
π π 1．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以 为周期，且其图象关于点 ,04 ÷对称的是（ ）è
A． y tan x B． y | sin x | C． y 2cos2 x -1 D． y sin x - cos x
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x cos 2 x - 3 sin 2 x 1 > 0 的最小正周期为 π，则 f x
的图象的一个对称中心为（ ）
π ,0 π π- π A． 12 ÷ B．
,0÷ C． - ,1 D． ,1÷
è è12 è 12 ÷ è12
3 2．（2024·天津北辰·三模）已知函数 f x 3 sin 2x cos 2x cos 2x ，则下列结论不正确的是（ ）
A． f x π的最小正周期为
2
5π 1
B． f x 的图象关于点 , ÷对称
è 24 2
C．若 f x t π kπ是偶函数，则 t ， k Z
12 4
D． f x é在区间 ê0,
π ù
上的值域为 0,1
4 ú
π π
4．（2024·福建泉州·一模）已知函数 f (x) 的周期为 π，且在区间 ,6 3 ÷内单调递增，则
f (x) 可能是（ ）
è
A． f (x) sin
x π- ÷ B． f (x) cos
x π-
è 3 è 3 ÷
C． f (x) sin
2x π -

÷ D． f (x) cos

2x
π
-
3 ÷è è 3
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y cosx与 y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 f (x)
π
Asin( x ) A > 0, > 0, < ÷的部分图象如图所示，下列说
è 2
法正确的是（ ）
A． A 2,
π

6
B．函数 f (x) 的最小正周期为 2π
π π
C．函数 f (x)

在 ,3 2 ÷上单调递减è
D．函数 f (x)
π
的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 y 轴对称
12
二、多选题
7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数 f x sinx ×cosx，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 的最小正周期为 2π
C f x 1- D f x é0, π ù． 的最小值为 ． 在
2 ê 2 ú
上单调递增

π
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 f x sin 2x 0 < < π 的图像关于点 ,03 ÷中心对称，则è
（ ）
f x π 5π A． 在区间 ,12 12 ÷ 单调递减è
B． f x π在区间 - ,
11π
有两个极值点
è 6 12 ÷
5π
C．直线 x 是曲线 y f x 的对称轴
6
D y x 3．直线 是曲线 y f x 在 x 0处的切线
2
9．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 f x cos2x cos 2x 2π

3 ÷
,则（ ）
è
A．函数 f x 7π 的图象关于点 ,012 ÷对称è
B．将函数 f x 7π的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象关于 y 轴对称
12
C．函数 f x 在区间 0, π 上有 2 个零点
D．函数 f x é π 5π ù在区间 ê , ú 上单调递增 3 6
π
10．（2024·浙江·

模拟预测）已知函数 f x cos x ÷ > 0 3 ，则（ ）è
π
A．当 2 f x - π时， 6 ÷的图象关于 x 2 对称è
B．当 2时， f x é π ù 3在 ê0, 上的最大值为 2 ú 2
x πC．当 为 f x 的一个零点时， 的最小值为 1
6
π , πf x - D．当 在 ÷上单调递减时， 的最大值为 1
è 3 6
一、单选题
π π
1．（2024·全国·三模）若偶函数 f x cos x sin x > 0, < ÷的最小正周期为 ，则
è 2 2
（ ）
A． 2 B． 的值是唯一的
C． f x π的最大值为 3 D． f x 图象的一条对称轴为 x 4
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 f x cos2πx，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（ ）
x
y f (2x -1) y f -1 x 1 1A． B． ÷ C． y f

-

÷ D． y f

2x -

è 2 ÷ è 2 2 è 2
π π
3．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数 f x sin 2x - ÷的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g x
è 12 8
é a ù é 7π ù
的图象，若函数 g x 在区间 ê0, ú 和 ê4a, ú上均单调递增，则实数 a的取值范围是（3 6 ）
é π , 7π é π , π A． ê B． 6 24 ÷ ê 6 2 ÷
é7π , π é π 7πC ． ê 24 2 ÷
D． ,
ê12 24 ÷
1 π
4．（2024·山东济宁·三模）已知函数 f (x) ( 3 sin x cos x) cos x - ，若 f (x) 在区间[- , m]上的值域为
2 4
[ 3- ,1]，则实数m 的取值范围是（ ）
2
π π π π [ π , 7π é
π 7π ù
A．[ , ) B．[ , ] C． ) D．
6 2 6 2 6 12 ê
,
6 12 ú
π π π 2π
5．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 f (x) Asin( x ) A > 0, > 0, - < < ÷ ，且 x , x 是函数
è 2 2 6 3
y f (x) 相邻的两个零点，"x R, f (x) 3，则下列结论错误的是（ ）
A． A 3 B． 2
πC． -

D． f x
π
-
π
÷ f
-x -
6 ÷è 12 è 12
二、多选题
π
6．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x asin2x cos2x的图象关于直线 x 对称，则下列结论正确的是
6
（ ）
f 7π A． ÷ 0
è 6
f x π- B． ÷ 为奇函数
è 12
C．若 f x 在 -m, m π单调递增，则0 < m
6
D． f x 1 5π的图象与直线 y x - 有 5 个交点
2 24
7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 f x sin x ，下列说法正确的是（ ）
A．若函数图象过原点，则 0
π
B．若函数图象关于 y 轴对称，则 kπ,k Z
2
C．若函数在零点处的切线斜率为 1 或-1，则其最小正周期为 2π
D．存在 18
π
，使得将函数图象向右平移 个单位后与原函数图象在 x 轴的交点重合
6
π
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数 f x sin x - ÷ > 0 ，则下列结论正确的是（6 ）è
é π π ù
A．" 0,2 ， f x 在 ê- , 上单调递增 6 4 ú
B．若 2且 f x1 - f x2 2，则 x1 - x2 πmin
C．若 f x 1在 0, π é5 8 上有且仅有 2 个不同的解，则 的取值范围为 ê , 3 3 ÷
π
D．存在 0,2 ，使得 f x 的图象向左平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
6
9．（2024·河北张家口·三模）已知函数 f (x) 2 3 cos2 x 2sin x cos x ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 f (x) 的一个周期为 2π
f (x) π B．函数 的图象关于点 ,0÷对称
è 3
C．将函数 f (x) 的图象向右平移 ( > 0) 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，若函数 g(x)为偶函数，则
5π
的最小值为
12
1 5π 1
D．若 f a - ÷ - 3 ，其中a 为锐角，则 sina - cosa
6 - 30
的值为
è 2 24 2 8
10．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数 f (x) Asin( x )(A > 0, > 0,0 < < p )，其部分图象如图所
示，且直线 y A与曲线 y f (x)
π
- x
11π
÷ 所围成的封闭图形的面积为 π，下列叙述正确的是（24 24 ）è
A． A 2
B． y f (x
π
)
24 为奇函数
π
C． f ÷ f
2π f 3π 2024π ÷ ÷ L f

8 ÷
0
è è 8 è 8 è 8
a, a π é5πD．若 f (x) 在区间 ÷（其中 a > 0）上单调递增，则 a的取值范围是 ê ,
7π ù
è 6 24 24 ú
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A y e
x - x2 B y cos x x
2 ex - x sin x 4x
． 2 ． 2 C． y D． y x 1 x 1 x 1 e|x|
2．（2023·北京·高考真题）设函数 f (x) sin x cos cos x sin

> 0,| |
π
< ÷ ．
è 2
(1)若 f (0) 3 - ，求 的值．
2
é π 2π ù 2π
(2)已知 f (x) 在区间 ê- , 上单调递增， f 1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择 3 3 ú è 3 ÷
一个作为已知，使函数 f (x) 存在，求 , 的值．
f π 条件①： 23 ÷ ；è
f π 条件②： - -1；
è 3 ÷
π π
条件③： f (x)
é ù
在区间 ê- ,- ú 上单调递减． 2 3
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
3．（2021·浙江·高考真题）设函数 f x sin x cos x(x R) .
2
1 é（ ）求函数 y ê f
p ù
x ÷ú 的最小正周期； è 2

（2）求函数 y f (x) f x
p
- é÷ 在 ê0,
p ù
4 ú上的最大值
.
è 2
4．（2020·全国·高考真题）设函数 f (x) cos( x
π
) 在[-π,π]的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为
6
（ ）
10π 7π
A． B．
9 6
4π 3π
C． D．
3 2
5．（2020·山东·高考真题）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像，则 sin(ωx+φ)= （ ）
A． sin(x
π π
） B． sin( - 2x) C． cos(2x
π 5π
） D． cos( - 2x)
3 3 6 6
1
6．（2020·全国·高考真题）关于函数 f（x）= sin x 有如下四个命题：
sin x
①f（x）的图象关于 y 轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
p
③f（x）的图象关于直线 x= 对称．
2
④f（x）的最小值为 2．
其中所有真命题的序号是 ．
7．（2019·浙江·高考真题）设函数 f (x) sinx, x R .
（1）已知q [0, 2p),函数 f (x q )是偶函数，求q 的值；
（2）求函数 y [ f (x
p
)]2 [ f (x p )]2 的值域.
12 4
p
8．（2019·全国·高考真题）设函数 f x =sin（ x ）( ＞0)，已知 f x 在 0,2p 有且仅有 5 个零点，下
5
述四个结论：
① f x 在（0, 2p ）有且仅有 3 个极大值点
② f x 在（0, 2p ）有且仅有 2 个极小值点
③ f x p在（0, ）单调递增
10
④
12 29
的取值范围是[ ， )
5 10
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
p p p
9．（2019·全国·高考真题）下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
2 4 2
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│
C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
10．（2019·全国·高考真题）关于函数 f (x) sin | x | | sin x |有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 p②f(x)在区间（ ,p ）单调递增
2
③f(x)在[-p,p]有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③第 03 讲 三角函数的图象与性质
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 7 题,5 分 正弦函数图象的应用 图象交点问题
函数奇偶性的定义与判断
求余弦(型)函数的奇偶性
2024 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分 函数奇偶性的应用
余弦(型)函数的图象及应用
根据函数零点的个数求参数范围
求含 sinx(型)函数的值域和最值
2024 年新Ⅱ卷，第 9 题,6 分 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心 求函数零点及方程根的个数
求正弦(型)函数的最小正周期
2023 年新 I 卷，第 15 题,5 分 余弦函数图象的应用 根据函数零点的个数求参数范围
正弦定理解三角形
2023 年新 I 卷，第 17 题,12 分 用和、差角的正弦公式化简、求值
三角形面积公式及其应用
由正 (余)弦函数的性质确定图象
2022 年新 I 卷，第 6 题,5 分 无
(解析式)
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求在曲线上一点处的切线方程
2022 年新Ⅱ卷，第 9 题,5 分 利用正弦函数的对称性求参数
(斜率)
求 sinx 型三角函数的单调性
2021 年新 I 卷，第 4 题,5 分 求 sinx 型三角函数的单调性 无
2020 年新 I 卷，第 10 题,5 分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 无
2020 年新Ⅱ卷，第 11 题,5 分 由图象确定正(余)弦型函数解析式 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为 5-11 分
【备考策略】1 能用五点作图法作出正弦、余弦和正切函数图象，并掌握图象及性质
2 能用五点作图法作出正弦型、余弦型和正切型函数图象，并掌握图象及性质
3 理解 y Asin( x ) h中 A、 、 、h 的意义，理解 A、 、 、h 的变化对图象的影
响，并能求出参数及函数解析式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会综合考查三角函数的图象与性质的综合应用，需加
强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的图象与性质
y sin x y cos x y tan x
图
象
定
ì p ü
义 R R íx x kp , k Z
2
域
值
-1,1 -1,1 R
域
当 x 2kp p 时，
2
当 x 2kp 时，
最 ymax 1；当 ymax 1；当 x 2kp p 既无最大值也无最小值
值
x 2kp p-
2 时， ymin -1．
时， ymin -1．
2. 三 周 角
函 期 2p 2p p 数
型 性 函
数 奇 的
图 偶 奇函数 偶函数 奇函数 象
和 性 性
质 é p p ù
在
（1）正 ê
2kp - , 2kp
2 2 ú 在 2kp -p , 2kp 上是增函 弦
单 kp p p 型 上是增函数； 数； 在 - , kp ÷ 函
调 è 2 2
数 、 é p 3p ù 在 2kp , 2kp p 上是减函 余
性 在
弦 ê
2kp , 2kp
2 2 ú
上是增函数．
型
数．
函 上是减函数． 数
性 对 对称中心 kp ,0 p kp 质
对称中心 kp ,0÷ 对称中心 ,0÷
称 p è 2 è 2
对称轴 x kp
性 2 对称轴 x kp 无对称轴
y Asin( x ) h， y Acos( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 - A, A
决定函数的周期，T 2p

x 叫做相位，其中 叫做初相
（2）正切型函数性质
y A tan( x ) h的周期公式为：T p

（3）会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质
考点一、正弦型函数的图象与性质
1．（2024·上海·高考真题）下列函数 f x 的最小正周期是 2π的是（ ）
A． sinx cosx B． sinxcosx
C． sin2x cos2x D． sin2x - cos2x
【答案】A
【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .
【详解】对 A， sinx cosx 2sin
π
x

