资源简介

第 05 讲 ω、φ、a、b、m、t
等参数的取值范围及最值问题（高阶拓展）
（15 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
余弦函数图象的应用
2023 年新 I 卷，第 15 题,5 分 的取值范围
根据函数零点的个数求参数范围
由正弦(型)函数的值域(最值)
2022 年全国甲卷理数，第 11 题,5 分 求参数 正弦函数图象的应用
利用正弦函数的对称性求参数
2022 年全国甲卷文数，第 5 题,5 分 由正弦(型)函数的奇偶性求参数 求图象变化前 (后)的解析式
2022 年全国乙卷理数，第 15 题,5 分 利用 cosx(型)函数的对称性求参数 求余弦(型)函数的最小正周期
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题灵活，难度较中等或较高，分值为 5 分
【备考策略】1 理解 ω 在三角函数图象与性质和伸缩平移变换中的基本知识
2 能结合三角函数基本知识求解 ω 的值或范围
【命题预测】本节内容是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值
域、零点及伸缩平移变换综合求解，需加强复习备考
知识讲解
1. ω 在三角函数图象与性质中的基本知识
y Asin( x ) h， y Acos( x ) h
A 2 振幅，决定函数的值域，值域为 A, A ， 决定函数的周期，T
x 叫做相位，其中 叫做初相， y A tan( x ) h的周期公式为：T

2. ω 在伸缩平移变换中的基本知识（ A， 是伸缩量）
y Asin( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 A, A ；
若 A↗，纵坐标伸长；若 A↘，纵坐标缩短； A与纵坐标的伸缩变换成正比
2
决定函数的周期，T
若 ↗，T ↘，横坐标缩短；若 ↘，T ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
3. 与三角函数的奇偶性相关的结论
π
若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
2
π
若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)．
2
若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、由三角函数的周期求的值
1．（2024·北京·高考真题）设函数 f x sin x > 0 .已知 f x1 1， f x2 1，且 x1 x2 的最小值为
π
，则 （ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
3
2．（全国·高考真题）若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= sin x ( >0)两个相邻的极值点，则 =4 4
3
A．2 B． C．1 D 1．
2 2
1．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数 f x π 3sin x ÷（其中 > 0）的图象与直线 y 3的两个相邻
è 6
交点的距离等于 2π，则 的值为（ ）
A 1． 2 B．2 C．1 D．3
π
2．（2023·四川遂宁·三模）已知函数 f (x) sin x ÷ cos x( > 0) ， f x1 0， f x2 3 ，且 x6 1 x2è
的最小值为 π，则 的值为（ ）
2
A B 1． ． 2 C．1 D．23
考点二、由三角函数的单调性求的值或取值范围
π
1．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 f (x) sin( x)( > 0)在 0, ÷上单调递增，则 的取值范围为（4 ）è

A． 0,
1
÷ B． (0,2)
0, 1 ùC．
2
D． (0, 2]
è è 2 ú
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 f x sin x
π
÷ > 0 6 在区间 0, π 上单调递增，则 的最大值是（ ）è
1 1 1
A 1． B． C． D．
6 4 3 2

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 3 cos x ÷ cos x > 0 在3 6 ÷ ， 2 ÷ 上单调递增，则è è è
的取值范围是（ ）
é 4 5ù é5 11ù é5 11ù é7 ù
A． ê ，ú B． ê ， ú C． ê ， ú D． ê ，2 3 3 6 6 3 6 6 ú
é π π ù
1．（22-23 高一上·吉林长春·期末）（多选）若函数 f x sin x > 0 在区间 ê , ú 上单调递增，则 的取 4 3
值范围可以是（ ）
3ù é 9 ù é 15ù é 21ù
A． 0, ú B． ê2, ú C． 6, D． 10,è 2 2 ê 2 ú ê 2 ú
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数 f x sin x 2π 0 π π ÷ >

在区间 ,3 12 6 ÷
上单调递增，则 的取值范
è è
围是（ ）
A． 2,5 B． 1,14 C． 9,10 D． 10,11
π π
3．（2024·辽宁葫芦岛·
é ù
一模）（多选）已知 f (x) sin x 3 cos x > 0 在区间 ê , ú上单调递增，则 的 6 4
取值可能在（ ）
0, 2ù 2A． ú B． ,7
é 26ù é50 ù
÷ C 7, D ,19
è 3 è 3
． ．
ê 3 ú ê 3 ú
考点三、由三角函数的奇偶性求的值或取值范围
π π
1．（2022·全国·

高考真题）将函数 f (x) sin x ÷ ( > 0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C，
è 3 2
若 C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）
1 1 1
A． B 1． C． D．
6 4 3 2
2．（2023 春·陕西安康·高三统考）将函数 f x sin x 1 （ > 0）的图象向右平移 1 个单位长度后，得
到的图象关于原点对称，则 的最小值为（ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．4
π
1．（2024·四川成都·模拟预测）将函数 f x sin x ÷ > 0
π
的图象向右平移 个单位长度后得到函数
è 3 2
g x 的图像，且函数 g x 是偶函数，则 的最小值是（ ）
1 2 1 5
A． B． C3 ． D．3 6 6
π π
2．（2024·吉林延边·一模）将函数 f x sin x ÷ ( > 0) 的图象向左平移 个单位长度后得到曲线C ，
è 6 2
若C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）
1 2 4 5
A． B． C D3 ． ．3 3 3
π π
3．（2023 春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数 f x cos x ÷ > 0 3 的图象向右平移 个单位长è 6
度后，得到函数 g x 的图象，若 g x 为奇函数，则 的取值可以为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
考点四、由三角函数的对称性求的值或取值范围

1．（2022·全国·高考真题）记函数 f (x) sin x ÷ b( > 0)
2
的最小正周期为 T．若 < T < ，且 y f (x)
è 4 3
3
的图象关于点 , 2 中心对称，则 f （ ）
è 2 ÷ ÷
è 2
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
π π
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 f (x) sin( x )( > 0) ，若对于任意实数 x，都有 f (x) f ( x)3 ，3
则 的最小值为（ ）
5
A．2 B． C．4 D．8
2

3．（2024·黑龙江·三模）已知函数 f x cos x
π
÷ ( > 0)在区间 0,2π 内恰有 3 条对称轴，则 的取值
è 4
范围是（ ）
é7 ,15ù é5 , 9 5 13ù é9 13 A． ê ú B． ê ÷ C． , D． , 8 8 8 8 ÷ è 8 8 ú ê8 8
π
1．（2023 春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考）（多选）函数 f x sin x 4 ÷ > 0 的图象关于直线è
x π 对称，则 的值可能是（
6 ）
3 15 27 33
A． B． C． D．
2 2 2 2
π
2．（2023 春·湖北武汉·高三校联考）若函数 y 3 cos x sin x > 0 在区间 ,0÷ 上恰有唯一对称轴，
è 3
则 ω 的取值范围为（ ）
é1 , 7 1A． ê ÷ B． ,
7 ù 1 7 ù 1 7 ù
2 2 è 3 6 ú
C． , D． ,
è 3 3 ú è 2 2ú
π
3．（2023 春·浙江衢州·高三统考）函数 f x sin x ÷ > 0 在区间 0, π 上恰有两条对称轴，则 的取
è 4
值范围为（ ）
é7 ,13ù 9 ,11ù é7 ,11 é5 9 A． ê ú B． ú C． ê ÷ D． , 4 4 è 4 4 4 4 ê 4 4 ÷
考点五、由三角函数的最值求的值或取值范围
1．（2024·广西桂林·三模）已知函数 f (x) cos x 2sin 2 x sin x( > 0) 在 0, 2π 上有最小值没有最大值，
则 的取值范围是（ ）
1 1
A． ( , ] [
1 , 1) [1 , 1) (1 1B． C． D． , ]
4 2 4 2 6 3 6 3

2．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数 f x sin x ， > 0,
π
÷， π为 f x 的零点，且
è 2
f x f π π ÷恒成立， f x 在区间 ,0 2 6 ÷上有最小值无最大值，则
的取值可以是（ ）
è è
A．7 B．3 C．5 D．11
1．（2024·山西·三模）（多选）已知函数 f (x) mcos x 2 3 sin x，若 f
π
÷ 2，且 f (x) f
π
2 ÷
，则
è è 4
的取值可能是（ ）
8 16 40 32
A． B． C． D．
3 3 3 3
2．（22-23 高三上·山东烟台·阶段练习）函数 f x 2sin x

÷ > 0 的图象在 0,1 上恰有两个最大值点，
è 3
则 可能为（ ）
13 25
A．2π B． C．3π D． π
6 6
f (x) 2sin x π 2π3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 ÷ ( > 0)

在 0,
π
3 ÷上存在最值，且在
, π 上单
è 6 è è 3 ÷
调，则 的取值范围是（ ）
0, 2 é11,17 ù é 5ù é 5 8ùA． ÷ B． ê ú C． ê1, ú D． ,è 3 4 3 3 ê2 3 ú
考点六、由三角函数的零点求的值或取值范围
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x cos x 1( > 0)在区间 0,2π 有且仅有 3 个零点，则 的取值范
围是 ．
1．（22-23 高一下·四川眉山·阶段练习）设 > 0，函数 f (x) 2sin
x 在区间 0
π ù
， 上有零点，则 的
è 6 ÷ è 2 ú
值可以是（ ）
1 5 1 2
A． B． C． D．
6 6 3 3
2．（天津·高考真题）已知函数 f (x)
x 1 1
sin2 sin x ( > 0)， x R .若 f (x) 在区间 ( , 2 ) 内没有零点，
2 2 2
则 的取值范围是
0, 1ù 0, 1 ù é5 ,1 5 ù 1ù é1 5ùA． ú B8 ． 4ú ê8 ÷
C． 0, D． 0, ,è è è 8 ú è 8ú ê 4 8ú
考点七、由三角函数的零点、极值点、最值点求的值或取值范围
π π
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）设函数 f (x) sin(2 x )( > 0) 在 (0, ) 上有且仅有 1 个极值点和 1 个
3 6
π
零点， f ( ) 0，则 （ ）2
8 5 17 11
A． B． C． D．
3 3 6 6
2．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 f (x) 3 sin x cos x( > 0)，若 f (x) 在区间[0, π) 内有且仅有 4 个零
点和 4 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
11 11 25[ , 25) 11 25 ù 11 25A． B．[ , ) C． , D． ( , )
5 3 3 6 è 3 6 ú 5 3
π
1．（2022·全国·高考真题）设函数 f (x) sin x ÷ 在区间 (0, π) 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值
è 3
范围是（ ）
é5 13 é5 19 13 8ù 13 19 ù
A．
ê
, B． , C． , D． ,
3 6 ÷ ê3 6 ÷ 6 3ú è è 6 6 ú
π
2．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）若函数 f x sin x ÷ > 0 在区间 0,π 恰存三个零点，两个极值
è 3
点，则 的取值范围是（ ）
7
A． ,
17 ù é11 7
è 3 6 ú
B．
ê
,
6 3 ÷
é11,17 é7 , 20 C． ê D．6 6 ÷ ê 3 6 ÷
3．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 f (x) Acos
π
x (A > 0, > 0)，若函数 f (x) 在 0, 2π
è 6 ÷
上有且仅有 4个零点和1个最大值点，则 的取值范围为（ ）
é5 , 23 5A． ê ÷ B

． ,
23ù
3 12 è 3 12 ú
é23,13 23 13ùC．
ê
D． ,
12 6 ÷ è 12 6 ú
考点八、由三角函数的零点、单调性求的值或取值范围
π π π
1．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 f (x) sin 2 x cos 2 x( >1)的一个零点是 ，且 f (x) 在 , 上
2 6 16 ֏
单调，则 （ ）
5 7 9 11
A． B． C． D．
4 4 4 4
2．（全国·高考真题）已知函数 f (x) sin( x+ )( > 0，

), x 为 f (x)

的零点， x 为 y f (x) 图象
2 4 4
的对称轴，且 f (x) 在 (
π 5π
， )单调，则 的最大值为
18 36
A．11 B．9
C．7 D．5
π π
3．（22-23 高一下·江西·期中）（多选）已知函数 f x sin x > 0, < ÷，满足 f x f x2 6 ÷，è è
f 5π π 2π 0 , ÷ ，且在 ÷上单调，则 的取值可能为（12 18 9 ）è è
A．1 B．3 C．5 D．7
π
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x sin x > 0 ，若直线 x f x 4 为函数 图象的一条对称轴，
5π
,0

÷为函数 f x 图象的一个对称中心，且 f x
π ,5π
3 在 ÷上单调递减，则
的最大值为（
4 6 ）è è
9 18 12 24
A． B． C． D．
17 17 17 17
2．（2024·四川巴中·一模）已知函数 f x sin x π > 0, π< 2 ÷，若 f x f ÷，è è 6
f 4π x ÷ f x ，且 f x
π 5π
在 , 3 12 ÷ 上单调，则 的取值可以是（3 ）è è
A．3 B．5 C．7 D．9
考点九、由三角函数值求的值或取值范围

1．（2024·四川内江·三模）设函数 f (x) 2sin x
π
( > 0) x , x é π π ù÷ ，若存在 1 2 , ，且 x1 x2 ，使得
è 3 ê 6 6 ú
f x1 f x2 3 ，则 的取值范围是（ ）
A． (0,12] B．[10, ) C．[10,12] D． (6,10]

2．（2024·全国·二模）已知函数 f x cos x > 0,
π
< f x π f x f π f π
2 ÷
满足 ÷ ，2 6 ÷ 3 ÷
0，
è è è è
π
且在 ,
5π
÷ 单调递减，则 的值可以为（12 12 ）è
A．2 B．3 C．4 D．5
π
1．（2024·河南·二模）已知函数 f x 3sin x cos x( > 0)，若存在x1， x2 [ , π]，使得 f x1 × f x2 4，2
则 的最小值为（ ）
7 8
A．1 B．2 C． D．
3 3
é 3π 3π ù
2．（23-24 高二下·浙江·期中）已知函数 f x sin x cos x( > 0) 在区间 ê , ú上恰有三个零点，且 4 2
f 3π f 15π 3π ÷ ÷ f



÷，则 的取值可能为（2 8 4 ）è è è
5 4 52 16
A． B． C． D．
4 3 27 3
考点十、由三角函数的单调性、对称性求的值或取值范围
f x sin x ( 0,0 π) é π π1．（2024·陕西榆林·二模）已知函数 > < < ù在 ê , 上单调， f x 的图象关 3 6 ú
2π
于点 ,0
5π
÷中心对称且关于直线 x 对称，则 的取值个数是（3 ）è 6
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24 高一上·浙江宁波·期末）已知函数 f
π
x sin x 0, π π > <

÷ .若 f x

÷ 为奇函数， f

x

è 2 è 8 8 ÷ è
为偶函数，且 f x 在 0,
π
÷上没有最小值，则 的最大值是（6 ）è
A．2 B．6 C．10 D．14
1．（23-24 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 f (x) 2cos( x )( > 0,0 < < π) 的图象关于原点对称，
é π , 2π ù且在区间 ê ú 上是减函数，若函数 f (x) 在 0, π 上的图象与直线 y= 2 有且仅有一个交点，则 ω 的取值 2 3
范围是（ ）
(0,1] 0, 3ù [1, 1 3 ) é , ùA． B． ú C4 ．
D．
è ê 2 4 ú
π π
2．（2022 高三上·河南·专题练习）已知函数 f x Acos x (A, > 0, )，若 x 为 f (x)3 的零点，2
π 7π
x π 是 f (x)

