资源简介

第 05 讲 基本不等式
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新Ⅰ卷，第 18 题第一问,4 分 基本不等式求范围 导数综合
2023 年新Ⅰ卷，第 22 题第二问,8 分 基本不等式求最值 圆锥曲线大题综合
2022 年新Ⅰ卷，第 18 题第二问,6 分 基本不等式求最值 正余弦定理解三角形
2022 年新Ⅱ卷，第 12 题,5 分 基本不等式求最值 三角换元及三角函数相关性质
2021 年新Ⅰ卷，第 5 题,5 分 基本不等式求最值 椭圆方程及其性质
2020 年新Ⅰ卷，第 20 题第二问,6 分 基本不等式求最值 空间向量及立体几何
2020 年新Ⅱ卷，第 12 题,5 分 基本不等式求最值 指对函数的性质及单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易
上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为 5 分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最
值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
知识讲解
1．基本不等式
a + b
如果 a 0,b 0，那么 ab （当且仅当 时取“=”）.
2
说明：
a,b a + b①对于非负数 ，我们把 称为 a,b的 ， ab 称为 a,b的 .2
②我们把不等式 ab
a + b
(a 0,b 0)称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的
2
几何平均数不大于它们的算术平均数.
a + b
③“当且仅当 a = b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有 ab = ；另一方面当 时，
2
有 a = b .
④ 结构特点：和式与积式的关系.
a + b
【答案】 a = b 算术平均数 几何平均数 a = b ab =
2
2．基本不等式求最值
（1）设 x，y 为正数，若积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 （简记为：积定和最
小）.
1
（2）设 x，y 为正数，若和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2（简记为：和定积最
4
大）.
【答案】2 P
3．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） a2 + b2 （ a,b R ）；
2 a + b（ ） 2 （ a,b R ）；
a b
（3） + （ a,b同号）；
b a
（4） ab 或 ab （ a,b R ）；
2 2 2a + b a,b R, a,b > 0
（5） 1 1

2 +a b
2 2 2 a + b
【答案】 2ab ab 2
a + b a + b
÷ 2 abè 2 2
考点一、直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 x + y = 2 ，则 xy的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
【答案】B
【分析】根据基本不等式，求解即可得出答案.
【详解】因为 x > 0， y > 0，
则由基本不等式可得 x + y 2 xy ，
x + y 2
所以有 xy ÷ =1，
è 2
当且仅当 x = y =1时等号成立.
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）若 x > 0, y > 0,3x + 2y =1，则8x + 4y 的最小值为（ ）
A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2
【答案】B
【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】8x + 4y = 23x + 22 y 2 23x × 22 y = 2 23x+2 y = 2 2 ，
当且仅当 23x = 22 y 且3x + 2y =1 x
1 , y 1，即 = = 时等号成立，
6 4
故选：B.
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数 a、b 满足 a + 4b =1，则 ab的最大值为 ．
1
【答案】
16
ab 1 a 4b 1 a + 4b
2

【分析】由 = ×
4 4 ÷
，代入即可得出答案.
è 2
ab 1 a 4b 1 a + 4b
2
1 1 1
【详解】 = × = = ，
4 4 2 ֏ 4 4 16
a 1 1当且仅当“ a = 4b ”，即 = ,b = 时取等，
2 8
1
所以 ab的最大值为 .
16
1
故答案为：
16
1 y
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数 x, y满足 x + y = 4 ，则 - 的最小值为 .
x 4
【答案】 0
1 y 1 4 - x 1 x
【分析】根据题意，化简得到 - = - = + -1，结合基本不等式，即可求解.
x 4 x 4 x 4
【详解】由正数 x, y满足 x + y = 4 ，可得 y = 4 - x，
1 y 1 4 - x 1 x 1
所以 - = - = + -1 2 -1 = 0，当且仅当 x = y = 2时取等号，
x 4 x 4 x 4 4
1 y
所以 - 的最小值为 0 .
x 4
故答案为： 0 .
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
x + y
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 2x + y =1，则 xy 的最小值为（ ）
A．4 B． 4 2 C．6 D． 2 2 + 3
【答案】D
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为 x > 0， y > 0，且 2x + y =1，
x + y 1 1 1 1
所以 = + = + 2x y 2x y 2x y+ = + + 3 2 × + 3 = 2 2 + 3，
xy y x è y x
÷
y x y x
2x y
当且仅当 =y x ，即 x
2 - 2
= ， y = 2 -1时取等号.
2
故选：D
2．（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c
4 1
，若 a + b + c = 2，则 + 的最小值
a + b c
为 ．
9
【答案】
2
【分析】 a,b,c是VABC 的边长，所以它们是正数，利用乘“1”法结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 a + b + c = 2，
4 1 1 4 1
所以 + = × +

÷ é a + b + cùa + b c 2 è a + b c
1 5 4c a + b 1
4c a + b 9
= × + + ÷ ×2 è a + b c 2
5 + 2 × = ，
è a + b c
÷÷
2
4c a + b 4 1 9
当且仅当 = ，即 a + b = 2c时等号成立，故 + 的最小值为 ．
a + b c a + b c 2
9
故答案为： .
2
y2 + x
1．（2024·安徽·三模）已知 x > 0, y > 0，且 2x + y =1，则 的最小值为（
xy ）
A．4 B． 4 2 C． 4 2 +1 D． 2 2 +1
【答案】D
y2 + x y 2x
【分析】由 2x + y =1，可得 =1+ + ，再利用基本不等式计算即可得.
xy x y
y2 + x y 1 y 2x + y
【详解】 = + = + =1
y 2x y 2x
+ + 1+ 2 × = 2 2 +1，
xy x y x y x y x y
y 2x 2
当且仅当 =x y ，即 y = 2 -1, x =1- 时，等号成立.2
故选：D.
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知m, n 0, + 1， + n = 4，则m 9+ 的最小值为 .
m n
【答案】 4
【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
1
【详解】因为m, n 0,+ ， + n = 4，
m
m 9 1+ = 所以 m
9
+
1
+ n 1 9= mn + +10
n 4 è n ÷ è m ÷ 4 ÷è mn
1 9
2 mn × +104 ÷÷
= 4，
è mn
当且仅当mn
9
= ，即m =1， n = 3时取等号.
mn
故答案为： 4
1 1
3．（2024·江苏南通·二模）设 x > 0， y > 0， + 2y = 2，则 x + y 的最小值为（　　）x
3 3
A． B． 2 2 C． + 2 D．32 2
【答案】C
【分析】由不等式“1”的代换求解即可.
1 1
【详解】因为 + 2y = 2，所以 + y =1，
x 2x

因为 x > 0， y
1 1 1 1 1
> 0 ，所以 x + =
y
x +
y ÷
+ y
2x ÷
= + xy + +1
è è 2 2xy
3 xy 1 3 2 xy 1 3 2 2 3= + + + × = + = + 2 .
2 2xy 2 2xy 2 2 2
ì
xy
1
= ì 1+ 2
2xy x =
当且仅当 í ，即 í 2 时取等.
1
+ y =1

y = 2 - 2 2x
故选：C.
考点三、拼凑法求最值
1 2
1．（2024·山西临汾·三模）若0 < x <1，则 + 的最小值是（
x 1 ）- x
A．1 B．4 C． 2 + 2 2 D．3+ 2 2
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为0 < x <1，所以1 - x > 0 ，
1 2 1 2
则 + = +

÷ × éx + 1- x ù = 3
1- x 2x
+ + 3 + 2 2 ，
x 1- x è x 1- x x 1- x
1- x 2x
当且仅当 = ，即 x = 2 -1时，等号成立，取得最小值x 1- x 3+ 2 2
，
故选：D．
f x x 12．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 = + x > 3 在 x = a处取最小值，则a = ．
x - 3
【答案】4
f x x 3 1【分析】利用配凑法可得 = - + + 3，结合基本不等式计算即可求解.
x - 3
f x x 1 x 3 1 3 2 (x 3) 1【详解】 = + = - + + - × + 3 = 5，
x - 3 x - 3 x - 3
1
当且仅当 x - 3 = 即 x = 4时取等号，
x - 3
即 x = 4时取最小值，故 a = 4．
故答案为：4
y 4x
3．（2024·江西赣州·二模）已知 y > x > 0，则 -y x 2x y 的最小值为 .- +
2
【答案】 3
y 4x
【分析】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对 -y - x 2x y 进行变形配凑，再结合基本不等+
式即可求解最小值.
【详解】由题 y > x > 0，所以
y 4x y 4x + 2y - 2y y 2y
- = - = + - 2
y - x 2x + y y - x 2x + y y - x 2x + y
y 1 2 = + - 2 = y
2 2
+ - 2
è y - x 2x + y
÷ ÷
è 2y - 2x 2x + y
1
= é 2y
2 2
- 2x + 2x + y ù + ÷ - 23 è 2y - 2x 2x + y
2 2 2x + y 2y - 2x = + + - 23 è 2y - 2x 2x + y
÷

2 2 2 2x + y ·2y - 2x
8 2
+
3 2y 2x 2x y ÷
- 2 = - 2 = ，
è - +
÷
3 3
2x + y 2y - 2x
当且仅当 = ，即 2x + y = 2y - 2x ，即 y = 4x2y 2x 2x y 时等号成立.- +
2
故答案为： .3
4x 4x + 2y - 2y 2y
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于巧妙变形分离- = - = - 22x 和配凑+ y 2x + y 2x + y
y 1= é 2y - 2x + 2x + y ù3 .
2
1．（2024·全国·模拟预测）已知 x >1， y > 0，且 x + = 2
1
，则 + yy 的最小值是 ．x -1
【答案】3+ 2 2 / 2 2 + 3．
【分析】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
2 2
【详解】由 x + = 2 ，得 x -1+ =1y y ，
因为 x >1， y > 0，
所以 x -1 > 0, y > 0，
1 2 1
所以 + y = x -1+ ÷ + y ÷ = 3 + (x -1)y
2 3 2 (x 1)y 2+ + - × = 3+ 2 2 ，
x -1 è y è x -1 (x -1)y (x -1)y
当且仅当 (x -1)y
2
=
(x 1)y ，即 x = 2 ， y = 2 + 2 时，等号成立，-
1
所以 + y 的最小值是
x -1 3 + 2 2
．
故答案为：3+ 2 2 ．
1 2 1
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 a > 0,b > 2，且 + = ，则 2a + b 的最小值是 ．
a +1 b - 2 3
【答案】24
【分析】变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值
1 2 1
【详解】因为 a > 0,b > 2，且 + = ，
a +1 b - 2 3
3 6
所以 + =1，
a +1 b - 2
所以 2a + b = é2 a +1
3 b - 2 12 a +1
+ b - 2 é 3 6 ù 6 6 ù ê + ú = + + + a +1 b - 2 a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
12 2 + × = 24，
a +1 b - 2
3 b - 2 12 a +1
当且仅当 = ，即b - 2 = 2(a +1)， a = 5,b =14时等号成立，
a +1 b - 2
故答案为： 24
考点四、换元法求最值
4x y
1．（2022 高三上·全国·专题练习）已知 x，y > 0，求 +4x + y x + y 的最大值.
4
【答案】
3
ì x a - b=
ì4x + y = a 3 4x y 8 4b a
【分析】根据题意分别设 í ，然后可求出 í ，再化简 + = -
+ ，再结
x + y = b y 4b - a 4x + y x + y 3
3a 3b ÷
= è
3
合基本不等式即可求解.
【详解】
ì a - b
ì4x + y = a x = 3
设 í x y b ，则 í ， + = y 4b - a=
3
4 a - b 4b - a
因此 4x y 3 4 4b 4 a 8 4b a+ = + 3 = - + - = - +

4x + y x + y a b 3 3a 3 3b 3 3a 3b ֏
4b a 4 4 4b a
因 + 2 = ，当且仅当 = ，即 a = 2b时取等号，
3a 3b 9 3 3a 3b
4x y 8 4b a 4
所以 + = -

+

4x + y x + y 3 3a 3b ÷
.
è 3
4x y
+ 4故 4x y x y 的最大值为 .+ + 3
1 1 2 1 1
2．（2023·全国·模拟预测）已知 a > 1，b > ， + =1，则 + 的最大值为 ．
2 a -1 2b -1 a b
3
【答案】 / 0.73
4
【分析】
通过换元，将分式变成整式，再通过“1”的代换和基本不等式求出即可.
1 1
【详解】令 = x ， = y，
a -1 2b -1
x +1 y +1
则 x > 0， y > 0， a = ，b = ， x + 2y =1，所以 x +1+ 2y + 2 = 42y ，x
1 1 x 2y x +1-1 2 y +1 - 2 3 1 2所以 + = + = + = - -
a b x +1 y +1 x +1 y +1 x +1 y +1
é 2 y +1 2 x +1 ù
= 3 1 1 2 x 1 2y 2 3 1 5 - + + + + = - + +4 è x +1 y +1÷ ê 4 x +1 y +1
ú

