资源简介

第 04 讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（5 类核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，
往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共
线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数
形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，P 为 AOB所在平面上一点，过O作直线 l / / AB ，由平面向量基本定理知：

存在 x, y R ，使得OP xOA yOB
下面根据点 P 的位置分几种情况来考虑系数和 x y 的值

①若 P l 时，则射线OP 与 l无交点，由 l / / AB 知，存在实数 ，使得OP AB

而 AB OB OA，所以OP OB OA，于是 x y= - =0
②若 P l 时，
（i）如图 1，当 P 在 l右侧时，过 P 作CD / / AB ，交射线OA，OB 于C, D 两点，则
OCD OAB，不妨设 OCD 与 OAB 的相似比为 k
由 P,C，D 三点共线可知：存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA k(1 )OB
所以 x y k k(1- ) k
（ii）当 P 在 l左侧时，射线OP 的反向延长线与 AB 有交点，如图 1 作 P 关于O的对称点 P ，由（i）
的分析知：存在存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA (1 )OB

所以OP -k OA -(1 )OB
于是 x y -k -k(1- ) -k

综合上面的讨论可知：图中OP 用OA,OB线性表示时，其系数和 x y 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作 AB 边的垂线 l ，

设点 P 在 l 上的射影为 P ，直线 l 交直线 AB P | k | | OP |于点 1，则 ( k 的符号由点 P 的位置确定)，因| OP1 |
此只需求出 |OP |的范围便知 x y 的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
v
1．（全国·高考真题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若AP =
v
AB +
v
AD ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 2 C． 5 D．2
【答案】A
【法一：系数和】，分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时， 最大，此时
AF AB BE EF 3AB 3, 故选 A .
AB AB AB
【法二：坐标法】详见解析版
2，（衡水中学二模）边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD (含短点)上运

动， P 是圆Q上及其内部的动点，设向量 AP mAB nAF (m,n R) ，则m n的取值范围是（ ）
A. 1,2 B. 5,6 C. 2,5 D. 3,5

分析:如图，设 AP mAB nAF AG 2AB，由等和线结论，m n 2 .此为m n的最小值；
AB AB
AH
同理，设 AP mAB nAF ，由等和线结论，m n 5 .此为m n的最大值.
AB
综上可知m n [2,5] .
1. 在矩形 ABCD中， AB 1, AD 2，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上，

若 AP AB AD，则 + 的最大值为( )
A 3 B 2 2 C 5 D 2
2. 如图，正六边形 ABCDEF ， P 是 CDE 内（包括边界）的动

点，设 AP a AB b AF (a , b R) ，则a b 的取值范围是____________
3. 如图在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB AD， AD DC 1，AB 3，动点 P 在以C 为圆心，

且与直线 BD相切的圆内运动，设 AP a AD b AB(a , b R)
则a b 的取值范围是____________

3．在VABC 中， AB 6， BC 8， AB BC ，M 是VABC 外接圆上一动点，若 AM AB AC ，则
的最大值是（ ）
5 4
A．1 B． C． D．2
4 3
4．（22-23 高三上·江苏苏州·阶段练习）在VABC 中， AB 4 ，BC 3，CA 2，点 P 在该三角形的内切圆

上运动，若 AP mAB nAC （m ， n为实数），则m n的最小值为（ ）
5 1 7 4
A． B． C． D．
18 3 18 9
5．（22-23 高一下·广东珠海·期末）在VABC 中， AB 1， AC 2， BAC 60°， P 是VABC 的外接圆上的一

点，若 AP mAB nAC ，则m n的最大值是（ ）
3
A 1 B C 1． ． ．
2 2
D． 3
考点二、“+”或“+”型综合

1. 已知O是VABC 内一点,且OA OB OC 0 ,点 M 在VOBC 内(不含边界),若 AM AB AC ,则
2 的取值范围是
A. 1,
5
2 ֏
B. (1, 2)
2
C. ,1

÷
è 3
1
D. ,12 ֏

2. 已知VABC 为边长为 2 的等边三角形，动点 P 在以 BC 为直径的半圆上.若 AP AB AC ，则
2 的取值范围是__________

3. 若点C 在以 P 为圆心,6 为半径的弧 AB 上,且 PC xPA yPB ,则 2x 3y 的取值范围为______

4. 设长方形 ABCD的边长分别是 AD 1, AB 2 ,点 P 是VBCD 内(含边界)的动点,设 AP xAB y AD ,
则 x 2y 的取值范围是_________

1．在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 3，P 为矩形内一点，且 AP 3 .若 AP AB AD , R ，则
2
3 的最大值为 ( 　　 )
3
A B 6 C 3 3 6 3 2． ． ． D．
2 2 4 4
v v
2．（2023·安徽淮南·一模）已知G 是VABC的重心，过点G 作直线MN 与 AB ， AC 交于点M , N ，且 AM xAB，
v v
AN y AC ， x, y > 0 ，则3x y 的最小值是
8 7 5 4 2
A． B． C． D． 3
3 2 2 3 3
v v v v v v v
3．已知O是 ABC内一点，且OA OB OC 0，点M 在 OBC 内（不含边界），若 AM AB AC ，则
2 的取值范围是

A． 1,
5
÷ B． 1,2
2 ,1 C D
1
． ． ,1
è 2 è 3 ÷
2 ÷ è
4 p．（22-23 高三上·江苏南通·开学考试）在VABC 中， AB 3, AC 2， A ，过VABC3 的外心 O 的直线(不
uuur uuur
经过点A )分别交线段 AB, AC 于D, E ，且 AD AB， AE AC ，则 的取值范围是（ ）
é11 4 6 ,13
ù é11 4 6 , 23
ù
A． ê B．
18 10
ú ê 18 15 ú
é14 3 6 ,13
ù é14 3 6 , 23
ù
C． ê ú D． ê ú
18 10 18 15
考点三、“-”或“-”型综合

1. 如图,已知O为锐角三角形 ABC p的外心, A ,且OA xOB yOC ,求 2x y 的取值范围？
3
1．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 3 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切
uuur uuur uuur
的圆上.若 AP AB AD，则 的最小值为（ ）
A． 3 B．1 C．-1 D． 3
考点四、“-”或“-”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AB ∥ DC ， AB 2 ，
AD DC 1 1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 2 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若

AP xAB y AC ，其中 x，y R ，则 4x y 的取值范围是（ ）
é
2 3 2
ù é 5 ù é 2 5 ù é 17 17 ù
A． ê ，3 ú B． ê2，3 ú C． ê3 ，3 D． 3 ，3
4 2 4 2
ú ê ú
2 2
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形 ABCD中， AB AD ，DC ∥ AB ， AD DC 1, AB 2，E 、
F 分别为 AB 、BC 的中点，点 P 在以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 上变动，（如图所示），若

AP ED AF ，其中 , R ，则2 的取值范围是 ．
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AD∥BC ， AB BC 2AD 2 ，E ，F 分
别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M ， N ，点 P 在M DN 上

运动（如图）.若 AP AE BF ，其中 ， R ，则 2 5 的取值范围是
A． 2,2 B． é 2,2 2ù C． é 2 2,2ù D． é 2 2,2 2ù
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．如图所示，△ABC 中，AC＝3，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于
点 P，且 PN＝2PM，则△ABC 面积的最大值为 ．
5．5．2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，
它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE 2EB, M 为线段 AB 的中点，设

