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第 03 讲 指数与指数函数
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断对数函数的单调性
2024 年新 I 卷，第 6 题,5 分 判断指数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2023 年新 I 卷，第 4 题,5 分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性
用导数判断或证明已知函数的单调性
2022 年新 I 卷，第 7 题,5 分 比较指数幂的大小
比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及
指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为 5-6 分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
1. 指数的基本知识
（1）根式的基本性质
① x 的定义域为 x 0 , 3 x 的定义域为 x R
2 x, x 0② x x ，定义域为 x R
x, x 0
③ x 2 x，定义域为 x 0
④ 3 x3 x ，定义域为 x R
⑤ 3 x 3 x ，定义域为 x R
（2）指数的基本性质
: a0①零指数幂 1(a 0) ;
1
②负整数指数幂: a p p (a 0, p N
*);
a
m
n m *
③正分数指数幂: a n a (a > 0,m、n N ,且n >1) ;
m
1 1
④负分数指数幂: a n *m (a > 0, m、n N ,且n >1)n ama n
（3）指数的基本计算
am
①同底数幂的乘法运算 am an am n ②同底数幂的除法运算 am n
an
③幂的乘方运算 am n amn ④积的乘方运算 ab m ambm
2. 指数函数
（1）指数函数的定义及一般形式
一般地，函数 y a x a > 0且a 1 , x R ，叫做指数函数
（2）指数函数的图象和性质
y a x a >1 0 a 1
图
象
定义域 R
值域 0,
过定点 0,1
当 x > 0 时， y >1； 当 x > 0 时，0 y 1；
性质 x 0 时, 0 y 1 x 0 时, y >1
在 , 上是增函数 在 , 上是减函数
考点一、指数与指数幂的运算
2 3
3
1．（2023· 3全国·模拟预测） ÷÷ （ ）
è 9
1
A B 3． ． C． 3 D．33 3
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质化简计算即可.
2 3
3 3 2 33 3 2 33 4 1【详解】 ÷÷ ．
è 9 3
故选：A．
y x
2．（2024·广东·模拟预测）若 xy 3，则 x y ．
x y
【答案】±2 3
【分析】
分 x > 0, y > 0和 x 0, y 0两种情况分类计算.
【详解】当 x > 0, y > 0 x
y y x时， xy xy 2 3 ，
x y
x 0, y 0 x y当 时， y
x
xy xy 2 3 .
x y
故答案为：±2 3
1
3．（2022·北京·高考真题）已知函数 f (x) 1 ，则对任意实数 x，有（ ） 2x
A． f (-x) + f (x) = 0 B． f ( x) f (x) 0
C． f ( x) f (x) 1
1
D． f ( x) f (x)
3
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
f x f x 1 1 2
x 1
【详解】 x x x x 1，故 A 错误，C 正确；1 2 1 2 1 2 1 2
x x
f x f x 1 1 2 1 2 1 2
1 2 x
x 1 2 1 2x
1 ，不是常数，故 BD 错误；
1 2x 2x 1 2x 1
故选：C．
1．（2024·上海宝山·二模）将 a2 a （其中 a > 0）化为有理数指数幂的形式为 .
5
【答案】 a 4
【分析】直接利用根式与分数指数幂的运算法则化简求解即可
1 5 5
【详解】 a2 a a2 a 2 a 2 a 4
5
故答案为： a 4
2．（2023·山东·模拟预测）若 a 1 a1 4， 则 a 2 a2 的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
【答案】D
【分析】利用完全平方公式结合指数幂的运算性质计算即可.
【详解】解：因为 a 1 a1 4，
所以 a 2 a2 (a 1 a1)2 2 42 2 18 .
故选：D．
1 42
3 1 1．（2023·四川宜宾·一模）计算: 3 2 0.25 2 ÷ 3 lg .
è 2 10
【答案】 2 3
【分析】根据根式、指数幂运算以及对数的定义运算求解.
1
4 2
2
1 1 é ù 2 4【详解】由题意可得： 3 2 0.25 2 ÷ 3
1
lg 3 2 1 ê ÷ ú 2 3 1
è 2 10 ê è 2 ú
2 3 1 4 3 2 3
2 ，
1
3 2 2 0.25 1
4 1
即 2

÷ 3 lg 2 3 .
è 2 10
故答案为： 2 3 .
考点二、指数函数的图象及其应用
1
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数 y 3x 与 y 的图象（ ）
3x
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称 D．关于 y x 对称
【答案】C
【分析】根据函数图象的对称性即可判断，对于两个函数 f (x) 与 g(x)，如果它们的图象关于原点对称，即
g( x) f (x) 在定义域内恒成立，则称 f (x) 与 g(x)为中心对称，利用指数函数的图象的对称性，得出结论.
x 1
【详解】令函数 y f x 3 ,y g x x ，3
所以 g x 1 x 3x f x 3
即 g( x) f (x) ，所以函数 f (x) 与 g(x)的的图象关于原点对称，
1
即函数 y 3x 与 y x 的图象的的图象关于原点对称，3
故选：C.
2．（23-24 高三上·河北衡水·开学考试）已知 a > 0，则函数 f (x) a x 2a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】通过特值法，排除错误选项，通过 a的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.
【详解】由于当 x 1时， f (1) a 2a a 0，排除 B，C，
当 a 2时， f (x) 2x 4，此时函数图象对应的图形可能为 A，
1 1 x
当 a 时， f (x) ( ) 1，此时函数图象对应的的图形可能为 D.
2 2
故选：AD.
3．（2024· x甘肃张掖·模拟预测）函数 f x e x 1 x 1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】令 f x 0 ex，即 x 1 x 1 0 x 1，构造函数 y ex 与函数 y ，画出函数图象，可知两个函
x 1
数图象相交于两点，设为 x1, x2 ，得 f x1 f x1 0，进而得到 x2 x1，即 x1 x2 0
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 f x 0的实数根，令 f x 0，
ex x 1 x 1 0 x 1 ex x 1则 ，显然 ，所以 ，
x 1
x 1 x 1
构造函数 y ex x与函数 y ，则方程 e 的根，
x 1 x 1
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
x
所以此方程有两个实数根，即函数 f x e x 1 x 1有两个零点，
x 1
x , x ex1 1 ex
x 1
2 2设为 1 2 ，所以 x 1， x 1，1 2
即 f x1 ex1 x1 1 x1 1 0, f x2 ex2 x2 1 x2 1 0，
x 1 x 1
另外发现，将 x1代入，可得 f x1 e x1 x1 1

