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第 05 讲 平面向量之极化恒等式
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影
法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角
度来综合解题。
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的
几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几
何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移
转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
知识讲解
极化恒等式
r r
r r (ar + b)2 ra b - (a - b)
2
× =
4
恒等式右边有很直观的几何意义:
1
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
4 ，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
uuur uuur r
如图在平行四边形 ABCD 中, AB = ar, AD = b
r uuur uuur uuur uuurr (AB + AD)2 - (AB - AD)2
则 a ×b =
4
在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:
r uuur uuur uuur uuurr (AB + AD)2 - (AB - AD)2 uuuur
uuur
a b | AM |2 | DB |
2
× = = -
4 4
极化恒等式的适用条件
(1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问
题
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小
于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
考点一、极化恒等式求值
1．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法，详见解析版
方法二：极化恒等式
r r (ar
r r r r r 2 r r 2
a b + b)
2 - (a - b)2 a + b - a - b
由极化恒等式可得： × = = =1 故选 A．
4 4 ，
uuur uuur
2．（2023·全国·统考高考真题）正方形 ABCD的边长是 2，E 是 AB 的中点，则EC × ED =（ ）
A． 5 B．3 C． 2 5 D．5
【答案】B
【详解】方法一、二、三，详见解析版
方法四：极化恒等式
uuur uuur uuur 2 1 uuur 2设 CD 中点为 O 点，由极化恒等式可得：EC × ED = EO - DC = 3 故选：B.
4 ，
uuur uuur
1．（江苏·高考真题）如图，在DABC中，D是BC 的中点， E, F 是 A, D上的两个三等分点，BA ×CA = 4，
uuur uuur uur uur
BF × CF = -1 ，则BE ×CE 的值是 .
7
【答案】
8
方法一：详见解析版
方法二：极化恒等式
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BA ×CA = AB × AC = AD - BD = 4, BF ×CF = FB × FC = FD - BD = -1
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BE ×CE = EB × EC = ED - BD
uuur 3 uuur uuurE F AD | AD | | ED |,| FD | 1
uuur
因为 、 是 上的两个三等分点,所以 = = | ED |
2 2
uuur 5 uuur 13 uuur uuur| ED |2 ,| BD |2 BE CE 7联立解得: = = 所以 × =
2 8 ， 8
2. °如图,在VABC 中,已知 AB = 4, AC = 6, BAC = 60 ,点 D, E 分別在边 AB, AC 上,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
且 AB = 2AD, AC = 3AE ,若 F 为 DE 的中点,则 BF × DE 的值为________
3．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
1 uuur 2 uuur 2
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， a ×b = AD - BC ，我们称为极化恒等式. 已知在4
uuur uuur
VABC 中，M 是BC 中点， AM = 3，BC =10，则 AB × AC =（ ）
A．-16 B．16 C．-8 D．8
4．（21-22 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和
r r 1 uuur 2 uuur 2
对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示： a ×b = AD - BC ，我们称为极化恒等式.在△4
uuur uuur
ABC 中，M 是BC 中点， AM = 3，BC =10，则 AB × AC =（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
考点二、极化恒等式求范围
1．（2022·北京·统考高考真题）在VABC 中， AC = 3, BC = 4, C = 90°．P 为VABC 所在平面内的动点，且
uuur uuur
PC = 1，则PA × PB 的取值范围是（ ）
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
uuur uuur
2．如图所示,正方形 ABCD的边长为1, A, D 分别在 x 轴, y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC ×OB 的最大值
是_________
uuur uuur uuur
2．（全国·高考真题）已知VABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PAg(PB + PC)的最小值
是 ( 　　 )
3 4
A．-2 B．- C．- D． -1
2 3
uuur uuur
3. 如图,在平面四边形 ABCD中, AC = AD = 2, DAC =120° , ABC = 90° ,则 BD × BC 的最大值为____
uuur uuur uuur2
4. 设锐角VABC 的面积为 1,边 AB, AC 的中点分别为 E, F , P 为线段 EF 上的动点,则 PB × PC + BC 的最
小值为_______
uuur uuur
5. 已知 RtVABC 的斜边 AB = 4 ,设 P 是以C 为圆心,1为半径的圆上任意一点,则 PA × PB 的取值范围是（ ）
A. é
3 5
- , ù B. é 5 5ê - ,
ù C. -3,5 D. é1- 2 3,1+ 2 3ù
2 2 ú ê ú 2 2
1．（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，若动点 P 在以 AB 为直径的
uuur uuur
半圆 E（正方形 ABCD 内部，含边界），则PC × PD 的取值范围为 .
2．（2023·天津红桥·二模）已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD =120° ，点 E 在边 BC 上，BC = 3BE，若 G
uuur uuur
为线段 DC 上的动点，则 AG × AE 的最大值为（ ）
8
A．2 B．
3
10
C． D．4
3
3．（23-24 高一下·北京昌平·期末）在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 为矩形 ABCD所在平面内的动点，
uuur uuur
且PA =1，则PB × PC 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
π
4．（23-24 高二下·浙江·期中）在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 为 BC 中点，在△ABC 所在平面内有一
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
动点 P 满足PB × PD = PC × PD ，则 AP × BC 的最大值为（　　）
A 3 2 3． B． C． 3 D 4 3．
3 3 3
5．（23-24 高一下·湖南常德·期中）如图，直线 l1//l2，点A 是 l1， l2之间的一个定点，点A 到 l1， l2的距离分
别为 2 和 6 ．点 B 是直线 l2上一个动点，过点A 作 AC ^ AB，点E, F 在线段BC 上运动（包括端点）且EF =1，
uuur uuur
若VABC的面积为 2 3 ．则 AE × AF 的最小值为（ ）
11
A 3 2
7
． 3 B． C． D．
4 2 4
uuur uuur
6．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 A, B,C 是边长为 1 的正六边形边上相异的三点，则 AB × BC 的取值
范围是 .
1．（23-24 高二下·河北唐山·期末）已知圆 (x - 2)2 + y2 = 9的弦 AB 的中点为Q 1,1 ，点 P 为圆上的动点，则
uuur uuur
PA × PB 的最大值为（ ）
A．2 B．6 2 - 3 C．8 D． 4 + 6 2
uuur uuur
2．（23-24 高一下·北京顺义·期中）已知点 A，点 B，点 P 都在单位圆上，且 AB = 3 ，则PA × PB 的最大值
是（ ）
3
A． B．3 C．1 D．2
2
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）在RtVABC 中， A = 90o , AB = 2, AC = 6，D 为 BC 的中点，点 P 在VABC
uuur uuur
斜边 BC 的中线 AD 上，则 PBgPC 的取值范围为（ ）
A． -10,0 B． -6,0 C． 0,6 D． 0,10
4．（23-24 高一下·重庆·期末）如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，若动点 P 在以 AB 为直径的半圆上（正
uuur uuur
方形 ABCD内部，含边界），则PC × PD 的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 0,3 D． 0,1
5．（23-24 高一下·北京·阶段练习）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， ABC = 90°， AD = 2AB = 2BC = 2，
uuur uuur
点 P 为梯形 ABCD四条边上的一个动点，则PA × PB 的取值范围是（ ）
é 1
A． ê- , 4
ù é 1 ù é 1 ù
ú B． ê- , 2ú C． -1,4 D． - , 4 2 2 ê 4 ú
uuur uuur uur uuur uuur uuur
6．（23-24 高一下·重庆·期末）已知向量OA,OB满足 OA = 1, OB = 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量为
uuur uuur 1 uuur uuur
OA．若动点 C 满足 OC = ，则CAgCB 的最小值为（ ）2
1
A - B 4 - 2 6 C 1- 7 D 5 - 2 7． ． ． ．
2 3 2 4
7．（23-24 高一下·湖北·期中）在VABC 中，点 E，F 分别是线段 AB, AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，若VABC
uuur uuur uuur2
的面积为 4，则PB × PC BC+ 的最小值是（ ）
2
A．2 B． 2 3 C．4 D 3．
2
8．（23-24 高一下·湖南张家界·期中）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，
是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德
镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 2，圆O
的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M 在正六边形的边上运动，动点 A, B在圆O上运动且关于圆心O
uuur uuur
对称，则MA × MB 的取值范围是（ ）
A． 2,4 é 3B． ê , 4
ù
2 ú
C． 2,3 é3D． ê ,3
ù
2 ú
9．（23-24 高一下·江苏常州·阶段练习）已知图中正六边形 ABCDEF 的边长为 4，圆 O 的圆心为正六边形的
uuuur uuur
中心，直径为 2，若点 P 在正六边形的边上运动，MN 为圆 O 的直径，则PM × PN 的取值范围是（ ）
A． 12,16 B． 11,15 C． 12,15 D． 8,12
10．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其
重要，有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形，已知 ABCHIJ 与
uuur uuur
CDEFGH 为全等的正六边形，且 AB = 2 ，点 P 为线段 EF （包括顶点）上的一点，则 AP × BP 的取值范围为
（ ）
A． 31,43 B． 37,43 C． 36,42 D． 31,42
uuur uuur
1．（21-22 高二上·浙江衢州·期末）已知点 P 在圆 x2 + y2 = 2上，已知 A(4,0)， B(0,-4) ，则PA × PB 的最小值
为 .
