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第 07 讲 函数模型及其应用
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
对数的运算性质的应用
2023 年新 I 卷，第 10 题,5 分 对数函数模型的应用
由对数函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图
象与性质，难度中等偏下，分值为 5 分
【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
型）的广泛应用
【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是
新高考复习的重要内容
知识讲解
1．三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝logax y＝xn
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)上
单调递增 单调递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表现为 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而各有
图象的变化
与 y 轴平行 现为与 x 轴平行 不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
3．解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模
型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
考点一、指数函数模型
1．（山东·高考真题）基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
I (t) = ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有
学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的
时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
2．（2024·陕西安康·模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用
f (t) 表示从 t = 0开始，晶体管数量随时间 t 变化的函数， f (0) = 1000，若 t 是以年为单位，则 f (t) 的解析式
为（ ）
f (t) 1000 1000A． = + t B． f (t) =1000 2t
24
t
C． f (t) =1000 22 D． f (t) =1000 + 2
t
3．（2024 高三下·全国·专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直
以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例 P
-0.968+kx
与小微企业的年收入 x e（单位：万元）的关系为 P = -0.968+kx k R .已知小微企业的年收入为 80 万元时，1+ e
其实际还款比例为50%，若银行希望实际还款比例为 40%，则小微企业的年收入约为（参考数据：
ln 3 1.0986， ln 2 0.6931）（ ）
A．46.49 万元 B．53.56 万元 C．64.43 万元 D．71.12 万元
1．（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同
款新车裸车价格，第一年汽车贬值 20%，从第二年开始每年贬值 10%．刚参加工作的小明打算买一辆约 5
年的二手车，价格不超过 8 万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m N)
万，则m =（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．（2024·广东茂名·一模）Gompertz 曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生
- x
长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： f x = kab （其中
k > 0,b > 0， a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现 a = e .
若 x =1表示该新产品今年的年产量，估计明年 x = 2 的产量将是今年的 e倍，那么b 的值为（ e为自然数对
数的底数）（ ）
A 5 -1． B 5 +1． C． 5 -1 D． 5 +1
2 2
3．（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类
果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系． y = eax+b (a，b．为常数)，若该果蔬在
7℃的保鲜时间为 288 小时，在 21℃ 的保鲜时间为 32 小时，且该果蔬所需物流时间为 4 天，则物流过程中
果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
考点二、对数函数模型
1．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯
里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M = lgA - lgA0 ，其中M 表示某地地震的里氏震级，A
表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅， A0 表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，
某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为 5000，且这次地震的标准地震振幅为 0.002，则该地这次地震
的里氏震级约为（ ）（参考数据： lg2 0.3）
A．6.3 级 B．6.4 级 C．7.4 级 D．7.6 级
2．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足 L = 5 + lgV ．已
知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为 4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为
V V21,V2 ，则 V 的值所在区间是（ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
3．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
p
级 Lp = 20 lg p ，其中常数
p0 p0 > 0 是听觉下限阈值， p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
0
声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB
燃油汽车 10 60 ~ 90
混合动力汽车 10 50 : 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p1, p2 , p3，则（ ）．
A． p1 p2 B． p2 > 10 p3
C． p3 = 100 p0 D． p1 100 p2
1．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以 n开头的数出现的
概率为 Pb n = log
n +1
b ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，n
在十进制的大量随机数据中，以 1 开头的数出现的概率大约是以 9 开头的数出现的概率的（ ）倍（参考
数据： lg2 = 0.301, lg3 = 0.477）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
2．（2024·江西·二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程
中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA
的数量 X pn 与扩增次数 n满足 lg X n = n lg 1+ p + lg X 0 ，其中 X 0 为DNA 的初始数量， 为扩增效率．已知某
被测标本DNA 扩增16次后，数量变为原来的10000倍，则扩增效率 p 约为（ ）
( 参考数据：100.25 1.778,10-0.25 0.562 )
A． 22.2% B． 43.8% C．56.2% D．77.8%
3．（2024·四川·模拟预测）2023 年 6 月 22 日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km
自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强 I （单位：W / m2 ）表示声音在传播途
径中每平方米上的声能流密度，声强级 L（单位：dB）与声强 I 的函数关系式为 L = L0lg aI ，其中L0为基
10
准声强级， a为常数，当声强 I = 时，声强级 L = 20dB．下表为不同列车声源在距离 20m处的声强级：
a
声源 与声源的距离（单位：m） 声强级范围
内燃列车 20 50,80
电力列车 20 20,50
高速列车 20 10
设在离内燃列车 电力列车 高速列车 20m处测得的实际声强分别为 I1, I2 , I3，则下列结论正确的是（ ）
A． L0 = 30 B． I1 I2 C． I2 10I3 D． I1 100I2
考点三、建立拟合函数模型解决实际问题
1．（全国·高考真题）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国
航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯
联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行．
L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R， L2点
到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M1 M 2
2 + 2 = (R + r)
M1
(R r) r R3 .+
a r 3a
3 + 3a 4 +a 5 3
设 = ，由于a 的值很小，因此在近似计算中 2 3a ，则 r 的近似值为R (1+a )
M M
A． 2 R B． 2 R
M1 2M1
3M M
C． 3 2 R D． 3 2 R
M1 3M1
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为 AI.它是研究 开发用于模拟
延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使
机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送 机器人测控体温等
都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金 5000 万元，并将其全部投入生
产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，
每年年底各项人员工资 税务等支出合计 1500 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n年年底企业
除去各项支出资金后的剩余资金为 a m m N*n 万元，第 年年底企业的剩余资金超过 21000 万元，则整数m
的最小值为 . lg2 0.3010;lg3 0.4771
1．（2024·重庆·二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，
强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核
心要素：国民收入Y ，国民消费C 和国民投资 I ，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：
ìY = C + I
í . aC a aY 其中常数 0表示房租 水电等固定消费，
a a 1 为国民“边际消费倾向”.则（
= + ） 0
A．若固定 I 且 I…0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定Y 且Y…0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
a 4C．若 = ，则收入增长量是投资增长量的 5 倍
5
a 4 1D．若 = - ，则收入增长量是投资增长量的
5 5
1
2．（2024· 2北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 f 满足公式 f = rCSv ，其中 r 是
2
空气密度，S 是该飞行器的迎风面积， v是该飞行器相对于空气的速度，C 是空气阻力系数（其大小取决
于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P = fv . 当 r , S 不变， v比原来提高
10% 时，下列说法正确的是（ ）
A．若C 不变，则 P 比原来提高不超过30%
B．若C 不变，则 P 比原来提高超过40%
C．为使 P 不变，则C 比原来降低不超过30%
D．为使 P 不变，则C 比原来降低超过40%
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的
关系为 lgE = 4.8 +1.5M .2024 年 1 月 30 日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏 5.7 级地震，所释放的能量
E
记为E1, 2024年 1 月 13
1
日在汤加群岛发生了里氏 5.2 级地震，所释放的能量记为E2 ，则比值 E 的整数部分2
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种
绿茶用 90℃的水泡制，再等到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生极佳口感；在 20℃室温下，茶水温度从
90℃ t开始，经过 tmin 后的温度为 y℃，可选择函数 y = 60 0.9 + 20 t 0 来近似地刻画茶水温度随时间变化