x 1 1 x 1 1 x 1 11 ex1 1 ex 0，1 ex1
所以 x1也是函数 f x 的零点，说明 x2 x1，即 x1 x2 0 .
故选:A.
1．（22-23 高二下·四川绵阳·期末）要得到函数 y 22x 1的图象，只需将指数函数 y 4x 的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C 1．向左平移 2 个单位 D
1
．向右平移 2 个单位
【答案】D
【分析】利用函数图象的平移变换可得出结论.
【详解】因为 y 4x 22x 2
1
， 2x 1 x 2 ÷2 2 è ，
1
所以，为了得到函数 y 22x 1的图象，只需将指数函数 y 4x 的图象向右平移 2 个单位，
故选：D.
2．（23-24 高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数 y x2 ax a 1与 y a x 的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据二次函数的图象与指数函数的图象判断，注意分类讨论．
【详解】当 a > 1时，对应的图象可能为选项 A；当 0 a 1时，对应的图象可能为选项 C.
故选：AC.
|x|
3．（2024· 1 黑龙江·二模）已知函数 y a ÷ b的图象经过原点，且无限接近直线 y 2，但又不与该直线相
è 2
交，则 ab （ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 9
【答案】C
【分析】由题意可得 a b 0且b 2 ，求出 a，即可求解.
1 x 1
【详解】因为函数 y f (x) a( ) b2 图象过原点，所以
a( )0 b 0
2 ，
得 a b 0，又该函数图象无限接近直线 y 2，且不与该直线相交，
所以b 2 ，则 a 2 ，
所以 ab 4 .
故选：C
考点三、指数（型）函数的单调性
1 x x a ．（2023·全国·高考真题）设函数 f x 2 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2,
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数 y 2x 在 R 上单调递增，而函数 f x 2x x a 在区间 0,1 上单调递减，
2 a
则有函数 y x(x a) (x a a )2 在区间 0,1 上单调递减，因此 1，解得 a 2，
2 4 2
所以 a的取值范围是 2, .
故选：D
x
2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 f x 2 x 1 ，则下列说法不正确的是（ ）2 1
A．函数 f x 单调递增 B．函数 f x 值域为 0,2
C．函数 f x 的图象关于 0,1 对称 D．函数 f x 的图象关于 1,1 对称
【答案】C
【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断 A；根据函数形式的变形，根据指数函数
的值域，求解函数的值域，即可判断 B；根据对称性的定义， f 2 x 与 f x 的关系，即可判断 CD.
x x
【详解】 f x 2 2 2 2 2 x 1 2 ，2 1 2x 1 1 2x 1 1
y 2 2函数 ， t 2x 1 1，则 t > 1，
t
又内层函数 t 2x 1
2
1在R 上单调递增，外层函数 y 2 在 1, 上单调递增，
t
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 f x 单调递增，故 A 正确；
x 1 0 2 2因为 2 1 > 1，所以 x 1 2，则0 2 x 1 2，2 1 2 1
所以函数 f x 的值域为 0,2 ，故 B 正确；
2 x
f 2 x 2 4 2 ， f 2 x f x 2
21 x 1 2 2x
，
2x 1 1
所以函数 f x 关于点 1,1 对称，故 C 错误，D 正确.
故选：C.
3．（2024· · x 2 2 x全国 模拟预测）已知函数 f x 3 3 ，则满足 f x f 8 3x > 0的 x 的取值范围是（ ）
A． , 4 B． , 2 C． 2, D． 2,2
【答案】B
【分析】设 g x 3x 3 x ，即可判断 g x 为奇函数，又 f x g x 2 ，可得 f x 图象的对称中心为
2,0 ，则 f x f 4 x 0，再判断 f x 的单调性，不等式 f x f 8 3x > 0，即
f 8 3x > f 4 x ，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】设 g x 3x 3 x ， x R ，则 g x 3 x 3x g x ，所以 g x 为奇函数．
f x 3x 2又 32 x 3x 2 3 x 2 g x 2 ，
则 f x 的图象是由 g x 的图象向右平移 2个单位长度得到的，
所以 f x 图象的对称中心为 2,0 ，所以 f x f 4 x 0．
因为 y 3x 在R 上单调递增， y 3 x 在R 上单调递减，
所以 g x 在R 上单调递增，则 f x 在R 上单调递增，
因为 f x f 8 3x > 0 f x f 4 x ，
所以 f 8 3x > f 4 x ，所以8 3x > 4 x ，解得 x 2，
故满足 f x f 8 3x > 0的 x 的取值范围为 , 2 ．
故选：B
x2 a 5 x 1, x 1
4．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0, a 1，函数 f x x 是R 上的减函数，则 a的取值
1 a , x >1
范围是（ ）
A． 1,3 B． 2,3 C． 2, D． 3,
【答案】B
【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果.
【详解】因为函数 y 1 a x (a > 0,a 1)是减函数，所以 a > 1．
5 a
又因为函数 y x2 (a 5） x 1图像的对称轴是直线 x ，
2
2
所以函数 y x a 5 x 1 5 a 5 a 在 ,

