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第 06 讲 平面向量中的范围与最值问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识
点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前
两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
1. 模长的范围及最值
r r
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 a2 =| a |2 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2. 夹角的范围及最值
类别 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x12＋y21· x22＋y22
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、模长的范围及最值问题
r r r r
1 · a c (ar cr) (b cr
r
．（浙江 高考真题）已知 ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 - × - ) = 0，则 c
的最大值是
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由于 垂直，不妨设 ， ， ，则 ，
， 表示 到原点 的距离，
表示圆心 ， 为半径的圆，因此 的最大值 ，故答案为 C．
考点：平面向量数量积的运算．
v v v v v v v v
2．（湖南·高考真题）已知 a,b是单位向量， agb = 0 .若向量 c满足 c - a - b =1,则 c
v
的取值范围是（ ）
A． é 2-1，, 2+1ù é ù B． 2-1，, 2+2
C． é 1，, 2+1ù D． é 1，, 2+2ù
【答案】A
r r r r r
【详解】因为 c - a
r
- b =1 r r r r r r， c - (a + b) =1，做出图形可知，当且仅当 c 与 (a + b)方向相反且 c - a + b =1
r r r r r r r r
时， c 取到最大值；最大值为 2 +1；当且仅当 c 与 (a + b)方向相同且 a + b - c =1时， c 取到最小值；最
小值为 2 -1 .
uuuv uuuuv uuuuv
3．（四川·高考真题）已知正三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面 ABC 内的动点 P , M 满足 AP =1， PM = MC ，
uuuuv 2
则 BM 的最大值是
43
A B 49 C 37 + 6 3 D 37 + 2 33． ． ． ．
4 4 4 4
【答案】B
【详解】
uuur uuur uuur
试题分析：甴已知易得 ADC = ADB = BDC =120° , DA = DB = DC = 2 .以D为原点，直线DA为 x 轴建
uuur 2
立平面直角坐标系，则 A 2,0 , B -1,- 3 ,C -1, 3 . 设P x , y , 由已知 AP =1，得 x - 2 + y2 =1，又
uuuur uuuur uuuur
PM MC , M x -1, y + 3 , BM x +1, y + 3 3

= \ ÷÷ \ =2 2 2 2 ÷÷
,
è è
2
uuuur2 x -1
2 + y + 3 3 2
\BM = ，它表示圆 x - 2 + y
2 =1上点 x .y 与点 -1,- 3 3 1距离平方的 ，
4 4
uuuur
2
2
\ BM 1 2= 2 3 + -3 3 1 49+ ÷ = ，故选 B．
max 4 è 4
考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.
r r r r r r r r r1．（2024·全国·模拟预测）已知 a,b ,c 为单位向量，且 3a - 5b = 7 ，则 2a - c + b - 2c 的最小值为（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D．6
【答案】B
r r r
【分析】由 3a
r
- 5b = 7 r 1 r，得 a ×b = - ，可得 a - b = 3 ，由
2
r
2ar cr b r r r
r r r r
- + - 2c = 2a - c + 2b - c 2a - 2b = 2 3 ，当等号成立时可得最小值.
r r r r r r
【详解】 a,b ,cr r r为单位向量，有 a = b = c =1，得 a2 = b 2 = c 2 =1，
r r r r 2 r r r r
由 3a - 5b = 7 ，得 3a - 5b = 9a2 - 30a ×b + 25b 2 = 49，
r r ra b 1 ar,b 2π有 × = - ，所以 = ，
2 3
ar
r r 2 r r
- b = ar - b ar2 2ar= - ×b + b 2 = 3 ，
r
b cr
r r r r
= =1，b ,cr cr= ,b ，有 b - 2c
r 2b cr= - ，
2ar cr
r r r
则 - + b - 2c
r 2ar cr 2b cr= - + - 2ar - 2b = 2 3 ，
r r r r
当且仅当 2a - c 与 2b - c 方向相反时“ = ”成立，
r r a 1,0 ,b 1 3 r
1 3
如取 = = - ,2 2 ÷÷
,c = , ÷÷时，可使“ = ”成立.
è è 2 2
r r r所以 2a - c + b - 2cr = 2 3 .
min
故选：B．
【点睛】关键点点睛：
r r r r r r
本题关键点是由已知条件得 b - 2c = 2b
r r r r r r r r
- c ，这样就能得到 2a - c + b - 2c = 2a - c + 2b - c 2a - 2b .
r r r 1 r r r2 r
r r r r 2 r r 2
．（23-24 高二上·四川·阶段练习）已知平面向量 a,b 满足 a = b = a ×b =1， 2 | c |2 = b ×c ，则 c - a + c - b
2
的最小值是 .
7
【答案】 - 3
2
【分析】根据余弦定理求解长度，进而可判断点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，进而根据三点共线求解最值.
【详解】
uuur r uuur r uuur r
令OA = a，OB = b，OC = c，OB中点为D，OD 中点为F ，E 为 AB 中点，
r 1 r r r r r r r r r r r
由 a = b = a ×b =1，得 a ×b = a × b cos a,b =1 2cos a,b =1，
2
r r 1
即 cos a,b = ，即 AOB = 60°，
2
所以 AB = 22 +12 - 2 = 3 ，即有 AO2 + AB2 = OB2 ，
即 OAB = 90°、 ABO = 30° ,
故EF = BF 2 + BE2 - 2BF × BE cos 3 ABO = ，
2
r
由 2 | cr |2 = b cr× ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2OC OC OB OC 2OC OC 1
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 × - × = × - OB ÷ = 2OC × OC - OD = 2OC × DC = 0 ，
è 2


