资源简介

第 03 讲 平面向量基本定理及其拓展
（“爪子定理”）（高阶拓展）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023 年全国乙卷文数，第 6 数量积的运算律
用基底表示向量
题,5 分 数量积的坐标表示
2022 年新 I 卷，第 3 题,5 分 用基底表示向量 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易
理解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1.平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一
对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减运算或数乘运算.
uuur uuur uuur
3. 形如 AD = xAB + y AC 条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质： A
uuur uuur uuur
（1）已知 AB, AC 为不共线的两个向量，则对于向量 AD ，必存在 x, y ，使得
uuur uuur uuur
AD = xAB + y AC 。则 B,C, D 三点共线 x + y = 1
B D C
当0 < x + y < 1，则 D 与 A位于 BC 同侧，且 D 位于 A与 BC 之间
当 x + y > 1，则 D 与 A位于 BC 两侧
x + y = 1时，当 x > 0, y > 0，则 D 在线段 BC 上；当 xy < 0，则 D 在线段 BC 延长线上
A
uuur uuur uuur
（2）已知 D 在线段 BC 上，且 BD : CD m : n AD n= ，则 = AB m+ AC
m + n m + n
uuur uuur uuur
3、 AD = xAB + y AC 中 x, y 确定方法 B m D n C
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
x, y
uuur uuur uuur
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 AD = xAB + y AC ，可考虑两边对同一向量作数
量积运算，从而得到关于 x, y 的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于 x, y 的方程，
再进行求解
考点一、基底的概念及辨析
1．（2024 高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
er 0,0 er rA． 1 = ， 2 = 1,-2 B． e1 = -1,2 ， e
r
2 = 5,7
erC． 1 = 3,5
r
， e2 = 6,10 D． e
r
= 2, -3 er = 1 3 1 ， 2 , - ÷
è 2 4
【答案】B
【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.
r
【详解】因为 e1 = -1,2 e
r
与 2 = 5,7
r r
不共线，其余选项中 e1、 e2均共线，所以 B 选项中的两向量可以作为基
底．
故选：B
【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.
r
2．（2024 高三·全国·专题练习）如果 e1,e
r
2 是平面 α 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为
平面内所有向量的一组基底的是（ ）
er er er er rA． 1与 1 + 2 B． 1 - 2e2与 e
r 2er1 + 2
r
C． e1 + e
r
2与 e
r r r r r r
1 - e2 D． e1 + 3e2 与 2e1 + 6e2
【答案】D
【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
r r r
【详解】选项 A 中，设 e1 + e2 =le1，无解，则两向量不共线；
r r r r ì l=1
选项 B 中，设 e1 - 2e2 =l e1 + 2e2 ，则 í1 ，无解，则两向量不共线； = -l
r r r r ì l=1
选项 C 中，设 e1 + e2 =l e1 - e2 ，则 í1 ，无解，则两向量不共线； = -l
r r 1 r r
选项 D 中， e1 + 3e2 = 2e1 + 6e2 ，所以两向量是共线向量．2
故选:D.
【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.
3．（2023 高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）
r r r r
A． a = 1,2 ，b = 0,0 B． a = 1,2 ，b = -1, -2
r r r r
C． a = 1,2 ，b = 5,10 D． a = 1,2 ，b = -1,2
【答案】D
【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.
【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，
r
A.向量b 是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故 A 错误；
r
B. ar = -b ，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故 B 错误；
r
C. b 5ar= ，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故 C 错误；
r r
D. r r不存在实数l ，使b = la，所以向量 a,b 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故 D 正确.
故选：D
r
1．（2023·陕西西安·一模）设 k R ，下列向量中，可与向量 q = 1, -1 组成基底的向量是（ ）
r r
A．b = k,k B． c = -k, -k
ur r
C． d = k 2 +1, k 2 +1 D． e = k 2 -1, k 2 -1
【答案】C
【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.
r r
【详解】对于 AB 项，若 k = 0时，b = 0,0 ， c = 0,0 不满足构成基向量的条件，所以 AB 都错误；
r
对于 D 项，若 k = ±1时， e = 0,0 不满足构成基向量的条件，所以 D 错误；
2 2 ur r
对于 C 项，因为"k R,k 2 +1 0 ，又因为 k +1 -1 - k +1 1 0 恒成立，说明 d 与 q不共线，复合构
成基向量的条件，所以 C 正确.
故选：C
ur uur
2．（2023 高三·全国·专题练习）设 e1,e2 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． e1 + e2 和 e1 - e2 B． 4e1 + 2e2 和 2e2 - 4e1
ur uur ur 1 uur ur uur uur ur
C． 2e1 + e2 和 e1 + e2 D． e1 - 2e2 2
和 4e2 + 2e1
【答案】C
【分析】根据基底的概念确定正确答案.
【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，
ur uur ur 1 uur ur uur ur 1 uur
C 选项中， 2e1 + e2 = 2 e1 + e2 ÷，即 2e1 + e2 和 e1 + e2 为共线向量，è 2 2
所以它们不能作为基底.
其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.
故选：C
考点二、平面向量的基本定理综合
uuur r uuur uuur1．（2022·全国·高考真题）在VABC 中，点 D 在边 AB 上，BD = 2DA．记CA = m，CD = nr，则CB =（ ）
A 3mr 2nr B 2mr 3nr C 3mr 2nr D 2mr 3nr． - ．- + ． + ． +
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】因为点 D 在边 AB 上，BD = 2DA，所以BD = 2DA，即CD - CB = 2 CA - CD ，
uuur uuur uuur r ur r
所以CB = 3CD - 2CA = 3n - 2m = -2m + 3n
r
．
故选：B．
uuuv
2．（全国·高考真题）在△ ABC 中， AD 为BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB =
3 uuuv 1 uuuv 1 uuuv 3 uuuv
A． AB - AC B． AB - AC
4 4 4 4
3 uuuv uuuv uuuv uuuv
C． AB
1
+ AC 1D． AB
3
+ AC
4 4 4 4
【答案】A
uuuv 1 uuuv 1 uuuv
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE = BA + BD ，之后应用向量
2 2
uuuv uuuv uuuv uuuv 3 uuuv 1 uuuv
的加法运算法则-------三角形法则，得到BC = BA + AC ，之后将其合并，得到BE = BA + AC ，下一步应4 4
uuuv
EB 3
uuuv 1 uuuv
用相反向量，求得 = AB - AC ，从而求得结果.
4 4
【详解】根据向量的运算法则，可得
uuuv 1 uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuvBE = BA 1+ BD 1= BA 1+ BC 1= BA 1+ BA + AC 2 2 2 4 2 4
1 uuuv 1 uuuv 1 uuuv 3 uuuv 1 uuuv
= BA + BA + AC = BA + AC ，
2 4 4 4 4
uuuv 3 uuuv 1 uuuv
所以EB = AB - AC ，故选 A.