的图象的对称轴，且 f (x) 在区间 ,66 66 ÷ 上单调，则实数
取最大值时， （
6 ）è
π π π π
A． B． C6 ． D． 6 3 3
考点十一、由三角函数的伸缩平移变换求的值或取值范围
π
1．（2024·四川成都·三模）将函数 f x sin x > 0 的图象向左平移 个单位后，与函数
6
g x cos x 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
π
2．（2024·山东·二模）已知函数 f (x) sin( x )( > 0)，若将 f (x)
π
的图象向左平移 个单位后所得的函数
6 3
π
图象与曲线 y f (x) 关于 x 3 对称，则
的最小值为（ ）
2 1
A． B C 1 D 13 ． ． ．3 2
π
3．（2024·贵州贵阳·一模）将函数 f x sinx的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函数图像上的每个
3
1 π
点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 ( > 0) 倍，得到函数 g x 的图像.若函数 g x 在 ,02 ÷ 上单调递 è
增，则 的取值范围是（ ）
1 ù 1ù 1 ù
A． 0,
è 6 ú
B． 0, ú C． 0, D． 0,1 è 3 è 2 ú
4．（23-24 高一上·广东广州·期末）将函数 f x sinx π的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象
3
1 π 3π
的横坐标变为原来的 ( > 0) 倍，纵坐标不变，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 在 ,2 2 ÷上没有零点， è
则 的取值范围是（ ）
é2 , 8ù 0, 2ù é2 , 8ù 2 é8 A． ê ú B． ú ê ú C． 0, U ,1 D． 0,1 3 9 9 ÷ è 3 9 è 3 ê9 ÷
5π
5．（2023·全国·模拟预测）将函数 f x sinx的图像向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图像，再将
6
g x 1的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 （ > 0）倍，得到函数 h x 的图像，且 h x 在区

间 0, π 上恰有两个极值点、两个零点，则 的取值范围为（ ）
7 8ù é5 13ù 5 13ù 7 8 A． ,
è 6 3 ú
B． ê , C． , D． , 3 6 ú ÷ è 3 6 ú è 6 3
1．（2024·广东佛山·模拟预测）将函数 f x sin π x
π
÷ > 0 的图象向右平移 个单位长度后得到函数
è 3 2
g x 的图像，且函数 g x 是偶函数，则 的最小值是（ ）
1 2 1 5
A． B． C． D． E3 ．均不是3 6 6
2．（2024·陕西西安·一模）记函数 f x sin x π π（ > 0, < < ）的最小正周期为T ，且
2 2
3 y f x πf T ，将 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）
2 6
A．1 B．2 C．3 D．5

3．（2024·全国·模拟预测）将函数 f x sin x cos x( > 0)的图象向左平移 个单位长度后，再把横坐标
4

缩短为原来的一半，得到函数 g x 的图象．若点 ,0÷ 是 g x 图象的一个对称中心，则 的最小值是
è 2
（ ）
4 1 1 5A． B． 2 C． D．5 5 6
5
4．（2023·四川·一模）将函数 f x sinx的图象先向左平移 π个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐
6
标都变为原来的 > 0
π 3π
倍，得到函数 g x 的图象，若函数 g x 在区间 , 2 2 ÷内没有零点，则 的取值范è
围是（ ）
é9 ù é 9 ù
A． ê ,3 7 ú
B． ê1, U 3,9 7 ú
é9 ,3ù U 9, éC． ê ú D． ê1,
9 ù
7 7 ú
π
5．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）将函数 y sin2 x 0 < <1 的图象向左平移 个单位可得到函数
6
y f x 的图象，若 y f x 在区间 π,2π 内有最值，则实数 的取值范围可能为（ ）
1 1 5 5 7 7 13
A． , B． , C． , D． ,1
è 24 12 ÷ è 24 12 ÷ è 24 12 ÷ ÷ è 24
π
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数 f x sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐
6
1
标变为原来的 ( > 0) 倍，可以得到函数 g x 的图象，若 g x π π 在 ,6 2 ÷上没有零点，则 的取值范围是 è
（ ）
5ù é5 ù
A． 0, ú B． ê ,3ú C． 0,3 D． 3, è 3 3
考点十二、三角函数综合求的值或取值范围
5π
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数 f x sin 2x 0≤ < π 的一条对称轴是 x ，则
12
（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
π
2．（2024·重庆·模拟预测）将函数 f x sin 2x ÷的图象向右平移 > 0 个单位后，所得图象关于坐标
è 3
原点对称，则 的值可以为（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4

3．（2024·山东·二模）将函数 f x sin 2x
π
÷的图象向左平移 > 0 个单位长度得到函数 g x 的图象，
è 3
x 11π若 为 g x 图象的一条对称轴，则 的最小值为（
6 ）
π 5π 7π 2π
A． B． C． D．
12 12 12 3

4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x 3cos x < 0
π π， < < ÷ 的最小正周期为 π，在区间
è 2 2
π , π π ÷上单调递减，且在区间 0, ÷上存在零点，则 的取值范围是（6 6 6 ）è è
π , π π π ù é π π πA ù． B6 2 ÷ ．
, C． , ÷ D． 0,
è è 2 3 ú ê 3 2 è 3 ú
π
5．（21-22 高三上·广东·阶段练习）设函数 f x 2sin x 1 > 0,0 ÷的最小正周期为4π，且 f (x)
è 2
在[0,5π]内恰有 3 个零点，则 的取值范围是（ ）
é0, π ù 5π π π πA． ê ú
ì ü é ù é ù
í B．
3 12 ê
0, ,
4 ú ê 3 2 ú
é0, π ù ì5π ü éC． ê í D． 0,
π ù π π é , ù
6 ú 12 ê 6 ú ê 3 2 ú
1．（2024·全国·二模）若函数 f (x) 3cos(2x
π
)(0 < < π)的图象关于 y 轴对称，则 （ ）
3
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
2．（23-24 高一下·四川内江·期中）已知 > 0，函数 f x 4π sin 2x ，"x R ， f x f ÷ ，则 的
è 3
最小值为（ ）
π 5π
A． B． C
4π D 11π
6 6
． ．
3 6

3．（23-24 高一下·河南·阶段练习）将函数 f (x) 2sin(2x ) （ > 0）的的图象向左平移 个单位长度，得
3
到函数 g(x)的图象，若 g(0) 2 ，则 φ 的最小值为（ ）
5 7 11
A． B C D12 ． ． ．12 12 12
π
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数 f x cos x > 0 的图象向左平移 个单位后得到
2
g x sin x π的图象，若 是 f x 的一个零点，则 的可能取值为（
4 ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
é π ù
5．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）若函数 f x 6sin 3x ( π < < 2π)在 ê0, ú上的最大值小于 6
3 3，则 的取值范围是（ ）
π , π π,11π π, π 2πA． ÷ ÷ B． ÷ , 2π

è 6 3 è 6 è 6 è 3 ÷
5π , π 5π 11π π 2π 11πC．
U , D． π, ,
è 6 6 ÷ è 6 6 ÷ 6 ÷ 3 6 ÷ è è
考点十三、由三角函数的单调性、值域求其它参数的值或取值范围
π a
1．（23-24 高一下·河北张家口·期中）已知函数 f (x) 3sin(2x ) 在[0, ]6 上单调递增，则实数 a 的最大值为4
（ ）
π 2π 4π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 3
2．（2022 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的奇函数 f x 2sin x ( > 0,0 < < 2π)满足
f π x f π ÷ x ÷，若当 取最小值时， f x 在区间 m, m 上是单调函数，则m 的最大值为（4 4 ）è è
π π π
A． π B． C． D．
2 4 6
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 f x Asin x (A > 0, > 0, < π) 的部分图象如图所示，将
f x π的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在区间 0, t 上的值域为 é 3,2ù ，则 t4
的取值范围为（ ）
é5π , 2π ù é π , 5π ù é5π 5π ù é5πA． ê ú B． C． , D． , π
ù
12 3 ê 4 6 ú ê 12 6 ú ê12 ú
1．（2024·福建漳州·一模）已知函数 f x 2cos 3x
π
é÷在 ê0,
a ù
ú 上单调递减，则实数 a的最大值为（ ）è 6 6
2π 4π 5π 3π
A． B． C． D．
3 3 3 2
2．（23-24 高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数 f (x) 3sin
π
2x ÷在 ( m, m)上单调递减，则m 的最大值
è 3
为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数 f x 2cos 2x 2π
π
÷ 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x
è 3 6
的图象，若函数 g x 在 t, 2t t > 0 上单调递增，则实数 t 的取值范围是（ ）

A 0,
π ù
B 0,
π ù é π π ù é π
． 12ú ． 3 ú C．è è ê
,
12 3 ú
D． ê , 3 ÷
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 f (x) 2cos
2x π 在区间 0,a 上的值域为 é 2, 3ù ，则 a的取值
è 6 ÷
范围为（ ）
é5π , 5π ù é5π 11π ù é 2π 5π ù é5π ùA． ê ú B． ê , ú C． ê , ú D． ê , π 12 6 12 12 5 12 12 ú
考点十四、由三角函数的对称性求其它参数的值或取值范围
1．（2024·四川泸州·二模）已知函数 f (x) sin 2x bcos 2x
π
的图象关于直线 x 对称，则b 的值为（
8 ）
A 2． B． 1 C 2． D．1
2 2
1．（2024·广东梅州·二模）若把函数 f x sin x a cos x π的图象向左平移 个单位后得到的是一个偶函数，
3
则a （ ）
A． 3 B． 3 C 3 3． D．
3 3
2．（2024·四川泸州·二模）已知函数 f x sin x b cos x > 0 的最小正周期为 π，且 f x 的图象关于
π
直线 x 对称，则 b 的值为（
8 ）
A 2 B 2． ． 1 C． D．1
2 2
考点十五、由三角函数的零点及方程的根求其它参数的值或取值范围
1．（23-24 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）将函数 f x 2sin 2x
π
π÷的图象向右平移 个单位长度后，得到
è 6 6
函数 g x 的图象，若 g x 在区间 m, m 上恰有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）
é5π 7π 5π 7π ù 7π
A． ê , ÷ B． , ú C． ,
3π ù é7π , 3π D．
12 12 12 12 ÷ è è 12 4 ú ê 12 4
π
1．（22-23 高一下·河南南阳·期中）已知函数 f x sin 2x

÷，将 y f x
π
的图象向左平移 个单位长度，
è 3 12
再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍（横坐标不变），得到函数 y g x 的图象，若方程
g x k é0, π ù在区间 ê 2 ú 上有两个不同的根，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 1,2 B． 1,3 C． 1,2 D． 1,3
一、单选题
π
1．（23-24 高一下·北京·阶段练习）若函数 y sin πx ÷在 0, m 上单调递增，则m 的最大值为（6 ）è
1 2
A． B． C3 ．1 D．23
π
2．（23-24 高三上· ·

江西 阶段练习）设函数 f (x) sin x 6 ÷
( > 0)在 0, π 上恰有两个极值点，两个零点，
è
则 的取值可能是（ ）
3 5 13
A． B． C．2 D．
2 3 6
π
3．（2024·山西临汾·一模）将函数 f (x) cos2 x sin2 x的图象向左平移 (0 < < ) 个单位后得到函数 g(x)
2
的图象，且 g(x)为奇函数，则 （ ）
π π π π
A． B． C8 ． D．3 4 2
π
4．（2023·

浙江宁波·二模）将函数 f x 2sin x ÷ ( > 0) 的图象向左平移 3 个单位，得到函数 y g x è 3
é π ù
的图象，若 y g x 在 ê0, ú 上为增函数，则 的值可能为（4 ）
1
A． B．1 C．2 D．3
3
f x sin x , 0 π , 2π > π 2π5．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 ÷单调递增，直线 x 和 x
è 6 3 6 3
5π
为函数 y f x 的图像的两条相邻对称轴，则 f （ ）
è 12 ÷

3 1A． B． C 1 3． 2 D．2 2 2
π
6．（2024·安徽安庆·二模）已知函数 f (x) 2cos2 x sin 2 x 1( > 0) 的图象关于点 ,04 ÷对称，且
f (x) 在
è
0, π 3 ÷上没有最小值，则
的值为（ ）
è
3 5 7
A 1． 2 B． C． D．2 2 2
二、多选题
7．（20-21 高一上·江苏南通·阶段练习）若函数 f (x) sin x 的最小正周期为4π，则 的值可能是（ ）
1
A．2 B 1． 2 C． D．-22
8．（22-23 高三上·浙江·阶段练习）若函数 f x cos x

÷ > 0

在区间
2
, ÷上单调，则 的取值可
è è 6 3
以是（ ）
5 11
A．1 B． C． 4 D．
2 2
π
9．（23-24 高三上·贵州遵义·阶段练习）已知 A，B y 3是直线 与函数 f x sin x ÷ > 0 图象的
2 è 6
π
两个相邻交点，若 | AB | ，则 的值可能是（ ）
6
A．2 B．4 C．8 D．10
10．（2024·辽宁·一模）已知函数 f x 2cos x π

÷ 2( > 0)
é π π
在区间 ê ,
ù
上单调递减，且在区间 0, π
è 6 6 3 ú
上有且仅有一个零点，则 的值可以为（ ）
2 5 11 13
A． B C D3 ． ． ．6 12 12

11．（2022·辽宁辽阳·二模）已知 > 0，函数 f x sin x

é ù÷在 ê , ú上单调递增，且对任意è 6 6 3
x é ùê , ú ，都有 f x 0 ，则 的取值可以为（8 4 ）
4 5
A．1 B． C． D．2
3 3
5
12．（2023·河北秦皇岛·二模）已知函数 f x sin x ( > 0)是在区间 , 上的单调减函数，其图
è18 36 ÷
f 象关于直线 x

对称，且 ÷ f ÷ 0，则 的值可以是（36 ）è12 è 9
A．4 B．12 C．2 D．8
一、单选题
π
1 2023· · f x 2sin x ( > 0) 0, 2π ．（ 四川泸州 一模）已知函数 ÷ 在 3 ÷上存在最值，且在 , π ÷上单调，è 6 è è 3
则 的取值范围是（ ）
0, 2ù é1, 5ù é 5 , 8ù é11 17 ùA． ú B． ê ú C． ê ú D． ,è 3 3 2 3 ê 4 3 ú
1 π
2．（22-23 高三上·湖北·阶段练习）设函数 f x 2sin x 2 ÷ 1 0 ÷在
0,5π 内恰有 3 个零点，则
è è 2
的取值范围是（ ）
é0, π ù ì5π ü é π ù é π π ùA． ê U í B． 0, , 3 ú 12 ê 4 ú ê 3 2 ú
é0, π ù ì5π ü é0, π ù é π , π ùC．
ê 6 ú
í12
D．
ê 6 ú