即有OC ^ CD ，故点C 的轨迹为以OD 为直径的圆，
由CB2 = BE2 + CE2 - 2BE ×CE cos BEC ，
CA2 = AE2 + CE2 - 2AE ×CE cos 180° - BEC ，
故CA2 + CB2 = AE2 + BE2 + 2CE2，
cr ar 2 cr
r 2
- + - b = CA2 + CB2 = AE2 + BE2则 + 2CE2
3
= + 2CE2 ，
2
故当F 、C 、E 三点共线，且点C 在点F 、E 之间时，CE最小，
CE EF 1此时 = - OD 3 1= - ，
2 2 2
2
cr r 2
r 2
故 - a + cr b 3 3 3 1 7- = + 2CE2 + 2 - ÷÷ = - 3 .2 2 è 2 2 2
7
故答案为： - 3 .
2
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于利用平面向量的几何意义得到各向量所表示的有向线段的关系，
从而将问题化为点到圆上的点的距离的最小值问题，由此得解.
r r r r r r
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量 a，b 为单位向量，且 a ×b
1
= - r，向量 c 与 ar+3b 共线，则 | b + c
r |
2
的最小值为 .
21
【答案】
14
r r r r
【分析】令 c = t(a + 3b),t R r ，利用向量模的计算公式把 | b + c |表示成 t 的函数，求出函数最小值即可.
r r r r r r
【详解】因向量 c 与 a +3b 共线，令 c = t(a + 3b),t R ，
r r r r r r r r 1
则b + c = ta + (1+ 3t)b ，而向量 a，b 为单位向量，且 a ×b = - ，2
r r r r 2 r 2 r r r2
于是得b + c = ta + (1+ 3t)b = ta + 2t(1+ 3t)a ×b + (1+ 3t)2b
5 3 21= 7t 2 + 5t +1 = 7(t + )2 + ，14 28 14
t 5当且仅当 = - 时取“=”，
14
r
| b + cr | 21所以 的最小值为 .
14
21
故答案为：
14
r r r r r r r r r r r r
4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量 a,b ,c 满足： a = b = 10, c = 2，若 c - a × c - b = 0 ，则 a - b 的
最小值为 ．
【答案】2
r r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2
【分析】先利用 a
r b 1× = ar + b - ar - b 和 ar + b + ar - b = 40证明4 28 - ar r- b 4 40 - a - b ，再解不
r r 2 r r r r r
等式得到 28 - a - b 24，从而有 a - b 2，再验证 a = 3,1 r，b = 3,-1 ， c = 2,0 时 ar - b = 2 ，即得到
ar
r
- b 的最小值是 2.
r r 1 r r2 2 r r
【详解】由于 a ×b = a + b + 2a ×b -4
r r ra2 b 2 2ar 1 r
r 2 r r 2 1 r r 2 r r 2
+ - ×b = a + b - a - b = a + b - a - b ，4 4
且 r r 2a b ar r 2 r 2 r 2 r r r 2 r 2b a b 2a b a b 2ar r r 2 r 2+ + - = + + × + + - ×b = 2 a + b = 2 10 +10 = 40，
r r r r r r r
故有0
r r r r r r r r r r r r r
= c - a × c - b = c 2 - a + b ×c + a ×b c 2 - a + b c + a ×b = 4 - 2 a + b + a ×b
r r 1 r r 2 r r 2 r r 1 r 2 r 2 r 2
= 4 - 2 a + b + a + b - a - b = 4 - 2 a + b + 40 - 2 ar - b = 4 - 2 40 r 1 r- a - b + 40 - 2 a - b4 4 4
r 2 r 2
=14 2 40 ar b 1- - - - ar - b ，
2
r 2 r 2 r 2
所以 28 - ar - b 4 40 - ar - b ，记 28 - a
r
- b = x 2，则有 x 4 x +12 ，从而 -12 x 0或 x 16 x +12 ，
即-12 x 0或8 x 24 .
r 2 r r
总之有 x 24
r
，故 28 - a - b 24，即 a - b 2 .
r r r r
存在 a = 3,1 ，b = 3,-1 ， cr = 2,0 r r时条件满足，且此时 a - b = 2 ，所以 a - b 的最小值是 2.
故答案为：2.
r r r r r r
【点睛】关键点点睛：对于 a - b 的最小值问题，我们先证明 a - b 2，再给出一个使得 a - b = 2 的例子，
r r
即可说明 a - b 的最小值是 2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.
r r r r r r r
5．（23-24 r高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 a = 3 ， b =1， a ×b = 0， c + a + c - a = 4 ，
r r r r r
d 2 - 4b ×d + 3 = 0，则 c - d 的最大值为（ ）
A 2 21
31
． +1 B 4 C 4 21． ． + 2 D．
3 3 3
【答案】A
r r
【分析】由题意首先得出 c - d 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为
椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
r uuur r uuur uuur uuur不妨设 a = OA = 3,0 ,b = OB = 0,1 ,OC = m,n ,OD = p, q , A1 - 3,0 ，
r r r
满足 a = 3 ， b =1， ar ×b = 0，
又 c
r
+ ar + cr ar 2 2- = 4 ，即 m + 3 + n2 + m - 3 + n2 = 4 = 2a > 2c = 2 3 = A1A ，
由椭圆的定义可知点C 在以 A1, A为焦点，长轴长为 4 的椭圆上运动，
a = 2,c = 3,b = a2 - c2 = 4 - 3 =1，
x2
所以该椭圆方程为 + y2 =1，
4
r r r
而d 2 - 4b ×d + 3 = 0，即 p2 + q2 - 4q + 3 = 0 ，即 p2 + q - 2 2 =1，
2
这表明了点D在圆 x2 + y - 2 =1上面运动，其中点E 0,2 为圆心， r =1为半径，
r uuur uuur
又 c
r
- d = OC - OD = CD CE + ED = CE +1，等号成立当且仅当C, D, E 三点共线，
故只需求 CE 的最大值即可，
x2
因为点C + y2 =1在椭圆上面运动，所以不妨设C 2cos ,sin ，
4
所以 CE = 4cos2 + sin - 2 2 = 4 1- sin2 + sin2 - 4sin + 4 = -3sin2 - 4sin + 8 ，
sin -4 2所以当 = - = -2 C, D, E -3 3 且 三点共线时，
r r 2c - d 2 2 2 21有最大值 CE +1 = -3 - - 4 - + 8 = +1.
max 3 ÷ ÷è è 3 3
故选：A.
【点睛】关键点睛：解题的关键是将向量问题转换为圆锥曲线中的最值问题来做，通过数学结合的方法巧
妙的将几何问题融入代数方法，从而顺利得解.
r r r 1 r r r r p
6．（21-22 r高一下·浙江·阶段练习）已知 | a |=| b |=| cr |=1， a ×b = ， áa,c + áb ,c = ．若m,n R ，则
2 3
r r
| mar - nb | + | mar r r- c | + | nb - c |的最小值为（ ）
A 0 B 3． ． C．1 D． 3
2
【答案】D
【分析】根据给定条件，画出图形，确定点 C 的位置，再利用向量模的几何意义，借助对称思想求解作答.
r r
uuur r uuur r uuur r
【详解】令OA = a,OB = b,OC = c，依题意， cos
a ×b 1 p
AOB = r r = ，而0 AOB p ，则 AOB = ，
| a || b | 2 3
ar
r
因 á ,c
r r p p
+ áb ,c = ，则有点 C 在半径为 1，所含圆心角为 的扇形 AOB的弧 AB 上，如图，
3 3
r r r r
因m,n R
r
，则 | ma - nb |表示直线OA上的点 Q 与直线OB上的点 P 间距离， | ma - c |、 | nb r- c |分别是点 C
到点 Q，P 的距离，
r
| mar nb | | mar
r
因此， - + - cr | + | nb - cr |表示三点 Q，P，C 两两距离的和，
作点 C 关于直线 OA 对称点 N，关于直线 OB 对称点 M，连 MN 交 OA，OB 分别于点 F，E，连 FC，EC，
ON，OM，
则有FC = FN , EC = EM
p
，令 COA = ，则 MOB = COB = - ， AON = ，
3
于是得 NOM = 2 + 2(
p
- ) 2p= ，而ON = OM = OC =1，
3 3
由余弦定理得MN = ON 2 + OM 2 - 2ON ×OM cos NOM = 3 ，
因此，CF + FE + CE = NF + FE + EM = NM = 3 ，
对于直线OA上任意点 Q、直线OB上任意点 P，连接 CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，
则CQ = NQ,CP = PM ，CQ + QP + CP = NQ + QP + PM PN + PM MN ，当且仅当点 Q 与 F 重合且点 P 与
点 E 重合时取“=”，
r r
| mar nb | | mar cr | | nb r从而得 - + - + - c |= CQ + QP + CP MN = 3 ，
r r
所以 | mar - nb | + | mar - cr | + | nb r- c |的最小值为 3 .
故选：D
【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以借助向量的几何意义，作出符合要求的图形，
数形结合求解作答.
考点二、夹角的范围及最值问题
uuur uuur uuur uuur
1．（2024·广东江门·二模）设向量OA = (1, x),OB = (2, x) ，则 cosáOA, OB 的最小值为 .
2 2 2
【答案】 / 2
3 3
uuur uuur
【分析】先求得 cosáOA, OB 的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.
uuur uuur 2
【详解】 cosáOA,OB
2 + x
=
2 2 ，令 2 + x
2 = t(t 2)，则 2
x +1 x + 4 x = t - 2，
uuur uuur
cosáOA,OB t 1 1 = = =
所以 (t -1)(t + 2) 1 1 2
2
+ - 1 1 9 ，
t t 2 -2 - ÷ +è t 4 8
1 1 uuur uuur
当 = ，即 t = 4, x2 = 2时， cosáOA, OB 2 2取得最小值，且最小值为 ．
t 4 3
2 2
故答案为：
3
r r r r r r r r r r2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量 a,b , xr, yr 满足关系 a = y - x,b = mx - y m 2 ，又设 a与b 的模均
r r
为 1 且互相垂直，则 x 与 y 的夹角取值范围为 .
[arccos 3 10【答案】 , p )
10 4
r r r r r r
【分析】用 a与b 表示出向量 x, y ，利用平面向量数量积结合夹角公式求出 cosáx, y 即可计算作答.
r r r r ur r r
m 2 r r r r r a + b ma + b【详解】当 时，由 a = y - x,b = mx - y 得： x = , y = ，
m -1 m -1
r r r r
因 a与b 的模均为 1 且互相垂直，即有 a ×b = 0 ，
r ur r r r rr r 2 2 ur ur2 2 (a + b) × (ma + b) m +1
则 | x |= x = ,| y |= y m +1= ， x × y = = ，
m -1 m -1 (m -1)2 (m -1)2
r r
cos xr, yr x × y m +1 1 1á =
| xr || yr
= = =
则有 | 2 × m2 +1 2 2 2× - +1 2 ( 1 1 1- )2 + ，
(m +1)2 m +1 m +1 2 4
r r
0 1 1< 2 r r 3 10 3 10 r r p而 ，于是得
m 1 3 < cosáx, y
，又0 áx, y p ，则 arccos áx, y < ，
+ 2 10 10 4
r yrx 3 10所以 与 的夹角取值范围为[arccos , p ) .
10 4
é
arccos 3 10

