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第 05 讲 函数的图象
（3 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性
质，难度中等偏下，分值为 5 分
【备考策略】1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题
2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象
3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质
【命题预测】本节内容通常考查给定函数解析式来判断所对应的图象，是新高考复习的重要内容
知识讲解
1. 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）
① 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.45, 7 2.646
1
② e 2.71828, e2 7.39, e 2 e 1.65
ln1 1③ 0, ln 2 0.69, ln 3 1.1, ln e 1, ln e
2
④ sin1 0.84, cos1 0.54, sin 2 0.91, cos 2 0.42
特别地：当 x 0 时 sin x x
例如： sin 0.1 0.099 0.1， sin 0.2 0.199 0.2, sin 0.3 0.296 0.3
当 x 0 时 cos x 1
cos0.1 0.995 1, cos( 0.2) 0.980 1
2. 函数的图象
将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，
当自变量取遍定义域 A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述
为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
3. 描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、
最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
4．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
关于 轴对称
①y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(x)；
关于 轴对称
②y＝f(x) ――― ――→ y＝f(－x)；
关于原点对称
③y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(－x)；
关于 ＝ 对称
④y＝ax (a>0且 a≠1) ――― ――→ y＝logax(a>0且 a≠1)．
(3)伸缩变换
1
①把函数 y f (x) 图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍得 y f (wx) (0w
1
②把函数 y f (x) 图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍得 y f (wx) (w >1)
w
③把函数 y f (x) 图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得 y w f (x) (w >1)
④把函数 y f (x) 图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得 y w f (x) (0(4)翻折变换
保留 轴上 方图象
①y＝f(x) ― ―――――――――→将 轴下方图 象翻折上去y＝|f(x)|.
保留 轴右边图 象，并作其
②y＝f(x) ―――― ―――――――→关于 轴对 称的图象 y＝f(|x|)．
考点一、由函数解析式判断函数图象
1．（2024· 2 x x全国·高考真题）函数 f x x + e e sinx 在区间[ 2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
é π π ù
2．（2022·全国·高考真题）函数 y 3x 3 x cos x 在区间 ê , 的图象大致为（ ） 2 2 ú
A． B．
C． D．
x
1．（2024·河北保定·二模）函数 f (x) 1 e x cos 2x的部分图象大致为（ ）1+ e
A． B．
C． D．
excos 2ex
2．（2024· 安徽合肥·模拟预测）函数 f x （ e2x 为自然函数的底数）的图象大致为（ ）e 1
A． B．
C． D．
x2 + 3
3．（2023·福建福州·模拟预测）函数 f x 2 的图象大致为（ ）x +1
A． B．
C． D．
ex e x
4．（2024·山东·模拟预测）函数 f x 1 x2 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2x π+1 sin + 3x
5．（2024· 四川德阳·二模）函数 ÷f x è 2 的图象大致是（ ）
2x 1
A． B．
C． D．
考点二、由函数图象判断函数解析式
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 f x 的部分图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
A 5e
x 5e x 5sin x
． B．
x2 + 2 x2 +1
5ex + 5e x 5cos xC． 2 D．x + 2 x2 +1
2．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
A y x
3 + 3x 3 2x cos x 2sin x
． 2 B． y
x x
C． y D． y
x +1 x2 +1 x2 +1 x2 +1
1
3 2．（2021·浙江·高考真题）已知函数 f (x) x + , g(x) sin x ，则图象为如图的函数可能是（
4 ）
1
A． y f (x) + g(x) B． y f (x)
1
g(x)
4 4
g(x)
C． y f (x)g(x) D． y f (x)
1．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
x
A． y y xcosx
ex + e x
B．
C． y x ex e x D． y cosx ex + e x
2．（2024·湖南·二模）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为（ ）
f x 2x
2
f x 2x
2
A． B． x 1 x +1
C． f x
2x
2 x
x 1 D． f x x2 1
3．（2024·广东广州·一模）已知函数 f (x) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) sin(tan x) B． f (x) tan(sin x)
C． f (x) cos(tan x) D． f (x) tan(cos x)
4．（2024·陕西安康·模拟预测）函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
x sin x + x2 f (x) x sin x f (x) x sin x + xA． f (x) B． C．
| x | +1 | x | +1 | x | +1
f (x) x sin xD．
x2 +1
5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 y f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
f (x) x sin x x cos xA． B． f (x)
ex + e x ex + e x
x + sin x x + cos x
C． f (x)
ex x
D． f (x)
+ e ex + e x
考点三、函数图象的应用
1．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 l在初始位置与等边VABC 的底边重合，之后 l开始在平面上按逆时针
方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S 是时间 t 的函数．这个函
数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数 f x 的定义域为D，对于函数 f x 图象上一点 x0 , y0 ，集合
k R k x x0 + y0 f x ,"x D 只有一个元素，则称函数 f x 具有性质Fx .0 则下列函数中具有性质F1的
函数是（ ）
A． f x x 1 B． f x lg x C f x x3 πx． D． f x sin
2
3．（2024·山东日照·三模）（多选）在平面直角坐标系 xOy 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD沿 x 轴滚
动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B x, y 的轨迹方程是 y f x ，则（ ）
A．方程 f x 2在 3,9 上有三个根
B． f x f x
C． f x 在 6,8 上单调递增
1
D．对任意 x R ，都有 f x + 4 f x
4．（2024·浙江丽水· 2 x 2 x二模）已知正实数 x1, x2 , x3满足 x1 + 2x1 +1 x 1 212 ， x2 + 3x2 +1 x23 ，
x2 + 4x +1 x 4x33 3 3 ，则 x1, x2 , x3的大小关系是（ ）
A． x3 < x2 < x1 B． x1 < x2 < x3
C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
1．（2024·河南·模拟预测）在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，P 为棱 AB （不包含端点）上一动点，过点 P
作平面a ，使 AB ^ a ，a 与此正四面体的其他棱分别交于 E，F 两点，设 AP x 0 < x <1 ，则!PEF 的面
积 S 随 x 变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 高二下·四川成都·期中）“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明 朱察卿）
若 A, B两点关于点P 1,1 成中心对称，则称 A, B 为一对“然诺点”，同时把 A, B 和 B, A 视为同一对“然诺
ì x 2 e x , x <1
点”．已知 a Z,f x í 的图象上有两对“然诺点”，则 a等于（ ）
ax 2, x >1
A．2 B．3 C．4 D．5
ìx2 + 2x +1, x 0
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f (x) í ln x , x 0 ，若方程
f x a有四个根 x1, x2 , x3 , x4 ，且
>
x1 < x2 < x3 < x4 ，则下列说法错误的是（ ）
A． x1 + x2 2 B． x3 + x4 > 2
C． x1x2 > 4 D．0 < a 1
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y cosx与 y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
f x sinx2．（2024·安徽淮北·二模）函数 cosx 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
1
3．（2024·山东泰安·模拟预测）函数 f x x ÷cos x 的部分图象大致是（x ）è
A． B．
C． D．
x2 4
4．（2024·安徽合肥·三模）函数 f x 的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
2 2 1
5．（2024·黑龙江哈尔滨·
x sin x +
模拟预测）函数 f x 2 的部分图象大致为（ ）.
ex e x
A． B．
C． D．
2x26 2024· · f x cosx．（ 福建南平 模拟预测）函数 x x 的部分图像大致为（ ）2 + 2
A． B．
C． D．
2
7．（2024· · x + cos x山西晋中 模拟预测）函数 f x
3x3
的部分图象大致为（ ）
3x
A． B．
C． D．
8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 y f (x) 的大致图象如图所示，则 y f (x) 的解析式可能为（ ）
x x
A． f (x) x ×3 x B． f (x)
x ×3

