资源简介

第 06 讲 函数与方程
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 7 题,5 分 求函数零点或方程根的个数 正弦函数图象的应用
函数奇偶性的定义与判断
2024 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分 根据函数零点的个数求参数范围 函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
求含 sinx(型)函数的值域和最值
2024 年新Ⅱ卷，第 9 题,6 分 求函数零点或方程根的个数 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
函数对称性的应用
2024 年新Ⅱ卷，第 11 题,6 分 判断零点所在的区间 函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
根据函数零点的个数
2023 年新 I 卷，第 15 题,5 分 余弦函数图象的应用
求参数范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定
义，难度不定，分值为 5-6 分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个
数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
1、函数的零点
一般的，对于函数 y = f x ，我们把方程 f x = 0的实数根 x0 叫作函数 y = f x 的零点。
2、零点存在性定理
如果函数 y = f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f a × f b < 0 ，那么函数
y = f x 在区间 a,b 内必有零点，即$x0 a,b ，使得 f x0 = 0
注：零点存在性定理使用的前提是 f x 在区间 a,b 连续，如果 f x 是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设 f x 在区间 a,b 连续）
（1）若 f a × f b < 0 ，则 f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析 f x 的性质
与图象，如果 f x 单调，则“一定”只有一个零点
（2）若 f a × f b > 0 ，则 f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 f x 单调，那么
“一定”没有零点
（3）如果 f x 在区间 a,b 中存在零点，则 f a × f b 的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。
如果 f x 单调，则 f a × f b 一定小于 0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
f x 是一个在 a,b 单增连续函数， x = x0 是 f x 的零点，且 x0 a,b ，则 x a, x0 时，
f x < 0； x x0 ,b 时， f x > 0
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若 f x , g x 为增（减）函数，则 f x + g x 也为增（减）函数
② 若 f x 为增函数，则- f x 为减函数；同样，若 f x 为减函数，则- f x 为增函数
③ 若 f x , g x 为增函数，且 f x , g x > 0 ，则 f x × g x 为增函数
（2）复合函数单调性：判断 y = f g x 的单调性可分别判断 t = g x 与 y = f t 的单调性（注意要利
用 x 的范围求出 t 的范围），若 t = g x ， y = f t 均为增函数或均为减函数，则 y = f g x 单调递增；
若 t = g x ， y = f t 一增一减，则 y = f g x 单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 f x
（3）分析函数 f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点及零点个数
1 x．（2024·山东青岛·二模）函数 f x = a - a(a > 0，a 1)的零点为（ ）
A．0 B．1 C． 1,0 D． a
【答案】B
【分析】令 f x = a x- a = 0，解出 x 即可.
【详解】因为 f x = a x- a(a > 0，a 1)，
令 f x = a x- a = 0，解得 x =1，
即函数的零点为 1.
故选：B.
2．（2024·江苏·一模）函数 f x = sin 2x
π
+ ÷在区间 0, 2π 内的零点个数为（ ）
è 3
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】利用三角函数的性质求解即可.
f x = sin 2x π+ = 0 2x π kπ x π kπ【详解】令 ÷ ，得 + = ，则 = - + , k Z ；
è 3 3 6 2
π 5 4
故 k =1, x = ;k = 2, x = π， k = 3, x = π;k = 4, x
11
= π ，
3 6 3 6
所以 f x 在 0, 2π 共有 4 个零点，
故选： C.
3．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数 y = x +10x 的零点为x1， y = x + lg x 的零点为x2，则
（ ）
A． x1 + x2 > 0 B． x1x2 < 0
C 10x． 1 + lg x2 = 0 D． 4x1x2 - 2x1 + 2x2 <1
【答案】BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】∵函数 y = x +10x 的零点为x1， y = x + lg x 的零点为x2，
∴函数 y = -x与函数 y =10x图象的交点的横坐标为x1，
函数 y = -x与函数 y = lg x 图象的交点的横坐标为x2，
作函数 y = -x、函数 y =10x、函数 y = lg x 的图象如图 6，点 A 的横坐标为x1，点 B 的横坐标为x2，
∵函数 y =10x与函数 y = lg x 的图象关于直线 y = x 对称，函数 y = -x的图象关于直线 y = x 对称，
∴点 A、B 关于直线 y = x 对称，又∵点 A、B 在直线 y = -x上，∴点 A、B 关于原点对称，
对于 A：∴ x1 + x2 = 0，故选项 A 错误；
对于 B：易知 x1x2 < 0 ，故选项 B 正确；
C ∵10x对于 ： 1 = -x1， lg x2 = -x2 ， x1 + x = 0
x
，∴10 12 + lg x2 = 0，即选项 C 正确；
1 x 0 0 x 1 x
1
+ x 1- < 0 1 1 1对于 D：由零点存在定理易知- < 1 < ， < 2 < ，∴ 1 ÷ 2 ÷ ，即 x1x2 - x1 + x2 - < 0，2 2 è 2 è 2 2 2 4
4x1x2 - 2x1 + 2x2 <1，故选项 D 正确，
故选:BCD．
1．（2023·上海徐汇·一模）函数 y = lg(2x +1) + lg x 的零点是 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】
利用对数运算及零点含义可得答案.
【详解】由题意可得函数的定义域为 0, + .
1
y = lg(2x +1) + lg x = lg(2x2 + x) ，令 y = 0 可得2x2 + x = 1，解得 x = 或 x=-1（舍），2
1
故答案为： 2 .
2．（2024·河北·模拟预测）函数 f (x) = cos3x - 4sin2x在区间 -2024π,2024π 内所有零点的和为（ ）
A．0 B．-2024π C．1012π D．-1012π
【答案】B
5 - 2
【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化简函数 f (x) ，由零点意义求得 cos x = 0或 sin x = ，再借
2
助正余弦函数图象性质求解即得.
【详解】依题意， f (x) = cos(2x + x) - 4sin 2x = cos 2x cos x - sin 2x sin x -8sin x cos x
= (1- 2sin2 x) cos x - 2sin2 x cos x -8sin x cos x = cos x(1- 4sin2 x -8sin x) ，
由 f (x) = 0 ，得 cos x = 0或 sin x 5 - 2 - 5 - 2= 或 sin x = （不符合题意，舍去），
2 2
函数 y = cos x是偶函数，在 -2024π,2024π 上的所有零点关于数 0 对称，它们的和为 0，
正弦函数 y = sin x 的周期为 2π，方程 sin x = a(0 < a <1)在[0, 2π]的两根和为 π，
在[-2π,0] 5 - 2上的两根和为 -3π，因此 sin x = 在[2kπ,2(k +1)π],-1012 k 1011,k Z 上
2
的两根和构成首项为-4047π，末项为 4045π的等差数列，共有 2024项，所有根的和为-2024π .
故选：B
3．（2024·河北· x模拟预测）（多选）已知函数 f x = e + 2x - 2, g x = 2lnx + x - 2的零点分别为 x1, x2 ，则
（ ）
A． 2x1 + x2 = 2 B． x1x2 = e
x1 + lnx2
C． x
4
1 + x2 > D． 2x3 1
x2 < e
【答案】ACD
x
【分析】对于 A，由题意得 e 1 + 2x1 = 2lnx + x
x
2 2 = 2，进而得 e 1 = x2 即可求解判断；对于 B，先明确零点取值
x x
范围，由x1取值范围再结合 e 1 = x2 即 x1 = ln x2 即可求解判断；对于 C，由 e 1 = x2 即 x1 = ln x2 以及零点x2的
x x
取值范围即可求解判断；对于 D，结合 AB 以及将 2x1x2 转化成 2 - e 1 e 1 即可判断.
x
【详解】对于 A，由题 e 1 + 2x1 - 2 = 0， 2lnx2 + x2 - 2 = 0 ，
x x
所以 e 1 + 2x 11 = 2lnx2 + x2 = 2即 e + 2ln e
x1 = 2lnx2 + x2 = 2 ，
x
所以 e 1 = x ，故 2x + x = 2x + ex12 1 2 1 = 2，故 A 正确；
x 1
对于 B，由 f x = 0, g x = 0得 e = -2x + 2, lnx = - x +1，
2
1
故函数 y=ex 与 y = -2x + 2图象交点横坐标和 y = ln x 与 y = - x +1图象交点的横坐标即为函数 f x 和 g x
2
的零点 x1, x2 ，
1
如图，由图象性质可知0 < x1 < ,1 < x2 < 2，2
x
又由 A 得 e 1 = x2 ，故 x1 = ln x2 ，
所以 x1x2 = x1e
x1 < ex1 < ex1 + x = ex11 + lnx2 ，故 B 错；
对于 C，由上 2lnx2 + x2 - 2 = 0 即 2lnx2 + x2 = 2， x1 = ln x2 以及1< x2 < 2 得：
x1 + x2 = ln x x
2ln x
+ = 2
+ 2x2 1
2 2 =1+ x
3 4
2 > > ，故 C 对；2 2 2 3
1
对于 D，由 AB 得 ex1 = x x2 ，0 < x < ， 2x = 2 - e 11 <1，2 1
所以 2x1x2 = 2x e
x1 = 2 - ex1 ex11 < ex1 < e ，故 D 对.
故选：ACD.
x x
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由 e 1 + 2x1 - 2 = 0和 2lnx2 + x - 2 = 0 得 e 12 = x2 即 x1 = ln x2 ，二是数
形结合明确零点的取值范围为0 < x
1
1 < 且1< x2 < 2 ，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断.2
考点二、求方程的根及根的个数
1
1．（2024·浙江金华·三模）若函数 f x = x + x ，则方程 f f x = 3的实数根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】求导得到函数单调性，画出函数图象，令 f x = t ，则 f t = 3，且
t1 -1,0 , t2 0,1 , t3 2, + ，当 f x = t1 -1,0 时，结合图象可知，只有 1 个解 x4，当 f x = t2 0,1
时，结合图象可知，只有 1 个解 x5 ，当 f x = t3 2, + 时，结合图象可知，由 3 个解 x6 , x7 , x8 ，从而得到
答案.
ìx 1 + , x > 01
【详解】 f x = x + = x ，
x í x 1- , x < 0
x
1
当 x < 0 时， f x = x - ，则 f x 1=1+ 2 > 0，x x
f x x 1此时 = - 在 - ,0 上单调递减，
x
1 2
x > 0 1 x -1当 时， f x = x + ，则 f x =1- = ，x x2 x2
故当 x >1时， f x > 0，当0 < x <1时， f x < 0，
故 f x = x 1+ 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，
x
画出函数 f x 和 y = 3的图象如下：
x 1+ = 3 3- 5 3 + 5令 得，
x x2 = , x3 =2 2
故 x1 -1,0 , x2 0,1 , x3 2, + ，
令 f x = t ，则 f t = 3，且 t1 -1,0 , t2 0,1 , t3 2, + ，
当 f x = t1 -1,0 时，结合图象可知，只有 1 个解 x4，
当 f x = t2 0,1 时，结合图象可知，只有 1 个解 x5 ，
当 f x = t3 2, + 时，结合图象可知，由 3 个解 x6 , x7 , x8 ，
综上，方程 f f x = 3的实数根的个数为 5.
故选：D
ìx2 - 2x + 3, x > 0
2．（2024·浙江温州·三模）已知函数 f x = í x ，则关于 x 方程 f x = ax + 2的根个数不可能
2 , x 0
是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
【答案】C
【分析】将原问题转化为直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象交点的个数，作出 y = f (x) 的图象，分 a > 0、
a = 0、 a<0三种情况，结合图象求解即可．
【详解】作出函数 y = f (x) 的图象，如图所示：
将原问题转化为直线 y = ax + 2（过定点 0,2 ）与函数 y = f (x) 的图象交点的个数，
由图可知，当 a = 0时，直线 y = 2与函数 y = f (x) 的图象只有一个交点；
当 a<0时，直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象没有交点；
当 a > 0时，直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象有三个交点；
所以直线 y = ax + 2与函数 y = f (x) 的图象不可能有两个交点．
故选：C．
1
1．（23-24 2高三下·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = x - x + ÷sin πx，则方程 f x =1在区间 -2,3 上的所
è 4
有实根之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
1 1 1
【分析】首先确定 f (x) 的图象关于 x = 对称，然后分 x = 和 x 2 两种情况进行讨论，利用数形结合的方2 2
y 1= 2 1
法，在同一直角坐标系中画出 y = sin πx、 x 1- ，通过判断两函数在
,3ú 上的交点个数即可求出 2
è 2 ÷
è