÷，周期T 2π，故 A 正确；
è 4
sinxcosx 1 sin2x T 2π对 B， ，周期 π B2 ，故 错误；2
对于选项 C， sin2x cos2x 1，是常值函数，不存在最小正周期，故 C 错误；
2π
对于选项 D， sin2x - cos2x -cos2x ，周期T π2 ，故 D 错误，
故选：A．
2．（2024·全国·高考真题）函数 f x sin x - 3 cos x 在 0, π 上的最大值是 ．
【答案】2
【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【详解】 f x sin x - 3 cos x 2sin x π- ÷，当 x 0, π
π é π
时， x - ê- ,
2π ù
，
è 3 3 3 3 ú
x π π 5π当 - 时，即 x 时， f x 2
3 2 6 max
.
故答案为：2
3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 f x 7sin x p -

6 ÷单调递增的区间是（ ）è
0, p π 3p 3pA． ÷ B ,π C

2 ． ÷ ．
p , ÷ D． , 2p ÷
è è 2 è 2 è 2
【答案】A
p p p
【分析】解不等式 2kp - < x - < 2kp k Z ，利用赋值法可得出结论.
2 6 2
p p
【详解】因为函数 y sin x

的单调递增区间为 2kp - , 2kp

÷ k Z ，
è 2 2
对于函数 f x 7sin x p -
p p p
6 ÷，由
2kp - < x - < 2kp k Z ，
è 2 6 2
2kp p x 2kp 2p解得 - < < k Z ，
3 3
p 2p
取 k 0，可得函数 f x 的一个单调递增区间为 - , ÷ ，
è 3 3
0, p p 2p p p 2p 则 2 ÷
- ,3 3 ÷
， ,p ÷ - , ，A 选项满足条件，B 不满足条件；
è è è 2 è 3 3 ÷
取 k 1，可得函数 f x 5p 8p 的一个单调递增区间为 ,3 3 ÷，è
p , 3p p , 2p - p , 3p 5p , 8p 3p 5p ÷ ÷且 ÷ ÷， , 2p ÷ ,
8p
，CD 选项均不满足条件.
è 2 è 3 3 è 2 è 3 3 è 2 è 3 3 ÷
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y Asin ωx φ 形式，再求
y Asin ωx φ 的单调区间，只需把 x 看作一个整体代入 y sin x 的相应单调区间内即可，注意要先
把 化为正数．
π
4．（2024·全国·高考真题）（多选）对于函数 f (x) sin 2x 和 g(x) sin(2x - )，下列说法中正确的有（ ）
4
A． f (x) 与 g(x)有相同的零点 B． f (x) 与 g(x)有相同的最大值
C． f (x) 与 g(x)有相同的最小正周期 D． f (x) 与 g(x)的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A 选项，令 f (x) sin 2x 0
kπ
，解得 x , k Z，即为 f (x) 零点，
2
令 g(x) sin(2x
π kπ π
- ) 0，解得 x ,k Z，即为 g(x)零点，
4 2 8
显然 f (x), g(x)零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然 f (x)max g(x)max 1，B 选项正确；
2π
C 选项，根据周期公式， f (x), g(x)的周期均为 π，C 选项正确；
2
π kπ π
D 选项，根据正弦函数的性质 f (x) 的对称轴满足 2x kπ x ,k Z ，
2 2 4
g(x) 2x π kπ π kπ 3π的对称轴满足 - x , k Z，
4 2 2 8
显然 f (x), g(x)图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC
2π
5．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 f (x) sin(2x )(0 < < π)的图像关于点 ,0 中心对称，则
è 3 ÷
（ ）
5π
A． f (x)

在区间 0, ÷ 单调递减
è 12
π ,11πB． f (x) 在区间 - ÷ 有两个极值点
è 12 12
7π
C．直线 x 是曲线 y f (x) 的对称轴
6
D 3．直线 y - x 是曲线 y f (x) 的切线
2
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： f
2π sin 4π 4π ÷ ÷ 0，所以 kπ， k Z ，
è 3 è 3 3
4π即 - kπ,k Z ，
3
0 2π又 < < π
2π
，所以 k 2时， ，故 f (x) sin 2x

．
3 ֏ 3
x 0, 5π 2x 2π 2π 3π 5π 对 A，当 ÷时， , ÷，由正弦函数 y sin u 图象知 y f (x) 在 0, ÷ 上是单调递减；
è 12 3 è 3 2 è 12
x π ,11π - 2π π对 B，当 ÷时， 2x ,
5π
÷，由正弦函数 y sin u 图象知 y f (x) 只有 1 个极值点，由
è 12 12 3 è 2 2
5π 5π
2x 2π 3π ，解得 x ，即 x 3 2 为函数的唯一极值点；12 12
x 7π 2x 2π 7π 7π对 C，当 时， 3π ， f ( ) 0 ，直线 x 不是对称轴；
6 3 6 6
2π
对 D，由 y 2cos 2x ÷ -1得： cos
2π 1
3
2x ÷ - ，
è è 3 2
2x 2π 2π解得 2kπ 2x
2π 4π
或 2kπ,k Z ,
3 3 3 3
π
从而得： x kπ 或 x kπ,k Z ,
3

所以函数 y f (x)
3 2π
在点 0, ÷÷处的切线斜率为 k y 2cos -12 x 0
，
è 3
3
切线方程为： y - -(x - 0) 3即 y - x ．
2 2
故选：AD．
1．（2021·全国·高考真题）函数 f (x)
x x
sin cos 的最小正周期和最大值分别是（
3 3 ）
A．3π和 2 B．3π和 2 C．6π和 2 D．6π和 2
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简 f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
x x 2 x 2 x
【详解】由题， f x x p sin cos 2
3 3
sin cos ÷÷ 2 sin ÷，所以 f x 的最小正周期为
è 2 3 2 3 è 3 4
T 2p= 1 = 6p ，最大值为 2 .
3
故选：C．
2．（2024·天津·高考真题）已知函数 f x sin3 π é π π x ÷ > 0 的最小正周期为 π．则 f x 在 ê- ,
ù
12 6 ú 的è 3
最小值是（ ）
3 3 3A． - B．- C．0 D．
2 2 2
【答案】A
é π
【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出 ，得 f x -sin2x ，再整体求出 x ê- ,
π ù
时， 2x的
12 6 ú
范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.
f x π sin3 2π 2【详解】 x 3 ÷ sin 3 x π -sin 3 x ，由T π得 ，è 3 3
即 f x sin2x x é π , π - - ù 2x é π，当 ê ú 时， ê- ,
π ù
12 6 6 3 ú
，

画出 f x -sin2x 图象，如下图，
é π π ù
由图可知， f x -sin2x 在 ê- ,12 6 ú 上递减，
x π π 3所以，当 时，
6 f x -sin -min 3 2
故选：A
3．（2024·全国·高考真题）当 x [0, 2p ]时，曲线 y sin x 与 y 2sin 3x
p
-

÷的交点个数为（6 ）è
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 0,2π 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 y sin x 的的最小正周期为T 2π，
函数 y 2sin

3x
π
- 2π的最小正周期为T ，
è 6 ÷ 3
所以在 x 0,2π π 上函数 y 2sin 3x - ÷有三个周期的图象，
è 6
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C
1
4．（2022·天津·高考真题）已知 f (x) sin 2x，关于该函数有下列四个说法：
2
① f (x) 的最小正周期为 2π；
② f (x)
π π
在[- , ]4 4 上单调递增；
x é π π
é 3 3 ù
③当 ê- ,
ù
ú 时， f (x) 的取值范围为6 3 ê
- ,
4 4 ú
；

④ f (x)
1
的图象可由g(x) sin(2x
π
) π的图象向左平移 8 个单位长度得到．2 4
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
1
【详解】因为 f (x) sin 2x
2π
，所以 f (x) 的最小正周期为T π2 ，
①不正确；
2
t 2x é π π π π令 ê- ,
ù y 1ú ，而 sin t
é ù π π
在 ê- , 上递增，所以 f (x) 在[- , ]上单调递增，②正确；因为 2 2 2 2 2 ú 4 4
π 2π é 3 ù ét 3 1
ù
2x éê- ,
ù
ú ， sin t ê- ,1 ，所以 f x - , ，③不正确； 3 3 ú ê ú 2 4 2
由于g(x)
1 sin(2x π) 1 sin é2 x π ù 1 π πê ÷ú ，所以 f (x) 的图象可由g(x) sin(2x )的图象向右平移 个单2 4 2 è 8 2 4 8
位长度得到，④不正确．
故选：A．
5．（2024·河北唐山·二模）函数 f x sin 2x -
π
÷在 0,
π
2 3 ÷上为单调递增函数，则
的取值范围为
è è
（ ）
é π π π
A． ê- ,-
ù é
ú B． ê- ,0
ù é π , π ù é π ùC．
2 6 6 ú ê 6 2 ú
D． 0,
ê 6 ú
【答案】C
ì2π π -
【分析】由 x 的取值范围，求出 2x -
3 2
，结合正弦函数的单调性得到 í .
π
，解得即可
- -
2
【详解】由 x

0,
π
÷ 可得 2x -
2π
3
- , - ÷ ，
è è 3
π π 2π 7π π又 ，则 - ，且 f x 在 0, 3 ÷上为单调递增函数，2 6 3 6 è
ì2π
-
π

3 2 π π
所以 í
π
，解得 ，
- - 6 2
2
é π π ù即 的取值范围为
ê
, .
6 2 ú
故选：C
考点二、余弦型函数的图象与性质
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 y f x 的图象关于直线 x 2对称，且 f x 的一个周期为 4，则 f x
的解析式可以是（ ）
A． sin
p x p ÷ B． cos2
x ÷
è è 2
sin p x cos p x C． ÷ D．4 ÷è è 4
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 x 2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
T 2p 4 T 2p 4
A 选项中 p ，B 选项中 p ，
2 2
T 2p p 8 T
2p
p 8C 选项中 ，D 选项中 ，
4 4
排除选项 CD，
p
对于 A 选项，当 x 2时，函数值sin 2÷ 0，故 2,0 是函数的一个对称中心，排除选项 A，
è 2
p
对于 B 选项，当 x 2时，函数值cos 2