的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： lg2 0.30, lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8min
3．（2024·陕西安康·模拟预测）若一段河流的蓄水量为 v立方米，每天水流量为 k 立方米，每天往这段河流
k
- t
排水 r 立方米的污水，则 t
r r
天后河水的污染指数m t = + m0 -

÷e v m0 为初始值，mk k 0
> 0 ．现有一条被
è
污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要
1
使河水的污染指数下降到初始值的 ，需要的天数大约是（参考数据： ln7 1.95）（
7 ）
A．98 B．105 C．117 D．130
4．（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量 y （单位：
mg/L -at）与过滤时间 t 小时的关系为 y = y0e （ y0 ， a均为正的常数）．已知前 5 小时过滤掉了 10%污染物，
那么当污染物过滤掉 50%还需要经过（ ）（最终结果精确到 1h，参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
5．（2024·江西·模拟预测）酒驾最新标准规定：100ml血液中酒精含量达到 20mg的驾驶员即为酒后驾车，达
到80mg 及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为1.2mg / ml ，从此刻起停止饮酒，血
液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：
lg2 0.301, lg3 0.477）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数 R 与可见叶片数 x 进行分析研究，其关系可
以用函数R =15eax （ a为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为 7 片，叶龄指数为 30，则当玉米幼
穗在四分体形成期叶龄指数为 82.5 时，可见叶片数约为（ ）（参考数据： ln2 0.7， ln5.5 1.7 ）
A．15 B．16 C．17 D．18
7．（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五
分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足 L = 5 + lgV ．已知小
明和小李视力的五分记录法的数据分别为 4.5 和 4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1,V2 ，
V2
则 V （ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
8．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4.8 +1.5M .2008 年 5 月 12
日我国汶川发生里氏 8.0 级地震，它所释放出来的能量是 2024 年 4 月 3 日我国台湾发生里氏 7.0 级地震的
（ ）倍
8 8
A． B． 1.5 4.8
7 107
C．10 D．10
9．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为 240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q
（单位：L）与速度 v（单位：km/h）（0 v 120）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
10．（2024·宁夏银川·一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为
Q = kt p ，其中 Q（单位mAh ）为电池容量损失量，p 是时间 t 的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，
k 是方程剩余项未知参数的组合，与温度 T 和电池初始荷电状态 M 等自放电影响因素有关．以某种品牌锂
电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得 p = 0．5，相关统计学参数R2 > 0．995，且预测值与实际值
误差很小．在研究 M 对 Q 的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化
规律为Q = kt P = e( A+BM )tP ，经实验采集数据进行拟合后获得 A = 2.228, B =1.3，相关统计学参数 R2 = 0.999，
且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放 16 天后，电容量损失量约为（ ）
（参考数据为： e3.22 25.08,e3.232 25.33,e3.265 26.26,e3.628 37.64）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室
温 25oC下，某种绿茶用85o C的水泡制，经过 xmin后茶水的温度为 yoC，且 y = k ×0.9227x + 25 x 0, k R .当
茶水温度降至60o C时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据： ln2 0.69, ln3 1.10, ln7 1.95, ln0.9227 -0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）中国地震台网测定：2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级
地震.已知地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4.8 +1.5M ，2011 年 3
月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏
7.3 级地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
3．（2024·福建福州·模拟预测）当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时 25%的速度减少，
另一种药物 B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10% 的速度减少．现同时给两位患者分别注
射800mg 药品 A 和500mg药品 B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参
考数据： lg2 0.301, lg3 0.477）
A．0.57h B．1.36h C． 2.58h D．3.26h
4．（2024·浙江杭州·二模）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单
一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.
假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的 1 株变成 100 万株大约需要
（ ）（参考数据： lg 2 0.301）
A．40 年 B．30 年 C．20 年 D．10 年
5．（23-24 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病
微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧
化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1% .经测定，刚下课时，空气中含有0.2% 的二氧化碳，若开窗通风后
t
教室内二氧化碳的浓度为 y% ，且 y 随时间 t （单位：分钟）的变化规律可以用函数 -y = 0.05 + le 11 描述，则
该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据： ln3 1.1）（ ）
A．11 分钟 B．13 分钟 C．15 分钟 D．17 分钟
二、多选题
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始
温度为q1°C，空气温度q0°C 保持不变，则 t 分钟后物体的温度q （单位：°C）满足：
q = q -0.05t0 + q1 -q0 e ．若空气温度为10°C，该物体温度从q1°C（90 q1 100）下降到30°C，大约所需的
时间为 t1 ，若该物体温度从70°C，50°C下降到30°C，大约所需的时间分别为 t2 , t3，则（ ）（参考数据：
ln 2 0.7, ln 3 1.1）
A． t2 = 20 B． 28 t1 30 C． t1 2t3 D． t1 - t2 6
7．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用 f (t) 表示
从 t = 0开始，晶体管数量随时间 t 变化的函数，若 f (0) = 1000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是
（ ）
t f (t) 1000 1000A．若 是以月为单位，则 = + t
24
B．若 t 是以年为单位，则 f (t) = 1000 ( 2)t
C．若 t
lg 2
是以月为单位，则 lg f (t) = 3 + t
24
3
D．若 t
lg t +1
是以年为单位，则 ÷lg f (t) = 3 + è 2
2
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组
成，并带有放射性，会发生b 衰变，其半衰期是 12.43 年.样本中氚的质量 N 随时间 t (单位:年)的衰变规律满
t
足 -N = N × 2 12.43 ，其中 N0 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: lg 2 0.301)0
A． t = 12.43log
N
2 N0
B．经过 24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
1
C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
32
D．若 x 年后，样本中氚元素的含量为0.4N0 ，则 x >16
三、填空题
9．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子核内部作用过
程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之
棰”的长度看成 1 米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在 2“阿托秒”内走过的
距离.（参考数据：光速为3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
10．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为3.6m的竖直墙壁面上有一电子眼A ，已知A 到天花板的距离为 2.1m ，
电子眼A 的最大可视半径为0.5m．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为 0.2m 的木棒
（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼 A 记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函
1 2
数关系为 s = gt ，重力加速度 g 取10m / s2 ）
2
1．（四川·高考真题）某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位：℃）满足函数关系 y = ekx+b
（ e = 2.718...为自然对数的底数， k,b为常数）.若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在 22 ℃的保鲜时间
是 48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是
A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．21 小时
2．（全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，
由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压
500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配
货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名
3．（北京·高考真题）顾客请一位工艺师把A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成
这
项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间 粗加工 精加工
原料
原料A 9 15
原料 B
6 21
则最短交货期为 工作日.
4．（上海·高考真题）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 GDP（GDP
是指国内生产总值）4035 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长 9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自
然增长率将控制在 0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年
的 2 倍，至少需 年．
按：1999 年本市常住人口总数约 1300 万．第 07 讲 函数模型及其应用
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
对数的运算性质的应用
2023 年新 I 卷，第 10 题,5 分 对数函数模型的应用
由对数函数的单调性解不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他函数知识点考查，需要掌握函数的图
象与性质，难度中等偏下，分值为 5 分
【备考策略】1.会选择合适的函数类型来模拟实际问题的变化规律.