函数 f x =1的实根和.
2
【详解】因为 f x x2 1 1= - x +

÷sin πx =
x - ÷ sin πx，
è 4 è 2
2 2
f 1- x 1= 1- x - 则 ÷ sin π 1 x
x 1 - = - ÷ sin πx = f x ，è 2 è 2
f x x 1 1 所以 的图象关于 = 对称，因为 f ÷ = 0，此时 f x =1不成立，2 è 2
2 sin πx 1=
当 x
1
时，由 f x =1 12 ，即 x -

÷ sin πx
2
=1，则 1 ，
è 2 x - 2 ÷è
sin 2π 1 4 1 4= 0 < 2 = sin
5
π
1 1 1÷ = > 2 = sin 3π = 0 < =
9 2 4
2 25
2
1
- ， è 5 1 ， 3 1 ，
è 2 ÷
-
2 2 ÷
-
2 ÷è è
y 1= 2
在同一平面直角坐标系中画出 1 与 y = sin πx， x -2,3x - 的图象如下所示： ÷
è 2
y 1=
由图可得 1
2
与 y = sin πx
1
在 ,3
1
x - ú 上有且仅有 2个交点，图象都关于 x = ， 2 ÷ è
2 2
è
所以所有的实根之和为1 2 = 2 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是判断出 f x 关于 x 1= 对称，再将方程的解转化为函数与函数的交点横坐
2
标，根据对称性计算.
ì log5 1- x x <1 1
2．（22-23 高一上·上海·期末）已知 f x = í ，则方程 f x + - 2÷ = a a R 的实数根个
- x - 2
2 + 2 x 1 è x
数不可能为（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【答案】A
【分析】作出 f x 1的图象，令 g x = x + - 2 ，由对勾函数的性质作出 g x 的图象，再对 a分类讨论，将
x
1
问题转化为关于 x 的方程 x + - 2 = xi （具体到每种类型时 xi 为常数）的解的个数问题.x
ì log5 1- x x <1
【详解】因为 f x = í ，
- x - 2
2 + 2 x 1
当 x 1时 f x = - x - 2 2 + 2，则 f x 在 1,2 上单调递增，在 2, + 上单调递减，
又 f 1 = f 3 =1， f 2 = 2， f 2 + 2 = 0，
ì- log5 1- x ,0 < x <1
当 x < 0 时 f x = log5 1- x = í ，
log5 1- x , x 0
所以 f x 在 0,1 上单调递增，在 - ,0 上单调递减，
f 0 0 f 24= = 2 f -24 = 2 f 4 且 ， ÷ ， ， ÷ =1， f -4 =1，
è 25 è 5
ì log5 1- x x <1
作出 f x = í 的图象，如图所示：
- x - 2
2 + 2 x 1
g x 1令 = x + - 2 ，由对勾函数的性质可知 g x 在 0,1 ， -1,0 上单调递减，
x
在 - ,-1 ， 1, + 上单调递增，且 g 1 = 0， g -1 = -4，则 g x 的图象如下所示：
x 1 2 x 24 24 1①当 a > 2时，令 + - = 1 < - 或 < x + - 2 = x <1，x 25 x 2
则关于 x x
1 2 x 1的方程 + - = 1有两个实数解，关于 x 的方程 x + - 2 = x2 的方程也有两个实数解，x x
即此时对应 x 的个数为 4，（以下处理方法类似）；
1 1 24 1
②当 a = 2时，令 x + - 2 = -24或 x + - 2 = 或 x + - 2 = 2，此时对应 x 的个数为 6；
x x 25 x
③当1 < a < 2 时，
24 x 1令- < + - 2
4 1
= x3 < -4或 < x + - 2 = x
24 1
4 < 或1< x + - 2 = x5 < 2或 2 < x
1
+ - 2 = x < 3，
x 5 x 25 x x 6
此时对应 x 的个数为8；
1
④当 a =1时， x + - 2
1
= -4或 x + - 2
4 1
= 或 x + - 2 1 x
1
= 或 + - 2 = 3，此时对应 x 的个数为 7 ；
x x 5 x x
1
⑤当 0 < a < 1时，-4 < x + - 2 = x7 < 0或0 < x
1 2 x 4 3 1+ - = 8 < 或 < x + - 2 = x9 < 2 + 2 ，此时对应 x 的个x x 5 x
数为 4；
x 1 2 0 x 1⑥当 a = 0时， + - = 或 + - 2 = 2 + 2 ，此时对应 x 的个数为 3；
x x
1
⑦当 a<0时， x + - 2 = x10 > 2 + 2 ，此时对应 x 的个数为 2.x
综上可知，实数根个数不可能为 5 个.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是作出 f x 的图象，再对 a分类讨论，将问题转化为关于 x 的方程
x 1+ - 2 = xi （具体到每种类型时 xi 为常数）的根的问题.x
考点三、求图象的交点及交点个数
1．（2024·全国·高考真题）当 x [0, 2p ]时，曲线 y = sin x 与 y = 2sin 3x
p
- ÷的交点个数为（6 ）è
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】画出两函数在 0,2π 上的图象，根据图象即可求解
【详解】因为函数 y = sin x 的的最小正周期为T = 2π，
函数 y = 2sin

3x
π
- 2π÷的最小正周期为T = ，
è 6 3
π
所以在 x 0,2π 上函数 y = 2sin 3x - ÷有三个周期的图象，
è 6
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有 6 个交点.
故选：C
π
2．（2023·全国·高考真题）函数 y = f x 的图象由函数 y = cos π 2x + 6 ÷的图象向左平移 个单位长度得到，è 6
则 y = f x 1 1的图象与直线 y = x - 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
1 1
【分析】先利用三角函数平移的性质求得 f x = -sin 2x，再作出 f x 与 y = x - 的部分大致图像，考虑
2 2
1
特殊点处 f x 与 y = x 1- 的大小关系，从而精确图像，由此得解.
2 2
π π
【详解】因为 y = cos 2x + ÷向左平移 个单位所得函数为 y = cos
π π π
è 6 6 ê
2 x + ÷ + ú = cos 2x + ÷ = -sin 2x ，
è 6 6 è 2
所以 f x = -sin 2x，
1
而 y
1 1
= x - 0, - 显然过 ÷ 与 1,0 两点，2 2 è 2
f x y 1 x 1作出 与 = - 的部分大致图像如下，
2 2
3π
考虑 2x = - , 2x
3π ,2x 7π= = ，即 x
3π , x 3π , x 7π 1 1= - = = 处 f x 与 y = x - 的大小关系，
2 2 2 4 4 4 2 2
3π f 3π sin 3π 1 3π 1 3π + 4当 x = - 4 时，
- ÷ = -4
- = -1， y = - - = - < -1；
è è 2 ÷ 2 ÷è 4 2 8
3π f 3π sin 3πx = - =1 y 1 3π 1 3π - 4当 = 时， ÷ ， = - = <1；4 è 4 2 2 4 2 8
7π f 7π sin 7πx = - =1 y 1 7π 1 7π - 4当 = 时， ÷ ， = - = >1；4 è 4 2 2 4 2 8
1 1
所以由图可知， f x 与 y = x - 的交点个数为3 .
2 2
故选：C.
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y = cosx与 y = lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 y = cosx与 y = lg x 都是偶函数，其中 cos 2π = cos 4π =1， lg 4π > lg10 =1 > lg 2π，
在同一坐标系中，作出函数 y = cosx与 y = lg x 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为 6.
故选：D
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin(wx
p p
+ j)(w > 0,- < j < )
4 4 的零点为
x 轴上的所有整数，则函数 f (x)
的图象与函数 g(x)
2
= x
5 的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【分析】由题意明确函数的表达式，数形结合求出二者的交点个数.
【详解】因为函数 f (x) 的零点为 x 轴上的所有整数，所以函数 f (x) 的最小正周期T = 2，
w 2p= = p f (0) = 2sinj = 0 p p所以 ，且 ，结合 - < j < ，可得j = 04 4 ，T
所以 f (x) = 2sinp x ．
作出函数 f (x) 与函数 g(x)的图象，如下图所示，
可知函数 f (x) 的图象与函数 g(x)的图象有11个交点，
故选：D．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令 f x = 0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 a,b 上是连续不断的曲线，且 f a × f b < 0 ，还必须结
合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同
的值，就有几个不同的零点．
考点四、用零点存在性定理判断零点所在区间
1
1．（2022 高三·全国·专题练习）函数 f x = lnx - 的零点所在的大致区间是（
x ）
1
A． ,1÷ B． 1,2 Ce ． 2,e D． 2,3 è
【答案】B
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】 f x = ln x 1- 的定义域为 0, + ，
x
y = ln x y 1又 与 = - 在 0, + 上单调递增，
x
1
所以 f x = ln x - 在 0, + 上单调递增，
x
又 f (1) = -1 < 0 ， f (2) ln 2
1
= - > 0，
2
所以 f 1 × f 2 < 0，
1
根据函数零点存在性定理可得函数 f x = lnx - 的零点所在的大致区间为 1,2 ，
x
故选：B.
2．（23-24 高三上· x 3浙江宁波·期末）函数 f x = 2 + x - 9的零点所在区间为（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】根据零点存在性定理进行求解.
【详解】由已知，可知 f (x) 为增函数，
且 f (1) = 2 +1- 9 = -6 < 0，
f (2) = 4 + 8 - 9 = 3 > 0，
根据零点存在定理，函数 f (x) 在 1,2 有零点，且零点是唯一的.
故选：B
1
1．（23-24 高三下·北京·阶段练习）函数 f x = ln 2x - 的一个零点所在的区间是（
x ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
【答案】B
【分析】先判断 f x 的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
1
【详解】因为 f x 的定义域为 0, + ，且 y = ln 2x , y = - 在 0, + 内单调递增，
x
可知 f x 在 0, + 内单调递增，
且 f 1 = ln 2 -1< 0, f 2 ln 4 1= - > 0，
2
所以函数 f x 的唯一一个零点所在的区间是 1,2 .
故选：B.
2 2．（2024·陕西安康·模拟预测）函数 f x = lnx + x - 2的零点所在区间是（ ）
2 2
A． 0, 2 ÷÷
B． ,12 ÷÷
C． 1, 2 D． 2, 2
è è
【答案】C
【分析】由零点存在性定理可得答案.
1
【详解】因为函数 f x 的定义域为 0, + ，又 f x = + 2x > 0 ，易知函数 f x 在 0, + 上单调递增，
x
又 f 1 = -1 0, f 2 ln 2 1= = ln2 0，所以在 1, 2 内存在一个零点 x0 ，使 f x0 = 0 .2
故选：C.
考点五、根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
1 2．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) =a(x+1) -1， g(x) = cos x + 2ax，当 x (-1,1)时，曲线 y = f (x) 与
y = g(x) 恰有一个交点，则a = （ ）
A 1． -1 B． 2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令F x = ax2 + a -1,G x = cos x，分析可知曲线 y = F (x)与 y = G(x)恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在 y 轴上，即可得 a = 2，并代入检验即可；解法二：令
h x = f (x) - g x , x -1,1 ，可知 h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 h x 的零点只能为 0，即可得
a = 2，并代入检验即可.
【详解】解法一：令 f (x) = g x ，即 a(x +1)2 -1 = cos x + 2ax ，可得 ax2 + a -1 = cos x，
令F x = ax2 + a -1,G x = cos x，
原题意等价于当 x (-1,1)时，曲线 y = F (x)与 y = G(x)恰有一个交点，
注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在 y 轴上，
可得F 0 = G 0 ，即 a -1 =1，解得 a = 2，
若 a = 2，令F x = G x ，可得 2x2 +1- cos x = 0
因为 x -1,1 ，则 2x2 0,1- cos x 0 ，当且仅当 x = 0时，等号成立，
可得 2x2 +1- cos x 0，当且仅当 x = 0时，等号成立，
则方程 2x2 +1- cos x = 0 有且仅有一个实根 0，即曲线 y = F (x)与 y = G(x)恰有一个交点，
所以 a = 2符合题意；
综上所述： a = 2 .
解法二：令 h x = f (x) - g x = ax2 + a -1- cos x, x -1,1 ，
原题意等价于 h x 有且仅有一个零点，
因为 h -x = a -x 2 + a -1- cos -x = ax2 + a -1- cos x = h x ，
则 h x 为偶函数，
根据偶函数的对称性可知 h x 的零点只能为 0，
即 h 0 = a - 2 = 0，解得 a = 2，
若 a = 2，则 h x = 2x2 +1- cos x, x -1,1 ，
又因为 2x2 0,1- cos x 0 当且仅当 x = 0时，等号成立，
可得 h x 0，当且仅当 x = 0时，等号成立，
即 h x 有且仅有一个零点 0，所以 a = 2符合题意；
故选：D.
ì x-1
2．（2024·安徽合肥·三模）设 a R ，函数 f x 2 -1, x 0= í ，若函数 y = f f2 x 恰有 5 个零点，则实 -x + ax, x < 0
数 a的取值范围为（ ）
A． -2,2 B． 0,2 C． -1,0 D． - , -2
【答案】D
【分析】设 t = f x ，可确定当 x 0 时，函数的零点个数，继而作出 y = f x 的大致图像，考虑 x < 0 时的
图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【详解】设 t = f x ，当 x 0 时， f x = 2 x-1 -1，此时 t 0，
f t = 0 t =1 f x = 2 x-1由 得 ，即 -1 =1，解得 x = 0或 x = 2，
所以 y = f f x 在 0, + 上有 2 个零点；
a
x < 0 时，若 a 0, f x = -x2 + ax ，对称轴为 x = ，函数 y = f x 的大致图象如图：
2
2
此时 f x = -x + ax < 0，即 t < 0，则 f t < 0，
所以 f t = 0无解，则 t = f x 无零点， y = f f x 无零点，
综上，此时 y = f f x 只有两个零点，不符合题意，
若 a < 0，此时 f x 的大致图象如下：
令-t 2 + at = 0，解得 t = a < 0（ t = 0舍去），
显然 f x = a在 - ,0 上存在唯一负解，
所以要使 y = f f x 恰有 5 个零点，
f a a
2 a2
需 ÷ >1，即- + > 1，解得 a < -2，
è 2 4 2
所以 a - ,-2 ．
故选：D
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法: 先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;
（3）数形结合法: 先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
3．（23-24 高一上·重庆·期中）已知 a > 0，若关于 x 的方程 4a x - 4x2 + 20x - 25 = 0 在[1,2)上有解，则 a 的取
值范围为（ ）
1 9 1 9
A． ê , ÷ B．4 4
,
è 2 4ú