4 4
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
uuur uuur uuur
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，M 是 AB 的中点， AN = 3NC,CM 与BN 相交于点 P ，则 AP =
（ ）
3 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
A． AB + AC
3
B． AB + AC
5 5 5 5
1 uuur 3 uuur 3 uuur 1 uuur
C． AB + AC D． AB + AC
2 4 4 2
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.
uuur uuur uuur uuur uuuur
【详解】设 AP = l AB + m AC ，由M 是 AB 的中点，得 AB = 2AM ，
uuur uuur uuur 4 uuur
由 AN = 3NC ，得 AC = AN ，3
uuur uuuur uuur uuur uuur 4 uuur
所以 AP = 2l AM + m AC ，且 AP = l AB + m AN ，
3
由CM 与BN 相交于点 P 可知，点 P 在线段CM 上，也在线段BN 上，
2l + m =1 ìl 1ì =
5 uuur 1 uuur 3 uuur
由三点共线的条件可得 í 4 ，解得 í ，所以 AP = AB + AC .
l + m =1 m 3= 5 5 3 5
故选：B
1．（广东·高考真题）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与
uuuv v uuuv v uuuvCD 交于点 F，若 AC = a，BD = b ，则 AF =
1 v 1 v v v v v vA． a + b
2 a 1 b 1 av 1B． + C． + b
1 a 2D． + b
4 2 3 3 2 4 3 3
【答案】B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuurAF = AC + CF = AC + CD = AC - AB = AC - (AO + OB)
3 3 3
uuur 2 1 uuur uuur r r r r r
= AC - AC
1
- BD ÷ = a
2
-
1 1 2
a - b ÷ = a
1
+ b ，选 B.
3 è 2 2 3 è 2 2 3 3
【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，
uuur uuur uuur
2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边VABC 的边长为 1，点D, E 分别为 AB, BC 的中点，若DF = 3EF ，则 AF =
（ ）
1 uuur 5 uuurAB AC 1
uuur 3 uuur
A． + B． AB + AC
2 6 2 4
1 uuur uuur r r
C． AB + AC
1 3
D． AB + AC
2 2 2
【答案】B
uuur uuur【分析】取 AC, AB 为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
uuur uuur
【详解】在VABC 中，取 AC, AB 为基底，
uuur uuur uuur uuur
则 AC = AB = 2, AC, AB = 60o ，
uuur uuur
因为点D, E 分别为 AB, BC 的中点，DF = 3EF ,
uuur 1 uuur 1 uuur
所以EF = DE = AC ，
2 4
uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur所以 AF = AE EF AB AC AC 1 AB 3+ = + + = + AC .2 4 2 4
故选：B.
3．（22-23 高一下·河南洛阳·阶段练习）在VABC 中，点M 是 AB 的中点， N 点分 AC 的比为 AN : NC =1: 2, BN
uuur r uuur r uuur
与CM 相交于E ，设 AB = a, AC = b ，则向量 AE =（ ）
1 r 1 r 1 r 2 r 2 r 1 r 3 r 4 r
A． a + b B． a + b C． a + b D． a + b
3 2 2 3 5 5 5 5
【答案】C
【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur
由题意 B, E, N 三点共线，所以存在l R ，使得 AE = l AB + 1- l AN = l AB 1- l+ AC ，
3
uuur uuur uuuur uuur 1- m uuur
同理C, E, M 三点共线，所以存在m R ，使得 AE = m AC + 1- m AM = m AC + AB ，
2
ì 1- m
l = 2 2 1
由平面向量基本定理可得 í 1 l ，解得
l = , m = ，
m -= 5 5
3
uuur r
所以 AE
2 ar 1= + b .
5 5
故选：C.
考点三、“爪子定理”的综合应用
uuur uuur
1．（全国·高考真题）设 D 为VABC 所在平面内一点，且 BC = 3CD ，则（ ）
uuur 1 uuur 4 uuur uuur uuur uuur
A. AD = - AB + AC 1 4 B. AD = AB - AC
3 3 3 3
uuur 4 uuur uuur uuur uuur uuur
C. AD = AB 1 AC 4 1+ D. AD = AB - AC
3 3 3 3
答案：A
A
B C D
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 1 uuur uuur
解析：由图可想到“爪字形图得： AC = AB + AD，解得： AD = - AB 4+ AC
4 4 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
2. 如图，在 VABC AN 1 2中， = NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB + AC ，则实数 m 的值为
3 11
（ ）
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 11
解：观察到 B, P, N 三点共线，利用“爪”字型图，可得
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AP = mAB + nAN 1 1，且m + n = 1，由 AN = NC 可得 AN = AC ，
3 4
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur
所以 AP = mAB + nAC ，由已知 AP = mAB 2+ AC 1 2 8 3可得： n = n = ，所以m =
4 11 4 11 11 11
答案：C
uuur 1 uuur uuur uuur 2 uuur
3. 如图，在 VABC 中， AN = NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB + AC ，则实数 m 的值为
3 11
（ ）
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 11
解：观察到 B, P, N 三点共线，利用“爪”字型图，可得
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuurAP = mAB + nAN ，且m + n = 1，由 AN = NC 可得 AN = AC ，
3 4
uuur uuur 1 uuur uuur uuurAP mAB nAC AP mAB 2
uuur
所以 = + ，由已知 = + AC 1 2可得： n = n 8 3= ，所以m =
4 11 4 11 11 11
答案：C
VABC uuur uuur1．（2024·云南昆明·一模）在 中，点D满足 AD = 4DB ，则（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur
A．CD = CA CB
1
+ B．CD = CA + CB
4 4 4 4
uuur 1 uuur 4 uuur uuur 4 uuurCD CA CB CD CA 1
uuur
C． = + D． = + CB5 5 5 5
【答案】C
【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.
【详解】如下图所示：
uuur uuur uuur uuur 4 uuur uuur 4 uuur uuur uuur 4 uuur uuur 1 uuur 4 uuur易知CD = CA + AD = CA + AB = CA + AC + CB = CA + -CA + CB = CA + CB ；5 5 5 5 5
uuur uuur uuur
即可得CD
1
= CA 4+ CB .
5 5
故选：C
uuur uuur uuur
2．（2024·广东广州·一模）已知在VABC 中，点D在边BC 上，且 BD = 5DC ，则 AD =（ ）
1 uuur 5 uuur 1 r r uuur uuur uuur uuur
A． AB + AC B． AC
5 1
+ AB C． AB
4 4
+ AC D． AB
1
+ AC
6 6 6 6 5 5 5 5
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算即可.
uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】在VABC 中，BC = AC - AB ，又点D在边BC 上，且 BD = 5DC ，
uuur uuur uuur uuur 5 uuur uuur 5 uuur uuur 1 uuur 5 uuur则 AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC - AB = AB + AC ，6 6 6 6
故选：A.
