资源简介

第 04 讲 三角函数的伸缩平移变换
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数图象的综合应用
2023 年全国甲卷理数，第 10 题,5 分 无
求图象变化前 (后)的解析式
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
2022 年全国甲卷文数，第 5 题,5 分 无
求图象变化前(后)的解析式
2022 年浙江卷，第 6 题,5 分 描述正(余)弦型函数图象的变换过程 无
2021 年全国乙卷理数，第 7 题,5 分 求图象变化前(后)的解析式 无
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
2020 年江苏卷，第 10 题,5 分 无
求图象变化前 (后)的解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为 5 分
【备考策略】1 理解并掌握三角函数的图象与性质
2 会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换
【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸
缩平移变换，需加强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（ A， 是伸缩量）
y Asin( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 A, A ；
若 A↗，纵坐标伸长；若 A↘，纵坐标缩短； A与纵坐标的伸缩变换成正比
2
决定函数的周期，T
若 ↗，T ↘，横坐标缩短；若 ↘，T ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， h 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
（3）三角函数图象的变换
2. 常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
π
若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
2
π
若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)．
2
若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、三角函数直接伸缩平移变换
1．（2024·广东揭阳·二模）把函数 f x 3sin 3x 1的图象向左平移 个最小正周期后，所得图象对应的函数为
4
（ ）
A． y 3sin

3x
3
y 3sin 3x 3B．

4 ÷ 4 ÷è è
C． y 3cos3x D． y 3cos3x
π
2．（2024·河北保定·三模）将函数 f x sin 2x
π
÷的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，
è 3 3
则 g x （ ）
π π
sin2x sin2x sin 2x cos 2x A． B． C． 3 ÷
D． ÷
è è 6
1 π
3．（2024·天津·二模）将函数 f x cos 2x sinxcosx 的图象向左平移 8 个单位长度得到函数 g x 的图象，2
下列结论正确的是（ ）．
A． g x π 是最小正周期为 π的偶函数 B．点 ，0÷是 g x 的对称中心
è 4
C． g x é π π ù 1 π 在区间 ê ， 12 3 ú 上的最大值为
g x 0，
2 D． 在区间 4 ÷上单调递减è
1．（2024·广西·二模）把函数 f x cos5x 1的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
5
A． y cos 5x 1 B． y cos 5x
1
÷
è 5
1
C． y cos 5x 1 D． y cos 5x

5 ֏
π
2．（2024·福建厦门·三模）将函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x的图象向右平移 个单位后得到 y g(x) 的图象，
6
则（ ）
A． g(x) 2sin 2x B． g(x) 2sin
2x π

6 ֏
g(x) 2sin 2x πC．

÷ D．g(x) 2sin

2x
2π

è 3 3 ÷ è
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f (x) 2sin
π
2x ÷，把 f (x)
π
的图象向左平移 个单位长度得到函
è 3 3
数 g(x)的图象，则（ ）
A． g(x) π是偶函数 B． g(x)的图象关于直线 x 4 对称
C． g(x) π
π
的图象关于直线 x 对称 D2 ．
g(x)的图象关于点 ,04 ÷中心对称è
考点二、同名三角函数伸缩平移变换
π
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 y 2sin 3x 的图象，只要把函数 y 2sin 3x ÷图象上所有的点
è 5
（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
5 5
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
15 15
2．（2021· 1全国·高考真题）把函数 y f (x) 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所

得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 y sin x ÷的图像，则 f (x) （4 ）3 è
sin x 7 sin x A． B．
è 2 12 ÷ ÷ è 2 12
7
C． sin 2x

÷ D． sin

2x

è 12 è 12 ÷
π
1．（2024·江苏南京·二模）为了得到函数 y sin 2x ÷的图象，只要把函数 y sin 2x 图象上所有的点
è 3
（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 3
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 3
π
2．（2024·陕西汉中·二模）函数 f (x) 2sin( x ) > 0,0 < < ÷ 的图象如图所示， P,Q 为图象上两点，
è 2
r uuur
对于向量 a (1,0),a
r π
× PQ ，为了得到 g(x) 2sin 4x的图象，需要将 f (x) 图象上所有点的坐标（ ）
4
π
A．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
4
π
B．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
16
π
C 1．横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再向右平移 个单位4
1 πD．横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再向右平移 个单位16
考点三、异名三角函数伸缩平移变换
π π
1．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）为了得到函数 y cos(x )的图象，只需将函数 y sin(x )的图
6 6
象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
3 2
π π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3 2
π x
2．（23-24 高三下·上海黄浦·阶段练习）要得到函数 y 2cos x ÷ 的图象，只需将函数 y 2sin 的图象
è 12 3
上所有的点（ ）
1 π
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
3 12
π
B．横坐标变为原来的 3 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
12
1 5π
C．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
3 12
5π
D．横坐标变为原来的 3 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
12
3．（2023·全国·模拟预测）若函数 f x sin 2x
π
÷的图象向左平移m m > 0 个单位长度后，其图象与函
è 6
数 g x cos 2x 的图象重合，则m 的值可以为（ ）
5π 2π π π
A． B． C． D．
6 3 3 6
y 3sin 2x 11π π 1．（23-24 高三上·河南新乡·阶段练习）为了得到 的图象，只要把 y 3cos 2x 的图象
è 12 ÷ ÷ è 4
向左平移（ ）个单位长度
π π 2π 7π
A． B． C． D．
12 3 3 6
2．（2024·山东青岛·三模）为了得到 y sin2x cos2x 的图象，只要把 y 2cos2x 的图象上所有的点
（ ）
π π
A．向右平行移动 8 个单位长度 B．向左平行移动 8 个单位长度
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4 4
3．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数 f (x) cos( x )( > 0,0 < < π)，将函数 f x 的图象先向右平
π
移 个单位长度，再横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得的图象与 y sin x 图象重合，则（
3 ）
πA． 2， B． 2，
π

6 3
1 π 1 5πC． ， D． ，
2 6 2 6
考点四、三角函数伸缩平移变换求参数值
1．（2024·广东梅州·二模）若把函数 f x sin x a cos x π的图象向左平移 个单位后得到的是一个偶函数，
3
则a （ ）
A． 3 B． 3 C 3 3． D．
3 3
π
2．（2024·湖北武汉·
é ù
模拟预测）若函数 f x sin 2x （0 < < π ）向左正移 个单位后在区间 ê0, 2 ú 上单
调递增，则 （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 2 6 3
π π
3．（2024·陕西榆林·三模）将函数 f x cos x ÷ ( > 0)的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图
è 4 6
π
象关于 x 4 对称，则实数
的最小值为（ ）
3 4 9 12
A． B． C． D．
5 5 5 5
4．（2024·全国·模拟预测）将函数 f (x) sin 3x cos3x 的图象向右平移 > 0 个单位长度，得到函数
g (x) 2 cos 3x的图象，则 的最小值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 4 6 8
π π
5．（2024·四川南充·二模）将函数 f x 2cos 2x ÷的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g x 的图
è 2 6
象，则曲线 y g x 与直线 y 3 的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
π π π
A． B． C． D． π
6 3 2
π
6．（2024·山西晋城·

二模）将函数 f (x) 2sin 3x ÷ 的图象向右平移 （ > 0）个单位长度，得到函数 g(x)
è 4
的图象，若函数 g(x)在区间 (0, )上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
é5π , 3π é3π ,13π 5π , 3π ù 3π ,13π ùA． ê12 4 ÷
B． C． D．
ê 4 12 ÷ è 12 4 ú è 4 12 ú
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数 f (x) 4sin x 3cos x的图象向右平移 φ 个单位长度得到函数
g(x) 5sin x 的图象，则 sin （ ）
3 4
A． B． C．-
3 4
D．
5 5 5 5
2．（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数 f x cos x π ( > 0) π ÷ 的图象向左平移 个单位长度后得
è 4 3
到的函数为奇函数，则实数 的最小值为（ ）
9 5 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
3．（2024·四川成都·三模）将函数 f x sin x > 0 π 的图象向左平移 个单位后，与函数
6
g x cos x 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
π π
4．（2024·贵州黔东南·二模）将函数 f x 4sin 3x ÷ 2的图象向右平移 个单位长度得到函数 g x 的
è 6 3
图象，若 g x é π ù在区间 ê , q ú上的最大值为 0 ，则q （12 ）
π π π π
A． B． C． D．
3 6 9 12

5．（2024·浙江丽水·二模）将函数 f x cos2x的图象向右平移 0
π
< < ÷个单位后得到函数 g x 的图象，
è 2
若对满足 f x1 g x2 2
π
的 x1, x2 ，有 x1 x2 ，则 min （ ）3
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
考点五、三角函数伸缩平移变换的综合应用
π π
1．（2024·天津河西·三模）已知函数 f x 2sin x

÷（其中 > 0， 6
0, ÷），当 f x1 f x2 0
è è 2
时， x
π
1 x
π
2 的最小值为 ， f x f
x π ÷，将 f x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图2 è 6 6
象对应的函数为 g x ，则 g x （ ）
2sin 2x πA． 2cos 2x

B． 2sin 2x C． ÷ D． 2sin

4x
π

è 6 è 3 ÷

2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）将函数 f x sin 2x ÷的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x
è 12 6
的图象，若函数 g x 在 2m, m (m > 0)上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）

A． 0,
11 ù
ú B． 0,
ù é ,11 ù 11 ùú C． ê ú D． ,è 48 è 24 24 48 è 24 48 ú
x 8π , x 11π3．（22-23 高三下·全国·阶段练习）已知 是 f (x) 3cos( x
π
)( > 0)图象的两条相邻对称轴，
9 9 3
将 f (x)
π
的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象.若 g(x)在 ( m, m)上有唯一的零点，则实数m
6
的取值范围为（ ）
(π , 2π] (2π , π π πA． B． ] C． ( , ]
π
D． (0, ]
9 9 9 3 9 3 9
1 π
1．（2023 高三·全国·专题练习）将函数 f x sin x的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横
2 3
坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 g(x)的图象，则（ ）
1
A． g π B． x 2π 是 g(x)2 3 图象的一条对称轴，
2π ,0 C． ÷ 是 g(x)图象的一个对称中心 D． g(x)
1
在[ π,π]上的最大值为
è 3 2
1
2．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）设 f (x) ，将 f (x) 的图像向右平移 个单位，得到 g(x)的图像，设
cos x 3
h(x) f (x) g(x) ， x
é
ê ,
ù
ú ，则 h(x) 的最大值为（12 4 ）
A 6． B． 6 C．2 6 D．3 6
2
π 3 π
3．（2021· 全国·模拟预测）已知把函数 f x sin x ÷cos x 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐
è 3 4 3
1
标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，若 g x1 × g x2 ，若x1， x2 π, π ，则 x1 x4 2
的最大值为（ ）
π 3π 3πA． B． C． D． 2π
4 2
一、单选题
π
1．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数 y sin 2x 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g x 的图象，
6
则 g(
π) （ ）
3
A 1 B 3 1． ． C 1． D．
2 2 2
2．（2024·山东·二模）已知函数 f x 3sin2x cos2x，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 f x 的最大值是 3
é π π ù
B．函数 f x 在 ê , ú 上单调递增 6 3
C．该函数的最小正周期是 2π
π
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
6
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数 f x 的图象的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），然后再向左平
π π
移 个单位长度，得到函数 g x Asin x A > 0, > 0, < ÷的部分图象如图所示，则函数 f x 的12 è 2
解析式为（ ）
A． f x 3sin 4x π ÷ B． f x 3sin
π
2
4x
6 ÷è è
f x 3sin x π f x 3sin x πC． ÷ D．
è 6 è 2 ÷
π
4．（2024·山东泰安·二模）已知函数 f x sin x ÷ ，将函数 f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一
è 4
半，纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）
g x 2sin x π A． ÷ B． g x