C． 0,
1 U 9÷ ê ,+

÷ D． 0,
1
ú U
9
, +

4 4 2 4 ÷è è è
【答案】B
2 2

【分析】根据已知可得 a x - x
5
- ÷ = 0 .当 0 < a < 1时，设 f x = a
x g x = x 5- ， ÷ ，根据函数的单调性以
è 2 è 2
及函数增长速度的快慢，结合函数图象，列出不等式，求解即可得出；当 a =1时，代入方程求解，即可判
5
2
断；当 a > 1时，设 h x = a x - x -

÷ ，根据函数的单调性，结合零点存在定理，列出不等式组，求解即可
è 2
得出答案.
25 5 2
【详解】由已知可得， a x - x2 - 5x +
x
4 ÷
= a - x - ÷ = 0 .
è è 2
2
当 0 < a < 1时，设 f x = a x， g x = x
5
-
2 ÷
，
è
2
f x = a x函数 在[1,2)上单调递减， g x = 5 x - ÷ 在[1,2)上单调递减.
è 2
2
但是函数 f x = a x 5 的递减的速度要慢于函数 g x = x - 2 ÷ 的递减速度，è
2
且 g 1 = 1
5 9- ÷ = >1 > a = f 1 .
è 2 4
2
作出函数 f x = a x以及 g x = x
5
- ÷ 的图象
è 2
2
如图，要使 f x = a x与 g x 5= x - ÷ 在[1,2)上有交点，
è 2
应满足 f 2 > g 2 a2 1，即 > .
4
1
又 0 < a < 1，所以 < a <1；
2
当 a =1时，由已知可得 4 - 4x2 + 20x - 25 = 0，
整理可得 4x2
3 7
- 20x + 21 = 0 ，解得， x = 或 x = （舍去），2 2
3
此时方程有解 ，满足；
2
2
当 a > 1时，设 h x = a x - x 5 -

÷ ，
è 2
2
5
函数 y = a x 以及 y = - x - ÷ 均为[1,2)上的增函数，
è 2
2
所以， h x = a x - x
5
- ÷ 在[1,2)上单调递增.
è 2
要使 h x = 0 在[1,2)上有解，根据零点存在定理可知，
ìa 9 - 0
ìh 1 0 4

应有 íh 2 0 a2 1> ，即 í - > 0 1 a 9，解得 < .
4 4
a >1 a >1

1 9
综上所述， < a .
2 4
故选：B.
1．（2024·全国·高考真题）曲线 y = x3 - 3x 与 y = - x -1 2 + a 在 0, + 上有两个不同的交点，则 a的取值范
围为 ．
【答案】 -2,1
2 3 2
【分析】将函数转化为方程，令 x3 - 3x = - x -1 + a ，分离参数 a，构造新函数 g x = x + x - 5x +1,结合
导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
2 3 2
【详解】令 x3 - 3x = - x -1 + a ，即 a = x3 + x2 - 5x +1，令 g x = x + x - 5x +1 x > 0 ,
则 g x = 3x2 + 2x - 5 = 3x + 5 x -1 ，令 g x = 0 x > 0 得 x =1，
当 x 0,1 时， g x < 0， g x 单调递减，
当 x 1, + 时， g x > 0， g x 单调递增， g 0 =1, g 1 = -2，
因为曲线 y = x3 - 3x 与 y = - x -1 2 + a 在 0, + 上有两个不同的交点，
所以等价于 y = a 与 g x 有两个交点，所以 a -2,1 .
故答案为： -2,1
2．（22-23 高三上·河北张家口·期末）（多选）已知 x >1，方程 x - (x -1)2x = 0 ， x - (x -1) log2 x = 0 在区间
(1, + )的根分别为 a，b，以下结论正确的有（ ）
A．b - a = 2a log
1 1
- 2 b B． + =1a b
C． a + b < 4 D．b - a >1
【答案】ABD
【分析】题意说明 a,b分别是函数 f (x) = 2x 和 g(x) = log2 x
x
的图象与函数 y = x -1 的图象交点的横坐标，利用
这三个函数图象都关于直线 y = x 对称得 a = g(b) log b
b b f (a) 2a a= 2 = ， = = = ， 直接变形判断 AB，b -1 a -1
3 8
利用不等式知识判断 C，由零点存在定理确定 a ( , ) ，构造函数 y = b - a ，确定其单调性，由单调性判
2 5
断 D．
x x x
【详解】已知两方程化为 = 2 ， = log x，
x -1 x -1 2
所以 a,b分别是函数 f (x) = 2x 和 g(x) = log x2 x的图象与函数 y = x -1 的图象交点的横坐标，
易知 f (x) = 2x 和 g(x) = log2 x的图象关于直线 y = x 对称，
而函数 y = xx 1 = 1+
1 1
- x -1 的图象可以看作是由 y = x 的图象向右平移
1 个单位，再向上平移 1 个单位得到的，
y = x因此 y = xx -1 的图象也关于直线 对称，所以点 (a, f (a))与 (b, g(b)) 关于直线 y = x 对称，
a = g(b) b= log2 b = ，b f (a) 2
a a= = = ，
b -1 a -1
b - a = 2a - log2 b，A 正确；
又b = f (a) 2a
a 1 1= = = + ，所以 (a -1)(b -1) =1， ab = a + b ，
a -1 a -1
1 1
从而 + =1，B 正确；
a b
a b a f (a) a 2a a a 1+ = + = + = + = a -1+ + 2 4，
a -1 a -1
1
当且仅当 a -1 = 即 a = 2时取等号，
a -1
2
由于 = 2，而 22 = 4，因此 a 2，等号不成立，即 a + b > 4 ，C 错误，2 -1
b a a 1- = - a =1- a + ，
a -1 a -1
3
设 h(x)
x
= - 2x h(3，则 ) = 3 - 22 = 3 - 8 > 0，
x -1 2
8 15 8
h(8) 8= - 25 7 5 2 8 8， 2 < 3 5
5 3 35
< 2 < 2 ，
3
所以 h(
8) < 0 3 8，所以 a ( , ) ，
5 2 5
y 1 a 1 a (3 , 8 16 1 3a > 1时， = - + 是减函数，所以由 ) 得 <1- a + < ，
a -1 2 5 15 a -1 2
b 16所以 - a > >1，D 正确．
15
故选：ABD．
【点睛】关键点睛：本题考查函数零点与方程根的关系，解题关键是确定 a,b分别是函数 f (x) = 2x 和
g(x) = log x2 x的图象与函数 y = x -1 的图象交点的横坐标，利用这三个函数图象都关于直线 y = x 对称得出
a,b的关系．
3．（2024·天津·高考真题）若函数 f x = 2 x2 - ax - ax - 2 +1恰有一个零点，则 a的取值范围为 ．
【答案】 - 3,-1 1, 3
ì
ax - 3, x
2

【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数 g x = 2 x2 - ax 与 h x = aí ，则两函
1- ax, x 2<
a
数图象有唯一交点，分 a = 0、 a > 0与 a < 0进行讨论，当 a > 0时，计算函数定义域可得 x a或 x 0 ，计
算可得 a 0,2 时，两函数在 y 轴左侧有一交点，则只需找到当 a 0,2 时，在 y 轴右侧无交点的情况即可
得；当 a < 0时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令 f x = 0，即 2 x2 - ax = ax - 2 -1，
由题可得 x2 - ax 0，
当 a = 0时， x R ，有 2 x2 = -2 -1 =1 x 2，则 = ± ，不符合要求，舍去；
2
ì
ax - 3, x
2