2.会比较一次函数、二次函数、幂函数、对数函数、指数函数增长速度的差异
3.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
型）的广泛应用
【命题预测】本节内容通常考查给定实际问题选择用合适的函数解析式来模拟或求对应的实际应用值，是
新高考复习的重要内容
知识讲解
1．三种函数模型的性质
函数 y＝ax y＝logax y＝xn
性质 (a>1) (a>1) (n>0)
在(0，＋∞)上
单调递增 单调递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表现为 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而各有
图象的变化
与 y 轴平行 现为与 x 轴平行 不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
k
反比例函数模型 f(x)＝ ＋b(k，b 为常数且 k≠0)
x
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且 a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
3．解函数模型问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模
型．
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将数学问题还原为实际问题．
以上过程用框图表示如下：
考点一、指数函数模型
1．（山东·高考真题）基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：
I (t) = ert 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率 r 与 R0，T 近似满足 R0 =1+rT.有
学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的
时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天 B．1.8 天
C．2.5 天 D．3.5 天
【答案】B
【分析】根据题意可得 I t = ert = e0.38t ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间
为 t 天，根据 e0.38(t+t1 )1 = 2e0.38t ，解得 t1 即可得结果.
R = 3.28 R =1+ rT r 3.28 -1T = 6 = = 0.38 I t = ert = e0.38t【详解】因为 0 ， ， 0 ，所以 ，所以 ，6
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1 天，
则 e0.38(t+t1 ) = 2e0.38t ，所以 e0.38t1 = 2，所以0.38t1 = ln 2，
ln 2 0.69
所以 t1 = 1.8天.0.38 0.38
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
2．（2024·陕西安康·模拟预测）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用
f (t) 表示从 t = 0开始，晶体管数量随时间 t 变化的函数， f (0) = 1000，若 t 是以年为单位，则 f (t) 的解析式
为（ ）
A． f (t) = 1000
1000
+ t B． f (t) =1000 2t
24
t
C． tf (t) =1000 22 D． f (t) =1000 + 2
【答案】C
【分析】根据题意晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，可得 f (t) 为指数型函数，
即可判断.
【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，
t
根据时间 t 以年为单位，以及 f (0) =1000，得 f (t) =1000 22 .
故选：C．
3．（2024 高三下·全国·专题练习）小微企业是推进创业富民、恢复市场活力、引领科技创新的主力军，一直
以来，融资难、融资贵制约着小微企业的发展活力.某银行根据调查的数据，建立了小微企业实际还款比例 P
e-0.968+kx
与小微企业的年收入 x （单位：万元）的关系为 P = 0.968 kx k R .- + 已知小微企业的年收入为 80 万元时，1+ e
其实际还款比例为50%，若银行希望实际还款比例为 40%，则小微企业的年收入约为（参考数据：
ln 3 1.0986， ln 2 0.6931）（ ）
A．46.49 万元 B．53.56 万元 C．64.43 万元 D．71.12 万元
【答案】A
e-0.968+kx
【分析】先根据题中数据代入计算函数P = -0.968+kx k R 中参数 k 的值，然后计算还款比例为 40%时的1+ e
值即可.
e-0.968+80k
【详解】由题意知50% = ，化简得 e-0.968+80k-0.968+80k =1，1+ e
故-0.968 + 80k = 0 ，得 k = 0.0121 .
e-0.968+0.0121x 2
则当P = 40%时， 40% = e-0.968+0.0121x =
1+ e-0.968+0.0121x
，化简得 ，
3
两边同时取对数，得-0.968 + 0.0121x = ln 2 - ln 3 -0.4055，得 x 46.49，
故当实际还款比例为 40%时，小微企业的年收入约为 46.49 万元.
故选：A
1．（2024·湖南益阳·三模）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同
款新车裸车价格，第一年汽车贬值 20%，从第二年开始每年贬值 10%．刚参加工作的小明打算买一辆约 5
年的二手车，价格不超过 8 万元．根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m N)
万，则m =（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】根据题意，列出不等式，解之并取近似值，即得m 的值.
8 100000
【详解】依题意，m(1- 20%)(1-10%)4 8，解得m = ，
0.8 0.94 6561
则m 15.24，又m N，则m =15 .
故选：C.
2．（2024·广东茂名·一模）Gompertz 曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生
- x
长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为： f x = kab （其中
k > 0,b > 0， a为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现 a = e .
若 x =1表示该新产品今年的年产量，估计明年 x = 2 的产量将是今年的 e倍，那么b 的值为（ e为自然数对
数的底数）（ ）
A 5 -1 B 5 +1． ． C． 5 -1 D． 5 +1
2 2
【答案】A
- x
【分析】由 a = e，得到 f x = k ×eb ，分别代入 x =1、 x = 2，得到 f 1 和 f 2 的值，进而得到
b-2ke b-2 -b-1
-1 = e = e，求解即可.
keb
- x
【详解】由 a = e，得到 f x = k ×eb ，
-1
\当 x =1时， f 1 = k ×eb ；
b-2当 x = 2时， f 2 = ke .
-2
keb -2 -1
依题意，明年 x = 2 的产量将是今年的 e倍，得： = eb -b-1 = e，
keb
1 1
\ - =1 -1± 52 ，即b2 + b -1 = 0 ，解得 .b b b = 2
Qb > 0 b 5 -1，\ = .
2
故选：A.
3．（2024·四川德阳·三模）如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类
果蔬的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单位：℃)满足函数关系． y = eax+b (a，b．为常数)，若该果蔬在
7℃的保鲜时间为 288 小时，在 21℃ 的保鲜时间为 32 小时，且该果蔬所需物流时间为 4 天，则物流过程中
果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（ ）
A．14℃ B．15℃ C．13℃ D．16℃
【答案】A
【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.
ìe7a+b = 288 14a 1 7a 1
【详解】依题意， í 21a+b ，则 e = ，即 e = ，显然 a<0，
e = 32 9 3
设物流过程中果蔬的储藏温度为 t℃，于是 eat+b 96 = 3 ×e21a+b = e-7a ×e21a+b = e14a+b ，
解得 at + b 14a + b，因此 t 14，
所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过 14℃.
故选：A
考点二、对数函数模型
1．（2024·湖南长沙·三模）地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯
里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M = lgA - lgA0 ，其中M 表示某地地震的里氏震级，A
表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅， A0 表示这次地震中的标准地震振幅.假设在一次地震中，
某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为 5000，且这次地震的标准地震振幅为 0.002，则该地这次地震
的里氏震级约为（ ）（参考数据： lg2 0.3）
A．6.3 级 B．6.4 级 C．7.4 级 D．7.6 级
【答案】B
【分析】根据题意，得到M = lg5000 - lg0.002，结合对数的运算法则，即可求解.
【详解】由题意，某地地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002 ，
可得M = lg5000 - lg0.002 = lg
10000
- lg 2 = 4 - lg2 - lg2 - 3 = 7 - 2lg2 6.4 .
2 1000
故选：B.
2．（2024·山东泰安·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常
用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足 L = 5 + lgV ．已
知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为 4.5和5.0，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为
V ,V V21 2 ，则 V 的值所在区间是（ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
【答案】D
【分析】根据给定条件，建立方程，结合对数运算求解即得.