÷上单调递减，在 , 上单调递增．
è 2 è 2 ÷
a >1

f x 5 a又函数 是R 上的减函数，所以 1 ，解得 2 a 3，
2
a 3 1 a
所以 a的取值范围是 2,3 ．
故选:B．
2
1．（2024·江西·模拟预测）函数 f x 3x 2 x 的一个单调递减区间为（ ）
A． ,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,
【答案】C
【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案.
t x2【详解】令 2 x ，则 y 3t ，
由复合函数的单调性可知：
f x 2的单调递减区间为函数 t x 2 x 的单调递减区间，
又函数 t( x) ( x)2 2 x t(x)，
即函数 t(x)为偶函数，
结合图象，如图所示，
2
可知函数 t x 2 x 的单调递减区间为 , 1 和 0,1 ，
即 f x 的单调递减区间为 , 1 和 0,1 ．
故选：C．
2．（2024· · f x 3a 2x福建福州 模拟预测）设函数 在区间 1,2 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． , 4 C． 2, D． 4,
【答案】D
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
y 3x R f x 3a 2x【详解】函数 在 上单调递增，而函数 在区间 1,2 上单调递减，
所以 y 2x a 在区间 1,2 a单调递减，所以 2，解得 a 4．
2
故选：D．
x
3．（2024· 2吉林长春·模拟预测）（多选）已知函数 f x x 1 ，则下列说法正确的是（ ）2 1
A．函数 f x 单调递增
B．函数 f x 值域为 0,2
C．函数 f x 的图象关于 0,1 对称
D．函数 f x 的图象关于 1,1 对称
【答案】ABD
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断 A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解
函数的值域，即可判断 B，根据对称性的定义， f 2 x 与 f x 的关系，即可判断 CD.
x x
【详解】 f x 2 2 2 2 2 x 1 x 1 2 2 1 2 1 2x 1 ， 1
函数 y 2
2
， t 2x 1 1，则 t >1，
t
2
又内层函数 t 2x 1 1在R 上单调递增，外层函数 y 2 在 1, 上单调递增，t
所以根据复合函数单调性的法则可知，函数 f x 单调递增，故 A 正确；
x 1 2 2因为 2 1 > 1，所以0 x 1 2，则0 2 2，所以函数 f x 的值域为 0,2 x 1 ，故 B 正确；2 1 2 1
2 x
f 2 x 2 4 2 f1 x x x 1 ， 2 x f x 2 ，所以函数 f x 关于点 1,1 对称，故 C 错误，D 正2 1 2 2 2 1
确.
故选：ABD
1
x 1 , x 0
4 2024· · f x 2 2．（ 陕西西安 模拟预测）已知函数 ，则不等式 f a 11 > f 3 的解集为（ ） , x 0
x 2
A． 2,2 B． 0,
C． ,0 D． , 2 2,
【答案】A
【分析】判断函数 f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.
1
, x 0
f x 2
x 1 1
【详解】 ，易知 y x ,01 1 在
单调递减，
, x 0 2
x 2
y 1 在 0, 单调递减，且 f x 在 x 0处连续，故 f x 在 R 上单调递减，
x 2
由 f a2 1 > f 3 ，则 a2 1 3，解得 2 a 2 ,
故不等式 f a2 1 > f 3 的解集为 2,2 .
故选：A
考点四、指数（型）函数的值域与最值
x2 2x 1
1．（23-24 高三·阶段练习）已知函数 f x 1 ÷ ，则 f x 的单调递增区间为 ，值域
è 2
为 ．
【答案】 ( ,0] (0, 2]
【分析】根据同增异减法则求出函数的单调区间；通过指数函数的单调性求出函数值域.
【详解】令 x2－2x 0，解得 x 2或 x 0 ，
∴ f x 的定义域为 (- ,0]U[2, )，
令 t x2 2x 1，则其在 ( ,0]上递减，在[2, )上递增，
y 1
t
又 ÷ 为减函数，故 f x 的增区间为 ( ,0]．
è 2
t
∵ 2 ∴ 1 t x 2x 1 1， ÷ 0,2 ，故 f x 的值域为 (0, 2]．
è 2
故答案为： ( ,0]， (0, 2] .
a 2 x 4a 1, x 2
2．（2024·上海松江·二模）已知0 a 2 ，函数 y x 1 ，若该函数存在最小值，则实数
2a , x > 2
a的取值范围是 .
【答案】{a | 0
1
a 或 a 1}
2
【分析】令 g(x) (a 2)x 4a 1， x , 2 ， h(x) 2a x 1， x (2, ) ，分类讨论 a的取值范围，判断
g(x)， h(x) 的单调性，结合 f (x) 存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案．
【详解】由题意，令 g(x) (a 2)x 4a 1， x , 2 ， h(x) 2a x 1， x (2, ) ，
当 0 a 1时， g(x)在 , 2 上单调递减， h(x) 在 (2, ) 上单调递减，则 h(x) 在 (2, ) 上的值域为 (0, 2a) ，
因为 f (x) 存在最小值，故需 g 2 (a 2) 2 4a 1 0 1，解得 a ，
2
1
结合 0 a 1，此时0 a ；
2
当1 a 2 时， g(x)在 , 2 上单调递减， h(x) 在 (2, ) 上单调递增，则 h(x) 在 (2, ) 上的值域为 (2a, )，
3
因为 f (x) 存在最小值，故需 g 2 2a，即 (a 2) 2 4a 1 2a，解得 a ，
4
这与1 a 2 矛盾；
当 a 1时， g(x) x 5在 , 2 上单调递减，且在 , 2 上的值域为 3, ， h(x) 2 ，此时存在最小值
2；
则实数 a {a | 0 a
1
的取值范围为 或 a 1}．
2
故答案为：{a | 0
1
a 或 a 1}．
2
2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x 2ax x 1 的值域为 M ．若 1, M ，则实数 a的取值范围是
（ ）
1 1 1 1 1
A． ,
ù é0, ù ú B． ê ú C． ,
ù é é
è 4 4 è 4ú
ê , ÷ D． ê , 4 4 ÷
【答案】B
【分析】
对实数 a分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果.
x 1
【详解】当 a 0时， f x 2 0, ，符合题意；
2
当 a 0时，因为函数 f x 2ax x 1的值域为M 满足 1, M ，
由指数函数的单调性可知，即二次函数 y ax2 x 1的最小值小于或等于零；
4a 1
a 0 1若 > 时，依题意有 y ax2 x 1的最小值 0，即0 a ，
4a 4
若 a 0时，不符合题意；
综上：0 a
1
，
4
故选：B.
1．（2024·
2
贵州·模拟预测）已知函数 f (x) 2 x 2x 3，则 f (x) 的最大值是 .
【答案】16
【分析】求出 t x2 2x 3的范围，根据复合函数的单调性求解.
x2【详解】由 f x 2 2x 3，而 t x2 2x 3 (x 1)2 4 4，
因为 y 2t 单调递增，所以 y 2t 24 ，则 f (x) 的最大值是 16.
故答案为：16
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数 f (x) 1 lgx(x [
1 ,100])，则函数F (x) 2[ f ( x)]
2 f ( x2 ) 的值域为（ ）10
[1A． ,16] B． 1,8 C． 2,16 D． 1,16
2
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出 f (x) 的值域，再借助二次函数求出[ f (x)]2 f (x2 )的值域，
最后利用指数函数单调性求解即得.
【详解】函数 f (x) 1 lgx 在[
1 ,100]上单调递增， f (x) [0,3]，
10
令 t [ f (x)]2 f (x2 ) [ f (x)]2 1 2lg x [ f (x)]2 2 f (x) 1 [ f (x) 1]2 [0, 4]，
而函数 y 2t 在[0, 4]上单调递增，则1 2t 16 ，
[ f ( x)]2 2所以函数F (x) 2 f ( x ) 的值域为 1,16 .
故选：D
a 1 x 1 , x 1
3．（2024·河北保定·三模）已知 f (x)
4
a >1 的值域为D，D [1 , )，则 aa 的取值范围 x 1, x >1 2
x
是（ ）
3
A．[ , 2] B．[
5 , 5) 3 7C．[ , 2) D．[ , 2]
2 4 3 2 4
【答案】D
【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数 a的取值范围.
【详解】①若1 a 2 ，
5
当 x 1
x 1
时， f x a 1 在 ( ,1]上单调递减，此时 f (x) [a , )，
4 4
a
当 x >1时， f (x) x 1≥2 a 1，当且仅当
x x a >1
时，等号成立，
5 1
a ,
4 2
1
又函数 f (x)
1
的值域 D 满足D [ , )
7
，则 2 a 1 ,解得 a 2 ；2 2 4
1 a 2,