当 a > 0 2时，则 2 x - ax = ax - 2 -1 =
a
í 2 ， 1- ax, x <
a
ì
ax - 3, x
2

即函数 g x = 2 x2 - ax 与函数 h x = aí 有唯一交点，
1- ax, x 2<
a
由 x2 - ax 0，可得 x a或 x 0 ，
当 x 0 时，则 ax - 2 < 0，则 2 x2 - ax = ax - 2 -1 =1- ax ，
即 4x2 - 4ax = 1- ax 2 ，整理得 4 - a2 x2 - 2ax -1 = 2 + a x +1 2 - a x -1 = 0，
a 2 4x 1 0 x 1当 = 时，即 + = ，即 = - 4 ，
当 a 0,2 x 1 1， = - 或 x = > 0 （正值舍去），
2 + a 2 - a
当 a 2, 1 1+ 时， x = - < 0或 x = < 0，有两解，舍去，
2 + a 2 - a
即当 a 0,2 时， 2 x2 - ax - ax - 2 +1 = 0在 x 0 时有唯一解，
则当 a 0,2 时， 2 x2 - ax - ax - 2 +1 = 0在 x a时需无解，
当 a 0,2 ，且 x a时，
ì
ax - 3, x
2

a 2 1 3
由函数 h x = í 关于 x =2 对称，令 h x = 0 ，可得 x = 或 x = ， 1- ax, x < a a a
a
且函数 h x 1 , 2 2 3 在 ÷ 上单调递减，在 , ÷ 上单调递增，
è a a è a a
2

x
a
- ÷ 2
令 g x = y = 2 x2 - ax y，即 è 2 2 - 2 =1，a a
4
x 2 y2
x a g x 2 - 2 =1 a故 时， 图象为双曲线 a a 右支的 x 轴上方部分向右平移 所得，2
4
x 2 y2
- =1 y
a
= ± a x = ±2x由 a2 a2 的渐近线方程为 ，
4 2
即 g x 部分的渐近线方程为 y = 2 x a- ÷，其斜率为2 2，è
ì
ax - 3, x
2

又 a 0,2 ，即 h x = aí 在 x 2 时的斜率 a 0,2 ，
1- ax, x 2< a
a
令 g x = 2 x2 - ax = 0 ，可得 x = a或 x = 0（舍去），
且函数 g x 在 a,+ 上单调递增，
ì1

< a
a
故有 í 3 ，解得1 < a < 3 ，故1< a < 3 符合要求； > a
a
ì
ax - 3, x
2

当 a<0 2时，则 2 x - ax = ax - 2 -1 =
a
í 2 ， 1- ax, x >
a
ì
ax - 3, x
2

即函数 g x = 2 x2 - ax a与函数 h x = í 2 有唯一交点， 1- ax, x >
a
由 x2 - ax 0，可得 x 0 或 x a，
当 x 0 时，则 ax - 2 < 0，则 2 x2 - ax = ax - 2 -1 =1- ax ，
即 4x2 - 4ax = 1- ax 2 2，整理得 4 - a x2 - 2ax -1 = 2 + a x +1 2 - a x -1 = 0，
a 2 x 1当 = - 时，即 4x -1 = 0，即 = ，
4
a -2,0 1 1当 ， x = - < 0（负值舍去）或 x = 0，
2 + a 2 - a
1 1
当 a - , 2 时， x = - > 0或 x = > 0 ，有两解，舍去，
2 + a 2 - a
即当 a -2,0 时， 2 x2 - ax - ax - 2 +1 = 0在 x 0 时有唯一解，
则当 a -2,0 时， 2 x2 - ax - ax - 2 +1 = 0在 x a时需无解，
当 a -2,0 ，且 x a时，
ì
ax - 3, x
2

由函数 h x = a 2 1 3í 2 关于 x = 对称，令 h x = 0 ，可得 x = 或 x = ， 1- ax, x > a a a
a
h x 2 , 1 3 2 且函数 在 a a ÷ 上单调递减，在 , ÷ 上单调递增，è è a a
x 2 y2
x a g x 2 - 2 =1 a同理可得： 时， 图象为双曲线 a a 左支的 x 轴上方部分向左平移 所得，2
4
g x y = -2 a 部分的渐近线方程为 x + ÷ ，其斜率为-2，
è 2
ìax 3, x 2 -
又 a -2,0 ，即 h x = a 2í 在 x < 时的斜率 a -2,0
1 ax, x 2
，
- < a
a
令 g x = 2 x2 - ax = 0 ，可得 x = a或 x = 0（舍去），
且函数 g x 在 - ,a 上单调递减，
ì1
> a a
故有 í 3 ，解得- 3 < a < -1，故- 3 < a < -1符合要求； < a
a
综上所述， a - 3, -1 U 1, 3 .
故答案为： - 3,-1 1, 3 .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数 f x 的零点问题转化为函数 g x = 2 x2 - ax 与函数
ì
ax - 3, x
2

h x = aí .
1 ax, x 2
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究
- <
a
一、单选题
1．（23-24 高一上·河北邢台·阶段练习）函数 f x = lnx + x -8的零点所在的区间为（ ）
A． 4,5 B． 5,6 C． 6,7 D． 7,8
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.
【详解】因为函数 y = ln x, y = x -8在 0, + 上都是增函数，
所以 f x 在 0, + 上单调递增，
因为 f 6 = ln6 - 2 < 0, f 7 = ln7 -1 > 0，所以 f x 的零点所在的区间为 6,7 .
故选：C.
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y＝ax2＋2x＋1 有且只有一个零点，则实数 a 的值为 （ ）
A．1 B．0
C．0 或 1 D．一切实数
【答案】C
【解析】略
3．（2024·山西·模拟预测）方程 4 | cos t | - t = 0 的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】作出函数 y1 = 4 cos t 和 y2 = t 的图象，由图象交点个数得出结论．
【详解】设 y1 = 4 | cos t |， y2 = t ．在同一直角坐标系内画出 y1 = 4 | cos t |与 y2 = t 的大致图象，
当 t = 5π时， y1 = 4 > 5π = y2；当 t = 6π时， y1 = 4 < 6π = y2 ．
根据图象可得两个函数共有 11 个交点．
故选：C．
4．（2024 高三上·全国·竞赛）方程 log x x + 2024 = 2的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
n
【分析】根据对数的定义 a = b a > 0, a 1 n = loga b 即可求解.
【详解】依题意，
原方程等价于 x2 = x + 2024 x > 0, x 1
即 x2 - x - 2024 = 0，显然只有一个正实根.
故选：B.
ìx2 + 2x, x 0,
5．（23-24 高一下·浙江·期中）已知函数 f x = í lgx , x 0, 则函数 g x = f x - 3的零点个数为（> ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据已知条件先画出 f x 在不同定义域内的图象，需要求解函数 g x = f x - 3的零点个数，令
f x - 3 = 0 ，利用函数的图象求解 f x 和 y = 3两个函数图象交点个数即可.
【详解】由题意可知， g x = f x - 3的零点个数可以转化为 f x 和函数 y = 3的图象交点个数，它们的函
数图象如图所示.
故选：C．
6．（23-24 高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 f x = 3x - t ln x 存在两个零点，则实数 t 的取值范围为（ ）
e ,+ e A． ÷ B． - , ÷ C． 3e, + D． - ,3e
è 3 è 3
【答案】C
3 ln x
【分析】采用参变分离法，将函数 f x = 3x - t ln x 存在两个零点转化为函数 y = 与函数 g(x) = 的图象
t x
ln x
有两个交点，利用导数探究函数 g(x) = 的图象及趋势特征即得参数范围.
x
3 ln x ln x
【详解】由 f x = 3x - t ln x = 0， x > 0，可得： = ，令 g(x) = ，
t x x
依题意，函数 f x = 3x - t ln x 3 ln x存在两个零点，等价于函数 y = 与函数 g(x) = 的图象有两个交点.
t x
g (x) 1- ln x又 = 2 ，当0 < x < e时， g (x) > 0， g(x)单调递增；当 x>e时， g (x) < 0， g(x)单调递减，x
故 x=e时， g(x) 1取得极大值 ，且当
e x 0
+ 时， g(x) - ，当 x + 时， g(x) 0+ ，
y 3 g(x) ln x 3故要使函数 = 与函数 = 的图象有两个交点.，需使0 < < e ，解得 t > 3e .
t x t
故选：C.
7．（23-24 高三下·福建厦门·强基计划） f (x) = tan x sin x - sin x - tan x +1在[0, 2π]上的零点个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】借助因式分解的方法，结合特殊角的三角函数值求解即得.
【详解】依题意， f (x) = tan x sin x - sin x - tan x +1 = (tan x -1)(sin x -1)，
而 x [0, 2π]
3π
，显然 x
π
且 x ，因此 sin x 12 ，2
由 f (x)
5
= 0 ，得 tan x 1 x π= ，解得 = x = π4 或 ，4
所以 f (x) 在[0, 2π]上的零点个数是 2.
故选：B
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 f 2x +1 g x = f x + 21-x x-1为偶函数，若函数 + 2 - 5的零点个数为奇
数个，则 f 1 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】C
【分析】由函数 g x 的图象关于 x =1对称得零点关于 x =1对称，但 g x 的零点个数为奇数个可得答案.
【详解】因为函数 f 2x +1 为偶函数，所以 f -2x+1 =f 2x+1 ，
所以 y = f x 的图象关于 x =1对称，
h x = 21-x + 2x-1令 - 5 x-1 1-x，则 h 2 - x = 2 + 2 - 5 = h x ，
可得函数 h x = 21-x + 2x-1 - 5的图象关于 x =1对称，
所以函数 g x = f x + 21-x + 2x-1 - 5的图象关于 x =1对称，
则函数 g x 的零点关于 x =1对称，但 g x 的零点个数为奇数个，
则 g 1 = f 1 +1+1- 5 = 0，所以 f 1 = 3 .
故选：C.
二、填空题
9．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = 2sin x - sin 2x在[0, 2π]所有零点之和为
【答案】3π
【分析】化简函数为 f x = 2sin x(1- cos x) ，令 f x = 0，求得方程的根，即可求解.
【详解】由 f x = 2sin x - sin 2x = 2sin x - 2sin x cos x = 2sin x(1- cos x)，
令 f x = 0，即 2sin x(1- cos x) = 0，解得 sin x = 0或 cos x =1，
因为 x [0, 2π]，所以 x = π 或 x = 0或 x = 2π ，所以零点之和为3π .
故答案为：3π .
ì1, x 0