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在VABC 中，点D在BC 的延长线上，
uuur uuur uuur
BD = 3 DC ，如果 AD = xAB + y AC ，那么（ ）
x 1 , y 3 x 1A． = = B． = - , y
3
=
2 2 2 2
x 1 , y 3 x 1 , y 3C． = - = - D． = = -
2 2 2 2
【答案】B
uuur uuur uuur uuur
【分析】用向量的线性运算把向量 AD 分解成 AD = xAB + y AC 形式即可得答案.
uuur uuur uuur uuur 3 uuur
【详解】∵ AD = AB + BD, BD = BC ，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
∴ AD AB
3 3 1 3
= + BC = AB + AC - AB = - AB + AC ，2 2 2 2
故选：B．
uuur r uuur r
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在VABC 中，记 AB=a ， AC = b ，点D在直线BC 上，且BD = 3DC .
uuur r r m
若 AD = ma + nb，则 的值可能为（n ）
1 1
A．-2 B．- C． D．2
3 3
【答案】BC
【分析】分点内分与外分线段BC 讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当D点在线段BC 上时，如图，
uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur

AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC - AB 1 AB 3 1 3= + AC = a+ b ，4 4 4 4 4 4
1
m
所以 = 4
1
3 = ，n 3
4
当D点在线段BC 的延长线上时，如图，
uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur 1 uuur uuurAD AB BD AB BC AB AC AB AB 3 AC 1
3
= + = + = + - = - + = - a+ b ，
2 2 2 2 2 2
1
m - 2 1则 = 3 = - ，n 3
2
故选：BC.
ur uur
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 e1 、 e2 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的
是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． 2e1 + e2 和 e1 - e2 B． e1 + 3e2 和 e2 + 3e1
ur uur uur ur ur ur uur
C． 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 D． e1 和 e1 + e2
【答案】C
【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.
ur uur ur uur
【详解】对 A：不存在实数l ，使得 2e1 + e2 = l e1 - e2 ，
ur uur ur uur
故 2e1 + e2 和 e1 - e2 不共线，可作基底；
ur uur uur ur
对 B：不存在实数l ，使得 e1 + 3e2 = l e2 + 3e1 ，
ur uur uur ur
故 e1 + 3e2 和 e2 + 3e1 不共线，可作基底；
ur uur uur ur ur uur
对 C：对 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 ，因为 e1,e2 是不共线的两个非零向量，
uur ur ur uur
且存在实数-2，使得 2e2 - 6e1 = -2 3e1 - e2 ，
ur uur uur ur
故3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 共线，不可作基底；
ur ur uur ur ur uur对 D：不存在实数l ，使得 e1 = l e1 + e2 ，故 e1 和 e1 + e2 不共线，可作基底.
故选：C.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 ABCD是平行四边形， EC = 2BE ， DF = 2FC ，记 AB=a ， AD = b ，
uuur
则EF =（ ）
1 r r r r
A．- a
2 b 1 a 2+ B．- - b
3 3 3 3
2 r r r r
C． a
1 2 1
+ b D． a - b
3 3 3 3
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
【详解】在YABCD中，EC = 2BE ，DF = 2FC ， AB=a ， AD = b ，
uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 r 2 r
所以EF = CF - CE = CD - CB = - a + b .
3 3 3 3
故选：A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur
3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，EB = 2AE, BF = FC r，记 AB = a, AD = b ，则EF =（ ）
2 r 1 r 2 r 1 r
A． a - b B． a + b
3 2 3 2
1 ar 1
r r
C． + b
1 r 2
D． a + b
3 2 2 3
【答案】B
uuur uuur uuur
【分析】由向量的线性运算，用 AB, AD表示EF
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 1 uuur
【详解】因为EB = 2AE, BF = FC ，则有EB = AB, BF = BC = AD ，
3 2 2
uuur uuur uuur r
所以EF
2 r 1
= EB + BF = a + b .
3 2
故选：B．
uuur 2 uuur uuur
4．（2024·山东济南·二模）在VABC 中，E 为边 AB 的中点，BD = BC ，则DE =（ ）3
1 uuur 2 uuur 5 uuur 1 uuur
A．- AB + AC B． AB + AC
6 3 6 3
1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
C． AB + AC D． AB - AC
6 3 6 3
【答案】D
【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.
uuur 2 uuur
【详解】因为E 为边 AB 的中点，BD = BC ，
3
uuur uuur uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur uuur 1 uuur uuur uuur所以DE = DB + BE = CB - AB = AB - AC - AB 1= AB 2- AC .3 2 3 2 6 3
故选：D.
5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形 ABC 的边长为 2， P 为VABC 的中心，PE ^ AC ，垂足为E ，则
uuur
PE =（ ）
1 uuur 2 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur r r
A．- AB + AC B．- AB + AC C．- AB
1 AC 2 AB 1+ D．- + AC
3 3 3 6 6 3 3 3
【答案】B
【分析】连接 AP 并延长，交BC 于点D，根据 P 为VABC 的中心，易得D为BC 的中点，E 为 AC 的中点，
利用平面向量的线性运算求解.
【详解】解：如图所示：
连接 AP 并延长，交BC 于点D，
因为 P 为VABC 的中心，
所以D为BC 的中点．
又PE ^ AC,\E 为 AC 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur
\PE = AE - AP 1 2= AC - AD ，
2 3
1 uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur= AC - AB + AC = - AB + AC ，2 3 2 3 6
故选：B．
uuur uuur uuur uuur uuur
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形 ABCD中，DC = 3AB, E 为线段 AD 的中点，DF = 2FC ，则EF =
（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur uuurBA BC BA BC 1
uuur uuur uuur uuur
A．- + B．- + C．- BA
1
+ BC 3D．-BA + BC
2 2 2 2 2
【答案】A
uuur uuur uuur uuur
EF 5
uuur 1 uuur
【分析】先用向量和三角形减法法则得 EF = DF - DE ，再对它们进行线性运算转化为 = - BA + BD，2 2
uuur uuur uuur
此时继续找到BD = BC + 3BA，从而可得结果.
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur
由图可得：EF = DF - DE ，由DF = 2FC, E 为线段 AD 的中点可得，
uuur 2 uuurEF DC 1
uuur uuur uuur
= - DA，再由DC = 3AB 可得，3 2
uuur 2 uuur 1 uuur uuur 5 uuur 1 uuurEF = -3 BA - BA - BD = - BA + BD ，3 2 2 2
uuur uuur uuur uuur uuur
又因为BD = BC + CD = BC + 3BA，代入得：
uuur 5 uuurEF BA 1 uuur uuur= - + BC + 3BA uuur uuur= -BA 1+ BC ，2 2 2
故选：A.
7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形 ABCD中，E 为 AC 中点. F 为线段 AD 上靠近点A 的四等分点，
uuur r uuur r uuur设 AB = a ， AD = b ，则EF =（ ）
1 ar 1
r 3 r 1 r
A．- - b B．- a - b
4 2 4 2
1 r 1 r 1 r 3 r
C．- a - b D．- a - b
2 4 2 4
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算可得答案.
uuur uuur uuur r r
【详解】如图所示，由题意可得 AC = AB + AD = a + b ，
uuur uuur uuur 1 uuur uuur r r r
而EF = EA + AF = CA
1 AD 1 ar b 1 b 1 ar 1+ = - + + = - - b ，2 4 2 4 2 4
故选：C.
uuur uuur
8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形 ABCD中， AB//CD 且满足 AB = 2DC ，E 为 AC 中点，F 为线段 AB
uuur r uuur r uuur上靠近点 B 的三等分点，设 AB = a ， AD = b ，则EF =（ ）．
2 ar 1
r 3 r r r
A． - b B． a
r 1 b 5 r 1- C． a - b 1 ar 1D． - b
3 2 4 6 12 2 2 6
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.
【详解】如图所示，
uuur uuur uuur uuur 1 uuur rAC AD DC AD AB b 1 ar由题意可得 = + = + = + ，
2 2
uuur uuur uuur uuur
EF EA AF 1 CA 2
uuur
AB 1
r 1 r 2 r 5 r 1 r
而 = + = + = - b + a ÷ + a = a - b .2 3 2 è 2 3 12 2
故选：C．
uuur uuur uuur uuur uuur
9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形 ABCD是平行四边形，BE = 2EC ，DF = FC ，则EF =（ ）
1 uuur 1 uuur uuur uuur
A．- AB + AD
1 1
B．- AB - AD
2 3 2 3
1 uuur 1 uuur uuur uuur
C．- AB + AD
1 1
D．- AB - AD
3 2 3 2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.
uuur uuur uuur uuur
【详解】在YABCD 中，由BE = 2EC ，DF = FC ，
uuur uuur uuur
EF EC CF 1
uuur 1 uuur 1 uuur uuur
得 = + = BC + CD = - AB
1
+ AD .