ê 3 2 ú
3．（23-24 高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数 f (x) 2cos( x ) ( > 0,0 < < π)的最小正周期为T ，若
f (T ) 3 ，且 f (x) 在区间[0,1]上恰有3个零点，则 的取值范围是（ ）
17π , 23π ù é17π , 23π 7π 10π ù é7π 10π A． ú B． ê ÷ C． , D． ,è 6 6 ÷ 6 6 è 3 3 ú ê 3 3
x 2
4．（23-24 高三上·北京·开学考试）已知函数 f x sin x ( > 0)在 0,2 上恰有 4 个不同的零点，则
x 2
实数 的取值范围为（ ）
3π ù é3π 5 ù é 5
A． , 2πú B． ê , 2π ÷ C． 2π, πè 2 2 è 2 ú
D． ê2π, π2 ÷
π
5 ．（23-24 高三上·湖南常德·阶段练习）已知函数 f (x) sin x 6 ÷
( > 0) ，对任意的 x R ，都有
è
f (x 1) π π f ( x)，且 f (x)

在区间 , 上单调，则 的值为（ ）
è 4 12 ÷

π π 5π 2π
A． B． C． D．
6 3 6 3
6．（2023·福建福州·模拟预测）函数 f x 2sin x 3sin x cos x ( > 0) 在 (0, π)3 上单调递增，且对任意
的实数 a， f x 在 (a,a π) 上不单调，则 的取值范围为（ ）
1, 5 ù 1, 5 ù 1 , 5 ù 1 5 ùA． B． C． D． ,
è 2ú è 4 ú è 2 2ú è 2 4ú
7．（2024·河南南阳·模拟预测）若函数 f x cos x 0, π π > ÷的图象关于点2 ,03 ÷中心对称，且è è
π f x f x 0, 2π x 是 的极值点， 在区间 ÷内有唯一的极大值点，则 的最大值为（3 5 ）è
27 25
A．8 B．7 C． D．
4 4
π π π
8．（22-23
é ù
高三上·浙江金华·阶段练习）已知函数 f x cos x ÷ ( > 0)在 ê , ú上单调递增，且当è 3 6 4
x é π , π ùê ú 时， f x 0恒成立，则 的取值范围为（4 3 ）
0, 5 ù U é22 ,17 ù 0, 4ù é 17 ù 4ù é 28ù 5 ùA． ú ê ú B． U 8, C． 0, U 8, D． 0, U
é22 ,8ù
è 2 3 2 è 3 ú ê 2 ú è 3 ú ê 3 ú è 2 ú ê 3 ú
π
9．（23-24 高三上·浙江杭州·期中）设函数 f (x) sin( x ) > 0, ÷．若 x
π
为函数 f x 的零点，
è 2 3
π π
x π f x
3 为函数 的图象的对称轴，且
f x 在区间 , ÷ 上有且只有一个极大值点，则 的最大值为
è10 2
（ ）
33 39 60
A． B． C． D．12
4 4 7
ì
2sin

x

÷ , x 0,
10．（2022·天津武清·二模）设 R ，函数 f x è 6 g x x 1 í ．若 f (x) 在 , 上单
3
3 2 ÷
x2 4 x 1 , x 0, è < 2 2
调递增，且函数 f x 与 g(x)的图象有三个交点，则 的取值范围是（ ）
1 2ù 3 2ùA． , B． ,
è 4 3ú
3 3ú è
é1 , 3
4
C é é
1 2ù
． ê4 3 ÷
D． ê ,03 ÷
U
ê
, ú
4 3
二、多选题
f x sin x 0 é , ù11．（2022·辽宁·三模）已知函数 > 在 ê 上单调，且 3 6 ú
f f 4 6 ÷ ÷
f ÷，则 的取值可能为（ ）
è è 3 è 3
3 7 9 12
A． B． C． D．
5 5 5 7
π
12．（23-24 高三上·山西·期末）函数 f x cos x ÷ > 0 4 ，则以下说法正确的有（ ）è
A．若 3，则 f x 在 0, π 内恰有 3 个零点
B．若 2，则 f x 在 0, π 内恰有 3 个极值点
f x é0, 2πC ù 9．若 在 ê 3 ú 内有最小值点，则 8
D．若 f x é π , π ù 3 ù é9 7 ù é 21 11ù在区间 ê ú 单调，则 0, U , U , 3 2 è 2 ú ê 4 2 ú ê 4 2 ú
三、填空题
é π
13．（23-24 高三上·上海黄浦·期中）若 是一个三角形的内角，且函数 y 3sin(2x ) 在区间 ê ,
π ù
4 6 ú
上是

单调函数，则 的取值范围是 ．
π
14．（2024·全国·

模拟预测）若函数 f (x) sin x ÷ ( > 0)在区间 (π,2π)3 上有且仅有一个极值点，则
的取
è
值范围为 .
π π π
15．（2024·广东茂名·一模）函数 f x 2sin x

÷（ > 0

）在区间 ,
6 6 2 ÷
上有且只有两个零点，则 的
è è
取值范围是 .

16．（2024·辽宁抚顺·一模）已知 x1, x2 是函数 f x 2sin x 3 > 0,
π
< ÷的两个零点，且
è 2
x x π f x π π 1 2 min ，若将函数 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，且函数 f x 在 ,q6 3 ÷è 6
内恰有 2 个最值点，则实数q 的取值范围为 ．
π π π17 ．（2024·吉林·模拟预测）已知函数 y 2cos x ÷ ( > 0)在区间 ,4 2 ÷ 上有且仅有一个零点，则
的取
è 4 è
值范围为 ．
π 5π π 5π
18．（23-24 高三上·天津·期中）已知函数 f x sin x cos x( > 0) 满足 f ÷ f ÷ .若 f x 在 ,
è 8 è 8 è 8 8 ÷
π 5π
上恰好有一个最小值和一个最大值，则 ；若 f x 在 ,8 8 ÷ 上恰好有两个零点，则 的取值范è
围是 .
19．（23-24 高一下·江西景德镇·期中）设函数 f (x) sin( x )
π π
> 0,| | ÷ ，若 x 为函数 f (x)2 的零点，è 3
π π
x π
3 为函数
f (x) 的图象的对称轴，且 f (x) 在区间 ,12 4 ÷
上单调，则 的最大值为 .
è
π 2π π
20．（2024·福建福州·三模）已知函数 f (x) sin( x )在区间 , ÷上单调，其中 为正整数， | |< ，
è 6 3 2
f π π π 3且 ÷ f ÷．则 y f (x) 图象的一个对称中心是 ；若 f ，则 的值为 ．
è 3 è 2 è 4 ÷ 2第 05 讲 ω、φ、a、b、m、t
等参数的取值范围及最值问题（高阶拓展）
（15 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
余弦函数图象的应用
2023 年新 I 卷，第 15 题,5 分 的取值范围
根据函数零点的个数求参数范围
由正弦(型)函数的值域(最值)
2022 年全国甲卷理数，第 11 题,5 分 求参数 正弦函数图象的应用
利用正弦函数的对称性求参数
2022 年全国甲卷文数，第 5 题,5 分 由正弦(型)函数的奇偶性求参数 求图象变化前 (后)的解析式
2022 年全国乙卷理数，第 15 题,5 分 利用 cosx(型)函数的对称性求参数 求余弦(型)函数的最小正周期
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题灵活，难度较中等或较高，分值为 5 分
【备考策略】1 理解 ω 在三角函数图象与性质和伸缩平移变换中的基本知识
2 能结合三角函数基本知识求解 ω 的值或范围
【命题预测】本节内容是新高考卷的难点内容，会结合三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、值
域、零点及伸缩平移变换综合求解，需加强复习备考
知识讲解
1. ω 在三角函数图象与性质中的基本知识
y Asin( x ) h， y Acos( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 A, A
2 决定函数的周期，T

x 叫做相位，其中 叫做初相
y A tan( x ) h 的周期公式为：T

2. ω 在伸缩平移变换中的基本知识（ A， 是伸缩量）
y Asin( x ) h
A振幅，决定函数的值域，值域为 A, A ；
若 A↗，纵坐标伸长；若 A↘，纵坐标缩短； A与纵坐标的伸缩变换成正比
2
决定函数的周期，T
若 ↗，T ↘，横坐标缩短；若 ↘，T ↗，横坐标伸长； 与横坐标的伸缩变换成反比
3. 与三角函数的奇偶性相关的结论
π
若 y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
2
π
若 y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)．
2
若 y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．
考点一、由三角函数的周期求 ω 的值
1．（2024·北京·高考真题）设函数 f x sin x > 0 .已知 f x1 1， f x2 1，且 x1 x2 的最小值为
π
，则 （ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.
【详解】由题意可知：x1为 f x 的最小值点，x2为 f x 的最大值点，
则 x1 x
T π
2 min ，即T π ，2 2
2π
且 > 0，所以 2 .
T
故选：B.
3
2．（全国·高考真题）若 x1= ，x2= 是函数 f(x)= sin x ( >0)两个相邻的极值点，则 =4 4
3
A．2 B．
2
C．1 D 1． 2
【答案】A
【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得 .
【详解】由题意知， f (x) sin x T
2
的周期 2(
3
) ，得 2．故选 A．
4 4
【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式
法，利用方程思想解题．
π
1．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数 f x 3sin x ÷（其中 > 0）的图象与直线 y 3的两个相邻
è 6
交点的距离等于 2π，则 的值为（ ）
A 1． 2 B．2 C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，求得函数的最小正周期，进而求得 的值，得到答案.
【详解】由函数 f x 3sin π x

÷的图象与直线 y 3的两个相邻交点的距离等于 2π，又 > 0，
è 6
2π
所以T 2π ，可得 1．

故选：C．
π
2．（2023·四川遂宁·三模）已知函数 f (x) sin x ÷ cos x( > 0) ， f x1 0， f x2 3 ，且 x1 x6 2è
的最小值为 π，则 的值为（ ）
2
A B 1． ． 2 C．1 D．23
【答案】B
【分析】首先化简函数解析式，再结合条件，根据函数的周期公式，即可求解.
3
【详解】 f x sin x 3 cos x 3 sin x π

，
2 2 ֏ 3
1
3是函数的最大值，由题意可知， x1 x2 的最小值是 个周期，4
1 2π
所以 π，得
1
.
4 2
故选：B
考点二、由三角函数的单调性求 ω 的值或取值范围
1．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 f (x) sin( x)(
π
> 0) 在 0, ÷上单调递增，则 的取值范围为（4 ）è
0, 1 (0,2) 1 ùA． ÷ B． C． 0, ú D2 ．
(0, 2]
è 2 è
【答案】D
【分析】由已知结合正弦函数的单调性即可求解.
【详解】函数 f (x) sin( x)( > 0)

在 0,
π
上单调递增，
è 4 ÷
x 0, π π π π当 ÷时， x 0, ÷ ，则 ，解得0 < 2，
è 4 è 4 4 2
故选：D
π
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 f x sin x ÷ > 0 6 在区间 0, π 上单调递增，则 的最大值是（ ）è
1 1 1
A 1． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
【分析】求出正弦型函数的单调递增区间，再根据 0, π 是其子区间即可得到 的取值范围，即得到 的最
大值.
π 2kπ x π π 2kπ 2π 2kπ x π 2kπ【详解】令 ， k Z，结合 > 0得 , k Z，
2 6 2 3 3
2π π
取 k 0，得 x ．
3 3
π
因为函数 f x 在区间 0, π 上单调递增，所以 π ，
3
0 1 1得 < ，故 的最大值为 ．
3 3
故选：C．

3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x 3 cos x 3 ÷ cos x ÷ > 0 在 ， 2 ÷ 上单调递增，则è è 6 è
的取值范围是（ ）
é 4 5ù é5 11ù é5 11ù é7 ù
A． ê ， B． ， C． ， D． ，2 3 3 ú ê6 6 ú ê3 6 ú ê6 ú
【答案】C
【分析】根据函数结构特征利用三角恒等变换公式将函数解析式化为一角一函数形式，再结合三角函数的
图象与性质进行求解即可.

【详解】法一:由题 f x 3 cos x
cos x 3 cos x sin x ÷ ÷ ÷ ÷
è 3 è 6 è 3 è 3
2cos x

÷ 2cos

x


3 6 ÷
，令 2k x 2 2k ， k Z ，
è è 6 6
5
> 0 2k
11
2k
因为 ，所以 6 x 6 ， k Z ，

5
f x π 2k
11
2k
因为 在 ,π ÷上单调递增，所以2 6

且 6è
，
2
5 4k 11 5 11得 2k ．由 4k 2k
1
，得 k ，
3 6 3 6 12
5 11
又 k Z 且 > 0，所以 k 0， .
3 6
故选:C.
法二:由题 f x 3 cos x

÷ cos

x

3 cos x sin x
è 3 è 6 ÷ ÷ ÷ è 3 è 3
2cos x ÷ 2cos

x

÷，
è 3 6 è 6
x x 由 < < ，得 < < ，
2 2 6 6 6
设 f x T 的最小正周期为 T，则由题意得 ，所以0 < 2，
2 2

从而 <

，结合函数 y cos x在 , 2 上单调递增， f x π 在
6 2 6 6
,π ÷上单调递增，得
è 2
2 5 11 ，且 ，解得 .
2 6 6 3 6
故选:C.
é π π ù
1．（22-23 高一上·吉林长春·期末）（多选）若函数 f x sin x > 0 在区间 ê , ú 上单调递增，则 的取 4 3
值范围可以是（ ）

A． 0,
3ù é
ú B． ê2,
9 ù é6,15ù é10, 21ùC． D．
è 2 2 ú ê 2 ú ê 2 ú
【答案】AC
ì π π
2kπ 4 2
【分析】根据正弦函数的单调增区间可知： í (k Z) π π ， 解之，赋值即可求解
.
2kπ+
3 2
π π π π
【详解】因为 x [ , ]，则 x [ , ]，由函数 f (x) sin x( > 0)
é π π ù
在区间 , 上单调递增得，
4 3 4 3 ê 4 3 ú
ì π π
2kπ 4 2 3
í ， (k Z) ，解得：8k 2 6k ,k Z ，
π π 2kπ+ 2
3 2
8k 2 6k 3 k 7由 < 可得 < ，
2 4
7
因为 k Z ， k < ，
4
3
所以令 k 0，因为 > 0，所以 (0, ]2 ，故选项A 正确；
k 15令 1，则 [6, ]，故选项C 正确；
2
故选：AC .
2．（2024·广东湛江·一模）已知函数 f x sin x 2π π π

÷ > 0
, 在区间 ÷上单调递增，则 的取值范
è 3 è12 6
围是（ ）
A． 2,5 B． 1,14 C． 9,10 D． 10,11
【答案】D
2π
【分析】由 x 的范围可求得 x 的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组
3
求得结果.
x π , π x 2π π 2π , π 2π 【详解】当 时， 12 6 ÷ 3 12 3 6 3 ÷
，
è è
ì π 2π π 2kπ
Q f x π π 12 3 2在 , 上单调递增， k Z ，
è12 6 ÷
í
π 2π π 2kπ
6 3 2
ì 14 24k ì 14 24k 1 12k
解得： í k Z ，又 > 0，
1 12k
í
1 12k 0
，
>
1 13
解得： < k ，又 k Z ， k 1， 10 11，
12 12
即 的取值范围为 10,11 .
故选：D.
π π
3 2024· · f (x) sin x 3 cos x > 0 é , ù．（ 辽宁葫芦岛 一模）（多选）已知 在区间 ê 上单调递增，则 的 6 4 ú
取值可能在（ ）