÷ -1，故 x 2是函数的一条对称轴，
è 2
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）已知函数 f (x) cos2 x - sin2 x，则（ ）
p
A f (x) - ,
p
- B f (x)
p , p ． 在 ÷ 上单调递减 ． 在 - ÷ 上单调递增
è 2 6 è 4 12
p p 7p
C． f (x) 在 0, D f (x) ,
è 3 ÷
上单调递减 ． 在 ÷上单调递增
è 4 12
【答案】C
【分析】化简得出 f x cos 2x ，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
2
【详解】因为 f x cos x - sin2 x cos 2x .
p p p p
对于 A 选项，当- < x < - 时，-p < 2x
p
< - ，则 f x 在 - ,- 上单调递增，A 错；
2 6 3 ֏ 2 6
p x p p
p p
对于 B 选项，当- < < 时，- < 2x
p
< ，则 f x 在 - ,
4 12 2 6 4 12 ÷
上不单调，B 错；
è
p 2p p
对于 C 选项，当0 < x < 时，0 < 2x < ，则 f x 在 0, 3 ÷上单调递减，C 对；3 3 è
p x 7p p 7p对于 D 选项，当 < < 时， < 2x < ，则 f x p , 7p 在 ÷上不单调，D 错.4 12 2 6 è 4 12
故选：C.
f x cos 2π 2x x é 2π π3．（2024·全国·二模）已知函数 - ÷， ê- ,
ù
ú ，则函数 f x 的单调递减区间è 3 3 3
为 .
é 2π π ù
【答案】 ê- ,- 3 6 ú
【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可.
f (x) cos(2π 2x) cos(2x 2π【详解】由题意知， - - )3 3 ，
由 2kπ 2x
2π π
- 2kπ π, k Z ，得 kπ+ x kπ
5π
,k Z ，
3 3 6
2π π
令 k 1 x
π 5π
- ，得- - ，令 k 0，则 x ，
3 6 3 6
即函数 f (x)
2π π
的单调递减区间为 [- ,- ] .3 6
2π π
故答案为： [- ,- ]3 6
π
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f (x) 2cos 2x ÷在区间 0,a 上的值域为 é ù
è 6
-2, 3 ，则 a的取值
范围为（ ）
é5π , 5π ù é5π 11π ù é 2π 5π ù é5π ùA． ê ú B． ê , 12 6 12 12 ú
C． ê , ú D． ê , π 5 12 12 ú
【答案】A
【分析】借助余弦函数的单调性与值域的关系计算即可得.
【详解】 x 0,a 时， 2x π é π ,2a π ù ，
6 ê 6 6 ú
π
由函数 f (x) 2cos 2x ÷在区间 0,a 上的值域为 é-2, 3ù
è 6
，
y cos x é π ,2a π ù
é 3 ù
故函数 在区间 ê 6 6 ú
上的值域为 ê-1, 2 ú ，
2a π é 11π ù é5π 5π ù则有
6 ê
π, ú ，即 a ,6 ê 12 6 ú
.

故选：A.
π
5．（2024· 2江苏扬州·模拟预测）（多选）已知函数 f x 2cos x - ÷ ，则（6 ）è
A． f x 最小正周期为 2π
π
B． x 是 f x 图象的一条对称轴
6
5π
C． ,1÷是 f x 图象的一个对称中心
è 12
π π
D． f x 在 - ,4 4 ÷上单调è
【答案】BC
2π
【分析】利用二倍角公式化简函数，根据T 求出最小正周期判断 A；利用余弦函数的对称轴方程和对
称中心可判断 BC；由余弦函数的单调性可判断 D.
2 π π
【详解】 f x 2cos x - ÷ cos 2x - ÷ 1，
è 6 è 3
对于 A： f x 2π的最小正周期为 =π，错误；
2
π π
对于 B：令 2 - kπ k Z 可得 k 0，
6 3
π
所以 y f x 的图象关于直线 x 对称，正确；
6
2 5π π π 5π对于 C：令 - kπ+ k Z 可得 k 0，且 f ÷ 1，12 3 2 è 12
y f x 5π所以 的图象关于点 ,1

÷对称，正确；
è 12
x π π π 5π π对于 D：因为 - ,

÷，所以 2x - ÷

- ,

÷ ，
è 4 4 è 3 è 6 6
由 y cos x
5π
在 - ,0
π
÷上单调递增， 0, ÷上单调递减可知，
è 6 è 6
f x π- , π π π 在 4 6 ÷上单调递增，在 ,6 4 ÷单调递减，错误；è è
故选：BC.
π
1．（2024·全国·模拟预测）函数 f x -3cos 2x ÷的单调递增区间为（ ）
è 6
A é． êkπ
π π
- ,kπ ù é π 2π ù
3 6 ú
,k Z B． kπ , kπ ,k Z
ê 6 3 ú
é
C． êkπ
7π ,kπ π- - ùú , k Z
é
D． êkπ
π
- , kπ 5π ù , k Z
12 12 12 12 ú
【答案】D
【分析】整体法得到不等式，求出单调递增区间.
【详解】 f x -3cos 2x π

÷，令 2kπ 2x
π
2kπ π,k Z，
è 6 6
kπ π x 5π\ - kπ , k Z ,
12 12
故函数 f x é π 5π ù的单调递增区间为 êkπ - , kπ ú , k Z . 12 12
故选：D．
2．（2021·北京·高考真题）函数 f (x) cos x - cos 2x 是
A．奇函数，且最大值为 2 B．偶函数，且最大值为 2
9 9
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
8 8
【答案】D
【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可
判断最大值.
【详解】由题意， f (-x) cos -x - cos -2x cos x - cos 2x f x ，所以该函数为偶函数，
2
又 f (x) cos x - cos 2x -2cos2 x cos x 1 -2 cos x
1 9
- ÷ ，
è 4 8
所以当cos x
1
时， f (x)
9
取最大值 .
4 8
故选：D.
3．（2024·福建漳州·一模）已知函数 f x π 2cos 3x é a ù ÷在 ê0, 上单调递减，则实数 a的最大值为（6 ）è 6 ú
2π 4π 5π 3π
A． B． C． D．
3 3 3 2
【答案】C
π
【分析】以3x 为整体，结合余弦函数性质分析求解.
6
x é0, a ù 3x π é π a π ù【详解】因为 ê ú ，则 ê , ， 6 6 6 2 6 ú
π a π
由题意可得 < π ，解得0 < a
5π a 5π ，即实数 的最大值为 .
6 2 6 3 3
故选：C.
π π
4．（2024·浙江·模拟预测）（多选）已知函数 f x sin 2x ÷ 2 3cos2 x ÷，则以下结论正确的为
è 4 è 8
（ ）
A． f x 的最小正周期为 π
B． f x 5π图象关于点 , 3

÷对称
è 24
f x 4π 3π C． 在 , ÷ 上单调递减
è 3 2
D．将 f x 11π图象向左平移 个单位后，得到的图象所对应的函数为偶函数
24
【答案】ABD
35π
【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断 A；代入验证可判断 B；取 x 可判断函数图
24
x 35π象关于 对称，可判断 C；利用平移变换求出平移后的解析式，即可判断 D.
24
【详解】 f x sin 2x
π
÷ 3+ 3cos
2x π 2sin ÷ 2x
7π
÷ 3
è 4 è 4 è 12
2cos 2x
π

12 ÷
3 ，
è
2π
对于 A，T π2 ，A 正确；
5π 5π π
对于 B，因为 f ÷ 2cos 2 3 3 ，
è 24 è 24 12 ÷
5π , 3 所以点 ÷ 是函数 f x 24 的对称中心，B 正确；è
f 35π 2cos 2 35π π对于 C，因为 ÷

÷ 3 -2 3 ，
è 24 è 24 12
35π
所以函数 f x 的图象关于 x 对称，
24
35π

4π 3π
又 , ÷，所以 f x
4π , 3π 在 上不单调，C 错误；
24 è 3 2 ÷ è 3 2
对于 D，将 f x 11π图象向左平移 个单位后，得
24
f x 11π ÷ 2cos
2 x 11π π
24 24 ÷

12 ÷
3 2cos 2x π 3 -2cos 2x 3 ，
è è è
显然为偶函数，D 正确.
故选：ABD
考点三、正切型函数的图象与性质
π
1．（2024·上海·三模）函数 y tan(- x )6 的最小正周期为 ．
【答案】 π
【分析】利用函数 y tan( x ) 的最小正周期计算公式即可求解.
【详解】因为 y tan x 的最小正周期为 π ,
π
所以函数 y tan( x ) 的最小正周期为 | | ，
π
所以函数 y tan(- x
π
)
6 的最小正周期为
π
| ,-1|
故答案为： π .
π π
2．（2024·安徽·三模）“ - kπ,k Z ”是“函数 y tan x 的图象关于 ,0÷对称”的（4 ）è 4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
π π kπ
【分析】若函数 y tan x 的图象关于 ,04 ÷对称，根据正切函数的对称性可得 - , k Z ，再è 4 2
根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.
π
【详解】若函数 y tan x 的图象关于 ,04 ÷对称，è
π
则
kπ
,k Z π kπ，解得 - ,k Z ，
4 2 4 2
ì | π - kπ,k Zü ì π kπ ü因为 í 是 í | - ,k Z 的真子集，
4 4 2


π
π
所以“ - kπ,k Z

”是“函数 y tan x 的图象关于 ,04 ÷对称”的充分不必要条件.4 è
故选：A.
π
3．（多选）若函数 f x tan 2x - ÷ 3，则（8 ）è
A． f x 的最小正周期为 π
B． f x ì 5π kπ ü的定义域为 íx x , k Z16 2
C． f x π , 3π 在 上单调递增
è16 16 ÷
D． f x π 的图象关于点 ,016 ÷对称è
【答案】BC
π π π
【分析】A 选项，由T 求出最小正周期；B 选项，整体法得到 2x - kπ k Z ，求出定义域；C8 2
选项，得到 2x
π π π 3π
- 0, f x ÷，得到 在8 4
, ÷ 上单调递增；D 选项，整体法求解出函数的对称中心.
è è16 16
π π
【详解】A 选项， f x 的最小正周期为T 2 ，A 错误；
π π
B 选项，由 2x - kπ k Z ，得 x 5π kπ k Z ，B 正确；
8 2 16 2
x π , 3π 2x π- π π C 选项，由 ，得16 16 ÷ 8
0, ÷，因为 y sin z 在 z 0,è 4 4 ÷
上单调递增，
è è
所以 f x π , 3π 在 ÷ 上单调递增，C 正确；
è16 16
2x π kπ k Z x π kπD 选项，由 - ，得 k Z x π，当 k 0时， ，
8 2 16 4 16
π
f x ,3 所以 的图象关于点 ÷对称，D 错误.
è16
故选：BC
4．关于函数 y f x ，其中 f x tan x tan x 有下述四个结论：
① f x 是偶函数； ② f x π 在区间 0,
è 2 ÷
上是严格增函数；

③ f x 在 -π, π 有 3 个零点； ④ f x 的最小正周期为 π．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性、单调性、零点、周期性定知识确定正确答案.
【详解】 f x tan x tan x ì π ü的定义域为 íx | x kπ ,k Z ，
2
f -x tan -x tan -x tan x tan x f x ，所以 f x 是偶函数，①正确.
当 0 < x
π
< 时， f x tan x tan x 2 tan x2 是严格增函数，②正确.
π
当 < x < π 时， f x tan x - tan x 0，
2
所以 f x π , π 在 2 ÷有无数个零点，则③错误.è
f π π π π 3π 3π 3π - 4 ÷
tan tan 2, f - π ÷ f ÷ tan tan -1 1 0，
è 4 4 è 4 è 4 4 4
所以 π不是 f x 的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
5．函数 f x tan sinx cosx ，则下列说法正确的是（ ）
A． f x 的定义域为R B． f x 是奇函数
C． f x 是周期函数 D． f x 既有最大值又有最小值
【答案】ACD
【分析】利用奇函数和周期函数的定义可判断 BC 的正误，利用正切函数的定义域可得 A 的正误，利用正切
函数的单调性可判断 D 的正误.
【详解】对于 A， sinx cosx 2sin
x π ÷ é- 2, 2 ù，
è 4
π
因为 > 2 ，所以对于任意实数 x ， f x 都有意义，所以 A 正确；
2
对于 B， f -x tan -sinx cosx ，不与 f (x) 恒等，所以 B 错误；
对于 C， f x 2π tan sinx cosx f x ，所以 C 正确；
对于 D， sinx cosx 2sin
x π ÷ é ù - 2, 2 ， y tan x 在 é- 2, 2ù 单调递增，è 4
f (x) f π 3π 所以 max ÷ , f (x)min f - ÷，所以 D 正确.
è 4 è 4
故选：ACD.
1．（2024·湖北荆州·三模）函数 f (x) tan(2x
π
) 的最小正周期为（
3 ）
π π π
A． π B． C． D．
2 3 6
【答案】B
【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果
π π
【详解】由周期公式得T .
2
故选：B
π
2．（2023·