P 为中间小正方形EFGH 内一点（不含边界）.若MP ME MB ，则 的取值范围为 .
2 2 2 2
3．（2023· · x y x y黑龙江哈尔滨 一模）如图，椭圆 2 2 1 a > b > 0 与双曲线 2 2 1 m > 0,n > 0 有公共焦a b m n
点 F1 c,0 ，F2 c,0 c > 0 ，椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，点 P 为两曲线的一个公共点，且
1 3
F1PF2 60°，则 2 2 ； I 为△F1PF2 的内心，F1, I ,G x A, Be1 e
三点共线，且GP × IP 0， 轴上点 满足
2

AI IP，BG GP，则 2 2的最小值为 ．
1．（2024 高三·全国·专题练习）在VABC 中，三个内角分别为 A，B，C， AB 4 ， AC 3，BC 2，H 为VABC
y
的垂心．若 AH xAB y AC ，则 ．
x
1
2．（22-23 高二下·广东汕尾·期末）如图，在 VABC 中，点 D 在线段 AB 上，且 AD AB ，E 是CD 的中点，
3

延长 AE 交 BC 于点 H，点 P 为直线 AH 上一动点（不含点 A），且 AP AB AC （ , R）．若 AB 4 ，
且 AC BC ，则VCAH 的面积的最大值为 ．

CD 3
1 1
3．（20-21 高一·江苏·课后作业）已知△ABC 中， BC, EC AC, AF AB，若点 P 为四边形 AEDF
5 2 3

DP 1

内一点(不含边界)且 DC xDE ，则实数 x 的取值范围为 .
3
1．（2023 高三·全国·专题练习）在正方形 ABCD中， AC 与BD交于点O，E 为边BC 上的动点（不含端点），
2 1
AE AC DO，则 的最小值为 .
2．（2023 高三·全国·专题练习）如图，四边形OABC 是边长为 1 的正方形，点 D 在OA的延长线上，且

AD 1，点 P 是△BCD (含边界)的动点，设OP OC OD，则 的最大值为 ．
3．（22-23 高一下·四川眉山·阶段练习）已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB, AC 两边相交于
1 1
点 M，N 两点（点 M，N 与点 B，C 不重合），设 AB xAM ， AC y AN ，则 x 1 y 1的最小值为 ．
4．（2023 高三·全国·专题练习）如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若

AP xAB y AC ，则 2x＋2y 的最大值为
5．（2023 高三·全国·专题练习）如图，在VABC 中，M 为边BC 上不同于 B ，C 的任意一点，点 N 满足
uuur uuur uuur
AN 2NM .若 AN xAB y AC ，则 x2 9y2 的最小值为 .
6．（22-23 高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形 ABCD是边长为 1 的正方形，延长 CD 至
E，使得DE＝2CD．动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点，

AP AB AE ．则 的取值范围为 ．
7．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）已知正方形 ABCD的边长为 2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形

ABCD各边的中点（如图），若 P 在B C 上，且 AP AB AD，则 的最大值为 ．
1 1
8．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在VABC 中， AD AB, AE AC,CD 与 BE 交于点P, AB 2，
2 3
uuur uuur
AC 3, AP × BC 1，则 AB × AC 的值为 ；过点 P 的直线 l分别交 AB, AC 于点M , N ,设 AM mAB,

AN nAC (m > 0, n > 0)，则m 2n 的最小值为 .
9．（21-22 高三上·河南郑州·阶段练习）如图，在扇形OAB 中， AOB 120° ，OA OB 2，点M 为OB的

中点，点 P 为曲边 AMB 区域内任一点（含边界），若OP mOA nOM ，则m n的最大值为 ．
2p
10．（22-23 高三下·上海宝山·开学考试）如图所示， BAC ，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，
3

AD=1，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且 AP xAD y AE x, y R ，则 2x 3y的取值范围是

11．（2024 高三下·全国·专题练习）如图，平面内有三个向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB 120o ，

o OA,OC 30 ，且 OA OB 1， OC 2 3 ，若OC mOA nOB，则m n .
12．（22-23 高二上·上海宝山·阶段练习）设点 P 在以A 为圆心，半径为 1 的圆弧BC 上运动（包含 B 、C 两
2 v v v
个端点）， BAC p ，且 AP xAB y AC ，则 x y xy 的取值范围为 .
3
13．（19-20 高一上·黑龙江牡丹江·期末）如图，扇形的半径为 1，圆心角 BAC 120° ，点 P 在弧 BC 上运

动， AP xAB y AC ，则3x y 的最大值为 .
14．（22-230 高三上·浙江台州·期末）如图，已知正方形 ABCD，点 E，F 分别为线段BC ，CD 上的动点，且

BE 2 CF ，设 AC xAE y AF （x， y R ），则 x y 的最大值为 .

15．（22-23 高三·浙江·阶段练习）已知 AB AC 1， AB 与 AC 所成角为60°，点 P 满足 AP AC 1，若

AP xAB y AC ，则 x y 的最大值为 .
1
16．（22-23 高一下·重庆万州·期中）如图，在 VABC 中， BD BC ，点 E 在线段 AD 上移动（不含端点），
3
1
若 AE AB AC ，则 2 的取值范围是 ．

17．（21-22高三下·浙江杭州·阶段练习）已知正三角形 ABC 的边长为2，D是边BC 的中点，动点P满足 | PD | 1，

且 AP xAB y AC ，其中 x y 1，则 2x y 的最大值为 ．
18．（22-23 高一下·湖北孝感·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222 年，他为《周髀算经》一书作
序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中
间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间一个小

等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 AD AB AC ，若 AD 3AF ，则 的值为 .
19．（23-24 高三上·陕西汉中·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能
给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形 ABCD中， ABC 120o , AB 2，以菱形 ABCD的四条

边为直径向外作四个半圆， P 是这四个半圆弧上的一动点，若DP DA DC ，则 的最大值
为 .
20．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）由三角形内心的定义可得：若点O为VABC 内心，则存在实数 ，使得

AO AB AC

÷ .在VABC 中， tan BAC 2 2 ，若点O为VABC 内心，且满足 AO xAB y AC ，则
è | AB | | AC |
x y 的最大值为 .第 04 讲 平面向量系数和（等和线、等值线）问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（5 类核心考点精讲精练）
平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高。
平面向量是有效连接代数和几何的桥梁，已成为高考数学的一个命题热点。
近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时，
往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共
线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数
形结合思想得到了有效体现，同时也为相关问题的解决提供了新的思路，大家可以学以致用
知识讲解
如图，P 为 AOB所在平面上一点，过O作直线 l / / AB ，由平面向量基本定理知：

存在 x, y R ，使得OP xOA yOB
下面根据点 P 的位置分几种情况来考虑系数和 x y 的值

①若 P l 时，则射线OP 与 l无交点，由 l / / AB 知，存在实数 ，使得OP AB

而 AB OB OA，所以OP OB OA，于是 x y= - =0
②若 P l 时，
（i）如图 1，当 P 在 l右侧时，过 P 作CD / / AB ，交射线OA，OB 于C, D 两点，则
OCD OAB，不妨设 OCD 与 OAB 的相似比为 k
由 P,C，D 三点共线可知：存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA k(1 )OB
所以 x y k k(1- ) k
（ii）当 P 在 l左侧时，射线OP 的反向延长线与 AB 有交点，如图 1 作 P 关于O的对称点 P ，由（i）
的分析知：存在存在 R 使得：

OP OC (1 )OD k OA (1 )OB

所以OP -k OA -(1 )OB
于是 x y -k -k(1- ) -k

综合上面的讨论可知：图中OP 用OA,OB线性表示时，其系数和 x y 只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。
因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过O作 AB 边的垂线 l ，