A． 0,
2ù 2 é
ú B． ,7÷ C． ê7,
26ù é50 ù
ú D． ê ,19è 3 è 3 3 3 ú
【答案】AC
【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得 的范围.
【详解】 f x sin x 3 cos x 2sin π x ÷ ，
è 3
x é π , π ù x π é π π当 ê ú ，由 > 0，则 ê ,
π
ùú， 6 4 3 6 3 4 3
ì π π π

2kπ
2 6 3
则有 í ， k N ，
π 2kπ π π
2 4 3
ì 5 12k

解得 í 2
， k N ，
8k 3
5 12k 2即 8k ， k N ，
3
有 5 12k
2
8k ， k N ，即 k
17
，即 k 0或 k 1，
3 12
2 26
当 k 0时，有0 < ， k 1时，有7 ，
3 3
故

的取值可能在 0,
2 ù é
或 7,
26 ù
.
è 3 ú ê 3 ú
故选：AC.
考点三、由三角函数的奇偶性求 ω 的值或取值范围
π π
1．（2022·全国·高考真题）将函数 f (x) sin x

÷ ( > 0)的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 C，
è 3 2
若 C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）
1 1 1
A B C D 1． ． ． ．
6 4 3 2
【答案】C

【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得 k , k Z ，即可求出 的最小值.
2 3 2
【详解】由题意知：曲线C 为 y sin
é x ùê ÷ ú sin( x

)，又C 关于 y 轴对称，则
è 2 3 2 3

k , k Z ，
2 3 2
1 1
解得 2k, k Z ，又 > 0，故当 k 0时， 的最小值为 .
3 3
故选：C.
2．（2023 春·陕西安康·高三统考）将函数 f x sin x 1 （ > 0）的图象向右平移 1 个单位长度后，得
到的图象关于原点对称，则 的最小值为（ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】先求得 f x 的图象平移后的解析式，再列出关于 的方程，进而求得 的最小值.
【详解】 f x 的图象向右平移 1 个单位长度后，
可得函数 g x sin é x 1 1 ù sin x 1 的图象，
则 1 kπ ， k Z，即 1 kπ ， k Z .
又 > 0，故 的最小值为 1.
故选：B
π
1．（2024·四川成都·模拟预测）将函数 f x sin x ÷ > 0
π
的图象向右平移 个单位长度后得到函数
è 3 2
g x 的图像，且函数 g x 是偶函数，则 的最小值是（ ）
1 2 1 5
A． B． C D
3 3
． ．
6 6
【答案】A
π π π
【分析】由三角函数平移变换法则得 g x 表达式，且它是偶函数，进一步可得 kπ,k Z结合
3 2 2
> 0即可求解.
π π π
【详解】由题意 g x f x ÷ sin x ÷ > 0 是偶函数，
è 2 è 3 2
π π π所以 kπ,k Z，解得 =
5
2k, k Z，
3 2 2 3
1
又 > 0，所以当且仅当 k 1时， min .3
故选：A.
f x sin x π 2．（2024·吉林延边·一模）将函数 ÷ ( > 0)
π
的图象向左平移 个单位长度后得到曲线C ，
è 6 2
若C 关于 y 轴对称，则 的最小值是（ ）
1 2 4 5
A． B． C． D3 ．3 3 3
【答案】B
【分析】得出平移后的方程后，再根据正弦型函数的性质即可得到答案.
π é π π ù π π
【详解】结合题意可得 f x ÷ sin ê x ÷ sin x , ( > 0) ，è 2 è 2 6
ú
è 2 6
÷

π π π
因为曲线C 关于 y 轴对称，所以 kπ , k Z ，
2 6 2
解得 2k
2
, k Z 2,因为 > 0，所以当 k 0时， 有最小值 .
3 3
故选：B.
π
3．（2023 春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）将函数 f x cos x ÷ > 0
π
3 的图象向右平移 个单位长è 6
度后，得到函数 g x 的图象，若 g x 为奇函数，则 的取值可以为（ ）
A．1 B．6 C．7 D．8
【答案】AC
【分析】根据图象平移性质，三角函数奇偶性即可求解.
【详解】由题意可知：
g x cos é π π ùê x ÷ú ，因为 g x 为奇函数，
è 6 3
π π π所以 kπ k Z ，
6 3 2
则 6k 1 k Z ，因为 k 0时， 1；
k 1时， 7，所以 A、C 正确．
故选：AC.
考点四、由三角函数的对称性求 ω 的值或取值范围

1．（2022·全国·高考真题）记函数 f (x) sin x ÷ b( > 0)
2
的最小正周期为 T．若 < T < ，且 y f (x)
è 4 3
3 , 2 的图象关于点 ÷中心对称，则 f2 ÷
（ ）
è è 2
3 5
A．1 B． C． D．3
2 2
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
2
【详解】由函数的最小正周期 T 满足 < T <
2 2
，得 < < ，解得 2 < < 3，
3 3
3 3
又因为函数图象关于点 , 2÷对称，所以 k , k Z ，且b 2 ，
è 2 2 4
1 2 k, k Z 5所以 ，所以 ， f (x) sin
5 x 2，
6 3 2 ֏ 2 4
f 5 所以 ÷ sin ÷ 2 1.
è 2 è 4 4
故选：A
π π
2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 f (x) sin( x )( > 0) ，若对于任意实数 x，都有 f (x) f ( x)3 ，3
则 的最小值为（ ）
5
A．2 B． C．4 D．8
2
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得函数 f (x) 图象的对称中心，再利用正弦函数的性质列式求解作答.
π π
【详解】因为对于任意实数 x，都有 f (x) f ( x) ，则有函数 f (x) 图象关于点 ( ,0) 对称，
3 6
π π因此 kπ,k Z，解得 6k 2, k Z，而 > 0，
6 3
所以当 k 1时， 取得最小值 4.
故选：C
π
3．（2024·黑龙江·三模）已知函数 f x cos x

÷ ( > 0)在区间 0,2π 内恰有 3 条对称轴，则 的取值
è 4
范围是（ ）
é7 15ù é5 9 5 13ù é9 13
A． ê , B． , C． , D． , 8 8 ú ê 8 8 ÷ è 8 8 ú ê 8 8 ÷
【答案】D
π π
【分析】根据条件得到 x 2 π
π
，利用 y cos x的图象与性质，再结合条件，即可求出结果.
4 4 4
π π π
【详解】因为0≤ x≤ 2π ，所以 x 2 π ，
4 4 4
f x cos 又函数 x
π
÷ ( > 0)在区间 0,2π 恰有 3 条对称轴，
è 4
所以 2π 2 π
π 3π 9 13 < ，解得 < ，
4 8 8
故选：D.
π
1．（2023 春·辽宁朝阳·高三北票市高级中学校考）（多选）函数 f x sin x > 0 的图象关于直线
è 4 ÷
x π 对称，则 的值可能是（
6 ）
3 15 27 33
A． B． C． D．
2 2 2 2
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的对称轴求出 的表达式，然后判断．
π π π
【详解】由题意得 kπ ， k Z ，
6 4 2
3
即 6k ， k Z ，
2
15 6 3 27 3 33 3因为 ， 12 ， 15 ，
2 2 2 2 2 2
所以
33 3 15 27
的值不可能是 ，可能是 、 、 .
2 2 2 2
故选：ABC．
π
2．（2023 春·湖北武汉·高三校联考）若函数 y 3 cos x sin x > 0 ,0 在区间 ÷ 上恰有唯一对称轴，
è 3
则 ω 的取值范围为（ ）
é1 , 7 1A． ê ÷ B． ,
7 ù 1 , 7 ù 1 , 7 ùC．
2 2 3 6 ú
D．
è è 3 3 ú è 2 2ú
【答案】D
π π π π π
【分析】利用辅助角公式化简得到 y 2cos x ÷ ，再求出 x , ÷，结合对称轴条数得到
è 6 6 è 3 6 6
不等式，求出答案.
【详解】 y 3 cos x sin x 2cos

x
π
÷ ，
è 6
x π ,0 π π π π 因为 3 ÷
， > 0，所以 x , ÷，
è 6 è 3 6 6
y 2cos 因为 x
π π
÷ 区间 ,0
π π
÷ 上恰有唯一对称轴，故 6 3 π,0 ，è è 3 6
解得
1 7 ù , ú .è 2 2
故选：D
π
3．（2023 春·浙江衢州·高三统考）函数 f x sin x ÷ > 0 在区间 0, π 上恰有两条对称轴，则 的取
è 4
值范围为（ ）
é7 ,13ù 9 ,11ù é7 11 é5 9 A． ê ú B． ú C． ê , ÷ D． , 4 4 è 4 4 4 4 ê4 4 ÷
【答案】D
1 4k π 1 4k π
【分析】求出函数的对称轴方程为 x ， k Z ，原题等价于0 π 有 2 个整数 k 符合，
4 4
解不等式1 4 1 4 <1 4 2即得解.
f x sin π 【详解】 x ÷ ( > 0) ，
è 4
π π 1 4k π
令 x kπ ， k Z ，则 x ， k Z ，
4 2 4
函数 f x 1 4k π在区间[0， π ]上有且仅有 2 条对称轴，即0 π 有 2 个整数 k 符合，
4
1 4k π 1 4k0 π ，得0 1 0 1 4k 4 ，则 k 0,1，
4 4
5 9
即1 4 1 4 <1 4 2，∴ < .
4 4
故选：D.
考点五、由三角函数的最值求 ω 的值或取值范围
1．（2024·广西桂林·三模）已知函数 f (x) cos x 2sin 2 x sin x( > 0) 在 0, 2π 上有最小值没有最大值，
则 的取值范围是（ ）
1 1
A． ( , ] [
1 , 1) 1 1 1 1B． C．[ , ) D． ( , ]
4 2 4 2 6 3 6 3
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数 f (x) ，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数
的性质列式求解即得.
【详解】依题意， f (x) cos(2 x x) 2sin 2 x sin x cos(2 x x) cos3 x ，
当 x (0, 2π)时，3 x (0,6 π)，若 f (x) 在 0, 2π 上有最小值没有最大值，
1 1
则 π < 6 π 2π，所以 < .
6 3
故选：D

2．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数 f x sin x ， > 0,
π
÷， π为 f x 的零点，且
è 2
f x f π π 2 ÷恒成立， f x 在区间 ,06 ÷上有最小值无最大值，则
的取值可以是（ ）
è è
A．7 B．3 C．5 D．11
【答案】A
π π 1 2n【分析】依题意可得 T n N ，即可得到 1 2n n N f x π ,0 ，再由 在区间
2 4 6 ÷
上有最
è
小值无最大值求出 12，从而确定 的可能取值，再代入检验即可.
【详解】因为 π为 f x 的零点，所以 f π sin π 0 ，
所以 π k1π ， k1 Z ①；
π π π
又 f x f ÷恒成立，所以 f ÷ sin ÷ 1
è 2
，
è 2 è 2
π π所以 2k2π ， k2 Z ②2 2 ；
π π
① ②得 k1π 2k π k , k Z 2k 1 4k k , k Z2 2 2 ， 1 2 ，所以 1 2， 1 2 ，
π π 1 2n T n N π 1 2n 2π又 ，所以 × n N ，解得 1 2n n N ，
2 4 2 4
又 f x π在区间 ,0
π 2π π
6 ÷上有最小值无最大值，所以
T ≥ ，所以 ，解得 12，
è 6 6
所以 的可能取值为1、3、5、 7 、9、11，
当 1时 f x sin x ，由 π k1π ， k1 Z 且
π
，
2
所以 0，所以 f x sinx，
f π π 又 ÷ 1，当 f x sinx在 ,02 6 ÷上单调递增，故不存在最值，不符合题意；è è
当 3时 f x sin 3x ，由3π k1π ， k1 Z 且 π ，2
所以 0，所以 f x sin3x，显然 f π sin 3π ÷ 12 2 ，不符合题意；è
当 5时 f x sin 5x π，由5π k1π ， k1 Z 且 ，2
所以 0，所以 f x sin5x，
π 5π x π ,0 5π又 f ÷ sin 1

2 2 ，当 ÷，则
5x ,0è 6 6 ÷
，
è è
当5x
π
，即 x
π
时 f x 取值最小值 1，
2 10
所以 f x π在区间 ,0 6 ÷上有最小值无最大值，符合题意；è
当 7时 f x sin 7x ，由 7π k1π ， k1 Z 且
π
，
2
所以 0，所以 f x sin7x π ，又 f ÷ sin 7π 12 2 ，不符合题意；è
当 9 时 f x sin 9x ，由9π π k1π ， k1 Z 且 ，2
所以 0，所以 f x sin9x，
f π sin 9π π又 ÷ 1，当 x ,0
9x 3π ,0 ，则 ，
è 2 2 6 ÷ ÷è è 2
9x π π当 ，即 x 时 f x 取值最小值 1，
2 18
所以 f x π 在区间 ,06 ÷上有最小值无最大值，符合题意；è
当 11时 f x sin 11x ，由11π k1π， k1 Z 且
π
，
2
所以 0，所以 f x sin11x f π ，又 sin
11π
1
2 ÷ 2 ，不符合题意；è
综上可得 5或 9 .
故选：A
π π
1．（2024·山西·三模）（多选）已知函数 f (x) mcos x 2 3 sin x，若 f ÷ 2，且 f (x) f ÷ ，则
è 2 è 4
的取值可能是（ ）
8 16 40 32
A． B． C． D．
3 3 3 3
【答案】BC
π
【分析】依题意可得直线 x 是函数 f x 4 的一条对称轴，即可得到 f 0 2 ，从而求出m 的值，再由两角
π
和的正弦公式将函数化简，由 x 4 时函数取得最小值求出
.
【详解】因为 f (x) f
π π π
÷ ，所以 x 4 时函数取得最小值，即直线
x
4 是函数
f x 的一条对称轴，
è 4
π
又因为 f ÷ 2，所以 f 0 2 ，即 f 0 mcos 0 2 3 sin 0 2，所以m 2 ，
è 2

所以 f x 2cos x 1 2 3 sin x 4 cos x
3
sin x 4sin x π ，
è 2 2 ÷
÷ ÷
è 6
π π 3π 16
所以 2kπ,k Z，解得 8k,k Z，
4 6 2 3
16 40
当 k 0时 ，当 k 1时 .
3 3
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据对称性得到 f 0 2 ，从而确定m 的值.