9 1 9x +1
ln x +1 xC． f (x) D． f (x) 2
x2 +1 x +1 ln x + 2
9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数 f x 的部分图象大致如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
f x sinxA． x x B． f x e
x e x sinx
e + e
C f x e
x + e x
． D． f x ex e x + sinx
sinx
10．（2024·上海奉贤·二模）已知函数 y f x ，其中 y x2 +1， y g x ，其中 g x 4sin x，则图象如图
所示的函数可能是（ ）．
g x f xy y A． f x B． g x
C． y f x + g x 1 D． y f x g x 1
3
1．（2024· sin x全国·模拟预测）函数 f x 4 的大致图象是（ ）x 2
A． B．
C． D．
ln( x2 +1 + x)
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数 f (x) 的大致图象为（ ）
x2 +1 + x
A． B．
C． D．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
x
f x e e
x ex e x
A． 3 x 2 B．
f x
2 3 x
x
f x e + e
x 2x
C． D． f x 3 x 2 x 1
4 1 2
2x
．（2024·广西·模拟预测）已知函数 f x ， g x log x h x2x 2 ，如图为函数 的图象，则 h x 可能1+ 2
为（ ）
A． h x f x + g x B． h x f x g x
f x
C． h x f x g x D． h x g x
5．（2024·天津滨海新·三模）已知函数 f x 的图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为（ ）
x x 2
A． f x e e B f x sin 2x x +1 ． × ln
x x2
ex + e x 2C． f x D． f x cos 2x ln x +1×
x x2
6．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点 P 沿
A B C M 运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y f x 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
7．（2024·浙江·模拟预测）如图①，在矩形 ABCD中，动点M 从点A 出发，沿 A B C 的方向运动，当
点M 到达点C 时停止运动．过点M 作MN ^ AM 交CD 于点 N ，设点M 的运动路程为 x,CN y，图②表
示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则矩形 ABCD的面积是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一
周，O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P 所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏
定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，
形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习
和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数
y f (x) 的图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
sin x cos x
A f (x) 3sin x B f (x) 3cos x C f (x) 1 ． ． ． ÷ D． f (x)
1
÷
è 3 è 3
ìlg x , x < 0

10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f x í1 x 1 ,0 x < 2的图象在区间 t, t (t > 0)内

f x 2 , x 2
恰好有5对关于 y 轴对称的点，则 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
1．（浙江·高考真题）函数 y= 2 x sin 2x 的图象可能是
A． B．
C． D．
2．（浙江·高考真题）函数 y=xcosx+sinx 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
y 4x3．（天津·高考真题）函数 2 的图象大致为（x 1 ）+
A． B．
C． D．
sin x
4．（全国·高考真题）函数 y＝1＋x＋ 2 的部分图象大致为（ ）x
A． B．
C． D．
5．（江西·高考真题）某地一年内的气温Q(t) （单位：℃）与时间 t（月份）之间的关系如图所示，已知该
年的平均气温为10℃.令C(t)表示时间段[0, t]的平均气温，C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
sin2x
6．（全国·高考真题）函数 y 的部分图像大致为
1 cosx
A． B．
C． D．
x x
7 · e e．（全国 高考真题）函数 f x 2 的图像大致为 (　　)x
A． B．
C． D．
8．（全国·高考真题）函数 y x4 + x2 + 2 的图像大致为
A． B．
C． D．第 05 讲 函数的图象
（3 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性
质，难度中等偏下，分值为 5 分
【备考策略】1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题
2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象
3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质
【命题预测】本节内容通常考查给定函数解析式来判断所对应的图象，是新高考复习的重要内容
知识讲解
1. 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）
① 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236, 6 2.45, 7 2.646
1
② e 2.71828, e2 7.39, e 2 e 1.65
ln1 1③ 0, ln 2 0.69, ln 3 1.1, ln e 1, ln e
2
④ sin1 0.84, cos1 0.54, sin 2 0.91, cos 2 0.42
特别地：当 x 0 时 sin x x
例如： sin 0.1 0.099 0.1， sin 0.2 0.199 0.2, sin 0.3 0.296 0.3
当 x 0 时 cos x 1
cos0.1 0.995 1, cos( 0.2) 0.980 1
2. 函数的图象
将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，
当自变量取遍定义域 A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述
为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
3. 描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、
最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
4．图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
关于 轴对称
①y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(x)；
关于 轴对称
②y＝f(x) ――― ――→ y＝f(－x)；
关于原点对称
③y＝f(x) ――― ――→ y＝－f(－x)；
关于 ＝ 对称
④y＝ax (a>0且 a≠1) ――― ――→ y＝logax(a>0且 a≠1)．
(3)伸缩变换
1
①把函数 y f (x) 图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 倍得 y f (wx) (0w
1
②把函数 y f (x) 图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍得 y f (wx) (w >1)
w
③把函数 y f (x) 图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得 y w f (x) (w >1)
④把函数 y f (x) 图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得 y w f (x) (0(4)翻折变换
保留 轴上 方图象
①y＝f(x) ― ―――――将 轴下方图 ――――→象翻折上去y＝|f(x)|.
保留 轴右边图 象，并作其
②y＝f(x) ―――― ―――――――→关于 轴对 称的图象 y＝f(|x|)．
考点一、由函数解析式判断函数图象
1．（2024·全国·高考真题）函数 f x x2 + ex e x sinx 在区间[ 2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除 A、C，代入 x 1可得 f 1 > 0，可排除 D.
【详解】 f x x2 + e x ex sin x x2 + ex e x sin x f x ，
又函数定义域为 2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除 A、C，
f 1 1又 1+ e