10．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f（x）＝ í1 则使得方程 x＋f（x）＝m 有解的实数 m 的取值
, x > 0 x
范围是 ．
【答案】 - ,1 2, +
【分析】方程有解，利用求函数的值域即可得到参数的范围.
【详解】当 x 0 时， x + f x = m ，即 x +1 = m有解，则m 1；
1
当 x > 0时， x + f x = m ，即 x + = m 有解，则m 2，
x
即实数 m 的取值范围是 - ,1 2, + .
故答案为： - ,1 2, +
一、单选题
a +1
1．（2024· · x-a山东 模拟预测）已知函数 f x = e - x 1 ，则使 f x 有零点的一个充分条件是（ ）
x
A． a < -1 B．-1 < a < 0 C． 0 < a < 1 D． a > 1
【答案】D
1-a
【分析】首先判断 a > -1，此时可得 f x 的单调性，依题意可得 e1-a - a -1 0，令 g a = e - a -1，结合
函数的单调性及零点存在性定理得到存在 a0 0,1 使得 g a0 = 0，从而得到 f x 有零点的充要条件为
a a0，即可判断.
【详解】因为 f x = ex-a a +1- x 1 ，
x
x-a a +1当 a -1时 e > 0，- 0，所以 f x > 0， f x 没有零点，故 A 错误；x
a +1
当 a > -1时 y = ex-a 与 y = - 在 1, + 上单调递增，所以 f x 在 1, + 上单调递增，
x
f x = f 1 = e1-a - a -1min ，要使 f x 有零点，则需 f x 0min ，
即 e1-a - a -1 0，令 g a = e1-a - a -1，则 g a 在 -1, + 上单调递减，
2
且 g -1 = e > 0 ， g 0 = e -1 > 0， g 1 = -2 < 0，
所以存在 a0 0,1 使得 g a0 = 0，
所以 f x 有零点的充要条件为 a a0，
所以使 f x 有零点的一个充分条件是 a > 1 .
故选：D
2．（2024· x甘肃张掖·模拟预测）函数 f x = e x -1 - x -1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
【答案】A
【分析】令 f x = 0，即 ex x -1 - x -1 = 0 x +1，构造函数 y = ex 与函数 y = ，画出函数图象，可知两个函
x -1
数图象相交于两点，设为 x1, x2 ，得 f x1 = f -x1 = 0，进而得到 x2 = -x1，即 x1 + x2 = 0
【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 f x = 0的实数根，令 f x = 0，
x
则 e x -1 - x -1 = 0 x +1，显然 x 1 x，所以 e = ，
x -1
构造函数 y = ex 与函数 y
x +1 x +1
= x，则方程 e = 的根，
x -1 x -1
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
x
所以此方程有两个实数根，即函数 f x = e x -1 - x -1有两个零点，
ex x1 +1 ex x2 +1x , x 1 = 2设为 1 2 ，所以 =x ，1 -1 x2 -1
，
f x x1 x即 21 = e x1 -1 - x1 -1 = 0, f x2 = e x2 -1 - x2 -1 = 0，
-x f x e- x - x1 +1 - x1 +1x x +1另外发现，将 1代入，可得 - 1 = 1 - 11 -1 - -x1 -1 = x + xe 1 1 -1 = ex + x = 0，1 e 1
所以-x1也是函数 f x 的零点，说明 x2 = -x1，即 x1 + x2 = 0 .
故选:A.
ìxlnx, x > 0,
3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 f x = í-1, x = 0, 若关于 x 的方程 f x = ax -1有 5 个不同

xln -x - 2, x < 0.
的实数根，则 a的取值范围是（ ）
A． 1, + B． 2, + C． 1,e D． 2,2e
【答案】A
ì xlnx +1, x > 0,
【分析】直线 y = ax 与函数 h x = f x +1 = í 0, x = 0, 的图象有 5 个交点，可得 h x 是奇函数，可得

xln -x -1, x < 0
只需直线 y = ax 与曲线 y = xlnx +1(x > 0)
1
有 2 个交点即可，即方程 a = lnx + 有 2 个实数根，利用导数即可求
x
解.
ì xlnx +1, x > 0,
ax = f x +1 y = ax h x = f x +1 = 【详解】由题意得 ，则直线 与函数 í 0, x = 0, 的图象有 5 个交点.

xln -x -1, x < 0
显然，直线 y = ax 与 h x 的图象交于点 0,0 .
又当 x > 0时，-x < 0, h -x = -xlnx -1 = -h x ；
当 x < 0 时，-x > 0,h -x = -xln -x +1 = -h x ；
当 x = 0时， h x = 0 ，所以 h x 是奇函数，
则必须且只需直线 y = ax 与曲线 y = xlnx +1(x > 0)有 2 个交点即可，
1
所以方程 a = lnx + 有 2 个实数根.令 t x = lnx 1 t x x -1+ ，则 = ，
x x x2
当0 < x <1时， t x < 0, t x 单调递减；
当 x >1时， t x > 0, t x 单调递增，
所以 t x t 1 =1 .
1 1 1 1
又当 x 趋近于 0 时， t x = ln x + = - ln = u - ln u,u = + ,所以 t x + ；
x x x x
当 x
1 1
趋近于+ 时， ln x + , 0 t x = ln x + + ，
x x
所以必须且只需 a > 1 .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数
形结合法.
x x
4．（23-24 x高三下·浙江·阶段练习）已知函数 f x = - 2 x >1 , g x = - log x x >1 的零点分别为
x -1 x -1 2
, 1 1a b ，则 +a b 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
x 1
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令 h x = = +1 x >1 ，利
x -1 x -1
1 1
用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出a + b = ab ，即可求 +a b 的值．
x x
【详解】由题意， f x = 0 = 2 x >1 ，
x -1
g x = 0 x = log2x x >1 ,x -1
令 h x x 1= = +1 x >1 ，
x -1 x -1
因为 y = 2x 与 y = log2x 互为反函数，两个函数的图象关于直线 y = x 对称，
1
且 y = +1的图象也关于直线 y = x 对称，
x -1
a
设 A a , 2 , B b , log2b ，
则 A, B关于直线 y = x 对称，
ì a a
ìa = log ,
= 2 a >1b ,2 a -1
所以 í
2
a 且= b í b = log2b b >1 , b -1
a
= 2a由 a >1 a可得 = 2a > 2，
a -1 a -1
所以1< a < 2．
a
由 = 2a a = 2a可得 a -1 ，
a -1
所以a + 2a = a ×2a ，
ìa = log2b ,
又 í a a + b = ab
2 = b ,
代入上式可得 ，
1 1
则 + =1a b ．
故选：A．
二、多选题
ì x +1 -1 , x 0
5．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）已知函数 f x = 2í x ，若方程 f x + 2af x - a = 0有五
, x > 0
x +1
个不相等的实数根，则实数 a 的值可以为（ ）
A．-3 B．-2 C． -1 D．0
【答案】AB
【分析】画出函数 f (x) 图象，结合图象可知， g(t) = t2 + 2at - a 在 (0,1), (1, + )有两个零点，列出不等式组求解
即可.
ì-x,-1 x < 0

x + 2, -2 < x < -1
【详解】 f x = í-x - 2, x -2 ,如图所示，

1 1- , x > 0
x +1
令 f (x) = t ，则 g(t) = t2 + 2at - a ，
若方程有五个不相等的实数根，则 g(t)有两个零点分别为 t1 ， t2 ，
ì0 < t1 <1 ìg(0) > 0 ì-a > 0
由图象可知 í ，即 í ，可得 í ，解得 a < -1
t2 >1
，
g(1) < 0 1+ a < 0
则实数 a的取值范围是 - ,-1 ，
故选：AB．
6．（2024·湖南怀化·二模）已知函数 y = x + ex 的零点为 x1, y = x + lnx的零点为x2，则（ ）
A． x1 + x2 > 0 B． x1x2 < 0
C ex． 1 + lnx2 = 0 D． x1x2 - x1 + x2 > 1
【答案】BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数 y = ex 与 y = ln x 互为反函数，确定 x1, x2 的关系，再逐项分析判断得
解.
x + ex1 = 0 ex【详解】依题意， 11 = -x1， x2 + ln x2 = 0 ln x2 = -x2 ，
则 x1, x2 分别是直线 y = -x与函数 y = ex ， y = ln x 图象交点的横坐标，
而函数 y = ex 与 y = ln x 互为反函数，它们的图象关于直线 y = x 对称，
x
又直线 y = -x垂直于直线 y = x ，则点 (x 11, e )与点 (x2 , ln x2 ) 关于直线 y = x 对称，
x
则 x 12 = e = -x1 > 0，于是 x1 + x2 = 0， x1x2 < 0 ， e
x1 + lnx2 = 0，BC 正确，A 错误；
x1x2 - x1 + x2 -1 = (x1 -1)(x2 +1) < 0，即 x1x2 - x1 + x2 <1，D 错误.
故选：BC
三、填空题
7．（2024· x宁夏银川·二模）函数 f (x) = a - loga x(a >1)有两个零点,求 a 的范围
1
【答案】（1,ee）
x
【分析】根据零点的定义,转化为 g(x) = a (a > 1)与h(x) = loga x(a > 1)的交点个数问题.结合反函数特征,得
解.
x
【详解】 f (x) = a - loga x(a >1)
x
的零点两个,即a = loga x, (a > 1)的根有两个.
即 g(x) = a x (a > 1)与h(x) = loga x(a > 1)的交点有两个.
x
而 g(x) = a (a > 1)与h(x) = loga x(a > 1)互为反函数,图像关于 y = x 对称.
当两个图像均与 y = x 相切时,设切点横坐标为m .
分别求导 g (x) = a x ln a(a > 1)与h (x)
1
= (a > 1) ,
x ln a
am{ =log m所以 am ,所以m = e 1 1
1
a ln a =1=1 . ,即 = ln a ,所以m ln a e a = ee
.
1 1
当 a = ee 时候,两图像有一个交点,当a < ee ,
1
两图像有两个交点,即 f (x) = a x - loga x(a >1)的零点两个.综上所a (1,ee ) .
1
故答案为: （1,ee）.
8．（2024·天津·模拟预测）已知函数 f (x) = x3 - ax2 - | x - a |有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．
【答案】 a < -1
【分析】 a是函数的一个零点，再分段去绝对值符号，探讨零点个数即得.
【详解】显然 a是函数 f (x) = x3 - ax2 - | x - a |的一个零点，
当 x < a时， f (x) = x3 - ax2 + x - a = (x - a)(x2 +1)，此时函数 f (x) 无零点；
当 x > a时， f (x) = x3 - ax2 - x + a = (x - a)(x2 -1) ，由 x2 -1= 0，得 x = ±1，
因为函数 f (x) 有 3 个零点，必有 a < -1，
所以实数 a 的取值范围为 a < -1 .
故答案为： a < -1
ì a
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数 f x =
x - -1, x > 0
í x 有两个零点，则实数 a的取值范围为 .
e
x - a, x 0
1
【答案】 - ,0 0,1
è 4 ÷
【分析】本题根据已知条件给定的零点个数，对参数 a 分类讨论并结合函数图象即可求解.
ìx -1, x＞0
【详解】①当 a = 0时， f (x) = í x ，由于 x 0e , x 0 时0 < e
x 1， x > 0时 x -1 > -1，

此时 f (x) 只有一个零点，所以 a = 0不符合题意；
ìx -a+ -1, x＞0
②当 a＜0时， f (x) =

í x ，函数 f (x) 的大概图象如图所示，
e
x + (-a), x 0
，
由于 x
-a -a
0 时， ex + (-a) 0 x 0 ＞ ， ＞ 时， x + -1 2 x × -1 = 2 -a -1
-a
，当且仅当 x = ，即 x = -a 时
x è x ÷ x
取等号，
此时在 0, + 上有 f x = 2 -a -1min ，要使 f (x) 有两个零点，只需 f x = 2 -a
1
-1＜0，即- ＜a＜0min ；4
ìx a- -1, x＞0
③当 a＞0 时， f (x) =

í x ，函数 f (x) 的大概图象如图所示，
ex - a, x 0
，
a
由于函数 y = x - -1在 0, + 上是增函数， x 0, f (x) - , x + , f (x) + 故与 x 轴有且只有一个
x
交点，
要使 f (x) 有两个零点，只需函数 y = ex - a(x 0)有一个零点即可，
当0＜a 1时， y = ex - a(x 0)恰好只有一个零点.
1
综上所述，实数 a 的取值范围是 - ,0÷ 0,1 .
è 4
1
故答案为： - ,0