2．（22-23 高三上·山东烟台·阶段练习）函数 f x 2sin x ÷ > 0 的图象在 0,1 上恰有两个最大值点，
è 3
则 可能为（ ）
13 25
A．2π B． C．3π D． π
6 6
【答案】BC

【分析】根据 x 的取值范围，求出 x 的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
3

【详解】解：函数 f (x) 2sin( x )( > 0)，
3
Q x 0,1 ， x 3 3 3 ．
又函数在 0,1 上恰有两个最大值点，
5 9 13 25 < ，解得 <2 3 2 6 6 ．
故选：BC．
π
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f (x) 2sin x ÷ ( > 0)
π 2π
在 0, 3 ÷上存在最值，且在
, π ÷上单
è 6 è è 3
调，则 的取值范围是（ ）
0, 2 é11,17 ù é1, 5ù é 5A． ÷ B． ê C． D． ,
8ù
è 3 4 3 ú ê 3ú ê2 3ú
【答案】D
ì2π π π

kπ
4 7
【分析】根据题意，利用三角函数的性质，得出
3 6 2
í k Z < k
π π kπ π
，其中 ，求得 ，进而求
3 3
6 2
得 的取值范围．
0 x π
π π π π
【详解】当 < < 3 时，因为
> 0，则 < x < ，
6 6 3 6
因为函数 f x 在 0, π π π π3 ÷上存在最值，可得 > ，解得 > 2，è 3 6 2
2π x π 2π π π π当 < < 时，可得 < x < π ，
3 3 6 6 6
f x 2π , π 2π π π π因为函数 在 ÷上单调，则 , π kπ ,kπ
π
k Z ，
è 3 è 3 6 6 ÷ ÷ è 2 2
ì2π π
kπ
π

3 6 2 3 k 1所以 í ，其中 k Z，解得 k
2
k Z ，
π π kπ π 2 2 3
6 2
3 k 1 k 2 k 7所以 ，解得 ，
2 2 3 3
4 7 5 8
又因为 > 2，则 < k ，所以 k 2，所以 ，
3 3 2 3
因此 é
5 8ù
的取值范围是 ê , 2 3ú
．

故选：D．
考点六、由三角函数的零点求 ω 的值或取值范围
1．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x cos x 1( > 0)在区间 0,2π 有且仅有 3 个零点，则 的取值范
围是 ．
【答案】[2,3)
【分析】令 f (x) 0 ，得 cos x 1有 3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为0≤ x≤ 2π ，所以0≤ x≤ 2 π ，
令 f (x) cos x 1 0 ，则 cos x 1有 3 个根，
令 t x ，则 cos t 1有 3 个根，其中 t [0, 2 π]，
结合余弦函数 y cos t 的图像性质可得 4π 2 π < 6π，故 2 < 3，
故答案为：[2,3) .
f (x) 2sin x π ù1．（22-23 高一下·四川眉山·阶段练习）设 > 0，函数 ÷在区间 0， ú 上有零点，则 的è 6 è 2
值可以是（ ）
1 5 1 2
A． B． C． D．
6 6 3 3
【答案】BCD
π
【分析】令 x kπ，求出 x
π kπ π π

6 ，解不等式
0 < 得解.
6 6 2
【详解】 f (x) 2sin
π π kπ
x ÷，令 x kπ，解得 x ， k Z；
è 6 6 6
因为 > 0，取 k 0，
所以0
π π 1
< ，即 .
6 2 3
故选:BCD.
2．（天津·高考真题）已知函数 f (x) sin2
x 1
sin x 1 ( > 0)， x R .若 f (x) 在区间 ( , 2 ) 内没有零点，
2 2 2
则 的取值范围是
A ． 0,
1ù 1 ù é5 5ù 1ù é1 5ù
ú B． 0, ,1÷ C． 0, D． 0, ,è 8 è 4 ú ê8 è 8 ú è 8ú ê 4 8ú
【答案】D

f x f (x) 2 sin x 【分析】先把 化成 ÷，求出 f x
k +
的零点的一般形式为 x 4 ,k Z ，根据
f (x)
2 è 4
在区间 ( , 2 ) 内没有零点可得关于 k 的不等式组，结合 k 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范
围.
f (x) 1 cos x 1 sin x 1 2 【详解】由题设有 sin x ，
2 2 2 2 ֏ 4

令 f x 0，则有 x k ,k Z k +即 x 4 ,k Z .4
因为 f (x) 在区间 ( , 2 ) 内没有零点，
5
故存在整数 k k + k +，使得 4 < 2 < 4 ，

ì
k
1

4
即 í ，因为 > 0，所以 k 1且 k
1 k 5
，故 k 1或 k 0
k 5
，
4 2 8
2 8
0 1 1 5所以 < 或 ，
8 4 8
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，
本题属于难题.
考点七、由三角函数的零点、极值点、最值点求 ω 的值或取值范围
π π
1．（23-24 高三下·江西·阶段练习）设函数 f (x) sin(2 x )( > 0) 在 (0, ) 上有且仅有 1 个极值点和 1 个
3 6
f ( π零点， ) 0，则 （
2 ）
8 5 17 11
A． B． C． D．
3 3 6 6
【答案】A
π
【分析】由 f ( ) 0求出 的表达式，再由极值点及零点个数求出 的范围即可得解.
2
x (0, π) 2 x π (π , π π) π π π 3π【详解】当 时， ，依题意， < 7，解得 2 < ，
6 3 3 3 3 3 3 2 2
π
由 f ( ) 0 π
π
，得 kπ,k N*
1 8
，解得 k ，所以 k 3, .
2 3 3 3
故选：A
2．（2024·陕西咸阳·三模）已知函数 f (x) 3 sin x cos x( > 0)，若 f (x) 在区间[0, π) 内有且仅有 4 个零
点和 4 条对称轴，则 的取值范围是（ ）
[11, 25) 11 25
11 25ù 11 25
A． B．[ , ) C． , D． ( , )
5 3 3 6 è 3 6 ú 5 3
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数 f (x) ，再结合正弦函数的零点及对称性列式求解即得.
π π π π
【详解】函数 f (x) 2sin( x )，当 x [0,π)时， x [ , π )6 ，6 6 6
由 f (x) 在区间[0, π)
π
内有且仅有 4 个零点，得3π < π 4π
19 25，解得 < ，
6 6 6
由 f (x) 在区间[0, π)
7π π 9π 11 14
内有且仅有 4 条对称轴，得 < π ，解得 < ，
2 6 2 3 3
11 25
所以 的取值范围是 < .
3 6
故选：C
π
1．（2022·全国·高考真题）设函数 f (x) sin x ÷ 在区间 (0, π) 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值
è 3
范围是（ ）
é5 ,13 é5 ,19 13 , 8ù 13 19 ùA． ê ÷ B． ê ÷ C． ú D． , 3 6 3 6 è 6 3 è 6 6 ú
【答案】C

【分析】由 x 的取值范围得到 x 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
3

【详解】解：依题意可得 > 0，因为 x 0, ，所以 x , ，3 è 3 3 ÷
要使函数在区间 0, 恰有三个极值点、两个零点，又 y sin x ， x ,3 ÷的图象如下所示：
è 3
5 13 8 13 8则 < 3 ，解得 <
ù
，即
2 3 6 3
, ．
è 6 3 ú
故选：C．
π
2．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）若函数 f x sin x ÷ > 0 在区间 0,π 恰存三个零点，两个极值
è 3
点，则 的取值范围是（ ）
7 ,17 ù 11 7A． ú B
é ,
è 3 6
．
ê 6 3
÷

é11
C． ê ,
17 é7 20
6 6 ÷
D．
ê
,
3 6 ÷
【答案】A
π π 5π
【分析】由 x 的取值范围求出 x 3 ，再结合题意及正弦函数的性质得到 2π < π ，解得即可.3 2
【详解】当 x 0,π π π，则 x , π
π
÷， > 0 ，3 è 3 3
2π π π 5π 7 17依题意可得 < ，解得 < ，
3 2 3 6
7 17 ù
即 的取值范围是 ,
è 3 6 ú
.

故选：A
π
3．（23-24 高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数 f (x) Acos x ÷ (A > 0, > 0)，若函数 f (x) 在 0, 2π
è 6
上有且仅有 4个零点和1个最大值点，则 的取值范围为（ ）
é5
A． ê ,
23 5
÷ B． ,
23ù
3 12 è 3 12 ú
é23,13 23 ,13ùC． ê D． 12 6 ÷ è 12 6 ú
【答案】B
【分析】利用余弦函数的图象与性质计算即可.
【详解】易知 x 0,2π x π π , 2 π
π
，
6 è 6 6 ÷
7π π
< 2 π 4π 5 , 23ù由余弦函数的图象与性质可知
2 6
.
è 3 12 ú
故选：B
考点八、由三角函数的零点、单调性求 ω 的值或取值范围
1．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 f (x) sin 2 x cos 2 x( >1)
π π π
的一个零点是 ，且 f (x)
, 在
2 ÷
上
è 6 16
单调，则 （ ）
5 7 9 11
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】B
【分析】整理可得 f (x) 2 sin
2 x π ÷ ，以 2 x
π
为整体，根据单调性分析可得1< 2，再结合零点
è 4 4
分析求解.
π
【详解】因为 f (x) sin 2 x cos 2 x 2 sin 2 x ÷，
è 4
x π , π ÷，且 >16 16 时，è
2 x π π π , π π π π 0 π π可得 ，且 < < ，4 è 3 4 8 4 ÷ 3 4 8 4
ì π π π
π π
若 f (x)

在 ,
3 4 2
上单调，则
6 16 ÷ í
，解得1< 2π π π ，è
8 4 2
π π 1
又因为 f (x) 的一个零点是 ，则 π kπ,k Z，解得 k , k Z ，
2 4 4
所以 k 2,
7
.
4
故选：B.
2．（全国·高考真题）已知函数 f (x) sin( x+ )( > 0，

), x 为 f (x) 的零点， x 为 y f (x) 图象
2 4 4
f (x) ( π 5π的对称轴，且 在 ， )单调，则 的最大值为
18 36
A．11 B．9
C．7 D．5
【答案】B

【分析】根据已知可得 ω 为正奇数，且 ω≤12，结合 x 为 f（x）的零点，x 为 y＝f（x）图象的对
4 4
5
称轴，求出满足条件的解析式，并结合 f（x）在（ ， ）上单调，可得 ω 的最大值．
18 36

【详解】∵x 为 f（x）的零点，x 为 y＝f（x）图象的对称轴，
4 4
2n 1 T 2n 1 2 ∴ × ，即 × ，（n∈N）
4 2 4 2
即 ω＝2n+1，（n∈N）
即 ω 为正奇数，
5 5 T
∵f（x）在（ ， ）上单调，则 ，
18 36 36 18 12 2
2
即 T ，解得：ω≤12，
6
11
当 ω＝11 时， φ＝kπ，k∈Z，
4

∵|φ| ，
2

∴φ ，
4
5
此时 f（x）在（ ， ）不单调，不满足题意；
18 36
9
当 ω＝9 时， φ＝kπ，k∈Z，
4

∵|φ| ，
2

∴φ ，
4
5
此时 f（x）在（ ， ）单调，满足题意；
18 36
故 ω 的最大值为 9，
故选 B．
【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题
求解中用到的两个结论：① f x Asin x A 0, 0 的单调区间长度是最小正周期的一半;②若
f x Asin x A 0, 0 的图像关于直线 x x0对称,则 f x0 A或 f x0 A .
π π
3．（22-23 高一下·江西·期中）（多选）已知函数 f x sin x > 0, < ÷，满足 f x f x ÷，
è 2 è 6
f 5π π 2π 0 , ，且在12 ÷ 18 9 ÷
上单调，则 的取值可能为（ ）
è è
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【分析】由 f x f π x

÷，知函数 f x
π 5πx f 的图象关于直线 对称，结合 ÷ 0
5π
可知 是函数
è 6 12 è 12 12
f x 的零点，进而得到 =2n+1， n Z，由 f x π , 2π 在 ÷上单调，可得 6 ，进而 1,3,5，分类讨
è18 9
论验证单调性即可判断.
f x f π x 【详解】由 ÷，知函数 f x 的图象关于直线 x
π
对称，
è 6 12
5π 5π
又 f ÷ 0，即 是函数 f x 的零点，
è 12 12
5π π 2n 1 1 1 2π则 × T 2n 1 × × ， n Z，
12 12 4 4
即 =2n+1， n Z .
由 f x π 2π 在 , ÷上单调，
è18 9
1 2π 2π π π
则 × ，即 6 ，
2 9 18 6
所以 1,3,5 .
5π 5π
当 1时，由 kπ， k Z，得 kπ ， k Z，
12 12
π 5π π 2π 5π 13π 7π
又 < x
, x ，所以 ，此时当 时， , ，
2 12 18 9 ÷ è 12 è 36 36 ÷
所以 f x sin x 5π π 2π
,
12 ÷在 ÷上单调递增，故
1符合题意；
è è18 9
5π 5π
当 3时，由 3 kπ， k Z，得 kπ ， k Z，
12 4
π π π 2π π π 5π
又 < ，所以 x

，此时当 ,18 9 ÷ 时，
3x , ÷，2 4 è 4 è 12 12
f x sin 3x π π 2π , 所以 ÷在 ÷上单调递增，故 3符合题意；
è 4 è18 9
5π 5 kπ 25π当 5时，由 ， k Z，得 kπ， k Z，
12 12
π 2π π 7π 37π
又
π
< π x , ，所以 12 ，此时当 18 9 ÷ 时，
5x , ，
2 12 36 36 ÷è è
所以 f x sin 5x π π , 2π

12 ÷在 ÷上不单调，故
5不符合题意.
è è18 9
综上所述， 1或 3.
故选：AB.
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x sin x > 0 x π，若直线 4 为函数 f x 图象的一条对称轴，
5π ,0 f x f x π 5π 3 ÷为函数 图象的一个对称中心，且 在 , ÷上单调递减，则
的最大值为（
4 6 ）è è
9 18 12 24
A． B． C． D．
17 17 17 17
【答案】B
f x 12 k k 6【分析】根据 的对称性求出 2 1 k , k Z ，再结合其单调性确定 的范围，二者结合，17 17 1 2
即可求得答案.
π 5π
【详解】由题意知直线 x 为函数 f x 4 图象的一条对称轴， ,03 ÷为函数 f x 图象的一个对称中心，è
ì π
k
π
1π , k1 Z 4 2 12 k 6故 í 5 π ，则 17 2 k1 ，
k1, k2 Z ，
k π, k Z 17 3 2 2
又 f x π 5π T π 5π π 7π在 , ÷上单调递减，则 ，
è 4 6 2 6 4 12
12 12
即得 ，结合 > 0，即0 < ，
7 7
6 18
故当 k2 k1 1时， ；当 k2 k1 2时， ；17 17
k2 k1 取其它值时，不合题意，
18故 的最大值为 ，
17
故选：B．
2．（2024·四川巴中·一模）已知函数 f x sin x π> 0, < f x f π 2 ÷，若 ，è ÷è 6
f 4π π 5π x
f x f x , ÷ ，且 在 3 12 ÷ 上单调，则 的取值可以是（3 ）è è
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】A
f x f π π【分析】根据 ÷可知 x 时，函数 f x sin x f
4π 取到最大值，结合 x

÷ f x
è 6
，
6 è 3
可求出 2k 1, k Z ，结合选项，分类讨论，结合函数性质求得 的值，利用函数的单调性确定 的具体
值，即可求得答案.
f x π f x π【详解】因为 6 ÷，故 时，函数 f x sin x 取到最大值，è 6
f 4π又 x