故答案为： ê ,
π
÷÷
10 4
【点睛】思路点睛：用向量基本定理解决问题，利用已知的不共线的两个向量为基底，将问题中的向量用
该基底表示出，再通过向量的运算来解决.
r uuur r uuur r uuur uuur uuur uuur 2
3．（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知平面向量 a = OA，b = OB， c = OC ，满足 4OC × AC =1- OA ，
uuur uuur uuur 2 r r r r
4OB ×CB =1- OC ，则向量 a - 4b 与 c - 2b 所成夹角的最大值是（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
r2 r r r 2
【分析】由向量线性运算和数量积的定义和运算律可化简已知等式得到 4c - 4a ×c =1- a ，
r r r r
r r 2
a - 4b
2 2 3
4b - 4b ×c =1- c ，根据向量夹角公式，结合推导出的等式可化简得到 cos = + ，利4 r r 24 a - 4b
3
用基本不等式可求得 cos ，由此可得 的最大值.
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2【详解】Q4OC × AC = 4OC × OC - OA = 4 OC - 4OC ×OA =1- OA ，
r2 r r r 2 r2 r r r 2 r r 2
即 4c - 4a ×c =1- a ，\4c - 4a ×c + a = 2c - a =1；
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur uuur 2Q4OB ×CB = 4OB × OB - OC = 4 OB - 4OB ×OC =1- OC ，
r2 r r r2 r2 r r r2 r r 2
即 4b - 4b ×c =1- c ，\4b - 4b ×c + c = 2b - c =1；
r r r r
设向量 a - 4b 与 c - 2b 所成夹角为 ，
r r r ra - 4b × c - 2b r r r r r r r2
cos a ×c - 2a ×b - 4b ×c + 8b\ = r r r r = 2 2 r r 2a - 4b × c - 2b a - 4b
r r r r r r 1 r 2 r r r2 1 r r 2 32 2a ×c - 2a ×b +1- c + 4b a -1 +1- 2a ×b + 4b a - 4b +
= = 4 = 4 4
r r 2 r r 2 r r 2a - 4b a - 4b a - 4b
r r 2 r r 2a - 4b 3 a - 4b 3 3 r r
= +
4 r r
2 ×
2 4 r r
= （当且仅当 a - 4b = 3 时取等号）；
2
4 a - 4b 4 a - 4b 2
又 0, π π，\ max = .6
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量夹角最值的求解问题，解题关键是能根据向量夹角的计算公式，将向
r r 2
量夹角的余弦值表示为关于 a - 4b 的函数的形式，利用基本不等式求解函数的最小值即可得到夹角的最
大值.
r r r r r r r
1．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量 a 与b 的夹角为锐角， c为b 在 a 方向上的投影向量，且 | c |=| a |= 2，
r r r r
则 a + b + c 与b 的夹角的最大值是 ．
π
【答案】
6
r r r r r r 2 r r r r r
【详解】先通过向量的定义得到 c = a ，从而a ×b = 4，通过 2a + b 求出 2a + b ，再求出 2a + b ×b ，利用
r r r2a + b ×b
cos = r r r 表示夹角，进而利用基本不等式求最值.
2a + b b
r r r r r r r
【分析】因为 c = a ,c为b 在 a 方向上的投影向量，且 a 与b 的夹角为锐角，
r r r r r r r
所以 c = a ，故 a + b + c = 2a + b ．
r r r r r r
因为 a ×b = a × c = 4，且 a ×b > 0 ，
r r r
所以a ×b = 4．设 b = x > 0，
r r 2 r 2 r r r2
则 2a + b = 4a + 4a ×b + b = 4 22 + 4 4 + x2 = 32 + x2，
r r
2a + b = 32 + x2 r r r r r r2故 ．又 2a + b ×b = 2a ×b + b = 2 4 + x2 = 8 + x2 ．
r r r 2r r r 2a + b ×b 8 + x2 8 + x2
设2a + b与b 的夹角为 ，所以 cos = r r r = = ．
2a + b b 32 + x2 × x x2 32 + x2
2 2é3x + 32 + x2 ù
2 2 2因为3x 32 + x ê ú = 4 8 + x2 （当且仅当3x2 = 32 + x2 ，即 x = 4时取等号），
ê 2 ú
2 2
2 2 4 2 2 8 + x 所以 x 32 + x 8 + x 3，即 ，3 x2 32 + x2 4
π
故 cos 3 ．又0 π，所以0 ．
2 6
r r r r π
故 a + b + c 与b 的夹角的最大值是 ．6
π
故答案为： .
6
【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何
意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即
利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然
后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
r r r r r r r 1 ur
2．（21-22 高三上·浙江温州·期末）已知平面向量 a,b满足 a = a + b =1， a ×b = - ，向量 p 满足
2
ur r r ur ur r
p = 2 - l a + lb，当 p 与 p - a的夹角余弦值取得最小值时，实数l 的值为 .
6
【答案】
3
r r r r 2 r 2 r 2 r r r r r
a = a + b 1
r
【详解】由 得 a = a + b + 2a ×b ，又 a =1， a ×b = - 则 b =1
2
r r 1 r r 2 r r r ra b 2由 × = - ，可知 a,b = p ，即向量 a,b满足 a = b =1，且夹角为 p
2 3 3
uuur r uuur r uuur ur
取OA = a，OB = b ，OP = p ， A、B分别是线段OD ，OC 的中点，
2
则OD = OC = 2OA = 2OB = 2 , COD = p ，
3 CD = 2 3
ur r r ur ur r
由 p = 2 - l a + lb可知，点 P 在直线CD 上.又 p 与 p - a的夹角为 APO
要使得 APO最大，则取圆过点A 、O且与直线CD 相切于点 P ，此时 APO取得最大，由切割线定理得
DP 2 = DA × DO = 2，又
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
OP = 2 - l OA + lOB 2 - l= OD l+ OC 2 - l= OD l+
2 2 2 2
uuur uuur uuurOD DC OD l uuur+ = + DC ，2
l DP 2
则有， = = 6，解之得
2 CD l =2 3 3
6
故答案为：
3
【点睛】
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘
运算．用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量
的形式，再通过向量的运算来解决．
rur r r r
3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知 a,b是空间单位向量， a ×b = 0 ，若空间向量 c满足：
r r r r r r r r r r r
c ×a =1,c ×b = 2, c = 10 ，则 a + b + c = ，对于任意 x, y R ，向量 c与向量 xa + yb所成角的最小值
为 ．
p
【答案】 3 2 4
r r r r r r 2【分析】由题意得： a + b + c = a + b + c ，根据数量积公式及题意，代入数据，即可求得答案；
r r r y 1 4t - 3
设向量 c与向量 xa + yb所成角为 ，根据求夹角公式，令 = t ,计算可得 cos = 4 + ，令x 10 1+ t 2
f (t) 4t - 3= 2 ，（ t > 0），利用导数判断其单调性，求得最值，即可求得 cos 的最大值，即可得答案.1+ t
r r r r r r 2 r 2 r 2 r 2 r r r r r r【详解】由题意得： a + b + c = a + b + c = a + b + c + 2a ×b + 2a ×c + 2b ×c
= 1+1+10 + 0 + 2 1+ 2 2 = 18 = 3 2 .
r r
因为 xa + yb = r r 2 r 2 r 2 r rxa + yb = x2 a + y2 b + 2xya ×b = x2 + y2
r r r
设向量 c与向量 xa + yb所成角为 ，
r r r r r r r
cos cr× (xar + ybr) xa ×c + yb ×c x + 2y所以 = = r r =c xa + yb 10 × xa yb ，+ 10 × x2 + y2
y
当 x > 0, y > 0时，夹角才可能最小，令 = t （ t > 0），
x
cos x + 2y 1 (x + 2y)
2 1 x2 + 4y2 + 4xy 1 4 4t - 3则 = = 2 = = +10 × x2 + y2 10 x + y2
，
10 x2 + y2 10 1+ t 2
4t - 3 4(1+ t 2 ) - 2t(4t - 3) -2(2t +1)(t - 2)
令 f (t) = 2 ，（ t > 0），则 f (t) = = ，1+ t (1+ t 2 )2 (1+ t 2 )2
所以当 t (0, 2)时， f (t) > 0， f (t) 为增函数，
当 t (2,+ )时， f (t) < 0 ， f (t) 为减函数，
所以 f (t)max = f (2) =1，
1 2 p所以 cos max = 4 +1 = ，即10 2 min
= .
4
r r r p
所以向量 c与向量 xa + yb所成角的最小值为 .4
p
故答案为：3 2 ； .4
【点睛】解题的关键是熟练掌握求模，求夹角的方法，并灵活应用，难点在于，需结合导数，判断 f (t) 的单
调性，求得最值，当 cos 最大时，角度最小，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.
一、单选题 ur r ur r r
1．（2023·江西九江·一模）已知m 、 n为单位向量，则向量m + 2n 与 n夹角的最大值为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【答案】A
ur r ur r ur r r
【分析】设 m, n = a ，即可得到 m + 2n = 5 + 4cosa ， m + 2n × n = cosa + 2，再根据夹角公式得到
ur r r
cos m cosa + 2+ 2n,n = ，最后利用换元及基本不等式计算可得.
5 + 4cosa
ur r ur r ur r 2 ur2 ur r r 2
【详解】设 m, n = a ，则 m + 2n = m + 2n = m + 4m × n + 4n = 5 + 4cosa ，
ur r r ur r r 2 ur r r 2
(m + 2n) ×n = m × n + 2n = m ×n + 2 n = cosa + 2，
ur r r ur r r
cos m 2n,n (m + 2n) ×n cosa + 2则 + = ur r r =m + 2n × n 5 + 4cosa ，
令 t = 5 + 4cosa ，因为-1 cosa 1，所以 t [1,3]，
t 2 - 5
ur r r + 2\cos m + 2n, n 4 1 t 3= = + 1 ÷ 2 t
3 3
× = ，当且仅当 t = 3 时取等号，
t 4 è t 4 t 2
ur r r ur r r
m 2n, n 0, π m 2n,n é0, π又 + ，所以 + ù
ê 6 ú
，