3 1
é 2 y +1 2 x +1 ù
- ê5 + 2 3× ú = ，
4 ê x +1 y +1 ú 4
x 1当且仅当 = ， y
1
= ，即 a = 4，b = 2 时等号成立．
3 3
3
故答案为：
4
1 n + 3
1．（2020·甘肃兰州·二模）设 m，n 为正数，且m + n = 2，则 + 的最小值为 .
m +1 n + 2
9
【答案】
5
【分析】令 a = m +1,b = n + 2
1 n + 3 1 1
a b 5 + 1 1，则 + = ， 可化为 + +1，利用基本不等式可求 + 的最
m +1 n + 2 a b a b
小值，从而可得所求的最小值.
【详解】令 a = m +1,b = n + 2，则 a + b = 5，且1 < a < 3， 2 < b < 4，
1 n + 3 1 1
又 + = + +1，
m +1 n + 2 a b
1 1 1 1 1 a b 1 b a 1 4而 + =
a b 5
+
a b ÷
+ = 2 + + ÷ 2 + 2 = ，
è 5 è a b 5 5
a b 5当且仅当 = = 时等号成立，
2
1 n + 3 9
故 + 的最小值为 .
m +1 n + 2 5
9
故答案为： .
5
【点睛】本题考查多变量代数式的最值问题，一般可用基本不等式来求最值，但需要对原代数式化简变形
以便出现和为定值或积为定值的形式，注意利用基本不等式求最值时要验证等号是否成立.
2 1
2．（2024·浙江·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，若 2 + 2 =1，则 ab的最大值为（ ）a + 2ab b + ab
A． 2 - 2 B． 2 + 2 C． 4 + 2 2 D． 4 - 2 2
【答案】D
2 1 a
【分析】首先变形 ab = ab 2 + 2 ÷，化简后换元 = x > 0，转化为关于 x 的式子，利用基本不è a + 2ab b + ab b
等式求最值.
2 1 2ab ab
【详解】 ab = ab
è a2
+ = + ，
+ 2ab b2 + ab ÷ a2 + 2ab b2 + ab
2 1
= a +2 b+ +1，
b a
a
设 = x > 0，
b
ab 2 1 2 x 2 1= + = + = - +1
则 x + 2 1 +1 x + 2 x +1 x + 2 x +1 ，
x
x 1 1= + = 2 +1
1
+1 = 4 - 2 2
x + 2 x +1 x + + 3 2 2 + 3 ，
x
当 x
2
= a，即 x = 2 ， = 2b 时等号成立，x
所以 ab的最大值为 4 - 2 2 .
故选：D
考点五、二次与二次（一次）的商式求最值
2
1．（2023 · · 2x + x + 3高三 全国 专题练习）函数 f x = x < 0 的最大值为 .
x
【答案】1- 2 6 / -2 6 +1
2
【分析】首先化简可得 f x 2x + x + 3= = 2x 3+ +1 = -(-2x 3+ ) +1，由 -x > 0则可以利用基本不等式求最
x x -x
值即可.
【详解】因为 x < 0 ，则 -x > 0，
2
f x 2x + x + 3 3 3所以 = = 2x + +1 = -(-2x + ) +1
x x -x
≤ -2 -2x 3× +1 =1- 2 6 ，
-x
3
当且仅当-2x = 6，即 x = - 时等号成立，
-x 2
所以 f x 的最大值为1- 2 6 .
故答案为：1- 2 6 .
3k 3 + 3k
2．（23-24 高一上·上海浦东新·期中）已知实数 k > 0，则 3 k 2 14 14k 2 3+ + 的最大值为 ． 2 ÷ 2 ÷è è
21
【答案】
175
1
【分析】化简整理后，将 k + 看成一个整理，利用基本不等式求最值即可.
k
1
3k 3 + 3k 3k 3
3 k +
+ 3k k ֏
【详解】 = =
3 2 9 9 21
k +14

÷ 14k
2 3+ ÷ 21k
4 + k 2 +196k 2 + 21 21k 2 + +196 +
è 2 è 2 4 4 k 2
3 1 k + k ֏ 3 3 3 21= 2 = = =
1 9 21 k 1 62521 k + - 42 + +196 + + 2 21 k 1 625
25 21 175 ，
÷ k ÷ 1 + è k 4 è ÷4 k + ÷ è k 4 1k k +

è ÷è k
21 k 1 625 +
=
k ÷ 1 1 625当且仅当， è 4 k +
，即 k + = 时，等号成立.
÷ k 84
è k
21
故答案为：
175
f (x)= 3x - 31．（22-23 高三上·福建泉州·期中）函数 2 在 (1, + )上的最大值为 ．2x - x +1
3
【答案】
7
f t 3
【分析】令 x
=
-1 = t ，则 t > 0，则 2t 2+ 3+ ，利用基本不等式计算可得.
t
【详解】解：因为 f (x)=
3x - 3
2 ， x (1,+ )，令 x -1 = t ，则 t > 0，2x - x +1
f t 3t 3t 3 3 3=
2(t +1)2
=
- (t +1) +1 2t 2
= 2 =则 + 3t + 2 2t + 3+ 7
t 2 2t
2
× + 3 ，
t
2
当且仅当 2t = ， t =1即 x = 2时，等号成立．
t
故 f (x)
3
的最大值为 ．
7
3
故答案为：
7
2
2．（2023 · · x + 2x + 3高三 全国 专题练习）当 x > -1时，求函数 y = 的最小值.
x +1
【答案】 2 2
【分析】将函数变形成 y = x +1
2
+ ，再利用重要不等式即可求出结果.
x +1
【详解】因为 x > -1，所以 x +1 > 0，
x2
2
+ 2x + 3 x +1 + 2y 2= = = x +1+ 2 x +1 2 = 2 2 ，
x +1 x +1 x +1 x +1
当且仅当 x +1
2
= ，即 x = 2 -1时，等号成立，x +1
x2 + 2x + 3
所以函数 y = 的最小值为 2 2 .
x +1
考点六、两次应用基本不等式求最值
2xy + yz
1．（23-24 高一上·上海徐汇·期中）若 x，y，z 均为正实数，则 4x2 4y2 3z2 的最大值是 ．+ +
3
【答案】
6
【分析】
将 4y2 拆开为3y2 + y2 ，同时用两次均值不等式构造相同结构即可.
【详解】 4x2 + 4y2 + 3z2 = 4x2 + 3y2 + y2 + 3z2
2 4x2 ×3y2 + 2 y2 ×3z2 = 2 3 2xy + yz ，
2xy + yz 2xy + yz 3
所以 =4x2 + 4y2 + 3z2 2 3 2xy + yz 6 ，
当且仅当 2x = 3y = 3z 时取到等号，
3
故答案为：
6
8ab22 23-24 · · a,b,c b + c =1 + a 16．（ 高三下 重庆 阶段练习）对任意的正实数 ，满足 ，则 + 的最小值为 .
bc a +1
【答案】16 2 -8
8ab2 + a 16
【分析】变形得到 + = a
9b c 16
× + + 2

÷ + ，利用两次基本不等式，求出最小值.bc a +1 è c b a +1
【详解】任意的正实数 a,b,c，满足b + c =1，
8ab2 + a 16 8b2 +1 16 8b2 + b + c 2a 16+ = × + = a × +
bc a +1 bc a +1 bc a +1
9b2 + 2bc + c2a 16 a 9b c 2 16= × + = × + + +bc a +1 ÷è c b a +1
9b c 9b c
由于b,c为正实数，故由基本不等式得 + 2 × = 6，
c b c b
9b c 1 3
当且仅当 = ，即b = ,c = 时，等号成立，
c b 4 4
a 9b c 16 16 16所以 × + + 2