ì5.0 = 5 + lgV2 V2
【详解】依题意， í 0.5 = lgV - lgV = lg
4.5 = 5 + lgV
，两式相减得 2 1
1 V
，
1
V2 =100.5解得 = 10 ，所以 10 3,3.5V . 1
故选：D
3．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压
级 L
p
p = 20 lg ，其中常数 p0 p0 > 0p 是听觉下限阈值，
p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：
0
声源 与声源的距离 /m 声压级 /dB
燃油汽车 10 60 ~ 90
混合动力汽车 10 50 : 60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为 p1, p2 , p3，则（ ）．
A． p1 p2 B． p2 > 10 p3
C． p3 = 100 p0 D． p1 100 p2
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 Lp 60,90 , Lp 50,60 , Lp = 40，结合对数运算逐项分析判断.1 2 3
【详解】由题意可知： Lp 60,90 , Lp 50,60 , Lp = 40，1 2 3
L L 20 lg p1 20 lg p2 20 lg p对于选项 A：可得 p - p = - = 11 2 p p p ，0 0 2
p1 p1
因为 Lp L1 p ，则 Lp - Lp = 20 lg 0 lg 02 1 2 p ，即 ，2 p2
p1
所以 1且 p1, p2 > 0p ，可得
p1 p2 ，故 A 正确；
2
p2 p3 p2
对于选项 B：可得 Lp - Lp = 20 lg - 20 lg = 20 lg2 3 p p p ，0 0 3
p2 p2 1
因为 Lp - Lp = Lp - 40 10 ，则 20 lg 10 lg 2 3 2 p ，即3 p 2
，
3
p2
所以 10 且 p2 , pp 3
> 0，可得 p2 10 p3 ，
3
当且仅当 Lp = 502 时，等号成立，故 B 错误；
p p
对于选项 C：因为 Lp = 20 lg 3 = 40 lg 3，即 = 23 p0 p
，
0
p3
可得 =100p ，即
p3 = 100 p0 ，故 C 正确；
0
D A L - L = 20 lg
p1
对于选项 ：由选项 可知： p1 p2 p ，2
p
且 Lp - Lp 90 - 50 = 40
1
，则 20 lg 401 2 p ，2
lg p1 p即 2 1 100 p , p > 0 p 100 pp ，可得 p ，且 1 2 ，所以 1 2 ，故 D 正确；2 2
故选：ACD.
1．（2024·重庆·模拟预测）物理学家本·福特提出的定律：在b 进制的大量随机数据中，以 n开头的数出现的
n +1
概率为 Pb n = logb ，应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．根据此定律，n
在十进制的大量随机数据中，以 1 开头的数出现的概率大约是以 9 开头的数出现的概率的（ ）倍（参考
数据： lg2 = 0.301, lg3 = 0.477）
A．5.5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得P10 1 = lg2, P10 9 =1- 2lg3，结合对数的运算法则，即可求解.
n +1
【详解】由题意，以 n开头的数出现的概率为Pb n = logb ，n
可得P10 1
10
= lg2, P10 9 = lg = lg10 - lg9 =1- 2lg3，9
P10 1 lg2
所以 = 6.5p10 9 1- 2lg3
.
故选：C.
2．（2024·江西·二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程
中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀初始数值时，DNA
的数量 X n 与扩增次数 n满足 lg X n = n lg 1+ p + lg X 0 ，其中 X 0 为DNA 的初始数量， p 为扩增效率．已知某
被测标本DNA 扩增16次后，数量变为原来的10000倍，则扩增效率 p 约为（ ）
( 参考数据：100.25 1.778,10-0.25 0.562 )
A． 22.2% B． 43.8% C．56.2% D．77.8%
【答案】D
【分析】由题意 X n = 10000X 0 ，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．
【详解】由题意知， lg(10000X 0 ) = 16lg(1+ p) + lgX 0，
即 lg104 + lgX 0 = 16lg(1+ p) + lgX 0 ，即 4 = 16lg(1+ p) ，
所以 lg(1
1
+ p) = = 0.25 ，则1+ p = 100.25 1.778，解得 p 0.778 = 77.8%4 ．
故选：D．
3．（2024·四川·模拟预测）2023 年 6 月 22 日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速350km
自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强 I （单位：W / m2 ）表示声音在传播途
径中每平方米上的声能流密度，声强级 L（单位：dB）与声强 I 的函数关系式为 L = L0lg aI ，其中L0为基
10
准声强级， a为常数，当声强 I = 时，声强级 L = 20dB．下表为不同列车声源在距离 20m处的声强级：
a
声源 与声源的距离（单位：m） 声强级范围
内燃列车 20 50,80
电力列车 20 20,50
高速列车 20 10
设在离内燃列车 电力列车 高速列车 20m处测得的实际声强分别为 I1, I2 , I3，则下列结论正确的是（ ）
A． L0 = 30 B． I1 I2 C． I2 10I3 D． I1 100I2
【答案】B
【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级L0，即可判断 A；计算 L1 - L2 可得 I1, I2大小关系，
即可判断 B，D；计算 L2 - L3可得 I2 , I3大小关系，即可判断.
10
【详解】对于A ：因为声强 I = 时，声强级 L = 20dB，
a
10
所以 L = L

0lg a × ÷ = 20，解得 L0 = 20，故a A 错误；è
I
对于 B L - L = 20 1：因为 1 2 élg aI1 - lg aI2 ù = 20lg 0I ，2
I1
所以 1I ，即
I1 I2 ，故 B 正确；
2
对于 C： L2 - L3 = 20 é lg aI - lg aI ù = 20lg
I2
2 3 20 -10 =10I ，3
I 1
所以 2
1
102 ，即 I 102I 2 I
，故 C 不正确；
3
3
对于 D， L1 - L2 = 20 élg aI1 - lg aI2 ù = 20lg
I1 80 - 20 = 60
I ，2
I1 3
所以 10 ，即 I1 1000II 2 ，故 D 不正确．2
故选：B．
考点三、建立拟合函数模型解决实际问题
1．（全国·高考真题）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国
航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯
联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2点的轨道运行．
L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R， L2点
到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：
M1 M M+ 2 = (R + r) 1
(R + r)2 r 2 R3 .
a r a 3a
3 + 3a 4 +a 5
= 3设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 2 3a ，则 r 的近似值为R (1+a )
M M
A． 2 R B． 2 R
M1 2M1
3M
C． 3 2 R
M
D． 3 2 R
M1 3M1
【答案】D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立a 的方程，解方程、近似计算．题
目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运
算求解能力的考查．
a r【详解】由 = ，得 r = a R
R
M1 M 2 M1
因为 (R + r)2
+ = (R + r)
r 2 R3 ，
M1 M 2
所以 2 2 + 2 2 = (1+a )
M1
R (1 a ) a R R2 ，+
M 5 4 3
即 2 = a 2[(1+a )
1 ] a + 3a + 3a- 2 = 3a
3
，
M1 (1+a ) (1+a )
2
a =3 M解得 2 ，
3M1
3 M
所以 r = a R = 2 R.
3M1
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式
子的变形出错．
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为 AI.它是研究 开发用于模拟
延伸和扩展人的智能的理论 方法 技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使
机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送 机器人测控体温等
都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金 5000 万元，并将其全部投入生
产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，
每年年底各项人员工资 税务等支出合计 1500 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n年年底企业
*
除去各项支出资金后的剩余资金为 an 万元，第m m N 年年底企业的剩余资金超过 21000 万元，则整数m
的最小值为 . lg2 0.3010;lg3 0.4771
【答案】6
【分析】由题意中的递推，得证数列 an - 3000
3
是以 3000 为首项， 为公比的等比数列，求出通项后解不
2
等式 am > 21000即可.