在 0,
π
÷上单调递增
è 2 4 è 2
C． g x π的图象关于点 ,0 é
π 3π ù
8 ÷中心对称
D． g x 在
è ê
, 上的值域为 é 2, 2ù
4 4 ú
5．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数 f x cos 2x π
5π
÷ 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函
è 6 6
数 g x 的图象，则（ ）

A． g x cos 2x
2π
÷ B． g x é
π , π ù在 ê 上单调递增è 3 3 3ú
g x é0, π ùC 3 π． 在 ê 3 ú 上的最小值为 D．直线
x
4 是
g x 图象的一条对称轴
2
π
6．（2024· · 1湖北 二模）将函数 y sin x ÷的图象上每一点的横坐标变为原来的 2 （纵坐标不变），再向右è 6
5π
平移 个单位长度，所得图象对应的函数（
12 ）
é π ,0ùA é
π 7π ù
．在区间 ê ú 上单调递减 B．在区间 ê ,10 12 ú 上单调递增 2
é π π ù é π π ù
C．在区间 ê , ú 上单测递减 D．在区间 ê , ú 上单调递增 6 3 6 3
二、多选题
π
7．（2024·安徽合肥·三模）已知 x1, x2 是函数 f (x) 2sin x ÷ ( > 0) 的两个零点，且 x1 x2 的最小值是
è 6
π
，则（ ）
2
π
A． f (x)
é
在 ê0,
ù
ú 上单调递增 3
π
B． f (x) 的图象关于直线 x 对称
6
C． f (x) 的图象可由 g(x) 2sin 2x
π
的图象向右平移 个单位长度得到
6
é π
D． f (x) 在 ê , π
ù
ú上仅有 12 个零点
π 5π
8．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数 f (x) sin x ÷ cos x ÷，将函数 f (x) 的图像横坐标缩短为原来
è 3 è 6
1 π
的 2 倍，再向左平移 单位，得到函数
g(x) .则下列结论中正确的是（ ）3
2π
A． f x

÷为偶函数
è 3
B．不等式 g(x)
ì π π
1的解集为 íx kπ x kπ,k Z
ü

12 4
g(x) éπ, 3π ùC． 在 ê 上单调递增 2 ú
D．函数 g(x) é
π
在 ê ,
5π ù 4π
的零点为 x
3 6 ú 1
, x2 , x3且 x1 < x2 < x3，则 x1 2x2 x3
3
三、填空题
9．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 y 4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变，
7π
得到函数 y f x 的图象，则 f x 的最小正周期为 ， f ÷ .
è 18
10．（2024·江苏·模拟预测）将函数 f x sin 2x 1图象上的每个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不
π
变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 y 轴对称，写出一个符合条件的 的值 .
6
一、单选题
1 π
1．（2024·陕西渭南·三模）将函数 y 2sin x ÷的图象向左平移 > 0 个单位长度，所得图象关于原
è 2 4
点对称，则 的值可以为（ ）
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 2
π
2．（2024·山东·二模）将函数 f x sin 2x ÷的图象向左平移 > 0 个单位长度得到函数 g x 的图象，
è 3
11π
若 x 为 g x 图象的一条对称轴，则 的最小值为（
6 ）
π 5π 7π 2π
A． B． C． D．
12 12 12 3
π
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数 f x cos x > 0 的图象向左平移 个单位后得到
2
g x sin x π的图象，若 是 f x 的一个零点，则 的可能取值为（
4 ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
π π
4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f (x) sin(4x ) | |< ÷ ，先将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长
è 2 12
度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，即可得到函数 g(x)的图象．若函数 g(x)
π
的图象关于 y 轴对称，则 f ÷ （ ）
è 8
A 1
1
． 2 B． C
3
． D 3．
2 2 2
5．（2024·江西景德镇·三模）函数 f x cos x x R 在 0, π 内恰有两个对称中心， f π 1，将函数 f x
π 3 π
的图象向右平移 个单位得到函数 g x 的图象.若 f a g a ，则 cos 4a

3 5 3 ÷
（ ）
è
A 7
16 9 19
． B． C． D．
25 25 25 25
π
6．（2024·广东广州·模拟预测）若将函数 f x 2sinx的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上所有点
4
1
的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y g x 的图象，若关于 x 的方程 g x 1在 0,π 2 内有
两个不同的解a , b ，则 sin a b （ ）
1 1
A 2 2． B． C． D．
4 4 2 2
二、多选题
π
7．（2024·山东菏泽·模拟预测）将函数 f x 2sin xcos x 1的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移
12
个单位长度，得到函数 g x 的图象，则（ ）
π
A． g x 的最小正周期为 π B． g x 的图象关于 x 3 对称
C g x π é π π ù． 的图象关于 ,0÷对称 D． g x 的单调递增区间为 êkπ ,kπ ú ,k Zè 6 3 6
三、填空题
π
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 f (x) 2sin( x )， ( > 0,| |< )的部分图象如图所示．若将函
2
数 f (x) 的图象向右平移 t(t > 0)个单位长度，得到函数 g(x)的图象．若函数 g(x)为奇函数，则 t 的最小值
是 ．
π
9．（2024·四川南充·模拟预测）将函数 f x sin x ÷ (0 < < 6)
π
的图象向右平移 个单位长度后得到函
è 6 12
数 g x π 1的图象，若 0, ÷是 g x 的一个单调递增区间，则方程 f x 在 0, π 上实数根的个数
è 2
为 .
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 f x 3sinx cosx 的图象向左平移 个单位长度得到
g x 2sinx 2 2cosx的图象，则 cos ．
y f x y cos 2x π π1．（2023·全国·高考真题）函数 的图象由函数 6 ÷的图象向左平移 个单位长度得到，è 6
则 y f x 1 1的图象与直线 y x 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
π
2．（2022·全国·高考真题）将函数 f (x) sin x
π
÷ ( > 0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C，
è 3 2
若 C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）
1 1 1
A． B C 1． ． D．
6 4 3 2
1
3．（2022·天津·高考真题）已知 f (x) sin 2x，关于该函数有下列四个说法：
2
① f (x) 的最小正周期为 2π；
② f (x) [
π
在 ,
π]
4 4 上单调递增；
x é π
é ù
③当 ê ,
π ù 3 3
ú 时， f (x) 的取值范围为 ê , ú； 6 3 4 4
f (x) g(x) 1 π sin(2x ) π④ 的图象可由 的图象向左平移 8 个单位长度得到．2 4
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
4．（2020·天津·高考真题）已知函数 f (x)

sin x ÷ ．给出下列结论：
è 3
① f (x) 的最小正周期为2 ；
② f

÷是 f (x) 的最大值；
è 2
③把函数 y sin x

的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y f (x) 的图象．
3
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
π π
5．（2020·江苏·高考真题）将函数 y= 3sin 2x ÷ 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴
è 4 6
最近的对称轴的方程是 .
6．（2019·天津·高考真题）已知函数 f (x) Asin( x )(A > 0, > 0,| |< )是奇函数，将 y f x 的图像上
所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g x .若 g x 的最小正周期为
3
2π ，且 g 2 ，则 f
è 4 ÷ ÷ è 8
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2

7．（2018·天津·高考真题）将函数 y sin(2x )5 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数10
[3 , 5 3 A．在区间 ] B4 4 上单调递增 ．在区间
[ , ]
4 上单调递减
C．在区间[
5 , 3 ] 3 上单调递增 D．在区间[ ,2 ]4 2 2 上单调递减
2π
8．（2017·全国·高考真题）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是3
π
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6
到曲线 C2
π
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得12
到曲线 C2
1 π
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得2 6
到曲线 C2
1 π
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得2 12
到曲线 C2

9．（2016·四川·高考真题）为了得到函数 y=sin（x ）的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点
3

A．向左平行移动 个单位长度
3

B．向右平行移动 个单位长度
3

C．向上平行移动 个单位长度
3

D．向下平行移动 个单位长度
3

10．（2016·全国·高考真题）若将函数 y cos 2x的图象向左平移12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（ ）
x k k A． k Z B． x k Z x
2 6 2 6
k k
C． x k Z D． x k Z
2 12 2 12第 04 讲 三角函数的伸缩平移变换
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
三角函数图象的综合应用
2023 年全国甲卷理数，第 10 题,5 分 无
求图象变化前 (后)的解析式
由正弦(型)函数的奇偶性求参数
2022 年全国甲卷文数，第 5 题,5 分 无
求图象变化前(后)的解析式
2022 年浙江卷，第 6 题,5 分 描述正(余)弦型函数图象的变换过程 无
2021 年全国乙卷理数，第 7 题,5 分 求图象变化前(后)的解析式 无
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
2020 年江苏卷，第 10 题,5 分 无
求图象变化前 (后)的解析式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为 5 分
【备考策略】1 理解并掌握三角函数的图象与性质
2 会先平移后伸缩或先伸缩后平移来综合解决三角函数的伸缩平移变换
【命题预测】本节内容是新高考卷的载体内容，一般会结合三角函数的图象与性质综合考查三角函数的伸
缩平移变换，需加强复习备考
知识讲解
1. 三角函数的伸缩平移变换
（1）伸缩变换（ A， 是伸缩量）
y Asin( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 A, A ；
若 A↗，纵坐标伸长；若 A↘，纵坐标缩短； A与纵坐标的伸缩变换成正比
2
决定函数的周期，T
若 ↗，T ↘，横坐标缩短；若 ↘，T ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
（2）平移变换（ ， h 是平移量）
平移法则：左 右 ，上 下
（3）三角函数图象的变换
2. 常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与
对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
π
若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
2
π
若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)．
2
若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、三角函数直接伸缩平移变换
1
1．（2024·广东揭阳·二模）把函数 f x 3sin 3x的图象向左平移 个最小正周期后，所得图象对应的函数为
4
（ ）
A． y 3sin
3 3
3x ÷ B． y 3sin 3x ÷
è 4 è 4
C． y 3cos3x D． y 3cos3x
【答案】C
2π 2π
【分析】先根据正弦型函数的周期计算公式得最小正周期T 3 ；利用函数平移的规律及诱导公式即得
.