÷ + 8a + = 8 a +1 + -8
è c b a +1 a +1 a +1
2 8 a +1 16× -8 =16 2 -8，
a +1
16
当且仅当8 a +1 = ，即
a +1 a = 2 -1
时，等号成立，
8ab2 + a 16
综上， + 的最小值为16 2 -8 .
bc a +1
故答案为：16 2 -8
【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比
如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
b a
1．（23-24 高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数 a,b,c满足 a + 2b c，则 + 的最小值为 .
a 2b + c
3
【答案】 / 0.75
4
b a b a b 1+
【分析】利用 a + 2b c可把 + 放缩为 + 即 b 的形式，利用基本不等式可求后者的最
a 2b + c a 4b a c+ 4 +1a
小值.
b a b a b 1
+ + = +
【详解】因为 a + 2b c > 0，故 a 2b + c a 4b + a a 4 b +1 .
a
b 1 1
+ = 4 b 1 1 1 1+ + - 2 4 b 1 1 1 3+ × - =
又 a b ÷ ÷4 +1 4 è a 4 b +1 4 4 è a 4 b +1 4 4
，
a a a
1 (4 b 1+1) = b 1
当且仅当 4 a 4 b +1，即 = 时等号成立.
a a 4
b a 3
故 + 的最小值为 .
a 2b + c 4
3
故答案为： .
4
2
2 2023· · a b c ac + 2a 8．（ 江西 一模）已知 ， ， 是正实数，且b + c = 6 ，则 + 最小值为 .
bc a +1
【答案】6
2
a b c “1” c + 2【分析】由于 ， ， 是正实数，且b + c = 6 ，所以先结合基本不等式 的代换求 的最小值，得
bc
c2 + 2 2 8
2 ac + 2a 8，则 + 2a 8+ ，再根据基本不等式凑项法求 2a + 的最小值，即可求得
bc bc a +1 a +1 a +1
ac2 + 2a 8
+ 的最小值.
bc a +1
ac2 + 2a 8 c2 + 2 8
【详解】解： + = a × + ，由于 a，b ， c是正实数，且b + c = 6 ，
bc a +1 bc a +1
2 b + c 2
所以 c + 2 c 2 c 1 c 1 b
2 + 2bc + c2
= + = + × = + ×
bc b bc b 3 bc b 3 bc
c b 2 c 4c b 2 4c b 2 4 2 4c b
= + + + = + + 2 × + = + = 2，当且仅当 = ，即b = 2c，所以
b 3c 3 3b 3b 3c 3 3b 3c 3 3 3 3b 3c
b 2 6 6= ，c = 时等号成立，
3 3
c2 + 2 ac2 + 2a 8 8 8 8
则 的最小值为 2，所以 + 2a + = 2 a +1 + - 2 2 2 a +1 × - 2 = 6，
bc bc a +1 a +1 a +1 a +1
当且仅当 2 a +1 8= ，即 a =1时等号成立，
a +1
ac2 + 2a 8
则 + 最小值为6 .
bc a +1
故答案为：6 .
考点七、条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若 ex - 2 = e2 y ，则 x - y的最小值为（ ）
1 5ln 2A． 2 B． 2 C．1 D． 4
【答案】D
【分析】将 ex 和 e2 y 两边放，然后两边同时除以 e y ，凑出 x - y，再用基本不等式即可.
1
【详解】因为 ex - 2 = e2 y ， yex = e2 y + 22 ，两边同时除以 e ，得到
1 1
ex 2 yx- y e + 2 22y y 22
5
4 ，
e y
= e = y = e + 2 e = 2e e y e y
1
22 y 1n2 , x 3ln 2当且仅当e y = 即 = = 取“=”.
e y 4 2
5 1n2 3ln 2
则ex- y 24 ，当且仅当 y = , x = 取“=”.4 2
5 5ln 2 1n2 3ln 2
两边取自然对数，则 x - y ln 24 = ，当且仅当 y = , x = 取“=”.
4 4 2
故 x - y
5ln 2
的最小值为 .
4
故选：D.
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 x ， y ， z 满足 x2 + xy + yz + xz + x + z = 6 ，则3x + 2y + z 的最小值
是 .
【答案】 4 3 - 2
6 6
【分析】因式分解得到 x + z = x y 1 ，变形后得到
3x + 2y + z = 2 x + y +
+ + x + y 1，利用基本不等式求出最+
小值.
【详解】因为 x, y, z为正实数，
2
故 x + xy + yz + xz + x + z = 6 x2 + xz + xy + yz + x + z = 6，
6
即 x x + z + y x + z + x + z = 6 x + y +1 x + z = 6 x + z = x ，+ y +1
3x + 2y + z = 2 x + y + x + z = 2 x 6+ y +
x + y +1
= 2 x + y 6+1 + - 2 2 2 x + y +1 6× - 2 = 4 3 - 2，
x + y +1 x + y +1
当且仅当 2 x y 1 6 6+ + = x y 1，即 x + y = 3 -1，此时 x + z = = 2 3+ + x + y +1 ，
所以3x + 2y + z 的最小值为 4 3 - 2 .
故答案为： 4 3 - 2
3．（2023·江西·二模）实数 a，b > 0，满足：a3 + b3 + 7ab = 9 ，则 a + b 的范围是（ ）
2, 7A B é2,
7 C 2, 3 9 D é2, 3． ÷ ． ÷ ． ．
è 3 ê 3
9
【答案】D
【分析】用立方和公式和完全平方公式将 a3 + b3 用 a + b 与 ab表示，再分离出 ab，使用基本不等式求解即可.
【详解】∵ a3 + b3 + 7ab = 9 ，∴ a + b a2 - ab + b2 + 7ab = 9，
a + b é a + b 2∴ - 3abù + 7ab = 9，∴ a + b
3 - 3ab a + b + 7ab = 9，
∴ ab é 7 - 3 a + b ù = 9 - a + b
3
，
∵ a，b > 0，令 a + b = t ，则 ab 7 - 3t = 9 - t3
3 7
易知7 - 3t 与9 - t3均不为 0 且符号相同，∴ 7 - 3t 9 - t > 0 ，解得 t < 3 9 或 t > .3
（此时，可通过验证 a = b =1时，a3 + b3 + 7ab = 9 满足题意， a + b = 2 ，结合选项确定选项 D 正确.）
又∵ a > 0，b > 0， a + b = t > 0， ab 7 - 3t = 9 - t3 ，
∴ 9 - t
3
ab a + b
2
t 2
由基本不等式， = ÷ = ，当且仅当 a = b时，等号成立，7 - 3t è 2 4
t 2 9 - t3 t 2 7 - 3t - 4 9 - t3 t3 2∴ + 7t - 36- = = 0，
4 7 - 3t 4 7 - 3t 4 7 - 3t
3
又∵ t + 7t 2 - 36 = t3 -8 + 7t 2 - 28 = t - 2 t 2 + 2t + 4 + 7 t + 2 t - 2 = t - 2 t 2 + 9t +18 ，
t - 2 t 2 + 9t +18
∴ 0 ，（当 t > 0时， t 2 + 9t +18 > 0），
4 7 - 3t
∴解得 2
7 7
t < ，即 2 a + b < ，当且仅当 a = b =1时，等号成立.
3 3
∴综上所述， a + b 3的取值范围是 é 2, 9 .
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视 ab 7 - 3t = 9 - t3 中的7 - 3t 与9 - t3同号，直接使用基本不等式求解，就容
易错解，而优先考虑7 - 3t 与9 - t3同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
1．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 ab = 32 ，则 4a2 + b + 2a ×b的最小值为 ．
【答案】64
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】法一：因为 a > 0，b > 0，所以 4a2 + b 2 4a2b = 4a b ，
当且仅当2a = b ，即 a = 2，b =16时，等号成立，
3 3 3 1 3
所以 4a b + 2a ×b 2 4 2a 2 ×b2 = 2 4 2 322 = 2 322 322 = 2 322 = 64，
当且仅当 4a b = 2a ×b ，即 a = 2，b =16时，等号成立．
所以 4a2 + b + 2a ×b的最小值为 64．
法二：因为 a > 0，b > 0， ab = 32 ，
所以 4a2 + b + 2a ×b 2 4a2b + 2ab2
= 4 ab ×a + 2ab ×b = 4 32a + 64b =16 2 × a + 8 b
= 8 2 2 × a + b 8 2 2 2 × ab =16 2 2 32 = 64 ，
ì4a2 = b
a = 2
当且仅当 í2 2 a
ì
× = b ，即 í
b 16
时，等号成立．
=
ab = 32
所以 4a2 + b + 2a ×b的最小值为 64．
故答案为：64.
2．（2024·浙江绍兴·三模）若 x, y, z > 0，且 x2 + xy + 2xz + 2yz = 4，则 2x + y + 2z的最小值是 ．
【答案】 4
【分析】由题意可借助 x 、 y 表示出 z ，从而消去 z ，再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
4 - x2 - xy
【详解】由 x2 + xy + 2xz + 2yz = 4，则 2z = ，
x + y
4 - x2 - xy 2x + y2x x + y + 4 - x
2 - xy
即 + y + 2z = 2x + y + =
x + y x + y
2x2 + 3xy + y2 + 4 - x2 - xy x2 + 2xy + y2 + 4 x + y 2 + 4
= = =
x + y x + y x + y
x y 4= + + 2 x + y 4× = 4，
x + y x + y
当且仅当 x + y
4
= ，即 x + y = 2x y 时，等号成立.+
故答案为： 4 .
8 3
3．（22-23 高三上·天津和平·阶段练习）已知正数 x, y满足 2 + =1，则 xy3x 2xy xy 2y2 的最小值+ +
是 ．
5
【答案】
2
8 3
【分析】根据题意，将等式 3x2
+ =1
2xy xy 2y2 化简变形，得到
xy的表达式，根据表达式特征利用换元
+ +
法构造函数，求导得出函数单调性即可得出最小值.
8 3
+ =1 8(xy + 2y
2 ) + 3(3x2 + 2xy)
【详解】根据题意，由 2 2 可得 2 =13x + 2xy xy ，+ 2y (3x + 2xy)(xy + 2y2 )
即16y2 + 9x2 +14xy = 3x3 y + 8x2 y2 + 4xy3 = xy(4y2 + 3x2 + 8xy)
y2 y
16y2 + 9x2 +14xy 16 2 + 9 +14
所以 2 = xy =
x x
；
4y + 3x2 + 8xy y24 3 y2 + + 8x x
2
又因为 x, y
y
均是正数，令 = t 0,+ ，则 xy = f (t) 16t +14t + 9=
x 4t 2 + 8t + 3
f (t) 16t
2 +14t + 9 18t + 3 1
= = 4 - = 4 -
所以， 4t 2 + 8t + 3 4t 2 + 8t + 3 4t 2 + 8t + 3
18t + 3
g(t) 4t
2 + 8t + 3
令 = ，
18t + 3
16 16 16
则 g(t) 2 11 2= t + + 9 = t 1 10+ + 9 + 2 2 t 1 9 10 18+ + =
9 27 18t + 3 9 è 6 ÷ 18t + 3 27 9 ÷è 6 18t + 3 27 27
16 1
当且仅当 2
t
1
+ ÷ =
9 ，即 t = 时，等号成立；
9 è 6 18t + 3 2
f (t) = 4 1- 2 4
1 45 5
- 18 = =所以 4t + 8t + 3 18 2
18t + 3 27
所以 f (t) 的最小值为 f (t)
5
min = ;2
t y 1即当 = = , x = 2y = 5 时，即
x 2 x = 5, y
5
= 时，等号成立.
2
5
故答案为：
2
【点睛】关键点点睛：根据等式特征可知，利用基本不等式条件不明显，所以首先得出 xy的表达式，根据
16y2 + 9x2 +14xy
2 2 = xy 可利用齐次式特征构造函数，再进行化简凑成基本不等式求解即可.4y + 3x + 8xy
考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1
1．（23-24 高三上·福建漳州·阶段练习）已知"x > 3， x + m恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
x - 3
【答案】 - ,5
【分析】问题化为 x (3,+ ) 上 (x
1
+ )min m，利用基本不等式求左侧最小值，注意取值条件，即可得参x - 3
数范围.
1
【详解】由题设，只需 x (3,+ ) 上 (x + ) m即可，
x - 3 min
又 x - 3 > 0 x 1，则 + = (x - 3) 1+ + 3 2 (x 1- 3) × + 3 = 5，
x - 3 x - 3 x - 3
1
当且仅当 x - 3 = x = 4 时等号成立，
x - 3
所以m 5，所求范围为 - ,5 .
故答案为： - ,5
1 2
2．（2023 高一上·全国·专题练习）已知 x, y (1, 2)且 x + y = 3，若 + a恒成立，则实数 a2x - y 2y 的范- x
围是 ．

, 3+ 2 2
ù
【答案】 - 3 úè
a 1 2 1 2【分析】依题意得 +2x y 2y x ÷ ，利用基本不等式“1”的代换求出
+
2x y 2y x 的最小值，即可得è - - min - -
解.
1 2
【详解】因为 x, y (1, 2)
1 2
且 x + y = 3，若 + a2x y 2y 恒成立，则
a + ，
- - x è 2x - y 2y - x
÷
min
1 2 1 1 2
又 + = + 2x - y + 2y - x
2x - y 2y - x 3 è 2x - y 2y - x
÷

1 é 2y - x 2 2x - y ù 1 é 2y - x 2 2x - y ù 3+ 2 2
= ê3 + + ú ê3 + 2 × ú = ，3 2x - y 2y - x 3 ê 2x - y 2y - x ú 3
2y - x 2 2x - y
当且仅当 = ，即 x = 2 ， y = 3- 2 时等号成立，
2x - y 2y - x
3+ 2 2 3+ 2 2 ù
所以 a ，即实数 a的取值范围是 - , ú ．3 è 3
ù
故答案为： - ,
3+ 2 2
．
è 3
ú

4x4 +17x2 y + 4y2 m
3．（2023·广东湛江·二模）当 x ， y 0, + 时， 4 2 2 < 恒成立，则 m 的取值范围是（ ）x + 2x y + y 4
25,+ 26, + 99 A． B． C． ,+ D4 ÷ ． 27, + è
【答案】A
2
【分析】将左侧分式的分子因式分解成 4x + y x2 + 4y 的形式，再利用均值不等式的结论进行计算即可以
得到结果.
2
4x2 + y + x2 + 4y
【详解】当 x y 0, + 4x4 +17x2 y + 4y2， 时， 4x2 + y x2 + 4y 2 ÷= è 25 ，
x4 + 2x2 y + y2 2 2 2
=
x + y x2 + y 4
当且仅当 4x2 + y = x2 + 4y ，即 y = x2 时，等号成立，
4x4 +17x2 y + 4y2 25
所以 4 2 2 的最大值为 ．x + 2x y + y 4
m 25
所以 > ，即m > 25．
4 4
故选：A.
x2 y2
1．（2024·江西·一模）已知正数 x，y 满足 x + y = 6，若不等式 a + 恒成立，则实数 a 的取值范围
x +1 y + 2
是 ．
【答案】 - , 4
【分析】
x2 y2 x 1 1 2 y 2 4 1 4 1 4将 + 变形为 + + - + + + - 4 = 3 + +x 1 y 2 x ，利用均值不等式求
+
x +1 y + 2 + + +1 y + 2 x +1 y
的最
+ 2
小值即可求解.
【详解】因为 x + y = 6，
2 2
t x y
2 x +1 - 2 x +1 +1 y + 2 2 - 4 y + 2 + 4
所以 = + = +
x +1 y + 2 x +1 y + 2
x 1 1 2 y 2 4 1 4= + + - + + + - 4 = 3+ +
x 1 y 2 x 1 y 2 ，+ + + +
t 3 1 4 x +1+ y + 2 1 4 所以 = + + = 3 + +
x +1 y + 2 9 è x +1 y + 2
÷

32 y + 2 4 x +1 32 y + 2 4 x +1
= + + + 2 = 4，等号成立当且仅当 y = 4, x = 2，
9 9 x +1 9 y + 2 9 9 x +1 9 y + 2
x2 y2
所以 + ÷ = 4， a 4，
è x +1 y + 2 min
故实数 a 的取值范围是 - , 4 .
故答案为： - , 4
x2 y2 1 4
【点睛】关键点点睛：解题关键是先得到 + = 3 + + ，再进一步结合乘“1”法即可顺利得解.
x +1 y + 2 x +1 y + 2
1 4x2 y2
2．设正实数 x, y满足 x > , y >1，不等式 + m恒成立，则m 的最大值为 （ ）
2 y -1 2x -1
A．8 B．16 C． 2 2 D． 4 2
【答案】A
2 2
【分析】设 y -1 = b, 2x -1 = a ，求出 x, y
4x y
的值，代入 + 中化简，利用基本不等式求出结果.
y -1 2x -1
【详解】设 y -1 = b, 2x -1 = a ，则 y = b +1 b > 0 , x 1= a +1 a > 0
2
4x2 y2 a +1 2 b +1 2 a +1 b +1 ab + a + b2 2 +1所以 + = + =
y -1 2x -1 b a ab ab