ur r r π
所以向量m + 2n 与 n夹角的最大值为 ．6
故选：A．
r r r r r r r r r
2．（2023·北京·模拟预测）平面向量 a ，b 满足 a = 3 b ，且 a - b = 4，则 a 与 a - b夹角的正弦值的最大值为
（ ）
1 1 2
A． B． C 1． D．
4 3 2 3
【答案】B
r uuur r uuur r r uuur r r
【分析】设 a = OA，b = OB，则 a - b = BA，设 b = m， a = 3m， cos OAB
m 2
= + ，根据均值不等式计
3 3m
算最值，再利用同角三角函数关系得到答案.
r uuur r uuur r r uuur r r
【详解】如图所示：设 a = OA，b = OB，则 a - b = BA，设 b = m， a = 3m，1< m < 2，
uuur 2 uuur 2 uuur 2
OA + BA - OB 2 2
cos OAB uuur uuur 9m +16 - m m 2 m 2 2 2= = = + 2 = ，
2 OA × BA 24m 3 3m 3 3m 3
m 2 π
当 = ，即m = 2 时等号成立，故 OAB
0,
3 3m 2 ÷
，
è
当 cos OAB 最小时， sin OAB最大，
r r r 8 1
故 a 与 a - b夹角的正弦值的最大值为 1- = .9 3
故选：B
r r r r r r 4
3．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量 a ，b 的夹角为 ， a + b = 2，且 a b ，则夹角 的最小值为3
（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
【答案】C
r r
【分析】应用向量数量积运算律及题设可得 4 2 a × b 1+ cos ，注意等号成立条件，结合已知不等条件求
范围，即可得最小值.
r r 2 r 2 r 2 r r r 8
【详解】由 a + b = 4有 a + b + 2 a × b cos = 4，即 4 2 a
r
× b 1+ cos 1+ cos ，
3
r r
前一个等号成立条件为 | a |=| b |，整理得cos
1
.
2
由于 0, π π，所以 π π ，于是夹角为 的最小值为 .
3 3
故选：C
r r r r r r r 3 r r r r
4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 a，b ， c 满足 a =1， b = 3 ， a ×b = - ， a - c,b - c = 30°，2
则 c
r
的最大值等于（ ）
A． 2 7 B． 7 C． 2 3 D．3 3
【答案】A
【分析】由 AOB =150°, ACB = 30°，即点 A,O, B,C 四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求解即可.
uuur r uuur r uuur r
【详解】设OA = a,OB = b,OC = c ，
ar
r
=1 b = 3 ar
r 3
由 ， ， ×b = - 3，则
2 cos AOB = -
，
2
r
ar cr,b cr所以 AOB =150°，又 - - = 30°，所以 ACB = 30°，
uuur
即点 A,O, B,C
r
四点共圆，要使 c 最大，即 OC 为圆的直径，
在VAOB中，由余弦定理可得 AB2 = OA2 + OB2 - 2OA OB cos AOB = 7 ，
AB
即 AB = 7 ，又由正弦定理可得 2R = = 2 7 ，sin AOB
即 c
r
的最大值为 2 7 ，
故选：A
r r r r r π r
5．（2024· r全国·模拟预测）已知 a，b 为非零向量，且 | a |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，若 | ar + tb |的最小值为3
3，则 r 2 + t 2 的值为（ ）．
5 9 17
A． B． C．4 D．
2 4 4
【答案】D
r r 1 r
【分析】由数量积的定义和模长公式对 | a + tb |平方可得，当 t = - | ar时， + tb | 3取得最小值 r ，可求出2 2
r = 2，即可求出 r 2 + t 2 的值,
r r r r π
【详解】因为 | a |=| b |= r(r > 0) ， áa,b = ，
3
r r r é 2 ù
由题意得 | a
r
+ tb |2 | ar= |2 +t2 |b |2 +2tar ×b = r2 1+ t2 + t = r2 t 1+ 3ê ÷ + ú，
ê è 2 4 ú
1 r r
所以当 t = - 时， | a + tb | 3取得最小值 r ，2 2
3 2 2 1 17
由 r = 3 得 r = 2，所以 r + t = 4 + = ．
2 4 4
故选：D．
r r r r r r r r r r r r r
6．（2021·全国·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a + b = 3 ， a ×b = 0 ，若 c = la + (1- l)b(l R)，且 c × a = c ×b，
r
则 c 的最大值为（ ）
1 3A．3 B．2 C． 2 D． 2
【答案】D
r uuuur r uuur uuur uuur uuuur
【分析】令 a = AM ，b = MB = AN ，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到 AC ^ MN ，然后数
r
形结合求 c 的最大值.
r uuuur r uuur uuur r r uuuur uuur uuur uuur
【详解】如图:令 a = AM ，b = MB = AN ，则 a + b = AM + MB = AB ，故 AB = 3 .
r r uuuur uuur
因为 a ×b = 0 ，所以 AM ^ MB ，记 AB 的中点为O，所以点M 在以 AB 为直径的圆O上.
r uuur r r r
设 c = AC ，连接MN ，因为 c = la + (1- l)b，所以点C 在直线MN 上.
r r r r r r r uuur uuuur uuur uuuur
因为 c × a = c ×b，所以 c × (a - b) = 0，即 AC × NM = 0，所以 AC ^ MN .
uuuur uuur uuur r r uuur 3
结合图形可知，当 NM ^ AB时， | AC |即 c 取得最大值，且 c =| AO |= .
max 2
故选：D
【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何
中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的
解集、方程有解等问题.
r r r r r r r r π r r
7．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量 a，b ， c满足 a = 2， b - c = 1，若 a与b 的夹角为 ，则 a - c3
的最小值为（ ）
A． 3 -1 B． 3 C． 3 +1 D 3．
2
【答案】A
r r r r r r
【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到 a - c a - b -1，然后求 a - b 的最小值即可；解法二 设
uuur r uuur r uuur r uuur
OA = a，OB = b，OC = c，易得 BC =1，则C 的轨迹是以 B 为圆心，半径为 1 的圆，连接 AB ，然后又
r r
A ，C ， B 三点共线且C 在A ， B 中间时， a - c 取得最小值求解.
r r r r r r r r r r r r
【详解】解法一 由题可得， a - c = a - b + b - c a - b - b - c = a - b -1，
r r r r
所以要求 a - c 的最小值，需求 a - b 的最小值.
r r r π
因为 a = 2， a与b 的夹角为 ，3
r r r
所以 a - b 的最小值为 a sin
π
= 3 ，
3
r r r r
所以 a - c a - b -1 3 -1，
r r
即 a - c 的最小值为 3 -1，
解法二 如图，
uuur r uuur r uuur r r r uuur r r uuur
设OA = a，OB = b，OC = c，则 c - b = BC ， a - c = CA .
r r r r uuur
由 b - c = c - b = 1，知 BC =1，点C 的轨迹是以 B 为圆心，半径为 1 的圆，
r r
连接 AB ，结合图形可知，当A ，C ， B 三点共线且C 在A ， B 中间时， a - c 取得最小值.
AB OA
=
由正弦定理得： sin π sin OBA，
3
AB 3所以 = 3，
sin OBA
r r
故 a - c 的最小值为 3 -1.
故选：A
r r π r r r π
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据 a与b 的夹角为 ，由 a - b 的最小值为 a sin 而得解.3 3
8．（2021·全国· 模拟预测）设 |a |=1， |b | = 3 ，且 a ^ b ，若向量 c 满足 c- a- b = 2 a- b ，则 | c |的最大值是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B

【分析】设OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD = a+ b ，根据条件，借助平面图形得到点C 的轨迹，即可得到结
果．
【详解】如图，

设OA = a ，OB = b ，OC = c ，OD = a+ b ，连接 AD ，BD，
OBDA 则由 a ^ b 可知四边形 为矩形，则 | a+ b |=| a- b |= 2 .