÷ 0,1 .
è 4
ìa
- x + 4 , x <1
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数 f x = í 2 ，若函数 y = f x -1恰有 3 个不同的零点，

2x - a
2 , x 1
则实数 a 的取值范围是 .
【答案】 2,3 U 12,+
【分析】本题首先可根据函数解析式研究函数 y = f x -1在区间 - ,1 和 1, + 上零点个数，然后根据在
区间 - ,1 上有 1 个零点，函数 y = f x -1在区间 1, + 上有 2 个零点或根据在区间 - ,1 上有 2 个零点，
函数 y = f x -1在区间 1, + 上有 1 个零点，即可得出结果.
a a
【详解】当 x <1时，令 f x -1 = 0，得 - x + 4 -1 = 0，即 x + 4 = -1，该方程至多两个根；
2 2
当 x 1时，令 f x -1 = 0 2，得 2x - a -1 = 0，该方程至多两个根，
因为函数 y = f x -1恰有 3 个不同的零点，
所以函数 y = f x -1在区间 - ,1 和 1, + 上均有零点，
若函数 y = f x -1在区间 - ,1 上有两个零点，
即直线 y
a
= -1与函数 y = x + 4 在区间 - ,1 上有两个交点，
2
当 x<- 4时， y = x + 4 = -x - 4 > 0；
当-4 x<1时， y = x + 4 = x + 4，此时函数的值域为 0,5 ，
a
则0 < -1< 5，解得 2 < a <12，
2
若函数 y = f x -1在区间 - ,1 a a上有 1 个零点，则5 -1或 -1 = 0，
2 2
解得 a 12或 a = 2，
若函数 y = f x -1在区间 1, + 上也有两个零点，
令 a -1 a +12x - a 2 -1 = 0，解得 x1 = ， x2 2 = ，2
a -1
则 1，解得 a 3，
2
若函数 y = f x -1在区间 1, + a -1 a +1上有 1 个零点，则 <1且 1，
2 2
解得1 a < 3；
所以当函数 y = f x -1在区间 - ,1 上有 1 个零点，在区间 1, + 上有两个零点时，需满足
ìa 12或a = 2
í ，解得 a 12，
a 3
当函数 y = f x -1在区间 - ,1 上有 2 个零点，在区间 1, + 上有 1 个零点时,
ì2 < a <12
需满足 í ，解得 2 < a < 3，
1 a < 3
综上所述，实数 a的取值范围是 2,3 12, + .
故答案为： 2,3 12, + .
【点睛】关键点点睛：根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，
其中分段函数中一段可以有 2 个交点也可有 1 个交点，据此结合总共有 3 个交点求解，考查分类讨论思想，
是难题.
1．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) = 2x3 - 3ax2 +1，则（ ）
A．当 a > 1时， f (x) 有三个零点
B．当 a < 0时， x = 0是 f (x) 的极大值点
C．存在 a，b，使得 x = b 为曲线 y = f (x) 的对称轴
D．存在 a，使得点 1, f 1 为曲线 y = f (x) 的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为 x = 0, x = a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 f (x) 在
(-1,0), (0,a), (a, 2a) 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这
样的 a,b，使得 x = b 为 f (x) 的对称轴，则 f (x) = f (2b - x)为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的
a，使得 (1,3- 3a) 为 f (x) 的对称中心，则 f (x) + f (2 - x) = 6 - 6a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直
接求解.
【详解】A 选项， f (x) = 6x2 - 6ax = 6x(x - a)，由于 a > 1，
故 x - ,0 a,+ 时 f (x) > 0 ，故 f (x) 在 - ,0 , a, + 上单调递增，
x (0,a)时， f (x) < 0 ， f (x) 单调递减，
则 f (x) 在 x = 0处取到极大值，在 x = a处取到极小值，
由 f (0) =1 > 0， f (a) =1- a3 < 0，则 f (0) f (a) < 0，
根据零点存在定理 f (x) 在 (0,a)上有一个零点，
又 f (-1) = -1- 3a < 0， f (2a) = 4a3 +1 > 0 ，则 f (-1) f (0) < 0, f (a) f (2a) < 0 ，
则 f (x) 在 (-1,0), (a, 2a) 上各有一个零点，于是 a > 1时， f (x) 有三个零点，A 选项正确；
B 选项， f (x) = 6x(x - a)， a<0时， x (a,0), f (x) < 0， f (x) 单调递减，
x (0,+ )时 f (x) > 0 ， f (x) 单调递增，
此时 f (x) 在 x = 0处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的 a,b，使得 x = b 为 f (x) 的对称轴，
即存在这样的 a,b使得 f (x) = f (2b - x)，
即 2x3 - 3ax2 +1 = 2(2b - x)3 - 3a(2b - x)2 +1，
根据二项式定理，等式右边 (2b - x)3展开式含有 x3 2C3 0 3 3的项为 3(2b) (-x) = -2x ，
于是等式左右两边 x3的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 a,b，使得 x = b 为 f (x) 的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
f (1) = 3 - 3a ，若存在这样的 a，使得 (1,3- 3a) 为 f (x) 的对称中心，
则 f (x) + f (2 - x) = 6 - 6a ，事实上，
f (x) + f (2 - x) = 2x3 - 3ax2 +1+ 2(2 - x)3 - 3a(2 - x)2 +1 = (12 - 6a)x2 + (12a - 24)x +18 -12a ，
于是6 - 6a = (12 - 6a)x2 + (12a - 24)x +18 -12a
ì12 - 6a = 0

即 í12a - 24 = 0 ，解得 a = 2，即存在 a = 2使得 (1, f (1))是 f (x) 的对称中心，D 选项正确.

18 -12a = 6 - 6a
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
f (x) = 2x3 - 3ax2 +1， f (x) = 6x2 - 6ax ， f (x) =12x - 6a ，
f (x) a
a a
由 = 0 x =

，于是该三次函数的对称中心为 , f ，
2 2 2 ÷÷è è
由题意 (1, f (1))
a
也是对称中心，故 =1 a = 2，
2
即存在 a = 2使得 (1, f (1))是 f (x) 的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） f (x) 的对称轴为 x = b f (x) = f (2b - x) ；（2） f (x) 关于 (a , b ) 对称
f (x) + f (2a - x) = 2b；（3）任何三次函数 f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 都有对称中心，对称中心是三次函数的
b b
拐点，对称中心的横坐标是 f (x) = 0的解，即 - , f3a
- ÷÷是三次函数的对称中心
è è 3a
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x = coswx -1(w > 0)在区间 0,2π 有且仅有 3 个零点，则w 的取值范
围是 ．
【答案】[2,3)
【分析】令 f (x) = 0 ，得 coswx =1有 3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为0≤ x≤ 2π ，所以0≤wx≤ 2wπ ，
令 f (x) = coswx -1 = 0 ，则 coswx =1有 3 个根，
令 t = wx ，则 cos t =1有 3 个根，其中 t [0, 2wπ]，
结合余弦函数 y = cos t 的图像性质可得 4π 2wπ < 6π，故 2 w < 3，
故答案为：[2,3) .
3．（2023·天津·高考真题）设 a R ,函数 f x = ax2 - 2x - x2 - ax +1 ,若 f x 恰有两个零点，则 a的取值范围
为 ．
【答案】 - ,0 0,1 1, +
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 a的取值范围．
【详解】（1）当 x2 - ax +1 0时， f x = 0 a -1 x2 + a - 2 x -1 = 0，
即 a -1 x -1 x +1 = 0，
若 a =1时， x=-1，此时 x2 - ax +1 0成立；
x 1若a 1时， = 或 x=-1，
a -1
若方程有一根为 x=-1，则1+ a +1 0 ，即 a -2且a 1；
1 1
2
1
若方程有一根为 x = ，则
a -1 a -1÷
- a +1 0，解得： a 2且a 1；
è a -1
x 1若 = = -1时， a = 0，此时1+ a +1 0 成立．
a -1
（2）当 x2 - ax +1 < 0时， f x = 0 a +1 x2 - a + 2 x +1 = 0，
即 a +1 x -1 x -1 = 0，
若 a = -1时， x =1，显然 x2 - ax +1 < 0不成立；
1
若 a -1时， x =1或 x = ，
a +1
若方程有一根为 x =1，则1- a +1 < 0，即 a > 2；
x 1= 1
2

若方程有一根为 ，则 - a
1
+1< 0，解得： a < -2；
a +1 è a +1÷ a +1
1
若 x = =1时， a = 0，显然 x2 - ax +1 < 0不成立；a +1
综上，
1 1
当 a < -2时，零点为 ， ；
a +1 a -1
1
当-2 a < 0时，零点为 ， -1；
a -1
当 a = 0时，只有一个零点 -1；
1
当 0 < a < 1时，零点为 ， -1；
a -1
当 a =1时，只有一个零点 -1；
当1
1
< a 2时，零点为 ， -1；
a -1
当 a > 2时，零点为1, -1．
所以，当函数有两个零点时， a 0且a 1．
故答案为： - ,0 0,1 1, + ．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
4．（2022·天津·高考真题）设 a R ，对任意实数 x，记 f x = min x - 2, x2 - ax + 3a - 5 ．若 f x 至少有 3
个零点，则实数 a的取值范围为 .
【答案】 a 10
【分析】设 g x = x2 - ax + 3a - 5， h x = x - 2，分析可知函数 g x 至少有一个零点，可得出D 0，求出 a
的取值范围，然后对实数 a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 a的不等式，综合可求得实
数 a的取值范围.
【详解】设 g x = x2 - ax + 3a - 5， h x = x - 2，由 x - 2 = 0可得 x = ±2 .
要使得函数 f x 至少有3个零点，则函数 g x 至少有一个零点，则D = a2 -12a + 20 0，
解得 a 2或 a 10 .
①当 a = 2时， g x = x2 - 2x +1，作出函数 g x 、 h x 的图象如下图所示：
此时函数 f x 只有两个零点，不合乎题意；
②当 a < 2时，设函数 g x 的两个零点分别为x1、 x2 x1 < x2 ，
要使得函数 f x 至少有3个零点，则 x2 -2，
ìa
< -2
所以， í 2 ，解得 a ；
g -2 = 4 + 5a - 5 0
③当 a =10时， g x = x2 -10x + 25，作出函数 g x 、 h x 的图象如下图所示：
由图可知，函数 f x 的零点个数为3，合乎题意；
④当 a >10时，设函数 g x 的两个零点分别为 x3 、 x4 x3 < x4 ，
要使得函数 f x 至少有3个零点，则 x3 2，
ìa
> 2
可得 í 2 ，解得 a > 4，此时 a >10 .
g 2 = 4 + a - 5 0
综上所述，实数 a的取值范围是 10, + .
故答案为： 10, + .
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
p
5．（2022·北京·高考真题）若函数 f (x) = Asin x - 3 cos x的一个零点为 ，则 A = ；
3
f p ÷ = ．
è12
【答案】 1 - 2
π π
【分析】先代入零点，求得 A 的值，再将函数化简为 f (x) = 2sin(x - ) ，代入自变量 x = ，计算即可.
3 12
∵ f ( π) 3 3【详解】 = A - = 0，∴ A =1
3 2 2
∴ f (x) = sin x - 3 cos x 2sin(x
π
= - )
3
f ( π ) = 2sin( π π- ) = -2sin π = - 2
12 12 3 4
故答案为：1，- 2
6．（2021·北京·高考真题）已知函数 f (x) = lg x - kx - 2，给出下列四个结论：
①若 k = 0， f (x) 恰 有 2 个零点；
②存在负数 k ，使得 f (x) 恰有 1 个零点；
③存在负数 k ，使得 f (x) 恰有 3 个零点；
④存在正数 k ，使得 f (x) 恰有 3 个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由 f x = 0可得出 lg x = kx + 2，考查直线 y = kx + 2与曲线 g x = lg x 的左、右支分别相切的情形，
利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当 k = 0时，由 f x = lg x - 2 = 0 1，可得 x = 或 x =100 ，①正确；
100
对于②，考查直线 y = kx + 2与曲线 y = - lg x 0 < x <1 相切于点P t,- lg t ，
ìkt + 2 = - lg t ìt
e
=
1 100
对函数 y = - lg x 求导得 y = - ，由题意可得 ，解得 ，
x ln10 í 1 í k = - 100 t ln10 k = - lg e e
k 100所以，存在 = - lg e < 0，使得 f x 只有一个零点，②正确；
e
对于③，当直线 y = kx + 2过点 1,0 时， k + 2 = 0 ，解得 k = -2 ，
100
所以，当- lg e < k < -2时，直线 y = kx + 2与曲线 y = - lg x 0 < x <1 有两个交点，
e
若函数 f x 有三个零点，则直线 y = kx + 2与曲线 y = - lg x 0 < x <1 有两个交点，
ì 100
- lg e < k < -2直线 y = kx + 2与曲线 y = lg x x >1 有一个交点，所以， í e ，此不等式无解，
k + 2 > 0
因此，不存在 k < 0，使得函数 f x 有三个零点，③错误；
对于④，考查直线 y = kx + 2与曲线 y = lg x x >1 相切于点P t, lg t ，
ìkt + 2 = lg t ìt =100e1
对函数 y = lg x 求导得 y = ，由题意可得
x ln10 ík 1
，解得 ík lg e
，