= 2 1 a + b 1 2 ab ab + + ÷ 2 2 ab × + ÷÷ = 2 × 2 + 2 = 8 è ab ab è ab ab
当且仅当 a = b =1即 x = 2, y =1时取等号
4x2 y2
所以 + 的最小值是8，则m 的最大值为8 .
y -1 2x -1
故选 A
1
【点睛】本题考查基本不等式，解题的关键是设 y -1 = b, 2x -1 = a ，得出 y = b +1 b > 0 , x = a +1 a > 0
2
进行代换，属于偏难题目.
3
3．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）设实数 x，y 满足 x > ， y > 3，不等式
2
k 2x - 3 y - 3 ≤8x3 + y3 -12x2 - 3y2 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3
【答案】B
2 2 2 2
【分析】令 a = 2x - 3 > 0，b = y - 3 > 0
4x y 4x y
，不等式变形为 + k ，求出 + 的最小值，从而
y - 3 2x - 3 y - 3 2x - 3
得到实数 k 的最大值.
【详解】 x
3
> ， y > 3，变形为 2x - 3 > 0，y - 3 > 0，
2
令 a = 2x - 3 > 0，b = y - 3 > 0 ，
3 3 2 2
则 k 2x - 3 y - 3 8x + y -12x - 3y 转化为
8x3 + y3k -12x
2 - 3y2 4x2 y2
，即 + k2x 3 y 3 ，- - y - 3 2x - 3
2 2
4x2 2
2 2 2 3a 2 3b
其中 y a + 3 b + 3 + = + +
y - 3 2x - 3 b a b a
=12 a b+ ÷ 24
a b
× = 24
è b a b a
ìa = 3,
b = 3
当且仅当 í ，即 x = 3, y = 6时取等号，可知 k 24 .
b a
= a b
故选：B
【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，先分离参数后，然后利用基本不等式求最值.
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系
1．（23-24 高三上·江苏扬州·期末）若 a > b >1, x ln
a + b , y 1= = lna + lnb , z = lna × lnb ，则（
2 2 ）
A． x < z < y B． y < z < x
C． z < x < y D． z < y < x
【答案】D
【分析】应用对数运算性质及基本不等式判断各式的大小关系.
【详解】由 x = ln
a + b , y 1= ln a + ln b = ln ab , z = ln a × ln b ，
2 2
1
而 a > b >1，则 ln a > ln b > 0，所以 ln a + ln b > ln a × ln b ，即 y > z ，
2
a + b
由 > ab ，则 ln
a + b
> ln ab ，即 x > y ，
2 2
综上， x > y > z .
故选：D
2 1 1
2．（23-24 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数 a,b,c满足 + + = 2 .
a b c
(1)若 a = 2，求b + c 的最小值；
1 1 1 3
(2)证明： + + < .
a + 2b a + 2c b + c 4
【答案】(1)4
(2)证明见解析
1 1 c b
【分析】（1）根据题意，得到 + = 1，化简得到b + c = 2 + + ，结合基本不等式，即可求解；
b c b c
1 1 2 4 , 2 1 4 8 , 2 1 4 8（2）根据题意，得到 + + + b c bc b+c a b 2ab a + 2b a c 2ac a 2c
，再由
+
8 8 8 2 1 2 1 2 2
+ + + + + + + = 3×(2 1 1 2+ + )- ，即可得证.
a+2b a+2c b+c a b a c b c a b c a
1 1
【详解】（1）解：当 a = 2时，可得 + = 1，
b c
b c (b c)(1 1) 2 c b c b所以 + = + + = + + 2 + 2 × = 4，
b c b c b c
当且仅当b = c = 2时，等号成立，所以b + c 的最小值为 4 .
（2）证明：因为 a,b,c R* ，可得b + c 2 bc ,a + 2b 2 2ab , a + 2c 2 2ac ,
1 1 2 4 2 1 4 8 2 1 4 8
所以 + , + , + b c ，bc b+c a b 2ab a + 2b a c 2ac a + 2c
a
当且仅当b = c = 时，等号成立，
2
2 1 1 2 8 8 8 2 1 2 1 2 2+ + + + + + + 3 (2 1 1 2 2 1 1因为 + + = ，所以 = × + + ) - < 3 × ( + + ) = 6，
a b c a +2b a +2c b+c a b a c b c a b c a a b c
1 1 1 3
所以 + + < .
a + 2b a + 2c b + c 4
1 1 1
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 a,b,c为正数，且 + + = 1 .a b c 证明：
(1) a2 + b2 + c2 abc ；
1 1 2
(2) + + 6 .
a b c
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）由关于 a,b,c三个重要不等式左右分别相加，得到 a2 + b2 + c2 ab + bc + ac，结合题设条件推得
ab + bc + ac = abc 代入即得；
1 1 2 1 2 12 2
1 2
（ ）先证明三维的柯西不等式，再利用柯西不等式将左式 + + 化成 ( ) + ( ) + ( ) ，再构
a b c a b c
造不等式
é( 1 )2 ( 1 )2 ( 1 )2 ù 12 12 22 ( 1 1 2
2
ê + + ú + + + + )
2 1 1 1 1 1 2
，化简得到6
a b c a b c
+ + + + ，代入条
è a b c ÷ ÷è a b c
件即得.
【详解】（1）因为 a,b,c
1 1 1
为正数， + + = 1a b c ，
所以 ab + bc + ac = abc ，
因为 a2 + b2 2ab,b2 + c2 2bc,a2 + c2 2ac，
所以 a2 + b2 + c2 ab + bc + ac = abc，当且仅当 a = b = c时等号成立，
所以 a2 + b2 + c2 abc .
（2）先证明三维的柯西不等式.
已知 x1, x2 , x , y , y , y R, : (x
2 + x2 + x2 )(y2 + y23 1 2 3 求证 1 2 3 1 2 + y
2
3 ) (x1 y1 + x2 y2 + x3 y3)
2
x1 x x,当且仅当 = 2 = 3y y y 时取等号.1 2 3
f (t) = (x2证明：设 1 + x
2
2 + x
2
3 )t
2 - 2(x y + x y + x y )t + (y21 1 2 2 3 3 1 + y
2 2
2 + y3 )
① x2 2当 1 + x2 + x
2
3 = 0，即 x1 = x2 = x3 = 0 时，不等式显然成立；
②当 x21 + x
2 + x2 > 0 f (t) = (x2t 2 - 2x y 2 2 2 2 2 2 22 3 时， 1 1 1t + y1 ) + (x2t - 2x2 y2t + y2 ) + (x3 t - 2x3 y3t + y3 )
= (x1t - y1)
2 + (x t - y )2 + (x t - y )22 2 3 3
x
∵ 1
x2 x3
对于任意实数 t ，都有 f (t) 0 ,当且仅当 = =y y y 时取等号,1 2 3
∴ D 0 4(x y + x y + x y )2，即 1 1 2 2 3 3 - 4(x
2
1 + x
2 2
2 + x3 )(y
2
1 + y
2 + y22 3 ) 0
∴ (x2 + x2 + x2 )(y2 + y2 + y2
x x x
1 2 3 1 2 3 ) (x1 y1 + x
2
2 y2 + x3 y3) ,
1 = 2当且仅当 = 3y y 时取等号.故得证.1 2 y3
é 1 2 1 2 1 2 ù 2 2 2 1 1 2 2
由柯西不等式，得 ê( ) + ( ) + ( ) 1 +1 + 2 ( + + )
a b c ú a b c
2
6 1 1 1 1 1 2 ，即 + + ÷ + + .è a b c ÷è a b c
2
1 1 1 1 1 2
因为 + + = 1a b c ，所以 + + ÷ 6 ，è a b c
1 1 1 3
当且仅当 a a = b = 6,c == b = c ，即 时，等号成立，2
1 1 2
1 1 2
故得： + + 6 .
a b c
1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数 a,b,c满足 a < b < c且 abc < 0，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． ac < bc B．ab < ac
b c 2 b aC． + > D． + > 2
c b a b
【答案】C
【分析】由不等式的性质判断 A、B，根据基本不等式可判断 C、D.
【详解】因为 a < b < c且 abc < 0，所以 a < 0 < b < c 或 a < b < c < 0 ，
对 A：若 a < 0 < b < c ，则 ac < bc，若 a < b < c < 0 ，则 ac > bc ，A 错误；
对 B：∵ b < c ， a<0，∴ ab > ac ，B 错误；
对 C：由 a < 0 < b < c 或 a b c 0
b
< < < ，知 > 0且b < c b c b c，∴ + > 2 = 2，C 正确；
c c b c b
b b a
对 D：当 a < 0 < b < c 时，有 < 0，从而 + < 0
a a b
当 a < b < c
b
< 0 ，则 > 0且 a < b b a，∴ + > 2 b a = 2 ，D 错误.
a a b a b
故选：C
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知实数 a，b，c 满足 a + b + c =1．
1 2
(1)若 2a2 + b2 + c2 = ，求证：0 a ；
2 5
2 2 2
(2)若 a，b， c 0, + a b c 1，求证： + + ．
1- a 1- b 1- c 2
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
1 2
【分析】（1）由题意可得b + c =1- a，又 - 2a2 = b2 + c2 1- a ，结合基本不等式可得 1 - 2a2 ，化简求2 2 2
0 a 2得 ，得证；
5
2 a
2 1- a a22 1- a
b2 1- b c2 1- c
（ ）法一，由已知条件得 + × = a ，同理可得 + b， + c ，三式
1- a 4 1- a 4 1- b 4 1- c 4
1
相加得证；法二，根据已知条件可得 é 1- a + 1- b + 1- c ù =1，所以2
a2 b2 c2 1 2 2 2
+ + = é 1 a 1 b

1 c a b c

- + - + - ù
1- a 1- b 1- c 2
+ + ，利用柯西不等式求解证明.
è1- a 1- b 1- c
÷

【详解】（1）因为 a + b + c =1，所以b + c =1- a．
2 2 2 1
因为 2a + b + c = ，
2
b + c 2 1- a 2
所以 1 - 2a2 = b2 + c2 = ，当且仅当b = c 时等号成立，
2 2 2
2
整理得5a2 - 2a 0，所以0 a ．5
（2）解法一： 因为 a + b + c =1，且 a，b， c 0, + ，
2 2
所以1- a > 0，1- b > 0 ，1- c > 0 a 1- a，所以 + 2 a 1- a× = a ，
1- a 4 1- a 4
b2 1- b c2 1- c
同理可得 + b， + c ，
1- b 4 1- c 4
a2 b2 c2 5 3 1 1
以上三式相加得 + + a + b + c - = ，当且仅当 a = b = c = 时等号成立．
1- a 1- b 1- c 4 4 2 3
解法二：因为 a + b + c =1，且 a，b， c 0, + ，
1
所以1- a > 0，1- b > 0 ，1- c > 0，且 é 1- a + 1- b + 1- c ù =1，2
a2 b2 c2 1 2 2 2
所以 + + = é 1- a

+ 1- b + 1- c a b cù + +
1- a 1- b 1- c 2 è1- a 1- b 1- c
÷

2
1 1 a a 1 b b c 1 - × + - × + 1- c × ÷ = a + b
1
+ c 2 = ，
2 è 1- a 1- b 1- c 2 2
a b c 1当且仅当 = = = 时等号成立．
3
3．（2024·青海·一模）已知正数 a,b,c满足 a + b + c = 2．求证：
(1) a2 + b2 c2
4
+ ；
3
(2) 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 6．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】
（1）根据 a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac，结合基本不等式，即可得证；
1
（2）由 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 = × (2 × 3a + 2 + 2 × 3b + 2 + 2 × 3c + 2)，结合基本不等式，即可得证.
2
【详解】（1）证明：因为正数 a,b,c满足 a + b + c = 2，
由 a2 + b2 2ab,b2 + c2 2bc,a2 + c2 2ac，当且仅当 a = b = c时，等号成立，
可得 a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 3(a2 + b2 + c2 )，
3(a2 + b2 + c2 ) 4 a2 + b2即 ，所以 + c2
4
，当且仅当 a = b = c时，等号成立.
3
1
（2）证明：由 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 = × (2 × 3a + 2 + 2 × 3b + 2 + 2 × 3c + 2)
2
1 (4 + 3a + 2 4 + 3b + 2 4 + 3c + 2) 1 3 + + = ×[ (a + b + c) + 9] = 6，
2 2 2 2 2 2
当且仅当3a + 2 = 4,3b + 2 = 4,3c + 2 = 4
2
，即 a = b = c = ，等号成立.
3
所以 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 6 .
考点十、基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数 a，b 满足3a2 + 3b2 + 4ab = 5，则下列结论正确的是（ ）
2
A． ab <1 B． ab -
5
C． a2 + b2 2 D．- 2 a + b 2
【答案】AD
【分析】根据不等式 a2 + b2 2ab，结合已知等式3a2 + 3b2 + 4ab = 5变形可判断 A，C，D；由3a2 + 3b2 + 4ab = 5
可得3 a + b 2 = 5 + 2ab 0，结合实数的性质即可判断 B.
1
【详解】因为5 = 3a2 + 3b2 + 4ab 6ab + 4ab =10ab ,当且仅当 a = b 2= 时等号成立，所以 ab ，A 正确；
2 2
5
因为3a2 + 3b2 + 4ab = 5，所以3 a + b 2 = 5 + 2ab 0，所以 ab - ，B 错误；2
5 3a2 3b2 4ab 3a2 3b2 2a2 2b2 5a2 5b2 a b 2因为 = + + + + + = + ，当且仅当 = = 时等号成立，所以
2
a2 + b2 1，C 错误；
2
由3 a + b 2 = 5 + 2ab a + b 2 5 + 2 2 ÷ 整理，得 a + b 2，当且仅当 a = b = 时等号成立，
è 2 2
所以- 2 a + b 2 ，D 正确．
故选：AD．
2．（2024·河北保定·二模）已知 a2 + 4b2 + 2ab =1，则（ ）
A． ab
1 5
的最大值为 B． a2 + 4b2 的最小值为
6 7
C． a2 + 4b2
1
的最大值为 2 D． ab的最小值为-
3
【答案】AC
【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.
1
【详解】对 A：由 a2 + 4b2 4ab ，得 a2 + 4b2 + 2ab 6ab，所以 ab ，6
当且仅当 a = 2b时取等号，故 A 正确；
a2 + 4b2 3 a2 + 4b2B 2ab = a × 2b 2 对 ：由 ，得
2 a + 4b
2 + 2ab ，
2
2 2 2
所以 a + 4b ，当且仅当 a = 2b时取等号，故 B 错误；
3
a2 + 4b2 a2 + 4b2
对 C：由 2ab = a ×2b - ，得 a2 + 4b2 + 2ab ，
2 2
所以 a2 + 4b2 2，当且仅当 a = -2b 时取等号，故 C 正确；
对 D：由 a2 + 4b2 -4ab ，得 a2 + 4b2 + 2ab -2ab ，
1
所以 ab - ，当且仅当 a = -2b 时取等号，故 D 错误.
2
故选：AC.
3．（2024·浙江·二模）已知正实数 a,b,c，且 a > b > c, x, y, z
x y z
为自然数，则满足 + + > 0恒成立
a - b b - c c - a
的 x, y, z可以是（ ）
A． x =1, y =1, z = 4 B． x =1, y = 2, z = 5
C． x = 2, y = 2, z = 7 D． x =1, y = 3, z = 9
【答案】BC
x y z x y
【分析】将 + + > 0恒成立，转化为 a - b + b - c + > z 恒成立，再利用基本不等式
a - b b - c c - a è a - b b - c ÷
a b x y 2 2得到 - + b - c +