【详解】由题意得， a1 = 5000 1+ 50% -1500 = 7500 -1500 = 6000 ， an+1 = an 1+ 50% -1500
3
= an -1500 .2
3 a - 3000
即 an+1 - 3000
3
= a - 3000 a n ， n+1 - 3000 = 2
n 3
2 =
，
an - 3000 an - 3000 2
n-1
数列 an - 3000
3
是以 3000 为首项， 为公比的等比数列，即 an - 3000
3
= 3000
2 2 ÷
，
è
m-1 m-1
am = 3000
3 + 3000 > 21000 3 ÷ ，即 ÷ > 6，
è 2 è 2
m 1 log 6 lg6 lg2 + lg3 0.3010 + 0.4771 0.7781- > 3 = 3 = = 4.42
2 lg lg3 - lg2 0.4771- 0.3010 0.1761 ，m 6，
2
所以m 的最小值为 6.
故答案为：6.
1．（2024·重庆·二模）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，
强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯学派.机恩斯抽象出三个核
心要素：国民收入Y ，国民消费C 和国民投资 I ，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有：
ìY = C + I
í .其中常数 aC a aY 0表示房租 水电等固定消费，
a a 1 为国民“边际消费倾向”.则（
= + ） 0
A．若固定 I 且 I…0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定Y 且Y…0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
a 4C．若 = ，则收入增长量是投资增长量的 5 倍
5
4 1
D．若 a = - ，则收入增长量是投资增长量的
5 5
【答案】AC
a + I 4
【分析】利用已知可得 a =1- 0 ，可判断 A；由 I = Y -Y ga - a0，可判断 B；若 a = ，可得Y = 5a0 + 5I ，Y 5
由导数的意义可判断 C；同理可判断 D.
ìY = C + I
【详解】由题意可得固定 I 且 I 0，又 í Y = a + aY + I
C = a0 + aY
，所以 0 ，
a 1 a0 + I所以 = - ，由于 a0 , I 为定值，所以可得Y 增大时(国民收入越高)，Y
a增大(“边际消费倾向”越大)，故 A 正确；
由上可得 I = Y -Y ga - a0， a0 ,Y 为定值，故 a增大， I 减小(投资越小)，故 B 错误；
a 4若 = ，由Y = a0 + aY + I ，可得Y = 5a0 + 5I ，5
DY
由导数的定义可得 = 5，所以可得收入增长量是投资增长量的5倍，故 C 正确；
DI
4 5
同 C 项讨论可得若 a = - ，可得9Y = 5a0 + 5I ，因此收入增长量是投资增长量的 倍，故 D 错误.5 9
故选：AC.
1
2．（2024· 2北京朝阳·二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力 f 满足公式 f = rCSv ，其中 r 是
2
空气密度，S 是该飞行器的迎风面积， v是该飞行器相对于空气的速度，C 是空气阻力系数（其大小取决
于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P = fv . 当 r , S 不变， v比原来提高
10% 时，下列说法正确的是（ ）
A．若C 不变，则 P 比原来提高不超过30%
B．若C 不变，则 P 比原来提高超过40%
C．为使 P 不变，则C 比原来降低不超过30%
D．为使 P 不变，则C 比原来降低超过40%
【答案】C
1 2P
【分析】由题意可得 P = rCSv3 C =2 ， rSv3 ，结合选项，依次判断即可.
1 2P
【详解】由题意， f = rCSv2 , P
1
= fv ，所以 P = rCSv3 C =2 2 ， rSv3 ，
A：当 r ,S ，C 不变， v比原来提高10% 时，
P 1则 1 = rCS(1+10%)
3v3 1= rCS(1.1)3v3 =1.33 1× rCSv3
2 2 2 ，
所以 P 比原来提高超过30%，故 A 错误；
B 1：由选项 A 的分析知， P =1.33 × rCSv31 2 ，
所以 P 比原来提高不超过 40%，故 B 错误；
2P 2P 2P
C：当 r ,S ， P 不变， v比原来提高10% 时，C1 = 3 = = 0.75 ×1.1 rSv3 1.33rSv3 rSv3 ，
所以C 比原来降低不超过30%，故 C 正确；
D：由选项 C 的分析知，C 比原来降低不超过30%，故 D 错误.
故选：C
一、单选题
1．（2024·河南三门峡·模拟预测）研究表明，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的
关系为 lgE = 4.8 +1.5M .2024 年 1 月 30 日在新疆克孜勒苏州阿合奇县发生了里氏 5.7 级地震，所释放的能量
E
记为E1, 2024年 1 月 13
1
日在汤加群岛发生了里氏 5.2 级地震，所释放的能量记为E2 ，则比值 E 的整数部分2
为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
lg E1 E1【分析】由对数运算性质可得 E ，进而可得 E ，结合5
4 <1000 < 64可得结果.
2 2
E
lgE = 4.8 +1.5 5.7, lgE = 4.8 +1.5 5.2 lg 1【详解】由已知得 1 2 ，所以 =1.5 0.5 = 0.75E ，2
E 31 =100.75所以 =104 = 4 1000 ，
E2
因为54 <1000 < 64，所以5 < 4 1000 < 6，
E1 4
所以 = 1000 5,6 E .2
故选：B.
2．（2024·北京昌平·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种
绿茶用 90℃的水泡制，再等到茶水温度降至 60℃时饮用，可以产生极佳口感；在 20℃室温下，茶水温度从
90℃ t开始，经过 tmin 后的温度为 y℃，可选择函数 y = 60 0.9 + 20 t 0 来近似地刻画茶水温度随时间变化
的规律，则在上述条件下，该种绿茶茶水达到最佳饮用口感时，需要放置的时间最接近的是（ ）
（参考数据： lg2 0.30, lg3 0.48）
A． 2.5min B． 4.5min C．6min D．8min
【答案】B
【分析】令60 0.9t + 20 = 60，则0.9t
2
= ，两边同时取对将 lg2 0.30, lg3 0.48代入即可得出答案.
3
t
【详解】由题可知，函数 y = 60 0.9 + 20 t 0 ，
2
令60 0.9t + 20 = 60，则0.9t = ，3
t
两边同时取对可得： lg 0.9 = lg
2
，即 t lg
9
= t 2lg3-1 = lg 2 - lg3，
3 10
t lg 2 - lg3 0.30 - 0.48 0.18即 = = = 4.52lg3-1 2 0.48 min .-1 0.04
故选：B.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）若一段河流的蓄水量为 v立方米，每天水流量为 k 立方米，每天往这段河流
r t m t r m r
k
- t
排水 立方米的污水，则 天后河水的污染指数 = + 0 - ÷e v m0 为初始值，m0 > 0 ．现有一条被k è k
污染的河流，其蓄水量是每天水流量的 60 倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要
1
使河水的污染指数下降到初始值的 ，需要的天数大约是（参考数据： ln7 1.95）（
7 ）
A．98 B．105 C．117 D．130
【答案】C
1
- t
【分析】由已知化简函数式得m t = m e 60 ，再利用约 t
1
天后，河水的污染指数下降到初始值的 ，可得方
0 7
1
- t 1 1
程m0e 60
1
= m0 ，然后两边取对数得- t = ln ，最后利用已知的对数值可计算得到结果.7 60 7
v k 1- t - t
【详解】由题意可知： r = 0， = 60
r r
，所以m t = + m - ÷e v = m e 60k k 0 k 0è
1
设约 t
1 - t 1
天后，河水的污染指数下降到初始值的 ，即m0e 60 = m0 ，7 7
1 1
所以- t = ln t = 60ln 7 60 1.95 =117，
60 7
故选：C.