3 2 2 3
故选：A
uuur r uuur r uuur uuur uuur uuur10．（2024·广东佛山·模拟预测）在VABC 中， AB = a, AC = b ，若 AC = 2EC, BC = 2DC ，线段 AD 与 BE 交
uuur
于点F ，则CF =（ ）
1 r r
A． a
r 2 b 1 ar 2+ B． - b
3 3 3 3
1 r r
- a 2+ b 1 ar 2
r
C． D． - - b
3 3 3 3
【答案】B
r 2 r
【分析】根据中线性质得出 AF = AD，再由平面向量线性运算即可求得结果.
3
【详解】如下图所示：
uuur uuur uuur uuur
由 AC = 2EC, BC = 2DC 可得D, E 分别为BC, AC 的中点，
r 2 r
由中线性质可得 AF = AD，
3
uuur 1 uuur uuur 1 r r uuur 2 1 r rAD AB AC a b AF a b 1 ar r又 = + = + ，所以 = + = + b ，2 2 3 2 3
uuur uuur uuur r r
因此CF
1 r
= CA + AF = -b + a + b3
1 ar 2
r
= - b .
3 3
故选：B
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）在VABC 中，D是边BC 上一点，且 BD = 2DC, E 是 AC 的中点，记
uuur ur uuur r uuur
AC = m, AD = n，则BE =（ ）
5 r ur r ur ur r ur r
A． n - 3m
7 7
B． n - 3m C． m - 3n
5
D． m - 3n
3 2 2 2
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur
【详解】BE = AE - AB = AC - (AC + CB)
2
1 uuur uuur uuur uuur uuur
= - AC - 3CD 1= - AC - 3 AD - AC
2 2
5 uuur uuur
= AC - 3AD 5 mr r= - 3n ，
2 2
故选：D．
uuur
2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形 ABCD，点 P 在△BCD的内部（不含边界），则下列选项中， AP 可
能的关系式为（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur uuur
A． AP = AB + AD B． AP
1 3
= AB + AD
5 5 4 4
uuur 2 uuur 3 uuur uuurAP AB AD AP 2
uuur uuur
C． = + D． = AB
4
+ AD
3 4 3 3
【答案】C
uuur uuur uuur
【分析】根据题意，设 AP = xAB + y AD，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.
uuur uuur uuur
【详解】设 AP = xAB + y AD(x, y R)，由平面向量的基本定理，可得：
当 x + y =1时，此时点 P 在直线 BD 上；
当0 < x + y <1时，此时点 P 在点 A 和直线 BD 之间；
当1< x + y < 2时，此时点 P 在点 C 和直线 BD 之间；
当 x + y = 2 时，此时点 P 在过点 C 且与直线 BD 平行的直线上，
uuur 1 uuur 3 uuur 1 3
对于 A 中，由向量 AP = AB + AD，满足 + <1，所以点 P 在△ABD 内部，所以 A 错误；
5 5 5 5
uuur 1 uuur uuur
对于 B 中，由 AP = AB
3 AD 1 3+ ，满足 + =1，所以点 P 在BD上，所以 B 错误；
4 4 4 4
uuur uuur uuur
对于 C 中，由 AP
2
= AB 3+ AD，满足1
2 3
< + < 2 ，所以点 P 可能在△BCD内部，所以 C 正确；
3 4 3 4
uuur 2 uuur 4 uuur 2 4
对于 D 中，由 AP = AB + AD，满足 + = 2，此时点 P 在过点 C 且与直线 BD 平行的直线上，所以 D
3 3 3 3
错误.
故选：C.
uuur uuur uuur r uuur uuur3．（2023·湖南· r一模）在VABC 中，点D满足 AD = 2DB, E 为△BCD重心，设BC = m, AC = n ，则 AE可表
示为（ ）
1 mr 2 nr 1 mr 2 rA． + B．- + n
3 3 3 3
5 mr 8 nr 5 r 8 rC．- + D． m + n
9 9 9 9
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.
uuur uuur uuur uuur 2 1 uuur uuur uuur 1 2 uuur 1 uuurAE AC CE AC 1
uuur
【详解】 = + = + CD + CB = AC +
CB + CA + CB . = n
r 2 r 1
+ × -m +
3 2 3 è 3 3 ÷ 3 9 9
-nr 1 r+ × -m 5 mr 8 r= - + n .
3 9 9
故选：C
uuur uuur uuur uuur uuur
4．（22-23 高三上·全国·阶段练习）在平行四边形 ABCD中，BE = 2ED， AF = AC + 2AB，若
uuur uuur uuur l
EF = l AB + m AD l, m R ，则 =m （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
r 8 r r
【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得EF = AB
1
+ AD，从而得解.
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】 AF = AC + 2AB = AB + AD + 2AB = 3AB + AD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Q AE = AB + BE = AB + 2ED = AB + 2(AD - AE)，
uuur 2 uuur\ AE AD 1
uuur
= + AB
3 3 ，
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur\ EF = AF AE 3AB AD AD 1 AB 8 AB 1- = + - - = + AD
3 3 3 3 ，
uuur uuur uuur
Q EF = l AB + m AD ，
l 8 m 1
l
\ = =
3， ，
\ = 8
m ．3
故选：D．
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 ABCD中， AB = 4 ， ABC = 60o ， E, F 分别为 AB, BC 上的点，
uuur uuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur uuuur uuur
BE = 3EA，BF = 3FC ．若线段 EF 上存在一点M ，使得DM = DC + xDA x R ，则DM ×CA等于（2 ）
A． 2 B． 4 C．6 D．8
【答案】A
uuur uuur uuuur
【分析】以BE, BF 为基底可表示出BM ，由三点共线可构造方程求得 x ，将所求数量积化为
1 uuur 3 uuur uuur uuur - BA - BC ÷ × BA - BC ，根据数量积的定义和运算律可求得结果.
è 2 4
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur 4 uuur uuur 4 uuur
QBE = 3EA，BF = 3FC ，\BA = BE ，BC = BF ，3 3
uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuurDM DC xDA AB xCB BA xBC 2
uuur uuur
\ = + = + = - - = - BE 4x- BF ，
2 2 2 3 3
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
\BM = BD + DM = BA + BC + DM 2 BE 4= + 1- x BF ，
3 3
2 4 3 uuuur 1 uuur 3 uuurQE, M , F 三点共线，\ + 1- x =1，解得： x = ，\DM = - BA - BC ，
3 3 4 2 4
uuuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur2\DM ×CA = - BA
3 1 1
- BC × BA - BC = - BA - BA 3× BC + BC o .
è 2 4 ÷
2 4 4 = -8 - 4cos 60 +12 = 2
故选：A.