÷sin1 > 1
1
+ e

÷sin
π e 1 1 1
1 > > 0，
è e è e 6 2 2e 4 2e
故可排除 D.
故选：B.
é π π ù
2．（2022· · x x全国 高考真题）函数 y 3 3 cos x 在区间 ê , 的图象大致为（ ） 2 2 ú
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.
x x é p p ù
【详解】令 f x 3 3 cos x, x , ，
ê 2 2 ú
则 f x 3 x 3x cos x 3x 3 x cos x f x ，
所以 f x 为奇函数，排除 BD；
p
又当 x 0, 时，3x 3 x ÷ > 0,cos x > 02 ，所以
f x > 0，排除 C.
è
故选：A.
1 2024· · f (x) 1 e
x
．（ 河北保定 二模）函数 x cos 2x的部分图象大致为（ ）1+ e
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性判断即可.
1 ex 1 e x ex 1
【详解】设 g x x ，则 g x x x g x ，1+ e 1+ e 1+ e
所以 g x 为奇函数，
设 h x cos2x，可知 h x 为偶函数，
1 ex
所以 f x x cos2x 为奇函数，则 B，C 错误，1+ e
易知 f 0 0，所以 A 正确，D 错误．
故选：A.
excos 2ex
2．（2024· 安徽合肥·模拟预测）函数 f x （ e2x 为自然函数的底数）的图象大致为（ ）e 1
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可排除 B，C；再由 x 趋近0+ ， f x > 0，排除 D，即可得出答案.
ex cos 2ex【详解】 f x 的定义域为 x x 0 ，
e2x 1
ée x cos 2ex ù ×e
2x x
f x e cos2ex f x 2x ，e 1 ×e2x 1 e2x
所以 f x 为奇函数，故排除 B，C；
当 x 趋近0+ ， e2x >1，所以 e2x 1 > 0， ex >1,cos 2ex > 0 ，
所以 f x > 0，故排除 D.
故选：A.
f x x
2 + 3
3．（2023·福建福州·模拟预测）函数 2 的图象大致为（ ）x +1
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案．
x2 + 3
【详解】因为函数 f (x) 2 的定义域为R ，排除 CD，x +1
又 f ( x) f (x)，即 f (x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B．
故选：A．
f x e
x e x
4．（2024·山东·模拟预测）函数 1 x2 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 f (x) 的定义域及奇偶性，再由奇偶性在( 0, 1)内函数值的正负判断即可.
ex e x
【详解】依题意，函数 f (x) 2 的定义域为{x R | x ±1}，|1 x |
x x x x
f ( x) e e e e f (x)，则 f (x)2 2 是奇函数，其图象关于原点对称，B 不满足；|1 ( x) | |1 x |
当 x (0,1) 时， ex e x > 0,|1 x2 |> 0 ，则 f (x) > 0 ，AD 不满足，C 满足.
故选：C
2x +1
5 2024· · sin
π
+ 3x

．（ 四川德阳 二模）函数 ÷f x è 2 的图象大致是（ ）
2x 1
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式化简 f x ，再利用函数奇偶性的定义判断 f (x)的奇偶性，从而得解.
2x +1 sin π + 3x
【详解】因为 f x è 2
÷ x
2 +1 ，定义域为 ,0 U 0, + ，
2x 1 2x
×cos3x
1
2 xf ( x) +1
x
cos 3x 2 +1又 x × x ×cos3x f x ，2 1 2 1
所以 f (x)是奇函数，从而 ACD 错误，B 正确.
故选：B.
考点二、由函数图象判断函数解析式
1．（2023·天津·高考真题）已知函数 f x 的部分图象如下图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
5ex 5e x 5sin xA．
x2
B．
+ 2 x2 +1
x x 5cos x
C 5e + 5e．
x2
D．
+ 2 x2 +1
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断 B 中函数的奇偶性，再判断 A、C 中函数在 (0, + )上的函
数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且 f ( 2) f (2) < 0 ，
5sin( x) 5sin x
由 ( x)2
且定义域为 R，即 B 中函数为奇函数，排除；
+1 x2 +1
x
x > 0 5(e e
x ) 0 5(e
x + e x )
当 时 2 > 、 2 > 0，即 A、C 中 (0, + )上函数值为正，排除；x + 2 x + 2
故选：D
2．（2022·全国·高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[ 3,3]的大致图像，则该函数是（ ）
x3 + 3x x3 x 2x cos x 2sin xA． y 2 B． y 2 C． y 2 D． y x +1 x +1 x +1 x2 +1
【答案】A
【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.
x3 x
【详解】设 f x ，则 f 1 02 ，故排除 B;x +1
h x 2x cos x x π 设 2 ，当 0, ÷ 时，0 < cos x <1，x +1 è 2
所以 h x 2x cos x 2x
x2
< 2 1，故排除 C;+1 x +1
g x 2sin x设 2 ，则 g 3
2sin 3
> 0，故排除 D.
x +1 10
故选：A.
1
3 2．（2021·浙江·高考真题）已知函数 f (x) x + , g(x) sin x ，则图象为如图的函数可能是（
4 ）
A． y f (x)
1 1
+ g(x) B． y f (x) g(x)
4 4
g(x)
C． y f (x)g(x) D． y f (x)
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除 A、B，结合导数判断函数的单调性可判断 C，即可得解.
【详解】对于 A， y f x + g x 1 x2 + sin x，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 A；
4
对于 B， y f x g x 1 x2 sin x ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除 B；
4
对于 C， y f x g x 1 x2 + ÷sin x ，则 y 2x sin x
1
+ x2 +
4 4 ÷
cos x ，
è è
p y p 2
p 2 1 2
当 x 时， + + ÷ > 0，与图象不符，排除 C.4 2 2 è 16 4 2
故选：D.
1．（2024·湖北·模拟预测）已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ）
x
A． y B． y xcosx
ex + e x
C y x ex e x D y cosx ex + e x． ．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可.
【详解】设题设函数为 f x ，由选项可知：ABCD 中的函数定义域均为R ，
对于选项 D：若 f x cosx ex + e x ，但此时 f 0 2 ，矛盾，故可排除 D；
C f x x ex e x对于选项 ：若 ，但此时 f 1 e e 1 > 0 ，矛盾，故可排除 C；
对于选项 B：若 f x π xcosx ，但此时 f ÷ 0，矛盾，故可排除 B.
è 2
故选：A.
2．（2024·湖南·二模）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为（ ）
2x2f x 2x
2
A． B． f x x 1 x +1
f x 2x 2 xC． x 1 D． f x x2 1
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解.
【详解】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除 C；
由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除 B；
由图可知，当 x + 时， y ，
而对于 D 选项，当 x + 时， y 0，故排除 D.
故选：A.
3．（2024·广东广州·一模）已知函数 f (x) 的部分图像如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
A． f (x) sin(tan x) B． f (x) tan(sin x)
C． f (x) cos(tan x) D． f (x) tan(cos x)
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于 A， f x sin tan x sin tan x sin tan x f x ，为奇函数，排除；
对于 B， f x tan sin x tan sin x tan sin x f x ，为奇函数，排除；
π π
同理，C、D 选项为偶函数，而对于 C 项，其定义域为 + kπ, + kπ ÷ ，不是 R，舍去，故 D 正确.
è 2 2
故选：D
4．（2024·陕西安康·模拟预测）函数 f (x) 的部分图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能为（ ）
x sin x + x2
A． f (x) B． f (x)
x sin x f (x) x sin x + x C．
| x | +1 | x | +1 | x | +1
f (x) x sin xD．
x2 +1
【答案】A
【分析】由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.
【详解】由图象可得函数 f x 为偶函数，且 x R ， f x 0，当且仅当 x 0时， f x 0，
x sin x + x 2 x sin x + x2
对于 A，因为 f x f x ， x R ，所以函数 f x 是偶函数，又
x +1 x +1
y sin x + x ， x > 0，
则 y cos x +1 0，所以函数 y sin x + x 在 0, + 上单调递增，
所以 y sin x + x > 0，故解析式可能为 A，故 A 正确；
3π
3π sin
3π 3π