河南·模拟预测）已知函数 f (x) tan 2x

3 ÷，则下列说法正确的是（ ）è
f x f x é π , 7π ùA． 为奇函数 B． 在区间 ê 上单调递增 12 12 ú
π
C． f x 图象的一个对称中心为 ,012 ÷ D． f x 的最小正周期为 πè
【答案】C
【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.
π
【详解】因为 f (x) tan 2x 2x
π kπ π kπ π ÷，所以 x k Z
è 3 3 2
，解得 2 12 ，
即函数的定义域不关于原点对称，所以 f x 不是奇函数，故 A 错误；
π 7π
当 x
π π π
é ù时，2x ，此时 f x 无意义，故 f x 在区间
12 3 2 ê
,
12 12 ú上单调递增不正确，故
B 错误；

x π 2x π π
π
当

时， ，正切函数无意义，故 ,012 3 2 12 ÷
为函数的一个对称中心，故 C 正确；
è
π é π π ù π π
因为 f (x ) tan ê2(x ) ú tan(2x π) tan 2x ÷ f (x)
π
，故 是函数的一个周期，故 D 错
2 2 3 3 è 3 2
误.
故选：C
π π
3．（多选）已知函数 f x tan x 2 4 ÷ 1，则（ ）è
A． f x ì 1 ü的一个周期为 2 B． f x 的定义域是 íx x k,k Z2
f x 1C ． 的图象关于点 ,1÷对称 D． f x 在区间 1,2 2 上单调递增è
【答案】ACD
【分析】
利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.
π π πf x tan x 1 T π 2【详解】对于 A，由 ÷ 可知其最小正周期 ，故 A 正确；
è 2 4 2
f x tan π对于 B，由 x
π
1 π π π 1可知 x kπ x 2k, k Z，
è 2 4 ÷ 2 4 2 2
故 B 错误；
对于 C，由 f x π π tan x 1 x 1 π x π π ÷ 可知 ，
è 2 4 2 2 4 2
f x 1 ,1 此时 的图象关于点 2 ÷对称，故 C 正确；è
f x π π π π 3π 5π对于 D，由 tan x ÷ 1可知 x 1,2 x é , ù，
è 2 4 2 4 ê 4 4 ú
又 y tan x
é π , 3π ù é3π , 5π ù é π , 3π ù在 上递增，显然 ，故 D 正确.
ê 2 2 ú ê 4 4 ú ê 2 2 ú
故选：ACD
9．（2024·湖南长沙·二模）已知函数 f x tan x > 0,0
π
< < π
2 ÷
的最小正周期为 2π，直线 x 3 是è
f x 图象的一条对称轴，则 f x 的单调递减区间为（ ）
2kπ π 5π- , 2kπ ùA． k Z
è 6 6 ú
2kπ 5π- , 2kπ 2π- ùB． ú k Z è 3 3

C． 2kπ
4π
- , 2kπ π- ùú k Z è 3 3

D． 2kπ
π
- , 2kπ 2π ù
è 3 3 ú
k Z
【答案】B
【分析】根据 f x tan x > 0,0
π
< < ÷的最小正周期确定 的值，根据函数的对称轴求出 ，结
è 2
合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.
【详解】由于 f x tan x > 0,0
π
< < ÷的图象是将 y tan x 的图象在 x轴下方部分翻折到x
è 2
轴上方，
且 y tan x π > 0,0 < < ÷仅有单调递增区间，
è 2
故 f x tan x 和 y tan x 的最小正周期相同，均为 2π，
π 1
则 2π,
1
\ ，即 f x tan x
2 2 ÷
，
è
x π
1 π 1
又直线 3 是
f x 图象的一条对称轴，则 × kπ,k Z，
2 3 2
1 kπ π即 - ,k Z
π π
，结合 0 < < 2 ，得
，
2 6 3
f x tan 1 x π kπ π 1 x π故 ÷ ，令 - < kπ,k Z
5π 2π
，则 2kπ - < x 2kπ - , k Z，
è 2 3 2 2 3 3 3
f x 2kπ 5π即 的单调递减区间为 - , 2kπ
2π
- ù
è 3 3 ú
k Z ，
故选：B
考点四、求三角函数的解析式及函数值
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 y f x 的图象关于直线 x 2对称，且 f x 的一个周期为 4，则 f x
的解析式可以是（ ）
A． sin
p
x ÷ B． cos
p x
2 2 ÷è è
C． sin
p x cos p D．4 ÷
x ÷
è è 4
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在 x 2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
T 2p 2p p 4 T 4A 选项中 ，B 选项中 p ，
2 2
T 2p p 8 T
2p
p 8C 选项中 ，D 选项中 ，
4 4
排除选项 CD，
sin p 2 对于 A 选项，当 x 2时，函数值 ÷ 0，故 2,0 是函数的一个对称中心，排除选项 A，
è 2
p
对于 B 选项，当 x 2时，函数值cos 22 ÷
-1，故 x 2是函数的一条对称轴，
è
故选：B.
2．（2024·北京·高考真题）设函数 f x sin x > 0 .已知 f x1 -1， f x2 1，且 x1 - x2 的最小值为
π
，则 （ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：x1为 f x 的最小值点，x2为 f x 的最大值点，
x x T π则 1 - 2 min ，即T π ，2 2
2π
且 > 0，所以 2 .
T
故选：B.
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 f x 2cos( x )的部分图像如图所示，则满足条件

f (x) - f
7p - f (x) - f 4p 4 ÷÷ ÷è è 3 ÷
> 0的最小正整数 x 为 ．
è è
【答案】2
【分析】先根据图象求出函数 f (x)
7p 4p
的解析式，再求出 f (- ), f ( )的值，然后求解三角不等式可得最小正
4 3
整数或验证数值可得.
3 T 13p p 3p 2p【详解】由图可知 - ，即T p ，所以 2；
4 12 3 4
p p p
由五点法可得 2 ，即 - ；
3 2 6
所以 f (x) 2cos
2x p- 6 ÷
.
è
f ( 7p- ) 2cos 11p 4p因为 -

÷ 1， f ( ) 2cos
5p 0 ；
4 è 3 3 è 2 ÷
所以由 ( f (x) - f (
7p
- ))( f (x) 4p- f ( )) > 0可得 f (x) >1或 f (x) < 0；
4 3
p p p
因为 f 1 2cos 2 - ÷ < 2cos - ÷ 1，所以，
è 6 è 2 6
p
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 f (x) < 0，即 cos 2x - ÷ < 0，
è 6
k p x k 5p解得 p < < p ,k Z ，令 k 0 p 5p，可得 < x < ，
3 6 3 6
可得 x 的最小正整数为 2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 f (x) < 0，又 f (2) 2cos 4
p
- ÷ < 0，符合题意，可得 x 的最
è 6
小正整数为 2.
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解 ，根据特殊点求解 .
4．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x sin x 1，如图 A，B 是直线 y 与曲线 y f x 的两个交
2
π
点，若 AB ，则 f π ．
6
3
【答案】 -
2
1
【分析】设 A x1, ÷ , B x2 ,
1 π 1 2π
÷ ，依题可得， x2 - x1 ，结合 sin x 的解可得， xè 2 è 2 6 2 2
- x1 ，从而得3
f 2到 的值，再根据 π

÷ 0
2
以及 f 0 < 0，即可得 f (x) sin
3
4x - π ÷，进而求得 f π ．
è è 3
A x , 1 , B 1 π π【详解】设 1 ÷ x2 , ÷ ，由 AB 可得 x2 - x ，è 2 è 2 6 1 6
由 sin x
1 x π 可知， 2kπ
5π
或 x 2kπ， k Z，由图可知，
2 6 6
x x 5 π π 2π 2π2 - 1 - ，即 x2 - x1 ，\ 4 ．6 6 3 3
f 2 因为 π ÷ sin
8π ÷ 0
8π
，所以 kπ，即
8
- π kπ ， k Z．
è 3 è 3 3 3
8
所以 f (x) sin 4x - π kπ

÷ sin

4x
2
- π kπ
3 3 ÷
，
è è
f x 2 2所以 sin 4x - π

÷或 f x -sin

4x - π

，
è 3 ÷ è 3
又因为 f 0 < 0，所以 f (x) sin 2 4x - π

÷，\ f π sin
2 3
4π - π ÷ - ．è 3 è 3 2
3
故答案为： - ．
2
【点睛】本题主要考查根据图象求出 以及函数 f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，
以及特殊角的三角函数值是解题关键．

5．（2022·全国·高考真题）记函数 f (x) sin x
p
÷ b( > 0)
2p
的最小正周期为 T．若 < T < p ，且 y f (x)
è 4 3
3p , 2 p 的图象关于点 ÷中心对称，则 f 2 ÷ （2 ）è è
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
2p 2p 2p
【详解】由函数的最小正周期 T 满足 < T < p ，得 < < p ，解得 2 < < 3，
3 3
3p 3p p
又因为函数图象关于点 , 2÷对称，所以 kp , k Z ，且b 2 ，
è 2 2 4
1 2
5
所以 - k, k Z
5
，所以 ， f (x) sin x
p
÷ 2，6 3 2 è 2 4
所以 f
p 5 p
÷ sin

p
2 1.
è 2 è 4 4 ÷
故选：A
f x sin x , > 0 π , 2π x π 2π6．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 x
è 6 3 ÷
单调递增，直线 和
6 3
为函数 y f x 5π 的图像的两条相邻对称轴，则 f - ÷ （ ）
è 12
1
A 3 1． - B．- C． 2 D
3
．
2 2 2
【答案】D
5π
【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 x - 即可得到答案.
12
【详解】因为 f (x) sin( x )
π 在区间 ,
2π
è 6 3 ÷
单调递增，

T 2π π π 2π
所以 - ，且 > 0，则T π ， 2，
2 3 6 2 T
当 x
π
时， f x π π取得最小值，则 2 × 2kπ - ， k Z，
6 6 2
则
5π
2kπ - ， k Z

，不妨取 k 0，则 f x sin 2x
5π
-
6 6 ÷
，
è
5π 5π 3
则 f - ÷ sin

-

÷ ，
è 12 è 3 2
故选：D.
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x Asin x (A > 0, > 0, < π) 的部分图像如图所示，则
f π f 7π ÷ -

÷ （ ）
è 4 è 6
A 2 3 B 2 C 0 D 6． ． ． ．
2 2 2
【答案】B
【分析】结合函数图像可求得函数的解析式，然后代入计算可得到结果.
T 7π π π
【详解】由图可得 A 2 ， - ，T
2π
π，所以 2 ，4 12 3 4
π
所以 f x 2sin 2x ，因为 ,03 ÷在函数的图像上，è
f π 2sin 2 π 0 2π可得 ÷ ÷ ，解得 π 2kπ k Z ，
è 3 è 3 3
因为 < π
π
，所以 ， f x 2sin 2x
π
，
3 ֏ 3
f π f 7π- 2sin 2 π π 2sin -2 7π π 所以 4 ÷ 6 ÷ 4 3 ÷ 6 3 ÷è è è è
1
2 2sin 2-2π .
2 2
故选：B.
2．（2024·重庆·三模）已知函数 f (x) Asin( x )