6．（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中，D是BC 的中点，直线 l分别与 AB, AD, AC 交于点M , E, N ，且
uuur 4 uuuur uuur uuur uuur uuurAB = AM ， AE = 2ED, AC = l AN ，则l =（ ）
3
8 5 7 5
A． B． C． D．
5 3 4 2
【答案】B
uuuur uuur uuur
【分析】根据向量运算法则，利用 AM , AN 表示 AE，结合向量三点共线的定理列式运算求解.
uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
【详解】由 AE = 2ED ，得 AE = AD
1 AB AC 1 4 AM l AN 4 AM l= + = + = + AN .
3 3 3 3 ֏ 9 3
因为M , E, N
4 l 1 l 5共线，所以 + = ，解得 = .
9 3 3
故选：B.
uuur uuur
7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在 VABC 中， BD = 2DC ，过点 D的直线分别交直线 AB 、 AC 于点 E 、 F ，
uuur uuur uuur uuur
且 AE = mAB, AF = nAC ，其中m > 0， n > 0，则m + 2n 的最小值为（ ）
8
A． 2 B． 2 C．3 D． 3
【答案】C
uuur uuur uuur E, F , D 1 2【分析】根据题意以 AB, AC 为基底表示出 AD ，再根据 三点共线，利用共线定理可得 + =1，3m 3n
再由基本不等式即可求得m + 2n 的最小值为3 .
【详解】如下图所示：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur 2 uuur因为BD = 2DC ，易知 AD = AB + BD = AB + BC = AB + AC - AB = AB + AC ，3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
又 AE = mAB, AF = nAC ，所以 AD = AB + AC = AE + AF ，
3 3 3m 3n
1 2
易知E, F , D三点共线，利用共线定理可得 + =1，
3m 3n
又m > 0， n > 0，
m 2n m 2n 1 2 1 2m 2n 4 2 2m 2n 5 2 2 5所以 + = + + ÷ = + + + × + = + = 3；
è 3m 3n 3 3n 3m 3 3n 3m 3 3 3
2m 2n
当且仅当 = ，即m = n =1时，等号成立，
3n 3m
所以m + 2n 的最小值为3 .
故选：C
二、多选题
8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形 ABCD中， AB = 6, BC = 4, E 是BC 的中点，F 是DC 上的一点，
且DF = 2FC ，则下列说法正确的是（ ）
uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur
A． AF
1
= AB + AD B． AF = AB + AD
3 3
uuur uuur uuur uuur
C． AE × AF = 28 D． AE × AF = 32
【答案】AD
uuur uuur 1 uuur
【分析】利用向量加法法则运算判断 AB，先用加法法则求得 AE = AB + AD，再利用数量积的定义及运算
2
律求解判断 CD.
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur
【详解】 AF = AD + DF = AD + DC = AD + AB ，故 A 正确，B 错误；
3 3
uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
因为 AE = AB + BE = AB + BC = AB + AD，
2 2
uuur uuur uuur 1 uuurAE AF AB AD 2
uuur uuur
所以 × = + ÷ × AB + AD

è 2 è 3 ÷
1 uuur2 2 uuur2 4 uuur uuur
= AD + AB + AD × AB = 8 + 24 + 0 = 32，故 C 错误，D 正确.
2 3 3
故选：AD.
三、填空题 uuur uuur
9．（23-24 高三上·天津和平·阶段练习）如图，在 VABC 中， AB = 2, AC = 3, AB × AC = 3，点 D是 BC 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur
点E 在边 AC 上，3AE = AC, BE 交 AD 于点F ，设BF = l AB + m AC l, m R ，则l + m = ；点G 是
uuur uuur
线段BC 上的一个动点，则BF × FG 的最大值为 ．
1 9
【答案】 - / -0.5
2 8
【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.
【详解】
uuur uuur uuur uuur
设 AF = mAD, BF = nBE ，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur m uuur m uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur n uuur uuur
由题意可知 AD = AB + AC AF = AB + AC ，BE = AE - AB = AC - AB BF = AC - nAB，
2 2 2 2 3 3
uuur uuur uuur n uuur uuur m uuurAF AB BF AC m
uuur
则 = + = + 1- n AB = AB + AC ，
3 2 2
ìn m 1
=
ìm =
AB AC 3 2
2
因为 、 不共线，所以有 í m í 3 ， 1- n = n =
2 4
ì 3
uuur 1 uuur 3 uuur l = -
此时BF = AC
1
- AB 4í l + m = -1 ；4 4 m 2=
4
uuur uuur uuur uuur
可设BG = k BC = k AC - AB k 0,1 ，
uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur k uuur2 uuur uuuré ù 3k uuur2 uuur2则BF × FG = k AC - AB - BF × AC - AB ÷ = AC - k AB × AC + AB - BF ，è 4 4 4 4
9k 27 9
= -
4 16 8
当C、G重合时取得等号.
1 9
故答案为：- ； .
2 8
3
10．（2024·天津·模拟预测）如图，在VABC 中， AB = 2 ， AC = 5， cos CAB = ，D 是边BC 上一点，且
5
uuur uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BD = 2DC .若BP = AD ，记PD = l AB + m AC l, m R ，则l + m = ；若点 P 满足BP与 AD 共线，4
uuur
uuur uuur BP
PA ^ PC ，则 uuur 的值为 .
AD
3 3 3
【答案】 - / -0.75 或
4 4 16
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】把BD = 2DC 两边用 AD, AB, AC 表示即可得解；利用共线向量建立BP， AD 之间的数乘关系，进
uuur uuur uuur uuur
而结合第一空把PA, PC 用 AB, AC 表示，利用垂直向量点积为零可得解．
uuur uuur
【详解】BD = 2DC ，
uuur uuur uuur uuur∴ AD - AB = 2 AC - AD ，
uuur
AD 1
uuur 2 uuur
∴ = AB + AC ，
3 3
uuur uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2 uuur uuurPD 3 1
uuur 2 uuur
则 = BD - BP = BC - AD = AC - AB - 3 4 3 4 AB + AC3 3 ÷è
11 uuur 1 uuur
= - AB + AC ，
12 6
uuur uuur uuur 11 1
又PD = l AB + m AC ，∴ l = - , m = ，
12 6
所以l + m
3
= - ；
4
uuur uuur
∵ BP与 AD 共线，
uuur uuur
∴可设BP = xAD ， x R ，
uuur 1 uuur uuur
∵ AD
2
= AB + AC ，
3 3
uuur x uuur 2x uuur
∴ BP = AB + AC ，
3 3
uuur uuur uuur
∴ PA = PB + BA
uuur uuur
= -BP - AB
x uuur 2x uuur
= - +1÷ AB - AC ，
è 3 3