4．（2024·四川凉山·三模）工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量 y （单位：
mg/L）与过滤时间 t -at小时的关系为 y = y0e （ y0 ， a均为正的常数）．已知前 5 小时过滤掉了 10%污染物，
那么当污染物过滤掉 50%还需要经过（ ）（最终结果精确到 1h，参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477）
A．43h B．38h C．33h D．28h
【答案】D
【分析】先确定废气中初始污染物含量，由题意求出常数 a，即可解出．
∵ y t y = y e-at【详解】 废气中污染物含量 与过滤时间 小时的关系为 0 ，
令 t = 0，得废气中初始污染物含量为 y = y0 ，
又∵前 5 小时过滤掉了 10%污染物，
9 10
∴ 1-10% y = y e-5a ln ln0 0 ，则 a = - 10 = 9 ，
5 5
∴当污染物过滤掉 50%时， 1- 50% y0 = y e-at0 ，
ln 1
t 2 ln 2 5ln 2 5lg 2 5lg 2则 = = = 10 = 10 = 33h ，-a a ln lg 1- 2lg3
9 9
∴当污染物过滤掉 50%还需要经过33- 5 = 28h .
故选：D.
5．（2024·江西·模拟预测）酒驾最新标准规定：100ml血液中酒精含量达到 20mg的驾驶员即为酒后驾车，达
到80mg 及以上认定为醉酒驾车．如果某驾驶员酒后血液中酒精浓度为1.2mg / ml ，从此刻起停止饮酒，血
液中酒精含量会以每小时25%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据：
lg2 0.301, lg3 0.477）（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.
t
【详解】由1.2(1- 25%)t < 0.2 3 1．即 ÷ < ，两边取对数可得，
è 4 6
lg 1
t 6 -lg6 lg2 + lg3 0.778> 3 = = = 6.224，lg lg3 - lg4 2lg2 - lg3 0.125
4
故至少经过 7 个小时才能驾驶.
故选：B
6．（2024·全国·模拟预测）某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数 R 与可见叶片数 x 进行分析研究，其关系可
以用函数R =15eax （ a为常数）表示．若玉米幼穗在伸长期可见叶片为 7 片，叶龄指数为 30，则当玉米幼
穗在四分体形成期叶龄指数为 82.5 时，可见叶片数约为（ ）（参考数据： ln2 0.7， ln5.5 1.7 ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【分析】利用函数R =15eax ，由题意已知 x = 7, R = 30，求出待定系数 a 0.1，再用R = 82.5，去求解
x 17 ，当然这里面有取自然对数及取值计算.
【详解】由题意知30 =15e7a ，\e7a = 2，则等式两边同时取自然对数得7a = ln2 0.7，\a 0.1，
\R =15e0.1x ．Q82.5 =15e0.1x ，\e0.1x = 5.5，\0.1x = ln5.5 1.7 ，\ x 17，
故选：C．
7．（2024·全国·模拟预测）青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五
分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L和小数记录法的数据V 满足 L = 5 + lgV ．已知小
明和小李视力的五分记录法的数据分别为 4.5 和 4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为V1,V2 ，
V2
则 V （ ）1
A． (1.5, 2) B． (2, 2.5) C． (2.5,3) D． (3,3.5)
【答案】C
V2 5
【分析】根据题意得到方程组，求出 = 100V ，根据 2.5
5 98 <100 < 35 = 243得到 5 100 2.5,3 .
1
ì4.9 = 5 + lgV2 V
【详解】依题意， í 0.4 = lgV - lgV = lg 2
4.5 5 lgV
，两式相减可得，
= + 2 1
，
1 V1
V2 =100.4故 = 5 100V ，而 2.5
5 98 <100 < 35 = 243，故 5 100 2.5,3 .
1
故选：C．
8．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，
例如，地震时释放的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4.8 +1.5M .2008 年 5 月 12
日我国汶川发生里氏 8.0 级地震，它所释放出来的能量是 2024 年 4 月 3 日我国台湾发生里氏 7.0 级地震的
（ ）倍
8 8
A． B．107 C．10
1.5 D．104.8
7
【答案】C
【分析】由题意分别求得震级M = 8.0和M = 7.0时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比.
【详解】设里氏震级M = 8.0时释放的能量为E1，里氏震级M = 7.0时释放的能量为E2 ，
则 lg E1 = 4.8 +1.5 8 =16.8， lg E2 = 4.8 +1.5 7 = 15.3，
E = 1016.8所以 1 ，E2 =10
15.3
，
E1
所以 =1016.8-15.3 =101.5E ，2
即 2008 年 5 月 12 日汶川地震释放出的能量是 2024 年 4 月 3 日我国台湾发生的地震释放的能量的101.5 倍，
故选：C.
9．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）从甲地到乙地的距离约为 240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q
（单位：L）与速度 v（单位：km/h）（0 v 120）的下列数据：
v 0 40 60 80 120
Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000
为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ）
A．Q = 0.5v + a B．Q = av + b
C．Q = av3 + bv2 + cv D．Q = k loga v + b
【答案】C
【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.
【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为 0,120 ；第二，在定义域单调递增且单位
增长率变快；第三，函数图象过原点.
A 选项：函数Q = 0.5v + a 在定义域内单调递减，故 A 错误；
B 选项：函数Q = av + b的单位增长率恒定不变，故 B 错误；
C 选项：Q = av3 + bv2 + cv 满足上述三点，故 C 正确；
D 选项：函数Q = k loga v + b 在 v = 0处无意义，D 错误.
故选：C
10．（2024·宁夏银川·一模）锂电池在存放过程中会发生自放电现象，其电容量损失量随时间的变化规律为
Q = kt p ，其中 Q（单位mAh ）为电池容量损失量，p 是时间 t 的指数项，反映了时间趋势由反应级数决定，
k 是方程剩余项未知参数的组合，与温度 T 和电池初始荷电状态 M 等自放电影响因素有关．以某种品牌锂
电池为研究对象，经实验采集数据进行拟合后获得 p = 0．5，相关统计学参数R2 > 0．995，且预测值与实际值
误差很小．在研究 M 对 Q 的影响时，其他参量可通过控制视为常数，电池自放电容量损失量随时间的变化
规律为Q = kt P = e( A+BM )tP ，经实验采集数据进行拟合后获得 A = 2.228, B =1.3，相关统计学参数 R2 = 0.999，
且预测值与实际值误差很小．若该品牌电池初始荷电状态为80%，存放 16 天后，电容量损失量约为（ ）
（参考数据为： e3.22 25.08,e3.232 25.33,e3.265 26.26,e3.628 37.64）
A．100.32 B．101.32 C．105.04 D．150.56
【答案】C
【分析】根据题意，得到Q = e(2.228+1.3M ) × t0.5 ，将M = 80% = 0.8， t =16，结合题中所给数据加以计算，即可
得到存放 16 天后电容量损失量近似值.
【详解】根据题意，可得 p = 0.5, A = 2.228, B =1.3，
代入Q = kt P = e( A+BM )t p ，可得Q = e(2.228+1.3M ) × t0.5 ，
因为该品牌电池初始荷电状态M = 80% = 0.8，
所以存放 16 天后，电容量损失量Q = e(2.228+1.3 0.8) ×160.5 = 4e3.265 4 26.26 =105.4 .