由 | c- (a+ b) |= 2 | a- b |，可得 | c- (a+ b) |= 4，

连接CD ，则 DC = 4，所以点C 在以点D为圆心，4 为半径的圆上，

所以 OC 的最大值为 OD + DC = 2 + 4 = 6 .
故选：B.
【点睛】对于向量模的最值或者范围的问题，我们往往采取数形结合的方式进行解决.首先我们要根据题目
的条件将几个向量的起点平移到同一点，作出图形，最后根据所求向量的条件得出终点的轨迹.
二、填空题
r r r r r r r r
9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量 a,b满足 a = 2 b = 2，对任意的l > 0, a - lb 的最小值为 3，则 a 与b
的夹角为 ．
【答案】60°
r r
【分析】利用模的计算得到l 2 - 4cos l + 4 3恒成立，判断出取等号的条件，即可求出 a 与b 的夹角.
r r r r
【详解】因为向量 a,b满足 a = 2 b = 2，
r r r r
所以向量 a,b满足 a = 2, b =1 .
r r
设 a 与b 的夹角为 , 0 π
r r r r 2 r 2 r r r 2
所以 a - lb = a - lb = a - 2la ×b + l 2 b = 22 - 2l 2 1 cos + l 2
r r
因为任意的l > 0, a - lb 的最小值为 3，所以l 2 - 4cos l + 4 3恒成立，
l - 2cos 2配方后可得： - 4cos2 + 4 3恒成立，
所以当l = 2cos
1
时，l 2 - 4cos l + 4取得最小值 3，此时 4 - 4cos2 = 3，解得： cos = ± .2
1
又因为l = 2cos > 0 ，所以 cos = .
2
因为0 π，所以 = 60° .
故答案为：60° .
10 2023· · ar
r r r r r r
．（ 河北 模拟预测）已知平面向量 ,b r r r满足 a - b =1且 a ^ b ，当向量 a - b 与向量3a - b 的夹角最大
r
时，向量b 的模为 ．
3
【答案】
2
r
r r r 3- 2b 2
【分析】由 a - b =1 r可平方求得 a2 =1- b 2 ，利用向量夹角公式可化简得到 cos = r ，采用换元法，
9 -8b 2
r r
令 9 -8b 2 = t t > 0 ，结合基本不等式可求得 cos min ，根据取等条件可确定 b .
Qar
r r r r r 2a b ar
r r r r
【详解】 ^ b ，\a ×b = 0，\ - = 2 - 2a
r
×b + b 2 ar= 2 + b 2 =1，即 ar2 =1- b 2 ；
r r r r
设向量 a - b 与向量3a - b 的夹角为 0 π ，
r ra - b r× 3ar - b r r r r2 r 2 2
\cos = r r r
3a - 4a ×b + b 3 - 2b
= r r = r ，
a - b r× 3a - b 9ar2 - 6ar ×b + b 2 9 -8b 2
2
r r 9 - t
2 b 2 9 - t
2 3-
9 8b t t 0 3+ t 2令 - = > ，则 = ， 1 3 1 3 3
3
8 \cos =
4 = = t +

÷ 2 t × =
（当且仅当 t = ，
t 4t 4 t 4 t 2 tè
即 t = 3 时取等号）；
r
当 最大时， cos
r
3最小，此时 9 -8b 2 = 3 ，解得： b = .2
3
故答案为： .
2
r r r
11．（2023· r上海闵行·二模）已知单位向量 a,b ，若对任意实数 x r 3 r， xa - b 恒成立，则向量 a,b 的夹角
2
的最小值为 .
p
【答案】 /60o
3
xar
r 3
【分析】把 - b 两边平方得到关于 x 的一元二次不等式，利用一元二次不等式恒成立的条件以及两
2
向量夹角的余弦公式求得结果.
r r r r 3 r r 3 r r
a b xa - b (xa - b)2 x2
1
【详解】 ， 是单位向量，由 得： - 2(a ×b)x + 0，
2 4 4
r r
2
依题意，不等式 x - 2(a ×b)x
1
+ 0 对任意实数 x 恒成立，
4
r r 1 r r 1
则D = 4(a ×b)2 -1 0，解得- a ×b ，
2 2
r r r r r r r r
而 cosáa,b
a ×b
= r r = a ×b 1 1，则- cosáa,b ，
| a || b | 2 2
r r
又0 áa,b π ，函数 y = cos x在[0, p]上单调递减，
π r ra,b 2π因此 á ，
3 3
r r é π 2π ù r π
所以向量 a ，b 的夹角的取值范围为 ê ,3 3 ú
.则向量 ar,b 的夹角的最小值为 .
3
π
故答案为： .
3
r r r r r r 5π r
12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 a，向量b 与 a不共线，且 a - b ,b = ，则 b 的最大值为 ．6
【答案】2
r r r 5π π ra b ,b A π【分析】由 - = ，则 = ，方法一：利用正弦定理可得 b = 2sin B ，当B = 时，可求得结果；方
6 6 2
π r
法二：作出△ABC 的外接圆，当 AC 为圆的直径，即B = 时，可求 b = 2 .
2 max
uuur r uuur r uuur r
【详解】法 1：设CB = a ，CA = b ，则 AB = ar - b ，如图所示．
r r r
因为 a - b ,b
5π A π 0 B 5π= ，所以在△ABC 中， = ， < < ，
6 6 6
ar
r r
b b r
由正弦定理，得 = 即 2 = ，得 b = 2sin B ，
sin A sin B sin B
π r π
当B = 时， b = 2sin = 2．
2 max 2
uuur uuur r uuur r
法 2：设CB = ar ，CA b ，则 AB ar= = - b ，作出△ABC 的外接圆，如图所示．
r r r 5π π r uuur
因为 a - b ,b = ，所以 A = ，因为 a = CB =1，
6 6
π r r
当 AC 为圆的直径，即B = 时， b = 2 a = 2．
2 max
故答案为：2
r r r r r r r r r r r
13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量 a、b 、 c 满足 a = 5， 2 b = c ，且 b - a × c - a = 0，则 b
的最小值是
【答案】 5
【分析】由向量的运算，数量积与模长的关系，利用三角函数的性质求最值即可.
【详解】
uuur
AC ar
uuur r uuur r uuur uur
解：如图 = ， AD = b ， AB = cr r，则b - a = CD cr ar， - = CB ，
r uuur uur
已知 b r- a × cr - ar = 0，即CD ×CB = 0，所以CD ^ CB，
OC 1 BD 1
r r
取 BD 的中点 O，则有 = = b - c ，
2 2
r
而OA
1 r
= b + c ，根据三角形的三边关系可知OA + OC AC
2
1 r r 1 rb c b cr r
r
b cr
r r
则 + + - a = 5，所以 + + b - c 10 ，当 A，O，C 三点共线时取等号，
2 2
r r r 2 r r r
记b,cr r r向量的夹角为 ，则 b + c = b + c = 5b 2 + 4b 2 cos = b 5 + 4cos ，
r
b cr
r
同理 - = b 5 - 4cos ，
r r r r r
由 b + c + b - c 10 ，可得 b 5 + 4cos + 5 - 4cos 10，
r 2
b 10
2
100 100
则 ÷ = = 5，
è 5 + 4cos + 5 - 4cos 10 + 2 25 -16cos2 10 + 2 25
r
当 cos = 0，即b ^ cr时取等号，
r r
所以 b 5 ，即 b 的最小值是 5 ，
故答案为： 5 .
r r r
【点睛】本题考查平面向量的综合运用，关键点在于利用三角形的三边关系得到不等式 b + c + b - c
r
10 ，
进而利用数量积求模长.
r r r r r
14．（22-23 r r高一下·福建福州·期中）已知平面向量 a ，b ，且满足 a ×b =| a |=| b |= 2，若 e为平面单位向量，
ar r
r r
则 ×e + b ×e 的最大值
【答案】 2 3

【分析】先根据平面向量的数量积公式求出 a 与 b 的夹角，根据条件，可设 a = 2,0 , b = 1, 3 ，再设

e = cosa ,sina ，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出
ar er
r
× + b r×e = 2 3 sin π a + ÷ ，即可求出结果.
è 3