2．（21-22 高一下·浙江·期中）正方形 ABCD 的边长为 2，O 是正方形 ABCD 的中心，过中心 O 的直线 l 与
uuur uuur uuur uuuur uuur
边 AB 交于点 M，与边 CD 交于点 N，P 为平面内一点，且满足 2OP = lOB + 1- l OC ，则PM · PN 的最小
值为（　　）
1 9 7
A．- B．- C．-2 D．-
4 4 4
uuur uuur
3．（21-22 高一下·江西·期中）已知点M 是正六边形 ABCDEF 内部（包括边界）一动点， AB = 4 ，则MA × MB
的最大值为 ．
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 A，B，C，D 是半径为 2 的圆 O 上的四个动点，若 AB = CD = 2，则
uur uuur uuur uuur
CA ×CB + DA × DB 的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
π
24．5．（23-24 高一下·浙江·期中）已知VABC 中，BC = 4， A = VABC3 ，若 在平面内一点D满足
uuur uuur uuur r uuur uuur
3DB + 3DC + DA = 0 ，则DB × DC 的最大值为
BD
6．（22-23 高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形 ABCD中， AC ^ BD, AB = BC = =1, AC = CD = 3 ，点E
2
uuur uuur
在四边形 ABCD的边上运动，则EB × ED 的最小值是（ ）
3 1 3
A． B．- C．- D．-1
4 4 4
7．（2023 高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AC = 2，M 为线段 AB 上的动点（包
uuur uuur
含端点），D为 AC 的中点．将线段 AC 绕着点D旋转得到线段 EF ，则ME × MF 的最小值为（　　）
3
A．-2 B．-
2
1
C． -1 D．-
2
8．（23-24 高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知eO 的半径为 1，直线PA与eO 相切于点A ，直线 PB与eO 交
uuur uuur
于B，C 两点，D为BC 的中点，若 PO = 2 ，则PA× PD的最大值为（ ）
A 1+ 2． B 1+ 2 2． C．1 D． 2 + 2
2 2
uuur uuur
9．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知圆O半径为 1，P、A、B 是圆O上不重合的点， 则PA × PB 的最小值
为 .
uuur uuur l uuur uuur
10．（22-23 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知VABC 中， AB = 8， AC = 2 ，且 AB + (2 - 2l)AC l R
2
uuur uuur
的最小值为 2 3 ，若 P 为边 AB 上任意一点，则PB × PC 的最小值是（ ）
51 49 9 25
A．- B．- C．- D．-
4 4 16 16第 05 讲 平面向量之极化恒等式
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影
法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角
度来综合解题。
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的
几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几
何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移
转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
知识讲解
极化恒等式
r r
r r (ar + b)2 ra b - (a - b)
2
× =
4
恒等式右边有很直观的几何意义:
1
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
4 ，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
uuur uuur r
如图在平行四边形 ABCD r 中, AB = a, AD = b
r uuur uuur uuur uuurr (AB + AD)2a b - (AB - AD)
2
则 × =
4
在上述图形中设平行四边形 ABCD 对角线交于 M 点, 则对于三角形来说:
r uuur uuur uuur uuur2 2 uuuur uuur 2
ar b (AB + AD) - (AB - AD) | DB |× = =| AM |2 -
4 4
极化恒等式的适用条件
(1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问
题
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小
于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
考点一、极化恒等式求值
1．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法
【详解】试题分析：因为 ，所以 ………………①，
又 ，所以 …………②，
①-②得 ，所以
②-考点：1．向量模的定义及运算；2．向量的数量积．
方法二：极化恒等式
r r r r r
r 2 r 2
r (a + b)2 (ar- - b)2 a + b
r
- a - b
由极化恒等式可得： a ×b = = =1
4 4
故选 A．
uuur uuur
2．（2023·全国·统考高考真题）正方形 ABCD的边长是 2，E 是 AB 的中点，则EC × ED =（ ）
A． 5 B．3 C． 2 5 D．5
【答案】B
uuur uuur uuur uuur【分析】方法一：以 AB, AD 为基底向量表示 EC, ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 cos DEC ，进而根据数量积的定义运算求解.
uuur uuur uuur uuur
【详解】方法一：以 uuur uuurAB, AD 为基底向量，可知 AB = AD = 2, AB × AD = 0，
uuur uur uuur 1 uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
则EC = EB + BC = AB + AD, ED = EA + AD
1
= - AB + AD，
2 2
uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur uuur2 uuur2
所以EC × ED = AB + AD × - AB + AD
1
÷ ÷ = - AB + AD = -1+ 4 = 3；
è 2 è 2 4
方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，
uuur uuur
则E 1,0 ,C 2,2 , D 0,2 ，可得EC = 1,2 , ED = -1,2 ，
uuur uuur
所以EC × ED = -1+ 4 = 3；
方法三：由题意可得：ED = EC = 5,CD = 2，
DE2 + CE2 - DC 2 5 + 5 - 4 3
在VCDE中，由余弦定理可得 cos DEC = = = ，
2DE ×CE 2 5 5 5
uuur uuur uuur uuur
所以EC × ED
3
= EC ED cos DEC = 5 5 = 3 .
5
方法四：极化恒等式
uuur uuur uuur 2 1 uuur 2设 CD 中点为 O 点，由极化恒等式可得：EC × ED = EO - DC = 3
4
故选：B.
uuur uuur
1．（江苏·高考真题）如图，在DABC中，D是BC 的中点， E, F 是 A, D上的两个三等分点，BA ×CA = 4，
uuur uuur uur uur
BF × CF = -1 ，则BE ×CE 的值是 .
7
【答案】
8
方法一
uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
【详解】因为BA CA 1
uuur uuur 1 uuur uuurBC AD BC AD = 4AD - BC 36FD - BC× =（ - ）（× - - ） = = 4，
2 2 4 4
uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur
uuur2 uuur2
BF 1 4FD - BC×CF =（ BC - AD）（× - BC - AD）= = -1，
2 3 2 3 4
uuur2 5 uuur2 13 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2
因此FD = , BC = ，BE CE 1 BC ED 1 4ED - BC 16FD - BC 78 2 × =（ - ）（× - BC - ED）= = = .2 2 4 4 8
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量
积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量
问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
方法二：极化恒等式
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BA ×CA = AB × AC = AD - BD = 4, BF ×CF = FB × FC = FD - BD = -1
uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur 2
BE ×CE = EB × EC = ED - BD
uuur uuur uuur uuur
因为 E、F 是 AD 上的两个三等分点,所以 | AD | 3= | ED |,| FD | 1= | ED |
2 2
uuur uuur
| ED |2 5 ,| BD |2 13联立解得: = =
2 8
uuur uuur 7
所以 BE ×CE =
8
2.如图,在VABC 中,已知 AB = 4, AC = 6, BAC = 60° ,点 D, E 分別在边 AB, AC 上,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
且 AB = 2AD, AC = 3AE ,若 F 为 DE 的中点,则 BF × DE 的值为________
解：取 BD的中点 N ,连接 NF , EB ,则 BE ^ AE BE = 2 3 ,
在VDEB FN / / 1中, EB FN = 3 ,
2
uuur uuur uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuurBF × DE = 2FB × FD = 2 FN - DB ÷ = 2 FN -1 BF × DE = 4è 4
3．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
1 uuur 2 uuur 2
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， a ×b = AD - BC ，我们称为极化恒等式. 已知在4
uuur uuur
VABC 中，M 是BC 中点， AM = 3，BC =10，则 AB × AC =（ ）
A．-16 B．16 C．-8 D．8
【答案】A
uuuur uuur
【分析】可以把三角形补形为平行四边形， AM
1
= AD ,利用已知条件求解即可.