A > 0, 0,
p
> - < p< ÷的部分图像如图所示，若
è 2 2
f (q ) 1
5p
f ，则 2q

3 è 3 ÷
（ ）

2 7 7
A．-
2
B． C9 ．- D．9 9 9
【答案】D
1 π
【分析】先由图像以及题意求出 f (x) 的解析式，从而得 f q sin q

，
è 2 3 ÷
f 2q
5π é 1 π π ù
÷ sin ê2

q

÷ ú ，进而依据它们的角的关系结合三角恒等变换公式即可求解.è 3 è 2 3 2
3 π π π
【详解】由图可知 A 1, f 0 sin ，由- < < 可知 ，
2 2 2 3
故 f (x) sin( x
p
) 4p p，又由图 sin( ) 0 ，
3 3 3
4p p
故由图 2kp p,k Z
3 k 1， , k Z ①，
3 3 2 2
4π 0 T T 2π 8π 3由图 - < ， > < ②，
3 2 3 4
1
又 > 0，结合①②可得 ，故 f (x) sin(
1 x p )，
2 2 3
所以 f q sin 1 q π 1 ÷ .
è 2 3 3
f 2q 5π sin é2 1 q π π ù cos é2 1 q π ù 1 2sin2 1 π 1 2 7故 ÷ ê ÷ ú ê ÷ú - q - .è 3 è 2 3
÷
2 è 2 3 è 2 3 9 9
故选：D.
π π f x Asin x A 0, 0, π 3．（2024·全国·模拟预测）已知直线 x , x 是函数 > > < ÷图象的两条12 3 è 2
f π 相邻的对称轴，且 ÷ - f
π
÷ -4，则 f （3 12 ）è è
A．- 3 B． 3 C． -1 D．1
【答案】D
【分析】借助正弦型函数的性质可分别计算出 、A 、 ，得到函数解析式，再代入 的值即可得解.
1 T π π π π 2π 2π π【详解】由题意可知 - ，所以T ．由T ，得 ，所以ω = 4，
2 3 12 4 2 2
f π π 因为 - f -4，
è 3 ÷ ÷ è12
π π
且直线 x , x 是函数 f x 图象的两条相邻的对称轴，
12 3
A f π 所以 ÷ 2，所以 f x 2sin 4x ，
è12
f π 由 ÷ 2sin
4 π ÷ 2 4
π
，得
π
2kπ,k Z，
è12 è 12 12 2
π
所以 2kπ,k Z，又
π π< ，所以 ，
6 2 6

所以 f x 2sin 4x
π
÷，则 f
π
f ÷ 2sin

4
π π
2sin 5π 1．
è 6 ÷ è 6 è 6 6 6
故选：D．
π
4．（2024·安徽·三模）已知函数 f x 2sin x > 0, < ÷的部分图象如下图所示，若曲线 y f x
è 2
3π
过点 A - , -2÷，B 0, 2 ，C x1, f x1 ，D x2 , f x2 ，且 f x1 - f x 12 - ，则 cos 2x1 - 2x2 è 8 2
（ ）
7
A B -
7
C 3 7． ． ． D 3 7． -
8 8 8 8
【答案】A
【分析】利用五点法作图，结合函数 f x 的图象得 f x 2sin 2x
π
3π÷ 、 < 2x
π
1 < 2π 和è 4 2 4
2π < 2x π 5π2 < ，再利用两角差的余弦公式，计算得结论.4 2
2 π π
【详解】解：因为B 0, 2 ，所以 sin ，而 < 2 ，因此 2 4 ，
即 f x π 2sin x ÷
è 4
A 3π- , -2 3π π π因为 ÷，所以由“五点法”作图得：- - 2kπ,k Z ，解得 2
16
- k, k Z，
è 8 8 4 2 3
0 3π- - 1 T π< 0 8由于 ÷ ,解得 < < ，故取 k 0，则 2，
è 8 2 3
因此 f x 2sin 2x
π

4 ÷
.
è
因为 f π 1 π 1x1 - f x
1
- sin 2x - sin 2x 2 ，所以 1 ÷ ， 2 ÷ .2 è 4 4 è 4 4
3π π
因为由函数 f x 的图象，结合“五点法”作图知： < 2x1 < 2π 2π 2x
π 5π
， < 2 < ，2 4 4 2
sin 2x π 1 sin 2x π 1
2
所以由 1 ÷ -

和
4 4 2

4 ÷
得：
4 cos 2x
π 1 15
1 ÷ 1- -

÷ ，è è è 4 è 4 4
2
cos 2x
π
2 ÷ 1
1
-
15
4 ÷
，
è è 4 4
因此 cos 2x1 - 2x cos
é π
2x π ù2 ê 1 ÷ - 2x2 ÷
è 4 è 4
ú

cos 2x π cos 2x π sin 2x π sin 2x π 15 15 1 1 7 1 ÷ 2 ÷ 1 ÷ 2 ÷ - .
è 4 è 4 è 4 è 4 4 4 4 4 8
故选：A
5．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C 是直线 y m与函数 f (x) 2sin( x ) （ > 0，0 < < π ）的图
π
象的三个交点，如图所示．其中，点 A(0, 2)，B，C 两点的横坐标分别为 x1, x2 ，若 x2 - x1 ，则（ ）4
A．
π
B． f (
π) - 2
4 2
C． f (x) 的图象关于 (π,0) 中心对称 D． f (x) 在[0,
π]上单调递减
2
【答案】B
f (x) 2sin( x 3π) π π【分析】根据给定条件，可得 ，进而求得 x2 - x1 ，结合 x2 - x1 ，得到 2，4 2 4
再逐项分析判断即可.
3π
【详解】由 f (0) 2sin 2 sin 2，得 ，而0 < < π ，且点 A 在 f (x) 图象的下降部分，则 ，
2 4
于是 f (x) 2sin( x
3π
)，显然 A, B,C 是直线 y 2 与 f x 的图象的三个连续的交点，
4
由A 点横坐标 xA 0 x
3π 3π x 3π 9π 3π 11π，即 A ，解得 1 ， x ，4 4 4 4 2 4 4
x 3π x 2π x x π x x π f (x) 2sin(2x 3π解得 1 ， 2 ，则 2 - 1 ，而 2 - 1 ，因此 2，所以 )，2 2 4 4
3π对于 A， ，A 错误；
4
f (π对于 B， ) 2sin(π
3π
) -2sin 3π - 2 ，B 正确；
2 4 4
3π
对于 C， f (π) 2sin(2π ) 2sin
3π
2 0， f (x) 的图象关于 (π,0) 不对称，C 错误；
4 4
x [0, π] 3π 3π 7π 3π 3π 3π对于 D，当 时， 2x ，当 2x ，即 x 时，函数 f (x) 取得最小值，
2 4 4 4 4 2 8
3π
又 (0,
π) π，因此 f (x) 在[0, ]上不单调，D 错误.
8 2 2
故选：B
【点睛】思路点睛：给定 f (x) Asin( x＋ )(A > 0, > 0)的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最
高（低）点定 A，求出周期定 ，由图象上特殊点求 .
考点五、由三角函数的图象求参数值
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数 f (x) cos( x )

> 0,0
π
< < ÷的部分图象如图所示，若"x R ，
è 2
f x m - f x ，则正整数m 的取值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先求出函数的周期T 6，再据此得到m 3l, l N* ，最后比对选项即可.
【详解】方法一：因为 f 0 cos 1 ,0 π < < ，
2 2
π
所以 ，
3
f 1 cos π 0 π π ÷ ÷ ，所以 2kπ,k Z
π
，即 4kπ，
è 2 è 2 3 2 3 2 3
而 > 0，所以 k 是非负整数，
1 T π
又由图象可得 - 0 ，所以 π，
2 4 2
综上，只能 k 0,
π
，
3
T 2π
所以 f x 的最小正周期为 π 6，
3
而由 f x m - f x ，可知 f x - f x m f x 2m ，即正整数 2m 是 f x 的周期，
所以 2m 6l, l N* ，即m 3l, l N* ，对比选项可知只有 C 选项符合题意.
π 1 1 π
方法二：设函数的最小正周期为T ，由于 sin ，故据图象可知 ，从而T 6 .
6 2 2 6T 2π
从而由 f x m - f x 表明m 2k 1 T 3 6k k Z ，比对选项知 C 正确，A，B，D 错误.
2
故选：C.
π
2．已知函数 f x Asin x A > 0, > 0,0 < < ÷的部分图象如图所示，其中一个最高点的坐标为
è 2
π ,1 5π ÷，与 x 轴的一个交点的坐标为 ,0÷．设M，N 为直线 y t 与 f x
π
12 的图象的两个相邻交点，且
MN ，
è 6 è 3
则 t 的值为（ ）
1 1
A ± B - C 1 D 3． ． ． ．±
2 2 2 2
【答案】A
【分析】先确定 2， A 1，然后根据线段MN 的长度确定它们与中间对称轴之间的距离，再由此推出它
们的函数值.
5π π 2π
【详解】由图可知， f x 的最小正周期T 4 - ÷ π，所以 π ，即 2 .
è 12 6
π
而 ,1÷是 f x 图象的最高点，所以 A 1，从而 f x sin 2x .
è 6
MN π π T由于 < ，故M , N 的横坐标一定位于 f x 的相邻两个零点之间.
3 2 2
而 MN
π π
，故M , N 到它们之间的对称轴的距离都是 ，而对称轴的横坐标u 一定满足
3 6
2u π kπ k Z ，所以
2
k
t π sin 2 u sin 2u π π π k 5π -1 1 6 ÷ ÷ ÷ sin kπ ÷ -1 ·sin ±
.
è è è 3 è 2 3 6 2 2
故选：A.
3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，直线 y -1与函数 f x A0 sin 2x

A
π
0 > 0, < ÷ 的图象的三个
è 2
相邻的交点分别为 A，B，C，其横坐标分别为 xA， xB ， xC ，且 xC - xB 2(xB - xA ) xA ，则 的值为（ ）
π π π π
A． - B． C6 ．- D．6 3 3
【答案】A
13π π
【分析】根据正弦型函数的对称性可得 - 2kπ,k Z，故可求 .
6 6
【详解】因为 xC - xB 2(xB - xA ) x x
3 5
A ，故 B xA , xC xA ，2 2
5
故 AB 中点的横坐标为 xA ，BC 中点的横坐标为 2xA ，4
5 x π π故
4 A
2 - 2kπ, k Z，且 2xA 2 2kπ ，2 2
13π故 - 2kπ,k
π
Z π，而 < 2 ，故 - ，6 6
故选：A
π
1．（2024·山西长治·一模）已知函数 f (x) Asin( x )(A > 0, > 0,| |< ) 的部分图象如图所示，若方程
2
f (x) m π在[- ,0]上有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
2
A．[-2, - 3] B． (-2, - 3] C． (-2, -1] D．[-2,-1]
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数 f (x)
π
的解析式，再分析 f (x) 在[- ,0]上的图象性
2
质即可得解.
【详解】观察图象知， A 2，函数 f (x) 的周期T
4 π 2π 2π
[ - (- )] π， 2，
3 12 3 T
由 f (
π ) π π 2，得 2 2kπ,k Z
π
，而 | |
π
<
2 ，则 ，12 12 2 3
π x [ π ,0] 2x π [ 2π π于是 f (x) 2sin(2x ) - - , ]3 ，当 时， ，2 3 3 3
2x π当 [
2π π π 5π
- ,- ]，即 x [- ,- ]，函数 f (x) 单调递减，函数值从- 3 减小到-2，
3 3 2 2 12
π π π 5π
当 2x [- , ]，即 x [- ,0]时，函数 f (x) 单调递增，函数值从-2增大到 3，3 2 3 12
f (x) [ π , π 5π显然函数 的 - - ]上的图象关于直线 x - 对称，
2 3 12
方程 f (x) m
π
在[- ,0]上有两个不相等的实数根，即直线 y m与函数 y f (x)
π
在[- ,0]上的图象有两个公
2 2
共点，
所以实数 m 的取值范围是 (-2,- 3] .
故选：B
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x sin x 3cos x ( > 0) 在区间[a,b]上是减函数，且 f a 1，
f b -1，b - a π ，则 （ ）
1 2
A． B． C 1 D 2
3 3
． ．
【答案】A
π π
【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定 a 与 b
3 3
的值，两式相减，即可求出 的值.
【详解】由题知 f x sin x 3cos x 2sin π x