设点 P 在 l 上的射影为 P ，直线 l 交直线 AB P | k | | OP |于点 1，则 ( k 的符号由点 P 的位置确定)，因| OP1 |
此只需求出 |OP |的范围便知 x y 的范围
考点一、“x+y”或“λ+μ”型综合
v
1．（全国·高考真题）在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上．若AP =
v v
AB + AD ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 2 C． 5 D．2
【答案】A
【法一：系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 l与圆相切时， 最大，此时
AF AB BE EF 3AB 3,
AB AB AB
故选 A .
【法二：坐标法】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.
设 A 0,1 , B 0,0 ,C 2,0 , D 2,1 , P x, y ,
2 2 2 4
易得圆的半径 r ，即圆 C 的方程是 x 2 y ，
5 5
uuur uuur uuur
AP x, y 1 , AB 0, 1 , AD 2,0 ，若满足 AP AB AD，
ìx 2
则 í ，
x
, 1 y x，所以 y 1
y
，
1 2 2
设 z
x
y 1 x ，即 y 1 z 0
2 2 4
，点P x, y 在圆 x 2 y 上，
2 2 5
2 z 2
x
所以圆心 (2,0)到直线 y 1 z 0的距离 d r ，即 1 5 ，解得1 z 3，2 1
4
所以 z 的最大值是 3，即 的最大值是 3，故选 A.
【点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数
乘运算.
（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决.
2，（衡水中学二模）边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆Q的半径为 1，圆心在线段CD (含短点)上运

动， P 是圆Q上及其内部的动点，设向量 AP mAB nAF (m,n R) ，则m n的取值范围是（ ）
A. 1,2 B. 5,6 C. 2,5 D. 3,5

AP mAB nAF m n AG 2AB分析:如图，设 ，由等和线结论， 2 .此为m n的最小值；
AB AB
AH
同理，设 AP mAB nAF ，由等和线结论，m n 5 .此为m n的最大值.
AB
综上可知m n [2,5] .
1. 在矩形 ABCD中， AB 1, AD 2，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD相切的圆上，

若 AP AB AD，则 + 的最大值为( )
A 3 B 2 2 C 5 D 2
解：如图所示：
过 A作 BD的垂线，垂足为 H ，则 AH CE CF r ，当 E,C，P三点共线时，高线最长，即
( + ) 3rmax 3r
2. 如图，正六边形 ABCDEF ， P 是 CDE 内（包括边界）的动

点，设 AP a AB b AF (a , b R) ，则a b 的取值范围是____________
解：连接 BF , AD 因为正六边形 ABCDEF ，由对称性知道
BF AD，AD EC ，设 BF 与 AD 交于点G ，CE 与 AD 交于点 H ，
当 P 在CE 上时， AP 在 AD 上射影最小为 AH ；
当 P 与 D 重合时， AP 在 AD 上射影最大为 AD ；
| AH | a b | AD |则
| AG | | AG |
设 |AB | x，则 |AG | x | HD | ，|GH | | BC | x，|AD | 2x，
2
则3 a b 4
3. 如图在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB AD， AD DC 1，AB 3，动点 P 在以C 为圆心，

且与直线 BD相切的圆内运动，设 AP a AD b AB(a , b R)
则a b 的取值范围是____________
解：设圆C 与直线 BD相切于点 E ，过 A作 AG BD 于G ，作直线 l / /DB，且直线 l与圆C 相切与 F ，
连 EF ，则 EF 过圆心，且 EF BD ，由图可知，对圆C 内任意一点 P
AP 在直线 AG 上的射影长度 d 满足： |AG | d | AG | | EF |，
|AG | = | AD | | AB | 3又 ， |EF |=2|EC|=2|CD|sin ABD 2
| DB | 10 10
3 5
所以 d
10 10
a b d而 ，所以1 a 5 b
AG 3

3．在VABC 中， AB 6， BC 8， AB BC ，M 是VABC 外接圆上一动点，若 AM AB AC ，则
的最大值是（ ）
5 4
A．1 B． C． D．2
4 3
【答案】C
【解析】以 AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设 M 的坐标为 (5cosq ,5sinq )，

由 AM AB AC \(5cosq 5,5sinq )
18 24
( , ) (10,0)，
5 5
\ + = 5 sin(q 1 f) 可得利用正弦函数的图像及性质即得解.
6 2
【详解】以 AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设 M 的坐标为 (5cosq ,5sinq )，过点 B 作 BD x 轴
Qsin A 4 , AB 6\BD AB sin A 24 , AD AB cos A 18
5 5 5
7 7 24
\OD AO AD \B( , )
5 5 5

又 A( 5,0), B(5,0) AB (
18
\ , 24), AC (10,0), AP (5cosq 5,5sinq )
5 5

Q AM AB AC \(5cosq 5,5sinq ) (18 , 24 ) (10,0)
5 5
\ = 1 cosq 3 sinq 1 , 25 sinq
2 8 2 24
\ + = 1 cosq + 2 sinq 1 = 5 sin(q f) 1
2 3 2 6 2
当 sin(q f)=1时， ( + )
5 1 4
max 6 2 3
故选：C
【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，
考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
4．（22-23 高三上·江苏苏州·阶段练习）在VABC 中， AB 4 ，BC 3，CA 2，点 P 在该三角形的内切圆

上运动，若 AP mAB nAC （m ， n为实数），则m n的最小值为（ ）
5 1 7 4
A． B． C． D．
18 3 18 9
【答案】B

AP
m n
【分析】由 AP mAB nAC 可得 m n ，再结合余弦定理，面积公式可求出
AB AC

è m n m n ÷
cos A、 sin A 、BC 边上高 h ，内切圆半径 r ，最后根据平行线等比关系即可求解.
m
【详解】 AP mAB nAC
n
m n AB AC ÷ ，由 P 在内切圆上，
è m n m n

AP
m n
故 m n ，
AB AC

è m n m n ÷
m n m n
假设 AB AC AE ，由于 1， AP m n AE ，
m n m n m n m n

AP
则m n ，且E 为BC 上一点，A ， P ，E 三点共线，
AE

由平行线等比关系可得，要使m n，即 AP 与 AE 之间的比例最小，则 P 在内切圆的最高点，如图所示，
2 2 2
由 cos A AB AC BC 11 ，
2AB AC 16
因为 sin A > 0，所以 sin A 3 15 ，
16
设BC 边上高为 h ，内切圆半径为 r ，
由 S
1 1 1
V ABC AB AC sin A BC h r AB AC BC ，2 2 2
h 15 r 15所以 ， ，
2 6
可得m n
h 2r 1
的最小值为 ，
h 3
故选：B.