2
【详解】由题设，VABC 可以补形为平行四边形 ABDC ，
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur
由已知得 AM = 3, BC =10, AB × AC
1
= 4 AM |2 - BC |2 1= 36 -100 = -16．4 4
故选：A．
4．（21-22 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和
r r 1 uuur 2 uuur 2
对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示： a ×b = AD - BC ，我们称为极化恒等式.在△4
uuur uuur
ABC 中，M 是BC 中点， AM = 3，BC =10，则 AB × AC =（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
uuuur uuur uuur uuur
【分析】由题设有 AM = 3， | BC |=10代入极化恒等式求 AB × AC 即可.
uuuur uuur
【详解】由题设， | AM |= 3， | BC |=10，
uuur uuur uuuur uuur
AB AC 1× = (4 | AM |2 1- | BC |2 ) = (36 -100) = -16 .
4 4
故选：D
考点二、极化恒等式求范围
1．（2022·北京·统考高考真题）在VABC 中， AC = 3, BC = 4, C = 90°．P 为VABC 所在平面内的动点，且
uuur uuur
PC = 1，则PA × PB 的取值范围是（ ）
A．[-5,3] B．[-3,5] C．[-6,4] D．[-4,6]
【答案】D
方法一
uuur uuur
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P cosθ,sin θ ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C 0,0 ， A 3,0 ，B 0,4 ，
因为PC = 1，所以 P 在以C 为圆心，1为半径的圆上运动，
设P cosθ,sin θ ，q 0,2p ，
uuur uuur
所以PA = 3 - cosq , -sinq ，PB = -cosq , 4 - sinq ，
uuur uuur
所以PA × PB = -cosq 3 - cosq + 4 - sinq -sinq
= cos2 q - 3cosq - 4sinq + sin2 q
=1- 3cosq - 4sinq
=1- 5sin q +j 3 4，其中 sinj = ， cosj =5 5 ，
uuur uuur
因为-1 sin q +j 1，所以-4 1- 5sin q +j 6 ，即PA × PB -4,6 ；
方法二：极化恒等式
5
记 AB 的中点为 M，连接 CM，则CM =
2
由极化恒等式可得：
2 2 2
PA × PB = PM 1 25- AB = PM -
4 4
7 2 PM = CM +1 = , PA × PB 25= PM - = 6
max 2 4
2
PM CM 1 3 , PA PB 25= - = × = PM - = -4
max 2 4
uuur uuur
即PA × PB -4,6
故选：D
uuur uuur
2．如图所示,正方形 ABCD的边长为1, A, D 分别在 x 轴, y 轴的正半轴(含原点)上滑动,则OC ×OB 的最大值
是_________
答案: 2
解:如图,
取 BC 的中点M , AD 的中点 N ,连接MN ,ON ,则
OM ON + NM 1= AD + AB 3=
2 2
（当且仅当O, M , N 三点共线时等号成立.)由极化恒等式得
uuur uuur uuuur2
OC OB 1
uuur 22 uuuur2 1 3 1
× = OM - BC = OM -
4 4 2 ÷
- = 2
è 4
uuur uuur uuur
2．（全国·高考真题）已知VABC是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 PAg(PB + PC)的最小值
是 ( 　　 )
3 4
A．-2 B．- C．- D． -1
2 3
【答案】B
方法一
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，
则 A(0, 3) ，B(-1,0)，C(1,0)，
uuur uuur uuur
设P(x, y) ，则PA = (-x, 3 - y) ，PB = (-1- x, -y)，PC = (1- x,-y)，
uuur uuur uuur
则 PAg(PB + PC) = 2x2 - 2 3y 2y2
3 3
+ = 2[x2 + (y - )2 - ]
2 4
当 x 3 3= 0， y 3= 时，取得最小值 2 (- ) = -
2 4 2
，
方法二：极化恒等式
解：取 BC 的中点 D ,连接 AD, PD ,取 AD 的中点 E ,连接 PE ,
由VABC 1是边长为 2 的等边三角形, E 为中线 AD 的中点 AE = AD 3= ,
2 2
则：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur 22
PA × (PB + PC) = PA × 2PD = 2PA × PD = 2 | PE |2 - | EA |2 2 PE 3= - 3 3 ÷ ÷ ÷ 2 0 - 2 ÷ 4 ÷ = -è è è 2
uuur uuur uuur
所以[PA(PB 3+ PC)]min = - .2
故选：B ．
uuur uuur
3. 如图,在平面四边形 ABCD , AC = AD = 2, DAC =120°中 , ABC = 90° ,则 BD × BC 的最大值为____
解：取CD的中点 E ,连接 EA, EB ,
由 AC = AD = 2, DAC =120° AE ^ CD, DE = AD sin 60° = 3 ,
由 ABC = AEC = 90° A, B,C, E 四点共圆,且直径为 AC .
uuur uuur uuur uuur uuur
则 BD × BC =| BE |2 - | ED |2 =| BE |2 -( 3)2 AC 2 - 3 = 22 - 3 =1 .
uuur uuur
所以 (BD × BC)max =1 .
uuur uuur uuur2
4. 设锐角VABC 的面积为 1,边 AB, AC 的中点分别为 E, F , P 为线段 EF 上的动点,则 PB × PC + BC 的最
小值为_______
解：如图所示,取 BC 的中点M ,h为点 A到 BC 的距离,
uuur uuur uuuur2 1 uuur2
由极化恒等式, PB × PC = PM - BC ,
4
S hVMBC = | BC |=1,2
uuur uuur uuur2 uuuur2 uuur2 uuur uuuur2
PB PC BC PM 1 BC BC PM 3
uuur2 3 h 3
则 × + = - + = + BC 2 | BC |= 2 = 3.
4 4 4 2 4
uuur uuur
5. 已知 RtVABC 的斜边 AB = 4 ,设 P 是以C 为圆心,1为半径的圆上任意一点,则 PA × PB 的取值范围是（ ）
é 3 , 5 ù é 5 5A. ùê- ú B. ê- , ú C. -3,5 D. é 1- 2 3,1+ 2 3ù 2 2 2 2
解：如图所示,
uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuuur2
在 RtVABC 上,不妨取 AB 的中点M ,则 PA × PB = PM - AM = PM - 4 .
设圆的半径为 r =1 ,而
uuur uuur
| PM |max =| CM | +r = 2 +1 = 3 ,则 (PA × PB) = 3
2
max - 4 = 5 ,
uuur uuur
| PM |mi n =| CM | -r = 2 -1 =1 ,则 (PA × PB) =1
2
mi n - 4 = -3 ,
uuur uuur
因此 PA × PB 的取值范围是-[3,5] .
故选：C
1．（23-24 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，若动点 P 在以 AB 为直径的
uuur uuur
半圆 E（正方形 ABCD 内部，含边界），则PC × PD 的取值范围为 .
【答案】 0,4
uuur uuur 2
【分析】先求得 PE 的取值范围，再利用向量数量积的运算法则将所求转化为 PE -1，从而得解.
【详解】因为正方形 ABCD的边长为 2，取CD 的中点E ，连接PE，
uuur
当 P 在A 点或 B 2 2点时， PE = 2 +1 = 5 ，
max
uuur
当 P 在弧 AB 中点时， PE = 2 -1 =1，
min
uuur
所以 PE 的取值范围为 é1, 5ù ，
uuur uuur 1 uuur uuur
因为EC = -ED = DC ， DC = 2，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2所以PC × PD = PE + EC × PE + ED = PE 1- DC4
uuur 2 1 uuur 2 uuur 2
= PE - DC = PE -1，
4
uuur uuur 2 uuur 2
因为 PE é 1, 5ù ，所以 PE 1,5 ，故 PE -1 0,4 ，
uuur uuur
uuur uuur所以PC × PD 0,4 ，即PC × PD 的取值范围为 0,4 .
故答案为： 0,4 .