÷ f x
2π
，可知 ( ,0) 为 f x 的对称中心，
è 3 3
1 2k T 2π π π 2π 2π故 , k Z, T ,k Z，
4 3 6 2 2k 1
故 2k 1, k Z ；
又 f x π , 5π T 5π π π在 3 12 ÷上单调，故 ，è 2 12 3 12
T 2π π即 , 0 < 12，
6
结合选项，当 9 时， f x sin 9x π， x 时，函数 f x sin x 取到最大值，
6
故9
π π
2kπ,k Z，则 π 2kπ,k Z，
6 2
π结合 < ， 2 没有符合题意的值，不合题意；
当 7时， f x sin 7x π， x 时，函数 f x sin x 取到最大值，
6
7 π π故 2kπ,k
2
Z，则 π 2kπ,k Z，
6 2 3
π
结合 < 2 ，
没有符合题意的值，不合题意；
当 5时， f x sin 5x x π， 时， f x sin x 取到最大值，
6
5 π π π故 2kπ,k Z，则 2kπ,k Z，
6 2 3
π π π
结合 < 2 ，可得
，则 f x sin(5x )3 ，3
x π , 5π π 4π 7π由

，得5x , ，
è 3 12 ÷ 3 3 4 ÷ è
4π 7π π 5π
由于 y sin x
, 在 3 4 ÷ 上不单调，故
f x 在 ,3 12 ÷上不单调，不合题意；è è
当 3时， f x sin 3x x π， 时， f x sin x 取到最大值，
6
3 π π故 2kπ,k Z ，则 2kπ,k Z，
6 2
π 2π
结合 < 2 ，可得
0，则 f x sin 3x，满足 ( ,0) 为 f x 的对称中心，
3
x π 5π 5π 由 , ，得3x π, ，
è 3 12 ÷ 4 ÷ è
5π
由于 y sin x
π 5π
在 π, ÷上单调递减，故 f x 在 ,
è 4 è 3 12 ÷
上单调递减，符合题意；

故 3
故选：A
【点睛】易错点点睛：本题考查了根据 f x sin x 的性质求解参数，容易出错的地方是求出参数
的范围后，确定其具体值时，在分类讨论时很容易出错，错在不能结合函数的单调性确定取舍.
考点九、由三角函数值求 ω 的值或取值范围
1．（2024·四川内江·三模）设函数 f (x) 2sin
x π é π π ù ÷ ( > 0)，若存在 x1, x2 ê , ú ，且 x1 x ，使得è 3 6 6 2
f x1 f x2 3 ，则 的取值范围是（ ）
A． (0,12] B．[10, ) C．[10,12] D． (6,10]
【答案】B
x é π , π ù π é π π π【分析】根据
ù
ê ú ，求出 x ê , ú，结合 f (0) 3 以及题设可列出不等式 6 6 3 6 3 2
π π 4π
，即可求得答案.
6 3 3
【详解】由于 f (x) 2sin
x π ÷ ( > 0)，当 x
é π π π π π π ê ,
ù é ù
时， x
è 3 6 6 ú 3 ê
, ，
6 3 2 ú
0 é π , π又 ê
ù
ú， f (0) 2sin
π
6 6 3 ÷
3 ，
è
4π 4π
而在原点左侧第一个使得 2sin x 3的 x 的值为 ，即 2sin ÷ 3 ，3 è 3
é π π ù
由于存在 x1, x2 ê , ú ，且 x1 x2 ，使得 f x1 f x 6 6 2
3 ，
π π 4π
故需满足 , 10，
6 3 3
即 的取值范围是[10, )，
故选：B
2．（2024·全国·二模）已知函数 f x cos x > 0,
π π
< f x ÷满足 f x f
π π
， f
2 2 ÷ 6 ÷ ÷
0，
è è è è 3
π 5π
且在 , ÷ 单调递减，则 的值可以为（12 12 ）è
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先根据题目条件得函数对称性，根据对称性求出 和 的表达式，然后根据单调性确定 的范围，
然后代入 和 的值验证即可.
【详解】因为 f
π
x ÷ f x ，所以 f x 的图像关于 x
π
对称，
è 2 4
π
所以 k1π,k1 Z ①，4
f π π
π π
π 5π
又 6 ÷
f ÷ 0，即3 6 3
π
，且在
, ÷ 单调递减，
è è 2 4 è12 12
π
所以 f x 的图像关于点 ,04 ÷对称，è
π
所以
π
k2π,k2 Z ②，4 2
2 π k π k k π①+②得 1 k2 π,k1 k2 Z ，即 1 2 ,k k Z，2 4 2 1 2
π π π
又 < ，所以 , k1 k2 0 或 , k k 1 ，2 4 4 1 2
π π
②-①得 k2 k1 π,k2 ,k1 Z，即 1 2 k2 k1 ,k2 , k1 Z， 为正奇数，2 2
f x π , 5π 5π π 2π由 在 单调递减得T 2 ，
è12 12 ÷ ÷ è 12 12 3
2π 2π
所以 ，所以 3，又 为正奇数，则 1或 3，
3
ìk k 0
当 3时， k2 k1 1
1 2 π
，此时 ík k 1 无整数解，所以
, k1 k2 1 ，
2 1 4
f x π cos 3x π 5π π所以 ÷，当 < x < 时，0 < 3x < π，
è 4 12 12 4
π π 5π
此时 f x cos 3x ÷在 ,

单调递减，符合条件，
è 4 ÷ è12 12
故 的值可以为3，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：对于已知三角函数的性质求参数范围的问题，正常情况下对称性比较好处理，关键
是通过性质确定 的取值范围，本题就是通过单调性确定周期的范围，进而得到 的范围.
1．（2024·河南·二模）已知函数 f x 3sin x cos x( > 0)，若存在x1， x2 [
π , π]，使得 f x1 × f x2 4，2
则 的最小值为（ ）
7 8
A．1 B．2 C． D．
3 3
【答案】C
【分析】化简得 f x 2sin π x ÷，由题意可得 f x
é π , πù在 ê 2 ú上至少有两个相邻的对称轴，根据正弦函è 6
数的性质，列出不等式组求解即可.
π
【详解】由题意知 f x 2sin x

÷，
è 6
由于 f x1 × f x2 4，
é π ù
则在 ê , π2 ú上至少有两个相邻的对称轴，
ì π π π π ì
< kπ 0
2
< 2k
6 2 6 2 3
令 í ， k N ，则 í ， k N
π π 3π
，
kπ 4 k
6 2 3
7 8
当 k 0 é ù时，不等式组无解，当 k 1时，解为 , ，
ê 3 3ú
因此
7
的最小值为 ，
3
故选：C.
2．（23-24 高二下·浙江·期中）已知函数 f x sin x cos x( 3π 3π> 0) é在区间 ê ,
ù
ú上恰有三个零点，且 4 2
f 3π 15π 3π f2 ÷ ÷
f ÷，则 的取值可能为（8 ）è è è 4
5 4 52 16
A． B． C． D．
4 3 27 3
【答案】B
π π
【分析】利用辅助角公式可得 f (x) 2 sin( x )4 ，结合选项，确定
x 的取值范围，根据正弦函数的性
4
质验证函数 f (x) 是否有 3 个零点且满足 f (
3π) f (15π ) f ( 3π ) .
2 8 4 即可
【详解】 f (x) sin x cos x 2 sin( x
π
) .
4
5
A 5 π：当 时， f (x) 2 sin( x )
4 4 4
，
3π x 3π 11π 5由 ，得 x
π 17π
，函数 f (x) 有 34 2 16 4 4 8 个零点；
f (3π) 2 sin(5 3π π ) 2 sin17π π 2 sin
2 4 2 4 8 8 ，
f (15π) 2 sin(5 15π π ) 2 sin 83π 2 sin19π
8 4 8 4 32 32
f (3π所以 ) f (
15π) A
2 8 ，不符合题意，故 错误；
B
4
4 π：当 时， f (x) 2 sin( x )
3 3 4
，
3π 3π 3π 4 π 9π
由 x x 4 2 ，得 4 3 4 4 ，函数
f (x) 有 3 个零点；
f (3π) 2 sin(4 3π π 9π π ) 2 sin 2 sin 1
2 3 2 4 4 4 ，
f (15π) 2 sin(4 15π π ) 2 sin11π 2 sin 3π 1
8 3 8 4 4 4 ，
f ( 3π ) 2 sin[4 ( 3π ) π ] 2 sin( 3π ) 1
4 3 4 4 4 ，
f (3π) f (15π 3π所以 ) f ( )2 8 4 ，符合题意，故
B 正确；
C 52 f (x) 2 sin(52 x π：当 时， )27 27 4 ，
3π x 3π 43π 52 π 113π由 ，得 x 4 2 36 27 4 36 ，
函数 f (x) 不止有 3 个零点，不符合题意，故 C 错误；
16
D 16 π：当 时， f (x) 2 sin( x ) ，
3 3 4
3π 3π 15π 16 π 33π
由 x ，得 x 4 2 4 3 4 4 ，
函数 f (x) 不止有 3 个零点，不符合题意，故 D 错误；
故选：B
π
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质的综合问题，确定 x 的取值范围是解决本
4
题的关键.
考点十、由三角函数的单调性、对称性求 ω 的值或取值范围
é π π ù
1．（2024·陕西榆林·二模）已知函数 f x sin x ( > 0,0 < < π) 在 ê , ú上单调， f x 的图象关 3 6
2π 5π
于点 ,0÷中心对称且关于直线 x 对称，则 的取值个数是（3 ）è 6
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
2 1
【分析】根据 f x 的对称性求出 k ÷ , k Z ，结合函数的单调性可得 的取值范围，即可确定 k3 è 2
的值，一一验证 k 的取值，是否符合题意，即可确定 的可能值，从而得解.
【详解】由题意得 f x 2π 5π的图象关于点 ,0÷中心对称且关于直线 x 对称，
è 3 6
ì 2π
k π,k Z 3 1 1 2 é k 1 k ù故 í5π ，则 ê 2 1 , k , k Z ， k π π ,k Z 3 2
ú 1 2

6 2 2 2

2 k 1 即 ÷ , k Z ，3 è 2
由函数 f x si n x π π > 0,0 < < éπ 在 ê ,
ù
上单调，
3 6 ú
T π π

π 2
2π 1 得 ÷ ，即 π, 0 < 2，即0 < k ÷ 2，2 6 è 3 2 3 è 2
1 k 5解得 < ，而 k Z，故 k 0或 1，或 2，
2 2
1 2π 2π
当 k 0时， ，则 k1π,k1 Z，结合0 < < π ，得 ，3 9 9
则 π
5π
，此时 f x sin 1 2π x

，
9 è 3 9 ÷
x é π , π ù 1 x 2π é π , 5π π 5π当
ù
ê 时， ，由于 y sin x
é , ù在 上单调递增，
3 6 ú 3 9 ê 9 18 ú ê 9 18 ú
故 f x sin 1 x 2π é π 在 ,
π ù
上单调递增，满足题意；
è 3 9 ÷ ê 3 6 ú
2π
当 k 1
2π
时， 1，则 k1π,k1 Z，结合0 < < π ，得 ，3 3
π 5π f x sin 2π 则 ，此时
3
x
3 ÷
，
è
é π π ù 2π é π 5π ù é π
当 x ê , ú时， x ê , ú ，由于 y sin x 在 ê ,
5π ù
3 6 3 3 6 3 6 ú
上不单调，

故 f x sin x 2π é π π ù ÷ 在 ê , ú上不单调，此时不合题意；è 3 3 6
10π
当 k 2时，
5
，则
π
k1π,k1 Z，结合0 < < π ，得 ，3 9 9
则 π
16π
，此时 f x sin 5 π x ÷，9 è 3 9
当 x
π π 5 π 4π 7π 4π 7π
éê ,
ù é
ú时， x ê ,
ù
ú ，由于 y sin x
é
在 ê ,
ù
上单调递增，
3 6 3 9 9 18 9 18 ú
故 f x sin 5 π é π π ù x 在 , 上单调递增，满足题意；
è 3 9 ÷ ê 3 6 ú
1 5综上， 或 .
3 3
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用 f x 的对称性与单调性得到 k 的可能取值，从而检验得解.
2．（23-24 高一上·浙江宁波·期末）已知函数 f x sin x
π
> 0, < f x π π f x 2 ÷ .若 为奇函数，è è 8 ÷ 8 ÷ è
为偶函数，且 f x 0, π 在 ÷上没有最小值，则 的最大值是（6 ）è
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性求出 ，再由 f x 在 0,
π
÷上没有最小值，求出答案.
è 6
π é
【详解】由题意知 f x ÷ sin ê
π ù
x ÷ ú sin

x
π

8 ÷ ，è è 8 è 8
f x π π因为 ÷ 为奇函数，所以 k1π k1 Z 1 ，
è 8 8
f x π é π ù π ÷ sin ê

x ÷ ú sin

8 8
x ÷，
è è è 8

因为 f x
π
π π
8 ÷ 为偶函数，所以
k π k Z 2
8 2 2 2 ，è
1 2 π k1+k相加得 2 π，
4 2
π
又因为 < ，所以 ± ，
2 4
π当 代入 1 π得 π k1π k1 Z ，即 2 8k k Z 4 8 4 1 1 ，
π π π
代入 2 得 k2π k2 Z ，即 2+8k2 k2 Z ，即 2+8k k Z 8 4 2 ；
π当 代入 1 π π得 k1π k1 Z ，即 2 8k k Z ，4 8 4 1 1
2 π π π代入 得 k2π k2 Z ，即 6+8k2 k2 Z ，即 6+8k k Z ；8 4 2
f x 0, π 因为 在 ÷上没有最小值，
è 6
设 t x
π

π , π π π π 3π 15
4 4 6 4 ÷，则
0 < 6.
è 6 4 2
，所以 2 ， 的最大值是
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出 及 的表达式；二是利用区间上没有
最小值可求 的不等关系.
1．（23-24 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数 f (x) 2cos( x )( > 0,0 < < π) 的图象关于原点对称，
é π , 2π ù且在区间 ê ú 上是减函数，若函数 f (x) 在 0, π 上的图象与直线 y= 2 有且仅有一个交点，则 ω 的取值 2 3
范围是（ ）
A． (0,1]

B． 0,
3ù é1 3 ù
ú C．[1, ) D． ,è 4 ê 2 4 ú
【答案】D
【分析】根据已知条件，确定 的取值，解得 f (x) 2sin x ，令 t x ，结合已知条件根据 y 2sin t
的单调区间，取值情况得到关于 的不等式，求解即可.
【详解】
因为函数 f (x) 2cos( x )( > 0,0 < < π) 的图象关于原点对称，
π所以 kπ k Z ，又因为0 < < π π，所以 ，
2 2
所以 f (x) 2cos( x
π
) 2cos( x ) 2sin x ；
2
t x π x 2π π x 2π π t 2π 令 ，因为 ，则 ，即 ，
2 3 2 3 2 3
y 2sin t π π的减区间为 2kπ t 2kπ k Z ，
2 2
f x é π 2π又 在区间 ê ,
ù
ú 上是减函数， 2 3
é π , 2π ù é π π ù所以 ê 是区间 2kπ, 2kπ k Z 的子集， 2 3 ú ê 2 2 ú
π 2π
因为 > 0，所以 < 0， > 0，
2 3
é π π ù
只有 k 0时区间 ê 2kπ, 2kπú k Z 是由负到正，所以有： 2 2
ì π π
ì 1 2 2 3
í
2π π
， í 3
，解得 ；
4
3 2 4
因为函数 f (x) 在[0, ]上的图象与直线 y= 2 有且仅有一个交点，
相当于 y 2sin t ，在 0, π 上只有一个最小值，
ì π π ì 1
2 2 1 5
所以有： í 5π ， í ，解得
< ；
π< < 5 2 2
2 2
ì