，转化为
a b b c ÷ x + y x + y > z 恒成立，逐项判断.è - -
【详解】解：因为正实数 a,b,c，且 a > b > c, x, y, z 为自然数，
所以 a - b > 0,b - c > 0, a - c > 0 ，
x y z x y z
则 + + > 0恒成立，即 + > 恒成立，
a - b b - c c - a a - b b - c a - c
x y
两边同乘 a - c = a - b + b - c，则 a - b + b - c + > z ，
è a - b b - c ÷
而 a - b + b - c x y +

，
è a - b b - c ÷
x b - c y a - b 2
= x y + + + x + y + 2 xy = x + y ，a - b b - c
x b - c y a - b x a - b 2
当且仅当 = ，即 =
a - b b - c y b - c ÷
时，等号成立，
è
x y z 2
若 + + > 0恒成立，则 x + y > z 恒成立，a - b b - c c - a
2
A.当 x =1, y =1, z = 4时， x + y = 4 = z ，不成立；
2
B.当 x =1, y = 2, z = 5时， x + y = 5 > z ，成立；
2
C.当 x = 2, y = 2, z = 7时， x + y = 7 > z ，成立；
D.当 x =1, y - 3, z = 9时， x + y 2 = 4 + 2 3 < z = 9，不成立，
故选：BC
1 4
1．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0，b > 0且 + = 2 ，则下列说法正确的是（ ）
a b
9
A． ab有最小值 4 B． a + b 有最小值
2
C． 2ab + a有最小值 2 5 D． 16a2 +b2 的最小值为 4 2
【答案】ABD
【分析】利用基本不等式可判断各选项.
1 4
【详解】A 1 4 1 4选项：由 2 = + 2 × ，得 ab 4，当且仅当 = ，即 a =1，b = 4 时取等号，故 A 选项
a b a b a b
正确；
a b 1 1 4 a b 1 b 4a 1
b 4a 9 b 4a 3
B 选项： + =
2
+
a b ÷
+ =
2
5 + + ÷ 5 + 2 × ÷÷ = ，当且仅当 = ，即 a = ，b = 3è è a b 2 è a b 2 a b 2
时取等号，故 B 选项正确；
1 4
C 选项：由 + = 2 ，得 2ab - 4a - b = 0，
a b
2ab a 5a b 1 1 4 5a b 1+ = + = + + = b 20a 1
b 20a 9 + 4 5
所以
2 a b ÷ 2
9 + + ÷
è è a b 2
9 + 2 ×
a b ÷÷
= ，
è 2
b 20a 5 + 2 5
当且仅当 = ，即 a = ，b = 2 + 5 时取等号，故 C 选项错误；
a b 10
D 选项：由 A 的分析知 ab 4且 a =1，b = 4 时取等号，
所以 16a2 + b2 2 × 4ab = 8ab 32 = 4 2 ，当且仅当 4a = b，即 a =1，b = 4 时取等号，故 D 选项正确；
故选：ABD．
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知 a < b < c a,b,c R ，且 a + 2b + 3c = 0，则下列结论成立的是（ ）
a c aA． + c < 0 B． + < -2
a c
b + 2c 1
C．存在 a， c使得a2 - 25c2 = 0 D． < -a + c 2
【答案】ABD
【分析】对于 A，据已知条件即可证明；对于 B，使用基本不等式即可证明；对于 C，据已知条件即可否定；
c
对于 D，将条件变形为 a + c = -2 b + c ，再利用 < 0即可证明结论.
a + c
【详解】对于 A，由 a < b < c及 a + 2b + 3c = 0，得3a + 3c < a + 2b + 3c = 0 ，所以 a + c < 0，A 正确.
对于 B，由 a < b < c及 a + 2b + 3c = 0，得6a < a + 2b + 3c = 0，所以 a < 0 .同理可得 c > 0 .
c c a é c a ù
又 a + c < 0，所以 -1 + = - - ，所以
a a c ê ÷
+ -a c ÷ú
< -2，B 正确.
è è
a
对于 C，由 a < b < c及 a + 2b + 3c = 0，得a + 2c + 3c > 0，所以a + 5c > 0，得 c > - > 0，
5
a2
所以 c2 > ，得a2 - 25c2 < 0，C 错误.
25
对于 D，由 a + 2b + 3c = 0，得 a + c = -2 b + c b + 2c b + c + c b + c c 1 c，所以 = = + = - + .
a + c a + c a + c a + c 2 a + c
c b + 2c 1
因为 a + c < 0， c > 0，所以 < 0，所以 < - ，D 正确.
a + c a + c 2
故选：ABD.
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数 x, y满足 x2 + 4y2 - 2xy =1，则（ ）
A． x + 2y 1 B． x + 2y -2
C． x2 + 4y2 2 D． x2 + 4y2 1
【答案】BC
【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断 AB；根据 (x - 2y)2 0 ，结合基本不等式计算即可判断
C；根据 (x + 2y)2 0，基本不等式计算即可判断 D.
【详解】A：由 x2 + 4y2 - 2xy =1，得 x2 + 4y2 + 4xy = 6xy +1，
(x 2y)2 6xy 1 3 ( x + 2y即 + = + × )2 +1，得 (x + 2y)2 4 ，
2
解得-2 x + 2y 2，当且仅当 x = 2y 时等号成立，故 A 错误；
B：由选项 A 的分析知 -2 x + 2y ，故 B 正确；
2 2
C：由 (x - 2y)2 0 ，得 x2 + 4 y2 4xy，即 2xy +1 x + 4y +1，
2
x2 4y2 2xy 1 x
2 + 4y2
所以 + = + +1，
2
得 x2 + 4y2 2，当且仅当 x = 2y 时等号成立，故 C 正确；
2 2
D：由 (x + 2y)2 0，得 x2 + 4y2 -4xy，即 2xy x + 4y+1 1- ，
2
x2 + 4y2 2
所以 x2 + 4y2 = 2xy +1 1- ，得 x2 + 4y2 3 ，2
当且仅当 x = 2y 时等号成立，故 D 错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所
求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
一、单选题
1．（2024·安徽·模拟预测）已知m, n 0, + 1， + n 4 m 9= ，则 + 的最小值为（ ）
m n
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解.
m, n 0, m 9 1 m 9 1 n 1 10 mn 9 1
9
【详解】" + ， + = + ÷ + ÷ = + + ÷ 10 + 2 mn ×n 4 n m 4 mn 4 mn ÷
= 4，
è è è ÷è
mn 9当且仅当 = ，即m =1， n = 3时等号成立.
mn
故选：B.
1 4
2．（2024·河南·模拟预测）已知点P x, y 在以原点O为圆心，半径 r = 7 的圆上，则 2 +x 的最小值+1 y2 +1
为（ ）
4
A B 5 + 2 2
7
． ． C． D．1
9 9 9
【答案】D
【分析】由题可得点 P 满足的圆方程 x2 + y2 = 7 ，进而 x2 +1 + y2 +1 = 9 ，然后利用基本不等式结合条件
即得.
2 2
【详解】由题意可得点 P 的坐标满足 x2 + y2 = 7 ，所以， x +1 + y +1 = 9 ．
1 4 1
+ = é x2 +1 + y2 é 1 4 ù因此， 2 2 +1x 1 y 1 9 ù+ + ê x2 ++1 y2 +1ú
1 é y2 +1 4 x2 +1 ù 21 é y2 +1 4 x +1 ù
= ê5 + 2 + 2 ú ê5 + 2 úê 2
2 =1ú .9 ê x +1 y +1 ú 9 x +1 y +1
y2
2
+1 4 x +1
当且仅当 = 时，即 x = ± 2, y = ± 5 时取等号．
x2 +1 y2 +1
故选: D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 x + y =1，则（ ）
2x- y 1A． > B． log2x + log
1
2 y -2 C． x + y ≥ 2 D x
2
． + y2
2 2
【答案】ABD
【分析】利用已知 x + y =1，求二元变量的最值，一般可用用消元法变为函数求最值，如 x - y = 2x -1 > -1，
2
x2 + y2 = x2 + 1- x 2 1= 2x2 - 2x +1 ，当然也可以用均值不等式求最值，如 log2 xy2 log
x + y 2 ÷ ，
è 2
2x + y = x + y + 2 xy x + y + x + y .
x- y 1
【详解】选项 A：因为 x > 0， y > 0， x + y =1，所以 x - y = 2x -1 > -1，所以 2 > ，故 A 正确．
2
2 1
选项 B： log2x + log2 y
x + y 1
= log2 xy log

2 ÷ = log2 = -2，当且仅当 x = y = 时取等号，（利用基本不等
è 2 4 2
式时注意取等号的条件）,故 B 正确．
2 1选项 C： x + y = x + y + 2 xy x + y + x + y = 2 ，所以 x + y 2 ，当且仅当 x = y = 时取等号，故2
C 错误．
2
选项 D： x2 + y2 x2 1 1 1 1= + - x 2 = 2x2 - 2x +1 = 2 x - ÷ + ，
è 2 2 2
x 1= y = x2 + y2 1 x + y 2 1当且仅当 时取等号，（另解： = ，当且仅当 x = y 1= 时取等号）,故 D 正确．
2 2 2 2
故选:ABD.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 4 ，则（ ）
A． a + 2b > 4 B． a -1 b -1 >1
C． log2 a + log2 b 2 D． 2a + 4b 8
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质可判断 A；取 a =1，b = 3可判断 BC；根据基本不等式可判断 D．
【详解】由题意，得 0 < a < 4 ，0 < b < 4， a = 4 - b，
对于 A， a + 2b = a + b + b = 4 + b > 4，故 A 正确；
对于 B，取 a =1，b = 3，则 a -1 b -1 = 0 <1，故 B 错误；
对于 C，取 a =1，b = 3，则 log2 a + log2 b = log2 3 < 2 ，故 C 错误；
对于 D， 2a + 4b = 2a + 2b 2 2a+b = 8，当且仅当 a = b = 2时等号成立，故 D 正确．
故选：AD
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若 a + b =1，则 ab有最大值为 ．
1
【答案】 /0.25
4
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】因为 a + b =1，显然当 a,b > 0时， ab取得最大值，所以 a + b =1 2 ab ，
当且仅当 a = b时等号成立，所以0 < ab
1
，
4
1
所以 ab有最大值为 .
4
1
故答案为： .
4
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数 a,b满足 a2b = a3 + b2，则 a的最小值是 ．
【答案】4
【分析】由基本不等式求解即可．
【详解】因为 a,b为正数， a2b = a3 + b2，
a b
所以1 = + 2 1 ，即 a 4，当且仅当 a3 = b2 ，即 a = 4,b = 82 时，等号成立，b a a
故答案为：4．
1
a 0 b 0 a b 1 a +
1
7．（2024·天津·模拟预测）若 > ， > ，且 + = ，则 ÷ b + ÷的最小值为
è a è b
25
【答案】
4
a 1+ 1 2【分析】先对 ÷ b + ÷进行等式变形，利用 a + b =1把原式化简为 ab + - 2 ，再利用均值不等式可得
è a è b ab
ab 1 1 1 25 ，然后由函数 y = x + 在区间 (0, ]上是单调递减，即可得到最小值为 .
4 x 4 4
2
a 1 b 1 ab b a 1 a
2 + b2 1 a + b - 2ab 1
【详解】由 + ÷ + ÷ = + + + = ab + + = ab + + ，
è a è b a b ab ab ab ab ab
1- 2ab 1 2
因为 a + b =1，所以上式= ab + + = ab + - 2 ，
ab ab ab
2
a > 0 b > 0 0 < ab a + b 1又因为 ， ，由均值不等式得： ÷ = ，
è 2 4
1 1
利用函数 y = x + 在区间 (0, ]上是单调递减可知：
x 4
a 1 b 1 ab 2 2 1 2 25 + a ÷
+ ÷ = + - + - 2 =
è è b ab 4 1 4 ，
4
a b 1当且仅当 = = 时取到最小值.
2
25
故答案为：
4
r r r r
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量 a = m, n m, n > 0 ，b = 1,2 1 4，若a ×b =1，则 + 的取值范围m n
为 ．
【答案】 é 9 + 4 2, +
1 4
【分析】根据数量积的坐标表示得到m + 2n =1，再利用乘“1”法及基本不等式求出 + 的最小值，即可求
m n
出其范围.
r r r r r r
【详解】因为 a = m, n m, n > 0 ，b = 1,2 ，a ×b =1，所以 a ×b = m + 2n =1，
1 4 1 4
所以 + = +