2．（2023·天津红桥·二模）已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD =120° ，点 E 在边 BC 上，BC = 3BE，若 G
uuur uuur
为线段 DC 上的动点，则 AG × AE 的最大值为（ ）
8
A．2 B．
3
10
C． D．4
3
【答案】B
【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】由题意可知，如图所示
因为菱形 ABCD 的边长为 2， BAD =120° ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AB = AD = 2 , AB
1
× AD = AB AD cos120° = 2 2 -

÷ = -2，
è 2
uuur uuur
设DG = lDC,l 0,1 ，则
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AG = AD + DG = AD + lDC = AD + l AB ，
uuur 1 uuur 1 uuur
因为BC = 3BE ，所以BE = BC = AD ,
3 3
uuur uuur uuur uuur 1 uuurAE = AB + BE = AB + AD ,
3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AG × AE = AD + l AB × AB 1+ AD 1 uuur2 uuur2 l uuur uuur ÷ = AD + l AB + (1+ )AD × AB
è 3 3 3
1 l 10
= 22 + l 22 + 1+

÷ -2 = l
2
- ,
3 è 3 3 3
uuur uuur 8
当l = 1时， AG × AE 的最大值为 .3
故选：B.
uuur uuur
【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出 AG, AE ，结合向量数量积定义和运算即可.
3．（23-24 高一下·北京昌平·期末）在矩形 ABCD中， AB = 2 ， AD = 3， P 为矩形 ABCD所在平面内的动点，
uuur uuur
且PA =1，则PB × PC 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
uuuuur uuur
【分析】建立平面直角坐标系，设P(x, y) ，根据条件得到PB =(2 - x, -y), PC = (2 - x,3 - y) ，从而得到
uuur uuur
PB × PC 3 9= (x - 2)2 + (y - )2 - ，又 x2 + y2 =1，结合图形，得PH = (x - 2)2 + (y 3- )2 AH + AP，即可求
2 4 2
出结果.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，设P(x, y) ，BC 中点为 H ，
因为 AB = 2 ， AD = 3，所以 A(0,0) , B(2,0)，C(2,3)， H (2,
3)
2 ，
uuuuur uuur uuur uuur 3 9
得到PB =(2 - x, -y), PC = (2 - x,3 - y) ，所以PB × PC = (x - 2)2 + y2 - 3y = (x - 2)2 + (y - )2 - ，
2 4
又因为PA = 1，所以 x2 + y2 =1，
又PH = (x - 2)2 + (y 3- )2 AH + AP 9 7= 22 + +1 = ，当且仅当H , A, P（ P 在HA的延长线上）三点共线
2 4 2
时取等号，
uuur uuur
所以PB
3
× PC = (x - 2)2 + y2 - 3y = (x - 2)2 + (y - )2 9 49 9- - =10，
2 4 4 4
故选：B.
uuur uuur
【点睛】关键点点晴：设P(x, y) 2，利用向量数量积的坐标运算，得到PB × PC = (x - 2) + (y
3
- )2 9- ，再利
2 4
用圆的几何性质，即可求解.
π
4．（23-24 高二下·浙江·期中）在△ABC 中，BC＝2， BAC = ，D 为 BC 中点，在△ABC 所在平面内有一
3
uur uuur uuur uuur uuur uuur
动点 P 满足PB × PD = PC × PD ，则 AP × BC 的最大值为（　　）
A 3 2 3 4 3． B． C． 3 D．
3 3 3
【答案】D
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】根据PB × PD = PC × PD 化简整理得出PD × BC = 0 ，由此将 AP × BC 化简，可得 AP × BC = AD × BC ．根
π
据 BC = 2且 BAC = ，得到点 A 在以 BC 为弦的优弧上运动（不含端点），以 B 为原点建立直角坐标系，
3
uuur uuur求出BAC 所在圆的方程，设出点 A 的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出 AD × BC 的最
大值，进而得到答案．
uur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur
【详解】由PB × PD = PC × PD ，得PD × (PC - PB) = 0 ，即PD × BC = 0 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以 AP × BC = (AD - PD) × BC = AD × BC - PD × BC = AD × BC ．
π
因为BC = 2， BAC = ，所以点 A 在以 BC 为弦的优弧上运动（不含端点）．
3
设B AC 所在圆的圆心为 M，连接 MB、MC、MD，
BD 3 BD 2 3
则 MD⊥BC， BMC
2π
= ，可得BD =1 MD = = , BM = =， ， ．
3 tan π 3 sin π 3
3 3
以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
2
可得C 2,0 , D 1,0 , M 1,
3
÷÷，圆 M 的方程为 x -1
2 + y
3 4
-
è 3 3 ÷
÷ = ，
è 3
uuur uuur
设 A m, n ，则 AD = 1- m,-n ，结合BC = 2,0 ，
uuur uuur
可得 AD × BC = 2 1- m + 0 = 2 - 2m，
2

A M x 1 2 y 3
4
因为 点在圆 ： - + - ÷÷ = 上运动，
è 3 3
所以1 2 3 2 3- m 1+ ，可得当m =1 2 3 2 3 4 3- 时， 2 - 2m = 2 - 2(1- ) = ，达到最大值．
3 3 3 3 3
2 3 uuur uuur 4 3
综上所述，当m =1- 时， AD × BC 有最大值 ．
3 3
故选：D．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
5．（23-24 高一下·湖南常德·期中）如图，直线 l1//l2，点A 是 l1， l2之间的一个定点，点A 到 l1， l2的距离分
别为 2 和 6 ．点 B 是直线 l2上一个动点，过点A 作 AC ^ AB，点E, F 在线段BC 上运动（包括端点）且EF =1，
uuur uuur
若VABC的面积为 2 3 ．则 AE × AF 的最小值为（ ）
11 7
A． 3 B． C 3 2． D．
4 2 4
【答案】B
BE
【分析】如图，设 OAB
π
= q (0 < q < )
2 ，根据三角形面积求得
AB, AC, BC ，设 = x (0 x 1)，利用平面向
BC
uuur uuur uuur uuur 1 uuur 5 uuur uuur uuur
量的线性运算可得 AE = xAC + (1- x)AB, AF = (x - )AC + ( - x)AB4 4 ，结合 AB × AC = 0和数量积的运算律和二次函数
的性质计算即可求解.
π π
【详解】如图，设 OAB = q (0 < q < ) ，则 DAC = -q2 2 ，
AB OA 6= = , AC AD 2= =
所以 cosq cosq cos(π -q ) sinq ，
2
S 1 AB AC 1 6 2 2 3得 VABC = × = × × = ，又 S = 2 3，2 2 cosq sinq sin 2q VABC
2 3
所以 = 2 3 ，得 sin 2q = 1，解得q
π
= ，
sin 2q 4
uuur uuur
所以 AB = 2 3, AC = 2，故BC = AB2 + AC2 = 4， AB × AC = 0，
BE
= x (0 x 1) CE 1 x, BF BE - EF x 1 , CF CE + EF 5设 ，则 = - = = - = = - x
BC BC BC BC 4 BC BC 4
，
uuur uuur uuur uuur BF uuur CF uuur 1 uuur 5 uuur
所以 AE = xAC + (1- x)AB, AF = × AC + × AB = (x - )AC + ( - x)ABBC BC 4 4 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
则 AE × AF = [xAC + (1- x)AB] [(x
1
× - )AC 5+ ( - x)AB]
4 4
1 uuur2 5 uuur uuur uuur uuur uuur2
= (x2 - x)AC + ( x - x2 )AC × AB + (1- x)(x 1- )AC × AB + (1- x)(5 - x)AB
4 4 4 4
2
16x2 28x 15 16 x 7 11= - + = - ÷ + ，
è 8 4
7 uuur uuurx 11当 = 时， AE × AF 取得最小值，且为 .8 4
故选：B
【点睛】方法点睛：本题考查平面向量与几何的最值问题，该类问题常见的处理方法为：
（1）基底法：通过基底的建立与表示进行求解；
（2）坐标法：通过平面直角坐标系，结合坐标公式进行求解；
（3）转化法：通过平方关系的转化求解平面向量问题.
uuur uuur
6．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 A, B,C 是边长为 1 的正六边形边上相异的三点，则 AB × BC 的取值
范围是 .
-4, 9 ù【答案】
è 16ú
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】一方面BA × BC BA × BC 2 2 = 4，而A ， B ，C 不重合，所以BA × BC < 4 ；另一方面，设 AC
uuur uuur uuuur uuur 2
中点为M | AC |，那么 BA × BC =| BM |2 - ，设A 在六边形的端点上，同理不妨设C 在六边形的端点上．分四种
4
uuur uuur 9 uuur uuurBA × BC - 9情况即可得 ，剩下的只需证明何时取等并且 可以遍历[- , 4)
16 BA × BC 16
中的每一个数．
uuur uuur uuur uuur
【详解】首先， BA × BC BA × BC 2 2 = 4，这里 2是最长的那条对角线的长度，
uuur uuur
等号取到当且仅当BA, BC 同向，且 | BA |=| BC |= 2，而这意味着 A,C 重合，矛盾.
uuur uuur
所以BA × BC < 4 .
uuur uuur 9
另一方面，我们先舍弃 A, B,C 互不重合的条件，然后证明BA × BC - ：
16
uuur 2
AC M uuur uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 2 AC设 中点为 ，那么BA × BC = BM + CA÷ × BM - CA÷ = BM - ，
è 2 è 2 4
uuur uuur
然后，设 A 所在的边的端点为 A1, A2 ，则BA × BC min
uuur uuur uuuur uuur
BA1 × BC, BA2 × BC ，
uuur uuur uuuur uuur uuur
（这是因为，记OA = (1- t)OA1 + tOA2 ，其中O为原点，确定的BA × BC = f t ，
那么 f t 是一次函数，从而 t 属于 0,1 时，有 f (t) min f 0 , f 1 ）
所以我们可以不妨设 A 在六边形的端点上.