= =
t ln10 100e
0 k lg e所以，当 < < 时，函数 f x 有三个零点，④正确.
100e
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
ìcos(2p x - 2p a). x < a
7．（2021·天津·高考真题）设 a R ，函数 f (x) = í 2 ，若 f (x)x 2(a 1)x 在区间
(0, + )内恰有
- + + a
2 + 5, x a
6 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
2, 9 5 ,11A
7 5 11
． B． , 2÷

4
, ÷
è ú è 2 4 ú è 4 è 2 4
2, 9 11 7C
11
．
è 4 ú
ê ,3÷ D． , 2÷ ê ,34 4 4 ÷ è
【答案】A
2
【分析】由 x - 2 a +1 x + a2 + 5 = 0最多有 2 个根，可得 cos 2p x - 2p a = 0 至少有 4 个根，分别讨论当 x < a
和 x a时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】Q x2 - 2 a +1 x + a2 + 5 = 0最多有 2 个根，所以 cos 2p x - 2p a = 0 至少有 4 个根，
2p x 2p a p由 - = + kp , k Z 可得 x
k 1
= + + a,k Z ，
2 2 4
由0
k 1 1
< + + a < a可得-2a - < k
1
< - ，
2 4 2 2
（1） x < a时，当-5
1 7 9
-2a - < -4时， f x 有 4 个零点，即 < a ；
2 4 4
6 2a 1 9 11当- - - < -5， f x 有 5 个零点，即 < a ；
2 4 4
当-7
1
-2a - < -6， f x 11 a 13有 6 个零点，即 < ；
2 4 4
（2）当 x a时， f (x) = x2 - 2(a +1)x + a2 + 5，
Δ = 4(a +1)2 - 4 a2 + 5 = 8 a - 2 ，
当 a < 2时，D < 0， f x 无零点；
当 a = 2时，D = 0， f x 有 1 个零点；
当 a > 2时，令 f (a) = a2
5
- 2a(a +1) + a2 + 5 = -2a + 5 0，则 2 < a ，此时 f x 有 2 个零点；
2
a 5所以若 > 时， f x 有 1 个零点.
2
综上，要使 f (x) 在区间 (0, + )内恰有 6 个零点，则应满足
ì7
< a
9 9 11
ì < a ì11 13
4 4 4 4 < a
í 或 í 或 í 4 45 5 ， 2 < a a = 2或a > a < 2
2 2
9
a 2,
5 ,11 则可解得 的取值范围是 4ú 2 4 ú .è è
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成 x < a和 x a两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
ìx3 , x…0,
8 2．（天津·高考真题）已知函数 f (x) = í 若函数 g(x) = f (x) - kx - 2x (k R) 恰有 4 个零点，则 k
-x, x < 0.
的取值范围是（ ）
, 1 U (2 2, ) , 1 A． - - ÷ + B． - -2 2 ÷
U (0, 2 2)
è è
C． (- ,0) U (0, 2 2) D． (- ,0) U (2 2,+ )
【答案】D
【分析】由 g(0) = 0，结合已知，将问题转化为 y =| kx - 2 | h(x)
f (x)
与 = | x | 有3个不同交点，分
k = 0, k < 0,k > 0
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到 g(0) = 0，所以要使 g(x)恰有 4 个零点，只需方程 | kx - 2 |
f (x)
=
| x | 恰有 3 个实根
即可，
f (x) f (x)
令 h(x) = y =| kx - 2 | h(x) =| x | ，即 与 | x | 的图象有3个不同交点.
ìx2 , x > 0
因为 h(x)
f (x)
= = í ，x 1, x < 0
f (x)
当 k = 0时，此时 y = 2，如图 1， y = 2与h(x) = | x | 有1个不同交点，不满足题意；
当 k < 0时，如图 2，此时 y =| kx - 2 |与h(x)
f (x)
=
| x | 恒有3个不同交点，满足题意；
当 k > 0时，如图 3，当 y = kx - 2与 y = x2 相切时，联立方程得 x2 - kx + 2 = 0，
令D = 0得 k 2 - 8 = 0，解得 k = 2 2 （负值舍去），所以 k > 2 2 .
综上， k 的取值范围为 (- ,0) U (2 2,+ ) .
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.
9．（全国·高考真题）函数 f (x) = 2sinx - sin2x 在 0,2p 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】令 f (x) = 0 ，得 sin x = 0或 cos x =1，再根据 x 的取值范围可求得零点.
【详解】由 f (x) = 2sin x - sin 2x = 2sin x - 2sin x cos x = 2sin x(1- cos x) = 0，
得 sin x = 0或 cos x =1，Q x 0,2p ，
x = 0、p或2p ．
f (x)在 0,2p 的零点个数是 3，
故选 B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利
用数形结合和方程思想解题．
ìx, x < 0

10．（浙江·高考真题）已知a, b R，函数 f (x) = í1 3 1 2 ，若函数 y = f (x) - ax - b恰有
x - (a +1)x + ax, x 0 3 2
三个零点，则
A． a < -1,b < 0 B． a < -1,b > 0
C． a > -1,b < 0 D． a > -1,b > 0
【答案】C
【分析】当 x < 0 时， y = f (x) - ax - b = x - ax - b = (1- a)x - b最多一个零点；当 x 0 时，
y = f (x) - ax - b 1 1= x3 - (a +1)x2 + ax - ax 1 1- b = x3 - (a +1)x2 - b ，利用导数研究函数的单调性，根据单
3 2 3 2
调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当 x < 0 时， y = f (x) - ax - b = x - ax - b = (1- a)x - b = 0
b
，得 x = ； y = f (x) - ax - b最多一个零
1- a
点；
y f (x) ax b 1 x3 1 (a 1 1当 x 0 时， = - - = - +1)x2 + ax - ax - b = x3 - (a +1)x2 - b ，
3 2 3 2
y = x2 - (a +1)x，
当 a +1 0，即 a -1时， y 0， y = f (x) - ax - b在[0，+ )上递增， y = f (x) - ax - b最多一个零点．不
合题意；
当 a +1 > 0，即 a > -1时，令 y > 0得 x [a +1，+ )，函数递增，令 y < 0得 x [0 ， a +1) ，函数递减；函
数最多有 2 个零点；
根据题意函数 y = f (x) - ax - b恰有 3 个零点 函数 y = f (x) - ax - b在 (- ,0)上有一个零点，在[0，+ )上
有 2 个零点，
如图：
ì-b > 0
b < 0且 ，
1 í1- a (a +1)
3 1- (a +1)(a +1)2 - b < 0
3 2
1 a 0 0 b 1解得b < 0， - > ， > > - a +1 3 , 1 > a > -1．
6
故选C ．第 06 讲 函数与方程
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新 I 卷，第 7 题,5 分 求函数零点或方程根的个数 正弦函数图象的应用
函数奇偶性的定义与判断
2024 年新Ⅱ卷，第 6 题,5 分 根据函数零点的个数求参数范围 函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
求含 sinx(型)函数的值域和最值
2024 年新Ⅱ卷，第 9 题,6 分 求函数零点或方程根的个数 求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
函数对称性的应用
2024 年新Ⅱ卷，第 11 题,6 分 判断零点所在的区间 函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
根据函数零点的个数
2023 年新 I 卷，第 15 题,5 分 余弦函数图象的应用
求参数范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定
义，难度不定，分值为 5-6 分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个
数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识讲解
1、函数的零点
一般的，对于函数 y = f x ，我们把方程 f x = 0的实数根 x0 叫作函数 y = f x 的零点。
2、零点存在性定理
如果函数 y = f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f a × f b < 0 ，那么函数
y = f x 在区间 a,b 内必有零点，即$x0 a,b ，使得 f x0 = 0
注：零点存在性定理使用的前提是 f x 在区间 a,b 连续，如果 f x 是分段的，那么零点不一定存在
3、函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
4、几个“不一定”与“一定”（假设 f x 在区间 a,b 连续）
（1）若 f a × f b < 0 ，则 f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析 f x 的性质
与图象，如果 f x 单调，则“一定”只有一个零点
（2）若 f a × f b > 0 ，则 f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果 f x 单调，那么
“一定”没有零点
（3）如果 f x 在区间 a,b 中存在零点，则 f a × f b 的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。
如果 f x 单调，则 f a × f b 一定小于 0
5、零点与单调性配合可确定函数的符号
f x 是一个在 a,b 单增连续函数， x = x0 是 f x 的零点，且 x0 a,b ，则 x a, x0 时，
f x < 0； x x0 ,b 时， f x > 0
6、判断函数单调性的方法
（1）可直接判断的几个结论：
① 若 f x , g x 为增（减）函数，则 f x + g x 也为增（减）函数
② 若 f x 为增函数，则- f x 为减函数；同样，若 f x 为减函数，则- f x 为增函数
③ 若 f x , g x 为增函数，且 f x , g x > 0 ，则 f x × g x 为增函数
（2）复合函数单调性：判断 y = f g x 的单调性可分别判断 t = g x 与 y = f t 的单调性（注意要利
用 x 的范围求出 t 的范围），若 t = g x ， y = f t 均为增函数或均为减函数，则 y = f g x 单调递增；
若 t = g x ， y = f t 一增一减，则 y = f g x 单调递减（此规律可简记为“同增异减”）
（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图象
7、证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 f x
（3）分析函数 f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一、求函数的零点及零点个数
1．（2024· x山东青岛·二模）函数 f x = a - a(a > 0，a 1)的零点为（ ）
A．0 B．1 C． 1,0 D． a