uuur uuur uuur x uuur1 AB 1 2x
uuur
PC = PA + AC = - + + - AC ，
è 3 ÷ è 3 ÷
uuur uuur 2 uuur2
∴ xPA PC = +1 AB
x
+ +1 4x
uuur uuur 2x 2x uuur2
× ÷ ÷ -1÷ AB × AC -
1-
3 3 3 3 3 ÷
AC ，①
è è è è
∵ AB = 2, AC = 5,cos CAB
3
= ，
5
∴ uuur2
uuur2 uuur uuur
AB = 4， AC = 25， AB × AC = 6，②
把②代入①并整理得：
uuur uuur
∴ PA × PC
128
= x2 -8x - 2，
9
uuur uuur
∵ PA ^ PC ，
uuur uuur
∴ PA × PC = 0 ，
128
∴ x2 -8x - 2 = 0，
9
x 3 , x 3解得： 1 = 2 = - ，4 16
uuur
BP
∴ uuur = x
3 3
= 或 ，
AD 4 16
uuur
BP
故 uuur
3 3
的值为 或 ．
AD 4 16
3 3 3
故答案为：- ； 或 ．
4 4 16
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ABCD，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点（如图所示），设
uuur r uuur r uuurAB = a ， AD = b ，则EF 等于（ ）
1 rar b 1 ar r 1A． + B． - b C． rb r 1 r r- a D． a + b2 2 2 2
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 AC ，则 AC 为VABC 的中位线，
uuur uuur r
\ EF 1= AC 1 ar 1= + b ，
2 2 2
故选：A
uuuv v uuuv v uuuv uuuv
2．（全国·高考真题）在V
uuuv
ABC 中， AB = c， AC = b ．若点D满足BD = 2DC ，则 AD =（ ）
2 v 1 v 5 v 2 v 2 v 1 v v v
A． b + c B． c - b C． b - c
1 b 2D． + c
3 3 3 3 3 3 3 3
【答案】A
【详解】试题分析： ，故选
A．
uuur uuur uuur uuur uuur
3．（·全国·高考真题）在VABC 中， D 是 AB 边上一点.若 AD = 2DB,CD
1
= CA + lCB ，则 l 的值为（
3 ）
2 1 1 2
A． B． C．- D3 ．-3 3 3
【答案】A
uuur 1 uuur 2 uuur
【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把CD化为 CA + CB ，和已知的条件作对比，求出l3 3
值．
uuur uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
【详解】解：Q AD = 2DB,CD = CA + lCB ，CD = CA + AD
2
= CA + AB = CA 2+ ( CB - CA)
3 3 3
1 uur 2 uuur 2
= CA + CB，\l = ，
3 3 3
故选：A．
uuuv uuuv v v v
4．（全国·高考真题）VABC 中，点D在 AB 上，CD 平分 ACB ．若CB = av ，CA = b ， a =1， b = 2，则
uuuv
CD =
1 v 2 v 2 va 1
v 3 v 4 v 4 v 3 v
A． + b B． a + b C． a + b D． a + b
3 3 3 3 5 5 5 5
【答案】B
【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，
BD CB
∴ 1DA ＝ CA ＝ 2 ，
uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 1
∴ BD＝ 3 BA＝
( －
3 CA CB
)＝ b－ a，
3 3
uuur uuur uuur 1 1
∴ 2
1
CD＝CB＋BD＝a＋ b－ a＝ a＋ b.3 3 3 3
uuuv v uuuv v uuuv uuuv uuuuv
5 v
v
．（安徽·高考真题）在YABCD中， AB = a, AD = b, AN = 3NC ，M 为 BC 的中点，则MN = _______．（用 a、b
表示）
uuuuv r
【答案】MN
1
= - ar 1+ b
4 4
uuur uuur uuur uuur r uuuur r 1 r uuuur 3 r r r 1 r 1 r 1 r
【详解】解：由AN = 3NC得4AN = 3AC=3(ar + b) ， AM = a + b ，所以MN = (a + b) - (a + b) = - a + b 。
2 4 2 4 4
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
6．（北京·高考真题）在△ABC 中，点 M，N 满足 AM = 2MC, BN = NC ，若MN = xAB + y AC ，则 x＝ ，
y＝ .
1 1
【答案】 -
2 6
【详解】特殊化，不妨设AC ^ AB, AB = 4, AC = 3，利用坐标法，以 A 为原点，AB 为 x 轴， AC 为 y 轴，
3 uuuur 1 uuur uuur
建立直角坐标系，A( 0, 0) , M( 0, 2) , C( 0, 3) , B( 4, 0) , N( 2, )，MN = (2,- ), AB = (4,0), AC = (0,3)，则
2 2
1 1 1 1
( 2, - ) = x( 4, 0) + y( 0, 3)，4x = 2, 3y = - ,\ x = , y = - .
2 2 2 6
考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.
7．（江苏·高考真题）如图，在VABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点O .若
uuuv uuuv uuuv uuuv AB
AB × AC = 6AO × EC ，则 的值是 .AC
【答案】 3 .
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点 D 作 DF//CE，交 AB 于点 F，由 BE=2EA，D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD.
uuur uuur uuur
6AOgEC = 3ADg uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuurAC - AE = AB + AC g AC - AE2
3
=
2
uuur uuur uuur 1 uuur 3 uuur uuurAB AC g AC AB ABgAC 1 uuur2 uuur2 1 uuur uuur+ - ÷ = - AB + AC - ABgAC ÷
è 3 2 è 3 3
3 2 uuur uuur 1 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur= ABgAC
1 3
- AB + AC = ABgAC - AB + AC = ABgAC ，
2 è 3 3 ÷ 2 2
1 uuur2 3 uuur2 uuur uuur
得 AB = AC ,即 AB = 3 AC ,
AB
故 = 3 .
2 2 AC
【点睛】本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几
何法，利用数形结合和方程思想解题.第 03 讲 平面向量基本定理及其拓展
（“爪子定理”）（高阶拓展）
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023 年全国乙卷文数，第 6 数量积的运算律
用基底表示向量
题,5 分 数量积的坐标表示
2022 年新 I 卷，第 3 题,5 分 用基底表示向量 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为 5 分
【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示
3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量
4.会综合应用平面向量基本定理求解
【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易
理解，易得分，需重点复习。
知识讲解
1.平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一
对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（1）．基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．
(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、
减运算或数乘运算.