【详解】由题意得 f x 的最小正周期为T 2π ，
3
2π 1 π
则所求函数为 y 3sin 3 x ÷ 3sin 3x ÷ 3cos3x .
è 3 4 è 2
故选：C
π π
2．（2024·河北保定·三模）将函数 f x sin 2x ÷的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g x 的图象，
è 3 3
则 g x （ ）
π π
A． sin2x B． sin2x C． sin

2x

3 ÷
D． cos 2x ÷
è è 6
【答案】C
【分析】由正弦型函数的图象变换直接求得答案.
【详解】将函数 f x sin 2x
π
π÷的图象向左平移 个单位长度，
è 3 3
g x f x π π 得到函数 ÷ sin 2x ÷ .
è 3 è 3
故选：C.
3．（2024·天津·二模）将函数 f x cos 2x sinxcosx 1 π的图象向左平移 8 个单位长度得到函数 g x 的图象，2
下列结论正确的是（ ）．
A． g x 是最小正周期为 π π 的偶函数 B．点 ，0÷是 g x 的对称中心
è 4
C． g x é π π ù 1在区间 ê ， ú 上的最大值为 D． g2 x
π
12 3 在区间
0， ÷上单调递减
è 4
【答案】D
2
【分析】先由二倍角余弦公式和辅助角公式化简再平移得到 g x sin 2x，由正弦函数的奇偶性得到 A
2
π
错误；代入 x 4 得到
B 错误；由正弦函数的单调性得到 C 错误，D 正确.
f x cos 2x sinxcosx 1 cos 2x 1 1 1 2【详解】 sin 2x cos 2x π ，
2 2 2 2 2 ֏ 4
π 2 é π π ù 2
向左平移 8 个单位长度得到函数
g x ，则 g x cos 2 x sin 2x ，
2 ê è 8
÷
4 ú 2
对于 A：由以上解析可得 g x 为奇函数，故 A 错误；
π
对于 B：当 x 4 时， g x
2
sin 2 π 2

÷ ，故 B 错误；2 è 4 2
对于 C：因为函数 g x 2kπ π的递增区间为 2x 2kπ 3 π π, k Z，即 kπ x kπ 3 π, k Z，
2 2 4 4
é π π ù
同理得函数 g x 的递减区间为 êkπ , kπ ú ,k Z 4 4
é π
所以 ê ，0
ù
ú 是 g x 的一个递减区间， 12
é π ù
又当 x ê0, ú 时， g x 0， 3
所以 g x g π 2 π 2 sin Cmax 12 ÷ 2 ÷ ，故 错误；è è 6 4
é π
D：由 C 的解析可知，所以减区间为 êkπ , kπ
π
ù
4 4 ú
,k Z，

π
所以当 k 0时可得， g x 在区间 0， ÷上单调递减，故 D 正确；
è 4
故选：D.
1．（2024·广西·二模）把函数 f x cos5x 1的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）
5
y cos 5x 1 y cos 5x 1 A． B． 5 ÷è
C． y cos 5x 1 D． y cos 5x 1 ÷
è 5
【答案】A
【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.
1
【详解】由题意新函数解析式为 y cos5(x ) cos(5x 1) .
5
故选：A．
π
2．（2024·福建厦门·三模）将函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x的图象向右平移 个单位后得到 y g(x) 的图象，
6
则（ ）
A． g(x) 2sin 2x B． g(x) 2sin
2x π 6 ÷è
C． g(x)
π
2sin 2x

÷ D．g(x) 2sin
2x 2π
è 3 3 ÷ è
【答案】A
【分析】先将 f x 化为正弦型，然后由平移规律可得答案.

【详解】因为 f (x) sin 2x 3 cos 2x 2sin 2x
π
÷ ，
è 3
g(x) 2sin é所以 ê2
x π π ù ÷ ú 2sin 2x .
è 6 3
故选：A
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 f (x) 2sin

2x
π
π，把 f (x) 的图象向左平移 个单位长度得到函
è 3 ÷ 3
数 g(x)的图象，则（ ）
π
A． g(x)是偶函数 B． g(x)的图象关于直线 x 4 对称
π π
C． g(x)的图象关于直线 x 对称 D． g(x)的图象关于点 ,02 4 ÷中心对称è
【答案】B
【分析】A 选项，由函数的平移变换得到的解析式，可判断出奇偶性；B 选项，由 A 选项求出的解析式求解
对称轴可判断，同时可判断 C 选项； D 选项，代入法可判断对称中心.
【详解】A 选项， g x 2π π 2sin 2x ÷ 2sin 2x π 2sin 2x ，
è 3 3
由于 g x 的定义域为 R，且 g x 2sin 2x sin 2x g x ，
故 g x 为奇函数，故 A 错误；
B 选项，由选项 A 可知错误 g x 2sin 2x，
故 g x π的图象的对称轴为 2x kπ, k π kπ Z ，即 x , k Z ，
2 4 2
π
令 k 1可得 x ，即 g x x π的图象关于直线 4 4 对称，故 B 正确；
π
C 选项，由由选项 B 可知不存在 k Z ，使得对称轴为 x 2 ，故 C 错误；
π π
D 选项，由选项 A 可知 g ÷ 2sin 2 2，
è 4 4
π
故点 ,0÷不是 g(x)4 图象的中心对称，故 D 错误.è
故选：B
考点二、同名三角函数伸缩平移变换
π
1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 y 2sin 3x 的图象，只要把函数 y 2sin 3x ÷图象上所有的点
è 5
（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
5 5
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
15 15
【答案】D
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．
【详解】因为 y 2sin 3x 2sin
é3 x π π ù y 2sin 3x π πê ÷ ú，所以把函数 ÷图象上的所有点向右平移
è 15 5 è 5 15
个单位长度即可得到函数 y 2sin 3x 的图象．
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题）把函数 y f (x) 1图像上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所

得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 y sin x ÷的图像，则 f (x) （4 ）3 è
sin x 7 x A． 2 12 ÷
B． sin ÷
è è 2 12
sin 7 C． 2x

÷ D． sin

2x


è 12 12 ÷ è
【答案】B
é ù
【分析】解法一：从函数 y f (x) 的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到 y f ê2 x
è 3
÷
ú
，

f é2 ù 即得 ê x ÷ sin x ÷ ，再利用换元思想求得 y f (x) 的解析表达式；
è 3 ú è 4
y sin 解法二：从函数 x ÷出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到 y f (x) 的解析表达
è 4
式.
【详解】解法一：函数 y f (x) 1图象上所有点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y f (2x)的
y f é ù图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 ê2 x 3 è 3 ÷ ú
的图象，

y sin x f é2 x ù sin x 根据已知得到了函数 ÷的图象，所以4 ê 3 ÷ú ÷
，
è è è 4
t 2 t t 令 x ÷ ,3 则
x , x ,
è 2 3 4 2 12
所以 f t t x sin

÷ ,所以 f x sin ÷；
è 2 12 è 2 12

解法二：由已知的函数 y sin x ÷逆向变换，
è 4

第一步：向左平移 个单位长度，得到 y sin x 3 3 4 ÷
sin x ÷ 的图象，
è è 12
x
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y sin ÷ 的图象，
è 2 12
即为 y f x 的图象，所以 f x sin x

2 12 ÷
.
è
故选：B.
π
1．（2024·江苏南京·二模）为了得到函数 y sin 2x ÷的图象，只要把函数 y sin 2x 图象上所有的点
è 3
（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 3
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 3
【答案】A
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
y sin 2x π 【详解】 ÷ sin
é π ù
è 3 ê
2 x ÷ú ，
è 6
则把函数 y sin 2x
π
图象上所有的点向左平移 个单位即可，
6
故选：A.

2．（2024·陕西汉中·二模）函数 f (x) 2sin( x ) > 0,0
π
< < ÷ 的图象如图所示， P,Q 为图象上两点，
è 2
r uuur
对于向量 a (1,0),a
r
× PQ π ，为了得到 g(x) 2sin 4x的图象，需要将 f (x) 图象上所有点的坐标（ ）
4
π
A．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
4
π
B．横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
16
π
C 1．横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再向右平移 个单位4
D 1
π
．横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再向右平移 个单位16
【答案】D
π
【分析】根据图象及题设条件，求出 , ，从而得到 f (x) 2sin(2x )，再利用图象的平移变换，即可求
4
出结果.
π π T uuur T
【详解】设 f (x) 的最小正周期为T ，如图，易知P( , 2)，Q( ,0) ，所以PQ ( , 2)，
8 8 4 4
r uuura (1,0),ar PQ π T π 2π又 × ，所以 ，得到T π ，所以 π ，即 2，
4 4 4
πf (x) , 2 又由图象知， 过点 ÷ ，所以 2
π π
2kπ,k Z π，即 2kπ,k Z ，
è 8 8 2 4
又 0 <
π π
< ，所以 ，得到 f (x) 2sin(2x
π
)
2 4 ，4
1
为了得到 g(x) 2sin 4x的图象，需要将 f (x) 图象上所有点的坐标横坐标缩短到原来的 2 （纵坐标不变），再
π
向右平移 个单位，
16
故选：D.
考点三、异名三角函数伸缩平移变换
π π
1．（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）为了得到函数 y cos(x )的图象，只需将函数 y sin(x )的图
6 6
象（ ）
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
3 2
π π
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
3 2
【答案】B
【分析】根据诱导公式把函数化为同名函数，结合函数图象变化规则即可求解.
π π π
【详解】因为 y sin(x ) cos
é ù
6 ê
(x )
2 6 ú
cos x π ÷ cos

x
π
，
è 3 ÷ è 3
π y π π cos x cos π 则向左平移 个单位后得
2 3 2 ÷
x
6 ÷
，
è è
故选：B.
π x
2．（23-24 高三下·上海黄浦·阶段练习）要得到函数 y 2cos x 12 ÷
的图象，只需将函数 y 2sin 的图象
è 3
上所有的点（ ）
1 π
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
3 12
π
B．横坐标变为原来的 3 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
12
1 5π
C．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
3 12
5π
D．横坐标变为原来的 3 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
12
【答案】C
【分析】利用三角函数伸缩平移的性质即可得解.
【详解】要得到函数 y 2cos
x π 12 ÷
的图象，
è
x 1
需先将函数 y 2sin 的图象上所有的点横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），
3 3
从而得到 y 2sin x，从而排除 BD；
π
对于 A，再向右平行移动 个单位长度，
12
得 y 2sin
π
x ÷，显然不满足题意，故 A 错误；
è 12
5π
对于 C，再向左平行移动 个单位长度，
12
得 y 2sin
x 5π é π π ù π 12 ÷
2sin x ÷ 2cos x ÷ ，故 C 正确.
è ê 2 è 12 ú è 12
故选：C.
π
3．（2023·全国·模拟预测）若函数 f x sin 2x ÷的图象向左平移m m > 0 个单位长度后，其图象与函
è 6
数 g x cos 2x 的图象重合，则m 的值可以为（ ）
5π 2π π π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】D
【分析】利用三角函数图象的平移变换，代入计算即可.
【详解】由题可得 f x m sin π 2x 2m ÷的图象与函数 g x cos 2x 的图象重合，
è 6
f m sin 2m π 则 ÷ g 0 1 2m
π π
，即 2kπ k Ζ
è 6
， ，
6 2
m π π解得 kπ， k Ζ ，故m 的值可以为 .
6 6
故选：D．
11π π
1．（23-24 高三上·河南新乡·阶段练习）为了得到 y 3sin 2x ÷的图象，只要把 y 3cos 2x ÷的图象
è 12 è 4
向左平移（ ）个单位长度
π π 2π 7π
A． B． C． D．
12 3 3 6
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换结合诱导公式逐项分析判断.
y 3cos π 2x π【详解】对于选项 A：若把 ÷的图象向左平移 个单位长度，
è 4 12
可得 y 3cos
é π 2 x π ù π é 11π ùê ÷ú 3cos 2x