AP
m n
【点睛】关键点点睛：这道题关键的地方是转化得到 m AB n
，令
AC

è m n m n ÷
m AB n

AC AE ，观察到分母的系数相加为 1，则可得到E 为BC 上一点，再结合平行线等比关系
m n m n
以及图象可得到比例最小的具体位置
5．（22-23 高一下·广东珠海·期末）在VABC 中， AB 1， AC 2， BAC 60°， P 是VABC 的外接圆上的一

点，若 AP mAB nAC ，则m n的最大值是（ ）
3
A 1 B C 1． ． ． 2 D．2 3
【答案】B
【分析】利用余弦定理与勾股定理得VABC 是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量
的坐标，由向量的坐标运算可得m n的表达式，进而利用三角函数求最值即可.
【详解】因为在VABC 中， AB 1， AC 2， BAC 60°，
由余弦定理得BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos BAC 1 4 2 1 2 cos60° 3，
所以BC 3 ，则 AB2 BC 2 AC 2 ，所以 AB BC ，
故以 AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，

易得 A(1,0),C( 1,0), B(1 , 3 ) ，则 AB
1
,
3
÷÷ ，2 2 AC ( 2,0)
，
2 2 è
设 P 的坐标为 (cosq ,sin

q ) ，则 AP (cosq 1,sinq )，

又 AP mAB nAC ，

所以 (cosq 1,sinq ) m
1 3
, ÷÷ n 2,0
m
2n,
3 m
2 2 2 2 ÷÷
，
è è
ì
cosq
m
1 2n
2
m 2 3则 í ，得 sinq 1 1 3， n cosq sinq ，

sinq
3
m 3 2 2 6
2
所以m n
3
sinq 1 cosq 1 π 1 sin q ÷ 1
1 3
，
2 2 2 è 6 2 2 2

当且仅当 sin q
π
÷ 1
3
时，等号成立，即m n的最大值为 .
è 6 2
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到m, n的关系式，从而
利用三角函数的性质得解.
考点二、“mx+ny”或“mλ+nμ”型综合

1. 已知O是VABC 内一点,且OA OB OC 0 ,点 M 在VOBC 内(不含边界),若 AM AB AC ,则
2 的取值范围是
1, 5A. ÷
è 2
B. (1, 2)
2C. ,1

è 3 ÷
1D. ,1
è 2 ÷
【答案】B

【解析】因为O是VABC 内一点,且OA OB OC 0，所以O为VABC 的重心
M 在VOBC 内(不含边界),且当M 与O重合时, 2 最小,

此时 AM AB AC 2 é1ê (AB AC)
ù 1 AB 1 AC
3 2 ú 3 3
1所以 , 1 ,即 2 1
3 3

当M与C重合时, 2 最大,此时 AM AC
所以 0, 1 ,即 2 2
因为M 在VOBC 内且不含边界
所以取开区间,即 2 (1, 2) .

2. 已知VABC 为边长为 2 的等边三角形，动点 P 在以 BC 为直径的半圆上.若 AP AB AC ，则
2 的取值范围是__________
é 5 ù
答案: ê1, 2 ú
【解析】如图,取 AB 中点为 D ,

AP AB AC 2 AD AC
显然,当 P 与C 重合时, 2 取最小值 1.
将CD平行移动至与eO 相切处,
P 为切点时, 2 取最大值.
延长 PO交CD于G ,易知OG OF FP 1 .
2
EF AP 5
由等和线及平行截割定理, 2, .
FP AE 2
所以 2 5 的最大值为 .
2
故 2 5 é的取值范围是 ê1,
ù .
2ú

3. 若点C 在以 P 为圆心,6 为半径的弧 AB 上,且 PC xPA yPB ,则 2x 3y 的取值范围为______

【解析】令 PC (2x 3y)PD ,
x y
则 PD PA PB ,
2x 3y 2x 3y
2x 3y
即 PD PA PB ,
2x 3y 1 2x 3y 1
1 1
其中 PA1 PA, PB1 PB .2 3
2x 3y
由 1知点 D 在线段 A B 上,如下图:
2x 3y 2x 3y 1 1
由于在VPA1B1 中, PA1 3, PB1 2, A1PB1 120
° ,
且点 D 在线段 A1B1 上(含端点 A1, B1 ,
因此 | PH | | PD | PA1 ,其中 PH 是边 A1B1 上的高.
2 2 2 2 A1B1 PB1 PA1 PB1 PA1 2PB1 PA1 19
可得 A1B1 19 .
S 1VPA B PA
1
1 PB1 sin A1 1 2 1
PB1 A1B1 | PH |2
| PH | 3 57可得 .
19
3 57
所以, | PD | 3 .
19

再由 PC (2x 3y)PD

| PC | 6 é 2 57 ù
可知 2x 3y 2, .
| PD | | PD | ê 3
ú


4. 设长方形 ABCD的边长分别是 AD 1, AB 2 ,点 P 是VBCD 内(含边界)的动点,设 AP xAB y AD ,
则 x 2y 的取值范围是_________
解:如图,取 AD 中点 E ,则

AP xAB 2y AE,
此时的等和线为平行于 BE 的直线显然,当点 P 与点 B 重合时, x 2y 最小为1,当点 P 与C 重合时, x 2y 最
大,
CF BC
由于 2 ,
AF AE
AC
所以 3 ,
AF
AC
于是 x 2y 的最大值为 3,
AF
所以 x 2y 的取值范围是[1,3] .

1．在矩形 ABCD 3中， AB 1， AD 3，P 为矩形内一点，且 AP .若 AP AB AD , R ，则
2
3 的最大值为 ( 　　 )
3
A B 6． ． C 3 3 D 6 3 2． ．
2 2 4 4
【答案】B
p
【分析】可根据条件画出图形，根据图形设 PAE q ，且0 q ，则 AP 又可用 AB, AD表示为：2
ì 3
3 1
cosq
AP cosq AB sinq AD. 2所以根据平面向量基本定理得到： í ，所以
2 2

1
sinq
2
p
3 3 cosq sinq 6 sin q
p sin 6，
2 2 4 ÷
q ÷最大值为 1，所以 3 的最大值为 ．
è è 4 2
p
【详解】如图，设 PAE q ，0 q ，
2
3
则： 3 sinq 3 AP AE 1

AF cosq AB 2 AD cosq AB sinq AD ；
2 3 2 2

又 AP AB AD；
ì 3
cosq\í 2 ；
1
sinq 2
3 3\ cosq sinq 6 p 6 sin q ÷ ；2 2 è 4 2
\ 3 6的最大值为 ．
2
故选 B．
【点睛】考查共线向量基本定理，两角和的正弦公式，正弦函数 sinx的最大值，以及平面向量基本定理．
v v
2．（2023·安徽淮南·一模）已知G 是VABC的重心，过点G 作直线MN 与 AB ， AC 交于点M , N ，且 AM xAB，
v v
AN y AC ， x, y > 0 ，则3x y 的最小值是
8 7 5 4 2
A． B． C． D． 3
3 2 2 3 3
【答案】D
v v v v v v
【分析】首先根据M ,G, N 三点共线得到 AG t AM 1 t AN ，也就是 AG txAB 1 t y AC ，再利用
uuur 1 uuur 1 uuur 1 1AG AB AC 得到 3 3x y
3 3 x y
，最后利用基本不等式求 的最小值.
【详解】
v v v v v v
因为M ,G, N 三点共线，故 AG t AM 1 t AN ，因为 AM xAB, AN y AC ，所以
v v v uuur uuur uuur
AG txAB 1 t y AC 1 1，又G 为重心，故 AG AB AC 1，而 AB, AC 不共线，所以 tx , 1 t y 1 ，
3 3 3 3
1 1
也即是 3x y .
é ù
3x y 1 3x 1 1 1 y 3x y 4
3 x y ÷ 3 ê
÷ú，由基本不等式可以得到：
è è x y
y 3x
2 3 3 3
x y ，当且仅当 x , y
3 1
等号成立，故3x y 4 2 3的最小值为 ，故选 D.
9 3 3 3 3
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，
则需要对给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
v v v v v v v
3．已知O是 ABC内一点，且OA OB OC 0，点M 在 OBC 内（不含边界），若 AM AB AC ，则
2 的取值范围是
1, 5 1,2 2A． ÷ B． C． ,1
1
2 ÷
D． ,1÷
è è 3 è 2
【答案】B

【解析】根据OA OB OC 0可知 O 为 ABC的重心；根据点 M 在 OBC 内，判断出当 M 与 O 重合时，
2 最小；当 M 与 C 重合时， 2 的值最大，因不含边界，所以取开区间即可．