2．（2024·江苏·一模）函数 f x = sin 2x
π
+ ÷在区间 0, 2π 内的零点个数为（3 ）è
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24 高三下·重庆·阶段练习）（多选）已知函数 y = x +10x 的零点为x1， y = x + lg x 的零点为x2，则
（ ）
A． x1 + x2 > 0 B． x1x2 < 0
C．10x1 + lg x2 = 0 D． 4x1x2 - 2x1 + 2x2 <1
1．（2023·上海徐汇·一模）函数 y = lg(2x +1) + lg x 的零点是 ．
2．（2024·河北·模拟预测）函数 f (x) = cos3x - 4sin2x在区间 -2024π,2024π 内所有零点的和为（ ）
A．0 B．-2024π C．1012π D．-1012π
3．（2024·河北· x模拟预测）（多选）已知函数 f x = e + 2x - 2, g x = 2lnx + x - 2的零点分别为 x1, x2 ，则
（ ）
A． 2x1 + x2 = 2 B． x1x2 = e
x1 + lnx2
4
C． x1 + x2 > D． 2x3 1
x2 < e
考点二、求方程的根及根的个数
1
1．（2024·浙江金华·三模）若函数 f x = x + x ，则方程 f f x = 3的实数根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
ìx2 - 2x + 3, x > 02．（2024·浙江温州·三模）已知函数 f x = í x ，则关于 x 方程 f x = ax + 2的根个数不可能
2 , x 0
是（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
2 1 1．（23-24 高三下·辽宁·阶段练习）已知函数 f x = x - x + ÷sin πx，则方程 f x =1在区间 -2,3 上的所
è 4
有实根之和为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
ì log5 1- x x <1 1
2．（22-23 高一上·上海·期末）已知 f x = í 2 ，则方程 f x + - 2÷ = a a R 的实数根个
- x - 2 + 2 x 1 è x
数不可能为（ ）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
考点三、求图象的交点及交点个数
1．（2024·全国·高考真题）当 x [0, 2p ]时，曲线 y = sin x
p
与 y = 2sin 3x - ÷的交点个数为（6 ）è
A．3 B．4 C．6 D．8
π π
2．（2023·

全国·高考真题）函数 y = f x 的图象由函数 y = cos 2x + 6 ÷的图象向左平移 个单位长度得到，è 6
则 y = f x 的图象与直线 y 1= x 1- 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y = cosx与 y = lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
p p
2．（2021·全国·模拟预测）已知函数 f (x) = 2sin(wx + j)(w > 0,- < j < )4 4 的零点为
x 轴上的所有整数，则函数 f (x)
2
的图象与函数 g(x) = x5 的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
考点四、用零点存在性定理判断零点所在区间
1．（2022 高三·全国·专题练习）函数 f x = lnx 1- 的零点所在的大致区间是（
x ）
1
A． ,1

÷ B． 1,2 C． 2,e D． 2,3
è e
2．（23-24 x 3高三上·浙江宁波·期末）函数 f x = 2 + x - 9的零点所在区间为（ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
1．（23-24 高三下·北京·阶段练习）函数 f x = ln 2x 1- 的一个零点所在的区间是（
x ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 2,3 D． 3,4
2．（2024· 2陕西安康·模拟预测）函数 f x = lnx + x - 2的零点所在区间是（ ）

A． 0,
2 2
÷÷ B． ,1÷÷ C． 1, 2 D． 2, 22 è è 2
考点五、根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
1．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) =a(x+1)2 -1， g(x) = cos x + 2ax，当 x (-1,1)时，曲线 y = f (x) 与
y = g(x) 恰有一个交点，则a = （ ）
A 1． -1 B． 2 C．1 D．2
ì 2 x-1f x -1, x 02．（2024·安徽合肥·三模）设 a R ，函数 = í ，若函数 y = f f x 恰有 5 个零点，则实
-x
2 + ax, x < 0
数 a的取值范围为（ ）
A． -2,2 B． 0,2 C． -1,0 D． - , -2
3．（23-24 高一上·重庆·期中）已知 a > 0，若关于 x 的方程 4a x - 4x2 + 20x - 25 = 0 在[1,2)上有解，则 a 的取
值范围为（ ）
1
A． ê ,
9 1 9
÷ B． ,
4 4 è 2 4ú
1 9 1 9
C． 0, ÷ U ê ,+ D． 0, U , + è 4 4 ÷ 2ú ÷ è è 4
1．（2024·全国·高考真题）曲线 y = x3 - 3x 与 y = - x -1 2 + a 在 0, + 上有两个不同的交点，则 a的取值范
围为 ．
2．（22-23 高三上·河北张家口·期末）（多选）已知 x >1，方程 x - (x -1)2x = 0 ， x - (x -1) log2 x = 0 在区间
(1, + )的根分别为 a，b，以下结论正确的有（ ）
A b - a = 2a． - log2 b
1 1
B． + =1
a b
C． a + b < 4 D．b - a >1
3．（2024·天津·高考真题）若函数 f x = 2 x2 - ax - ax - 2 +1恰有一个零点，则 a的取值范围为 ．
一、单选题
1．（23-24 高一上·河北邢台·阶段练习）函数 f x = lnx + x -8的零点所在的区间为（ ）
A． 4,5 B． 5,6 C． 6,7 D． 7,8
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 y＝ax2＋2x＋1 有且只有一个零点，则实数 a 的值为 （ ）
A．1 B．0
C．0 或 1 D．一切实数
3．（2024·山西·模拟预测）方程 4 | cos t | - t = 0 的实数根的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2024 高三上·全国·竞赛）方程 log x x + 2024 = 2的实数解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
ì x2 + 2x, x 0,
5．（23-24 高一下·浙江·期中）已知函数 f x = í g x = f x - 3
lgx , x 0,
则函数 的零点个数为（ ）>
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（23-24 高二下·安徽芜湖·期中）已知函数 f x = 3x - t ln x 存在两个零点，则实数 t 的取值范围为（ ）
e ,+ e A． ÷ B． - , ÷ C． 3e, + D． - ,3e
è 3 è 3
7．（23-24 高三下·福建厦门·强基计划） f (x) = tan x sin x - sin x - tan x +1在[0, 2π]上的零点个数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 f 2x +1 为偶函数，若函数 g x = f x + 21-x + 2x-1 - 5的零点个数为奇
数个，则 f 1 =（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
二、填空题
9．（2024 高三·全国·专题练习）函数 f x = 2sin x - sin 2x在[0, 2π]所有零点之和为
ì1, x 0

10．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数 f（x）＝ í1 则使得方程 x＋f（x）＝m 有解的实数 m 的取值
, x > 0 x
范围是 ．
一、单选题
1．（2024·山东·模拟预测）已知函数 f x a +1= ex-a - x 1 ，则使 f x 有零点的一个充分条件是（ ）
x
A． a < -1 B．-1 < a < 0 C． 0 < a < 1 D． a > 1
2．（2024·甘肃张掖· x模拟预测）函数 f x = e x -1 - x -1的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． 3 D．2
ìxlnx, x > 0,

3．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数 f x = í-1, x = 0, 若关于 x 的方程 f x = ax -1有 5 个不同

xln -x - 2, x < 0.
的实数根，则 a的取值范围是（ ）
A． 1, + B． 2, + C． 1,e D． 2,2e
x
4．（23-24 高三下·浙江·阶段练习）已知函数 f x = - 2x x >1 , g x x= - log2x x >1 的零点分别为x -1 x -1
a , 1 1b ，则 +a b 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
ì x +1 -1 , x 0

5．（23-24 高三下· 2云南昆明·阶段练习）已知函数 f x = í x ，若方程 f x + 2af x - a = 0有五
, x > 0
x +1
个不相等的实数根，则实数 a 的值可以为（ ）
A．-3 B．-2 C． -1 D．0
6．（2024·湖南怀化·二模）已知函数 y = x + ex 的零点为 x1, y = x + lnx的零点为x2，则（ ）
A． x1 + x2 > 0 B． x1x2 < 0
C x． e 1 + lnx2 = 0 D． x1x2 - x1 + x2 > 1
三、填空题
7．（2024·宁夏银川·二模）函数 f (x) = a x - loga x(a >1)有两个零点,求 a 的范围
8．（2024·天津·模拟预测）已知函数 f (x) = x3 - ax2 - | x - a |有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为 ．
ì
x
a
- -1, x > 0
9．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数 f x = í x 有两个零点，则实数 a的取值范围为 .
e
x - a, x 0
ìa
- x + 4 , x <1
10．（2024·天津武清·模拟预测）已知函数 f x = í 2 ，若函数 y = f x -1恰有 3 个不同的零点，
2
2x - a , x 1
则实数 a 的取值范围是 .
1．（2024·全国·高考真题）设函数 f (x) = 2x3 - 3ax2 +1，则（ ）
A．当 a > 1时， f (x) 有三个零点
B．当 a < 0时， x = 0是 f (x) 的极大值点
C．存在 a，b，使得 x = b 为曲线 y = f (x) 的对称轴
D．存在 a，使得点 1, f 1 为曲线 y = f (x) 的对称中心
2．（2023·全国·高考真题）已知函数 f x = coswx -1(w > 0)在区间 0,2π 有且仅有 3 个零点，则w 的取值范
围是 ．
3．（2023·天津·高考真题）设 a R ,函数 f x = ax2 - 2x - x2 - ax +1 ,若 f x 恰有两个零点，则 a的取值范围
为 ．
4．（2022·天津·高考真题）设 a R ，对任意实数 x，记 f x = min x - 2, x2 - ax + 3a - 5 ．若 f x 至少有 3
个零点，则实数 a的取值范围为 .
p
5．（2022·北京·高考真题）若函数 f (x) = Asin x - 3 cos x的一个零点为 ，则 A = ；
3
f p 12 ÷
= ．
è
6．（2021·北京·高考真题）已知函数 f (x) = lg x - kx - 2，给出下列四个结论：
①若 k = 0， f (x) 恰 有 2 个零点；
②存在负数 k ，使得 f (x) 恰有 1 个零点；
③存在负数 k ，使得 f (x) 恰有 3 个零点；
④存在正数 k ，使得 f (x) 恰有 3 个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
ìcos(2p x - 2p a). x < a
7．（2021·天津·高考真题）设 a R ，函数 f (x) = í 2 f (x) (0, + )
x - 2(a +1)x + a
2 5, x a，若 在区间 内恰有+
6 个零点，则 a 的取值范围是（ ）
2, 9 5 ,11 7 ,2 5 11A , ．
è 4 ú è 2 4
B． ÷
ú è 4 è 2 4 ÷
C ． 2,
9 11 7 11ú ê ,3÷ D． , 2÷ ê ,3

÷
è 4 4 è 4 4
ìx3 , x…0,
8 2．（天津·高考真题）已知函数 f (x) = í 若函数 g(x) = f (x) - kx - 2x (k R) 恰有 4 个零点，则 k
-x, x < 0.
的取值范围是（ ）
1- , - U (2 2, 1+ ) - , - A． 2 ÷
B． ÷ U (0, 2 2)
è è 2
C． (- ,0) U (0, 2 2) D． (- ,0) U (2 2,+ )
9．（全国·高考真题）函数 f (x) = 2sinx - sin2x 在 0,2p 的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
ìx, x < 0

10．（浙江·高考真题）已知a, b R，函数 f (x) = í1 3 1 2 ，若函数 y = f (x) - ax - b恰有
x - (a +1)x + ax, x 0 3 2
三个零点，则
A． a < -1,b < 0 B． a < -1,b > 0
C． a > -1,b < 0 D． a > -1,b > 0

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