②若 a > 2，
当 x 1时， f x a 1 x 1 1 5 在 ( ,1]上单调递增，此时 f (x) ( , a ]，
4 4 4
a
当 x >1时， f (x) x 1≥2 a 1，当且仅当 x a >1时，等号成立，x
1
又函数 f (x) 的值域 D 满足D [ , )，不合题意；
2
3
, x 1,
③当 a 2时， f (x)
4
2 ， x 1, x >1,
x
若 x >1
2
，有 x 1≥2 2 1
1
> （当且仅当 x 2 时取等号）符合题意，
x 2
7
综上所述： a 2 .
4
故选：D.
考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1
1．（2024·云南·二模）若a 2p 2 ,b 6 1,c 23 ，则（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b
【答案】D
【分析】根据中间数 2比较 a与 c，根据中间数1比较b 与 c .
【详解】因为 a 2p 2 > 21
1
2， c 23 2，
a > c b 6 1 1 1所以 ，因为 1， 0 ，
6 c 23 > 2 1
所以c > b ，所以 a > c > b .
故选：D.
5
1 c
2．（2024·天津·一模）已知实数 a，b，c 3 e 1 1满足 a 1 ÷ ，b 2 ， ÷ ，则（ ）è 2 è 2 3
A． a b c B．b a c C． c【答案】A
1 1 1 x
【分析】根据条件，得到b ( )e ，利用函数 y ( ) 的单调性，即可得到 a b 1，而 c >1，即可求出结果.
2 2
1 1 1
5
e 1 x
【详解】因为b 2 ，得到b ( )
e ，又 1 3a ÷ ，函数 y ( ) 是减函数，2 è 2 2
5 1 c
所以 1 3 1
1 1 1
a ÷ b ( )e 1，又 ，得到 c log 1 log2 3 >1，
è 2 2 è 2 ÷ 3 2 3
所以 a b c，
故选：A.
3．（2024·宁夏银川·三模）设 a 90.2 ，b 30.31， c 3ln1.3 ，则（ ）
A． c b a B．b c a C． a c b D． a b c
【答案】A
【分析】构造函数 f x x 1 ln x，应用导数得其单调性，可判断0.3 > ln1.3，再结合指数函数 y 3x 的单
调性即可判断.
【详解】根据题意，构造函数 f x x 1 ln x，则 f x x 1 ，
x
当 x 1时， f x 0，所以 f x 在区间 1, 上单调递增，
因此可得 f 1.3 > f 1 0，即 f 1.3 1.3 1 ln1.3 0.3 ln1.3 > 0 ，
所以0.3 > ln1.3，
又指数函数 y 3x 为单调递增，可得30.31 > 30.3 > 3ln1.3 ，即b > c，
因为 a 90.2 30.4 > 30.31 b ，所以 c b a .
故选：A.
1．（2024·四川·模拟预测）设 a 0.50.4 ，b 0.41.1， c 1.10.5 ，则（ ）
A． a c b B． c【答案】D
【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值 1 的比较，即可得到答案.
【详解】因为指数函数 y 0.5x 是单调减函数，所以0.51.1 0.50.4 0.50 1，
又由幂函数 y x1.1在 0, 上单调增函数，所以1 11.1 > 0.51.1 > 0.41.1 ，
又因为指数函数 y 1.1x是单调增函数，所以1.10.5 >1.10 =1，
综上可得：b a c，
故选：D.
2．（2023·天津·高考真题）设a 1.010.5,b 1.010.6 ,c 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 y 1.01x在 R 上递增，则 a 1.010.5 b 1.010.6，
由 y x0.5 在[0, ) 上递增，则 a 1.010.5 > c 0.60.5 .
所以b > a > c .
故选：D
1 2

3．（2024· · a 2辽宁 一模）设 ，b 2 e3，c 1 e 3 则（ ）
3
A． a b c B． c b a
C．b c a D． a c b
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式 ex x 1，可得b a,c a
2 1
；根据不等式的性质可证得 1 e 3 > e3 ，则 c b ，即
可求解.
【详解】对于函数 f (x) ex x 1， f (x) ex 1，
令 f (x) 0 x 0, f (x) > 0 x > 0，
所以函数 f (x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增，
所以 f (x) xmin f (0) 0，则 f (x) 0，即 e x 1 .
1
b 2 e3 2 (1 1) 2
2

所以 ， c 1 e 3 1 (
2 1) 2 .
3 3 3 3
1
2 1 3 2
2

3 1 1 2
1
由 e2 8，得 ，所以 e 1 ，则1 e 1 2 > 2 > e3e3 83 2 2 1 ，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以 1 e 3 2 e3 ，即 c b .
所以 c b a .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）设集合M x 1 x 1 ， N y y ex , x 0 ，则M N （ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1,1 D． 0,1
【答案】C
【分析】求出函数值域化简集合 N ，再利用并集的定义求解即得.
【详解】当 x 0 时， 0 ex 1，则 N (0,1]，而M [ 1,1]，
所以M U N [ 1,1] .
故选：C
2．（2024·河南·模拟预测）若 a,b R ，则“ a > b ”是“ 3a 3b > 2b 2a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】构造函数 f x 3x 2x ，根据函数单调性得到3a 2a > 3b 2b ，故 a > b .
x x
【详解】构造函数 f x 3 2 ，则 f x 在R 上单调递增，
3a 3b > 2b 2a 3a 2a > 3b 2b所以 f a > f b a > b ．
故选：C．
3．（2024· x湖南邵阳·三模）“ 0 a 1 ”是“函数 f x a a（ a > 0且a 1）在R 上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】分 a > 1和 0 a 1两种情况讨论 f x 的单调性，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】若 a > 1，则 f x 的图象为：
可知 f x 在R 上单调递增；
若 0 a 1，则 f x 的图象为：
可知 f x 在R 上单调递减；
x
综上所述：“ 0 a 1 ”是“函数 f x a a（ a > 0且a 1）在R 上单调递减”的充要条件.
故选：C．
4．（2024·全国· f x 2 x a模拟预测）已知函数 a R 为偶函数，则函数 y f x 的增区间为（ ）
A． 1, B． 0,
C． , 1 D． ,0
【答案】B
【分析】由偶函数求得参数值，进而得表达式，结合指数函数单调性即可得解.
【详解】因为函数 f x 2 x a a R 为偶函数，所以 2 x a 2 x a ，解得 a 0，
x
2 , x 0所以函数 f x 2 x x ，其增区间为 0, .
2 , x > 0
故选：B．
2x25．（2024·辽宁·一模）若函数 f x 3 ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 4 B． 4,16 C． 16, D． 16,
【答案】A
【分析】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围.
【详解】设 f u 3u ，u 2x2 ax，则 f u 3u 在 , 上单调递增.
因为 f 2x 3 2x ax 在区间 (1, 4)内单调递减，所以函数u 2x2 ax在区间 1,4 内单调递减，
a
结合二次函数的图象和性质，可得： 1，解得 a 4.
4
故选：A
x 1
, x 0
6 ÷．（2024·江西景德镇·三模）已知函数 f x è 2 是奇函数，则 x > 0时， g x 的解析式为（ ）

g x , x > 0
1 x 1 xA． ÷ B

． ÷ C． 2x D． 2x
è 2 è 2
【答案】C
x
【分析】设 x > 0 1 ，利用 x 0 时， f x ÷ 和 f x f x 可求得 g x 的解析式.
è 2
【详解】设 x > 0，则 x 0，
1 x
所以 f x 2x ÷ ，
è 2
又函数 f x x x是奇函数，所以 f x f x ，即 f x 2 f x 2 ， x > 0 .
即 g x 2x .
故选：C
7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 f 2x 1 为偶函数，若函数 g x f x 21 x 2x 1 5的零点个数为奇
数个，则 f 1 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【分析】由函数 g x 的图象关于 x 1对称得零点关于 x 1对称，但 g x 的零点个数为奇数个可得答案.
【详解】因为函数 f 2x 1 为偶函数，所以 f 2x+1 =f 2x+1 ，
所以 y f x 的图象关于 x 1对称，
h x 21 x 2x 1令 5 x 1 1 x，则 h 2 x 2 2 5 h x ，
h x 21 x 2x 1可得函数 5的图象关于 x 1对称，
所以函数 g x f x 21 x 2x 1 5的图象关于 x 1对称，
则函数 g x 的零点关于 x 1对称，但 g x 的零点个数为奇数个，
则 f 1 0 .
故选：D.
二、填空题
x 1
，x 0 1
8．（2024·山东济宁·三模）已知函数 f (x)
÷ f f è 2 ，则 ÷÷ .
è è 2
log4 x，x > 0