【详解】因为O是 ABC内一点，且OA OB OC 0
所以 O 为 ABC的重心
M 在 OBC 内（不含边界），且当 M 与 O 重合时， 2 最小，此时
2 é1 ù 1 1 AM AB AC ê AB AC ú AB AC 3 2 3 3
1 1
所以 , ，即 2 1
3 3
当 M 与 C 重合时， 2 最大，此时

AM AC
所以 0, 1，即 2 2
因为M 在 OBC 内且不含边界
所以取开区间，即 2 1,2
所以选 B
【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题．
4．（22-23 高三上·江苏南通·开学考试）在VABC 中， AB 3, AC 2， A p ，过VABC3 的外心 O 的直线(不
uuur uuur
经过点A )分别交线段 AB, AC 于D, E ，且 AD AB， AE AC ，则 的取值范围是（ ）
é11 4 6 13ù é, 11 4 6 , 23
ù
A． ê ú B． ê ú
18 10 18 15
é14 3 6 13ù é, 14 3 6 , 23
ù
C． ê D．
18 10
ú ê
18 15
ú

【答案】B
7
【分析】求得BC 7 ，外接圆的半径 r ，设 AO xAB y AC ，BO (x 1)AB y AC ，
3
7
CO xAB (y 1)AC ，根据 AO BO CO ，结合 AD AB, AE AC 和
3
4 1 8 10
D,O, E 三点共线，得到 1，进而求得 [ , ]9 6 15 3 ，利用基本不等式和函数的性质，即可求得

取值范围.
【详解】因为VABC 中， AB 3, AC 2, A
p
，
3
2 2 2 p
由余弦定理可得BC AB AC 2AB AC cos 9 4 2 3 2
1
7，
3 2
BC 7
即BC 7 ，且 r ，
2sin A 3

设 AO xAB y AC ，

则BO BA AO (x 1)AB y AC ，CO CA AO xAB (y 1)AC ，

所以 AO 9x2 4(y 1)2
7
6x(y 1) ，
3
2 2 7 2 2 7
同理可得9(x 1) 4y 6(x 1)y ，9x 4(y 1) 6x(y 1) ，
3 3
x 4 1
4 1
解得 , y ，所以 AO AB AC ，
9 6 9 6
uuur uuur 4 1 1 1
又因为 AD AB， AE AC ，所以 AO AD AE9 6 ，
4 1
因为D,O, E 三点共线，可得 19 6 ，
4 1 10
因为 [0,1]，所以 ( ) [0,1]9 6 ，所以

3 ，
同理可得0
8
1，所以 15
所以 (
4 1 11 4
) ( )
9 6 18 6 9 ，
t 8设 [ ,
10]，可得
11 t 4

15 3 ，18 6 9t
g t 11 t 4 1 4 2 2令 ，可得 g t 2 ，令 g t 0，解得 t ，18 6 9t 6 9t 3
t [ 8 , 2 2当 ) 时， g x 0， g t 单调递减；
15 3
t (2 2 ,10当 ]时， g x > 0， g t 单调递增，
3 3
t 2 2所以当 时， 11 1 4 11 4 6取得最小值，最小值为 2 ；
3 18 6 9 18
又由 g(
8 ) 23 g(10 ， )
39
，可得 g(
8 ) > g(10) ，
15 15 3 30 15 3
8 23
所以当 t 时， 取得最大值，最大值为 ，
15 15
é ù
所以
11 4 6 23
的取值范围是 ê , ú .
18 15
故选：B.
考点三、“x-y”或“λ-μ”型综合
p
1. 如图,已知O为锐角三角形 ABC 的外心, A ,且OA xOB yOC ,求 2x y 的取值范围？
3
解:

作圆O的直径CE, BD ,则点 A在劣弧 DE 上运动.于是OA ( x)OD ( y)OE .其中 x 0, y 0 .
考虑到问题涉及的代数式为 2x y ,为了利用向量分解的系数和的几何意义,
1
将条件转化为OA 2x ÷OD ( y)OE .
è 2
1
此时可知连接向量 OD 的终点 F 与向量OE 的终点 E 的直线 EF 即等系数和线,于是 2x y 1.
2
依次作出其余等系数和线,可得 2x y 的取值范围是 ( 2,1) .
1．（2023·全国·高三专题练习）在矩形 ABCD 中， AB 1， AD 3 ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切
uuur uuur uuur
的圆上.若 AP AB AD，则 的最小值为（ ）
A． 3 B．1 C．-1 D． 3
【答案】C
【解析】以 A 为原点，直线 AB，AD 为 x，y 轴建立平面直角坐标系，求出圆C 的标准方程，可得 P 的坐标
uuur uuur uuur
的参数q 形式，再由 AP AB AD用坐标表示，这样 就可表示为q 的三角函数，由三角函数恒等变
换可求得其最小值．
【详解】以 A 为原点，直线 AB，AD 为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 B(1,0)，C(1, 3)，D(0, 3)
3 3 3 3
直线 lED : 3x y 3，圆 C 与直线 BD 相切，所以圆 C 的半径 r d ，圆 C 的方程为
( 3)2 12 2
(x 1)2 3 (y 3)2 ，
4

设点P 1
3
cosq , 3 3 sinq ÷÷，即 AP 1
3
cosq , 3 3 sinq ，
è 2 2 è 2 2 ÷
÷

uuur uuur uuur
又 AP AB AD （ ，3 ），
ì
1
3
cosq

∴ 2í ，

3
3
3 sinq
2
所以
3
1 cosq 1
1 3 1 p
sinq ÷ cosq sinq cos q ÷ 1.2 è 2 2 2 è 6
即q 2kp
5p
,k Z 时， 取得最小值 1．
6
故选：C．

【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是建立平面直角坐标系，把向量 AP 用两种不同方法表示，从
而把 表示为参数q 的三角函数，利用三角函数知识求得最小值．
考点四、“mx-ny”或“mλ-nμ”型综合
1．（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AB ∥ DC ， AB 2 ，
AD DC 1 1，图中圆弧所在圆的圆心为点 C，半径为 2 ，且点 P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若

AP xAB y AC ，其中 x，y R ，则 4x y 的取值范围是（ ）
é 3 2 ù é 5 ù é 2 5 ù é2 17 17
ù
A． ê ，3 ú B． ê2，3 ú C． ê3 ，3 ú D． 3 ，3
4 2 4 2
ê 2 2 ú
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将 4x y 由 P 点坐标转化后数形结合求解

【详解】以A 点为坐标原点， AB, AD 方向为 x,y 轴正方向建立直角坐标系，则
A(0,0), B(2,0),C(1,1), D(0,1)，
ìm 2x y ìx m n
AB (2,0), BC ( 1,1) ，设P(m, n) ，则 ín y ，解得 í
2 ，
y n
故 z 4x y 2m n，即 n 2m z ，
P 1 数形结合可得当 ,1÷时， z 取最小值 2，
è 2
| 3 z | 1
当直线与圆 (x 1)2 (y
1
1)2 相切时， z2 ， 取得最大值4 5 3
5
.
2
故选：B
2．（2022春·安徽六安·高三阶段练习）在直角梯形 ABCD中， AB AD ，DC ∥ AB ， AD DC 1, AB 2，E 、
F 分别为 AB 、BC 的中点，点 P 在以A 为圆心， AD 为半径的圆弧DE 上变动，（如图所示），若