【详解】解：Qa× b = a = b = 2 ，设 a 与 b 的夹角为 ，

\a× b = a × b ×cos = 2 2 cos = 2，
\cos 1 π= ，又 0, π ，则 = ，
2 3
不妨设 a = 2,0 , b = 1, 3 ，再设 e = cosa ,sina ，

a× e+ b× e =

则 a+ b

÷ × e = 3, 3 × cosa ,sina
è
= 3cosa + 3 sina = 2 3 sin π a + ÷ 2 3 ，
è 3

即 a× e+ b× e 2 3 ，

所以 a× e+ b× e 的最大值为 2 3 .
故答案为： 2 3 .
ar
r r r r r r r r r r r r15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量 ，b ， c 满足 a + b + c = 0 ， a - b × a - c = 0， b - c = 3，则
r
ar + b + cr 的最大值是 .
【答案】1+ 10 / 10 +1
r uuur r uuur r uuur r r r r r r r
【分析】设 a = DA，b = DB ， c = DC，由 a + b + cr = 0 得到点D是VABC 的重心，结合 a - b × a - c = 0得到
VABC 是直角三角形，建立适当的直角坐标系，转化为基本不等式求最值.
【详解】
r uuur r uuur r uuur
设 a = DA，b = DB ， c = DC，
r r r r
Q a + b + c = 0 ，\点D是VABC 的重心，
r r uuur uuur uuur uuur uuur uuur\ (a - b) × (ar - cr) = (DA - DB) ×(DA - DC) = BA ×CA = 0，
\ BA ^ CA．∴ VABC 是直角三角形，
r r
又∵ | b - c |= 3，即CB = 3，
以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
设 B(c,0) ，C(0,b)
c b
，则 D , ÷且b2 + c23 3 = 9(b > 0, c > 0) ，è
r uuur r uuur
\ b = DB 2c , b c DC c , 2b= - ÷， = = -

，
è 3 3 è 3 3 ÷
r r r 2 2 2 2
a b c c b 2c b c
2 2b 2
故 + + = + + + + + 3 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷è è 3 è 3 è 3 è 3 è 3
1 1
= 1+ 4c2 + b2 + c2 + 4b2
3 3
1
= 1+ 36 - 3b2 1+ 9 + 3b2
3 3
1 1 2 (36 - 3b
2 ) + (9 + 3b2 )
+ = 1+ 10 ，
3 2
2 9
当且仅当36 - 3b2 = 9 + 3b2 ，即b = 时等号成立.2
故答案为：1+ 10 .
r r r r r r r
16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量 a，b 满足 a + b = 6，若 a在b 方向上的投影与b
r r r 2 r r在 a方向上的投影之和等于 a ×b ，则 a，b 夹角的余弦值的最小值为 ．
2
【答案】
27
r r r r r r 2 r 2 r 2
【分析】利用基本不等式求出 a b 9，再根据向量投影求出 a cos + b cos = a × b = a b cos2 ，求
ar
r
出 ，b 夹角的余弦值的最小值.
r r
【详解】因为 a + b = 6，
r r 2
r r a + b r
所以 a b ÷
r
= 9 ，当且仅当 a = b = 3时取等号．
2 ÷
è
r r r r r r 2 r 2 r 2
设 a，b 的夹角为 ，则由题意得 a cos + b cos = a ×b = a b cos2 ，
r r
易知 a 0， b 0且 cos 0，
ar
r r 2
则 + b = ar 2 b cos ，
ar
r
+ b 6 6 2
所以 cos = r =2 r 2 r 2 r 2 92
= ，
a b a b 27
ar
r 2
所以 ，b 夹角的余弦值的最小值为 ．27
2
故答案为：
27
r r r r r r r r r
17．（21-22 高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量 a，b ， c 满足 a - b = 4 ，且 a - c × b - c = -1，若
r r é π , πa ù cr与b 的夹角为 ，且 ê ú，则 的模取值范围是 . 3 2
【答案】 é 2 - 3,3 3ù
【分析】以向量几何意义去解题，数形结合的方法可以简化解题过程.
r uuur r uuur uuur uuur
【详解】如图 1，令 a = OA，b = OB， cr = OC ，则 BA = 4，取 AB 中点 M .
ar r r r由 - c × b - c uuur uuur= -1，可得CA ×CB = -1，
uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur 2 uuur 2 uuuur 2 uuur 2
CA ×CB = (CM + MA) × (CM - MA) = CM - MA = CM 1- AB = -1，
4
uuuur 2
所以 CM = 3，即 C 在以 M 为圆心、 3为半径的圆上.
r uuuur uuuur uuuur
由 c = OM + MC
r
，当 O、M、C 三点共线时（M 在线段 OC 上）， c = OM + 3max .
由于 O 在以 AB 为弦的圆弧上，设圆心为 G，
uuur
uuur AB uuur 2 é π π ù
由正弦定理可知 2 OG = ，即 OG = ， ,
sin sin
ê 3 2 ú
π= 4当 时，圆 G 半径 OG 取得最大值 3 .
3 3
4 2GM = GB 2 - BM 2 = 3 22 2 ÷ - = 3
è 3 3
π
当 O、M、G 三点共线（G 在线段 OM 上），且 = 时，
3
uuuur uuuur uuur uuuur
OM 取得最大值，此时 OM = OG + GM = 2 3 ，
max
r uuuur
所以 c = OM + 3 = 3 3max .max
r uuuur
如图 2，显然当 O、M、C 三点共线（点 C 在线段 OM 上）， c = OM - 3min
π当 = 时，圆 G 半径 OG 取得最小值 2 .
2
uuuur
GM = GB 2 - BM 2 = 22 - 22 = 0 ，即 M、G 两点重合. OM 取得最小值为 2.
π r则 = 时， c = 2 - 3
2 min
.
cr故向量 的模取值范围是 é 2 - 3,3 3ù
故答案为： é 2 - 3,3 3ù
uuur uuur
18．（23-24 高三上·天津宁河·期末）在平行四边形 ABCD中， ABC = 60°，E 是CD 的中点， AF = 2FE ，
uuur r uuur r uuur r r uuur
若设BA = a, BC = b ，则BF 可用 a ，b 表示为 ；若VADE
3
的面积为 ，则 BF 的最小值
2
为 ．
2 r 2 r
a + b 4 3【答案】
3 3 3
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合
基本不等式，即可求解.
【详解】如图所示，根据向量的运算法则，
uuur uuur uuur uuur 2 uuur uuur 2 uuur uuur r 2 r r r r
可得BF = BA + AF = BA + AE = BA + (AD + DE) = a + (b
1
- a) 2= a 2+ b，
3 3 3 2 3 3
r
ar = m, b = n VADE 3 1 n 1 msin 60o 3设 ，因为 的面积为 ，可得 × = ，即mn = 4 ，
2 2 2 2
uuur 2
BF (2 ar 2
r
b)2 4 (ar
r r
又由 = + = 2 + b 2 + 2a
r
×b) 4= (m2 + n2 + 2mn cos 60o )
3 3 9 9
4 (m2 n2 mn) 4 (2mn mn) 16= + + + = ，当且仅当m = n 时，等号成立，
9 9 3
uuur
BF 4 3所以 的最小值为 .
3
2 ra 2
r
故答案为： + b 4 3； .
3 3 3
r r r r
19．（2020·浙江温州·三模）已知向量 a，b 满足 | a |= 3， | b |= 1，若存在不同的实数l1,l2 l1l2 0 ，使得
ur r r ur r ur r ur uur
ci = li a + 3li b ，且 (ci - a) × (ci - b) = 0(i =1,2),则 c1 - c2 的取值范围是
【答案】 é 2,2 2 U é 2 2，2 3
r r ur r
【分析】设 a ×b = k ， ci - a
ur r
× ci - b = 0变形（数量积的运算）得l ,l 是方程6(k + 3)x21 2 - 4(k + 3)x + k = 0的
ur uur r r
两根，利用韦达定理求得 l1 - l2 ，则 c1 - c2 = l1 - l2 a + 3b 可表示为 k 的函数，由 k 的范围可得结论，在题
中注意 k 的范围的确定．
ur r r r ur r r r
【详解】 c1 - a = (l1 -1)a + 3l1b ， c1 - b = l1a + (3l1 -1)b，
r r ur r ur r ur r r ur r r设 a ×b = k （-3 k 3），由 c1 - a × c1 - b = 0 2得 c1 - (a + b) ×c1 + a ×b = 0，
整理得6(k + 3)l 21 - 4(k + 3)l1 + k = 0，
同理6(k + 3)l 22 - 4(k + 3)l2 + k = 0，
所以l ,l 是方程6(k + 3)x21 2 - 4(k + 3)x + k = 0的两根，由l1l2 0得 k 0，
k = -3时方程无解，故 k 0且 k -3，D = 8(k + 3)(6 - k) > 0，
k
l 21 + l2 = ，l1l3 2
=
6(k ，+ 3)
2 4 4k 8(k + 3)(6 - k)所以 l1 - l2 = (l1 + l2 ) - 4l1l2 = - = ， 9 6(k + 3) 6(k + 3)
r r r r r 2 r r r2
a + 3b = (a + 3b)2 = a + 6a ×b + 9b = 6(k + 3) ，
ur uur r r
所以 c1 - c2 = l1 - l2 a 3b
4
+ = 6(k + 3) l1 - l2 = (6 - k) ，3
ur uur
由-3 < k 3且 k 0得 c1 - c2 的范围是[2, 2 2) U (2 2,2 3]．
故答案为：[2, 2 2) U (2 2,2 3]．
r r
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设 a ×b = k 后通过数量积的运算把l1,l2 是方程
ur uur
6(k + 3)x2 - 4(k + 3)x + k = 0的两根，这样可用韦达定理求得 l1 - l2 ，从而求得目标 c1 - c2 关于 k 的函数，属
于难题．
r r r r r 7 v v r r r r
20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量 a,b,c满足 a ×b = ， a - b = 3 , (a - c) × (b - c) = -2 ,则 c 的取值
4
r r r r r r r r
范围是 r r；已知向量 a,b 是单位向量，若 agb = 0 ，且 c -a + c -2b = 5 ，则 c + 2a 的取值
范围是 .
é3 5 ù é6 3 ù
【答案】 ê ， ú ，3 2 2
ê ú
5
r r r r r
【解析】（1）根据向量不等式可得 cg(a + b) | cr | | ar× + b |，从而得到关于 | c |的不等式，即可得答案；
r r r
（2）根据已知设出向量 a和向量b ，向量 c的坐标，代入等式化简，再利用距离的几何意义可看成一个动
点到两个定点的距离之和，而所求的可看成是一个定点到线段的距离，由此可求得最值．
r r 7 r r r r2 2 25
【详解】解：（1）由 agb = 4 ， | a - b |= 3，解得
a + b =
2 ，
r r r r r r r r
又由 (a - c)g(b - c) = agb - cg(a
r
+ b) cr+ 2 = -2 ，
r r
代入已知值可得 | c
r |2 15+ = crg(ar + b) | cr | r | a + b |= 4 | cr |
4 ，
化简可得： 4 | c
r |2 -16 | cr | +15 0 ，
3
解得 | c
r | 5 .
2 2
r r r r
（2 r r）因为 a,b 是单位向量，且 agb = 0 ，设 a = 1,0 ,b = 0,1 ，
cr
r
设 = x, y cr r r，则 - a = x -1, y ,c - 2b = x, y - 2 ，
r r r r
因为 c -a + c -2b = 5 ，即 x -1 2 + y2 + x2 + y - 2 2 = 5 ，
化简得， 2x + y - 2 = 0, 0 x 1 ，
cr所以 + 2ar = x + 2 2 + y2 表示线段 2x + y - 2 = 0, 0 x 1 上的点到点 -2,0 的距离，
r r 2 -2 - 2c 2a 6 5所以 + = d = =min ，22 +1 5
cr 2ar+ = 1- -2 = 3max ，
é3 5 ù é6 5 ù
故答案为： ê ， ú ， ê ,3 . 2 2 5
ú