uuur uuur uuur
3. 形如 AD = xAB + y AC 条件的应用（“爪子定理”）
“爪”字型图及性质： A
uuur uuur uuur
（1）已知 AB, AC 为不共线的两个向量，则对于向量 AD ，必存在 x, y ，使得
uuur uuur uuur
AD = xAB + y AC 。则 B,C, D 三点共线 x + y = 1
B D C
当0 < x + y < 1，则 D 与 A位于 BC 同侧，且 D 位于 A与 BC 之间
当 x + y > 1，则 D 与 A位于 BC 两侧
x + y = 1时，当 x > 0, y > 0，则 D 在线段 BC 上；当 xy < 0，则 D 在线段 BC 延长线上
A
uuur uuur uuur
（2）已知 D 在线段 BC 上，且 BD : CD m : n AD n= ，则 = AB m+ AC
m + n m + n
uuur uuur uuur
3、 AD = xAB + y AC 中 x, y 确定方法 B m D n C
（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定
x, y
uuur uuur uuur
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程 AD = xAB + y AC ，可考虑两边对同一向量作数
量积运算，从而得到关于 x, y 的方程，再进行求解
（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于 x, y 的方程，
再进行求解
考点一、基底的概念及辨析
1．（2024 高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
r r r r
A． e1 = 0,0 ， e2 = 1,-2 B． e1 = -1,2 ， e2 = 5,7
r
C． e1 = 3,5
r r r 1 3
， e2 = 6,10 D． e1 = 2, -3 ， e2 = , - ÷
è 2 4
r r
2．（2024 高三·全国·专题练习）如果 e1,e2 是平面 α 内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为
平面内所有向量的一组基底的是（ ）
er rA． 1与 e1 + e
r r
2 B． e1 - 2e
r r r
2与 e1 + 2e2
er er er er rC． 1 + 2与 1 - 2 D． e1 + 3e
r
2 与 2e
r r
1 + 6e2
3．（2023 高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（ ）
r r r r
A． a = 1,2 ，b = 0,0 B． a = 1,2 ，b = -1, -2
r r r r
C． a = 1,2 ，b = 5,10 D． a = 1,2 ，b = -1,2
r
1．（2023·陕西西安·一模）设 k R ，下列向量中，可与向量 q = 1, -1 组成基底的向量是（ ）
r r
A．b = k,k B． c = -k, -k
ur r
C 2． d = k +1, k 2 +1 D． e = k 2 -1, k 2 -1
ur uur
2．（2023 高三·全国·专题练习）设 e1,e2 为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． e1 + e2 和 e1 - e2 B． 4e1 + 2e2 和 2e2 - 4e1
ur uur ur 1 uur ur uur uur ur
C． 2e1 + e2 和 e1 + e2 D． e1 - 2e2 和 4e2 + 2e2 1
考点二、平面向量的基本定理综合
uuur r uuur r uuur1．（2022·全国·高考真题）在VABC 中，点 D 在边 AB 上，BD = 2DA．记CA = m，CD = n ，则CB =（ ）
A 3mr 2nr B 2mr 3nr C 3mr 2nr D 2mr 3nr． - ．- + ． + ． +
uuuv
2．（全国·高考真题）在△ ABC 中， AD 为BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB =
3 uuuv 1 uuuv 1 uuuv 3 uuuv
A． AB - AC B． AB - AC
4 4 4 4
3 uuuv 1 uuuv uuuv uuuv
C． AB + AC
1 3
D． AB + AC
4 4 4 4
uuur uuur uuur
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在VABC 中，M 是 AB 的中点， AN = 3NC,CM 与BN 相交于点 P ，则 AP =
（ ）
3 uuur uuur uuur uuur
A． AB
1
+ AC 1B． AB
3
+ AC
5 5 5 5
1 uuur 3 uuur uuur uuur
C． AB + AC
3 1
D． AB + AC
2 4 4 2
1．（广东·高考真题）在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与
uuuv uuuv v uuuv
CD 交于点 F，若 AC = av，BD = b ，则 AF =
1 vav 1 b 2
v 1 v v v v
A． + B． a b
1 1 1 2
+ C v． a + b D． a + b
4 2 3 3 2 4 3 3
uuur uuur uuur
2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边VABC 的边长为 1，点D, E 分别为 AB, BC 的中点，若DF = 3EF ，则 AF =
（ ）
1 uuur 5 uuur 1 uuur 3 uuur
A． AB + AC B． AB + AC
2 6 2 4
1 uuur uuur 1 r 3 r
C． AB + AC D． AB + AC
2 2 2
3．（22-23 高一下·河南洛阳·阶段练习）在VABC 中，点M 是 AB 的中点， N 点分 AC 的比为 AN : NC =1: 2, BN
uuur uuur r uuur
与CM 相交于E ，设 AB = ar, AC = b ，则向量 AE =（ ）
1 ar 1
r r r
b 1 r 2 2 ar 1 b 3 r 4
r
A． + B． a + b C． + D2 3 ．
a + b
3 2 5 5 5 5
考点三、“爪子定理”的综合应用
uuur uuur
1．（全国·高考真题）设 D 为VABC 所在平面内一点，且 BC = 3CD ，则（ ）
uuur 1 uuur 4 uuur uuur 1 uuurAD AB AC AD AB 4
uuur
A. = - + B. = - AC
3 3 3 3
uuur 4 uuurAD AB 1
uuur uuur 4 uuur uuur
C. = + AC 1 D. AD = AB - AC
3 3 3 3
uuur 1 uuur uuur uuur uuur
2. 如图，在 VABC 中， AN = NC ， P 是 BN 2上的一点，若 AP = mAB + AC ，则实数 m 的值为
3 11
（ ）
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 11
uuur uuur uuur uuur uuur
3. 如图，在 VABC 1中， AN = NC ， P 是 BN 上的一点，若 AP = mAB 2+ AC ，则实数 m 的值为
3 11
（ ）
9 5 3 2
A. B. C. D.
11 11 11 11
uuur uuur
1．（2024·云南昆明·一模）在VABC 中，点D满足 AD = 4DB ，则（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur 3 uuur uuur
A．CD = CA + CB B．CD = CA
1
+ CB
4 4 4 4
uuur 1 uuur 4 uuur uuur 4 uuur uuur
C．CD = CA + CB D．CD = CA
1
+ CB
5 5 5 5
uuur uuur uuur
2．（2024·广东广州·一模）已知在VABC 中，点D在边BC 上，且 BD = 5DC ，则 AD =（ ）
1 uuur 5 uuur 1 r 5 r uuur uuur uuur uuur
A． AB + AC B． AC + AB
1
C． AB
4 4 1
+ AC D． AB + AC
6 6 6 6 5 5 5 5
3．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在VABC 中，点D在BC 的延长线上，
uuur uuur uuur
BD = 3 DC ，如果 AD = xAB + y AC ，那么（ ）
x 1 , y 3 x 1 , y 3A． = = B． = - =
2 2 2 2
1
C． x = - , y
3 1 3
= - D． x = , y = -
2 2 2 2
uuur r uuur r
4．（2023·江苏苏州·模拟预测）（多选）在VABC 中，记 AB=a ， AC = b ，点D在直线BC 上，且BD = 3DC .