÷ × m + 2n = 9
2n 4m 9 2 2n 4m+ + + × = 9 + 4 2 ，
m n è m n m n m n
2n 4m
= m 2 2 -1当且仅当 ，即 ，m n = n
4 - 2
= 时取等号，
7 7
1 4
所以 + 的取值范围为 é 9 + 4 2, + .m n
故答案为： é 9 + 4 2, +
9．（2024 高三·全国·专题练习）若实数 x, y满足 xy =1,则 x2 + 2y2 的最小值为 ．
【答案】 2 2
【分析】根据基本不等式求和式的最值即可得结论.
【详解】因为 xy =1, x2所以 + 2y2 2 2 xy = 2 2 ，
4 1
当且仅当 x2 = 2y2 ，即 x = 2, y = 且 xy =14 时等号成立，2
故 x2 + 2y2 的最小值为 2 2 .
故答案为： 2 2 .
x z
10．（2024·广东·三模）设实数 x、y、z、t 满足不等式1 x y z t 100，则 +y t 的最小值为 .
1
【答案】 / 0.2
5
x z 1 z
【分析】令 x =1，t =100，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得 + +y t y 100 ，结合基本不等式和
z
1
y 计算即可．
z
【详解】因为1 x y z t 100，所以 1y ,
x z 1 z 2 z所以 + + 2
1 1
= ，
y t y 100 100y 100 5
1 z
当且仅当 = yz =100y 100 即 时等号成立，
x z
+ 1即 y t 的最小值为 .5
1
故答案为： .
5
一、单选题
1 1
1．（2024·北京顺义·三模）设 x, y 1， a > 1，b >1.若 a x = b y = 3， a + b = 2 3 ，则 +x y 最大值为（ ）
3
A．2 B． C．1 D 1．
2 2
【答案】C
【分析】先利用指、对数的关系利用 a,b表示 x, y，再利用基本不等式求最大值.
【详解】∵ x, y 1， a > 1，b >1， a x = b y = 3，
∴ x = log 3
1 1
a = ， y = logb 3 =log3 a log
，
3 b
2
∴ 1 1+ = log3 a + log3 b
a + b 2 3
= log ab log 2
x y 3 3 2 ÷
= log3( ) =1，
è 2
当且仅当 a = b= 3 ， x = y = 2时取等号.
1 1
∴ +x y 的最大值为 1.
故选：C.
2．（2024·江苏盐城·模拟预测） sin x 1+ 2cos2 x 的最小值为（ ）
1
A - B 2 3 2
3
． ．- C．- D．-2 2 4 4
【答案】C
【分析】分析知 sin x 0，将所求式子化为- 1- cos2 x 1+ 2cos2 x ，结合基本不等式可得结果.
【详解】若 sin x 1+ 2cos2 x 取得最小值，则 sin x 0，
\sin x 1+ 2cos2 x = - sin2 x 1+ 2cos2 x = - 1- cos2 x 1+ 2cos2 x
2
1 2 2 1 2 - 2cos x +1+ 2cos
2 x
= - - 2cos2 x 1+ 2cos2 x - ×2 2 2 ÷è
1 9 3 2 2 1= - = - （当且仅当 2 - 2cos2 x =1+ 2cos2 x，即cos x = 时取等号），
2 4 4 4
2 3 2\sin x 1+ 2cos x 的最小值为- .
4
故选：C.
1 m
3．（2024 高二下·湖南·学业考试）已知m > 1， n > 0，m2 - 2m + n = 0，若不等式 + 恒成立，则m -1 n
实数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据“1”的变形技巧，利用均值不等式求最值即可得解.
【详解】因为m2 - 2m + n = 0，m > 1，
m2 - 2m + n n
所以 = m n- 2 + = 0，即m -1+ =1，
m m m
1 m 1 m m 1 n 1 1 n m(m -1)所以 + = + - + = + + +m -1 n è m -1 n ÷ m ÷ è m(m -1) n
n m(m -1) n m(m -1) 3 3
2 + 2 × = 4，当且仅当 = m = ,n =m(m 1) n ，即 时等号成立，m(m -1) n - 2 4
故 4 .
故选：C
4．（2024·广西·模拟预测）已知 a,b (- ,0)，且 a + 4b = ab - 5，则 ab的取值范围为（ ）
A．[25,+ ) B．[1, + ) C． 0,5 D． 0,1
【答案】D
【分析】首先确定0 < ab < 5，再由基本不等式得到 ab + 4 ab - 5 0 ，从而求出 ab的取值范围.
【详解】因为 a,b (- ,0)， a + 4b = ab - 5，则 a + 4b < 0，所以0 < ab < 5．
又 ab - 5 = a + 4b = - é -a + 4 -b ù -2 4ab = -4 ab ，
即 ab + 4 ab - 5 0 ，即 ab + 5 × ab -1 0，解得0 < ab 1，
所以0 < ab 1，当且仅当-a = -4b ，即 a = 4b = -2 时，等号成立，
即 ab的取值范围为 0,1 .
故选：D．
二、填空题
1 2
5．（2024·上海· 3三模）已知函数 f x = x + 2x ，若m > 0， n > 0，且 f 2m + f n -1 = f 0 ，则 + 的最
m n
小值是
【答案】8
【分析】由函数奇偶性的定义可知 f x 为奇函数，根据单调性可知 2m + n =1，然后结合基本不等式即可求
解.
【详解】函数 f x 的定义域为R ，且 f -x = -x 3 - 2x = - f x ，
所以 f x 为奇函数，又 f x = 3x2 + 2 > 0，所以函数单调递增，
又 f 0 = 0，所以 f 2m + f n -1 = 0，
所以 2m + n -1 = 0 ，即 2m + n =1，
1 2 1 2
所以 + = +
2m + n n 4m n 4m= 4 + + 4 + 2 × = 8，
m n è m n ÷ m n m n
n 4m
当且仅当 = ，即 n
1
= ，m
1
= ，等号成立，
m n 2 4
1 2
所以 + 的最小值为8 .
m n
故答案为：8 .
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数 x ， y 满足 4ln x + 2ln y x2 + 4y - 4，则 xy = .
2
【答案】
2
【分析】先利用对数的运算法则进行化简， 2ln x2 y x2 + 4y - 4，右边使用不等式
x2 + 4y - 4 2 x2 g4y - 4 = 4 x2 y - 4，根据不等式的传递性， 2ln x2 y 4 x2 y - 4，换元后利用函数的单调
性得 2ln x2 y 4 x2 y - 4，所以只能 2ln x2 y = 4 x2 y - 4，再根据取等条件求出 x, y即可.
【详解】 4ln x + 2ln y x2 + 4y - 4， x > 0, y > 0
2ln x2 + 2ln y x2 + 4y - 4，即 2ln x2 y x2 + 4y - 4，
根据不等式得， x2 + 4y - 4 2 x2 g4y - 4 = 4 x2 y - 4，
令 t = x2 y ，所以 2ln x2 y = 2ln t 2 = 4ln t, 4 x2 y - 4 = 4t - 4，
因为 2ln x2 y x2 + 4y - 4，所以 4ln t 4t - 4 .
4ln t - (4t - 4) = 4(ln t - t +1)， g(t) = ln t - t +1, g (t)
1 1 1- t= - = ，
t t
所以，0 < t <1, g (t) > 0, g(t)单调递增， t >1, g (t) < 0, g(t)单调递减，
所以 g(t)max = g(1) = 0 ，即 ln t t -1， 4ln t - (4t - 4) 0,4 ln t 4t - 4，
所以只能 4ln t = 4t - 4，即 t =1，
1
所以 2ln x2 y = 4 x2 y - 4，当 x2 = 4y, x2 y =1成立，即 y = , x = 2 ，2
xy 2所以 = .
2
2
故答案为： .
2
7．（2024·河北·三模）已知函数 f x = lg x ，若 f a = f b a b ，则当 2a ×3b 取得最小值时，
a
= ．
b
【答案】 log2 3
【分析】根据题意，由条件可得ab =1，令 z = 2a ×3b ，结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】由 f a = f b 得- lg a = lg 1 = lgb，即ab =1，令
a z = 2
a ×3b ，
则 ln z = a × ln 2 + b × ln 3 2 a × ln 2 ×b × ln 3 = 2 ln 2 × ln 3
a ln 3
当且仅当 a × ln 2 = b × ln 3，即 = = log2 3时， ln z 取得最小值，此时 z 也取得最小值．b ln 2
故答案为： log2 3 .
8 2
y 1
．（2024 高三·全国·专题练习）已知正实数 x，y 满足 4y + 4xy +1 = ，则 + x - 3y 的最小值
x x
为 ．
【答案】 2 2
1
【分析】配凑出 (x + y)( - 4y) = 2，再利用基本不等式求最值.
x
2 y
【详解】由 4y + 4xy +1 = ，
x
y
得 +1- 4y2 - 4xy = 2，
x
x + y
即 - 4y(x + y) = 2，得 (x + y)(
1
- 4y) = 2，
x x
Q x > 0 ， y > 0，
\ x + y > 0 1， - 4y > 0
1
，\ xy < ，
x 4
1 x 3y 1\ + - = - 4y + x + y
x x
2
= + x + y 2 2 (x + y) = 2 2 ，
x + y x + y
x + y = 2 x 5 2 - 34 y 3 2 + 34当且仅当 ，即 = ， = 时取等号，
8 8
xy 17 -1 1此时 = < ，
16 4
1
\ + x - 3y的最小值为 2 2.
x
故答案为： 2 2.
1 1
9．（23-24 高三下·重庆·开学考试）已知实数 a,b满足 a2 - ab + b2 =1，则 ab的最大值为 ； 2 +a +1 b2 +1
的取值范围为 ．
é 4 2 + 5ù
【答案】 1 ê1, ú
7
【分析】第一空：直接由基本不等式即可求解；第二空：首先将目标式子化为关于 ab的代数式，通过三角
换元得 ab的范围，进一步取到倒，结合对勾函数性质得
ab 2 + ab + 2 ab 3 8 5 f u u 8= + + - = = + - 5 é4 2 - 5,1ù ，从而即可得解.
ab + 3 ab + 3 u
【详解】由题意 a2 - ab + b2 =1 2ab - ab = ab，等号成立当且仅当 a = b = ±1，即 ab的最大值为 1；
1 1 a2 +1+ b2 +1 ab + 3 ab + 3
由题意 + = = =a2 +1 b2 +1 a2 +1 b2 +1 ，ab 2 + a2 + b2 +1 ab 2 + ab + 2
b 2 3
因为 a2 - ab + b2 = a - + b2 =1 1 3 ÷ ，所以设 a - b = cosq , b = sinq ，
è 2 4 2 2
a cosq 3 2 3所以 = + sinq ,b = sinq ，
3 3
ab 2 3 sinq cosq 2 3所以 = + sin2 q = sin 2q 1 cos 2q 1 2 π 1 1- + = sin 2q -

÷ +
é
ê- ,1
ù
3 3 3 3 3 3 è 6 3 3 ú
，

2
ab 2 + ab + 2 é ab + 3 - 3 ù + é ab + 3 - 3 ù + 2所以 = = ab + 3 8+ - 5，
ab + 3 ab + 3 ab + 3
令u = ab + 3
é8 , 4ù f u u 8ê ú ， = + - 5，所以 f u = f3 u min 2 2 = 4 2 - 5，
f 8 2又 = < f 4 =1，
è 3 ÷ 3
ab 2 + ab + 2
所以 ab 3 8 8= + + - 5 = f u = u + - 5 é 4 2 - 5,1ù ，ab + 3 ab + 3 u
1 1 ab + 3 é 4 2 + 5ù
所以 a2
+ =
+1 b2 +1 ab 2
ê1, ú .
+ ab + 2 7
é 4 2 + 5ù
故答案为：1； ê1, 7 ú
.