【答案】 2
f (1 1
1 1
【分析】利用已知的分段函数，可先求 ) ，再求 f f ÷÷ f ÷ 2 即可.2 2 è è 2 è 2
x 1
【详解】因为 f (x)
，x 0 1 1 1
÷ è 2 ，所以 f ÷ log4 = log4 2 .
è 2 2 2
log4 x，x > 0，
1
1 1 1 所以 f f f
2 1
÷÷

÷ ÷ 22 2 .
è è 2 è 2 è 2
故答案为： 2 .
9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 f (x) ．
① f x1 x2 f x1 f x2 ；② f (x) 的值域为 (0, )．
【答案】 2x （答案不唯一）
【分析】根据指数函数的值域和指数运算即可得到答案.
x
【详解】对于任意指数函数函数 f x a (a > 0且 a 1) ,
条件①，对于任意 x1, x2 R ，都有 f x f x x1 x21 2 a a a x1 x2 f x1 x2 ，
条件②， f (x) 是指数函数，所以 f (x) 的值域为 (0, )，
例如：函数 f x 2x 为指数函数，满足条件①②.
故答案为： 2x （答案不唯一）.
10．（23-24 高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“ $x R ， 2x a 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围
为 ．
【答案】{a | a 0}
【分析】根据已知条件，推得"x R ， 2x a 0为真命题，再结合指数函数值域的范围，即可求解．
【详解】命题“ $x R ， 2x a 0 ”为假命题，
则"x R ， 2x a 0为真命题，又 2x > 0
则 a 0，
故实数 a的取值范围为{a | a 0}．
故答案为：{a | a 0}．
一、单选题
1
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x x 的图象关于点 1, f 1 对称，则a （e a ）
A．1 B．2 C． e D． e2
【答案】C
【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得 a e .
【详解】由对称中心性质可知函数 f x 满足 f x f 2 x 2 f 1 ，
1 1 2
即 x ，e a e2 x a e a
整理可得 e3 x ex 1 2ae 2e2 aex ae2 x ，即 e e2 x ex 2e a ex e2 x 2e ，
解得 a e .
故选：C
x
2 2024· · f (x) e a．（ 贵州毕节 三模）已知函数 是奇函数，若 f (2023) > f (2024)x ，则实数 a 的值为（ ）e a
A．1 B． 1 C． ±1 D．0
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义，即函数的单调性解即可.
ex a
【详解】因为函数 f (x)
ex
是奇函数，
a
e x a 1 aex exf ( x) a a e
x
所以 x x f (x) ，e a 1 ae ex a ex a
解得 a ±1，
x
f (x) e a e
x a 2a 1 2a又 x x x ，e a e a e a
所以当 a > 0时，函数为增函数，当 a<0时，函数为减函数，
因为 f (2023) > f (2024)，
所以 a<0，故 a 1 .
故选：B
3．（2024·北京西城·三模）已知函数 f (x) 2x ，若"x1, x2 R ，且 x1 x2，则下面结论错误的是（ ）
f (x ) f (x ) f x1 x2 f (x1) f (x )A． 1 B． 22 2 ÷è 2
C． f (x1x2 ) f (x1) f (x2 ) D． f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性判断A ，根据基本不等式判断B，根据指数的运算判断C D .
【详解】由指数函数的单调性可知 f (x) 在R 上单调递增，
又 x1 x2，所以 f (x1) f (x2 )，故A 正确；
因为 2x1 > 0， 2x2 > 0，
f (x1) f (x
x1
2 ) 2 2
x2 x1 x2
2x x x所以 1 2x2 2 2 f 1 2 ÷，2 2 è 2
f (x1) f (x2 ) x1 x2
又 x1 x2，所以上式取不到等号，所以 > f2 2 ÷，故B正确；è
f (x x ) 2x1x21 2 ， f (x1) f (x2 ) 2x1 2x2 ，
"x1, x2 R ， x1 x2， f (x1x2 ) f (x1) f (x2 )，故C 错误；
f (x1 x2 ) 2
x1 x2 f (x ) f (x x1 x2 x1 x， 21 2 ) 2 2 2 f (x1 x2 )，故D 正确.
故选：C.
ex , x 0,
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f x g x x 3,方程 f g x 3 g x 有两个不
ln x, x > 0,
同的根，分别是 x1, x2 ,则 x1 x2 （ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】方程 f g x 3 g x 有两个不同的根等价于函数 y f g x 与 y x的图象有两个交点，作
出函数 f g x 与 y x的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得： g x x 3为 R 上的增函数，且 g 3 0,
x 3
当 x 3时， g x 0 ， f g x e ，
当 x > 3时， g x > 0， f g x ln x 3 ，
方程 f g x 3 g x x有两个不同的根等价于函数 y f g x 与 y x的图象有两个交点，
作出函数 f g x 与 y x的图象如下图所示：
由图可知 y ex 3与 y ln x 3 图象关于 y x 3对称，
则 A, B两点关于 y x 3对称，中点C 在 y x 3图象上，
y x
C 3 , 3 由 .
y x 3
，解得：
è 2 2 ÷
所以 x1 x
3
2 2 3 .2
故选：B
1 2
5．（23-24 高三下·河南周口· a 1 e3 ,b 1开学考试）若 e5 ,c 1 ，则（ ）
5 6 3
A．b > c > a B． c > a > b
C． a > b > c D． a > c > b
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数的性质判断函数的单调性，利用单调性进行判断即可.
1
2a 2 e3 , 2b 1
2
【详解】由题意知 e5 ，
5 3
ex ex x 1令 f x (0 x 1) ，则 f x
x x2
0，
所以 f x 在 0,1 1 2上单调递减，又0 1，
3 5
1 2
f 1 2
e3 e5 2 1 1 2
所以 ÷ > f ÷，即 1 > 2 ，所以 e3 > e5 ，即 2a > 2b，所以 a > bè 3 5
，
è 5 3
3 5
1
又5a e3 3 e,5c 5 5 125 ，又 3 > 3 4 > 3 e ，所以5c > 5a ，
3 3 27
所以 c > a ，所以 c > a > b．
故选：B．
【点睛】关键点睛：本题的关键是对已知实数进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性进行判断.
1 1
6．（2022·全国·模拟预测）已知 a 4e2 ，b 9e3 ， c 6，则 a，b，c（ ）
A． a b c B． a c b C． c b a D． c a b
【答案】D
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性即可比较大小.
f (x) e
x x
【详解】令 2 ,0
(x 2)e
x 1，求导得 f (x) ，
x x3
当0 x 1时， f (x) 0 ，则 f (x) 在( 0, 1)上单调递减，
f (1) f (1) 1 1 e 9
1 9 1
则 > ，即 4e2 9e3 ，而 > ，于是 4e
2 > 4 ( )2 6，
3 2 4 4
所以 c a b .
故选：D
二、多选题
2
7．（2024·山东临沂·一模）已知函数 f x a a R ，则（ ）
2x 1
A． f x 的定义域为 ,0 U 0,
B． f x 的值域为R
C．当 a 1时， f x 为奇函数
D．当 a 2时， f x f x 2
【答案】ACD
【分析】由分母不为零求出函数的定义域，即可判断 A，再分 2x 1 > 0、 1 2x 1 0分别求出函数值的取
值范围，即可得到函数的值域，从而判断 B，根据奇偶性判断 C，根据指数幂的运算判断 D.
2
【详解】对于函数 f x x a a R ，令 2x 1 0，解得 x 0，2 1
所以 f x 的定义域为 ,0 U 0, ，故 A 正确；
2 2
因为 2x > 0，当 2x 1 > 0时 2x
> 0，所以 x a > a ， 1 2 1
2 2
当 1 2x 1 0时 x 2，所以 x a 2 a ，2 1 2 1
综上可得 f x 的值域为 , 2 a U a, ，故 B 错误；
x x x
当 a 1 f x 2 2 1 2 1 2 1时 x 1 x ，则 f x f x ，2 1 2 1 2 x 1 2x 1
f x 2所以 x 1为奇函数，故 C 正确；2 1
a 2 2 2
x 1 2x 1 2 x 1
当 时 f x x 2 x 1，则 f x f x 2 1 2 1 2x 1 1 2， 1 2 x 1
故 D 正确.
故选：ACD
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 x 1,3 ， a 2x 2 x ”为假命题，则实数 a的取值范围是 .
5
【答案】 a >
2
【分析】根据题意，问题转化为存在 x 1,3 ， a > 2x 2 x 为真命题，即 a > 2x 2 x ，求出 y 2x 2 xmin
的最小值得解.
【详解】若命题任意“ x 1,3 ， a 2x 2 x ”为假命题，
则命题存在 x 1,3 ， a > 2x 2 x 为真命题，
因为1 x 3时， 2 2x 8，
令 t 2x ，则 2 t 8，
1
则 y t 在 2,8 上单调递增，
t
5 y 65所以 ，
2 8
a 5所以 > .
2
5
故答案为： a > .
2
2x , x 0,