÷ 3cos

êπ 2x ÷ú 3cos
11π
4 12
2x ÷，
è è12 è 12 è 12
不合题意，故 A 错误；
对于选项 B：若把 y 3cos
π
2x
π
÷的图象向左平移 个单位长度，
è 4 3
y 3cos é π 2 x π ù 3cos 5π 2x 3cos é π 2x 11π ù 11π可得 ê

4 3 ÷ú
12 ÷
÷ 3sin 2x ÷，
è è
ê
2 è 12 ú è 12
符合题意，故 B 正确；
π
对于选项 C：若把 y 3cos 2x
2π
÷的图象向左平移 个单位长度，
è 4 3
y 3cos é π 2 x 2π ù 3cos 13π 2x 3cos é π 2x 11π ù可得 ê ÷

，
4 è 3
÷ ÷
ú ê ú è 12 6 è 12
不合题意，故 C 错误；
π 7π
对于选项 D：若把 y 3cos 2x ÷的图象向左平移 个单位长度，
è 4 6
y 3cos é π 2 x 7π ù 3cos 25π 2x 3cos é 7π 2x 11π ù可得 ê ÷ú ÷ 4 è 6 è 12 ê
÷ú，
6 è 12
不合题意，故 D 错误；
故选：B.
2．（2024·山东青岛·三模）为了得到 y sin2x cos2x 的图象，只要把 y 2cos2x 的图象上所有的点
（ ）
π π
A．向右平行移动 个单位长度 B8 ．向左平行移动 8 个单位长度
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4 4
【答案】A
【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数 y Asin x 的图象变换规律，得出结论．
y sin2x cos2x 2sin 2x π【详解】

4 ÷
，
è
由诱导公式可知： y 2 cos 2x 2 sin
2x π 2 sin é 2 π ù ÷ ê x

÷
è 2 è 4 ú
y 2sin 2x π 2 sin é2 x π ù又 4 ÷
ê ÷è è 8 ú
π π π
则
π
，即只需把图象向右平移 8 个单位
.
4 8 8
故选：A
3．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）设函数 f (x) cos( x )( > 0,0 < < π)，将函数 f x 的图象先向右平
π
移 个单位长度，再横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得的图象与 y sin x 图象重合，则（
3 ）
π π
A． 2， B． 2，
6 3
1 π 1 5π
C． ， D． ，
2 6 2 6
【答案】A
1 π
【分析】利用逆向变换，将函数 y sin x 的图象先横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再向左平移 个3
单位长度，得到 f (x) ，即可求解.
【详解】可以先将函数 y sin x
1
的图象先横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，函数解析式变为
y sin 2x ，
π 2π
再向左平移 个单位长度，得到 y sin 2x 的图象，3 è 3 ÷
sin 2x 2π π π π sin 2x cos 2x π又 3 ÷ ÷ ÷
，所以 2， ，
è è 2 6 è 6 6
故选：A ．
考点四、三角函数伸缩平移变换求参数值
π
1．（2024·广东梅州·二模）若把函数 f x sin x a cos x的图象向左平移 个单位后得到的是一个偶函数，
3
则a （ ）
A 3 3． 3 B． 3 C． D．
3 3
【答案】C
π
【分析】根据函数平移可得平移后的解析式 g(x) sin(x ) a cos(x
π
)，根据 g( x) g(x)3 3 ，即可由和差角
公式化简求解．
【详解】把函数 f (x) sin x
π
acos x 的图象向左平移 个单位后得到 g(x) sin(x
π
) a cos(x π )
3 3 3
，
g( x) g(x)，
则 sin( x
π
) a cos( x π ) sin(x π ) a cos(x π )
3 3 3 3 ，
3
即 cos x
1
sin x a(1 cos x 3 sin x) 1 sin x 3 cos x a(1 cos x 3 sin x)，
2 2 2 2 2 2 2 2
( 3即 a
1
)sin x (1 3 a)sin x ，该方程对任意 x R 恒成立，
2 2 2 2
3 a 1 1 3 3则 a ，解得 a ．
2 2 2 2 3
故选：C．
π
2．（2024·
é ù
湖北武汉·模拟预测）若函数 f x sin 2x （0 < < π ）向左正移 个单位后在区间 ê0, 上单 2 ú
调递增，则 （ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 2 6 3
【答案】B
【分析】根据图象平移规律、函数的单调性可得答案.
【详解】函数 f x sin 2x 向左平移 个单位后为 f x sin 2x 3 ，
当 x
é
ê0,
π ù
ú 时， 2x 3 2 3 , π 3 ，
∵ f x sin 2x 3 单调递增，
ì π
2kπ 3
ì π 2kπ
2

6 3
所以 í k Z k Z
π 3 2kπ π
，即 í
π 2kπ
，

2 6 3
π 2kπ
可得 k Z ，
6 3
又0 < < π ，∴
π
.
2
故选：B.
3．（2024·陕西榆林·三模）将函数 f x cos x
π
÷ ( > 0)
π
的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图
è 4 6
π
象关于 x 4 对称，则实数
的最小值为（ ）
3 4 9 12
A． B． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【分析】先根据平移变换的原则求出变化后的函数解析式，再根据余弦函数的对称性即可得解.
π
【详解】由函数 f x cos x ÷ ( > 0)，
è 4
π
将函数 y f x 的图象向左平移 个单位长度后，
6
得到函数 g x cos é x π π ù π πê ÷ ú cos

x

6 4 ÷
，
è è 6 4
又由 g x π图象关于 x 4 对称，
π π π
所以 × kπ,k Z ，解得
12k 3
,k Z ，
4 6 4 5 5
因为 > 0，所以当 k 1时， 9取得最小值，最小值为 .
5
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）将函数 f (x) sin 3x cos3x 的图象向右平移 > 0 个单位长度，得到函数
g (x) 2 cos 3x的图象，则 的最小值为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 4 6 8
【答案】B
【分析】先将函数 f (x), g(x)的解析式变形为同名三角函数，然后根据三角函数图象的平移变换法则求解．
π
【详解】依题意，函数 f (x) 2 cos(3x )，把 f (x) 的图象向右平移 个单位长度，
4
得 g(x) 2 cos[3(x )
π π
] 2 cos[3x (3 )]的图象，而 g(x) 2 cos(3x π)，
4 4
π
于是3 2kπ π
2kπ π
，而 > 0，则 k N ， ，
4 3 4
所以
π
的最小值为 .
4
故选：B
π
5．（2024·四川南充·二模）将函数 f x 2cos 2x
π
÷的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g x 的图
è 2 6
象，则曲线 y g x 与直线 y 3 的所有交点中，相邻交点距离的最小值为（ ）
π π π
A． B． C． D． π
6 3 2
【答案】A
π
【分析】根据三角函数的图象变换得 g(x) 2cos(2x )6 ，再解方程求解可得答案．
【详解】函数 f x 2cos 2x π π 2 ÷的图象向左平移 个单位长度，è 6
得到函数 g(x)的图象， g(x) 2cos(2x π π ) 2cos(2x π )3 2 6 ，
令 2cos(2x
π
) 3 cos(2x π， )
3

6 ，6 2
π
则 2x 2k1π+
π
， k1 Z ，或 2x
π
2k π
6 6 6 2
π
6 ，
k2 Z ，
即 x
π
k1π+ k Z x k π k Z6 ， 1 ，或 2 ， 2 ，
x π 7π 13π可得 ， ， ， ，
6 6 6
x 0， π， 2π， ，
π
相邻交点距离的最小值为 ．
6
故选：A．
π
6．（2024·

山西晋城·二模）将函数 f (x) 2sin 3x

4 ÷ 的图象向右平移
（ > 0）个单位长度，得到函数 g(x)
è
的图象，若函数 g(x)在区间 (0, )上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
é5π , 3π é3πA． ê ÷ B． ê ,
13π 5π 3π ù 3π 13π ù
C． , D． ,
12 4 4 12 ÷ è 12 4 ú è 4 12 ú
【答案】C
π
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得 g(x) 2sin(3x 3 )，由 g(x)在 (0, )4 上有 2 个零点得
2π π 3 < π
4 ，解之即可求解
.
f (x) 2sin(3x π【详解】将函数 )的图象向右平移 个单位长度，
4
π 0 < x < π π π得 g(x) 2sin(3x 3 )4 的图象， 由 ，得 3 < 3x 3 < ，4 4 4
又 g(x)在 (0, )上有 2 π个零点，所以 2π 3 < π4 ，
5π 3π 5π 3π解得 < 12 4 ，即实数
的取值范围为 ( , ] .12 4
故选：C
1．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数 f (x) 4sin x 3cos x的图象向右平移 φ 个单位长度得到函数
g(x) 5sin x 的图象，则 sin （ ）
3 4 3 4
A． B． C．- D．
5 5 5 5
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合三角函数平移的性质即可求解.
【详解】因为 f (x) 4sin x 3cos x 5sin(x a )
3
，其中 sina ，
5
因为 f (x) 4sin x 3cos x的图象向右平移 φ 个单位长度得到函数 g(x) 5sin x ，
所以 a ，所以 sin
3
.
5
故选：A.
π π
2．（23-24 高三上·江苏盐城·阶段练习）将函数 f x cos x ÷ ( > 0)的图象向左平移 个单位长度后得
è 4 3
到的函数为奇函数，则实数 的最小值为（ ）
9 5 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】C
π π
【分析】根据题意，利用三角函数的图象变换，求得 g x cos( x )，再由 g x 为奇函数，求得
3 4
3k+ 3 , k Z，进而得到 取得最小值.
4
π π
【详解】由函数 f x cos x ÷ ( > 0)，将函数 y f x 的图象向左平移 个单位长度后，
è 4 3
得到函数 g x cos[ (x π ) π ] π π cos( x )，
3 4 3 4
又由 g x π π π为奇函数，所以 +kπ,k Z，解得 3k+ 3 , k Z，
3 4 2 4
因为 > 0，所以当 k 0时，
3
取得最小值，最小值为 .
4
故选：C .
π
3．（2024·四川成都·三模）将函数 f x sin x > 0 的图象向左平移 个单位后，与函数
6
g x cos x 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】C
π
【分析】根据图象变换可得 y sin x
π π
÷，根据题意结合诱导公式可得 2kπ,k Z，运算求
è 6 6 2
解即可得结果.
【详解】将 f x sin x π的图象向左平移 个单位，得到
6
y sin é π ù ê x ÷ ú sin x
π
÷ cos x ，
è 6 è 6
π π
则 2kπ,k Z，所以 3 12k ， k Z，又 > 0，
6 2
所以 的最小值为 3.
故选：C.
π π
4．（2024·贵州黔东南·二模）将函数 f x 4sin 3x ÷ 2的图象向右平移 个单位长度得到函数 g x 的
è 6 3
é π ù
图象，若 g x 在区间 ê , q ú上的最大值为 0 ，则q （12 ）
π π π π
A． B． C． D．
3 6 9 12
【答案】C
é π ù π π π π
【分析】通过平移变换求出 g x 的解析式，由 x ê ,q12 ú求出3x 的范围，找出3x 3q 时， 6 6 6 6
g x 最大，进而求解.
é π π ù
【详解】由题意得 g x 4sin ê 3 x ÷ ú 2 4sin
3x π