对于 B，由 f 2 2 2 ÷ 3π 3π < 0，不合题意，故 B 错误；è 2 +1 +1
2 2
x sin x + xf x x sin x x对于 C，因为 x 1 x 1 ，所以 f x f x 且 f x f x ， + +
所以函数 f x 是非奇非偶函数，故 C 错误；
πsin π
对于 D，由 f π 2 0，不合题意，故 D 错误.π +1
故选：A.
5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数 y f x 的图象如图所示，则 f x 的解析式可能是（ ）
f (x) x sin x f (x) x cos xA．
ex
B．
+ e x ex + e x
x + sin x x + cos x
C． f (x) x x D． f (x) e + e ex + e x
【答案】C
π
【分析】依题意可得 f x 为奇函数，即可排除 B、D，由函数在 0 < x < 2 上的函数值的特征排除 A.
【详解】由图可知 f x 的图象关于原点对称，则 f x 为奇函数，
对于 A ： f (x)
x sin x

ex + e x
定义域为R ，
0 x π当 < < 时 x sin x < 0， ex + e x > 0，所以 f x < 02 ，不符合题意，故 A 错误；
f (x) x cos x对于 B： x x 定义域为R ，e + e
x cos xf ( x) x cos x x x x x f x 且 f ( x) f x ，e + e e + e
x cos x
所以 f (x) x x 为非奇非偶函数，不符合题意，故 B 错误；e + e
f (x) x + cos x对于 D： x x 定义域为R ，e + e
x + cos x
f ( x) x + cos x f x 且 f ( x) f x x x x x ，e + e e + e
f (x) x + cos x所以
ex
为非奇非偶函数，不符合题意，故 D 错误；
+ e x
f (x) x + sin x x + sin x对于 C： x x 定义域为R ， f ( x)
x + sin x
x f (x) ，e + e e + ex ex + e x
所以 f (x)
x + sin x

ex + e x
为奇函数，
π
且当 0 < x < 时 x + sin x > 0， ex + e x > 0，所以 f x > 02 ，符合题意，故 C 正确；
故选：C
考点三、函数图象的应用
1．（2024·安徽·模拟预测）如图，直线 l在初始位置与等边VABC 的底边重合，之后 l开始在平面上按逆时针
方向绕点A 匀速转动（转动角度不超过60°），它扫过的三角形内阴影部分的面积S 是时间 t 的函数．这个函
数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3 3
【分析】取BC 的中点E ，连接 AE ，设等边VABC 的边长为 2，求得 SVABD + tan(a 30
o ) ，令
2 2
S x 3 3 + tan(x 30o )，其中0o x 60o，结合导数，即可求解.
2 2
【详解】如图所示，取BC 的中点E ，连接 AE ，因为VABC 为等边三角形，可得 EAB 30o ，
设等边VABC 的边长为 2，且 DAB a ，其中0o a 60o，
可得 DE AE tan(30o a ) 3 tan(30o a ) ，
又由VABC 的面积为 SVABC 3 ，可得 S
3
VABE ，2
S 1且 VADE 3 3 tan(30
o 3 a ) tan(30o a ) ，
2 2
△ABD S S S 3 3 tan(30o a ) 3 3则 的面积为 oVABE VADE + tan(a 30 )，2 2 2 2
令 S x 3 3 + tan(x 30o )，其中0o x 60o，
2 2
可得 S x 3 1 2 > 0 S x2 cos (x 30o ) ，所以 为单调递增函数，
又由余弦函数的性质得，当 x 30o 时，函数 S x 取得最小值，
所以阴影部分的面积一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
结合选项，可得选项 C 符合题意.
故选：C.
2．（2024·四川绵阳·模拟预测）设函数 f x 的定义域为D，对于函数 f x 图象上一点 x0 , y0 ，集合
k R k x x0 + y0 f x ,"x D 只有一个元素，则称函数 f x 具有性质Fx .0 则下列函数中具有性质F1的
函数是（ ）
A． f x x 1 B． f x lg x C． f x x3 D． f x sin πx
2
【答案】D
【分析】根据性质F1的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.
【详解】根据题意， x0 1，具有性质F1的函数 f x ，
其图象不能在过点 1, f 1 的直线的上方，且这样的直线斜率 k 存在，只有一条；
对于 A，作出函数 f x x 1 与 y k x 1 的图象，知满足条件的 k 有无数多个；
对于 B，作出函数 f x lg x与 y k x 1 的图象，这样的 k 不存在；
对于 C，作出函数 f x x3 与 y k x 1 +1的图象，这样的 k 不存在；
对于 D，作出函数 f x sin πx 与 y k x 1 +1的图象，这样的 k 只有一个即 k 0 .
2
故选：D.
3．（2024·山东日照·三模）（多选）在平面直角坐标系 xOy 中，如图放置的边长为 2 的正方形 ABCD沿 x 轴滚
动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B x, y 的轨迹方程是 y f x ，则（ ）
A．方程 f x 2在 3,9 上有三个根
B． f x f x
C． f x 在 6,8 上单调递增
1
D．对任意 x R ，都有 f x + 4 f x
【答案】AC
【分析】根据正方形的运动，得到点 B 的轨迹，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可.
【详解】分析正方形顶点 B 的运动状态可知，
1
当 4 x 2 时， B 的轨迹是以A 为圆心，半径为 2 的 圆；
4
1
当 2 x 2时， B 的轨迹是以D为圆心，半径为 2 2 的 圆；4
当 2 x 4 时， B 的轨迹是以C
1
为圆心，半径为 2 的 圆；
4
1
当 4 x 6时， B 的轨迹是以A 为圆心，半径为 2 的 圆，
4
作出函数的图象如下图所示：
由图知：函数 y f x 的图象与直线 y 2在 3,9 上有三个交点，
即方程 f x 2 0在 3,9 上有三个根，A 正确；
函数 y f x 的图象关于 y 轴对称，所以函数 y f x 是偶函数，B 错误；
函数 f x 在 6,8 上单调递增，C 正确；
1
由图象知： f 2 2， f 2 2， f 2 f 2 ，D 错误.
故选：AC.
4．（2024· 2浙江丽水·二模）已知正实数 x1, x2 , x3满足 x1 + 2x1 +1 x 2
x1 2
1 ， x2 + 3x2 +1 x
x2
23 ，
x2 x33 + 4x3 +1 x3 4 ，则 x1, x2 , x3的大小关系是（ ）
A． x3 < x2 < x1 B． x1 < x2 < x3
C． x1 < x3 < x2 D． x2 < x1 < x3
【答案】A
1
【分析】依题意可得 x1 + 2
x 11 2 x + 3x2， 2 3
1
， x3 + 4
x3 4，令 f x x 1 + ， x 0, + x ，则1 x2 x3 x
问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断.
【详解】因为x1，x x x
2 x
， 为正实数，且满足 1
2 x2 2 x3
2 3 1 + 2x1 +1 x12 ， x2 + 3x2 +1 x23 ， x3 + 4x3 +1 x3 4 ，
x2则 1 +1 x
x1
12 2x x
2
1， 2 +1 x 3
x2 3x x22 2 ， 3 +1 x 4
x3
3 4x3，
x21 +1 x
2 +1 2
所以 2x1 2， 2 3x2 3
x3 +1
， 4x3 4，
x1 x2 x3
x 1则 1 + 2
x 2 x 1 3x 3 x 11 + 2 + 4x3 4
x ， 2 ， 3 ，1 x2 x3
令 f x x 1+ ， x 0, + ，
x
1
由对勾函数的性质可得 f x x + 在 0,1 上单调递减，在 1, + 上单调递增，且 f 1 2 ，
x
1 x1
满足 x1 + 2 2x 的x1即为
y f x 与 y 2x 2的交点的横坐标，
1
满足 x
1
2 + 3
x2 3
x 的x2即为
y f x 与 y 3x 3的交点的横坐标，
2
满足 x
1
3 + 4
x3 4的 x3 即为 y f xx 与 y 4
x 4的交点的横坐标，
3
在同一平面直角坐标系中画出 y f x 、 y 2x 2、 y 3x 3、 y 4x 4的图象如下所示：
由图可知 x3 < x2 < x1 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为函数 y f x 与相应的指数型函数的交点的横坐标的大小
关系问题，准确画出函数图象是关键.
1．（2024·河南·模拟预测）在棱长为 1 的正四面体 ABCD中，P 为棱 AB （不包含端点）上一动点，过点 P
作平面a ，使 AB ^ a ，a 与此正四面体的其他棱分别交于 E，F 两点，设 AP x 0 < x <1 ，则!PEF 的面
积 S 随 x 变化的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】取线段 AB 的中点O，连接OC 、OD ，证明出 AB ^ 平面OCD，分析可知平面a 与平面OCD平行
1 1 1
或重合，分0 < x < 、 x 、 < x <1三种情况讨论，计算出VOCD的面积，利用三角形相似可得出 f x
2 2 2
的表达式，即可得出合适的选项.
【详解】取线段 AB 的中点O，连接OC 、OD ，
因为VABC 、△ABD 为等边三角形，O为 AB 的中点，则OC ^ AB，OD ^ AB ，
QOC OD O ，OC 、OD 平面OCD，\ AB ^平面OCD，
因为 AB ^ 平面a ，所以，平面a 与平面OCD平行或重合，
且OD OC AC 2 OA2 3 ，
2
取CD 的中点M ，连接OM ，则OM ^ CD ，
且OM OC 2 CM 2 2 S 1 ，故 △OCD CD ×OM
2
.
2 2 4
①当0
1
< x < 时，平面a //平面OCD，平面a I 平面 ABC PE ，
2
平面OCD I平面 ABC OC ，\PE //OC ，同理可知，PF //OD ，EF //CD，
PE AE EF AF PF
所以， ，故△PEF∽△OCD ，
OC AC CD AD OD
如下图所示：
S AP
2