【点睛】关键点点睛：第二空的关键是首先画出关于 ab的代数式，并求出 ab的范围，由此即可顺利得解.
三、解答题
x, y x 2 , y 2 9x
2 y2
10．（2024 高三·全国·专题练习）设正实数 满足 > > ，不等式 + m 恒成立，求m 的
3 y - 2 3x - 2
最大值．
【答案】16
【分析】利用换元法，将不等式左边转化为 a,b 的表达式，再多次利用基本不等式求得其最小值，从而得
解.
2
【详解】因为 x > ， y > 2 ，所以3x - 2 > 0 ， y - 2 > 0，
3
令 a = 3x - 2，b = y - 2
a 2
，则 a > 0，b > 0， x = + ， y = b + 2，
3 3
2
9 a 2+ 2
所以 9x2 y2 3 3 ÷è b + 2 a2 4a 4 b2 4b 4+ = + = + + + + +
y - 2 3x - 2 b a b b b a a a
a2 b2 4a 4b 4 4 2 a
2 b2 2 4a 4b 2 4 4= + + + + + × + × + ×
b a b a b a b a b a b a
= 2 ab 8+ 8 + 2 2 ab 8 + 8 =16，
ab ab
a2 b2 4a 4b 4 4 8
当且仅当 = 且 = 且 = 且 2 ab = ，即 a = b = 2，
b a b a b a ab
x 4即 = ， y = 4 时，等号成立，
3
9x2 y2
又不等式 + m 恒成立，所以m 16，即m 的最大值为16 .
y - 2 3x - 2
1．（2024·北京·高考真题）已知 x1, y1 ， x2 , y2 是函数 y = 2x 的图象上两个不同的点，则（ ）
log y1 + y xA． 2 < 1
+ x2 log y1 + y2 x1 + x2 B． 2 > 22 2 2 2
log y1 + y2 x x log y1 + yC． 2 < 21 + 2 D． 2 > x1 + x2 2 2
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断 AB；举例判断 CD 即可.
【详解】由题意不妨设 x1 < x2，因为函数 y = 2x 是增函数，所以0 < 2x1 < 2x2 ，即0 < y1 < y2，
2x1 + 2x2 x1 +x2 x1 +x2
对于选项 AB：可得 > 2x1·2x2 = 2 2 y1 + y，即 2 > 2 2 > 0，
2 2
x1 +x2
根据函数 y = log2 x
y + y x + x
是增函数，所以 log 1 2 2 1 22 > log 2 = ，故 B 正确，A 错误；2 2 2
对于选项 D：例如 x1 = 0, x2 =1，则 y1 =1, y2 = 2，
y + y
可得 log 1 2
3 y1 + y2
2 = log 0,1 ，即 log <1 = x + x ，故 D 错误；2 2 2 2 2 1 2
1 1
对于选项 C：例如 x1 = -1, x2 = -2，则 y1 = , y2 2
= ，
4
log y1 + y可得 22 = log
3
2 = log2 3 - 3 -2, -1
y + y
，即 log 1 22 > -3 = x1 + x2 ，故 C 错误，2 8 2
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若 x，y 满足 x2 + y2 - xy = 1，则（ ）
A． x + y 1 B． x + y -2
C． x2 + y2 2 D． x2 + y2 1
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
2 2 2 2
【详解】因为 ab a + b a + b 2 ÷ （ a,b R），由 x + y
2 - xy = 1 x + y 2 -1 = 3xy 3 x + y 可变形为， ，
è 2 2 ÷ è 2
解得-2 x + y 2，当且仅当 x = y = -1时， x + y = -2，当且仅当 x = y =1时， x + y = 2 ，所以 A 错误，B
正确；
2 2
由 x2 + y2 - xy = 1 x + y可变形为 x2 + y2 -1 = xy ，解得 x2 + y2 2 ，当且仅当 x = y = ±1时取等号，所以2
C 正确；
2
x2 + y2 - xy = 1 x y 3 y 3因为 变形可得 2 - ÷ + y =1，设 x - = cosq , y = sinq ，所以
è 2 4 2 2
x = cosq 1 2+ sinq , y = sinq x2 + y2 = cos2 q 5+ sin2 2 1 1 1，因此 q + sinq cosq = 1+ sin 2q - cos 2q +
3 3 3 3 3 3 3
4 2 sin 2q π é2= + - ÷
ù 3 3
ê , 2ú，所以当 x = , y = - 时满足等式，但是 x
2 + y2 1不成立，所以 D 错误．
3 3 è 6 3 3 3
故选：BC．
cos A sin 2B
3．（2022·全国·高考真题）记VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = ．
1+ sin A 1+ cos2B
2p
(1)若C = ，求 B；
3
a2 + b2(2)求 2 的最小值．c
π
【答案】(1) ；
6
(2) 4 2 - 5．
cos A sin 2B
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 = 化成 cos A + B = sin B ，再结
1+ sin A 1+ cos2B
π
合0 < B < ，即可求出；
2
π π 2 2
（2）由（1）知，C = + B， A = - 2B a + b，再利用正弦定理以及二倍角公式将
2 2 c2
化成
4cos2 B 2+ 2 - 5，然后利用基本不等式即可解出．cos B
cos A sin 2B 2sin B cos B sin B
【详解】（1）因为 = = = ，即
1+ sin A 1+ cos 2B 2cos2 B cos B
sin B = cos Acos B - sin Asin B = cos A + B 1= -cosC = ，
2
π π
而0 < B < ，所以 B = 6 ；2
π π
（2）由（1）知， sin B = -cosC > 0，所以 < C < π,0 < B < ，
2 2
而 sin B = -cosC = sin
C π -

÷ ，
è 2
C π
p p 3p
所以 = + B
π
，即有 A = - 2B ，所以B

0,

2 2 4 ÷
,C , ÷
è è 2 4
a2 + b2 sin2 A + sin2 B cos2 2B +1- cos2 B
所以 2 = =c sin2 C cos2 B
2 22cos B -1 +1- cos2 B
= 2 = 4cos
2 B 2+ - 5 2 8 - 5 = 4 2 - 5．
cos B cos2 B
2 a2 + b2
当且仅当 cos2 B = 时取等号，所以 2 的最小值为 4 2 - 5．2 c
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为 4 的是（ ）
A． y = x2 + 2x + 4 B． y sin x
4
= +
sin x
4
C． y = 2x + 22-x D． y = ln x +
ln x
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B, D
不符合题意，C 符合题意．
2
【详解】对于 A， y = x2 + 2x + 4 = x +1 + 3 3，当且仅当 x=-1时取等号，所以其最小值为3，A 不符合
题意；
4
对于 B，因为0 < sin x 1， y = sin x + 2 4 = 4sin x ，当且仅当 sin x = 2 时取等号，等号取不到，所以其
最小值不为 4，B 不符合题意；
对于 C，因为函数定义域为 R ，而 2x > 0， y = 2x + 22-x = 2x
4
+ 2 4 = 4 ，当且仅当 2xx = 2，即 x =1时取2
等号，所以其最小值为 4，C 符合题意；
对于 D， y = ln x
4
+ ，函数定义域为 0,1 U 1, + ，而 ln x R且 ln x 0，如当 ln x = -1， y = -5，D 不符
ln x
合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性
质即可解出．
2 2
5．（2021· · x y全国 高考真题）已知F1，F2 是椭圆C ： + =1的两个焦点，点M 在C 上，则 MF1 × MF2 的最9 4
大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
2
MF + MF
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 MF1 + MF2 = 2a = 6，借助基本不等式 MF1 × MF
1 2
2 ÷ 即
è 2
可得到答案．
【详解】由题， a2 = 9,b2 = 4，则 MF1 + MF2 = 2a = 6，
2
MF + MF
所以 MF × MF 1 21 2 ÷ = 9（当且仅当 MF1 = MF2 = 3时，等号成立）．
è 2
故选：C．
【点睛】
1 a
6．（2021·天津·高考真题）若 a > 0 , b > 0，则 + + ba b2 的最小值为 ．
【答案】 2 2
【分析】两次利用基本不等式即可求出.
【详解】Q a > 0 , b > 0，
1 a 1 a 2 2
\ + 2 + b 2 × 2 + b = + b 2 × b = 2 2 ，a b a b b b
1 a 2
当且仅当 = 2 且 = b，即a b b a = b = 2
时等号成立，
1 a
所以 + + ba b2 的最小值为 2 2 .
故答案为： 2 2 .
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A． a2 + b2
1
B． 2a-b
1
>
2 2
C． log2 a + log2 b -2 D． a + b 2
【答案】ABD
【分析】根据 a + b =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
2
【详解】对于 A， a2 + b2 = a2 + 1- a 2 = 2a2 - 2a +1 = 2 a
1 1 1- ÷ + ，
è 2 2 2
当且仅当 a = b
1
= 时，等号成立，故 A 正确；
2
2a-b 2-1 1对于 B， a - b = 2a -1 > -1，所以 > = ，故 B 正确；
2
a + b
2

对于 C， log2 a + log2 b = log2 ab log2 ÷ = log
1
2 = -2，
è 2 4
1
当且仅当 a = b = 时，等号成立，故 C 不正确；
2
2
对于 D，因为 a + b =1+ 2 ab 1+ a + b = 2，
1
所以 a + b 2 ，当且仅当 a = b = 时，等号成立，故 D 正确；2
故选：ABD
【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学
运算的核心素养.
1 1 8
8．（2020·天津·高考真题）已知 a > 0, b > 0 ，且ab =1，则 + + 的最小值为 ．
2a 2b a + b
【答案】4
a + b 8
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为 + ，利用基本不等式即可求解.
2 a + b
【详解】Qa > 0,b > 0,\a b 0
1 1 8 ab ab 8
+ > ，ab =1 ,\ + + = + +
2a 2b a + b 2a 2b a + b
a + b 8 2 a + b 8= + = 4 ，当且仅当 a + b =4 时取等号，
2 a + b 2 a + b
结合ab =1 ,解得a = 2 - 3,b = 2 + 3 ，或 a = 2 + 3,b = 2 - 3 时，等号成立.
故答案为： 4
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.
9．（2020·江苏·高考真题）已知5x2 y2 + y4 = 1(x, y R) 2 2，则 x +y 的最小值是 ．
4
【答案】
5
2 1- y4 2 2 1- y4 1 4y22
【分析】根据题设条件可得 x = 2 ，可得 x + y = 2 + y = +5y 5y 5y2 5 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】∵ 5x2 y2 + y4 = 1
4
∴ y 0 x2
1- y
且 = 5y2
4
2 2 1- y 2 1 4y2 1 4y2 4 1 4y
2
∴ x + y = + y = + 2 × = ，当且仅当 2 = ，即 x2
3 , y2 1= =
5y2
.
5y2 5 5y2 5 5 5y 5 10 2
时取等号
∴ x2 +y2 4的最小值为 .5
4
故答案为： .
5
【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，
二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积
最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义
域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.第 05 讲 基本不等式
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024 年新Ⅰ卷，第 18 题第一问,4 分 基本不等式求范围 导数综合
2023 年新Ⅰ卷，第 22 题第二问,8 分 基本不等式求最值 圆锥曲线大题综合
2022 年新Ⅰ卷，第 18 题第二问,6 分 基本不等式求最值 正余弦定理解三角形
2022 年新Ⅱ卷，第 12 题,5 分 基本不等式求最值 三角换元及三角函数相关性质
2021 年新Ⅰ卷，第 5 题,5 分 基本不等式求最值 椭圆方程及其性质
2020 年新Ⅰ卷，第 20 题第二问,6 分 基本不等式求最值 空间向量及立体几何
2020 年新Ⅱ卷，第 12 题,5 分 基本不等式求最值 指对函数的性质及单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易
上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为 5 分左右
【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”
2.能正确处理常数“1”求最值
3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值
4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最
值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。
知识讲解
1．基本不等式
a + b
如果 a 0,b 0，那么 ab （当且仅当 时取“=”）.
2
说明：
a,b a + b①对于非负数 ，我们把 称为 a,b的 ， ab 称为 a,b的 .2
②我们把不等式 ab
a + b
(a 0,b 0)称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的
2
几何平均数不大于它们的算术平均数.
a + b
③“当且仅当 a = b时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有 ab = ；另一方面当 时，
2
有 a = b .
④ 结构特点：和式与积式的关系.
2．基本不等式求最值
（1）设 x，y 为正数，若积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 （简记为：积定和最
小）.
1
（2）设 x，y 为正数，若和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2（简记为：和定积最
4
大）.
3．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） a2 + b2 （ a,b R 2
a + b
）；（ ） 2 （ a,b R ）；
a b
（3） + （ a,b同号）；（4） ab 或 ab （ a,b R ）；
b a
a2 2
2 a,b R, a,b > 0
（5 + b） 1 1