uuur r r m
若 AD = ma + nb，则 的值可能为（n ）
1 1
A．-2 B．- C． D．2
3 3
ur uur
1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 e1 、 e2 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的
是（ ）
ur uur ur uur ur uur uur ur
A． 2e1 + e2 和 e1 - e2 B． e1 + 3e2 和 e2 + 3e1
ur uur uur ur ur ur uur
C． 3e1 - e2 和 2e2 - 6e1 D． e1 和 e1 + e2
uuur uuur uuur uuur uuur r uuur r
2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形 ABCD是平行四边形， EC = 2BE ， DF = 2FC ，记 AB=a ， AD = b ，
uuur
则EF =（ ）
1 r 2 ra b 1
r
a 2
r
A．- + B．- - b
3 3 3 3
2 r 1 r r r
C． a + b
2 1
D． a - b
3 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r uuur
3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形 ABCD中，EB = 2AE, BF = FC ，记 AB = ar, AD = b ，则EF =（ ）
2 r 1 r 2 r 1 r
A． a - b B． a + b
3 2 3 2
1 r r
C． a
r 1
+ b 1 ar 2D． + b
3 2 2 3
uuur 2 uuur uuur
4．（2024·山东济南·二模）在VABC 中，E 为边 AB 的中点，BD = BC ，则DE =（ ）3
1 uuur 2 uuur 5 uuurAB AC AB 1
uuur
A．- + B． + AC
6 3 6 3
1 uuur uuurAB 2 AC 1
uuur 2 uuur
C． + D． AB - AC
6 3 6 3
5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形 ABC 的边长为 2， P 为VABC 的中心，PE ^ AC ，垂足为E ，则
uuur
PE =（ ）
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
A．- AB
2
+ AC 1B．- AB
1 AC 1 1 2 1+ C．- AB + AC D．- AB + AC
3 3 3 6 6 3 3 3
uuur uuur uuur uuur uuur
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形 ABCD中，DC = 3AB, E 为线段 AD 的中点，DF = 2FC ，则EF =
（ ）
uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 3 uuur
A．-BA + BC B．- BA + BC C．- BA + BC D．-BA + BC
2 2 2 2 2
7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形 ABCD中，E 为 AC 中点. F 为线段 AD 上靠近点A 的四等分点，
uuur r uuur r uuur设 AB = a ， AD = b ，则EF =（ ）
1 r 1 r 3 r 1 r
A．- a - b B．- a - b
4 2 4 2
1 ar 1
r
b 1 ar 3
r
C．- - D．- - b
2 4 2 4
uuur uuur
8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形 ABCD中， AB//CD 且满足 AB = 2DC ，E 为 AC 中点，F 为线段 AB
uuur uuur r uuur
上靠近点 B 的三等分点，设 AB ar= ， AD = b ，则EF =（ ）．
2 r 1 r 3 r r r
A． a - b B． a
r 1 b 5 ar 1- - b 1 ar 1C． D． - b
3 2 4 6 12 2 2 6
uuur uuur uuur uuur uuur
9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形 ABCD是平行四边形，BE = 2EC ，DF = FC ，则EF =（ ）
1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
A．- AB
1
+ AD B．- AB - AD
2 3 2 3
1 uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur
C．- AB + AD D．- AB - AD
3 2 3 2
uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
10．（2024· r广东佛山·模拟预测）在VABC 中， AB = a, AC = b ，若 AC = 2EC, BC = 2DC ，线段 AD 与 BE 交
uuur
于点F ，则CF =（ ）
1 r 2 r r
A． a + b
1 r 2
B． a - b
3 3 3 3
1 r 2 r r
C．- a + b
1 ar 2D． - - b
3 3 3 3
一、单选题
1．（2024·福建漳州·模拟预测）在VABC 中，D是边BC 上一点，且 BD = 2DC, E 是 AC 的中点，记
uuur ur uuur r uuur
AC = m, AD = n，则BE =（ ）
5 r ur 7 r ur 7 ur r ur r
A． n - 3m B． n - 3m C． m - 3n
5
D． m - 3n
3 2 2 2
uuur
2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形 ABCD，点 P 在△BCD的内部（不含边界），则下列选项中， AP 可
能的关系式为（ ）
uuur 1 uuur 3 uuur uuur uuur uuur
A． AP = AB + AD B． AP
1 3
= AB + AD
5 5 4 4
uuur 2 uuur 3 uuur uuur 2 uuur 4 uuur
C． AP = AB + AD D． AP = AB + AD
3 4 3 3
uuur uuur uuur
3 2023· · VABC D AD 2DB, E △BCD BC mr
uuur r uuur
．（ 湖南 一模）在 中，点 满足 = 为 重心，设 = , AC = n ，则 AE可表
示为（ ）
1 mr 2 nr 1 mr 2 rA． + B．- + n
3 3 3 3
5 mr 8 r 5C．- + n D． m
r 8
+ nr
9 9 9 9
uuur uuur uuur uuur uuur
4．（22-23 高三上·全国·阶段练习）在平行四边形 ABCD中，BE = 2ED， AF = AC + 2AB，若
uuur uuur uuur l
EF = l AB + m AD l, m R ，则 =m （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形 ABCD中， AB = 4 ， ABC = 60o ， E, F 分别为 AB, BC 上的点，
uuur uuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur uuuur uuur
BE = 3EA，BF = 3FC ．若线段 EF 上存在一点M ，使得DM = DC + xDA x R ，则 等于（2 DM ×CA ）
A． 2 B． 4 C．6 D．8
6．（2024·河北衡水·模拟预测）在VABC 中，D是BC 的中点，直线 l分别与 AB, AD, AC 交于点M , E, N ，且
uuur 4 uuuur uuur uuur uuur uuurAB = AM ， AE = 2ED, AC = l AN ，则l =（ ）
3
8 5 7 5
A． B． C． D．
5 3 4 2
uuur uuur
7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在 VABC 中， BD = 2DC ，过点 D的直线分别交直线 AB 、 AC 于点 E 、 F ，
uuur uuur uuur uuur
且 AE = mAB, AF = nAC ，其中m > 0， n > 0，则m + 2n 的最小值为（ ）
8
A． 2 B． 2 C．3 D． 3
二、多选题
8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形 ABCD中， AB = 6, BC = 4, E 是BC 的中点，F 是DC 上的一点，
且DF = 2FC ，则下列说法正确的是（ ）
uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur
A． AF = AB + AD B． AF
1
= AB + AD
3 3
uuur uuur uuur uuur
C． AE × AF = 28 D． AE × AF = 32
三、填空题 uuur uuur
9．（23-24 高三上·天津和平·阶段练习）如图，在 VABC 中， AB = 2, AC = 3, AB × AC = 3，点 D是 BC 的中点，
uuur uuur uuur uuur uuur
点E 在边 AC 上，3AE = AC, BE 交 AD 于点F ，设BF = l AB + m AC l, m R ，则l + m = ；点G 是
uuur uuur
线段BC 上的一个动点，则BF × FG 的最大值为 ．
3
10．（2024·天津·模拟预测）如图，在VABC 中， AB = 2 ， AC = 5， cos CAB = ，D 是边BC 上一点，且
5
uuur uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuurBD = 2DC .若BP = AD ，记PD = l AB + m AC l, m R ，则l + m = ；若点 P 满足BP与 AD 共线，4
uuur
uuur uuur BP
PA ^ PC ，则 uuur 的值为 .
AD
1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ABCD，点E ，F 分别是 AB ，BC 的中点（如图所示），设
uuur
AB r
uuur r uuur
= a ， AD = b ，则EF 等于（ ）
1 r r 1 r r 1 r r 1 r r
A． a + b B． a - b C． b - a D． a + b2 2 2 2
uuuv v uuuv v uuuv uuuv uuuv
2．（全国·高考真题）在VABC 中， AB = c， AC = b ．若点D满足BD = 2DC ，则 AD =（ ）
2 vb 1
v
c 5
v 2 v 2 v 1 vc 1
v 2 v
A． + B． - b C． b - c D． b + c
3 3 3 3 3 3 3 3
uuur uuur uuur 1 uuur uuur
3．（·全国·高考真题）在VABC 中， D 是 AB 边上一点.若 AD = 2DB,CD = CA + lCB ，则 l 的值为（
3 ）
2 1 1 2
A． B． C3 ．- D．-3 3 3
uuuv uuuv v v v
4．（全国·高考真题）VABC 中，点D在 AB 上，CD 平分 ACB ．若CB = av ，CA = b ， a =1， b = 2，则
uuuv
CD =
1 v 2 v v v va b 2 1 3 4
v 4 v 3 v
A． + B． a + b C． a + b D． a + b
3 3 3 3 5 5 5 5
uuuv v uuuv v uuuv uuuv uuuuv v
5．（安徽·高考真题）在YABCD中， AB = a, AD = b, AN = 3NC ，M 为 BC 的中点，则MN = _______．（用 av、b
表示）
uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
6．（北京·高考真题）在△ABC 中，点 M，N 满足 AM = 2MC, BN = NC ，若MN = xAB + y AC ，则 x＝ ，
y＝ .
7．（江苏·高考真题）如图，在VABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点O .若
uuuv uuuv uuuv uuuv AB
AB × AC = 6AO × EC ，则 的值是 .AC

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