则 ÷ 4x
2 ，则 S f x 2x2 ；
S△OCD è AO
②当 x
1
S f 1 2时， ÷ ；2 è 2 4
1
③当 < x <1时，平面a //平面OCD，平面a I 平面 ABC PE ，
2
平面OCD I平面 ABC OC ，\PE //OC ，同理可知，PF //OD ，EF //CD，
PE BE EF BF PF
所以， ，故△PEF∽△OCD ，
OC BC CD BD OD
如下图所示：
S BP 2
则 ÷ 4 1 x
2
，则 S f x 2 1 x 2 .
S△OCD è BO
ì 2x2 ,0 x 1 <
综上所述， S f x 2í 1 ，故函数 f x 的图象如 C 选项中的图象. 2 x 1 2 , < x <1


2
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解题的关键对 x 分类讨论，求出函数 f x 的解析式，进而辨别出函数 f x 的图象.
2．（23-24 高二下·四川成都·期中）“肝胆两相照，然诺安能忘．”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明 朱察卿）
若 A, B两点关于点P 1,1 成中心对称，则称 A, B 为一对“然诺点”，同时把 A, B 和 B, A 视为同一对“然诺
ì x 2 e x , x <1
点”．已知 a Z,f x í 的图象上有两对“然诺点”，则 a等于（ ）
ax 2, x >1
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】当 x >1时， f (x) ax 2，其关于点 P(1,1) 对称的函数为 y ax 2a + 4(x <1)，问题转化为
y ax 2a + 4与 y x 2 e x 在 x ,1 4 x上有两个交点，联立方程得到 + a e ，构造函数
x 2
h(x) 4 + a, g(x) e x ，利用函数图象即可求出结果.
x 2
【详解】当 x＞1 时， f (x) ax 2关于点 P(1,1) 对称的函数为 y ax 2a + 4(x <1)，
由题知 y ax 2a + 4与 y (x 2)e x在 x ( ,1) 上有两个交点，
ìy ax 2a + 4
由 í ，消 y 得到 ax 2a + 4 (x 2)e x ，
y (x 2)e
x
4
又 x <1，得到 + a e x ，
x 2
h(x) 4令 + a, g(x) e x ，
x 2
4
则 h(x) + a 和 g(x) e x 在 ( ,1)上有两个交点，
x 2
g(x) e x y 4在同一坐标系中，作出 和 x 2 的图象，如图所示，
因为 h(x)
4
+ a 4的图象可由 y
x 2 x 2
上下平移得到，

ì 4 + a < e 1
1 2
由图知 í ，得到3 < a < 4 + e 1 < 5，
4 + a >1
2
又 a Z，
所以 a 4．
故选：C．
【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题
（1）先求函数 f x ax 2关于点P 1,1 对称的函数 y ax 2a + 4(x <1)；
（2）将问题转化为函数 y ax 2a + 4(x <1) y x 2 e x与 在 x ,1 上有两个交点；
（3）最后利用构造函数 h x 4 + a, g x e x ，通过图象即可求解.
x 2
ìx2 + 2x +1, x 0
3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数 f (x) í f x a x , x , x , x
ln x , x 0
，若方程 有四个根 1 2 3 4 ，且>
x1 < x2 < x3 < x4 ，则下列说法错误的是（ ）
A． x1 + x2 2 B． x3 + x4 > 2
C． x1x2 > 4 D．0 < a 1
【答案】C
【分析】分析函数 f (x) 的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.
y x2【详解】函数 +2x+1的图象开口向上，对称轴为直线 x= 1，
当 x 0 时， f (x) x2 + 2x +1在 ( , 1]上递减，函数值集合为[0, + ) ，在[ 1,0]上递增，函数值集合为
[0,1]，
当 x > 0时， f (x) | ln x |在 (0,1]上递减，函数值集合为[0, + ) ，在[1, + ) 上递增，函数值集合为[0, + ) ，
方程 f (x) a的根是直线 y a 与函数 y f (x) 图象交点的横坐标，
方程 f (x) a有四个根 x , x , x , x ，即直线 y a1 2 3 4 与函数 y f (x) 图象有 4 个交点，
在同一坐标系内作出直线 y a 与函数 y f (x) 的图象，如图，
观察图象知， x1 + x2 2，0 < a 1，AD 正确；
显然 | ln x3 | | ln x4 |，而 x3 <1 < x4 ，则 ln x3 ln x4 ，即 ln x3x4 0 ， x3x4 1，
x3 + x4 > 2 x3x4 2 ，B 正确；
显然 1 < x2 0， x1x2 ( 2 x2 )x2 (x2 +1)
2 +1 [0,1)，C 错误.
故选：C
一、单选题
1．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 y cosx与 y lg x 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 y cosx与 y lg x 都是偶函数，其中 cos 2π cos 4π 1， lg 4π > lg10 1 > lg 2π，
在同一坐标系中，作出函数 y cosx与 y lg x 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为 6.
故选：D
sinx
2．（2024·安徽淮北·二模）函数 f x cosx 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3π
【分析】利用函数的奇偶性排除 B,D 两项，再根据图象取特殊值 x ，排除 A 项即得.
4
【详解】由 f x
sinx
π
cosx 可知， cos x 0，即 x + kπ,k Z ，显然该函数定义域关于原点对称，2
f x sin( x) sin x由 = f (x)cos( x) cos x 可知，函数为奇函数，排除 B, D 两项，
sin 3π3π
又 f ( ) 43π 1 > 0，排除 A 项，故 C 项正确.4 | cos |
4
故选：C.
1
3．（2024·山东泰安·模拟预测）函数 f x x ÷cos x 的部分图象大致是（x ）è
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用奇函数定义判断函数 f x 为奇函数，排除 A；再利用 y 轴右侧有两个零点排除 B；在根据
函数值的符号排除 C，即可判断.
【详解】函数 f x 的定义域为 x x 0 ，
f x 1 + x cos x 1 因为 x ÷ x ÷cos x f x ，所以 f x 为奇函数，排除 A；è è x
易知 f 1 f π ÷ 0 ，排除 B；
è 2
1
当 x > 0且无限趋近于 0 时， x > 0,cos x > 0，即 f x > 0，排除C .
x
故选：D
x2 4
4．（2024·安徽合肥·三模）函数 f x 的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性、在 2, + 上的单调性、函数值 f 1 的正负情况依次判断和排除 ABC，即可得
解.
2 2
【详解】由题 f x 定义域为 ,0 0, + x 4 x 4关于原点对称，且 f x f x ，
x x
故 f x 是奇函数，故 A 错；
x2 4 2
当 x > 2时， f x x 4 x 4 ，
x x x
又 y x 是增函数， y
4
在 2, + 上是增函数，
x
4
故 f x x 在 2, + 上是增函数，故 BC 错；
x
故选：D.
2 2 1
5．（2024·
x sin x +
黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数 f x 2 的部分图象大致为（ ）.
ex e x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 f x π 的定义域排除 B；由 f x 是奇函数排除 C；由 f ÷ > 0 排除 D，从而得出答案.
è 4
【详解】由 ex e x 0，得 x 0，则 f x 的定义域是 x∣x 0 ，排除 B；
x2 1+ sin2x
由 f x 2 ，
ex e x
( 1 x)2 + sin2 ( x) x2 1+ sin2x
得 f x 2 2 x x x x f x
，
e e e e
所以函数 f x 是奇函数，排除 C；
π 2 2 1 π π
÷ + sin
2
π 4 2 4 ÷f è è 4 ，排除 D. 4 ÷è π π π
> 0