÷ 2 .
è 3 6 è 6
π π 5π π π 1
因为 x
é ,q ù 3x éê ú，所以 ê ,3q
ù
ú .因为 g(x)max 0 ，即 sin 3x
π π π÷ 所以3q ,q .
12 6 12 6 è 6 2 6 6 9
故选：C .
5．（2024·浙江丽水·二模）将函数 f x cos2x 的图象向右平移 0
π
< < ÷个单位后得到函数 g x 的图象，
è 2
若对满足 f x1 g x2 2
π
的 x , x ，有 x x ，则 1 2 1 2 min （ ）3
π π π 5π
A． B． C． D．
6 4 3 12
【答案】A
【分析】根据函数图象的平移可得 g(x) cos(2x 2 )，利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然
后判断选项即可，
【详解】因函数 f (x) cos 2x 的最小正周期为 π，
将 f x 的图象向右平移 0 π < <

÷个单位后得到函数 g(x) cos(2x 2 )的图象，
è 2
π
若对满足 | f (x1) g(x2 ) | 2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 2，有 x1 x2 min ，3
x 0 x π π不妨 1 ，则 2 ± g(x)3 ，即 在
x2 ± 3 取得最小值，
x π当 2 时， cos(2
π
2 ) 1
3 3 ，
2π π
此时 2 π 2kπ ， kπ ， k Z3 ，不合题意0 < < ，6 2
π
当 x2 时， cos(
2π
2 ) 1
3 ，3
2π π π
此时 2 π 2kπ kπ k Z k 0 3 ， ， ，当 ， 满足题意，6 6
故选：A，
考点五、三角函数伸缩平移变换的综合应用
f x 2sin x π π1．（2024·天津河西·三模）已知函数

÷（其中 > 0

， 0,

÷），当 f x1 f x 0
è 6 2 2 è
π
时， x1 x2 的最小值为 ， f x f
π x ÷，将 f x
π
的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图
2 è 6 6
象对应的函数为 g x ，则 g x （ ）
π
A． 2cos 2x

B． 2sin 2x C． 2sin 2x ÷ D． 2sin
4x π ÷
è 6 è 3
【答案】B
π
【分析】根据题意，由条件可得 f x 的最小正周期为 π，即可求得 ，再由条件可得直线 x 6 π 是函
2 12
数 f x 的一条对称轴，从而可得 ，再结合三角函数的平移代入计算，即可得到结果.
f x 2sin 【详解】由 x
π
÷可得 f x 2 cos

x
π
÷，
è 6 è 6
π
因为 f x1 f x2 0时， x1 x2 的最小值为 ，2
所以 f x 的最小正周期为 π 2π，且 > 0，所以 π ，解得 2，

即 f x 2sin 2x
π
，
è 6 ÷
π π
又 f x f x ÷，可得直线 x 6 π 是函数 f x 的一条对称轴，è 6 2 12
2 π所以
π π
kπ,k Z π，解得 kπ,k Z，
12 6 2 6

又 0,
π π π
÷，当 k 0时， ，即 f x 2sin

2 6
2x
3 ÷
，
è è
将 f x π的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数为 g x ，
6
则 g x 2sin é2 x π π ùê ÷ 2sin 2x .
è 6 3
ú

故选：B

2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）将函数 f x sin 2x ÷的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x
è 12 6
的图象，若函数 g x 在 2m, m (m > 0)上单调递增，则实数m 的取值范围是（ ）
0,11 ù A． ú B． 0,
ù é 11 ù 11 ù
C． , D． ,
è 48 è 24 ú ê 24 48 ú è 24 48 ú
【答案】B
【分析】根据三角函数平移变换原则可得 g(x)，采用整体代换的方式，结合正弦函数单调性可构造不等式
组求得m 的范围，结合m > 0和 k Z进行讨论即可求得结果．
5
【详解】由题意知： g(x) f (x ) sin[2(x ) ] sin(2x )6 6 12 12 ，
当 x [ 2m m] 2x
5
， 时， [ 4m
5
, 2m 5 ]
12 12 12 ，
ì 4m 5 2k
ìm 11 k
Q g(x) [ 2m m] 12 2
48 2
在 ， 上单调递增， í (k Z)， í (k Z) ；
2m 5 2k m k
12 2 24
11 k k (k Z) 9 3k 3

若 > ，则 >48 2 24 48 2 ，
k < ，此时m k 24 ，24
又m > 0，
k 0，
0 m < ；
24
11 k 9 3k k 3 , k 1 m 11 k 若 k (k Z) ，则 ， ，此时 < 048 2 24 48 2 ，24 48 2
与m > 0矛盾，不合题意；

综上所述：实数m 的取值范围为 (0, ]24 ．
故选：B．
8π
3．（22-23 高三下·全国·阶段练习）已知 x , x
11π
是 f (x) 3cos( x
π
)( > 0)图象的两条相邻对称轴，
9 9 3
将 f (x)
π
的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g(x)的图象.若 g(x)在 ( m, m)上有唯一的零点，则实数m
6
的取值范围为（ ）
π
A． ( ,
2π] (2πB． ,
π] π πC． ( , ] D． (0,
π]
9 9 9 3 9 3 9
【答案】A
【分析】根据题意先求出 2，令3x
π kπ π (k kπ 2π Z)，解得 x (k Z)，再利用条件即可求出结
6 2 3 9
果.
f (x) 1 T 11π 8π π 2π【详解】由题意可知， 的最小正周期为 ,所以T ，
2 9 9 3 3
2π 2π
> 0 f (x) 3cos(3x π则 3 ， 所以 3，则 )，3
g(x) 3cos[3(x π由平移可知， )
π
] 3cos(3x π ) ，
6 3 6
3x π kπ π令 (k Z)
kπ 2π
，解得 x (k Z)，
6 2 3 9
2π π
令 k 0，得到 x ；令 k 1，得到 x 9 ；9
ì
m > 0

又 g(x)在 ( m, m)
π
上有唯一的零点，则 í m <
π 2π
，解得 < m ，
9 9 9
m 2π 9
故选：A.
1
1．（2023 高三·全国·专题练习）将函数 f x sin x π的图象向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横
2 3
坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到 g(x)的图象，则（ ）
1 2π
A． g π B． x 是 g(x)2 3 图象的一条对称轴，
2π
C 1． ,0÷ 是 g(x)图象的一个对称中心 D． g(x)在[ π,π]上的最大值为
è 3 2
【答案】C
【分析】先由三角函数图象变换规律求出 g(x)的解析式，然后根据三角函数的性质逐个分析判断即可
f x 1 π 1 π sin x 【详解】将函数 的图象向右平移 个单位长度，可得 y sin
2 3 2
x ÷，
è 3
1 1 π
再将图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 g x sin2 x ÷，è 2 3
1 1
对于选项 A： g π sin π
π 1 sin π 1 ÷ 2 2 3 2 6 4 ，所以 A 不正确，è
g 2π 1 sin 1 2π π 1对于选项 BC：因为 ÷ ÷ sin 0 0
è 3 2 è 2 3 3 2
，
2π
所以 ,0

÷ 是 g(x)图象的一个对称中心，所以 B 不正确，C 正确；
è 3
5π 1 π π
对于选项 D：由 π x π ，得 x ，
6 2 3 6
1
所以当 x
π π
时， g(x)
1
取得最大值 ，所以 D 不正确；
2 3 6 4
故选：C.
2．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）设 f (x)
1
，将 f (x) 的图像向右平移 个单位，得到 g(x)的图像，设
cos x 3
h(x) f (x) g(x) x ，
é
ê ,
ù
，则 h(x) 的最大值为（
12 4 ú ）
A 6． B． 6 C．2 6 D．3 6
2
【答案】B
【分析】根据平移得到 g(x)的解析式，根据 h(x) f (x) g(x)得到 h(x) 的解析式，根据三角变换公式以及
h(x) 的增减性最后得到 h(x) 的最大值.
【详解】Q将 f (x)

的图像向右平移 个单位，得到 g(x)的图像，
3
g(x) 1
cos x ， 3 ÷è
h x f x g x 1 1 1 1
cos x cos x cos x cos ， 3 ÷ 6 6 ÷
x ÷
è è è 6 6
h x 1 1
3 cos(x ) 1 sin(x ) 3 cos(x ) 1 ， sin(x )
2 6 2 6 2 6 2 6
3 cos(x )
h(x) 63 ，cos2 (x 1 ) sin2 (x )
4 6 4 6
3 cos(x )
h(x) 63 ，cos2 (x ) 1 [1 cos2 (x )]
4 6 4 6
3 cos x ÷ 3
h(x) è 6
2 1cos x
1
÷ ，
è 6 4 cos x 4
è 6 ÷ cos x 6 ÷è
é
∵ x ê ,
ù
12 4 ú
，

x [ , ]，
6 12 12
é ù
∴ cos
x 6 2 ÷ 6 ê
,1ú，
è 4
é ù
令 t cos(x )， t
6 2

6 ê
,1
4 ú
,

1
cos x 4 t 1 ÷
è 6 cos x 4t
，
÷
è 6
é 6 2 ù
易知 y t
1
在 t ,1
4t ê 4 ú
单调递增，

1
cos x 即 ÷ 4
é π π ù
6 在 , 单调递增，è ê úcos 12 4 x ÷
è 6
h x é π∴ 在 ê ,
π ù
单调递减，
12 4 ú
∴ cos x 6 2当 ÷ 时， h x 最大值为 6 ，
è 6 4
故答案为：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用通分以及 sin2 x cos2 x 1对 h(x) 化简，以及观察 h(x) 的单调性.
π
3．（2021·全国·模拟预测）已知把函数 f x sin π 3 x cos x 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐
è 3 ÷ 4 3
1
标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，若 g x1 × g x2 ，若x1， x2 π, π ，则 x1 x4 2
的最大值为（ ）
π 3π 3πA． B． C． D． 2π
4 2
【答案】C
【分析】先化简函数 f x ，然后根据图像的变换得函数 g x 的解析式，通过判断得x1，x2同时令 g x 取
得最大值或最小值时， g x1 × g x2
1
，再结合函数 g x 的图像，即可求得 x1 x2 的最大值.4
f x sin x π cos x 3 sin x cos π cos x sin π 1【详解】 ÷ ÷cos x
3
sin x cos x 3 3 cos2 x
è 3 4 è 3 3 4 2 2 4
1 3 1 cos 2x 3 1 π π sin 2x × sin
4 2 2 4 2
2x ÷．将图象向右平移至 个单位长度，
è 3 3
1 π
再把横坐标缩小到原来一半，纵坐标不变，得到函数 g x ，可得 g x sin 4x ，2 è 3 ÷
所以 g x 1 max ， g x
1