9．（2024·上海·三模）若m R ， f x 1 ，则满足 f m 2 f m 3 的 m 的最大值为 ．
, x 0 2x
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】先判断函数 f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m
的最大值.
1 x
【详解】当 x > 0时， x 0，即 f x
2 x
2 f x ，
1
当 x 0 时， x > 0，即 f x 2 x x f x ，2
于是，在 , 上， f x f x 都成立，即 f x 为偶函数.
由指数函数的单调性可知， f x 在 0, 上单调递增，
因此，不等式 f m 2 f m 3 等价于 m 2 m 3 ，
m 2 2 m 3 2 1即 ，解得m .
2
1
故 m 的最大值为 .
2
1
故答案为： .
2
a
x , x 2
10．（2024·广东广州·三模）函数 f x ，其中 a > 0且a 1，若函数是单调函数，则 a
ax
2 13x 31, x > 2
的一个可能取值为 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据题意， f x 在 R 上单调递增，根据分段函数单调性列式求解.
【详解】因为 a > 0且a 1，若函数是单调函数，结合二次函数可知： f x 在 R 上单调递增，
a >1
13
2
13
，解得 a 5 .
2a 4
2
a 4a 5
故答案为：4（答案不唯一）.
x2 2ax a, x 0
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) x 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A． ( ,0] B．[ 1,0] C．[ 1,1] D．[0, )
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 f x x在R 上单调递增，且 x 0 时， f x e ln x 1 单调递增，
2a
0
则需满足 2 1 ，解得 1 a 0，

a e
0 ln1
即 a 的范围是[ 1,0] .
故选：B.
2 2024· · a 4.2 0.3，b 4.20.3．（ 天津 高考真题）若 ，c log4.2 0.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > a > b D．b > c > a
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 y 4.2x 在R 上递增，且 0.3 0 0.3，
所以0 4.2 0.3 4.20 4.20.3 ，
所以0 4.2 0.3 1 4.20.3，即0 a 1 b，
因为 y log4.2 x在 (0, )上递增，且0 0.2 1，
所以 log4.2 0.2 log4.2 1 0，即 c 0，
所以b > a > c，
故选：B
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x e ( x 1)2
2
．记a f ÷ ,b f
3
÷ ,c
6
f ÷，则（ ）
è 2 è 2 è 2