同理，我们可以不妨设 C 在六边形的端点上.
此时分以下四种情况：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur重合，此时 2 ACBA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur AC为相邻顶点，此时 2BA × BC = BM 1 1- 0 - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一个顶点，此时 2BA × BC BM 3 3 9= - - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur AC为对径点，此时 2BA BC BM 3 1 1× = - - = - ，
4 4 4
uuur uuur 9
综上，BA × BC - ，
16
uuur uuur 9
所以，即使去掉 A, B,C 互不重合的条件，我们仍有BA × BC - ，
16
uuur uuur
这就说明， A, B,C
9
互不重合时，有- BA × BC < 4，
16
然后，取等条件如图所示：
具体说明如下：构造一个 0,1 到六边形的函数 A(t), B(t),C(t)（即从数映射到点），
使得 (A(0), B(0),C(0)) = (A1, B1,C1), (A(1), B(1),C(1)) = (A2 , B2 ,C2 )，并且只沿着最近的轨道，
这样在0 t <1的情况下， A(t), B(t),C t 互不重合
uuuuuuuuur uuuuuuuuur 9
同时设 g(t) = B(t)A(t) × B(t)C(t)，那么 g(0) = - , g(1) = 4，而 g t 连续，
16
所以在0 t <1的情况下， g t é 9必定取遍 ê- , 4

÷，
16
uuur uuur é 9
这就意味着，BA × BC 的取值范围就是 ê- , 4 ， 16 ÷
uuur uuur 9
所以 AB × BC 的取值范围是 -4,
ù
è 16ú
.


故答案为： -4,
9 ù
ú .è 16
【点睛】关键点点睛：对 A,C 分以下四种情况：
uuur 2
(1) A,C uuur uuur uuuur AC重合，此时 2BA × BC = BM - 0 - 0 = 0，
4
uuur 2
(2) A,C uuur uuur uuuur 2 AC为相邻顶点，此时BA × BC BM 0 1 1= - - = - ，
4 4 4
uuur 2
(3) A,C uuur uuur uuuur AC相隔一个顶点，此时 2BA × BC = BM 3 3 9- - = - ，
4 16 4 16
uuur 2
(4) A,C uuur uuur uuuur AC为对径点，此时 2BA × BC 3 1= BM - -1 = -
4 4 4
1．（23-24 高二下·河北唐山·期末）已知圆 (x - 2)2 + y2 = 9的弦 AB 的中点为Q 1,1 ，点 P 为圆上的动点，则
uuur uuur
PA × PB 的最大值为（ ）
A．2 B．6 2 - 3 C．8 D． 4 + 6 2
【答案】D
uuur uuur | AB |2
【分析】由题意，圆心 M 2,0 ，半径为 3，且 AB = 2 7 和 PQ MQ + 3，再由 PA × PB =| PQ |2 - ，
4
即可求解.
【详解】圆 (x - 2)2 + y2 = 9，圆心M 2,0 ，半径为 3，如图，
Q 1,1 为弦 AB 的中点， MQ ^ AB, MQ = 2 ，
AB = 2 MB |2 - MQ |2 = 2 7,
PQ MQ + 3 = 3+ 2, P, M ,Q 共线时等号成立，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur
PA × PB = PQ + QA × PQ + QB = PQ - AB 2 ÷ × PQ + AB ÷è è 2
| AB |2
=| PQ |2 - =| PQ |2 -7 11+ 6 2 - 7 = 4 + 6 2 .
4
故选:D.
uuur uuur
2．（23-24 高一下·北京顺义·期中）已知点 A，点 B，点 P 都在单位圆上，且 AB = 3 ，则PA × PB 的最大值
是（ ）
3
A． B．3 C．1 D．2
2
【答案】A
uuur uuur
【分析】设 AB 的中点为E ，得 | OE |
1 1
= ， AOB =120o ，将
2 PA × PB
化为 - cos POE ，根据-1 cos POE 1
2
可得结果.
【详解】设 AB 的中点为E ，因为 | OA |=| OB |=1， AB = 3 ，
1
所以 | OE |= ， AOB =120o ，
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2则PA × PB = OA - OP × OB - OP = OA ×OB - OP × OA + OB + OP
uuur uuur
=1 1 1 - 2 ÷
- 2OP ×OE +1
è
1 1 1
= - +1- 2 1 cos POE = - cos POE ，
2 2 2
1 uuur uuur 3
因为-1 cos POE 1，所以- PA × PB ，
2 2
uuur uuur 3
即PA × PB 的最大值是 .2
故选：A.
uuur uuur 1
【点睛】关键点点睛：设 AB 的中点为E ，将PA × PB 化为 - cos POE ，是解决本题的关键.2
3．（23-24 高一下·福建泉州·期中）在RtVABC 中， A = 90o , AB = 2, AC = 6，D 为 BC 的中点，点 P 在VABC
uuur uuur
斜边 BC 的中线 AD 上，则 PBgPC 的取值范围为（ ）
A． -10,0 B． -6,0 C． 0,6 D． 0,10
【答案】A
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】先将 PBgPC 转化成 PD + DB · PD + DC ，再结合平方差公式和已知条件即可求解.
1 22 + 62
【详解】由题 AD = DB = DC = BC = = 10 ，
2 2
所以由点 P 在VABC 斜边 BC 的中线 AD 上得PD é ù 0, 10 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur故PB·PC = PD + DB · PD + DC = PD + DB · PD - DB
uuur2 uuur2 uuur2
= PD - DB = PD -10 -10,0 ，
故选：A.
4．（23-24 高一下·重庆·期末）如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，若动点 P 在以 AB 为直径的半圆上（正
uuur uuur
方形 ABCD内部，含边界），则PC × PD 的取值范围为（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 0,3 D． 0,1
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【分析】取CD 中点E ，连接PE，求出 PE 的取值范围，再根据 PC × PD = PE + EC × PE + ED 结合数量
积的运算律求解即可.
【详解】取CD 中点E ，连接PE，
因为 ABCD是边长为 2 的正方形，动点 P 在以 AB 为直径的半圆上，
uuur
所以当 P 在A 点或 B 点时， PE 取得最大值 5 ，
uuur
当 P 在弧 AB 中点时， PE 取得最小值1，
uuur
PE 的取值范围为 é 1, 5ù ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur又因为PC × PD = PE + EC × PE + ED ，EC = -ED = DC ， DC = 2，2
uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2
所以PC × PD = PE - PE × EC + EC × PE - EC
uuur 2 uuur 2 uuur 2
= PE 1- DC = PE -1，
4
uuur
因为 PE 的取值范围为 é ù 1, 5 ，
uuur 2 uuur uuur
所以 PE 的取值范围为 1, 5 ，PC × PD 的取值范围为 0,4 ，
故选：B
5．（23-24 高一下·北京·阶段练习）在直角梯形 ABCD中， AD∥BC ， ABC = 90°， AD = 2AB = 2BC = 2，
uuur uuur
点 P 为梯形 ABCD四条边上的一个动点，则PA × PB 的取值范围是（ ）
é 1 ù é 1 ù é 1 ù
A． ê- , 4ú B． ê- , 2ú C． -1,4 D． ê- , 4 2 2 4 ú
【答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图VABP中，O 为 AB 中点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PAgPB = (PO + OA)g(PO + OB) = (PO + OA)g(PO - OA) = PO2 - OA2 （极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取 AB 中点O，则由极化恒等式知，
uuur uuur
2 2 2 1 uuur uuurPA·PB = PO - OA = PO - ，要求PAg PB取值范围，只需要求PO2最大，最小即可.4
17 uuur uuur 1
由图，可知PO2 2 2 2 2 2最大时，P 在 D 点，即PO = DO = AD + AO = ，此时PA·PB = PO - = 4，4 4
uuur uuur 1 1
PO2最小时，P 在 O 点，即PO2 = 0 2，此时PA·PB = PO - = - .4 4
uuur uuur é 1 ù
综上所得，PA × PB 取值范围为: ê- , 4ú . 4
故选：D.