e 4 e 4 e 2 1
故选：A．
6 2024· · f x 2x
2cosx
．（ 福建南平 模拟预测）函数 x x 的部分图像大致为（ ）2 + 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除 CD，计算 f π 即可排除 B.
2 x 2 cos x 2x2cosx
【详解】因为 f x x x f x ，所以 f x 为偶函数，2 x + 2x 2 + 2
故 C，D 项错误；
2π2cosπ 2π2
又 f π π π π π < 0，故 B 项错误．2 + 2 2 + 2
故选：A．
2
7 2024· · f x x + cos x．（ 山西晋中 模拟预测）函数 3 的部分图象大致为（ ）3x 3x
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性，再分别判断0 < x <1， x >1时的函数值的正负，运用排除法可得结论.
2 2
f x ( x) + cos( x) x + cos x【详解】因为 f (x)，
3( x)3 3( x) 3x3 3x
所以函数为奇函数，可排除 D 选项；
2
0 < x <1 x2 cos x 0 3 x + cos x当 时， + > ，3x 3x < 0， 3 < 0可排除 B；3x 3x
2
当 x >1时， x2 + cos x > 0 3 x + cos x，3x 3x > 0， 3 > 0，可排除 A；3x 3x
故选：C.
8．（2024·安徽马鞍山·三模）已知函数 y f (x) 的大致图象如图所示，则 y f (x) 的解析式可能为（ ）
x x
A． f (x) x ×3 x ×3 B． f (x)
9x 1 9x +1
ln x +1C ． f (x) D． f (x)
x

2 x2x +1 +1 ln x + 2
【答案】D
【分析】利用排除法，取特值，求 f (1)即可判断结果.
3
【详解】对于选项 A：因为 f (1) > 0，与图象不符，故 A 错误；
8
f (1) 3对于选项 B：因为 > 0，与图象不符，故 B 错误；
10
对于选项 C：因为 f (1)
ln 2
> 0，与图象不符，故 C 错误；
2
故选：D.
9．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）函数 f x 的部分图象大致如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
sinx
A x x． f x
ex + e x
B． f x e e sinx
exC + e
x
x x
． f x D． f x e e + sinx
sinx
【答案】A
【分析】结合图象可知 f (x) 为奇函数且 f (0) 0，在 (0, + )上先增后减.根据函数的奇偶性和 f (0) 0，结合
导数判断函数的单调性依次判断选项即可.
【详解】由图可知， f (x) 的图象关于原点对称，则 f (x) 为奇函数，
且 f (0) 0，在 (0, + )上先增后减.
A sin x sin x： f (x) x x ，函数的定义域为 R， f ( x) x x f (x), f (0) 0e e e e ，故 A 符合题意；+ +
B： f (x) ex e x sin x ，函数的定义域为 R，
f (x) ex +e x cos x ，由 x > 0，得 ex >1, 1 cos x 1，
则 f (x) ex +e x cos x > 2 1 > 0， f (x) 在 (0, + )上单调递增，故 B 不符合题意；
x
C f (x) e + e
x
： ，当 x 0时， sin x 0，函数显然没有意义，故 C 不符合题意；
sin x
D： f (x) ex e x + sin x，函数的定义域为 R，
f (x) ex +e x + cos x ，由 x > 0，得 ex >1, 1 cos x 1，
则 f (x) ex +e x + cos x > 2 1 > 0 ， f (x) 在 (0, + )上单调递增，故 D 不符合题意.
故选：A
10．（2024·上海奉贤·二模）已知函数 y f x ，其中 y x2 +1， y g x ，其中 g x 4sin x，则图象如图
所示的函数可能是（ ）．
g x f xy A． B． y f x g x
C． y f x + g x 1 D． y f x g x 1
【答案】A
【分析】根据函数图象和 f x , g x 的奇偶性判断.
2
【详解】易知 f x x +1是偶函数， g x 4sin x 是奇函数，给出的函数图象对应的是奇函数，
g x
A. y h x 4sin x f x x2 1 ，定义域为 R，+
h 4sinx x 4sin x又 2 2 h x h x x +1 ，所以 是奇函数，符合题意，故正确； x +1
f xy x
2 +1
B. x kπ, k Zg x 4sin x ， ，不符合图象，故错误；
C. y h x f x + g x 1 x2 +1+ 4sin x 1 x2 + 4sin x ，定义域为 R，
但 h x h x ,h x h x ，故函数是非奇非偶函数，故错误；
D. y h x f x g x 1 x2 +1 4sin x 1 x2 4sin x ，定义域为 R，
但 h x h x ,h x h x ，故函数是非奇非偶函数，故错误，
故选：A
3
1．（2024·全国·模拟预测）函数 f x sin x 4 的大致图象是（ ）x 2
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可判定 A，C；当0 < x < 4 2 时， f x < 0 ，可判定 B，D.
【详解】Q f x 的定义域为 x x ± 4 2 ，
f x sin
3 x
4 f x ，\函数 f x 是奇函数，x 2
\ f x 的图象关于原点对称，排除 A，C；
当0 < x < 4 2 时， sin3 x > 0，
（提示：0 < 4 2 < π ，故当0 < x < 4 2 时， sin x > 0，得 sin3 x > 0）
4 f x sin
3 x
x 2 < 0，\ 4 < 0，排除 B．x 2
故选:D．
ln( x2 +1 + x)
2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）函数 f (x) 的大致图象为（ ）
x2 +1 + x
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由 x < 0 ， f (x) < 0
ln t
排除 BC；利用导数探讨函数 g(t) , t >1的性质排除 D 即可.
t
【详解】依题意，"x R ， x2 +1 + x >| x | +x 0 恒成立，即函数 f (x) 的定义域为 R，
当 x < 0 时，0 < x2
1
+1 + x <1
2 ，则 ln( x
2 +1 + x) < 0，即 f (x) < 0，BC 不满足；
x +1 x
ln( x2 +1 + x) ln t
当 x > 0时，令 t x2 +1 + x >1，则 ，
x2 +1 + x t
g(t) ln t , t 1 g (t) 1 ln t令 > ，求导得 ，当1< t < e时， g (t) > 0，当 t > e时， g (t) < 0 ，
t t 2
g(t) (1,e) (e, + ) g(t) g(e) 1即函数 在 上单调递增，在 上单调递减， max <1，0 < f (x) <1，D 不满足，A 满e
足.
故选：A
3．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数 f x 的部分图象如图所示，则 f x 的解析式可能为（ ）
x x x x
A． f x e e f x e e 3 x B． 2 2 3 x
ex + e x f x 2xC． f x 3 x 2 D． x 1
【答案】A
【分析】利用 f x 2在 ,+