2 min
，
2
∴ x1，x2同时令 g x g x g x
1
取得最大值或最小值时， 1 × 2 ．当x1， x2 π,π 4π
π
时， 4x
π

4 3 3
4π π ，
3
根据函数的图象可知 x1 x
3π
2 的最大值为3个周期的长度，即 2
故选：C.
【点睛】关于三角函数解析式的化简，一般先利用诱导公式或者和差公式展开将解析式化为同角，然后利
用降幂公式对函数进行降次处理，最后利用辅助角公式代入化简，最终将解析式化为 y Asin( x )的形式.
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）将函数 y sin 2x
π
的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g x 的图象，
6
则 g(
π) （ ）
3
1
A 3．1 B． C 1． D．
2 2 2
【答案】B
【分析】先求出平移后的解析式，再代值求解即可.
π
【详解】由题意可得 g(x) sin(2x )，则
3 g(
π) sin(2 π π ) sin π 3 ．
3 3 3 3 2
故选：B
2．（2024·山东·二模）已知函数 f x 3sin2x cos2x，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 f x 的最大值是 3
é π π ù
B．函数 f x 在 ê , ú 上单调递增 6 3
C．该函数的最小正周期是 2π
π
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
6
【答案】B
π
【分析】根据题意，化简函数 f x 2sin 2x ÷，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
è 6
【详解】由函数 f x 3sin2x cos2x 2sin 2x π ÷ ，
è 6
可得最大值是 2，最小正周期是 π，所以选项 A，C 错误；
x é π π ù π é π π ù当 ê , ú，可得 2x ê ,6 3 ú，根据正弦函数的性质， 6 2 2
f x 2sin 2x π é π , π ù可得函数 ÷在
è 6 ê 6 3 ú
上单调递增，所以 B 正确；

π
将函数 f x 图象向左平移 得到函数 f x 2sin 2x
π
，
6 è 6 ÷
此时函数 f x 的图象不关于原点对称，所以 D 错误.
故选：B．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数 f x 的图象的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），然后再向左平
π
移 个单位长度，得到函数 g x Asin x A > 0, > 0,
π
< ÷的部分图象如图所示，则函数 f x 的12 è 2
解析式为（ ）
A． f x π 3sin 4x

÷ B． f x 3sin

4x
π
÷
è 2 è 6
f x 3sin x π f x 3sin x π C． ÷ D．6 ÷è è 2
【答案】B
π
【分析】由图象可得最小正周期，可求 ，A ，点 ,0

6 ÷的坐标代入函数
y g x 的解析式，可求解析式，
è
进而利用图象变换可求函数 f x 的解析式.
5π π
【详解】由图像可得 A 3，函数 y g x 的最小正周期为T ÷ π，6 è 6
2π
π
所以 2，将点 ,0

6 ÷的坐标代入函数
y g x 的解析式，
T è
y g x π sin é π ù且函数 在 x 附近递增，所以 ê2

÷ ú 0 .6 è 6
π则 2kπ k Z ，
3
π 2kπ k Z π π π得 .因为 < < ，所以当 k 0时， ，
3 2 2 3
因此 g x π 3sin 2x 3 ÷ .è
函数 g x π 1的图象向右平移 个单位长度，然后横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
12 2
得到函数 f x 的解析式为 f x 3sin é2 π π ùê 2x

÷ 3sin

4x
π
÷ .
è 12 3
ú
è 6
故选：B.
4．（2024·山东泰安·二模）已知函数 f x sin x
π
，将函数 f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一
è 4 ÷
半，纵坐标变为原来的 2 倍，得到函数 g x 的图象，则下列结论正确的是（ ）
g x 2sin x πA． ÷ B． g x
0, π 在
2 4 2 ÷
上单调递增
è è
g x π é π 3π ùC． 的图象关于点 ,0÷中心对称 D． g x 8 在 ê , ú 上的值域为
é
2, 2ùè 4 4
【答案】C
π
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得 g(x) 2sin(2x ) ，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选
4
项即可.
【详解】A：将 f (x) 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的 2 倍，
得到函数 g(x) 2sin(2x
π
) ，故 A 错误；
4
B：由选项 A 可知 g(x) 2sin(2x
π
) ，
4
由 0 < x
π π
< ，得 < 2x
π 3π
<
2 4 4 4 ，
π π π 3π
所以函数 g(x)在 ( , ) 上单调递增，在 ( , )4 2 2 4 上单调递减，故 B 错误；
C：由选项 A 可知 g(x) 2sin(2x
π
) ，则 g(π) 2sin(2 π π ) 2sin 0 0
4 8 8 4
，
π
所以函数 g(x)图象关于点 ( ,0)8 中心对称，故 C 正确；
g(x) 2sin(2x π) π x 3πD π π 5π：由选项 A 可知 ，由 ，得 2x 4 4 4 ，4 4 4
2
所以 sin(2x π ) 1，则 2 g(x) 2，即 g(x)的值域为[ 2,2]，故 D 错误.
2 4
故选：C
π 5π
5．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数 f x cos 2x 6 ÷ 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函è 6
数 g x 的图象，则（ ）
g x cos 2x 2π g x é π πA B , ù． ÷ ． 在 上单调递增
è 3 ê 3 3 ú
é π ù 3 πC． g x 在 ê0, ú 上的最小值为 D．直线 x 4 是 g x 图象的一条对称轴 3 2
【答案】D
5π
【分析】由平移变换内容得 g x f x ÷ sin2x 可判断 A；求出 g x 的增区间可判断 B；依据 2x的范
è 6
围即可求出 g x 的值域即可判断 C；根据对称轴方程求解 g x 的对称轴方程即可判断 D.
g x f x 5π cos é2 x 5π π ù 3π 【详解】对于选项 A，由题意，可得 ÷ ê ÷ ú cos 2x ÷ sin2x，è 6 è 6 6 è 2
故 A 错误；
π 2kπ 2x π对于选项 B，令 2kπ k π π Z ， kπ x kπ k Z ，
2 2 4 4
g x é π , π ù所以 在 ê ú 上单调递增，故 B 错误； 4 4
x é0, π ù 2x é 2π ù对于选项 C，因为 ê 0, sin 2x 0,1 3ú ，所以 ，故 ， ê 3 ú
g x é0, π ù在 ê ú 上的最小值为 0，故 C 错误； 3
π
对于选项 D，函数 g x sin2x 的对称轴方程为 2x kπ+ k Z ，
2
kπ
化简可得 x +
π k Z ，取 k 0 π，可得 x ，
2 4 4
x π所以 是 g x 4 图象的一条对称轴，故 D 正确.
故选：D.
π
6．（2024· · 1湖北 二模）将函数 y sin x ÷的图象上每一点的横坐标变为原来的 2 （纵坐标不变），再向右è 6
5π
平移 个单位长度，所得图象对应的函数（
12 ）
é π
A．在区间 ê ,0
ù é π 7π ù
ú 上单调递减 B．在区间 ê ,10 12 ú 上单调递增 2
é π
C．在区间 ê ,
π ù é π π ù
ú 上单测递减 D．在区间 , 上单调递增 6 3 ê 6 3 ú
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的变换及性质判定选项即可.
【详解】函数 y sin
x π
1
÷的图象上每一点的横坐标变为原来的 得 y sin
π
2 2x 6 ÷ ，è 6 è
5π é 5π π ù
再向右平移 个单位长度得 y sin ê2 x ÷ ú sin
2x 2π

12 12 6 3 ÷
，
è è
即 y sin

2x
2π
，
è 3 ÷
2kπ π 2x 2π 2kπ π k Z ékπ
π
,kπ 7π ù由 ， 得增区间为 ê ， k Z．2 3 2 12 12 ú
π 7π π 7π π 7π
当 k 0 é ù é ù é ù时，一个增区间为 ê , , , B . 12 12 ú
，而
ê10 12 ú ê12 12 ú
，所以 正确

故选：B
二、多选题
π
7．（2024·安徽合肥·三模）已知 x1, x2 是函数 f (x) 2sin

x

6 ÷
( > 0) 的两个零点，且 x1 x2 的最小值是
è
π
，则（ ）
2
π
A． f (x)
é0, ù在 ê ú 上单调递增 3
B． f (x)
π
的图象关于直线 x 对称
6
C． f (x) 的图象可由 g(x) 2sin 2x
π
的图象向右平移 个单位长度得到
6
é πf (x) , πùD． 在 ê 2 ú上仅有
1 个零点

【答案】ABD
【分析】依题意可得 f (x) 的最小正周期T π ，即可求出 ，从而得到 f x 解析式，再根据正弦函数的性
质一一判断即可.
f (x) T π 2π 2 2 f (x) 2sin 2x π 【详解】由题意可知，函数 的最小正周期 ， ， ．
2 ֏ 6
x é0, π ù 2x π π π é , ù对于A ，当 ê ú 时， 3 6 ê 6 2 ú
，

y sin x é π π , ù π因为 在 ê ú 上单调递增，所以 f (x)
é0, ù
6 2 在 ê 上单调递增，故
A 正确；
3 ú
f π 对于 B，因为 ÷ 2sin
é π π ù π
ê2 ÷ ú 2sin ÷ 2，è 6 è 6 6 è 2
所以 f (x)
π
的图象关于直线 x 对称，故 B 正确；
6
π
对于 C，将 g(x) 2sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到：
6
y 2sin 2 x π π 2sin 2x 6 ÷
f (x)，故 C 错误；
è è 3 ÷
x é π , πù 2x π é5π ,11π ù π对于 D，当 ê ú 时， ê ú，仅当 2x π x
7π
，即 时， f (x) 0 ，
2 6 6 6 6 12
π
即 f (x)
é , πù在 ê 2 ú上仅有
1 个零点，故 D 正确．

故选：ABD．
π 5π
8．（2024·湖北襄阳·二模）已知函数 f (x) sin x ÷ cos x ÷，将函数 f (x) 的图像横坐标缩短为原来
è 3 è 6
1 π
的 2 倍，再向左平移 单位，得到函数
g(x) .则下列结论中正确的是（
3 ）
f x 2π A． ÷为偶函数
è 3
ì π π ü
B．不等式 g(x) 1的解集为 íx kπ x kπ,k Z
12 4
C． g(x) é
3π ù
在 êπ, ú上单调递增 2
D．函数 g(x) é
π , 5π ù 4π在 ê ú 的零点为 x1, x2 , x3且 x1 < x2 < x3，则 x1 2x2 x3 3 6 3
【答案】BD
2π
【分析】由三角恒等变换化简 f x 解析式，由解析式判断 f x ÷的奇偶性得 A 选项结果；由函数图像
è 3
变换得函数 g(x)解析式，由解析式解决不等式单调区间和零点问题判断选项 BCD.
π 5π
【详解】 f (x) sin x ÷ cos x ÷ sin
x π