2 +a b
考点一、直接用基本不等式求和或积的最值
1．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）已知 x > 0， y > 0，且 x + y = 2 ，则 xy的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．2
2．（2024·全国·模拟预测）若 x > 0, y > 0,3x + 2y =1，则8x + 4y 的最小值为（ ）
A． 2 B． 2 2 C．3 2 D． 4 2
1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数 a、b 满足 a + 4b =1，则 ab的最大值为 ．
2．（2024·云南·模拟预测）已知正数 x, y满足 x + y = 4
1 y
，则 - 的最小值为 .
x 4
考点二、巧用“1”或常数关系求最值
x + y
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 2x + y =1，则 xy 的最小值为（ ）
A．4 B． 4 2 C．6 D． 2 2 + 3
4 1
2．（2024·河南·三模）在VABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，若 a + b + c = 2，则 + 的最小值
a + b c
为 ．
2
x > 0, y > 0 2x + y =1 y + x1．（2024·安徽·三模）已知 ，且 ，则 的最小值为（
xy ）
A．4 B． 4 2 C． 4 2 +1 D． 2 2 +1
1 9
2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知m, n 0, + ， + n = 4，则m + 的最小值为 .
m n
1 1
3．（2024·江苏南通·二模）设 x > 0， y > 0， + 2y = 2，则 x + y 的最小值为（　　）x
3 3
A． B．
2 2 2
C． + 2 D．3
2
考点三、拼凑法求最值
1 2
1．（2024·山西临汾·三模）若0 < x <1，则 + 的最小值是（ ）x 1- x
A．1 B．4 C． 2 + 2 2 D．3+ 2 2
1
2．（2024 高三·全国·专题练习）若函数 f x = x + x > 3 在 x = a处取最小值，则a = ．
x - 3
y 4x
3．（2024·江西赣州·二模）已知 y > x > 0，则 -y x 2x y 的最小值为 .- +
2 1
1．（2024·全国·模拟预测）已知 x >1， y > 0，且 x + = 2y ，则
+ y 的最小值是 ．
x -1
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数 a > 0,b > 2
1 2 1
，且 + = ，则 2a + b 的最小值是 ．
a +1 b - 2 3
考点四、换元法求最值
x y 0 4x y1．（2022 高三上·全国·专题练习）已知 ， > ，求 +4x + y x + y 的最大值.
1 1 2 1 1
2．（2023·全国·模拟预测）已知 a > 1，b > ， + =1，则 + 的最大值为 ．
2 a -1 2b -1 a b
1 n + 3
1．（2020·甘肃兰州·二模）设 m，n 为正数，且m + n = 2，则 + 的最小值为 .
m +1 n + 2
2 1
2．（2024·浙江·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，若 2 + 2 =1，则 ab的最大值为（ ）a + 2ab b + ab
A． 2 - 2 B． 2 + 2 C． 4 + 2 2 D． 4 - 2 2
考点五、二次与二次（一次）的商式求最值
2
1．（2023 2x + x + 3高三·全国·专题练习）函数 f x = x < 0 的最大值为 .
x
3k 3 + 3k
2．（23-24 高一上·上海浦东新·期中）已知实数 k > 0，则 3 k 2 +14 2 3 的最大值为 ． ÷ 14k + ÷
è 2 è 2
3x - 3
1．（22-23 高三上·福建泉州·期中）函数 f (x)= 2 在 (1, + )上的最大值为 ．2x - x +1
x22．（2023 高三· + 2x + 3全国·专题练习）当 x > -1时，求函数 y = 的最小值.
x +1
考点六、两次应用基本不等式求最值
2xy + yz
1．（23-24 高一上·上海徐汇·期中）若 x，y，z 均为正实数，则 4x2 4y2 3z2 的最大值是 ．+ +
2
2．（23-24 · · 8ab + a 16高三下 重庆 阶段练习）对任意的正实数 a,b,c，满足b + c =1，则 + 的最小值为 .
bc a +1
1．（23-24 高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数 a,b,c
b a
满足 a + 2b c，则 + 的最小值为 .
a 2b + c
2
2．（2023·江西· ac + 2a 8一模）已知 a，b ， c是正实数，且b + c = 6 ，则 + 最小值为 .
bc a +1
考点七、条件等式变形求最值
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若 ex - 2 = e2 y ，则 x - y的最小值为（ ）
A 1
5ln 2
． 2 B． 2 C．1 D． 4
2．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数 x ， y ， z 满足 x2 + xy + yz + xz + x + z = 6 ，则3x + 2y + z 的最小值
是 .
3．（2023·江西·二模）实数 a，b > 0，满足：a3 + b3 + 7ab = 9 ，则 a + b 的范围是（ ）
A 2,
7 B é2,
7 C 2, 3 3． 3 ÷ ． ê ÷ ． 9 D． é 2, 9 è 3
1．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 ab = 32 ，则 4a2 + b + 2a ×b的最小值为 ．
2．（2024·浙江绍兴·三模）若 x, y, z > 0，且 x2 + xy + 2xz + 2yz = 4，则 2x + y + 2z的最小值是 ．
8 3
3．（22-23 高三上·天津和平·阶段练习）已知正数 x, y满足 + =1 xy3x2 2xy xy 2y2 ，则 的最小值+ +
是 ．
考点八、利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围
1
1．（23-24 高三上·福建漳州·阶段练习）已知"x > 3， x + m恒成立，则实数m 的取值范围是 ．
x - 3
2．（2023 高一上·全国·专题练习）已知 x, y (1, 2)
1 2
且 x + y = 3，若 + a a2x - y 2y - x 恒成立，则实数 的范
围是 ．
4 2 2
3．（2023·广东湛江·二模）当 x ， y 0, + 4x +17x y + 4y m时， 4 2 2 < 恒成立，则 m 的取值范围是（ ）x + 2x y + y 4
A． 25,+ B． 26, + 99 C． ,+ D4 ÷ ． 27, + è
2 2
1．（2024·江西·一模）已知正数 x，y 满足 x + y = 6 a
x y
，若不等式 + 恒成立，则实数 a 的取值范围
x +1 y + 2
是 ．
2 2
2．设正实数 x, y
1 4x y
满足 x > , y >1，不等式 + m恒成立，则m 的最大值为 （ ）
2 y -1 2x -1
A．8 B．16 C． 2 2 D． 4 2
3
3．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）设实数 x，y 满足 x > ， y > 3，不等式
2
k 2x - 3 y - 3 ≤8x3 + y3 -12x2 - 3y2 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ）
A．12 B．24 C． 2 3 D． 4 3
考点九、利用基本不等式判断或证明不等式关系
a + b 1
1．（23-24 高三上·江苏扬州·期末）若 a > b >1, x = ln , y = lna + lnb , z = lna × lnb ，则（
2 2 ）
A． x < z < y B． y < z < x
C． z < x < y D． z < y < x
2 1 1
2．（23-24 高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数 a,b,c满足 + + = 2 .
a b c
(1)若 a = 2，求b + c 的最小值；
1 1 1 3
(2)证明： + + < .
a + 2b a + 2c b + c 4
1 1 1
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知 a,b,c为正数，且 + + = 1 .a b c 证明：
(1) a2 + b2 + c2 abc ；
1 1 2
(2) + + 6 .
a b c
1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数 a,b,c满足 a < b < c且 abc < 0，则下列不等关系一定正确的是（ ）
A． ac < bc B．ab < ac
b c 2 b aC． + > D． + > 2
c b a b
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知实数 a，b，c 满足 a + b + c =1．
(1)若 2a2 + b2 c2
1 2
+ = ，求证：0 a ；
2 5
2 2 2
(2)若 a，b， c 0, + a b c 1，求证： + + ．
1- a 1- b 1- c 2
3．（2024·青海·一模）已知正数 a,b,c满足 a + b + c = 2．求证：
(1) a2 + b2 + c2
4
；
3
(2) 3a + 2 + 3b + 2 + 3c + 2 6．
考点十、基本不等式多选题综合
1．（2024·全国·模拟预测）若实数 a，b 满足3a2 + 3b2 + 4ab = 5，则下列结论正确的是（ ）
A． ab <1 B． ab
2
-
5
C． a2 + b2 2 D．- 2 a + b 2
2．（2024·河北保定·二模）已知 a2 + 4b2 + 2ab =1，则（ ）
A． ab
1 5
的最大值为 B． a2 + 4b2 的最小值为
6 7
1
C． a2 + 4b2 的最大值为 2 D． ab的最小值为-
3
3．（2024·浙江·二模）已知正实数 a,b,c，且 a > b > c, x, y, z
x y z
为自然数，则满足 + + > 0恒成立
a - b b - c c - a
的 x, y, z可以是（ ）
A． x =1, y =1, z = 4 B． x =1, y = 2, z = 5
C． x = 2, y = 2, z = 7 D． x =1, y = 3, z = 9
1 4
1．（2024·全国·模拟预测）已知 a > 0，b > 0且 + = 2 ，则下列说法正确的是（ ）
a b
A． ab有最小值 4 B． a + b 9有最小值
2
C． 2ab + a有最小值 2 5 D． 16a2 +b2 的最小值为 4 2
2．（2024·广东广州·模拟预测）已知 a < b < c a,b,c R ，且 a + 2b + 3c = 0，则下列结论成立的是（ ）
c a
A． a + c < 0 B． + < -2
a c
C．存在 a， c使得a2
b + 2c 1
- 25c2 = 0 D． < -a + c 2
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数 x, y满足 x2 + 4y2 - 2xy =1，则（ ）
A． x + 2y 1 B． x + 2y -2
C． x2 + 4y2 2 D． x2 + 4y2 1
一、单选题
1 9
1．（2024·安徽·模拟预测）已知m, n 0, + ， + n = 4，则m + 的最小值为（ ）
m n
A．3 B．4 C．5 D．6
1 4
2．（2024·河南·模拟预测）已知点P x, y 在以原点O为圆心，半径 r = 7 的圆上，则 +x2 +1 y2 1 的最小值+
为（ ）
4
A B 5 + 2 2
7
． ． C． D．1
9 9 9
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知 x > 0， y > 0，且 x + y =1，则（ ）
A 2x- y
1
． > B． log2x + log2 y -2 C
2
． x + y ≥ 2 D． x + y2
1

2 2
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 a > 0，b > 0，且 a + b = 4 ，则（ ）
A． a + 2b > 4 B． a -1 b -1 >1
C． log2 a + log2 b 2 D． 2a + 4b 8
三、填空题
5．（2024·上海奉贤·三模）若 a + b =1，则 ab有最大值为 ．
6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数 a,b满足 a2b = a3 + b2，则 a的最小值是 ．
1 1
7．（2024·天津·模拟预测）若 a > 0，b > 0，且 a + b =1，则 a + ÷ b + ÷的最小值为
è a è b
r r r r
8．（2024·河南·模拟预测）已知向量 a = m, n m, n > 0 ，b = 1,2 1 4，若a ×b =1，则 + 的取值范围m n
为 ．
9．（2024 高三·全国·专题练习）若实数 x, y满足 xy =1,则 x2 + 2y2 的最小值为 ．
x z
10．（2024·广东·三模）设实数 x、y、z、t 满足不等式1 x y z t 100，则 +y t 的最小值为 .
一、单选题
1 1
1．（2024·北京顺义·三模）设 x, y 1， a > 1，b >1.若 a x = b y = 3， a + b = 2 3 ，则 +x y 最大值为（ ）
3
A．2 B． C．1 D 1．
2 2
2．（2024·江苏盐城·模拟预测） sin x 1+ 2cos2 x 的最小值为（ ）
1 3
A．- B 2 3 2．- C．- D．-2 2 4 4
1 m
3．（2024 高二下·湖南·学业考试）已知m > 1， n > 0，m2 - 2m + n = 0，若不等式 + 恒成立，则m -1 n
实数 的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4．（2024·广西·模拟预测）已知 a,b (- ,0)，且 a + 4b = ab - 5，则 ab的取值范围为（ ）
A．[25,+ ) B．[1, + ) C． 0,5 D． 0,1
二、填空题
f x = x3 + 2x f 2m + f n -1 = f 0 1 25．（2024·上海·三模）已知函数 ，若m > 0， n > 0，且 ，则 + 的最
m n
小值是
6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数 x ， y 满足 4ln x + 2ln y x2 + 4y - 4，则 xy = .
7．（2024·河北·三模）已知函数 f x = lg x ，若 f a = f b a b ，则当 2a ×3b 取得最小值时，
a
= ．
b
y 1
8．（2024 高三·全国· 2专题练习）已知正实数 x，y 满足 4y + 4xy +1 = ，则 + x - 3y 的最小值
x x
为 ．
9．（23-24 高三下·重庆·开学考试）已知实数 a,b 2
1 1
满足 a - ab + b2 =1，则 ab的最大值为 ； +
a2 +1 b2 +1
的取值范围为 ．
三、解答题
2 9x2 y2
10．（2024 高三·全国·专题练习）设正实数 x, y满足 x > , y > 2，不等式 + m 恒成立，求m 的
3 y - 2 3x - 2
最大值．
1．（2024·北京·高考真题）已知 x1, y1 ， x x2 , y2 是函数 y = 2 的图象上两个不同的点，则（ ）
log y1 + y2 x1 + x2 y + y x + xA． 2 < B． log 1 2 > 1 22 2 2 2 2
C． log
y1 + y2
2 < x1 + x
y + y
2 D． log 1 22 2
> x + x
2 1 2
2．（2022·全国·高考真题）（多选）若 x，y 满足 x2 + y2 - xy = 1，则（ ）
A． x + y 1 B． x + y -2
C． x2 + y2 2 D． x2 + y2 1
VABC cos A sin 2B3．（2022·全国·高考真题）记 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 = ．
1+ sin A 1+ cos2B
2p
(1)若C = ，求 B；
3
a2(2) + b
2
求 的最小值．
c2
4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为 4 的是（ ）
4
A． y = x2 + 2x + 4 B． y = sin x + sin x
4
C． y = 2x + 22-x D． y = ln x +
ln x
2 2
5．（2021· x y全国·高考真题）已知F1，F2 是椭圆C ： + =1的两个焦点，点M 在C 上，则 MF1 × MF2 的最9 4
大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
1 a
6．（2021·天津·高考真题）若 a > 0 , b > 0，则 + + ba b2 的最小值为 ．
7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A a2． + b2
1
1B a-b． 2 >
2 2
C． log2 a + log2 b -2 D． a + b 2
1 1 8
8．（2020·天津·高考真题）已知 a > 0, b > 0 ，且ab =1，则 + + 的最小值为 ．
2a 2b a + b
9．（2020·江苏·高考真题）已知5x2 y2 + y4 = 1(x, y R) x2，则 +y2的最小值是 ．

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