uuur uuur uur uuur uuur uuur
6．（23-24 高一下·重庆·期末）已知向量OA,OB满足 OA = 1, OB = 2 ，且向量OB 在OA方向上的投影向量为
uuur uuur
OC 1
uuur uuur
OA．若动点 C 满足 = ，则CAgCB 的最小值为（ ）2
1
A - B 4 - 2 6 C 1- 7 D 5 - 2 7． ． ． ．
2 3 2 4
【答案】D
uuur uuur uuuur2 1 uuur2
【分析】应用数形结合及极化恒等式，化CB·CA = CM - AB ，求解即可．
4
【详解】解：如图，
根据投影向量，OA ^ AB，则 AOB = 60°，且 AB = 3 ，
uuur 1 1
因为 OC = ，所以点 C 在以 O 为圆心，半径 r = 的圆上运动．
2 2
uuur uuur uuuur2 1 uuur2 uuuur 2 3
设 M 是 AB 的中点，由极化恒等式得：CB·CA = CM - AB = CM - ，
4 4
uuuur 7 -1 uuuur 2CM OM r CM 3 8 - 2 7 3 5 - 2 7因为 = - = ，此时 - = - = ，
min 2 4 4 4 4
uuur uuur
g 5 - 2 7即CB CA的最小值为 ，
4
故选：D．
7．（23-24 高一下·湖北·期中）在VABC 中，点 E，F 分别是线段 AB, AC 的中点，点 P 在直线 EF 上，若VABC
uuur uuur uuur2
的面积为 4，则PB PC BC× + 的最小值是（ ）
2
A．2 B． 2 3 C．4 D 3．
2
【答案】C
uuur uuur uuuur2 1 uuur2 uuur uuur
uuur2
【分析】利用图形将PB × PC 转化成PM - BC ，代入即得 BC 14 PB × PC + = PM
2 + BC 2，根据VABC 的面
2 4
uuur
BC 4
uuur uuur 2
积为 4 得 = ，利用PM PN 进行放缩，由 BC 2 1 16 2 4 即
PN PB × PC + PN + 2 = PN + 2 4 = 42 4 PN PN 2
得最小值.
【详解】
如图，分别过点A ， P 作 AH ^ BC 于 H ，PN ^ BC 于 N ，取BC 中点M ,连接PM .
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
易得PB × PC = [(PB + PC)2 - (PB - PC)2 ]，因
4 PB + PC = 2PM
，PB - PC = CB，
uuur uuur uuuur2 uuur2
则PB × PC = PM
1
- BC ，
4
uuur uuur uuur2 uuuur uuur uuur2 uuur22 2 uuuur2
故PB × PC BC+ = PM 1 BC BC 1- BC + = PM + = PM 2 + BC 2 ①
2 4 2 4 4
又V
1
ABC 的面积为 4，因 点 E，F 分别是线段 AB, AC 的中点，易得PN = AH ,
2
S 1 1 4故△BPC 的面积 VBPC = SVABC = 2 = BC PN ,即得BC = ，由图知，PM PN ,2 2 PN
uuur uuur uuur2
则由①可得：PB PC BC PN 2 1 16 4× + + 2 = PN
2 + 2 4 = 4 ,当且仅当PM ^ BC 且 PN = 2 时等号
2 4 PN PN 2
成立，
uuur uuur uuur2
即PB BC× PC + 的最小值是 4.
2
故选：C.
8．（23-24 高一下·湖南张家界·期中）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，
是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德
镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 2，圆O
的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M 在正六边形的边上运动，动点 A, B在圆O上运动且关于圆心O
uuur uuur
对称，则MA × MB 的取值范围是（ ）
A． 2,4 é 3B． ê , 4
ù
2 ú
C． 2,3 é3 ùD． ê ,3 2 ú
【答案】C
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
【分析】连接 AB,OM ，则MA × MB = MO + OA × MO + OB ，利用向量数量积的运算律即可求解.
【详解】连接 AB,OM ，如图所示：
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur
则MA × MB = MO + OA × MO + OB = MO + MO ×OA + MO ×OB + OA ×OB
uuuur 2 uuuur uuur uuur uuuur 2= MO + MO × OA + OB -1 = MO -1，
uuuur 2
根据图形可知，当点M 位于正六边形各边的中点时， MO 有最小值为 3，此时 MO -1 = 2，
uuuur 2
当点M 位于正六边形的顶点时， MO 有最大值为 2，此时 MO -1 = 3，
uuur uuur uuur uuur
故 2 MA × MB 3，即MA × MB 的取值范围是 2,3 ，
故选：C
9．（23-24 高一下·江苏常州·阶段练习）已知图中正六边形 ABCDEF 的边长为 4，圆 O 的圆心为正六边形的
uuuur uuur
中心，直径为 2，若点 P 在正六边形的边上运动，MN 为圆 O 的直径，则PM × PN 的取值范围是（ ）
A． 12,16 B． 11,15 C． 12,15 D． 8,12
【答案】B
uuuur uuur uuur uuur2
【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到PM × PN = PO -1，结合 r PO R
即可得解.
【详解】由正六边形 ABCDEF 的边长为 4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为 1，
所以正六边形 ABCDEF 的内切圆的半径为 r = OAsin 60o = 4sin 60o = 2 3，
外接圆的半径为R = 4，
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
因为PM × PN = (PO + OM ) × (PO + ON ) = (PO + OM ) × (PO - OM )
uuur2 uuuur2 uuur2
= PO - OM = PO -1，
uuur uuur uuur
又 r PO R，即 PO [2 3,4] 2，可得PO -1 [11,15]，
uuuur uuur
所以PM × PN 的取值范围是 11,15 .
故选：B.
uuuur uuur uuur2
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用向量数量积的运算法则将PM × PN 转化为 PO -1，从而得解.
10．（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其
重要，有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形，已知 ABCHIJ 与
uuur uuur
CDEFGH 为全等的正六边形，且 AB = 2 ，点 P 为线段 EF （包括顶点）上的一点，则 AP × BP 的取值范围为
（ ）
A． 31,43 B． 37,43 C． 36,42 D． 31,42
【答案】C
uuur uuur uuuur 2 uuuur uuur uuur
【分析】取线段 AB 的中点M ，可得出 AP × BP = PM -1，求出 PM 的最大值和最小值，即可得出 AP × BP
的取值范围.
uuur uuur
【详解】取线段 AB 的中点M ，则MB = -MA，
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur
AP × BP = PA × PB = PM + MA × PM + MB = PM + MA × PM - MA
uuuur 2 uuur 2 uuuur 2
= PM - MA = PM -1，
uuuur
由图可知， 当点 P 在线段 EF 上由点E 到F 的过程中， PM 在逐渐增大，
以线段CH 的中点O为坐标原点，CH 所在直线为 y 轴，
线段CH 的垂直平分线所在直线为 x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则 A -2 3, -1 、B 3, 2 M 3 3- - 、 - ,
3
- ÷÷、D 3, -2 、E2 2 2 3,-1 、è
F 2 3,1 、G 3,2 ，设点P x, y ，
1 3 5
当点 P 在线段 EF 上运动时， x = 2 3，-1 y 1，则 y + ，2 2 2
2 2 2
PM 2
3 3 3 147
= 2 3 + + y + = + 3 所以， 2 ÷÷ ÷
y + ÷ 37,43 ；
è è 2 4 è 2
uuuur 2 36,42 uuur uuur则 PM -1的范围为 ，即 AP × BP 的取值范围为 36,42 .
故选：C.
uuur uuur
1．（21-22 高二上·浙江衢州·期末）已知点 P 在圆 x2 + y2 = 2上，已知 A(4,0)， B(0,-4) ，则PA × PB 的最小值
为 .
【答案】-6
uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuuur2 1 uuur2 uuuur
【分析】推导出极化恒等式，即 PA × PB = PM - BM = PM - AB ，结合 | PM |最小值为
4 2 2 - 2 = 2
，
uuur uuur
求出PA × PB 的最小值.