÷ cos
x π π π ÷ 2sin x ÷ ，
è 3 è 6 è 3 è 3 2 è 3
f x
2π
÷ 2sin x π 2sin x，为奇函数，A 选项错误；
è 3
1 π
函数 f (x) 的图像横坐标缩短为原来的 倍，得函数 y 2sin 2x 2 3 ÷的图像，è
π g(x) 2sin é 2 x π π ù 2sin π 再向左平移 单位，得到函数
3 ê 3 ÷ ú
2x ÷的图像，
è 3 è 3
若 g(x) 2sin
2x π 1 sin ÷ ，即 2x
π 1
è 3 è 3
÷ ，
2
π
则有 2kπ 2x
π 5π π π
2kπ,k Z，解得 kπ x kπ,k Z ，B 选项正确；
6 3 6 12 4
x éπ, 3π ùê ú 时， 2x
π é7π ,10π ù é7π 10π ùê ú， ê ,3 3 ú不是正弦函数的单调递增区间，
C 选项错误；
2 3 3 3
x π éê ,
5π ù π é π ù é π 5π ù
ú 时，有 2x ê , 2πú ，函数 g(x)在 , 的零点为 x , x , x ， 3 6 3 3 ê 3 6 ú 1 2 3
π π π
则有 2x1 0， 2x2 π， 2x3 2π ，3 3 3
x 2x x π 2 π 5π 4π所以 1 2 3 ，D 选项正确.6 3 6 3
故选：BD
三、填空题
9．（2024·青海西宁·模拟预测）将函数 y 4sin9x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍，纵坐标不变，
得到函数 y f x 7π 的图象，则 f x 的最小正周期为 ， f ÷ .
è 18
2 2
【答案】 / 2
3 3
2π
【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得 f x 4sin3x T f 7π ，结合 和求出 18 ÷即可求解.è
【详解】由题意知， f x 4sin3x，
则 f x 2π的最小正周期T ，
3
f 7π ÷ 4sin
7π
4sin π 2 .
è 18 6 6
2π
故答案为： ； 2
3
10．（2024·江苏·模拟预测）将函数 f x sin 2x 1图象上的每个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不
π
变），再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于 y 轴对称，写出一个符合条件的 的值 .
6
π
【答案】 6 （答案不唯一）
【分析】由函数平移、伸缩变换法则得新函数表达式，结合三角函数奇偶性即可列式求得参数 的值.
【详解】将函数 f x sin 2x 1图象上的每个点的横坐标变为原来的 2 倍（纵坐标不变），
π
再将得到的图象向左平移 个单位长度，所得的图象对应的解析式为
6
g x sin 4 x
π
÷

÷ sin

4x
2π

6 ÷
，
è è è 3
由题意 g x 的图象关于 y 轴对称，
2π π
所以 kπ,k Z
π π
，解得 kπ ， k Z ，令 k 0，得 .
3 2 6 6
π
故答案为： .6 （答案不唯一）
一、单选题
1 π
1．（2024·陕西渭南·三模）将函数 y 2sin x ÷的图象向左平移 > 0 个单位长度，所得图象关于原
è 2 4
点对称，则 的值可以为（ ）
π π 3π 3π
A． B． C． D．
4 2 4 2
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换，整理变换之后的函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得答案.
【详解】由题意可知函数 y 2sin
é1
ê x
π
ùú 2sin
1
x
1 π ÷ 的图象关于原点对称，
2 4 è 2 2 4
1
则
π π
kπ k Z ，整理可得 2kπ k Z ，
2 4 2
3π
当 k 1时， .
2
故选：D.
π
2．（2024·山东·二模）将函数 f x sin 2x ÷的图象向左平移 > 0 个单位长度得到函数 g x 的图象，
è 3
11π
若 x 为 g x 图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ）
6
π 5π 7π 2π
A． B． C． D．
12 12 12 3
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出 g(x)，再根据正弦函数的对称轴求出 和整数 k 的关系
式，再对 k 取值即可求解.
π π
【详解】由题意得： g(x) sin 2(x ) sin(2x 2 )，
6 3
11
又因为 x π 是 g(x)的一条对称轴，
6
kπ π 11 π所以 2 ×

π

÷ 2 , k Z，2 è 6 3
kπ 23即 π,k Z，下面结合选项对整数 k 取值（显然 k 取负整数）：
2 12
17
k 1时， π ；
12
11
k 2 时， π ；
12
5
k 3时， π ；
12
-πk 4 时， .
12
故选：B.
π
3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数 f x cos x > 0 的图象向左平移 个单位后得到
2
g x sin x π的图象，若 是 f x 的一个零点，则 的可能取值为（
4 ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】B
【分析】依题利用平移变换得到方程 cos( x
π
) sin x ，从中求得 4k 1,k N* ，将其代入
2
m k π π另一条件，整理得 即可判断结果.
4
π π π
【详解】依题意， g x cos( x ) sin x ，则 2kπ ，解得 4k 1,k N* ；
2 2 2
又cos(
π
) 0即得cos( kπ
π
) 0， k N*，4 4
kπ π π则得 mπ,m Z,k N* ，即 m k π π ， k N*,m Z .
4 2 4
故选：B.
4．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 f (x) sin(4x )

| |
π
< π÷ ，先将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长
è 2 12
度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，即可得到函数 g(x)的图象．若函数 g(x)
π
的图象关于 y 轴对称，则 f 8 ÷
（ ）
è
1 1A． 2 B． C
3
． D 3．
2 2 2
【答案】C
π
【分析】根据三角函数的图象变换，得到 g(x) sin 2x

÷，由 g x 的图象关于 y 轴对称，求得
è 3
π ，得到 f (x) sin
π π
6
4x ÷ ，进而求得 f ÷的值，得到答案.
è 6 è 8
【详解】先将函数 f (x) sin(4x )
π
的图象向右平移 个单位长度，
12
得到 y sin
é4 π ùê x sin
4x π
12 ÷ ú 3 ÷
的图象，
è è
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，
得到 g(x)
π
sin 2x ÷的图象，
è 3
因为函数 g x π kπ π的图象关于 y 轴对称，所以 ,k 5π Z，即 kπ,k Z，
3 2 6
| | π π又因为 < ，所以 ，所以 f (x)
π
sin 4x

2 6 ÷
，
è 6
f π sin 4 π π所以 ÷

÷ sin
π 3
．
è 8 è 8 6 3 2
故选：C．
5．（2024·江西景德镇·三模）函数 f x cos x x R 在 0, π 内恰有两个对称中心， f π 1，将函数 f x
π π
的图象向右平移 个单位得到函数 g x 的图象.若 f a g a 3 cos ，则 4a

3 5 ÷
（ ）
è 3
7 16 9 19A． B． C． D．
25 25 25 25
【答案】A
3 5
【分析】根据 y 轴右边第二个对称中心在 0, π 内，第三个对称中心不在 0, π 内可求得 < ，结合
2 2
f π 1 g x f a g a 3可得 2，再利用平移变换求出 ，根据三角变换化简 可得 sin 2a
π 3

5 6 ÷
，
è 5
然后由二倍角公式可解.
【详解】由 x 0, π 得 x 0, π ，
ì3π
π
因为函数 f x 在 0, π 2 3 5内恰有两个对称中心，所以 í ，解得 <
5π
，
> π 2 2
2
又 f π cos π 1，所以 π kπ,k Z ，即 k,k Z，所以 2，
f x π y cos 2 x π 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ÷÷ cos

2x
2π
，
3 ÷è è 3 è 3
即 g x cos 2x 2π ÷，
è 3
因为 f a g a cos 2a cos 2a 2π

3 ֏
3
sin 2a 1 cos 2a sin 2a π 3

÷ ，2 2 è 6 5
2
cos 所以 4a
π π 3 7
2 ÷ 1 2sin 2a
1 2
3 6 ÷ 5 ÷
.
è è è 25
故选：A
π
6．（2024·广东广州·模拟预测）若将函数 f x 2sinx的图象先向左平移 个单位长度，再将图象上所有点
4
1
的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y g x2 的图象，若关于 x 的方程 g x 1在 0,π 内有
两个不同的解a , b ，则 sin a b （ ）
1 1
A B C 2 D 2． ． ． ．
4 4 2 2
【答案】D
【分析】由三角函数的伸缩和平移变化得到 g x 2sin 2x
π
5π
4 ÷
，再根据条件得到a b ，即可求出结
è 4
果.
f x 2sinx π【详解】由函数 的图象向左平移 个单位长度后，
4
π 1
得到函数 y 2sin x ÷的图象，再将图象上各点的横坐标缩小为原来的
è 4 2
，
得到函数 g x 2sin 2x π ÷的图象，
è 4
因为 x 0, π 2x π π 9π，所以 é , ê ÷，4 4 4
g x 1 sin π 1由 ，可得 2x ÷ ，
è 4 2
π
所以 2a 2b
π 3π 5π
2，得到a b ，
4 4 2 4
5π 2
所以 sin a b sin ，
4 2
故选：D.
二、多选题
π
7．（2024·山东菏泽·模拟预测）将函数 f x 2sin xcos x 1的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移
12
个单位长度，得到函数 g x 的图象，则（ ）
A． g x 的最小正周期为 π B． g x π的图象关于 x 3 对称
C． g x π的图象关于 ,0 ÷对称 D． g x é
π π ù
的单调递增区间为 êkπ ,kπ ú ,k Zè 6 3 6
【答案】AB
2π π
【分析】首先将 f x 化简，再利用平移得到 g x 的解析式，利用T 可判断 A；判断 x 3 是否对应函
π π
数的最值可判断 B；判断 x 是否为函数的零点可判断 C；利用 2kπ 2x
π π
2kπ,k Z 得函数的
6 2 6 2
增区间可判断 D.
【详解】Q f x 2sin x cos x 1 sin 2x 1，
将 f x π的图象向下平移 1 个单位长度，再向右平移 个单位长度，
12
得到 g x sin 2 x π sin 2x π 12 ÷ ÷，è è 6
对于 A， g x 2π的最小正周期为T π2 ，故 A 正确；
对于 B， g
π
÷ sin

2
π π π
× ÷ sin 1为最大值，
è 3 è 3 6 2
π
所以 g x 的图象关于 x 3 对称，故 B 正确；
g π 对于 C， ÷ sin 2
π π
÷ sin
π 1
0，
è 6 è 6 6 6 2
π
所以 ,0

6 ÷不是
g x 的对称中心，故 C 错误；
è
π
对于 D，因为 2kπ 2x
π π
2kπ,k Z π π ，所以 kπ x kπ,k Z，
2 6 2 6 3
é π π
所以单调递增区间为 ê kπ, kπ
ù
ú , k Z，D 错误. 6 3
故选：AB.
三、填空题
π
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 f (x) 2sin( x )， ( > 0,| |< )的部分图象如图所示．若将函
2
数 f (x) 的图象向右平移 t(t > 0)个单位长度，得到函数 g(x)的图象．若函数 g(x)为奇函数，则 t 的最小值
是 ．
1
【答案】 /
8 8
【分析】根据给定条件，求出函数 f (x) 的解析式，进而求出 g(x)的解析式，再利用正弦函数的性质列式计
算即得.
f (x) T 2(3π【详解】由函数的图象知， 的周期 0)
3π 2π 4 ， ，
4 2 T 3
又 f (0) 2sin 1，解得 sin
1 π
π，而 | |< ，则 ，
2 2 6
于是 f (x) 2sin(
4 x π ) ， g(x) f (x t) 2sin(
4 x π 4 t)，
3 6 3 6 3
由函数 g(x)
π 4
为奇函数，得 t kπ,k Z t 0 t
π 3π
，而 > ，则 k,k N ，
6 3 8 4
π
所以当 t 0时， tmin .8
π
故答案为： 8
9．（2024·四川南充·模拟预测）将函数 f x sin x π ÷ (0 < < 6)
π
的图象向右平移 个单位长度后得到函
è 6 12
数 g x π 1的图象，若 0, ÷是 g x 的一个单调递增区间，则方程 f x 在 0, π 上实数根的个数
è 2
为 .
【答案】5
【分析】根据三角函数图象变换规律求出 g x π ，再由 0, ÷是 g x 的一个单调递增区间，可求出 的值，
è
π π 23π
从而可求出 f (x) 的解析式，再由 x 0, π é得 4x ê ,
ù
ú ，然后由 sin