r r r r
【点睛】利用向量数量积的定义可得向量不等式，即 a ×b | a || b |；向量问题进行坐标化处理，将模的范围
问题转化为距离的最值问题.
v v v v v v v v v v v v1．（全国·高考真题）设向量 a,b,c满足 a = b = 2， a ×b = -2 ， a - c,b - c = 60°，则 c 的最大值等于
A．4 B．2 C． 2 D．1
【答案】A
【详解】
v
v v v v v a
v ×b 1 v
因为 a = b = 2
v
， av ×b = -2 ，所以 cos a,b = av
v = -
2 , a,b =120°n b .
uuur v uuur v uuur uuur uuur v
如图所以，设OA = a,OB = b ,OC cr= ，则CA = av cr- , CB = b - cr , AOB =120° .
所以 ACB = 60°，所以 AOB + ACB =180°，所以 A,O, B,C 四点共圆.
uuur v uuur v v
不妨设为圆 M，因为 AB = b - av , 2所以 AB = av2 - 2avnb + b 2 =12 .
uuur uuurAB
所以 AB = 2 3 ,由正弦定理可得DAOB 的外接圆即圆 M 的直径为 2R = = 4 .
sin AOB
uuur v
所以当 OC 为圆 M 的直径时， c 取得最大值 4.
故选 A.
点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化
为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的
坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不
等式、方程的有关知识来解决．
2．（湖南·高考真题）已知点 A,B,C 在圆 x2 + y2 =1上运动，且 AB ^ BC，若点 P 的坐标为（2，0），则
uuur uuur uuur
PA + PB + PC 的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由题意，AC 为直径，所以 PA + PB + PC = 2 PO + PB 4 + PB 4 + 3 = 7 ,当且仅当点 B 为（-1，
uuur uuur uuur
0）时， PA + PB + PC 取得最大值 7，故选 B.
考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质
【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，
圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半
径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.
uuur uuur uuur uuur uuur
3．（四川·高考真题）在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB DC
uuur uuur uuur uuur
= , DA × DB = DB × DC = DC × DA =–2，
uuur uuuur uuuur uuuur 2
动点 P，M 满足 AP =1，PM = MC ，则 BM 的最大值是
43
A B 49 C 37 + 6 3． ． ． D 37 + 2 33．
4 4 4 4
【答案】B
uuur uuur uuur
【详解】试题分析：由已知易得 ADC = ADB = BDC =120°, DA = DB = DC = 2 .以D为原点，直线DA
uuur
为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 A 2,0 , B -1,- 3 ,C -1, 3 . 设P x , y , 由已知 AP =1，得
2 uuuur uuuur x -1 y + 3 uuuur 2 PM MC, M , , BM x +1 y + 3 3