A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令 g(x) (x 1)2，则 g(x)开口向下，对称轴为 x 1，
6 1 3
6 3 4
因为
2
1 ÷ ，而 ( 6 3)2 42 2 ÷ 2 2 9 6 2 16 6 2 7 > 0，è
6 3 1 1 6 3 4所以 > 0
6 3
，即
2 2 ÷÷ 2 2 1 >1 è 2 2
6 3
由二次函数性质知 g( ) g( )，
2 2
6 1 2
6 2 4
因为
2
1 ÷÷ ，而2 2 2 ( 6 2)
2 42 8 4 3 16 4 3 8 4( 3 2) 0，
è
6
即 1 1 2 6 2 ，所以 g( ) > g( )，
2 2 2 2
2 6 3
综上， g( ) g( ) g( )，
2 2 2
又 y ex 为增函数，故 a c b，即b > c > a .
故选：A.
x
4．（2023· xe全国·高考真题）已知 f (x) ax 是偶函数，则a （ ）e 1
A． 2 B． 1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
x x x x éex e a 1 x ù
【详解】因为 f x xe xe x e
eax
为偶函数，则
1 f x f x 0，eax 1 e ax 1 eax 1
又因为 x 不恒为 0，可得 ex e a 1 x 0，即 ex e a 1 x ，
则 x a 1 x，即1 a 1，解得 a 2 .
故选：D.
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为 4 的是（ ）
4
A． y x2 2x 4 B． y sin x sin x
4
C． y 2x 22 x D． y ln x
ln x
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B, D
不符合题意，C 符合题意．
【详解】对于 A， y x2 2x 4 x 1 2 3 3，当且仅当 x= 1时取等号，所以其最小值为3，A 不符合
题意；
4
对于 B，因为0 sin x 1， y sin x 2 4 4sin x ，当且仅当 sin x 2 时取等号，等号取不到，所以其
最小值不为 4，B 不符合题意；
对于 C，因为函数定义域为 R ，而 2x > 0， y 2x 22 x
4
2x x 2 4 4 ，当且仅当 x2 2 2
，即 x 1时取
等号，所以其最小值为 4，C 符合题意；
对于 D， y ln x
4
，函数定义域为 0,1 U 1, ，而 ln x R且 ln x 0，如当 ln x 1， y 5，D 不符
ln x
合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性
质即可解出．
1
6．（上海· x 1高考真题）方程3 的解为 .
9
【答案】 1
x 1 1 2
【分析】根据指数幂的运算性质，化简得到3 3 ，得出方程，即可求解.
9
3x 1 1 3 2【详解】由 ，可得 x 1 2，解得 x= 1 .
9
故答案为: 1 .
【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的运算性质是解答
的关键，着重考查运算与求解能力.
7．（福建·高考真题）函数 f (x) a x b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． a >1,b 0 B． a >1,b > 0
C．0 a 1,b > 0 D．0 a 1,b 0
【答案】D
【分析】由函数单调性判断 a与1的大小，再由图象与 y 轴的交点位置判断b 的正负.
【详解】由图象可知，函数 f (x) 为减函数，
从而有 0 a 1；
法一：由 f (x) a x b 图象，函数与 y 轴的交点纵坐标 y (0,1)，
令 x 0，得 y a b ，
由0 a b 1，即0 a b a0 ，解得 b 0 .
法二：函数 f (x) 图象可看作是由 y a x (0 a 1)向左平移得到的，
则 b > 0，即b 0 .
故选：D.
8 x．（山东·高考真题）已知函数 y f x 是偶函数，当 x (0, )时， y a 0 a 1 ，则该函数在 ( ,0)
上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.
【详解】当 x (0, )时， y a x 0 a 1 ，所以 f x 在 0, 上递减，
f x 是偶函数，所以 f x 在 ,0 上递增.
注意到 a0 1，
所以 B 选项符合.
故选：B第 03 讲 指数与指数函数
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断对数函数的单调性
2024 年新 I 卷，第 6 题,5 分 判断指数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2023 年新 I 卷，第 4 题,5 分 指数型复合函数单调性 二次函数单调性
用导数判断或证明已知函数的单调性
2022 年新 I 卷，第 7 题,5 分 比较指数幂的大小
比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及
指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为 5-6 分
【备考策略】1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点
4.能结合指数函数比较指数式大小
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解
1. 指数的基本知识
（1）根式的基本性质
① x 的定义域为 x 0 , 3 x 的定义域为 x R
2 x, x 0② x x ，定义域为 x R
x, x 0
③ x 2 x，定义域为 x 0
④ 3 x3 x ，定义域为 x R
⑤ 3 x 3 x ，定义域为 x R
（2）指数的基本性质
: a0①零指数幂 1(a 0) ;
1
②负整数指数幂: a p p (a 0, p N
*);
a
m
n m *
③正分数指数幂: a n a (a > 0,m、n N ,且n >1) ;
m
1 1
④负分数指数幂: a n *m (a > 0, m、n N ,且n >1)n ama n
（3）指数的基本计算
am
①同底数幂的乘法运算 am an am n ②同底数幂的除法运算 am n
an
am n③幂的乘方运算 amn m④积的乘方运算 ab ambm
2. 指数函数
（1）指数函数的定义及一般形式
x
一般地，函数 y a a > 0且a 1 , x R ，叫做指数函数
（2）指数函数的图象和性质
y a x a >1 0 a 1
图
象
定义域 R
值域
过定点 0,1
当 x > 0 时， y >1； 当 x > 0 时，0 y 1；
性质 x 0 时, 0 y 1 x 0 时, y >1
在 , 上是增函数 在 , 上是减函数
考点一、指数与指数幂的运算
2 3
3
1．（2023· 3全国·模拟预测） ÷÷ （ ）
è 9
1
A B 3． ． C．
3 3
D．3
3
2．（2024·广东·模拟预测）若 xy 3，则 x
y
y x ．
x y
1
3．（2022·北京·高考真题）已知函数 f (x) 1 2x ，则对任意实数 x，有（ ）
A． f (-x) + f (x) = 0 B． f ( x) f (x) 0
C． f ( x) f (x) 1
1
D． f ( x) f (x)
3
1．（2024·上海宝山·二模）将 a2 a （其中 a > 0）化为有理数指数幂的形式为 .
2．（2023·山东·模拟预测）若 a 1 a1 4， 则 a 2 a2 的值为（ ）
A．8 B．16 C．2 D．18
1 42
3．（2023·四川宜宾·一模）计算: 3 2 0.25 1 12 ÷ 3 lg .
è 2 10
考点二、指数函数的图象及其应用
1
1．（2024·四川成都·模拟预测）函数 y 3x 与 y x 的图象（ ）3
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称 D．关于 y x 对称
2．（23-24 高三上·河北衡水·开学考试）已知 a > 0，则函数 f (x) a x 2a的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024· x甘肃张掖·模拟预测）函数 f x e x 1 x 1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
1．（22-23 高二下·四川绵阳·期末）要得到函数 y 22x 1的图象，只需将指数函数 y 4x 的图象（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C 1 1．向左平移 2 个单位 D．向右平移 2 个单位
2．（23-24 高三上·山西晋中·阶段练习）（多选）在同一直角坐标系中，函数 y x2 ax a 1与 y a x 的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
|x|
3．（2024· · y a 1 黑龙江 二模）已知函数 ÷ b的图象经过原点，且无限接近直线 y 2，但又不与该直线相
è 2
交，则 ab （ ）
A． 1 B． 2 C． 4 D． 9
考点三、指数（型）函数的单调性
1．（2023· x x a 全国·高考真题）设函数 f x 2 在区间 0,1 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． 2,0
C． 0,2 D． 2,
x
2．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 f x 2 x 1 ，则下列说法不正确的是（ ）2 1
A．函数 f x 单调递增 B．函数 f x 值域为 0,2
C．函数 f x 的图象关于 0,1 对称 D．函数 f x 的图象关于 1,1 对称
3 2024· · f x 3x 2 32 x．（ 全国 模拟预测）已知函数 ，则满足 f x f 8 3x > 0的 x 的取值范围是（ ）
A． , 4 B． , 2 C． 2, D． 2,2
x
2 a 5 x 1, x 1
4．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0, a 1，函数 f x 是R 上的减函数，则 a的取值
1 a
x , x >1
范围是（ ）
A． 1,3 B． 2,3 C． 2, D． 3,
2
1．（2024·江西·模拟预测）函数 f x 3x 2 x 的一个单调递减区间为（ ）
A． ,0 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,
2．（2024· a 2x福建福州·模拟预测）设函数 f x 3 在区间 1,2 上单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 2 B． , 4 C． 2, D． 4,
x
3．（2024·吉林长春· 2模拟预测）（多选）已知函数 f x x 1 ，则下列说法正确的是（ ）2 1
A．函数 f x 单调递增
B．函数 f x 值域为 0,2
C．函数 f x 的图象关于 0,1 对称
D．函数 f x 的图象关于 1,1 对称
1
x 1 , x 0
4．（2024· 2 2陕西西安·模拟预测）已知函数 f x ，则不等式 f a 1 > f 3 1 的解集为（ ） , x 0
x 2
A． 2,2 B． 0,
C． ,0 D． , 2 2,
考点四、指数（型）函数的值域与最值
x2 2x 1
1．（23-24 高三·阶段练习）已知函数 f x 1 ÷ ，则 f x 的单调递增区间为 ，值域
è 2
为 ．
a 2 x 4a 1, x 2
2．（2024·上海松江·二模）已知0 a 2 ，函数 y x 1 ，若该函数存在最小值，则实数
2a , x > 2
a的取值范围是 .
2
3．（2024·四川成都·二模）已知函数 f x 2ax x 1 的值域为 M ．若 1, M ，则实数 a的取值范围是
（ ）
, 1 ù é0, 1 ù 1 ù é1 1A． ú B． ê ú C． , ú ê ,
é
÷ D． ,
è 4 4 è 4 ÷ 4 ê 4
1．（2024·贵州·
2
模拟预测）已知函数 f (x) 2 x 2x 3，则 f (x) 的最大值是 .
f (x) 1 lgx(x [ 1 2 22．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数 ,100])，则函数F (x) 2[ f ( x)] f ( x ) 的值域为（10 ）
[1A． ,16] B． 1,8 C． 2,16 D． 1,16
2
a 1 1
x , x 1