4x
π 1
÷ 求解即可.6 6 6 è 6 2
π
【详解】因为将函数 f x sin x
π
÷ (0 < < 6)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，
è 6 12
所以 g x sin éê (x
π
) π ù sin( x π π )，
12 6 ú 12 6
2π
所以 g x 的最小正周期为T ，

π
所以 0, ÷是 g x 的半个周期，
è
0, π g x π π因为 ÷是 的一个单调递增区间，所以 g(0) sin( ) 1，
è 12 6
π π 2kπ π所以 , k Z，得 24k 4,k Z，
12 6 2
因为0 < < 6，所以ω = 4，
所以 f x sin 4x
π
÷，
è 6
当 x 0, π 4x π é π时， ê ,
23π ù
，
6 6 6 ú
由 f x π 1 sin 4x

÷ ，得
è 6 2
4x π π 4x π 7π 4x π 11π 4x π 19π 4x π 23π ，或 ，或 ，或 ，或 ，
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
1
所以方程 f x 在 0, π 上实数根的个数为 5，
2
故答案为：5
10．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数 f x 3sinx cosx 的图象向左平移 个单位长度得到
g x 2sinx 2 2cosx的图象，则 cos ．
2
【答案】
2
【分析】把 f (x), g(x)都化为 y Asin(x q )形式，然后结合图象平移变换知识得出 的表示，再利用两角和
或差的余弦公式求解．
cosa 3 ,sina 1【详解】由已知 f (x) 3sin x cos x 10 sin(x a )，其中 ，a 为锐角，
10 10
2 5
又 g(x) 2 sin x 2 2 cos x 10 sin(x b )，其中 cos b ， sin b 2 5 ，b 为锐角，
10 5 5
a , b 都为锐角，且 cosa < cos b ，因此0 < b a
π
< < ，
2
要把 f (x) 的图象向左平移 个单位长度得到 g x 的图象，则 2π a b ，
cos cos 3 5 1 2 5 2 é2π a b ù cos a b cosa cos b sina sin b ，10 5 10 5 2
2
故答案为： ．
2
π
1．（2023·全国·高考真题）函数 y f x 的图象由函数 y cos 2x
π
6 ÷的图象向左平移 个单位长度得到，è 6
则 y f x 1 1的图象与直线 y x 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
1 1
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f x sin 2x，再作出 f x 与 y x 的部分大致图像，考虑
2 2
f x y 1 x 1特殊点处 与 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
2 2
y cos 2x π π y é π π ù π cos 2 x cos 2x 【详解】因为 6 ÷向左平移 个单位所得函数为6 ê 6 ÷ 6 ú ÷
sin 2x ，
è è è 2
所以 f x sin 2x，
1 1 1
而 y x

显然过 0,

÷ 与 1,0 两点，2 2 è 2
f x y 1 x 1作出 与 的部分大致图像如下，
2 2
2x 3π ,2x 3π考虑 , 2x
7π 3π 3π
，即 x , x , x
7π f x y 1 x 1 处 与 的大小关系，
2 2 2 4 4 4 2 2
3π f 3π sin 3π 1 y 1 3π 1 3π 4当 x 时， ÷ ÷ ， 4 4 2 2

4 ÷
< 1；
è è è 2 8
3π 3π 3π
当 x 时， f ÷ sin 1 y
1 3π 1 3π 4
， <1；
4 è 4 2 2 4 2 8
x 7π
7π
f
7π
当 时， ÷ sin 1 y
1 7π 1 7π 4
， >1；
4 è 4 2 2 4 2 8
f x y 1 1所以由图可知， 与 x 的交点个数为3 .
2 2
故选：C.
π π
2．（2022·全国·高考真题）将函数 f (x) sin x

÷ ( > 0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C，
è 3 2
若 C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）
1 1 1
A 1． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C

【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得 k , k Z ，即可求出 的最小值.
2 3 2
é ù
【详解】由题意知：曲线C 为 y sin ê x ÷ ú sin( x )，又C 关于 y 轴对称，则
è 2 3 2 3

k , k Z ，
2 3 2
1 1
解得 2k, k Z ，又 > 0，故当 k 0时， 的最小值为 .
3 3
故选：C.
1
3．（2022·天津·高考真题）已知 f (x) sin 2x，关于该函数有下列四个说法：
2
① f (x) 的最小正周期为 2π；
π π
② f (x) 在[ , ]4 4 上单调递增；
x π π
é 3 3 ù
③当
é
ê ,
ù
ú 时， f (x) 的取值范围为 ê , ； 6 3 4 4
ú

④ f (x) 的图象可由g(x)
1
sin(2x π ) π的图象向左平移 8 个单位长度得到．2 4
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
1
【详解】因为 f (x) sin 2x
2π
，所以 f (x) 的最小正周期为T π，①2 不正确；2
t 2x π π é ù 1 é π π ù π π令 ê , ú ，而 y sin t 在 ê , ú上递增，所以 f (x) 在[ , ]4 4 上单调递增，②正确；因为 2 2 2 2 2
é π é ù é ùt 2x ê ,
2π ù
ú ， sin t
3 3 1
ê ,1ú，所以 f x ,3 3 2 ê 4 2ú，③不正确；
g(x) 1由于 sin(2x
π
) 1 é sin ê2 x
π ù 1÷ú ，所以 f (x) 的图象可由g(x) sin(2x
π
) π的图象向右平移 8 个单2 4 2 è 8 2 4
位长度得到，④不正确．
故选：A．

4．（2020·天津·高考真题）已知函数 f (x) sin x ÷ ．给出下列结论：
è 3
① f (x) 的最小正周期为2 ；
f ② ÷是 f (x) 的最大值；
è 2
③把函数 y sin x

的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 y f (x) 的图象．
3
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为 f (x) sin(x
2
)，所以周期T 2 ，故①正确；
3
f ( ) sin( ) 5 1 sin 1，故②不正确；
2 2 3 6 2
将函数 y

sin x 的图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 y sin(x )的图象，
3 3
故③正确.
故选：B.
【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是
一道容易题.
π π
5．（2020·江苏·高考真题）将函数 y= 3sin 2x ÷ 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴
è 4 6
最近的对称轴的方程是 .
5 5
【答案】 x /
24 24
【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果.

【详解】 y 3sin[2(x ) ] 3sin(2x

)
6 4 12
2x k (k 7 k Z ) x (k Z )
12 2 24 2
5
当 k 1时 x
24
5
故答案为： x
24
【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.
6．（2019·天津·高考真题）已知函数 f (x) Asin( x )(A > 0, > 0,| |< )是奇函数，将 y f x 的图像上
所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g x .若 g x 的最小正周期为

2π ，且 g ÷ 2
3
，则 f
è 4 è 8 ÷
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
【答案】C
【解析】只需根据函数性质逐步得出 A, , 值即可．
【详解】因为 f (x) 为奇函数，∴ f (0) Asin 0， =k , k 0, 0；
g(x) Asin 1 x, T 2 1 2 ,又 2
2

2， A 2，又 g( ) 2
4
∴ f (x) 2sin 2x f (
3
， ) 2.
8
故选 C．
【点睛】本题考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数 g x ．

7．（2018·天津·高考真题）将函数 y sin(2x )5 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数10
3
A．在区间[ ,
5 ] 3
4 4 上单调递增
B．在区间[ , ]4 上单调递减
5 3 3
C．在区间[ , ]4 2 上单调递增 D．在区间
[ ,2 ]
2 上单调递减
【答案】A
【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数图象平移变换的性质可知：
y sin 2x 将

÷的图象向右平移 个单位长度之后的解析式为：
è 5 10
y sin é2 x ùê ÷ ú sin 2x .
è 10 5

则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 2k k Z ，
2 2
k 即 x k

k Z ，
4 4
é3 , 5 k 1 ù令 可得一个单调递增区间为： ê 4 4 ú
.

函数的单调递减区间满足： 2k

2x 2k 3 k Z ，
2 2
3
即 k x k k Z ，
4 4
é5 7 k 1 ù令 可得一个单调递减区间为： ê , ú，本题选择 A 选项. 4 4
【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
2π
8．（2017·全国·高考真题）已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结论正确的是3
π
A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6
到曲线 C2
π
B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得12
到曲线 C2
1 π
C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得2 6
到曲线 C2
1 π
D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得2 12
到曲线 C2
【答案】D
1
【详解】把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 y=cos2x2 图象，再把
π π π 2π
得到的曲线向左平移 个单位长度，得到函数 y=cos2（x+ ）=cos（2x+ =sin 2x+12 12 6 ） （ 3 ）的
图象，即曲线 C2，
故选 D．
点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须
熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函数 y Asin( x )(x R) 是奇函数
kπ(k Z ) ；函数 y Asin( x )(x R) 是偶函数 kπ+
π (k Z ) ；函数 y Acos( x )(x R)
2
π
是奇函数 kπ+ (k Z ) ；函数 y Acos( x )(x R) 是偶函数 kπ(k Z ) .
2

9．（2016·四川·高考真题）为了得到函数 y=sin（x ）的图象，只需把函数 y=sinx 的图象上所有的点
3

A．向左平行移动 个单位长度
3

B．向右平行移动 个单位长度
3

C．向上平行移动 个单位长度
3

D．向下平行移动 个单位长度
3
【答案】A
【详解】试题分析：为得到函数 y sin(x
π
)的图象，只需把函数 y sin x 的图象上所有的点向左平行移动
3
π
个单位长度，故选 A.
3
【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，函数 y f (x) 的图象向右平移 a个单位长度得 y f (x a) 的
图象，而函数 y f (x) 的图象向上平移 a个单位长度得 y f (x) a 的图象．左、右平移涉及的是 x 的变化，
上、下平移涉及的是函数值 f (x) 的变化．

10．（2016·全国·高考真题）若将函数 y cos 2x的图象向左平移12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为
（ ）
x k k A． k Z B． x k Z x
2 6 2 6
x k C． k Z k D． x k Z
2 12 2 12
【答案】C

【详解】试题分析：由题意得，将函数 y cos 2x的图象向左平移12 个单位长度，得到
y cos 2 x ÷ cos

2x

k ÷，由 2x k , k Z ，得 x , k Z ，即平移后的函数的对称轴方
è 12 è 6 6 2 12
k
程为 x k Z ，故选 C．
2 12

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