3

4 1 3
综上取交集有： í ，解得 .
1 5< 2 4
2 2
故选：D
π
2．（2022 高三上·河南·专题练习）已知函数 f x Acos x (A, > 0, ) π，若 x 为 f (x)3 的零点，2
π π , 7πx f (x) 是 的图象的对称轴，且 f (x) 在区间 6 è 66 66 ÷
上单调，则实数 取最大值时， （ ）

π π π π
A． B． C6 ． D． 6 3 3
【答案】B
【分析】
π 7π
根据 f (x)

在区间 , ÷ 上单调求得0 < 11，再结合零点和对称轴得 2k 1，即可得 1166 66 ，最后根è
据对称轴得 kπ
11π
k π Z ，结合 ，求解验证即可.
6 2
【详解】
π 7π
f (x) 2π π T 7π π π因为 的最小正周期T ，且 f (x) 在区间 , 上单调，所以 ，
è 66 66 ÷ 2 66 66 11
又 > 0，故0 < 11①；
π π
又因为 x 3 为
f (x) 的零点， x 是 f (x) 的图象的对称轴，
6
π π T T 2k 1 2π π
所以

÷ k × × （ k Z ），整理，得 2k 1（ k Z ）②.3 è 6 4 2 4 2
由①②得0 < 11且 为奇数，当 11时，将 x
π
代入 x ，
6
11 π 令 ÷ kπ
11π
（ k Z ），得 kπ k Z ，
è 6 6
π π π
又 ，故取 k 2 ，得 ，此时 f x Acos 11x 2 6 6 ÷（ A > 0 ）.è
π 7π π π 7π
验证当 < x < 时，0 <11x < π ，满足 f (x)

在区间 , 上单调递减.
66 66 6 66 66 ֏
π
故实数 的最大值为11，此时 .
6
故选：B
考点十一、由三角函数的伸缩平移变换求 ω 的值或取值范围
f x sin x > 0 π1．（2024·四川成都·三模）将函数 的图象向左平移 个单位后，与函数
6
g x cos x 的图象重合，则 的最小值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．2
【答案】C
π π π
【分析】根据图象变换可得 y sin x ÷，根据题意结合诱导公式可得 2kπ,k Z，运算求
è 6 6 2
解即可得结果.
【详解】将 f x sin x π的图象向左平移 个单位，得到
6
y sin é ê

x
π
÷
ù
ú sin

x
π
÷ cos x ，
è 6 è 6
π π
则 2kπ,k Z，所以 3 12k ， k Z，又 > 0，
6 2
所以 的最小值为 3.
故选：C.
f (x) sin( x π π2．（2024·山东·二模）已知函数 )( > 0)，若将 f (x) 的图象向左平移 个单位后所得的函数
6 3
π
图象与曲线 y f (x) 关于 x 对称，则 3 的最小值为（ ）
2 1
A． B． C．1 D 13 ．3 2
【答案】A
【分析】求出函数 f (x) 的图象平移后所得函数的解析式，再利用对称列式计算即得.
【详解】函数 f (x) sin( x
π
) ， f (x)
π
的图象向左平移 个单位后所得函数
6 3
g(x) sin[ (x π) π ] sin( x π π ) ，
3 6 3 6
函数 y g(x) 的图象与 y f (x) π
2π
的图象关于直线 x 对称，则 f (x) g( x)3 ，3
于是 sin ( x
π
) sin[ (2π x) π π ]对任意实数 x 恒成立，
6 3 3 6
即 sin ( x
π
) sin( x π π ) sin[π ( x π 5π )] sin ( x 5π π )对任意实数 x 恒成立，
6 6 6 6
π 5π π 2因此 2kπ,k Z，解得 2k ,k Z ，而 > 0，则 k Z, k 0，
6 6 3
所以当 k 0 2时， 取得最小值 .3
故选：A
3．（2024·贵州贵阳·一模）将函数 f x sinx π的图像先向右平移 个单位长度，再把所得函数图像上的每个
3
1 π
点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 ( > 0) 倍，得到函数 g x 的图像.若函数 g x 在 ,0 ÷ 上单调递è 2
增，则 的取值范围是（ ）
1 ù 1ù 1 ù
A． 0, ú B． 0, ú C． 0, ú D． 0,1 è 6 è 3 è 2
【答案】B
π
【分析】首先求函数 g x 的解析式，再根据 x ,0÷，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性
è 2
质，即可求解.
【详解】由三角函数的图像变换规律可知， g x sin x π 3 ÷，è
x π ,0
π π π π
2 ÷
， x × , ÷，
è 3 è 2 3 3
g x π ,0 π π π因为函数 在 2 ÷ 上单调递增，所以 × ，且 > 0，è 2 3 2
得0
1
< .
3
故选：B
π
4．（23-24 高一上·广东广州·期末）将函数 f x sinx的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象
3
1
的横坐标变为原来的 ( > 0) 倍，纵坐标不变，得到函数 g x g x π的图象，若函数 在 ,
3π
÷上没有零点， è 2 2
则 的取值范围是（ ）
é2 , 8ù 0, 2ù é2 8ù 2 é8 A． ê B．3 9ú ú
ê , ú C． 0, ÷ U ê ,19 3 9 3 9 ÷
D． 0,1
è è
【答案】B
【分析】根据函数的图象平移与伸缩变换可得 g x ，结合正弦函数的图象先判断0 < 1，根据正弦型图
象的零点，列出不等式组，解出 的范围即可.
【详解】将函数 f x sinx π的图象先向右平移 个单位长度，可得 y sin x
π
÷，3 è 3
1 π
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ( > 0) 倍，纵坐标不变，可得 g(x) sin

x ÷ 的图象，
è 3
0 T 2π
π 3π
因为 > ，周期 ，函数 g x 在 ,2 2 ÷ 上没有零点， è
3π π T π
则 ，所以0 < 1，
2 2 2
π x 3π π π 3π π因为 < < ，所以 < x < ，
2 2 2 3 2 3
ì π π
kπ
又 g x π , 3π 2 3 2 2k 8在 ÷ 上没有零点，所以 í , k Z，解得 2k ，
è 2 2 3 π π kπ+π 3 3 9
2 3
2 8 4 2 2 2 8
又因为0 < 1， k 0, ， k 1, ，所以0 < 或 ，
3 9 3 9 9 3 9
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题求解的关键有两个，一是利用图象变换能准确求出变换后的函数解析式；二是利
用区间内没有零点列出限制条件.
5π
5．（2023·全国·模拟预测）将函数 f x sinx的图像向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图像，再将
6
g x 1的图像上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的 （ > 0）倍，得到函数 h x 的图像，且 h x 在区

间 0, π 上恰有两个极值点、两个零点，则 的取值范围为（ ）
7 8ù 5 13 5 13 7 8
A． , ú B
é , ù． C ． ,
ù D ,
è 6 3 ê3 6 ú è 3 6 ú
．
è 6 3 ÷
【答案】C
【分析】现根据函数平移放缩变换，得到解析式，再根据 h x 在区间 0, 上恰有两个极值点、两个零点，
结合余弦函数图象进行求解即可.
5π π π π
【详解】法一：由题意，得 g x sin x ÷ sin x ÷ cos x ÷，所以 h x cos

x
π
．令
è 6 è 2 3 ÷ è 3 è 3
t x π ， x 0, π π π π π ，则 t
3
, π ÷．设m t cos t ，则m t 在 t , ÷上恰有两个极值点和两
è 3 3 è 3 3
π 5π 5 13
个零点．结合图像知 2π < π ，解得 < ．
3 2 3 6
法二：验证排除法.由题意可知 g x sin x
5π cos x π π
6 ÷ ÷
，所以 h x cos x ÷，根据四个选项的
è è 3 è 3
5 5 5 5 π
特点，只有选项 C 中不含 ，所以只需要验证 时的情况，若 ，则 h x cos x

，令
3 3 3 ֏ 3 3
5 π x 0, π t πt x ，因为 ，所以 , 2π ÷，结合图像知此范围内由两个零点，一个极小值点，不符合题3 3 è 3
5
意，所以 ，故选 C.
3
g x sin x 5π h x sin x 5π 法三：由题可知， ÷ ，所以 ÷，令 x
5π
kπ+ π ， k Z，则
è 6 è 6 6 2
ì 5π < π
kπ π 5π 8π
x 3 ， k Z
2π 3 5 8
，分别令 k 1,2,3，则 x ， ， ，由题意知 í < .3 3 3 8π
解得
π 3 3
3
ì 7π < π
x 5π kπ k Z kπ
5π

， ，则 x 6 ， k Z，分别令 k 1,2,3 x
π 7π 13π 6
，则 ， ， ，由题意知6 6 6 6 í 13π π
6
7 5 13
解得 <
13
ù，综上所述， , ú .6 6 è 3 6
故选：C．
π
1．（2024·广东佛山·模拟预测）将函数 f x sin x
π
÷ > 0 的图象向右平移 个单位长度后得到函数
è 3 2
g x 的图像，且函数 g x 是偶函数，则 的最小值是（ ）
1 2 1 5
A． B． C． D． E3 ．均不是3 6 6
【答案】A
【分析】
结合图象变换求得 g(x)解析式，再结合偶函数性质求解即可.
g(x) sin[ (x π) π] sin( x π π【详解】由题意知， )（ > 0）
2 3 2 3
又因为 g(x)为偶函数，所以 g(x)关于 y 轴对称.
π π π 5
所以 kπ， k Z，解得 2k ， k Z，
2 3 2 3
又 > 0，所以当 k 1时，
1
取得最小值为 .
3
故选：A.
2．（2024·陕西西安·一模）记函数 f x sin x （ > 0, π π < < ）的最小正周期为T ，且
2 2
π
f T 3 ，将 y f x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小值为（ ）
2 6
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
π π π
【分析】根据题意，求得 f x sin( x ) ，进而的平移后的函数为 g x sin( x )，根据 g x 的
3 6 3
图象关于 y 轴对称，求得 6k 1,k Z，即可得到答案.
【详解】由函数 f x sin x 的最小正周期为T ，且 f T 3 ，
2
2π 3 π π π
所以 f ( ) sin 2π sin ，因为 < < ，可得 ，
2 2 2 3
f x sin( x π) π g x sin( x π π所以 的图象向右平移 个单位后得到 )，
3 6 6 3
因为所得函数 g x π π的图象关于 y 轴对称，所以 kπ π ,k Z，
6 3 2
可得 6k 1,k Z，因为 > 0，所以 的最小值为5 .
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）将函数 f x sin x cos x( > 0) 的图象向左平移 个单位长度后，再把横坐标
4

缩短为原来的一半，得到函数 g x 的图象．若点 ,0÷ 是 g x 图象的一个对称中心，则 的最小值是
è 2
（ ）
4
A B 1
1 5
． ． 2 C． D．5 5 6
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化简 f x ，进而根据三角函数图象平移求出 g x ，再根据正弦函数的图象和性
质求解即可.

【详解】由题意可得 f x 2 2 sin x 2 cos x

÷÷ 2sin x
π
，
è 2 2 è 4
÷

f x π h x 2sin é x π π ù 2sin x π π所以将 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 ê ÷

4 è 4
÷
4 ú è 4 4
的图象，
π π
再把所得图象上点的横坐标缩短为原来的一半，得到函数 g x 2sin 2 x 4 4 ÷ 的图象，è
π
因为点 ,0

2 ÷是
g x 图象的一个对称中心，
è
π π π所以 kπ,k Z
4 1
，解得 k ,k Z ，
4 4 5 5
1
又 > 0，所以 的最小值为 ．
5
故选：C
5
4．（2023·四川·一模）将函数 f x sinx的图象先向左平移 π个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐
6
标都变为原来的 > 0 倍，得到函数 g x 的图象，若函数 g x π 3π 在区间 ,2 2 ÷内没有零点，则 的取值范è
围是（ ）
é9
A． ê ,3
ù é1, 9 ùB． U 3,9
7 ú ê 7 ú
é9
C． ê ,3
ù
ú U 9,
9
é ùD． 1,
7 ê 7 ú
【答案】C
【分析】根据图象变换求出 g(x)的解析式，利用周期缩小 的范围，再从反面求解可得结果.
5 5
【详解】将函数 f x sinx的图象向左平移 π个单位长度，得到 y sin x π6 ÷，è 6
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的 > 0 倍，得到函数 g x 的图象，
g x sin 1 x 5 π g x π , 3π T 3π π即 ÷，因为函数 在 2 2 ÷上没有零点，则 π ，即T 2π ，è 6 è 2 2 2
1 5 5π
即 2π