÷，
è 3
因为 f a 1， f b -1，
sin a π 1 π 1所以 ÷ ， sin b ÷ -
è 3 2 è 3 2
又因为 f x 在区间[a,b]上是减函数，
π 5π
所以 a 2kπ k Z π 7π ， b 2kπ k Z
3 6 3 6
π
两式相减，得 b - a ，
3
1
因为b - a π ，所以 .
3
故选：A.
π
3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知 f x Asin x - ÷ B（ A > 0, > 0, B为常数）， f (x)max f x1 3，
è 3
f (x)min f x2 -1，且 x1 - x
π
2 的最小值为 ，若 f x 在区间 a,b 上恰有 8 个零点，则b - a的最小值为2
（ ）
11π 7π 10π
A．3π B． C． D．
3 2 3
【答案】D
ìA 2 2π
【分析】根据题目条件得到方程组，求出 í ， 2B 1 ，得到函数解析式，从而令
f x 0，得到
T
sin 2x
π 1- ÷ - ，画出 y sin z 的图象，要想在区间 a,b 上恰有 8 个零点，且b - a取得最小值，数形结合
è 3 2
得到方程组，求出答案.
ìA B 3 ìA 2
【详解】由题意得 í
-A B
，解得
-1 í B 1
，
设 f x 1 π的最小正周期为T ，故 T 2 2 ，解得T π ，
2π
因为 > 0，所以 2，
T
f x π故 2sin 2x -

3 ÷
1，
è
当 x a,b 时， 2x π- éê2a
π π
- , 2b - ù ，
3 3 3 ú
令 f x π 0 1，得 sin 2x - ÷ - ，
è 3 2
画出 y sin z 的图象，如下：
要想在区间 a,b 上恰有 8 个零点，且b - a取得最小值，
sin 2a π 1 sin 2b π 1故 - ÷ - ， -

÷ - ，
è 3 2 è 3 2
ì2a π 17π - - 2kπ,k Z 3 6 20 10
且 í π 23π ，两式相减得
2 b - a π，b - a π .
2b - 2kπ,k Z 3 3
3 6
10
所以b - a的最小值为 π .
3
故选：D
4．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 f x Asin x (A > 0, > 0, < π) 的部分图象如图所示，将
f x π的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在区间 0, t 上的值域为 é ù
4
- 3,2 ，则 t
的取值范围为（ ）
é5π , 2π ù é π , 5π ù é5π 5π ù é5π ùA． ê B． 12 3 ú ê 4 6 ú
C． , D． , π
ê12 6 ú ê12 ú
【答案】C
【分析】先由图象求出函数 f x ，再由平移变换得函数 g x ，结合整体法求值域，从而求 t 的取值范围.
3 2π π 3π
【详解】设 f x 的最小正周期为T ，由图象可知 A 2, T ，
4 3 12 4
所以T π ，则 2，故 f x 2sin 2x ，
f x 2π又 的图象过点 , 2

÷，所以 2
2π
π 2kπ,k Z，
è 3 3 2
5π 5π
所以 - 2kπ,k Z，又 < π，所以 - ，
6 6
则 f (x) 2sin
2x 5π- ÷，
è 6
g x f (x π) 2sin 2(x π) 5π π则 -

÷ 2sin

4 4 6
2x - ÷ .
è è 3
当 x 0, t 2x π π π时， - é- , 2t - ù
3 ê 3 3 ú
，

2x π π 4π 5π当 - - 或 .即 x 0或 x 时， g x - 3，
3 3 3 6
π π 5π
当 2x - ，即 x 时， g x 2，
3 2 12
所以 t
é5π
的取值范围为 ê ,
5π ù
.
12 6 ú
故选：C.
考点六、三角函数图象与性质的综合应用
1．（2024·河北唐山·一模）已知函数 f x sin x cos x > 0 的最小正周期为 π，则（ ）
A． f x é π π ù 3π 在 ê- , 单调递增 B． ,0 是 f x 的一个对称中心 8 8 ÷ ú è 8
C． f x é π在 ê- ,
π ù
ú的值域为 é 1, 2 ù D． x
π
是 f x 的一条对称轴
6 6 8
【答案】C
【分析】由函数 f x 的最小正周期为 π，求出 2，再代入化简 f x ，画出 f x 的图象，再对选项一一
判断即可得出答案.
【详解】因为函数 f x 的最小正周期为 π，所以 2，
ì
sin 2x cos 2x, x
ékπ, π kπù
ê 2 ú
所以函数 f x sin 2x cos 2x í

-sin 2x cos 2x, x
π
kπ, π kπ
ù
è 2 ú
ì
2 sin
2x π é π ù 4 ÷
, x êkπ, kπú
即 f x
2
è í ，作出函数 f x 的图象，

- 2 sin
π π ù
2x - ÷ , x kπ, π kπ
è 4 è 2 ú
如下图所示：
对于 A，由图可知， f x é π π在 ê- ,
ù
ú 单调有增有减，故 A 错误； 8 8
对于 B，由图象可知， f x 无对称中心，故 B 错误；
é π ù
对于 C，由图象可知， f x 为偶函数，当 x 0,
ê 6 ú
，

2x π π 7π π
é 2 ù
é , ù ，所以 sin 2x ,1 ，
4 ÷ ê ú ê 4 12 ú è 4 2

所以 2 sin 2x
π
÷ é 1, 2 ù ，所以 f x
é π π
在 ê- ,
ù
ú 的值域为 é1, 2 ù ，故 C 正确；è 4 6 6
对于 D，由图象可知， f x 的对称轴为 x kπ ,k Z，故 D 错误.
2
故选：C.
【点睛】关键点睛：由函数 f x 的最小正周期求出 ，再代入化简 f x ，画出 f x 的图象，再由三角函
数的单调性，对称性，值域对选项一一判断即可得出答案.
π
2．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）已知函数 f x sin 2x 1，将 f x 的图象向左平移 个单位长度，
4
得到函数 g x 的图象，若关于 x 的方程 g x a a R é0, 9π ù在 ê ú 上有5个实数根，x1，x2， x3 ， x4， x8 5
x1 < x2 < x3 < x4 < x5 ，则 x1 2 x2 x3 x4 x5 （ ）
9π
A． B．6π
7π
C． D．5π
2 2
【答案】D
【分析】首先根据函数的平移规则得到 g x 的解析式，画出函数图象，结合 g x 的对称性计算可得.
【详解】因为函数 f x sin 2x 1，将 f x π的图象向左平移 个单位长度得到
4
g x sin 2 x π

÷ 1 cos 2x 1，
è 4
kπ π kπ
函数 y cos 2x的对称轴为 x ,k Z，对称中心为 ,0÷ ,k Z，且 y cos 2x为偶函数，2 è 4 2
又函数 y cos 2x 的图象是由 y cos 2x的图象将 x 轴下方的部分关于 x 轴对称上去， x 轴及 x 轴上方部分
保持不变而得到，
所以 y cos 2x
kπ
的对称轴为 x ,k Z，
4
又 g x cos 2x 1的图象是将 y cos 2x 的图象向上平移一个单位得到，
所以 g x 的图象如下所示：
因为关于 x 的方程 g x a a R é在 ê0,
9π ù
ú 上有5个实数根， 8
y a y g x x é0, 9π ù即 与 在 ê ú 上有5个交点， 8
g 9π cos 2x 1 2又 ÷ 1 g 0 2 2， ，所以 1< a < 2，
è 8 2 2
令 y a 与 y g x 交点的横坐标从小到大依次为 x1 , x2 , x3 , x4 , x5，
π π 3π
则 x1, x2 关于 x 4 对称，
x2 , x3 关于 x 2 对称，
x3 , x4 关于 x 对称， x4 , x5 关于 x π 对称，4
x x π , x x π, x x 3π所以 1 2 2 3 3 4 , x4 x5 2π ，2 2
所以 x1 2 x2 x3 x4 x5
x1 x2 x2 x x
π 3π
3 3 x4 x4 x5 π 2π 5π .2 2
故选：D
【点睛】方法点睛：函数零点问题，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代
数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数
函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点
之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.
π
3．（2024·天津红桥·一模）将函数 f (x) 的图象横坐标伸长为原来的 2 倍，再向左平移 单位，得到函数
3
g(x) sin(2x ) 0 π < <

÷的部分图象（如图所示）．对于"x1， x2 [a,b]，且 x1 x2 ，若 g x1 g x ，
è 2 2
3
都有 g x1 x2 成立，则下列结论中不正确的是（ ）2
A． g(x)
π
sin 2x 3 ֏
B． f (x) sin
4x π- 3 ÷è
g(x) éπ, 3π ùC． 在 ê ú上单调递增 2
é 4π ù
D．函数 f (x) 在 ê0, ú的零点为 x1, x2 ,L, x
85π
n ，则 x 2x 2x
3 1 2 3
L 2xn-1 xn 12
【答案】C
x x 3
【分析】由题意可得函数 g x 的图象在区间 a,b 上的对称轴为 x 1 2 ，再结合
2 g x1 x2 可求出2
，即可判断 A；再根据平移变换和周期变换得原则即可判断 B，再根据正弦函数的图象和性质分别判断 CD
即可.
【详解】对于 A，由题意可知函数 g x 的图象在区间 a,b x x1 x上的对称轴为 2 ，
2
x x
则 x 0与 x x x 关于 x 1 21 2 对称，2
g x x 3 3又 1 2 ，结合图象可得 g 0 g x1 x ，2 2 2
π π
所以 sin 3 ，又 0 < <
2 2
，所以 ，
3
所以 g x sin π 2x

÷，故 A 正确；
è 3
对于 B， g x sin 2x π π ÷右移 个单位得到函数 y sin 2x
π
-
3 ÷的图象，è 3 3 è
1 π
再将其横坐标缩短为原来的 得到 f x sin2 4x - ÷的图象，故 B 正确；è 3
é
对于 C，由 x êπ,
3π ù 2x π é7π ,10π ù，得
2 ú 3 ê ú
，
3 3
é 3π ù
所以 g(x)在 êπ, 2 ú
上不单调，故 C 错误；

π π
对于 D，令 t 4x - ，则 t
é ù
3 ê
- ,5π ，
3 ú
π
函数 y sin t
é- ,5πù在 ê ú上有6个零点 t1, t2 , t3 , t4 , t5 , t6 t1 < t2 < t3 < t4 < t3 5 < t6 ，
则 t1 t2 π ， t2 t3 3π ， t3 t4 5π， t4 t5 7π ， t5 t6 9π，
故 t1 2t2 2t3 2t4 2t5 t6 4 x1 2x2 2x3 2x4 2x5 x
π
6 -10 25π ，3
所以 x1 2x2 2x
85
3 L 2xn-1 xn π ，故 D 正确；12
故选：C．
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为 y A sin x +B > 0 或 y A cos x +B > 0 的形式；
（2）将 x 看成一个整体；
（3）借助正弦函数 y sin x 或余弦函数 y cos x的图象和性质（如定义域、值域、最值、周期性、对称性、
单调性等）解决相关问题.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x cosx 1- ，现给出下列四个结论：
cosx
① f x π 的图象关于点 ,0÷对称；
è 2
②函数 h x f x 的最小正周期为 2π；
③函数 g x 2 f x f x 0, π 在 2 ÷上单调递减；è
④对于函数 g x 2 f x f x , x π" 0,

÷ ,3 g x g x π ．
è 2
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】利用中心对称的性质验证判断 A；求出周期判断 B；探讨函数单调性判断 C；计算判断 D.
【详解】对于①，由 cos x 0得 f x ì的定义域为 íx | x π kπ,k Z ü ，
2
f (π - x) f (x) cos(π x) 1 1- - cos x - 0
cos(π - x) cos x ，
因此 f (x)
π
的图象关于点 ( ,0)2 对称，故
①正确；
对于②，因为 h π x f π x cos π x 1 1- cos x - h x
cos ，π x cos x
所以 π是 h x 的周期，故②错误；
x π 1对于③，当 0, ÷ 时， cos x 0,1 ，所以 cosx - < 0 ，
è 2 cosx
故 g x 2 f x f x 2 cosx 1- cosx 1 1 ÷ - -