AP ED AF ，其中 , R ，则2 的取值范围是 ．
【答案】[ 1,1]
é p ù
【分析】如图以 AB, AD为 x, y轴建立直角坐标系，设P(cosa ,sina ) a ê0, ú ÷，则可表示出 AP 的坐标，è 2
可列出关于 , 的不等式组，表示出 , ，利用三角函数恒等变换公式化简，从而可求得结果
【详解】如图以 AB, AD为 x, y轴建立直角坐标系，则 A(0,0)， B(2,0)，C(1,1)， D(0,1)， E(1,0)
3 1
， F ( , ) ，
2 2
3 1
所以ED ( 1,1)， AF ( , )，
2 2
P(cosa ,sina ) a é0, p ù 设
è ê 2 ú
÷，


因为 AP ED AF
所以 (cosa ,sina ) (
3 1
, ) ，
2 2
ìcosa 3 2
所以 í
sina 1
，

2
1 1
解得 (3sina cosa ), (cosa sina )，
4 2
3
所以 2 sina
1 1 1
cosa cosa sina sina cosa 2 sin a
p
÷，2 2 2 2 è 4
π p p p
因为α
é0, ù é ùê ，所以a , ， 2 ú 4 ê 4 4 ú
2
所以 sin a
p 2

，
2 ֏ 4 2
p
所以 1 2 sin a ÷ 1，即 1 2 1，
è 4
故答案为：[ 1,1]
1．（2023·四川·校联考三模）在直角梯形 ABCD中， AB AD ， AD∥BC ， AB BC 2AD 2 ，E ，F 分
别为BC ，CD 的中点，以A 为圆心， AD 为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M ， N ，点 P 在M DN 上

运动（如图）.若 AP AE BF ，其中 ， R ，则 2 5 的取值范围是
A． 2,2 B． é 2,2 2ù é ù é ù C． 2 2,2 D． 2 2,2 2
【答案】C
【分析】根据直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可表达出 2 5 2cosa 2sina ，进而用辅助角公式
以及三角函数的性质即可求解.
【详解】
y 分别以 AB, AD所在直线为 x 轴， 轴， AB, AD方向为正方向建立直角坐标系，知
B 2,0 , D 0,1 , E 2,1 , F 1, 3 ÷ ,
è 2

P cosa ,sina 0 a π cosa ,sina 2,1 1, 3设 ，由 AP AE BF 得：

÷，即
è 2
ì2 =cosa

í ,

3
sina
2
则 2 5 2cosa 2sina 2 2 sin
3π
a 4 ÷
，
è
3π a 3π 7π0 a π 1 sin a 3π 2
3π
由 可得： ，则 4 4 4 4 ÷
，故 2 2 2 2 sin a 2 .
è 2

è 4 ÷
则 2 5 的取值范围是 é 2 2,2ù .
故选：C
考点五、系数和（等和线）的综合应用
1．如图所示，△ABC 中，AC＝3，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN＝2NC，AM 与 BN 相交于
点 P，且 PN＝2PM，则△ABC 面积的最大值为 ．
【答案】5

BM a

【分析】根据题意设 ,CN b ,作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理

分别表示出 AM , AP，即可求得 AP：PM，BP：PN 的值，再设 PM＝2t，求得 PN，PA，PB，设△APN 的面
积为 x，运用余弦定理和面积公式，结合二次函数的最值可得 x 的最大值，进而得到所求△ABC 的面积的最
大值．

【详解】设BM a,CN b ,
v v v
则 AM AC CM 3b a , BN BC CN 2a b ,
∵A、P、M 和 B、P、N 分别共线，
∴

存在实数 λ、μ，使 AP AM a 3 b , BP BN 2 a b

故BA BP AP ( 2 )a (3 )b .

而BA BC CA 2a 3b
ì 2 2
∴ í
3 3
，
ì 4

解得
5
í 3，
5

故 AP
4
AM , BP 3 BN
5 5
即 AP：PM＝4：1，BP：PN＝3：2，
设 PM＝t，则 PN＝2t，PA＝4t，PB＝3t，t＞0，
设△APN 的面积为 x，∠APN＝α，
在△APN 中，AN＝2，AP＝4t，PN＝2t，
2
cosα 4t 16t
2 4 5t 2 1 9t 4 10t 2 1
可得 ＝ ＝ ，sinα＝ ，
2 4t 2t 4t 2 4t 2
2
则 x 1 4t 2t sina 9t 4 10t 2 1 5 16 4 9 t 2
2 ֏ 9 9 3
当 t 2
5 4
5，即 t＝ 时，x 取得最大值 ，
9 3 3
3 3x
而△ABP 的面积为 x，△BPM 的面积为 ，
2 8
则△ABC 的面积为 2(
3x 3x
) 15 x，
2 8 4
15 4
则△ABC 的面积的最大值为 × ＝5．
4 3
故答案为：5．
2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是
由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知HE 2EB, M 为线段 AB 的中点，设 P 为

中间小正方形EFGH 内一点（不含边界）.若MP ME MB ，则 的取值范围为 .
【答案】 2,4

【分析】由题意MP ME MA，利用平面向量基本定理，数形结合与临界值法，即可求解.
【详解】过点A 作 AK ∥ME ，分别交EH , EF 于点 N , K ，
过点 N 作 NQ∥ AB ，交ME 的延长线于点Q，
过点K 作KL∥ AB，交ME 的延长线于点 L，如图，

由MP ME MB ME MA
可知，点 P 在线段 NK 上运动（不含端点）.

当点 P 与点 N 重合时，MP MQ MA 2ME MA，可知 2 .

当点 P 与点K 重合时，MP ML MA 4ME MA，可知 4 .
故 的取值范围为 2,4 .
故答案为： 2,4
2 2 2 2
3．（2023·黑龙江哈尔滨· x y x y一模）如图，椭圆 2 2 1 a > b > 0 与双曲线 2 2 1 m > 0,n > 0 有公共焦a b m n
点 F1 c,0 ，F2 c,0 c > 0 ，椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，点 P 为两曲线的一个公共点，且
1 3
F1PF2 60°，则 e2 e2
； I 为△F1PF2 的内心，F1, I ,G三点共线，且GP IP 0， x 轴上点 A, B满足
1 2

AI IP，BG GP，则 2 2的最小值为 ．
4 1 3【答案】
2
【分析】第一空：利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合图形建立方程，求出 PF1 , PF2 ，在利用余弦定理
建立关于离心率的齐次方程解出即可；
第二空：由 I 为△F1PF2 的内心，得出角平分线，利用角平分线的性质结合平面向量得出 e1及 e2 ，
代入 2 2中利用基本不等式求最值即可.
【详解】①由题意得椭圆与双曲线的焦距为 F1F2 2c ，
椭圆的长轴长为 2a ，双曲线的实轴长为 2m ，
不妨设点 P 在双曲线的右支上，
由双曲线的定义： PF1 PF2 2m，
由椭圆的定义： PF1 PF2 2a，
可得： PF1 m a, PF2 a m ，
又 F1PF2 60°，由余弦定理得：
PF 21 PF
2
2 PF1 PF2 FF
2 4c22 ，
2
即 m a a m 2 m a a m 4c2，
整理得： a2 3m2 4c2 ，
a2 3m2 1 3
所以： 2 2 4 4；c c e2 21 e2
② I 为△F1PF2 的内心，
PF IP PF IP
所以 IF2为 PF F
1 2
1 2 的角平分线，则有 ，同理： AF1 AI AF2 AI
，
PF1 PF 2
IP
所以 AF AF AI ，1 2
IP PF1 PF2 2a 1
所以 AI e IPAI AF ，即 1 ，1 AF2 2c e1

因为 AI IP，

所以 AI IP ，故 e1，
I 为△F1PF2 的内心，F1, I ,G三点共线，
GB BF BF
即F1G 为 PF
2 1
1B的角平分线，则有 BF BFPG PF2 PF
，又 2 1 ，
1
BG BF1 BF2 2c
所以 ePG PF PF 2m 2，即
BG e2 GP ，
1 2