【详解】由题意，取线段 AB 的中点M 2, -2 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur，则PA + PB = 2PM ，PA - PB = BA = 2BM ，两式分别平方得：
uuur2 uuur uuur uuur2 uuuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 uuuur2
PA + 2PA × PB + PB = 4PM ①，PA - 2PA × PB + PB = 4BM ②，①－②得：
uuur uuur uuuur2 uuuur2 uuuur2
PA PB PM BM PM 1
uuur2 uuuur
× = - = - AB ，因为圆心O 0,0 到M 2, -2 距离为 OM = 2 2 ，所以 | PM |最小值为
4
uuur
2 2 - 2 = 2 ，又 | AB |= 4 2 ，故最小值为： 2 -8 = -6 .
故答案为：-6
2．（21-22 高一下·浙江·期中）正方形 ABCD 的边长为 2，O 是正方形 ABCD 的中心，过中心 O 的直线 l 与
uuur uuur uuur uuuur uuur
边 AB 交于点 M，与边 CD 交于点 N，P 为平面内一点，且满足 2OP = lOB + 1- l OC ，则PM · PN 的最小
值为（　　）
1 9 7
A．- B．- C．-2 D．-
4 4 4
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur
uuuur uuur【分析】设 2OP = OQ，由 2OP = lOB + 1- l OC 得到Q为直线OP与BC 的交点，再由极化恒等式PM · PN
1 uuuur uuur uuuur uuur uuuré 2
uuur2 uuur2 uuur2
= (PM + PN )
2 1- (PM - PN )2 ù
4
= PO - NO = QO - NO ，由 QO 1, NO 2 即可求解.
4
【详解】
uuur uuur uuur uuur uuur
设 2OP = OQ，可得OQ = lOB + 1- l OC ，故C, B,Q三点共线，又O, P,Q 三点共线，故Q为直线OP与BC
的交点.
uuuur uuur 1 uuuur uuur uuuur uuur2 2 uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuurPM · PN = é (PM + PN ) - (PM - PN ) ù，又PM + PN = 2PO, PM - PN = NM = 2NO，4
uuuur uuur uuur2 uuur2 1 uuur2 uuur2 uuuur uuur
可得PM · PN = PO - NO = QO - NO ，又 QO 1, NO 2 ，所以4 PM
· PN
1 uuur 2 uuur 2 1 2QO NO 1 2 7= - - = - .4 4 4
故选：D.
uuur uuur
3．（21-22 高一下·江西·期中）已知点M 是正六边形 ABCDEF 内部（包括边界）一动点， AB = 4 ，则MA × MB
的最大值为 ．
【答案】48
uuur uuur
【分析】通过分析图形，将求解MA × MB 的最大值，转化为求正六边形内部（包含边界）一点到 AB 边中点
N 的距离的最大值，利用几何意义解决问题
【详解】
uur uuur uuur uuur
如图，设 AB 的中点为 N ，连接MN ，则 NA = -NB AB = 4 则 NA = NB = 2
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 2 uuur 2 uuuur 2 MA × MB = MN + NA × MN + NB = MN - NB = MN - 4．
uuuur
因为点M 为正六边形 ABCDEF 内部（包括边界）一动点，所以当点M 与点D或点E 重合时， MN 取得最
大值;
在DDCB中 DC = CB = 4, DCB 2p DB 42 42 2 4 2p = = + - 4 cos = 4 3
3 3
2
易知， | DN |= 4 3 + 22 = 2 13 所以最大值为52 - 4 = 48．
故答案为：48.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知 A，B，C，D 是半径为 2 的圆 O 上的四个动点，若 AB = CD = 2，则
uur uuur uuur uuur
CA ×CB + DA × DB 的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
【答案】C
【分析】利用极化恒等式进行转化可求最大值.
【详解】如图：
分别取 AB，CD 的中点 E，F，连接 DE，CE，EF．
又 AB = CD = 2，所以由极化恒等式得
uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur2 1 uuur2 uuur2CA ×CB = CE - AB = CE -1，DA × DB = DE - AB = DE -1，
4 4
uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur 2 uuur uuur
所以CA ×CB + DA × DB = CE -1+ DE -1 = CE + DE - 2CE × DE - 2
uuur 2 uuur2 1 uuur2 uuur2= -2EF - 2 EF - CD ÷ - 2 = 2EF ．
è 4
连接 OE，OF，OA，OB，OC，OD，
由 AB = CD = 2，OA = OB = OC = OD = 2，得OE = OF = 3 ，
所以 E，F 在以 O 为圆心， 3为半径的圆上．所以 EF 的最大值为 2 3 ，
uur uuur uuur uuur
所以CA ×CB + DA × DB 的最大值为 24．
故选：C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【点睛】知识点点睛：极化恒等式：在DABC中，若D为 AB 中点，则CA ×CB = CD + DA × CD + DB
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 1 uuur2= CD + DA × CD - DA 2 2= CD - DA = CD - AB .4
π
5．（23-24 高一下·浙江·期中）已知VABC 中，BC = 4， A = ，若VABC3 在平面内一点D满足
uuur uuur uuur r uuur uuur
3DB + 3DC + DA = 0 ，则DB × DC 的最大值为
184
【答案】-
49
【分析】设BC 的中点为E ，则根据题意知D为BC 边上的中线 AE 的靠近E 的 7 等分点，化简得
uuur 2
uuur uuur AE
DB × DC = ÷ - 4 ，利用余弦定理得 AB2 + AC 2 =16 + AB × AC ，利用基本不等式可得 AB × AC 16，再利
7 ÷
è
uuur uuur uuur
用 AE
1 AB 1= + AC ，两边平方，化简即可得到答案.
2 2
【详解】如图，设BC 的中点为E ，
uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur
因为3DB + 3DC + DA = 0 ，所以DA = -3(DB + DC) = -6DE，
所以D为BC 边上的中线 AE 的靠近E 的 7 等分点，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
所以DB × DC = (DE + EB) × (DE + EC) = (DE + EB) × (DE - EB)
uuur 2
uuur2 uuur2 uuur 2 uuur 2 uuur 2 AE
= DE - EB = DE - EB = DE - 4 = ÷ - 4，
7 ÷
è
2 2 2
在VABC ，由余弦定理可得：BC = AB + AC - 2 × AB × AC ×cos
π
，即 AB2 + AC 23 =16 + AB × AC
，
利用基本不等式可得： AB2 + AC 2 =16 + AB × AC 2AB × AC ，即 AB × AC 16，当且仅当 AB = AC 时取等号；
uuur 1 uuur 1 uuur
因为E 为BC 的中点，则 AE = AB + AC ，两边同时平方可得：
2 2
uuur 2 1 uuur 2 1 uuur 2AE AB AC 1
uuur uuur uuur 2 uuur 2 uuur uuur
= + + AB × AC 1 1= AB + AC 1+ AB × AC ，
4 4 2 4 4 4
uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur
所以 AE = (16 + AB × AC ) + AB × AC = 4 + AB × AC 4
1
+ 16 =12，即VABC 为等边三角形时，
4 4 2 2
uuur
AE = 2 3 ，
max
uuur uuur 12 184所以 DB × DC = - 4 = - ；
max 49 49
184
故答案为：-
49
BD
6．（22-23 高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形 ABCD中， AC ^ BD, AB = BC = =1, AC = CD = 3 ，点E
2
uuur uuur
在四边形 ABCD的边上运动，则EB × ED 的最小值是（ ）
3 1 3
A． B．- C．- D．-1
4 4 4
【答案】C
【分析】由题意分析可知四边形 ABCD关于直线BD对称，且BC ^ CD，只需考虑点 E 在边BC,CD上的运
uuur uuur
动情况即可，然后分类讨论,求出EB × ED 最小值.
【详解】
如图所示，因为 AC ^ BD ，且 AB = BC ，所以BD垂直且平分 AC ，
则VACD为等腰三角形，又 AC = CD = 3 ，所以VACD为等边三角形,
则四边形 ABCD关于直线BD对称，故点 E 在四边形 ABCD上运动时，
只需考虑点 E 在边BC,CD上的运动情况即可，
因为 AB = BC
BD
= =1，CD = 3 ，知BC 2 + CD2 = BD2，即BC ^ CD，2
uuur uuur
则CB ×CD = 0，
uuur uuur uuur uuur
①当点 E 在边BC 上运动时，设EB = lCB(0 l 1)，则EC = (l -1)CB ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2
则EB × ED = EB × (EC + CD) = lCB × (l -1)CB = l(l -1)CB = l(l -1) = l 2 - l ,
1 uuur uuur 1
当l = 时，
2 EB × ED
最小值为 – ；
4
②当点 E 在边CD 上运动时，
uuur uuur uuur uuur
设ED = kCD(0 k 1) ,则EC = (k -1)CD ,
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
则EB × ED = (EC + CB) × ED = EC × ED + CB × ED = k(k -1)CD + kCD ×CB
= 3k 2 - 3k ，
1 uuur uuurk 3当 = 时，EB × ED 的最小值为- ；2 4
uuur uuur 3
综上，EB × ED 的最小值为- ；4
故选：C．
uuur uuur
【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形 ABCD的几何性质，即要推出CB ×CD = 0，然后要考虑 E 点位置，
uuur uuur
即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出EB × ED ，结合二次函数性质即可求解.