÷ cosx - ，
è cosx è cosx cosx
t cos x 0, π 1因为 在 ÷上单调递减， y t - 在 0,12 上单调递增，è t

所以，由复合函数性质可知，函数 g x 在 0, π 2 ÷上单调递减，③正确；è

对于④，由上知，当 x 0,
π
时，3 | g(x) | 3(
1
- cos x)，
è 2 ÷ cos x
g(x π) 2[cos(x π) 1- ] | cos(x π) 1 - |
cos(x π) cos(x π)
2( cos x 1 ) 1 1 - - cos x 3( - cos x)，
cos x cos x cos x
因此3 | g(x) | g(x π) ，故④正确.
故选：C.
【点睛】结论点睛：函数 y f (x) 的定义域为 D，"x D，
①存在常数 a，b 使得 f (x) f (2a - x) 2b f (a x) f (a - x) 2b ，则函数 y f (x) 图象关于点 (a , b ) 对
称.
②存在常数 a 使得 f (x) f (2a - x) f (a x) f (a - x)，则函数 y f (x) 图象关于直线 x a对称.
π π
5．（2024·广西贵港·模拟预测）（多选）设函数 f (x) 的定义域为 R， f (x - ) 为奇函数， f (x )4 为偶函数，4
当 x (
π
- , π]时， f (x) cos
4 x ，则（ ）
4 4 3
A． f (x 4π) f (x) B． f (x)
3π
的图象关于直线 x 对称
4
3π
C． f (x) 在区间 ( , 2π)上为增函数 D．方程 f (x) - lg x 0 仅有 4 个实数解
2
【答案】ACD
【分析】根据给出的函数的性质，做出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性.
f (x π【详解】因为 - ) 为奇函数，所以 f (x) 的图象关于点 (
π
- ,0)中心对称，
4 4
π π
因为 f (x )4 为偶函数，所以
f (x) 的图象关于直线 x 4 对称．
π
可画出 y f (x) 的部分图象大致如下（图中 x 轴上相邻刻度间距离均为 ）：
4
对于 A，由图可知 f (x) 的最小正周期为 2π，所以 f (x 4π) f (x)，故 A 正确．
3π
对于 B， f (x) 的图象关于点 ( ,0)4 中心对称，故 B 错误．
3π
对于 C，由图可知 f (x) 在区间 ( , 2π)上单调递增，故 C 正确．
2
lg 3π lg 5 1 lg 7π lg5 1 lg 5π对于 D， < < ， > > ， <1， lg 4π > lg10 1，
4 2 2 4 2 2
由图可知，曲线 y lg x 与 y f (x) 的图象有 4 个交点，所以方程 f (x) - lg x 0 仅有 4 个实数解，故 D 正
确．
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：
（1）若 f x a 为偶函数，则函数 f x 为轴对称图形，对称轴为 x a .
（2）若 f x b 为奇函数，则函数 f x 为中心对称图形，对称中心为 b,0 .
（3）若 f x 的图象有两条对称轴 x a， x b （ a b ），则 f x 为周期函数，周期为T 2 a - b .
（4）若 f x 的图象有两个对称中心 a,0 ， b,0 （ a b ），则 f x 为周期函数，周期为T 2 a - b .
（5）若 f x 的图象关于 x a成轴对称，同时关于 b,0 成中心对称，则 f x 为周期函数，周期为
T 4 a - b .
1．（2024·山东滨州·二模）已知函数 f (x) sin
x π 6 ÷
( > 0) 在 0,2π π上有且仅有 4 个零点，直线 x 为函
è 6
数 y f (x)
π
图象的一条对称轴，则 f ÷ 3 （ ）è
A 3
1 1 3
． - B．- C． D．
2 2 2 2
【答案】C
23 29 π
【分析】以 x
π

6 为整体，根据题意结合零点可得
< ，结合对称性可得 2，进而可求 f .
12 12 è 3 ÷
【详解】因为 > 0，且 x 0,2π π é π π ù，则 x ê , 2π 6 6 6 ú ，
由题意可得： 4π 2π
π 23 29
< 5π ，解得 < ，
6 12 12
又因为直线 x
π
为函数 y f (x) 图象的一条对称轴，
6
π π π则 kπ ,k Z，解得 6k 2,k Z ，
6 6 2
可知 k 0, 2 ，即 f (x)
π
sin 2x

6 ÷
，
è
f π sin 2π π sin π π π 1所以 ÷ ÷ -
sin .
è 3 è 3 6 ÷ è 6 6 2
故选：C.
x π
π é π π ù
【点睛】关键点点睛：以 6 为整体，可得
x ê , 2π ú ，结合正弦函数零点分析可知右端点6 6 6
2π π 的取值范围，进而可得 的取值范围.
6
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 f x sin x ( > 0)满足：对"x R ，有
f 0 f x f π é π π ù 2 ÷ ，若存在唯一的
值，使得 y f x 在区间
è ê
- m, mú (m > 0)上单调递减，则实数 m 4 4
的取值范围是（ ）
0, π ù π , π ù π π ù π π ùA． 12ú B． ú C．
, ú D． ,è è 28 12 è 20 12 è 28 20 ú
【答案】B
π π
【分析】由对"x R ，有 f 0 f x f ÷ ，可得 2k1π - k1 Z ， 4k2 2 k2 Z ，结合 y f x è 2 2
é π π ù
在区间 ê - m, mú (m > 0)上单调递减，可得 6 8k k Z ，又 > 0，可得 6是其唯一解，则有 4 4
<14，再结合正弦函数的性质即可得解.
【详解】由对"x R ，有 f 0 f x f π 2 ÷ ，è
即可得 f 0 sin -1 π，即 2k1π - k1 Z ，2
f x sin 则 x 2k π
π π
1 -
sin ÷ x -

2 ÷
，
è è 2
可得 f
π sin π ÷
π
- ÷ 1，
è 2 è 2 2
π π
即 - 2k2π
π
k2 Z ，即 4k2 2 k2 Z ，2 2 2
f π sin π π - 则 ÷ ÷ sin k4 4 2 2
π 0 ，
è è
由 y
π π
f x é ù在区间 ê - m, mú (m > 0)上单调递减， 4 4
π π故 - π 2kπ k Z ，即 6 8k k Z ，
4 2
由存在唯一的 值，使其成立，故 6，即有 <14，
m 1 2π π 1 2π π
π π
则 × m > × m
, ù， ，即 .
4 6 12 4 14 28 è 28 12 ú
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对存在唯一的 值的理解，结合 4k2 2 k2 Z ， 6 8k k Z ，
且 > 0，可得 6，则需 <14 .
3．（2024·广西·模拟预测）已知函数 h(x) cos2 x
1 1
a sin x - (a )，若 h x 在区间 (0, nπ)(n N*)内恰好有
2 2
2022 个零点，则 n 的取值可以为（ ）
A．2025 B．2024 C．1011 D．1348
【答案】D
【分析】令 sin x t [-1,1] a
1 ,a 1 > -t 2 1，按 分类探讨一元二次 at 0根的情况，再结合正弦函数的
2 2 2
性质求解即得.
2
【详解】依题意， h(x) -sin x a sin x
1 1
(a ) ，
2 2
令 sin x t [-1,1]
1 1 1
，则 g(t) -t 2 at (a )，由 g(t) 0 2，得-t at 0，
2 2 2
D a2 2 > 0 -t 2显然 ，即方程 at
1
0有两个不等的实数根 t1 ， t2 (t1 < t2 ) ，2
a 1 1当 时， t1 - ， t2 1，此时 t sinx 在 (0,2π]上恰有 3 个实根，2 2
而 2022 674 3，因此 nπ 674 2π 1348π，则 n 1348；
a 1当 > 时， g(-1) -1- a
1
< 0， g(1)
1
-1 a > 0，则-1 < t
2 2 2 1
< 0 ， t2 >1，
此时 t sinx 在 (0,2π]上恰有 2 个实根，
而 2022 1011 2，于是 nπ 1011 2π 2022π 或 nπ 1011 2π π 2023π ，
因此 n 2022或 2023，所以 n 的取值可以为 2022 或 2023 或 1348.
故选：D
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法
解决一元二次方程的实根问题.
π 3π
4．（2024·山东烟台·三模）若定义在R 上的函数 f x 满足： f ÷ 0， f ÷ 0，且对任意x1， x4 4 2 R ，è è
π
都有 f x1 x2 f x1 - x2 4 f x1 × f x2 ，则（4 ÷ ）è
A． f 0 0 B． f x 为偶函数
C． π是 f x 的一个周期 D． f x 图象关于 x π 4 对称
【答案】D
【分析】首先得出 f x 的对称中心以及周期，结合剩下的已知 f x1 x2 f x1 - x2 4 f x
π
1 × f

x2 ÷ 来
è 4
构造函数 f x 1 3π - sin
2
x -
4 ÷
，以此排除 ABC，并证明 D 选项.
è
π 3π 3π 3π
【详解】在 f x1 x2 f x1 - x2 4 f x1 × f x2 ÷ 中，令 x1 ，得 f x4 4 4 2 ÷
f - x2 ÷ 0，则
è è è 4
3π
,0

4 ÷是函数
f x 的一个对称中心，
è
在 f x1 x2 f x - x 4 f x
π
× f x π1 2 1 2 ÷ 中，令 x2 ，得 f
π π
4 2
x1 ÷ f x2 - ÷ 0，所以
è è 2 è 2
f x - f x - π f x - 2π ， 2π是 f x 的一个周期，
接下来我们构造反例说明 ABC 错误，然后证明 D 正确：
3π
首先对于 ABC 而言，由以上分析不妨设 f x a sin x - ÷ , a 0 ，
è 4
而 f x1 x2 f x1 - x2 a sin
x x 3π 1 2 -

÷ a sin
x x 3π
4 1
- 2 - 4 ÷è è
a sin x 3π- cos x a cos x 3π sin x a sin x 3π 3π 1 ÷ 2 1 - ÷ 2 1 -
cos x - a cos ÷ 2 x1 - ÷sin x4 2è è 4 è 4 è 4
2a sin x 3π- 1 4 ÷
cos x2 ，
è
4 f x1 × f
x π 4a2 2 ÷ sin
3π
x1 -

÷sin

x
π 3π 3π
2 -

÷ -4a
2 sin x - cos x ，
è 4 è 4 è 4 4 1 ÷ 2 è 4
若要 f x1 x2 f x1 - x2 4 f x1 × f
π
x2

÷ 恒成立，
è 4
2a sin x 3π- 只需 1 ÷cos x
3π
2 -4a
2 sin x - 1 ÷cos x4 4 2
恒成立，只需 2a -4a2，
è è
a 0 a 1 - f x f x 1 - sin x 3π- 因为 ，所以 ，从而满足题意的 可以是
2 2 4 ÷
，
è
1
但是 f 0 - sin 3π- 2 ÷ 0，故 A 错误；2 è 4 4
f 3π 1 sin 3π 3π 1 3π - ÷ - - -

÷ 0 f

÷，故 B 错误；
è 4 2 è 4 4 2 è 4
2π是函数 f x 的一个最小正周期，故 C 错误；
现在我们来证明 D 是正确的：
π 3π 9 π
对于 D，由以上分析有， f x ÷ - f x - ÷ f