因为BG GP，

所以 BG GP ，故 e2 ，

所以 2 2 e21 e
2 1
2 e21 e24 2
1 3
2 2 ÷
è e1 e2
1 21 3 3e1 e
2 1 2 2
2
2
2 ÷ 4 2
3e1 e2 3
2 2 ÷ 1 ，4 è e e 4 ÷2 1 è e2 e1 2
3e2 e2
当且仅当 1 22 2 e2 3e1时，等号成立，e2 e1
所以 2 2 3的最小值为1 ，
2
3
故答案为：4，1 .
2
【点睛】方法点睛：离心率的求解方法，
（1）直接法：由题意知道 a,c 利用公式求解即可；
（2）一般间接法：由题意知道 a,b或b,c利用 a,b,c的关系式求出 a,c ，在利用公式计算即可；
（3）齐次式方程法：建立关于离心率 e的方程求解.
1．（2024 高三·全国·专题练习）在VABC 中，三个内角分别为 A，B，C， AB 4 ， AC 3，BC 2，H 为VABC
y
的垂心．若 AH xAB y AC ，则 ．
x
11
【答案】
3
【分析】根据余弦定理可求解余弦，即可根据同角关系求解正切，进而运用定理 4 的结论，即可求解.
【详解】因为 AB 4 ， AC 3，BC 2，所以C > B > A，
16 9 4 7
由余弦定理可得 cos A > 0，
24 8
sin2 A cos2 A 1 A sin A 15 15由 以及 为锐角，可得 ，故 tan A ．
8 7
tan B 3 15同理， ．于是 tan C tan A tan A tan B B 15 ．
11 tan A tan B 1

接下来证明定理 4：O 是VABC （非直角三角形）的垂心 tan A OA tan B OB tan C OC 0．
证明：O 是VABC （非直角三角形）的垂心

OA OB OB OC OC OA

OA OB cos π C OB OC cos π A OC OA cos π B

OA : OB : OC cos A : cos B : cosC
S△BOC : S△AOC : S△AOB tan A : tan B : tan C ，

由定理 4 得 tan A HA tan B HB tan C HC 0 ，
15
故 AH 3 15
7 11 AB AH 15 AC AH 0，
7 77 y 11
化简得 AH AB AC ．所以 ．
15 45 x 3
11
故答案为：
3
1
2．（22-23 高二下·广东汕尾·期末）如图，在 VABC 中，点 D 在线段 AB 上，且 AD AB ，E 是CD 的中点，
3

延长 AE 交 BC 于点 H，点 P 为直线 AH 上一动点（不含点 A），且 AP AB AC （ , R）．若 AB 4 ，
且 AC BC ，则VCAH 的面积的最大值为 ．
3
【答案】
4
1 1 t t
【分析】因为E 是CD 的中点，得到 AE AC AB，设 AH t AE ，所以 AH AC AB ，根据 B , C , H2 6 2 6

三点共线，求得 AH
3 AC 1 AB，得到 AC 3 BC 1，得到 S
4 4 VACH
S
4 VABC
，
延长BC 于M ，使得CM AC ，延长 AC 于点 N ，使得CN BC ，结合相似，求得得到VAOM 为等腰三角
1
形，且OA OM 6，得出 SVAOM 6 6 18，进而取得VCAH 的面积的最大值.2
1 1 1
【详解】因为E 是CD 的中点，可得 AE (AC AD) AC AB ，
2 2 6
t t
设 AH t AE ，所以 AH AC AB ，2 6
t t 3 3 1
因为 B , C , H 三点共线，所以 1，解得 t ，所以 AH AC AB
2 6 2 4 4
t t
所以 AC BC ，所以 AC 3 BC ，所以CH
1 CB 1 ，所以 S
6 2 4 VACH
S ，
4 VABC
延长BC 于M ，使得CM AC ，延长 AC 于点 N ，使得CN BC ，如图所示，
VBCN VMCA 1 NB 1则 ∽ ，且相似比为 ，所以 ,
3 AM 3
V BO 1所以 NOB∽VMOA，所以 ，所以 AO 3BO，所以 AB 2BO ，
AO 3
因为 AB 4 ，所以BO 2 ，
1
所以VAOM 为等腰三角形，且OA OM 6，所以 SVAOM 6 6 18，2
SVABC 1 4 1
因为
1
S 4 6 6 ，所以 SVABC 18 3，VAOM 6
S 1 3 3所以 VACH .4 4
V 3所以 CAH 的面积的最大值为 .
4
【点睛】解决向量在平面几何中的应用问题的两种方法：
（1）坐标法，把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示出来，这样就能进行相
应的代数运算，从而使问题得到解决；
（2）基向量法，选取一组合适的基底，将未知向量用基底表示出来，然后根据向量的运算法则 运算律和
性质求解.
3 1 1
3．（20-21 高一·江苏·课后作业）已知△ABC 中，CD BC, EC AC, AF AB，若点 P 为四边形 AEDF
5 2 3
1
内一点(不含边界)且DP DC xDE ，则实数 x 的取值范围为 .
3
1 4
【答案】 ,
è 2 3 ÷
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数 x 的取值
范围.
1
【详解】解：如图所示，在线段 BD 上取一点 G，使得DG DC ，
3
设 DC=3a，则 DG=a，BC=5a，BG=a；
过点 G 作 GH∥DE，分别交 DF AE 于 K H，
连接 FH，则点 K H 为临界点；
2 4
GH∥DE 1，所以 HE EC，AH EC，HG DE3 ，3 3
AH 1 AF
，
HC 2 FB
所以 FH∥BC；
1
所以 FH BC3 ，
FH KH
所以 ，
DG KG
3
所以 KG HK，
5
3
KG
1
HG DE.
8 2
1 4
所以实数 x 的取值范围是( ， ).
2 3
1 4
故答案为：( ， ).
2 3
【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的
关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.
1．（2023 高三·全国·专题练习）在正方形 ABCD中， AC 与BD交于点O，E 为边BC 上的动点（不含端点），
2 1
AE AC DO，则 的最小值为
.
9
【答案】
2
【详解】解法一：建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB 2, E(2,a)(0 a 2)，则 D(0,2),O(1,1),C(2,2) ，
ì2 2
所以 AE (2,a), AC (2,2), DO (1, 1)，因为 AE AC DO，所以 í
2
，
a
ì 2 a
4 2 1 8 2 2(10 3a) 2(10 3a)
从而 í ，所以 f (a) (0 a 2)
2 a 2 a 4
，设
a2 4 a2
，
2 a
2
2 é 3 4 a2 2a(10 3a)ù 2 3a2 20a 12
则 f (a)
2(3a 2)(a 6)
2 2 ， 24 a2 4 a2 4 a2
2 2
所以 f (a) > 0
2
a 2, f 2 (a) 0 0 a ，从而 f (a)3 3 在
0, ÷上↘，在 , 2÷上↗，
è 3 è 3
f (a) f (2) 9
2 1 9
故 min ，所以 的最小值为 .3 2 2
解法二：建立如图所示的平面直角坐标系，设 AB 2, E(2,a)(0 a 2)，则 D(0,2),O(1,1),C(2,2) ，
ì 2 a
2 2 ì
所以 AE (2,a), AC (2,2), DO (1, 1)，因为 AE AC DO 4，所以 í
2
，从而
a í 2 a
，