故选：C.
一、单选题
1．（2024·陕西渭南·二模）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究可知：在室
温 25oC下，某种绿茶用85o C的水泡制，经过 xmin后茶水的温度为 yoC，且 y = k ×0.9227x + 25 x 0, k R .当
茶水温度降至60o C时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为（ ）
（参考数据： ln2 0.69, ln3 1.10, ln7 1.95, ln0.9227 -0.08）
A．6min B．7min C．8min D．9min
【答案】B
【分析】根据初始条件求得参数 k ，然后利用已知函数关系求得口感最佳时泡制的时间 x ．
【详解】由题意可知，当 x = 0时， y = 85，则85 = k + 25，解得 k = 60，
所以 y = 60 0.9227x + 25，
当 y = 60
7
时，60 = 60 0.9227x + 25，即0.9227x = ，12
ln 7
则 x = log 7 = 12 ln 7 - ln120.9227 =12 ln 0.9227 ln 0.9227
ln 7 - 2ln 2 - ln 3 1.95 - 2 0.69 -1.10
= 7，
ln 0.9227 -0.08
所以茶水泡制时间大的为 7 min.
故选：B.
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）中国地震台网测定：2024 年 4 月 3 日，中国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级
地震.已知地震时释放出的能量 E（单位：焦耳）与地震里氏震级 M 之间的关系为 lg E = 4.8 +1.5M ，2011 年 3
月 11 日，日本东北部海域发生里氏 9.0 级地震，则它所释放出来的能量约是中国台湾花莲县海域发生里氏
7.3 级地震的多少倍？（ ）
A．98 B．105 C．355 D．463
【答案】C
【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数.
【详解】由题设，
9.0 E =104.8+1.5 9日本东北部海域发生里氏 级地震所释放出来的能量 1 ，
4.8+1.5 7.3
中国台湾花莲县海域发生里氏 7.3 级地震所释放出来的能量E2 =10 ，
E 104.8+1.5 9
所以 1 = 4.8+1.5 7.3 =10
2.55 355 .
E2 10
故选：C.
3．（2024·福建福州·模拟预测）当药品A 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时 25%的速度减少，
另一种药物 B 注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10% 的速度减少．现同时给两位患者分别注
射800mg 药品 A 和500mg药品 B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参
考数据： lg2 0.301, lg3 0.477）
A．0.57h B．1.36h C． 2.58h D．3.26h
【答案】C
【分析】设经过 t 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算
可得．
【详解】设经过 t 小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，
t
由题意得：800 1- 25% t = 500 1-10% t 5 5，整理得： 6 ÷ = ，è 8
t lg 5 lg 5两边取常用对数得： = ，即 t lg5 - lg 6 = lg5 - lg86 8 ，
即 t(1- 2lg 2 - lg3) = 1- 4lg 2，
t 1- 4lg 2= t 1- 4 0.301所以 2.581- 2lg 2 - lg3，即 1- 2 0.301- 0.477 ，
所以大约经过 2.58h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．
故选：C．
4．（2024·浙江杭州·二模）某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单
一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.
假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的 1 株变成 100 万株大约需要
（ ）（参考数据： lg 2 0.301）
A．40 年 B．30 年 C．20 年 D．10 年
【答案】C
【分析】设该外来入侵植物由入侵的 1 株变成 100 万株大约需要 x 年，根据题意列出方程，再根据对数的运
算性质计算即可.
【详解】设该外来入侵植物由入侵的 1 株变成 100 万株大约需要 x 年，
由题意知，1 2x =1000000，即 2x =106，
所以 x = log2 10
6 = 6log2 10
6lg10 6
= 20
lg 2 0.301 ，
即由入侵的 1 株变成 100 万株大约需要 20 年.
故选：C.
5．（23-24 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病
微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧
化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1% .经测定，刚下课时，空气中含有0.2% 的二氧化碳，若开窗通风后
t
教室内二氧化碳的浓度为 y% ，且 y 随时间 t （单位：分钟）的变化规律可以用函数 -y = 0.05 + le 11 描述，则
该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据： ln3 1.1）（ ）
A．11 分钟 B．13 分钟 C．15 分钟 D．17 分钟
【答案】B
【分析】由题意解出解析式中的参数，后解对数不等式求解即可.
【详解】由题意得，当 t = 0时， y = 0.2，将其代入解析式，解得l = 0.15，
t
- t
t
- 1
故解析式为 y = 0.05 + 0.15e 11，令
-
0.05 + 0.15e 11
11
0.1，解得 e ，3
化简得 t 11ln3，结合 ln 3 1.1，可得 t 12.1，
所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为 13 分钟.
故选：B.
二、多选题
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始
温度为q1°C，空气温度q0°C 保持不变，则 t 分钟后物体的温度q （单位：°C）满足：
q = q + q -q e-0.05t0 1 0 ．若空气温度为10°C，该物体温度从q1°C（90 q1 100）下降到30°C，大约所需的
时间为 t1 ，若该物体温度从70°C，50°C下降到30°C，大约所需的时间分别为 t2 , t3，则（ ）（参考数据：
ln 2 0.7, ln 3 1.1）
A． t2 = 20 B． 28 t1 30 C． t1 2t3 D． t1 - t2 6
【答案】BC
q -10
【分析】当q = 30时，可求得 t1 = 20ln 1 ，继而求得 t2 , t3，逐项判定即可.20
q =10 + q -10 e-0.05t【详解】有题意可知， 1 ，
q = 30 30 =10 + q -10 e-0.05t当 ，则 11 ，
e-0.05t 20 201即 = ，-0.05t1 = lnq1 -10 q1 -10
，
t 20ln q1 -10则 1 = ，20
其是关于q1的单调递增函数，
当q1 = 90
90 -10
时， t1 = 20ln = 20ln 4 = 40ln 2 28，20
当q1 =100 时， t1 = 20ln
100 -10
= 20ln 9 = 20 2ln 3- ln 2 30，
20 2
则 28 t1 30 ，故 B 正确；
q = 70 t 20ln 70 -10当 1 时， 2 = = 20ln 3 22，20
故 A 错误；
q = 50 t 20ln 50 -10当 1 时， 3 = = 20ln 2 14，20
此时满足 t1 2t3 ， t1 - t2 6 ，故 C 正确，D 错误，
故选：BC.