π - x

÷ f

- x

÷ ，这表明 f x x
π
图象关于 4 对称，è 4 è 4 è 4 è 4
故 D 正确.
故选：D.
3π
【点睛】关键点点睛：关键是得出 ,04 ÷是函数
f x 的一个对称中心，且 2π是函数 f x 的一个周期，由
è
此即可顺利得解.
5．（2024·江西吉安·模拟预测）（多选）已知函数 f x sinx sinx - cos2x，则（ ）
A． f x 的图象关于点 π,0 对称
B． f x 的值域为 -1,2
17π 10π
C．若方程 f x 1 - ù在 0, m 上有 6 个不同的实根，则实数m 的取值范围是 ,
4 è 6 3 ú
6
2D．若方程 é f x ù - 2af x a2 1 a R 在 0,2π 上有 6 个不同的实根 xi i 1,2,L,6 ，则 a xi 的取
i 1
值范围是 0,3π
【答案】BC
【分析】根据 f 2π - x - f x 是否成立判断 A，利用分段函数判断 BC，根据正弦函数的单调性画出分段
函数 f x 的图象，求出 a的取值范围，再利用对称性判断 D.
【详解】因为 f x sinx sinx - cos2x，
所以 f 2π - x sin 2π - x sin 2π - x - cos2 2π - x -sin x sin x - cos 2x - f x ，
所以 f x 的图象不关于点 π,0 对称，A 说法错误；
当 sinx 0 时， f x sin2 x - 1- 2sin2 x 3sin2x -1，由 sin x 0,1 可得 f x -1,2 ，
当 sinx < 0 时， f x -sin2 x - 1- 2sin2 x =sin2x -1，由 sin x -1,0 可得 f x -1,0 ，
综上 f x -1,2 ，B 说法正确；
当 sinx 0 时，由 f x 3sin2x 1 1 1- - 解得 sinx ，
4 2
2 1
当 sinx < 0 时，由 f x sin x -1 - 解得
4 sinx
3
- ，
2
1
所以方程 f x - 在 0, π 5π 4π 5π 13π 17π 10π上的前 7 个实根分别为 , , , , , , ，
4 6 6 3 3 6 6 3
17π m 10π所以 < ，C 说法正确；
6 3
2
由 é 2 f x ù - 2af x a 1解得 f x a -1或 f x a 1，
2
ì3sin x -1,sin x 0又因为 f x í ，
sin
2 x -1,sin x < 0
所以根据正弦函数的单调性可得 f x 图象如图所示，
所以 f x a -1有 4 个不同的实根， f x a 1有 2 个不同的实根，
ì-1 < a -1 < 0
所以 í 0 < a < 1
0 < a 1 < 2
，解得 ，
设 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6，则 x1 x4 x2 x3 π, x5 x6 3π，
6 6
所以 xi 5π，所以 a xi 的取值范围是 0,5π ，D 说法错误，
i 1 i 1
故选：BC
一、单选题
π
1．（2024·江苏南通·模拟预测）下列函数中，以 π为周期，且其图象关于点 ,04 ÷对称的是（ ）è
A． y tan x B． y | sin x | C． y 2cos2 x -1 D． y sin x - cos x
【答案】C
【分析】根据正切函数的性质判断 A，根据正弦函数的性质判断 B，利用二倍角公式化简函数解析式，再由
余弦函数的性质判断 C，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦函数的性质判断 D.
【详解】对于 A： y tan x
kπ
的最小正周期为 π，对称中心为 ,0÷ k Z ，故 A 错误；
è 2
对于 B： y sin x 的图象是由 y sin x 将 x 轴下方部分关于 x 轴对称上去， x 轴上方及 x 轴部分不变，
所以 y sin x 的最小正周期为 π，没有对称中心，故 B 错误；
对于 C： y 2cos2 x -1 cos 2x
2π
，则最小正周期T π2 ，
π π π
且当 x 时 y cos 2 4 4 ÷
0 ，所以函数图象关于点 ,04 ÷对称，故
C 正确；
è è
对于 D： y sin x - cos x 2 sin

x
π
- ÷，最小正周期T 2π，故 D 错误.
è 4
故选：C
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f x cos 2 x - 3 sin 2 x 1 > 0 的最小正周期为 π，则 f x
的图象的一个对称中心为（ ）
π
A ． - ,0
π
÷ B． ,0
π
÷ C． - ,1
π
D
12 ÷ ．12 12
,1÷
è è è è12
【答案】D
f x 2cos 2 x π 【分析】利用辅助角公式得到 ÷ 1，根据余弦函数的周期得到 1，再求出其对称中
è 3
心的通式，最后对每个选项验证即可.
【详解】由题意得 f x 2cos 2 x π 2π ÷ 1，由题可知 π ，所以 1 .
è 3 2
π π
令 2x kp k Z x kπ π ，得 k Z ，
3 2 2 12
所以 f x kπ π 的图象的对称中心为 ,1÷ k Z
π
，所以点 ,1÷符合.
è 2 12 è12
故选：D.
3．（2024· 2天津北辰·三模）已知函数 f x 3 sin 2x cos 2x cos 2x ，则下列结论不正确的是（ ）
A． f x π的最小正周期为
2
B． f x 5π 1 的图象关于点 , ÷对称
è 24 2
f x t t π kπC．若 是偶函数，则 ， k Z
12 4
D． f x é π ù在区间 ê0, 上的值域为 0,1 4 ú
【答案】D
【分析】A 项，化简函数求出 ，即可得出周期；B 项，计算出函数为 0 时自变量的取值范围，即可得出函
t x é π ù π数的对称点，即可得出结论；C 项，利用偶函数即可求出 的取值范围；D 项，计算出 ê0, 4 ú
时 4x 的
6
范围，即可得出值域.
【详解】由题意，
在 f x 3 sin 2x cos 2x cos2 2x 中，
f x 3 sin 4x 1 cos 4x 1 sin 4x π 1
2 2 2 6 ÷
，
è 2
A 项， 4,T
2π π
，A 正确；
2
4x π kπ πB 项，令 kπ , 得 x - ,
6 4 24
5π
当 k 1时, x ,
24
所以 f x 5π 1 的图象关于点 , ÷ 对称,故 B 正确;
è 24 2
C 项， f (x t) sin

4x 4t
π 1 ÷ 是偶函数，
è 6 2
4t π π∴ kπ , k Z，
6 2
t π kπ解得： , k Z , 故 C 正确；
12 4
x π é0, ù π é π 7π ùD 项, 当 ê ú 时, 4x , , 4 6 ê 6 6 ú
所以 sin
π é 1 ù
4x 6 ÷
ê- ,1ú , è 2
所以 f x é在区间 ê0,
π ù é
ú 上的值域为 ê0,
3ù
，故 D 错误.
4 2ú
故选：D.
π π
4．（2024·福建泉州·一模）已知函数 f (x) 的周期为 π，且在区间 ,6 3 ÷内单调递增，则
f (x) 可能是（ ）
è
A． f (x) sin
x π- ÷ B． f (x) cos

x
π
- ÷
è 3 è 3
π
C． f (x) sin 2x - ÷ D． f (x) cos

2x
π
- ÷
è 3 è 3
【答案】C
【分析】根据函数周期排除 AB，根据函数的单调性判断 CD 即可.
【详解】因为函数 f (x) 的周期为 π，
0 2π 2π所以当 > 时，对正、余弦函数来说， 2 ，故排除 AB，
T π
x π , π π π当

6 3 ÷时，
2x - 0, ，
è 3 ÷è 3
π
因为 y sin x

在 0, ÷上单调递增，故 C 正确，D 错误.
è 3
故选：C
5．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y cosx与 y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 y cosx与 y lg x 都是偶函数，其中 cos 2π cos 4π 1， lg 4π > lg10 1 > lg 2π，
在同一坐标系中，作出函数 y cosx与 y lg x 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为 6.
故选：D
6．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 f (x) Asin( x )

A > 0, > 0,
π
< ÷的部分图象如图所示，下列说
è 2
法正确的是（ ）
A． A 2,
π

6
B．函数 f (x) 的最小正周期为 2π
π π
C．函数 f (x)

在 ,3 2 ÷上单调递减è
D．函数 f (x)
π
的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 y 轴对称
12
【答案】C
【分析】根据图象求出函数 f (x) 的解析式，再对选项中的命题分析判断正误即可．
【详解】由 f x 2得 A 2， f 0 2sin -1max ，
所以 sin
1
- ，又 | |
π
< π，所以 - ，故 A 错误；
2 2 6
x 7π x 7π π
2π
时， - π ，所以 2，T π ，故 B 错误；12 12 6
f x 2sin 2x π- π 6 ÷，令 t 2x - ，则 y 2sin t ，è 6
x π π , π 5π π ÷ 时， t , ÷，此时 t 2x - 单调递增， y 2sin t
è 3 2 6
单调递减，
è 2 6
π π
故 f (x)

在 , ÷上单调递减，故 C 正确；
è 3 2
f (x) π的图象上的所有点向左平移 个单位长度，
12
é π π ù
得到 y 2sin ê2 x ÷ - ú 2sin 2x，图象关于原点对称，故 D 错误.
è 12 6
故选：C.
二、多选题
7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知函数 f x sinx ×cosx，则（ ）
A． f x 是奇函数 B． f x 的最小正周期为 2π
f x 1C． 的最小值为- D． f x é在 ê0,
π ù
2 ú 上单调递增2
【答案】AC
1
【分析】首先化简函数 f x sin 2x ，再根据函数的性质判断各选项.
2
f x sinx cosx 1【详解】 × sin 2x，函数的定义域为R ，
2
f x 1对 A， - - sin 2x - f x ，所以函数 f x 是奇函数，故 A 正确；
2
2π
对 B，函数 f x 的最小正周期为 π，故 B 错误；
2
对 C，函数 f x 1的最小值为- ，故 C 正确；
2
对 D， x
π π π π
éê0,
ù é ù é ù
ú ， 2x 0, π ，函数 f x 不单调， f x 在 ê0, 上单调递增，在 , 上单调递减，故 D 2 4 ú ê 4 2 ú
错误.
故选：AC
π
8．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 f x sin 2x 0 < < π 的图像关于点 ,0÷中心对称，则
è 3
（ ）
A． f x π 5π 在区间 , ÷ 单调递减
è12 12
f x π ,11π B． 在区间 - ÷有两个极值点
è 6 12
5π
C．直线 x 是曲线 y f x 的对称轴
6
D 3．直线 y x 是曲线 y f x 在 x 0处的切线
2
【答案】ABD
π π
【分析】由条件求出 ，即得 f x sin 2x 3 ÷ .对于 A,B 两项，只需将 2x 看成整体角，利用正弦函数è 3
5π
的图象即可判断，对于 C，只需将 x 代入解析式，根据函数值即可检验，对于 D，利用导数的几何意义
6
即可求出切线方程进行判断.
sin(2π【详解】由题意可得， )
2π
0，则 kπ,k Z，因0 < < π
π
，则 ，于是
3 3 3
f x sin 2x
π
÷ .
è 3
对于 A，令 z 2x
π
，由 x (
π , 5π) z ( π , 7π) y sin z (π 7π 可得， ，因 在 , ) 上单调递减，故 f x 在区间
3 12 12 2 6 2 6
π 5π
,12 12 ÷
单调递减，即 A 正确；
è
π π 11π 13π 13π
对于 B，令 z 2x ，由 x (- , )可得， z (0, )，因 y sin z 在 (0, )上有两个极值点，故 B 正
3 6 12 6 6
确；
x 5π π 5π对于 C，当 时， z 2x 2π ，因 sin z sin 2π 0 ，故直线 x 不是曲线 y f x 的对称轴，即
6 3 6
C 错误；
对于 D，由 f x sin 2x
π
÷求导得， f x 2cos(2x
π
) π 3，则 k
3 3 切
f (0) 1，又 f (0) sin ，
è 3 2
故曲线 y f x 3 3在 x 0处的切线方程为 y - x - 0，即 y x ，故 D 正确.
2 2
故选：ABD.
f x cos2x cos 2x 2π 9．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 3 ÷ ,则（ ）è
A．函数 f x 7π 的图象关于点 ,0
è 12 ÷
对称

7π
B．将函数 f x 的图象向左平移 个单位长度后所得到的图象关于 y 轴对称
12
C．函数 f x 在区间 0, π 上有 2 个零点
D．函数 f x é π 5π ù在区间 ê , ú 上单调递增 3 6
【答案】ACD
π
【分析】利用三角恒等变换易得 f x cos 2x ÷，采用代入检验法即可判断 A 项，利用平移变换，求得
è 3
π
函数解析式，易得其为奇函数，，故而排除 B 项，将 2x 看成整体角，求出其范围，利用

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