3 4．（2024·河北保定·三模）已知 f (x) a >1 1a 的值域为D，D [ , )，则 a的取值范围 x 1, x >1 2
x
是（ ）
[3 , 2] [5 5 3A． B． , ) C．[ , 2) [
7
D． , 2]
2 4 3 2 4
考点五、指数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1
1．（2024·云南·二模）若a 2p 2 ,b 6 1,c 23 ，则（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b
5
1 c
2．（2024· 3 e 1 1天津·一模）已知实数 a，b，c 满足 a 1 ÷ ，b 2 ， 2 ÷
，则（ ）
è 2 è 3
A． a b c B．b a c C． c3．（2024·宁夏银川·三模）设 a 90.2 ，b 30.31， c 3ln1.3 ，则（ ）
A． c b a B．b c a C． a c b D． a b c
1．（2024·四川·模拟预测）设 a 0.50.4 ，b 0.41.1， c 1.10.5 ，则（ ）
A． a c b B． c2．（2023·天津·高考真题）设a 1.010.5,b 1.010.6 ,c 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
1 2

3．（2024· 2辽宁·一模）设 a ，b 2 e3，c 1 e 3 则（ ）
3
A． a b c B． c b a
C．b c a D． a c b
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）设集合M x 1 x 1 ， N y y ex , x 0 ，则M N （ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1,1 D． 0,1
2．（2024·河南·模拟预测）若 a,b R ，则“ a > b ”是“ 3a 3b > 2b 2a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·湖南邵阳·三模）“ 0 a 1 ”是“函数 f x a x a（ a > 0且a 1）在R 上单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024· · x a全国 模拟预测）已知函数 f x 2 a R 为偶函数，则函数 y f x 的增区间为（ ）
A． 1, B． 0,
C． , 1 D． ,0
2
5．（2024·辽宁·一模）若函数 f x 3 2x ax 在区间 1,4 内单调递减，则 a的取值范围是（ ）
A． , 4 B． 4,16 C． 16, D． 16,
x 1
, x 0
6．（2024· ÷江西景德镇·三模）已知函数 f x è 2 是奇函数，则 x > 0时， g x 的解析式为（ ）

g x , x > 0
A 1
x x
B 1 ． x x 2 ÷
． ÷ C． 2 D． 2
è è 2
7．（2024· 1 x浙江绍兴·三模）已知函数 f 2x 1 为偶函数，若函数 g x f x 2 2x 1 5的零点个数为奇
数个，则 f 1 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题
1 x
，x 0 1
8．（2024·山东济宁· ÷三模）已知函数 f (x) è 2 ，则 f f ÷÷ .
è è 2 log x x > 0 4 ，
9．（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下面条件①②的函数解析式 f (x) ．
① f x1 x2 f x1 f x2 ；② f (x) 的值域为 (0, )．
10．（23-24 高一上·四川攀枝花·阶段练习）若命题“ $x R ， 2x a 0 ”为假命题，则实数 a的取值范围
为 ．
一、单选题
1
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x x 的图象关于点 1, f 1 对称，则a （e a ）
A．1 B．2 C． e D． e2
x
2．（2024·贵州毕节· e a三模）已知函数 f (x) 是奇函数，若 f (2023) > f (2024)x ，则实数 a 的值为（ ）e a
A．1 B． 1 C． ±1 D．0
3．（2024·北京西城·三模）已知函数 f (x) 2x ，若"x1, x2 R ，且 x1 x2，则下面结论错误的是（ ）
A． f (x1) f (x ) f
x1 x2 f (x1) f (x ) 2 B． ÷ 2
è 2 2
C． f (x1x2 ) f (x1) f (x2 ) D． f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
ex , x 0,
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 f x g x x 3,方程 f g x 3 g x 有两个不
ln x, x > 0,
同的根，分别是 x1, x2 ,则 x1 x2 （ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
1 2
5．（23-24 1高三下·河南周口·开学考试）若 a e3 ,b 1 1 e5 ,c ，则（ ）
5 6 3
A．b > c > a B． c > a > b
C． a > b > c D． a > c > b
1 1
6．（2022·全国·模拟预测）已知 a 4e2 ，b 9e3 ， c 6，则 a，b，c（ ）
A． a b c B． a c b C． c b a D． c a b
二、多选题
2
7．（2024·山东临沂·一模）已知函数 f x
2x
a a R ，则（ ）
1
A． f x 的定义域为 ,0 U 0,
B． f x 的值域为R
C．当 a 1时， f x 为奇函数
D．当 a 2时， f x f x 2
三、填空题
8．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 x 1,3 ， a 2x 2 x ”为假命题，则实数 a的取值范围是 .
2x , x 0,
9．（2024·上海·三模）若m R ， f x 1 ，则满足 f m 2 f m 3 的 m 的最大值为 ．, x 0
2x
a x , x 2
10．（2024·广东广州·三模）函数 f x 2 ，其中 a > 0且a 1，若函数是单调函数，则 a
ax 13x 31, x > 2
的一个可能取值为 ．
x2 2ax a, x 0
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 f (x) x 在 R 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
e ln(x 1), x 0
A． ( ,0] B．[ 1,0] C．[ 1,1] D．[0, )
2．（2024·天津· 0.3高考真题）若 a 4.2 ，b 4.20.3，c log4.2 0.2，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A． a > b > c B．b > a > c C． c > a > b D．b > c > a
( x 1)2 2 3 6 3．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x e ．记a f ÷ ,b f ,c f ，则（2 2 ÷ 2 ÷ ）è è è
A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
x
4．（2023· xe全国·高考真题）已知 f (x) a
eax
是偶函数，则 （ ）
1
A． 2 B． 1 C．1 D．2
5．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为 4 的是（ ）
A． y x2 2x 4 B． y sin x
4

sin x
C． y 2x 22 x D． y ln x
4

ln x
1
6．（上海· x 1高考真题）方程3 的解为 .
9
7．（福建·高考真题）函数 f (x) a x b 的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A． a >1,b 0 B． a >1,b > 0
C．0 a 1,b > 0 D．0 a 1,b 0
8．（山东·高考真题）已知函数 y f x 是偶函数，当 x (0, )时， y a x 0 a 1 ，则该函数在 ( ,0)
上的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．

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