x - 2 + y =1，又 = \ 2 2 ÷÷ \ = , ÷÷ ,è è 2 2
2
uuuur 2 x+1 2 + y + 3 3 2 1
\ BM = ，它表示圆 x - 2 + y2 =1上的点 x，y 与点 -1,- 3 3 的距离的平方的 ，
4 4
uuuur
2
2BM 1 \ = 324 + 3 3
2
1 49+ ÷ = ，故选 B.
max è 4
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要
把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出 ADC = ADB = BDC =120°，
uuur uuur uuur
且 DA = DB = DC = 2，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点 A, B,C, D 的坐标，同时动点 P
2
uuuur 2 x +1 2 + y + 3 3的轨迹是圆，则 BM = ，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的
4
数学思想．第 06 讲 平面向量中的范围与最值问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识
点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前
两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
1. 模长的范围及最值
r r
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 a2 =| a |2 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2. 夹角的范围及最值
类别 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ a·a |a|＝ x21＋y21
a·b x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝ cos θ＝
|a||b| x21＋y21· x22＋y22
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。
考点一、模长的范围及最值问题
r r r r r
1 r r r．（浙江·高考真题）已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 (a - c) × (b - c) = 0，则 c
的最大值是
A．1 B．2 C． D．
v v v v v v v v v
2．（湖南·高考真题）已知 a,b是单位向量， agb = 0 .若向量 c满足 c - a - b =1,则 c 的取值范围是（ ）
A． é 2-1，, 2+1ù é B． 2-1，, 2+2ù
C． é ù é 1，, 2+1 D． 1，, 2+2ù
uuuv uuuuv uuuuv
3．（四川·高考真题）已知正三角形 ABC 的边长为 2 3 ，平面 ABC 内的动点 P , M 满足 AP =1， PM = MC ，
uuuuv 2
则 BM 的最大值是
43
A B 49 C 37 + 6 3． ． ． D 37 + 2 33．
4 4 4 4
r r r r r r r
1．（2024·全国· r r模拟预测）已知 a,b ,c 为单位向量，且 3a - 5b = 7 ，则 2a - c + b - 2c 的最小值为（ ）
A．2 B． 2 3 C．4 D．6
r r 1 r r r r r r r r 2
2．（23-24 · r高二上 四川·阶段练习）已知平面向量 a,b 满足 a = b = a ×b =1 2 | cr r， |2 = b ×c ，则 c - a 2 + c - b
2
的最小值是 .
r r r r 1 r r r
3．（2024·吉林长春· r r模拟预测）已知向量 a，b 为单位向量，且 a ×b = - ，向量 c 与 共线，则 | b + c |2 a +3b
的最小值为 .
r r r r r r r r r r r r
4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量 a,b ,c 满足： a = b = 10, c = 2，若 c - a × c - b = 0 ，则 a - b 的
最小值为 ．
r r r rb 1 cr ar cr ar5．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 a = 3 ， = ， a ×b = 0， + + - = 4 ，
r r r r
d 2
r
- 4b ×d + 3 = 0，则 c - d 的最大值为（ ）
A 2 21 4 21
31
． +1 B．4 C． + 2 D．
3 3 3
r r r 1 r r r r p
6．（21-22 高一下·浙江·阶段练习）已知 | ar |=| b |=| cr |=1， a ×b = ， áa,c + áb ,c = ．若m,n R ，则
2 3
r r r r r| ma r- nb | + | ma - c | + | nb - c |的最小值为（ ）
A．0 B 3． C．1 D． 3
2
考点二、夹角的范围及最值问题
uuur uuur uuur uuur
1．（2024·广东江门·二模）设向量OA = (1, x),OB = (2, x) ，则 cosáOA, OB 的最小值为 .
r r r r r r r r r
2．（2022· r r r上海奉贤·一模）设平面上的向量 a,b , x, y 满足关系 a = y - x,b = mx - y m 2 ，又设 a与b 的模均
r r
为 1 且互相垂直，则 x 与 y 的夹角取值范围为 .
r uuur r uuur r uuur uuur uuur uuur 2
3．（22-23 高三上·江西·阶段练习）已知平面向量 a = OA，b = OB， c = OC ，满足 4OC × AC =1- OA ，
uuur uuur uuur 2 r r r r
4OB ×CB =1- OC ，则向量 a - 4b 与 c - 2b 所成夹角的最大值是（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r r r r r
1．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量 a 与b 的夹角为锐角， c为b 在 a 方向上的投影向量，且 | c |=| a |= 2，
r r r r
则 a + b + c 与b 的夹角的最大值是 ．
r r r r r r r ur
2．（21-22 高三上·浙江温州·期末）已知平面向量 a,b满足 a = a + b =1
1
， a ×b = - ，向量 p 满足
2
ur r r ur ur r
p = 2 - l a + lb，当 p 与 p - a的夹角余弦值取得最小值时，实数l 的值为 .
rur r r r
3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知 a,b是空间单位向量， a ×b = 0 ，若空间向量 c满足：
r r r r r r r r r r r
c ×a =1,c ×b = 2, c = 10 ，则 a + b + c = ，对于任意 x, y R ，向量 c与向量 xa + yb所成角的最小值
为 ．
一、单选题 ur r ur r r
1．（2023·江西九江·一模）已知m 、 n为单位向量，则向量m + 2n 与 n夹角的最大值为（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
r r r r r r r r r
2．（2023·北京·模拟预测）平面向量 a ，b 满足 a = 3 b ，且 a - b = 4，则 a 与 a - b夹角的正弦值的最大值为
（ ）
1 1 1 2A． B． C． 2 D．4 3 3
r r r r r r 4
3．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量 a ，b 的夹角为q ， a + b = 2，且 a b ，则夹角q 的最小值为3
（ ）
π π π π
A． B． C． D．
6 4 3 2
r r r ar
r r r 3 r r r r
4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 a，b ， c 满足 =1， b = 3 ， a ×b = - ， a - c,b - c = 30°，2
cr则 的最大值等于（ ）
A． 2 7 B． 7 C． 2 3 D．3 3
r r r r r π
5 2024· · a | ar | | b | r(r 0) áa,b = | ar
r
．（ 全国 模拟预测）已知 ，b 为非零向量，且 = = > ， ，若 + tb |的最小值为3
3，则 r 2 + t 2 的值为（ ）．
5 9 17
A． B． C．4 D．
2 4 4
r r r r r r r r r r r r r
6．（2021·全国·模拟预测）已知向量 a，b 满足 a + b = 3 ， a ×b = 0 ，若 c = la + (1- l)b(l R)，且 c × a = c ×b，
r
则 c 的最大值为（ ）
3
A．3 B．2 C 1． 2 D． 2
r r r r r r r r π r r
7．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量 a，b ， c满足 a = 2， b - c = 1，若 a与b 的夹角为 ，则 a - c3
的最小值为（ ）
A． 3 -1 B． 3 C． 3 +1 D 3．
2
8．（2021·全国· 模拟预测）设 |a |=1， |b | = 3 ，且 a ^ b ，若向量 c 满足 c- a- b = 2 a- b ，则 | c |的最大值是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
r r r r r r r r
9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量 a,b满足 a = 2 b = 2，对任意的l > 0, a - lb 的最小值为 3，则 a 与b
的夹角为 ．
r r r r r r
10．（2023· · r r r河北 模拟预测）已知平面向量 a,b 满足 a - b =1且 a ^ b ，当向量 a - b 与向量3ar - b 的夹角最大
r
时，向量b 的模为 ．
r r r
11．（2023· r r 3 r上海闵行·二模）已知单位向量 a,b ，若对任意实数 x ， xa - b 恒成立，则向量 a,b 的夹角
2
的最小值为 .
r r r r r r 5π r
12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 a，向量b 与 a不共线，且 a - b ,b = ，则 b 的最大值为 ．6
r r r r r r r r r
13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量 ar r、b 、 c 满足 a = 5， 2 b = c ，且 b - a × c - a = 0，则 b
的最小值是
r r r r r
14．（22-23 r r高一下·福建福州·期中）已知平面向量 a ，b ，且满足 a ×b =| a |=| b |= 2，若 e为平面单位向量，
ar er
r r
则 × + b ×e 的最大值
r r r r r r r r r r r
15．（2023·贵州铜仁· r r模拟预测）已知向量 a，b ， c 满足 a + b + c = 0 ， a - b × a - c = 0， b - c = 3，则
r
ar + b r+ c 的最大值是 .
r r r r r r r
16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量 a，b 满足 a + b = 6，若 a在b 方向上的投影与b
ar r
r 2 r r
在 方向上的投影之和等于 a ×b ，则 a，b 夹角的余弦值的最小值为 ．
r r r r r r
17．（21-22 高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量 a，b ， c 满足 a - b = 4 ，且 a
r
- cr × b r- c = -1，若
r r π πa与b 的夹角为q ，且q
é , ù rê ú，则 c 的模取值范围是 . 3 2
uuur uuur
18．（23-24 高三上·天津宁河·期末）在平行四边形 ABCD中， ABC = 60°，E 是CD 的中点， AF = 2FE ，
uuur r uuur r uuur r r uuur
若设BA = a, BC = b ，则BF 可用 a ，b 表示为 ；若VADE
3
的面积为 ，则 BF 的最小值
2
为 ．
r r r r
19．（2020·浙江温州·三模）已知向量 a，b 满足 | a |= 3， | b |= 1，若存在不同的实数l1,l2 l1l2 0 ，使得
ur r r ur r ur r ur uur
ci = li a + 3li b ，且 (ci - a) × (ci - b) = 0(i =1,2),则 c1 - c2 的取值范围是
r r r r r 7 v v r r r r
20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量 a,b,c满足 a ×b = ， a - b = 3 , (a - c) × (b - c) = -2 ,则 c 的取值
4
r r r
范围是 ；已知向量 ar,b r是单位向量，若 agb = 0 ，且 c
r r r
-a + c -2b 5 r= ，则 c + 2a
r
的取值
范围是 .
v v v v v v
1．（全国·高考真题）设向量 a,b,c满足 a
v b 2 v v= = v v， a ×b = -2 ， a - c,b - c
v = 60°，则 c 的最大值等于
A．4 B．2 C． 2 D．1
2．（湖南·高考真题）已知点 A,B,C 在圆 x2 + y2 =1上运动，且 AB ^ BC，若点 P 的坐标为（2，0），则
uuur uuur uuur
PA + PB + PC 的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
uuur uuur uuur uuur uuur
3．（四川·高考真题）在平面内，定点 A，B，C，D 满足 DA = DB = DC
uuur uuur uuur uuur
, DA × DB = DB × DC = DC × DA =–2，
uuur uuuur uuuur uuuur 2
动点 P，M 满足 AP =1，PM = MC ，则 BM 的最大值是
43
A B 49 C 37 + 6 3． ． ． D 37 + 2 33．
4 4 4 4

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