2π ，则 1，由 g x 0，得 x π kπ ，得 x kπ ÷ ， 6 è 6
g x π , 3π π kπ 5π 3π若函数 在 < < k Z
è 2 2 ÷
上有零点，则 ÷ ， ，
2 è 6 2
1
即 <

k
5

3 5
÷ < ，又 > 0，则 k > 0 .当 k 1时，解得3 < < 9 .2 è 6 2 6
3 9 3 9
当 k 2时，解得 < < .当 k 3时，解得 < < ，与 >1矛盾.
7 7 13 13
g x π综上，若函数 在 ,
3π 9
÷上有零点，则3 < < 9或1< <
è 2 2
，
7
9
则若没有零点，则 3或 9 .
7
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角函数平移法则求出函数 g(x)的解析式，利用间接法求解 的范围是解决本
题的关键.
π
5．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）将函数 y sin2 x 0 < <1 的图象向左平移 个单位可得到函数
6
y f x 的图象，若 y f x 在区间 π,2π 内有最值，则实数 的取值范围可能为（ ）
1 , 1 5A． ÷ B． ,
5 7 , 7 13 ÷ C． ÷ D． ,1÷
è 24 12 è 24 12 è 24 12 è 24
【答案】ACD
f x sin π【分析】由三角函数的图象变换，得到 2 x
π π
÷，结合题意得出到 2 x k ，求得
è 3 3 2
k 1 k 1 < < ,k Z，再由0 < <1，即可求解.
4 24 2 12
é π ù π
【详解】根据题意，得到 f x sin ê2 x ÷ú sin 2 x ÷，
è 6 è 3
由 2 x
π
k π , k Z x kπ π ，解得 ,k Z，
3 2 2 12
π kπ π 2π,k Z k 1 k 1可得 < < ，解得 < < , k Z，
2 12 4 24 2 12
1 1
因0 < <1，所以当 k 0时， < < ；
24 12
k 1 7 7 13当 时， < < ；当 k 2时， < <1．
24 12 24
故选：ACD．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）将函数 f x sinx π的图象向左平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐
6
1
标变为原来的 ( > 0) 倍，可以得到函数 g x π π 的图象，若 g x 在 ,6 2 ÷上没有零点，则 的取值范围是 è
（ ）
5ù é5
A． 0, B． ,3
ù
C． 0,3 D． 3,
è 3ú ê3 ú
【答案】A
【分析】先根据图象的变换求出 g x ，再结合三角函数性质求解即可.
【详解】将函数 f x sinx π的图象向左平移 个单位长度，得到 y sin x π ÷ ，6 è 6
1 π
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ( > 0) 倍，得到函数 g x 的图象，即 g x sin x ,
֏ 6
x π π因为 ,
π π π π π
6 2 ÷，所以
< x < ，
è 6 6 6 2 6
g x π , π π π π π 因为 在 ÷上无零点，所以 , ÷ kπ,kπ π k Z
è 6 2
，
è 6 6 2 6
ì π π
kπ, 6 6
即 í (k Z)
5
，解得6k 1 2k π π k Z ， kπ π 3
2 6
ì
6k
5 2
1 2k ì k 5
因为 í 3 í 3 ，所以 k 0，0 < .
> 0 > 0 3
故选：A
考点十二、三角函数综合求 φ 的值或取值范围
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数 f x sin 2x 0≤ < π 的一条对称轴是 x 5π ，则
12
（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
6 4 3 3
【答案】C
【分析】由正弦型函数的对称性可得出 的表达式，结合 的取值范围，可得出 的值.
【详解】因为函数 f x sin 2x 0≤ < π 5π的一条对称轴是 x ，
12
则 2
5π π ÷ kπ k Z
π
，所以， kπ k Z ，
è 12 2 3
因为0 < π
π
，则 .
3
故选：C.
π
2．（2024·重庆·模拟预测）将函数 f x sin 2x ÷的图象向右平移 > 0 个单位后，所得图象关于坐标
è 3
原点对称，则 的值可以为（ ）
2π π π π
A． B． C． D．
3 3 6 4
【答案】B
π
【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得 2 kπ，k Z ，解方程即可得出答案.
3
π
【详解】因为 f x 向右平移 个单位后解析式为 y=sin 2x 2 3 ÷，è
又图象关于原点对称，
2 π kπ k Z π kπ π ， ， ,k Z，Q > 0， k 1时， ，
3 6 2 3
故选：B.
f x sin 2x π3．（2024·山东·二模）将函数

÷的图象向左平移 > 0 个单位长度得到函数 g x 的图象，
è 3
x 11π若 为 g x 图象的一条对称轴，则 的最小值为（ ）6
π 5π 7π 2π
A． B． C． D．
12 12 12 3
【答案】B
【分析】本题先根据三角函数图像平移的规则求出 g(x)，再根据正弦函数的对称轴求出 和整数 k 的关系
式，再对 k 取值即可求解.
π
【详解】由题意得： g(x) sin 2(x ) sin(2x
π
2 )，
6 3
又因为 x
11
π 是 g(x)的一条对称轴，
6
kπ π 11 π所以 2 ×
π ÷ 2 , k Z，2 è 6 3
kπ 23即 π,k Z，下面结合选项对整数 k 取值（显然 k 取负整数）：
2 12
17k 1时， π ；
12
11
k 2 时， π ；
12
5
k 3时， π ；
12
-π
k 4 时， .
12
故选：B.
π π
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数 f x 3cos x < 0， < < ÷ 的最小正周期为 π，在区间
è 2 2
π π π
,

÷上单调递减，且在区间 0, ÷上存在零点，则 的取值范围是（6 6 6 ）è è
π , π π , π ù é π π πA ù． B
è 6 2 ÷
．
è 2 3 ú
C． ê , ÷ D． 0, 3 2 è 3 ú
【答案】B
【分析】根据给定周期求得 2 ，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，
然后结合已知求出范围.
2π
【详解】由函数 f (x) 的最小正周期为 π，得 π| | ，而 < 0 ，解得 2 ，
则 f (x) 3cos( 2x ) 3cos(2x ) ，由 2kπ 2x 2kπ π,k Z，
得 2kπ+ 2x 2kπ π , k Z，又 f (x) 在 (
π
, π) 上单调递减，
6 6
π π 2π π
因此 2kπ+ ，且 2kπ π , k Z，解得 2kπ 2kπ,k Z ①，
3 3 3 3
π π
由余弦函数的零点，得 2x nπ , n Z，即 2x nπ ,n Z，
2 2
而 f (x) 在 (0,
π ) π π上存在零点，则0 < nπ < ,n Z，
6 2 3
π π
于是 nπ < < nπ , n Z
π π π π②，又 < < ，联立①②解得 < ，
2 6 2 2 2 3
( π , π所以 的取值范围是 ] .
2 3
故选：B
π
5．（21-22 高三上·广东·阶段练习）设函数 f x 2sin x 1 > 0,0 ÷的最小正周期为4π，且 f (x)
è 2
在[0,5π]内恰有 3 个零点，则 的取值范围是（ ）
é0, π ù ì5π ü é π ù é π π ùA． ê 3 ú í12
B． 0, ,
ê 4 ú ê 3 2 ú
é π ù ì5π ü é π ù é π π ù
C． ê0, 6 ú
í D． 0, ,
12

ê 6 ú ê 3 2 ú
【答案】D
【分析】根据周期求出
1
，结合
5π 5π 5π
的范围及 x 0,5π ，得到 3π，把 看做一个整体，
2 2 2 2
研究 y sin x
1
在 0,3π 的零点，结合 f (x) 的零点个数，最终列出关于 的不等式组，求得 的取值范围.
2
2π 1
【详解】因为T 4π，所以 ，
2
由 f x 0，即 2sin 1 x

÷ 1 0，得 sin
1
x
1
÷ ，
è 2 è 2 2
x 0,5π 1 x é 5π当 时， ê ,
ù π 5π 5π
ú，又0 ，则 3π，2 2 2 2 2
因为 y
1
sin x 在 0,3π π 5π 13π 17π的零点为 , , , ，
2 6 6 6 6
ì0 π ì π π <
f (x) [0,5π] 6

3 6 2且 在 内恰有 个零点，所以 í
13π 5π 17π
或 í
5π 17π
，
<
6 2 6 2 6
é
解得 ê0,
π ù é π , π ù
6 ú ê 3 2 ú
，

故选：D
π
1．（2024·全国·二模）若函数 f (x) 3cos(2x )(0 < < π)的图象关于 y 轴对称，则 （ ）
3
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用余弦函数的性质求解即得.
【详解】依题意，函数 f (x) 3cos(2x
π
)是偶函数，则
π
kπ,k Z，
3 3
即
π
kπ,k Z π ，而0 < < π ，所以 .
3 3
故选：B
2．（23-24 高一下·四川内江·期中）已知 > 0，函数 f x sin 2x f x f 4π ，"x R ， ，则 的
è 3 ÷
最小值为（ ）
π 5π
A B 4π 11π． ． C． D6 ．6 3 6
【答案】B
4π 4π
【分析】依题意 f ÷为最大值或最小值，从而得到 x 为函数的对称轴，再根据正弦函数的性质求出
è 3 3
，最后确定 的最小正值.
【详解】因为 f x sin 2x f x f 4π ，且"x R ， ÷ ，
è 3
f 4π x 4π即 ÷为最大值或最小值，即 为函数 f x 的一条对称轴，
è 3 3
4π π
所以 2 kπ,k Z，
3 2
13π
解得 kπ,k Z，
6
又 > 0，所以当 k 3时
5π
取得最小值 .6
故选：B

3．（23-24 高一下·河南·阶段练习）将函数 f (x) 2sin(2x ) （ > 0）的的图象向左平移 个单位长度，得
3
到函数 g(x)的图象，若 g(0) 2 ，则 φ 的最小值为（ ）
5 7 11
A． B． C． D12 ．12 12 12
【答案】A
2 2
【分析】利用伸缩变换得到 g(x) 2sin 2x ÷ ，3 Q g(0) 2 ，所以
2k 或
è 3 4
2 3 2k ，得到 φ 的最小值是12 ．3 4

【详解】由题意得 g(x) f x
2sin 2x 2 ÷ ÷，则 g(0) 2sin
2
3 3 3 ÷
2 ，
è è è
2 2k 2 3 所以 或者 2k ， k Z，
3 4 3 4
则
5
2k 或者

2k ， k Z ，因为 > 0，所以 φ 的最小值是12 ．12 12
故选：A．
4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）函数 f x cos x > 0 π的图象向左平移 个单位后得到
2
g x sin x π的图象，若 是 f x 的一个零点，则 的可能取值为（
4 ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】B
【分析】依题利用平移变换得到方程 cos( x
π
) sin x ，从中求得 4k 1,k N* ，将其代入
2
m k π π另一条件，整理得 即可判断结果.
4
π π π
【详解】依题意， g x cos( x ) sin x ，则 2kπ ，解得 4k 1,k N* ；
2 2 2
又cos(
π
) 0即得cos( kπ
π
) 0，
4 4 k N
*，
则得 kπ
π π mπ,m Z,k N* m k π π ，即 ， k N*,m Z .
4 2 4
故选：B.
5．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）若函数 f x 6sin 3x ( π π < < 2π) é在 ê0,
ù
ú上的最大值小于 6
3 3，则 的取值范围是（ ）
π , π π,11π π 2π A． ÷ ÷ B6 3 6 ．
π, ÷ , 2π ÷
è è è 6 è 3
5π π 5π 11π π 2π 11π
C． , ÷ U , ÷ D． π, ÷ ,
è 6 6 è 6 6 è 6 è 3 6 ÷
【答案】D
é π ù 3
【分析】根据 x 的范围，确定3x ê , ú ，由题意可得 sin 3x < ，结合正弦函数的性质，分 2 2
类讨论，列出不等式，即可求得答案.
π π
【详解】由题意知 π < < 2π x
é0, ù， ê ú ，则3x
é , ù π 5πê ú ，且 < ， 6 2 2 2
f x 6sin 3x ( π < < 2π) é π ù函数 在 ê0, ú上的最大值小于3 3， 6
即此时6sin 3x < 3 3, 3 sin 3x < ，
2
( π, 5 π) y sin x 3 π 2π 7π在 内， 的函数值 对应的 x 的值为 ， ， ，
2 2 3 3 3
π π
①当 π < < 2π ，且 < 时，满足题意，此时 π <
π
< ；
2 3 6
2π π 7π 2π 11π
②当 < < 2π，且 < 时，满足题意，此时 < < ，
3 2 3 3 6
π, π 2π ,11π 综合上述，可得 的取值范围是 6 ÷ ÷
，
è è 3 6
故选：D
考点十三、由三角函数的单调性、值域求其它参数的值或取值范围
1．（23-24 高一下·河北张家口·期中）已知函数 f (x) 3sin(2x
π) [0, a
6 在
]上单调递增，则实数 a 的最大值为
4
（ ）
π 2π 4π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 3
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出相位所在区间，再利用正弦函数的单调性列式求解即得.
x [0, a ] 2x π [π , a π] π π【详解】当 时， ，而正弦函数 y sin x 在[ , ]上单调递增，
4 6 6 2 6 2 2
π a π π
因此 < ，解得0 < a
2π
，
6 2 6 2 3
2π
所以实数 a 的最大值为 .
3
故选：B
2．（2022 高三·全国·专题练习）已知定义在R 上的奇函数 f x 2sin x ( > 0,0 < < 2π)满足
f π x
π
÷ f x ÷，若当 取最小值时， f x 在区间 m, m 上是单调函数，则m 的最大值为（4 4 ）è è
A． π
π π π
B． C． D．
2 4 6
【答案】C
【分析】根据奇偶性和对称性确定 的最小值，然后由单调性可解.
【详解】因为 f x 为奇函数，所以 kπ,k Z，
所以 f x 2sin x 或 f x 2sin x，
f π x f π x 又 ÷ ÷，所以 f x
π
的图象关于 x ，
è 4 è 4 4
T π
所以 ，即T π ，所以 2，
4 4
π
当 2时，由 2kπ 2x
π π
2kπ 得 kπ x
π
kπ， k Z，
2 2 4 4
所以，此时 f x é π在区间 ê ,
π ù
ú 上单调， 4 4
π
又因为 f x 在区间 m, m 上是单调函数，所以0 < m ，
4
m π所以 的最大值为 .
4
故选：C
3．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数 f x Asin x (A > 0, > 0, < π) 的部分图象如图所示，将
f x π的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x 的图象，若 g x 在区间 0, t 上的值域为 é 3,2ù4 ，则 t
的取值范围为（ ）
é5π , 2π ù é π , 5π ù é5π 5π ù é5π ùA． ê B． 12 3 ú ê
C．
4 6 ú ê
, D． , π
12 6 ú ê 12 ú
【答案】C
【分析】先由图象求出函数 f x ，再由平移变换得函数 g x ，结合整体法求值域，从而求 t 的取值范围.
【详解】设 f x 3 2π π 3π的最小正周期为T ，由图象可知 A 2, T ，
4 3 12 4
所以T π ，则 2，故 f x 2sin 2x ，
又 f x 2π 2π π的图象过点 , 2÷，所以 2 2kπ,k Z，
è 3 3 2
5π所以 2kπ,k Z < π
5π
，又 ，所以 ，
6 6
f (x) 5π则 2sin

2x

÷，
è 6
g x f (x π则 ) 2sin 2(x
π) 5π ÷ 2sin

2x
π

4 ÷
.
è 4 6 è 3
当 x 0, t 时， 2x π π éê , 2t
π
ù
3 3 3 ú
，

2x π π 4π x 5π当 或 .即 x 0或 时， g x 3，
3 3 3 6
2x π π 5π当 ，即 x 时， g x 2，
3 2 12
所以 t
é5π , 5π ù的取值范围为
ê12 6 ú
.

故选：C.
1．（2024·福建漳州·一模）已知函数 f x 2cos 3x π é ÷在 ê0,
a ù
ú 上单调递减，则实数 a的最大值为（6 6 ）è
2π 4π 5π 3π
A． B． C． D．
3 3 3 2
【答案】C
【分析】以3x
π
为整体，结合余弦函数性质分析求解.
6
【详解】因为 x
é0, a ù 3x π é π , a π ùê ú ，则 ， 6 6 ê 6 2 6 ú
π a π π 0 a 5π由题意可得 < ，解得 < ，即实数 a
5π
的最大值为 .
6 2 6 3 3
故选：C.
π
2．（23-24 高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数 f (x) 3sin 2x ÷在 ( m, m)上单调递减，则m 的最大值
è 3
为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
【答案】A
【分析】利用诱导公式及正弦函数的单调性计算即可.
π π
【详解】易知 f (x) 3sin 2x ÷ 3sin

2x

÷，m > 0，
è 3 è 3
x ( m, m) 2x π 2m π π , 2m 在 时，
3 3 3 ÷
，
è
π
显然 2m < 0，
3
若要符合题意，且m 能取得最大值，结合正弦函数的单调性可知需满足：
ì π π
2m 2 3 0 πí < m m
π
，故 的最大值为 .
π 2m π 12 12
2 3
故选：A
2π π
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）将函数 f x 2cos 2x 3 ÷ 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 g x è 6
的图象，若函数 g x 在 t, 2t t >

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