÷上的值排除 B，利用奇偶性排除排除 C，利用 f x 在 1, + 上的单调性排除
è 3
D，从而判断选项.
2 exB x > f x e
x
【详解】对于 ，当 时， ， ex e x > 0， 2 3x < 0 ，则 f x < 0 ，不满足图象，故 B 错
3 2 3x
误;
ex + e x e x + ex
对于 C， f x 2 2 2 2 3 x 2 ，定义域为 , 3 ÷ , ÷ ,+ ÷ ，而
f x f x y
è è 3 3 è 3 3 x
，关于 轴
2
对称，故 C 错误;
2x 2
对于 D,当 x >1时， f x 2 + ，由反比例函数的性质可知 f x 在 1, + 单调递减，故 D 错误;
x 1 x 1
ex e x
利用排除法可以得到， f x 3 x 2 在满足题意，A 正确.
故选：A
2x
4．（2024·广西·模拟预测）已知函数 f x 1 2 g x log x h x2x ， 2 ，如图为函数 的图象，则 h x 可能1+ 2
为（ ）
A． h x f x + g x B． h x f x g x
f x
C． h x f x g x D． h x g x
【答案】C
【分析】由函数的奇偶性结合函数的定义域和图象逐项分析即可；
1 2x 22x 1
1 2 2x
1 2 ÷ 2xè 2x 2 1
【详解】依题意可知，函数 f x 的定义域为 R， f x 2
1+ 2 2x
f x ，
1 1
2x 2x 2x
+
2 +1 2 +1
2 ÷ 22xè
所以函数 f x 为奇函数．
函数 g x 的定义域为 x x 0 ， g x log2 x g x ，
所以函数 g x 为偶函数．
对于 A， h x f x + g x 的定义域为{x | x 0}， h x 既不是奇函数也不是偶函数，故 A 错误；
对于 B，函数 h x f x g x 的定义域为{x | x 0}， h x 既不是奇函数也不是偶函数，故 B 错误；
对于 C，函数 h x f x g x 的定义域为{x | x 0}， h x h x ，所以 h x 为 f x 奇函数，故 C 正确；
f x
对于 D，函数 h x g x 的定义域为
{x | x 0且 x ±1}，故 D 错误；
故选：C．
5．（2024·天津滨海新·三模）已知函数 f x 的图象如图所示，则函数 f x 的解析式可能为（ ）
exA e
x 2
． f x B． f x sin 2x × ln x +1
x x2
x x 2
C． f x e + e D． f x cos 2x ln x +1×
x x2
【答案】B
【分析】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可.
【详解】根据题意，由函数的图象， f x 的定义域为 x∣x 0 ，其图象关于原点对称，为奇函数；在 0, +
上，函数图象与 x 轴存在交点.
由此分析选项：
ex e x e x ex x x
对于 A， f x ，其定义域为 xx 0 ，有 f e e x f x ，
x x x
f x 为偶函数，不符合题意；
x2 +1
对于 B， f x sin2x × ln ，其定义域为 x∣x 0
x2
，
2
f x sin 2x ln x +1 sin 2x ln x
2 +1
有 × 2 × 2 f x ， f x 为奇函数，其图象关于原点对称；x x
当 x kπ
π
+ k Z 时， sin2x 0, f x 0，函数图象与 x 轴存在交点，符合题意；
2
x
C f x e + e
x
对于 ， ，当 x > 0时， ex + e x > 0, x > 0，故 f x > 0恒成立，所以该函数图象在 0, + 上
x
与 x 轴不存在交点，不符合题意；
2
对于 D， f x cos2x ln x +1 × 2 ，其定义域为 x∣x 0 ，x
x2 2
有 f x cos 2x × ln +12 cos2x ln
x +1
× f x ，f x 为偶函数，不符合题意.
x x2
综上所述，只有选项 B 的函数满足，
故选：B．
6．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，M 是CD 的中点，当点 P 沿
A B C M 运动时，点 P 经过的路程 x 与△ APM 的面积 y 的函数 y f x 的图象的形状大致是（ ）
A． B．
C． D．
E．均不是
【答案】A
【分析】求出点 P 在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【详解】当点 P 在 AB 上时， y
1
AP BC x ，
2 2
当点 P 在BC 上时， y AB BC
1
AB BP 1 AD 1 DM MC CP
2 2 2
1
1 x 1 1 1 1 1 2 x 3 x ，
2 2 2 2 2 4 4
y 1 AD PM 1 5 5 1当点 P 在CM 上时， x ÷ x，2 2 è 2 4 2
其中 A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故 A 正确.
故选：A.
7．（2024·浙江·模拟预测）如图①，在矩形 ABCD中，动点M 从点A 出发，沿 A B C 的方向运动，当
点M 到达点C 时停止运动．过点M 作MN ^ AM 交CD 于点 N ，设点M 的运动路程为 x,CN y，图②表
示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则矩形 ABCD的面积是（ ）
A．20 B．18 C．10 D．9
【答案】A
【分析】
设 AB m，则 BC 9 m，由正切值 tan MAB tan NMC
BM CN
，代入数值后得出二次函数关系，
AB CM
再结合图象和对称轴，顶点坐标求出m ，最后求出面积即可.
【详解】由图②可知， AB + BC = 9，设 AB m，则BC 9 m，
如图，当点M 在BC 上时，
则 AB m, BM x m, MC 9 x, NC y，
BM CN
因为MN ^ AM MAB NMC ，所以 tan MAB tan NMC ，
AB CM
x m y y 1即 ，化简为 x2
9 + m
+ x 9，
m 9 x m m
2
9 + m
x 9 + m