7．（2024·辽宁·二模）半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用 f (t) 表示
从 t = 0开始，晶体管数量随时间 t 变化的函数，若 f (0) = 1000，则下面选项中，符合摩尔定律公式的是
（ ）
1000
A．若 t 是以月为单位，则 f (t) = 1000 + t
24
B．若 t 是以年为单位，则 f (t) = 1000 ( 2)t
C．若 t
lg 2
是以月为单位，则 lg f (t) = 3 + t
24
lg 3 t +1
D．若 t 是以年为单位，则 ÷lg f (t) = 3 + è 2
2
【答案】BC
【分析】对 AC，计算 f (24), f (48), f (72) ，满足 f (24) = 2 f (0), f (48) = 2 f (24) ， f (24n) =1000 2n ，
n N*，可确定，对 CD，计算 f (2), f (4), f (6) ，满足 f (2) = 2 f (0), f (4) = 2 f (2) ， f (2n) =1000 2n ，
n N*，可确定．
【详解】选项 A， f (24) = 2000 = 2 f (0)， f (48) = 3000 2 f (24)，A 不符合；
选项 B， f (2) = 2000 = 2 f (0)， f (4) = 4000 = 2 f (2) ， f (2n) =1000 2n ， n N*，符合；
lg f (t) 3 lg 2
lg 2 t
选项 C， = + t ，则 3+ t
24 f (t) =10
24 =1000 224 ， f (24) = 2 1000 ， f (48) = 4000 = 2 f (24)，
f (24n) =1000 2n ， n N*，符合，
lg 3 1
选项 D，
t +1÷ 3
lg f (t) = 3 + è 2 ， f (t) =1000 ( t +1)
2 ，
2 2
1
f (2) = 2 1000 = f (0)， f (4) =1000 72 2 f (2)，不符合．
故选：BC．
8．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组
成，并带有放射性，会发生b 衰变，其半衰期是 12.43 年.样本中氚的质量 N 随时间 t (单位:年)的衰变规律满
t
足 -N = N × 2 12.43 ，其中 N0 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据: lg 2 0.301)0
A． t = 12.43log
N
2 N0
B．经过 24.86年后，样本中的氚元素会全部消失
1
C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的
32
D．若 x 年后，样本中氚元素的含量为0.4N0 ，则 x >16
【答案】CD
【分析】利用给定式子进行化简判断 A，代入求值判断 B，C，解方程求出 x ，再判断 D 即可.
t N t-
【详解】由题意得 -N = N × 2 12.43 ，故有 = 2
12.43 ，
0 N0
N t N
左右同时取对数得 log2 = - ，故得 t = -12.43logN0 12.43
2 N ，故 A 错误，0
24.86
-
当 t = 24.86时， N = N 10 ×2 12.43 = 2
-2 × N0 = N0 ，故 B 错误，4
62.15
- 1
而当 t = 62.15时， N = N0 ×2 12.43 = 2
-5 × N0 = N ，32 0
1
得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 ，故 C 正确，
32
x
-
由题意得0.4N = N × 2 12.43 ，化简得 x 12.43log
0.4N0 2= - 2 = -12.43logN 2 5 ，0 0 0
12.43(log 2 log 5) 12.43(1 log 5) lg5 1- lg 2= - 2 - 2 = - - 2 = -12.43(1- ) = -12.43(1- )lg 2 lg 2 ，
将 lg 2 0.301
1- 0.301
代入其中，可得 x -12.43

1- ÷ =16.43 >16，故 D 正确.
è 0.301
故选：CD
三、填空题
9．（2024·广东广州·模拟预测）“阿托秒”是一种时间的国际单位，“阿托秒”等于10-18 秒，原子核内部作用过
程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子 天下》中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之
棰”的长度看成 1 米，按照此法，至少需要经过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在 2“阿托秒”内走过的
距离.（参考数据：光速为3 108 米/秒， lg2 0.3, lg3 0.48）
【答案】31
1
n

【分析】依题意可得尺子经过 n天后，剩余的长度 f n = ÷ 米，结合对数运算可得结果.
è 2
【详解】依题意，光在 2“阿托秒”内走的距离为 2 10-18 3 108 = 6 10-10 米，
1 n 1 nn -10 经过 天后，剩余的长度 f n = 米，由 f n < 6 10 ，得 < 6 10-10 2 ÷ 2 ÷ ，è è
lg 6 10-10 n log 6 10-10 10 - lg6 10 - lg2 + lg3 10 - 0.78两边同时取对数，得 > 1 = 1 = = 30.73
2 lg lg2 lg2 0.3
，
2
而 n N*，则 n = 31，所以至少需要经过 31 天才能使其长度小于光在 2“阿托秒”内走的距离.
故答案为：31.
10．（2024·河南洛阳·模拟预测）在高度为3.6m的竖直墙壁面上有一电子眼A ，已知A 到天花板的距离为 2.1m ，
电子眼A 的最大可视半径为0.5m．某人从电子眼正上方的天花板处贴墙面自由释放一个长度为 0.2m 的木棒
（木棒竖直下落且保持与地面垂直），则电子眼 A 记录到木棒通过的时间为 s．（注意：位移与时间的函
数关系为 s
1
= gt 2 ，重力加速度 g 取10m / s2 ）
2
13 - 7
【答案】
5
【分析】由题意中的函数关系建立方程组，解之即可求解.
【详解】由已知得，木棒做自由落体运动，
设从开始下落到木棒的下端开始进入电子眼的视线和木棒的上端开始离开电子眼的视线所需要的时间分别
为 t1s, t2s，
位移分别为 s1 = 2.1- 0.5 - 0.2 =1.4, s2 = 2.1+ 0.5 = 2.6 ，
ì ì 1.4
1.4
1
= gt 21 t 2 1
=
5
所以 í ，则 í ，
2.6 1= gt 2 2.6
2 2 t2 = 5
A t t 2.6 1.4 13 - 7所以电子眼 记录到木棒通过的时间为 2 - 1 = - = ．5 5 5
13 - 7
故答案为：
5
1．（四川·高考真题）某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度 x （单位：℃）满足函数关系 y = ekx+b
（ e = 2.718...为自然对数的底数， k,b为常数）.若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在 22 ℃的保鲜时间
是 48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是
A．16 小时 B．20 小时 C．24 小时 D．21 小时
【答案】C
【详解】试题分析： ，两式相除得 ，解得 ，
那么 ，当 时 ，故选 C．
考点：函数的应用
2．（全国·高考真题）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，
由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压
500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配
货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名
【答案】B
【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】由题意，第二天新增订单数为500 +1600 -1200 = 900，
900
=18，故至少需要志愿者18名.
50
故选：B
【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
3．（北京·高考真题）顾客请一位工艺师把A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成
这
项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都
完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
工序
时间 粗加工 精加工
原料
原料A
9 15
原料 B
6 21
则最短交货期为 工作日.
【答案】42
【详解】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以徒弟完成原料 B 的 6 小时后,师傅开始工作,
在师傅后面的 36 小时的精加工内,徒弟也同时完成了原料 A 的粗加工.所以前后共计6 +15 + 21=42 小时.
考点：本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑推理能力，考查分析问题与解决问题的能力.
4．（上海·高考真题）根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999 年上海市完成 GDP（GDP
是指国内生产总值）4035 亿元，2000 年上海市 GDP 预期增长 9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自
然增长率将控制在 0.08%，若 GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均 GDP 达到或超过 1999 年
的 2 倍，至少需 年．
按：1999 年本市常住人口总数约 1300 万．
【答案】9
n 4035 1+ 9%
n
4035
【分析】计算 年后上海市的 GDP 和人口，根据题意得到 2 ，解得答案.
1300 1+ 0.08% n 1300
【详解】 n年后，上海市的 GDP 为 4035 1+ 9% n，人口为1300 1+ 0.08% n，
4035 1+ 9% n 4035 1+ 9% n
根据题意： n 2 ，化简得到 2，1300 1+ 0.08% 1300 1+ 0.08% n
即1.09n 2 1.0008n，即 n lg1.09 lg 2 + n lg1.0008，
n lg 2解得 8.1lg1.09 lg1.0008 ，故至少需要 9 年.-
故答案为：9

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