7．（2023 高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 AC = 2，M 为线段 AB 上的动点（包
uuur uuur
含端点），D为 AC 的中点．将线段 AC 绕着点D旋转得到线段 EF ，则ME × MF 的最小值为（　　）
3
A．-2 B．-
2
1
C． -1 D．-
2
【答案】D
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur2 2 2 1 2 uuur uuur
【分析】利用转化法，将ME × MF 转化为MD - DE 或MD - FE ，进而求得4 ME × MF
的最小值.
【详解】解法一：
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur连接MD ，则ME × MF = MD + DE × MD + DF
uuuur uuur uuuur uuur uuuur2 uuur2= MD + DE × MD - DE = MD - DE ，
uuuur
当MD ^ AB时，MD 2最小，即 MD = ，
min 2
uuur2 uuur uuur 1
结合DE =1，得ME × MF 的最小值为- ．2
解法二（极化恒等式法）：
依题意BC = 2 ，D为线段 EF 的中点，
uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2
则ME + MF = 2MD, ME
1
× MF = éê ME + MF - ME - MF4
ù
ú
uuuur2 1 uuur2
= MD - FE ,
4
uuuur 2 uuur2 uuur uuur 1
由于 MD = ，FE = 4 ，所以ME × MF 的最小值为- ．
min 2 2
故选:D
8．（23-24 高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知eO 的半径为 1，直线PA与eO 相切于点A ，直线 PB与eO 交
uuur uuur
于B，C 两点，D为BC 的中点，若 PO = 2 ，则PA× PD的最大值为（ ）
A 1+ 2 B 1+ 2 2． ． C．1 D． 2 + 2
2 2
【答案】A
【分析】利用数形结合方法与转换法，从而可求解.
【详解】因为 PO = 2 ，所以设P 2,0 ，eO 的方程为： x2 + y2 =1，具体如下图所示：
连接OA，因为 OA =1，直线PA与eO 相切，所以 PA =1， OPA
π
= ，连接OD ，
4
é
因为D为BC 的中点，所以OD ^ DP ，设 OPD = a ，a ê0,
π
4 ÷，则
PD = 2 cosa ；

当点A 和点D在 x 轴同侧时可得：
uuur uuur uuur uuur
PA × PD π= PA × PD cos -a =1× 2 cosa ×cos π a 2 é- = cos π + cos 2a π- ù 4 ÷ ÷è è 4 2 ê 4 ÷ è 4 ú
1 2 cos 2a π= + - ，
2 2 ֏ 4
é
又因为a ê0,
π
÷，所以 2a
π
- é
π π π 2 π 2
4 ê
- , ÷，当a = 时 cos 2a - ÷ 有最大值 ， 4 4 4 8 2 è 4 2
uuur uuur 1 2
所以：PA× PD的最大值为： + ；
2 2
当点A 和点D在 x 轴异侧时可得：
uuur uuur uuur uuur
PA PD PA PD cos π a 1 2 cosa cos π a 2 écos π cos 2a π ù× = × + = × × + = - + +
è 4 ÷ ÷ ÷ ÷ è 4 2 ê è 4 è 4 ú
1 2
= + cos 2a
π
+ ÷ ，2 2 è 4
é π π é π 3π 2
又因为a ê0, ÷，所以 2a + ê , ÷ ，当a = 0 时 cos
2a π+ 1
4 ÷ 有最大值 ， 4 4 4 2 è 4 2
uuur uuur
所以：PA× PD的最大值为：1.
uuur uuur 1+ 2
综上可知：则PA× PD的最大值为： .
2
故选：A.
uuur uuur
9．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知圆O半径为 1，P、A、B 是圆O上不重合的点， 则PA × PB 的最小值
为 .
1
【答案】- / -0.5
2
uuur uuur uuur2 uuur2
【分析】取 AB 中点 C，劣弧 AB 的中点 D，将PA × PB 转化为PC - CB ，结合图形，得到 P 为劣弧 AB 的
uuur2 uuur uuur uuurD 2中点 时，PC = DC ，设 DC = a, CB = b，由垂径定理得到b2 = 2a - a2 ，从而得到
uuur uuur 2
PA 1 1× PB 2 a -

÷ - ，求出最小值.
è 2 2
【详解】取 AB 中点 C，劣弧 AB 的中点 D，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2PA × PB = PC + CA × PC + CB = PC - CB ，
uuur2 uuur2
显然，P 为劣弧 AB 的中点 D 时，PC = DC 最小，
uuur uuur
记 DC = a, CB = b 2，由垂径定理可得： 1- a + b2 =1，即b2 = 2a - a2 ，
uuur uuur 1 2 1
则PA × PB a2 - b2 = 2a2 - 2a = 2 a -
- ，
è 2 ÷ 2
1 uuur uuura 1当 = 时，PA × PB 取最小值，最小值为- .2 2
1
故答案为：-
2
【点睛】平面向量相关的几何最值问题，要结合题干信息，作出合适的辅助线，运用二次函数或基本不等
式求解，或者建立平面直角坐标系，利用坐标进行求解
uuur uuur l uuur uuur
10．（22-23 高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知VABC 中， AB = 8， AC = 2 ，且 AB + (2 - 2l)AC l R
2
uuur uuur
的最小值为 2 3 ，若 P 为边 AB 上任意一点，则PB × PC 的最小值是（ ）
51 49 9
A．- B．-
25
C．- D．-
4 4 16 16
【答案】B
uuur uuur uuur
【分析】设 AD = 4AC ，由题可得G 、 B 、D三点共线，进而可得 AG 的最小值为A 到BD边上的高，根据
π uuur uuur uuuur 2 1 uuur 2 uuuur
几何关系求出 BAD = ，将PB × PC 化成 PM - BC ，通过几何关系求出 PM 的最小值即可.3 4
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】设 AD = 4AC ，故 AB = AD = 8，若l AB + 4 - 4l AC = l AB + 1- l AD = AG ，
uuur
由l + 1- l =1，则 B ，G ，D共线，故 AG = 4 3 ，
min
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由图得，当 AG⊥BD 时 AG 有最小值，又 AB = AD = 4 AC = 8，
π π
∴ sin ABD sin ADB 4 3 3= = = ，即 ABD = ADB = , BAD = ，即△ABD 为等边三角形．
8 2 3 3
uuur 2 uuur 2 uuur 2 uuur uuur 2 2 1
由余弦定理， BC = AB + AC - 2 AB AC cos BAC = 8 + 2 - 2 8 2 = 52，
2
uuur uuur uuuur 1 uuur uuuur 1 uuur uuuur 2 1 uuur 2
设 M 为 BC

中点，PB × PC = PM - BC ÷ × PM + BC ÷ = PM - BC ，
è 2 è 2 4
uuuur uuur uuur
∴当 PM 取最小值时，PB × PC 有最小值，
∵ P 为边 AB 上任意一点，
uuuur uuur uuuur
∴当PM⊥AB时， PM 有最小值，
设 PM ^ AB ，过点C 作CE ^ AB 于点E ，则 CE = AC sin BAC = 3，
又PM / /EC ，PM 为VBCE 的中位线，
∴ PM = 1 CE 3 3= ，即 PM = ，
2 2 min 2
uuur uuurPB PC 3 1 49∴ × = - 52 = - ．
min 4 4 4
故选：B.
uuur uuur uuur uuur uuur
【点睛】关键点点睛： AD = 4AC 、l AB + 4 - 4l AC = AG 构造等边三角形△ABD 且 B ，G ，D共线，设
uuur uuur uuuur 2 1 uuur 2 uuur uuur uuur uuuur
M 为 BC 中点，由PB × PC = PM - BC ，（先求出 BC ），数形结合判断
4 PB × PC
最小 PM 与相关线段位
置关系.

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