当 时，代入上式并结合图②可得 y 9 + è m
÷
4 ，2 4 5
m
81
解得m 5或m （舍去），所以 AM 5, BC 4，
5
所以矩形 ABCD的面积是 20，
故选：A.
8．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点 P 从点 O 出发，按逆时针方向沿周长为 l 的图形运动一
周，O、P 两点连线的距离 y 与点 P 走过的路程 x 的函数关系如图，那么点 P 所走的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由点 P 在第二条边上运动时， y 的单调性可排除 A，由图象的对称性可排除 B ，由一开始 y 与 x 是线性的可
排除 C，对于 D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意.
【详解】对于 A，点 P 在第一条边上时， y x ，
但点 P 在第二条边上运动时， y 是随 x 的增大先减小（减到最小时 y 即为三角形的第二条边上的高的长度），
然后再增大，
对比图象可知，A 错误；
对于 B，y 与 x 的函数图形一定不是对称的，B 错误；
对于 C，一开始 y 与 x 的关系不是线性的，C 错误；
对于 D，因为函数图象对称，所以 D 选项应为正方形，不妨设边长为 a，
点 P 在第一条边上时（即0 x a 时）， y x ，
点 P 2在第二条边上运动时（即 a x 2a时）， y a2 + x a ，依然单调递增，
点 P 在第三条边上运动时（即 2a x 3a 时）， y a2 + 3a x 2 ，单调递减，
点 P 在第四条边上运动时（即3a x 4a 时）， y 4a x ，单调递减，
l
且已知 y 与 x 的图象关于 x 2a （其中 l 4a ）对称，D 正确.
2
故选：D.
9．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏
定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，
形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习
和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数
y f (x) 的图象如图所示，则 f (x) 的解析式可能是（ ）
sin x cos x
A． f (x) 3sin x B． f (x) 3cos x C． f (x) 1 ÷ D． f (x)
1
÷
è 3 è 3
【答案】A
【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.
【详解】由函数图象可知， y f (x) 的图象不关 y 轴对称,
1 cos x 1 cos xf ( x) 3cos x 3cos x f x f ( x) 而 ， ÷ ÷ f x ，
è 3 è 3
即这两个函数均关于 y 轴对称，则排除选项B、D ；
y 3x y 1
x
由指数函数的性质可知 为单调递增函数， ÷ 为单调递减函数，
è 3
由 y sin x 的图象可知存在一个极小的值 x0 > 0 ，使得 y sin x 在区间 0, x0 上单调递增，
sin x
由复合函数的单调性可知， f (x) 3sin x 0, x f (x) 1 在区间 0 上单调递增， ÷ 在区间 0, x0 上单调递减，
è 3
由图象可知 f (x) 3sin x 符合题意，
故选：A .
ìlg x , x < 0

10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数 f x í1 x 1 ,0 x < 2的图象在区间 t, t (t > 0)内

f x 2 , x 2
恰好有5对关于 y 轴对称的点，则 t 的值可以是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
ì1 x 1 ,0 x < 2
【分析】令 g x í ，m x lg xg x 2 , x 2 ，根据对称性，问题可以转化为m x 与 g x 的图象在
0, t (t > 0)内有5个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.
ì 1 x 1 ,0 x < 2
【详解】令 g x í ，m x lg x
g x 2 , x 2
，

因为m x lg x与 y lg x 的图象关于 y 轴对称，
ìlg x , x < 0
因为函数 f x í1 x 1 ,0 x < 2的图象在区间 t, t (t > 0)内恰好有5对关于 y 轴对称的点，

f x 2 , x 2
ì 1 x 1 ,0 x < 2
所以问题转化为m x lg x与 g x í 0, t (t > 0) 5
g x 2 , x 2
的图象在 内有 个不同的交点，

ì 1 x 1 ,0 x < 2
在同一平面直角坐标系中画出m x lg x与 g x íg x 2 , x 2 的图象如下所示：
因为m 10 lg10 1，当 x >10 时m x >1， g 1 g 3 g 5 g 7 g 9 g 11 1，
结合图象及选项可得 t 的值可以是6，其他值均不符合要求,.
故选：C
ì1 x 1 ,0 x < 2
【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为m x lg x与 g x í 的图象在 0, t (t > 0)内有5
g x 2 , x 2
个不同的交点.
1．（浙江·高考真题）函数 y= 2 x sin 2x 的图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】D
π
【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在 ( , π) 上的符号，即可判断选择.
2
详解：令 f (x) 2|x| sin 2x ，
因为 x R, f ( x) 2 x sin 2( x) 2 x sin 2x f (x)，所以 f (x) 2|x| sin 2x 为奇函数，排除选项 A,B;
π
因为 x ( , π) 时， f (x) < 02 ，所以排除选项 C，选 D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，
由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶
性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
2．（浙江·高考真题）函数 y=xcosx+sinx 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在 x p 处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为 f x x cos x + sin x，则 f x x cos x sin x f x ，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项 CD 错误；
且 x p 时， y p cosp + sinp p < 0，据此可知选项 B 错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称
性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
4x
3．（天津·高考真题）函数 y 2 的图象大致为（x 1 ）+
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图
象.
f x 4x【详解】由函数的解析式可得： 2 f x ，则函数 f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，x +1
选项 CD 错误；
4
当 x 1时， y 2 > 0 ，选项 B 错误.
1+1
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，
判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称
性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
sin x
4．（全国·高考真题）函数 y＝1＋x＋ 2 的部分图象大致为（ ）x
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意比较函数的性质及函数图象的特征，逐项判断即可得解.
【详解】当 x＝1 时，y＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除 A、C；
当 x→＋∞时，y→＋∞，排除 B.
故选：D.
【点睛】本题考查了函数图象的识别，抓住函数图象的差异是解题关键，属于基础题.
5．（江西·高考真题）某地一年内的气温Q(t) （单位：℃）与时间 t（月份）之间的关系如图所示，已知该
年的平均气温为10℃.令C(t)表示时间段[0, t]的平均气温，C(t)与 t 之间的函数关系用下列图象表示，则正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用排除法，根据Q(t) 的图象，确定C(t)的性质排除错误选项后可得．
【详解】由已知Q(t) 的图象， t 6时，C(t) 0，排除 C； t 12时，C(t) 10，排除 D； t 在大于 6 的某一
段平均气温超过 10，排除 B．只有 A 正确．
故选：A.
sin2x
6．（全国·高考真题）函数 y 的部分图像大致为
1 cosx
A． B．
C． D．
【答案】C
sin 2x
【详解】由题意知，函数 y 为奇函数，故排除 B；当 x π时， y 0 ，故排除 D；当 x 1
1 cos x
sin 2
时， y > 0 A C1 cos2 ，故排除 ．故选 ．
ex e x7．（全国·高考真题）函数 f x 2 的图像大致为 (　　)x
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.
x
Q x 0, f ( x) e e
x
详解： 2 f (x)\ f (x)为奇函数，舍去 A,x
Q f (1) e e 1 > 0\舍去 D;
(ex + e x )x2 x xQ f (x) (e e )2x (x 2)e
x + (x + 2)e x
4 3 \ x > 2, f (x) > 0 ，x x
所以舍去 C；因此选 B.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数
的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象
的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
8．（全国·高考真题）函数 y x4 + x2 + 2 的图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.
详解：函数过定点 0,2 ，排除 A, B，
求得函数的导数 f ' x 4x3 + 2x 2x 2x2 1 ，
由 f ' x > 0得 2x 2x2 1 < 0，
2 2
得 x < 或0 < x < ，此时函数单调递增，排除C ，故选 D.
2 2
点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题
方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方
面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 x 0+ , x 0 , x + , x 时函数图
象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

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