2
2 1 8 2 1 8 2 [(2 a) (2 a)] 1 é10 8(2 a) 2(2 a)所以
ù
2 a 2 a 4 è 2 a 2 a ÷ 4 ê 2 a 2 a ú
1 é ù
ê10 2
8(2 a) 2(2 a) 9

4 2 a 2 a ú 2 ，ê ú
8(2 a) 2(2 a) 2 2 1 9
当且仅当 2 a 2 a 时等号成立，结合
0 a 2 可解得： a ，所以 .
3
的最小值为
2

解法三： AE AC DO

AC 2DO
2 ，设
t
2 ，则 AE AC t 2DO AC tDB，如图，设 AF DB ，

则C、E、F 三点共线，因为 AE AC tDB ，所以 t 1，即 1，从而 2 2，所以2
2 1 1 2 1 (2 ) 1 2 2

÷ 5÷ ，当E 在BC 上（不含端点）运动时，显然 > 0, > 0 2 2 ，所以è è
2 1 1 2 2 1 2 2 9 2
5 2 5
2 2
÷
2 ÷ 2 ÷ ，当且仅当
时取等号，容易验证满足 AE AC DO
è è 2 3 3 3
2 1 9
的点E 在BC 上，所以 的最小值为 .2
2．（2023 高三·全国·专题练习）如图，四边形OABC 是边长为 1 的正方形，点 D 在OA的延长线上，且

AD 1，点 P 是△BCD (含边界)的动点，设OP OC OD，则 的最大值为 ．
3
【答案】
2
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点 P 位于 B 点时，过点 B 作GH ∥DC ，交OC,OD的延长线于 G，H，

则OP xOG yOH ，且 x y 1，
GC CB 1
QVGCB∽VCOD ，\ ，
CO OD 2
3 3
\OP OB xOG yOH xOC yOD OC OD
2 2
3 x, 3 y 3 3 3所以 x y .
2 2 2 2 2
3
故答案为： .
2
3．（22-23 高一下·四川眉山·阶段练习）已知点 G 是VABC 的重心，过点 G 作直线分别与 AB, AC 两边相交于
1 1
点 M，N 两点（点 M，N 与点 B，C 不重合），设 AB xAM ， AC y AN ，则 x 1 y 1的最小值为 ．
【答案】4
y x
【分析】根据三角形重心及加法、数乘运算得到 AG AN AM ，由向量共线的推论得 x y 3，再应
3 3
用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
2 1
【详解】由题设 AG (AC AB)
1
(y AN y x xAM ) AN AM ，
3 2 3 3 3
又M , N ,G
x y
共线，如下图，则 1，即 x y 3，故 (x 1) (y 1) 1，
3
而 x, y (1, )，则 x 1 > 0, y 1 > 0，
1 1 ( 1 1 )[(x x 1 y 1 x 1 y 1所以 1) (y 1)] 2 2 2 4，
x 1 y 1 x 1 y 1 y 1 x 1 y 1 x 1
仅当 x 1 y 1，即 x y
3
时等号成立，
2
所以目标式最小值为 4.
故答案为：4
4．（2023 高三·全国·专题练习）如图，边长为 2 的等边三角形的外接圆为圆 O，P 为圆 O 上任一点，若

AP xAB y AC ，则 2x＋2y 的最大值为
8
【答案】
3
【分析】作 BC 的平行线与圆相交于点 P，与直线 AB 相交于点 E，与直线 AC 相交于点 F，设
AE AF
AP AE AF ， k ，把 x, y用 k, , 表示，由 1和 k 的范围，求 2x＋2y 的最大值.
AB AC
【详解】作 BC 的平行线与圆相交于点 P，与直线 AB 相交于点 E，与直线 AC 相交于点 F，

设 AP AE AF ，则 1，
2 3 8
等边三角形边长为 2，则外接圆半径为 ，当点 P 为切点时, AE AF ，
3 3
AE AF 4
∵ BC //EF ，∴设 k ，则 k
é
ê0,
ù 4
ú，当点 P 为切点时, k 有最大值 ,AB AC 3 3

AE k AB ， AF k AC ， AP AE AF k AB k AC
∴ x k ， y k ，∴ 2x 2y 2 k 2k 8 .
3
8
即 2x＋2y 的最大值为 .
3
8
故答案为：
3
5．（2023 高三·全国·专题练习）如图，在VABC 中，M 为边BC 上不同于 B ，C 的任意一点，点 N 满足
uuur uuur uuur
AN 2NM .若 AN xAB y AC ，则 x2 9y2 的最小值为 .
2
【答案】 /0.4
5
【分析】
3 3 AM AN xAB 3
3 3
根据题意，得 y AC ，因为M ， B ，C 三点共线，所以 x y 1，将 x2 9y2 化为
2 2 2 2 2
y 的函数求最小值即可.
【详解】
3 3 3
根据题意，得 AM AN xAB y AC .
2 2 2

因为M ， B ，C 三点共线，设BM BC, 0 1 ，则 AM AB AC AB ，

所以 AM 1 AB AC ，
ì
1
3
x
2
所以 í ，
3 y
2
3 3 2 2
所以有 x y 1，即 x y
0 y ，
2 2 3 ֏ 3
2 2
所以 x2 9y2 2 y

÷ 9y
2 10y2 4 y 4 10 y 1 2 2 ÷ 0 y

÷ ，
è 3 3 9 è 15 5 è 3
所以当 y
1 2
时， x2 9y2 取得最小值 .
15 5
2
故答案为：
5
6．（22-23 高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）如图，四边形 ABCD是边长为 1 的正方形，延长 CD 至
E，使得DE＝2CD．动点 P 从点 A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点，

AP AB AE ．则 的取值范围为 ．
【答案】 0，2
【分析】建立坐标系，讨论P AB，P BC ，P CD ，P AD四种情况，求出 的范围.
【详解】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为 1，则B 1,0 , E 2,1 ，

AE AD DE AD 2AB

∵ AP AB AE ( 2 )AB AD ( 2 ) 1,0 0,1 2 , ．
当P AB时，有0 2 1且 0 ，∴ 0≤ ≤1，∴ 0 1，
当P BC 时，有 2 1且0 1，∴1 2，
当P CD 时，有0 2 1且 1，∴1 2，
当P AD时，有 2 0 且0 1，∴ 0 1，
综上，0 2，
故答案为： 0，2
7．（23-24 高三下·安徽·阶段练习）已知正方形 ABCD的边长为 2，中心为O，四个半圆的圆心均为正方形

ABCD各边的中点（如图），若 P 在B C 上，且 AP AB AD，则 的最大值为 ．
3 2
【答案】
2
【分析】如图，以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，设
P cosq ,sinq ，q π,2π ,又 A 1,2 , B 1,0 ,C 1,0 , D 1,2 ,，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒
等变形与性质求解即可.
【详解】如图，以线段 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，
设P cosq ,sinq ，q π,2π
又 A 1,2 , B 1,0 ,C 1,0 , D 1,2 ,，

则 AP cosq 1,sinq 2 , AD 2,0 , AB 0, 2 ，

Q AP AD AE ，即 cosq 1,sinq 2 0, 2 2,0
ìcosq 1 2
\í ，
sinq 2 2
ì cosq 1
2
解得 í
2 sin
，
q

2
2 sinq cosq 1 1 1 cosq sinq 3 2 cos
π
2 2 2 2
q ÷ 3÷ ,
è è 4
因为q π,2π ，则q π 5π 9π é , ù
4 ê 4 4 ú
，

π π
所以当q 2π时， cos q ÷取得最大值 14 ，4 è
3 2则 的最大值为 .
2
3 2
故答案为： .
2
1 1
8．（23-24 高一下·天津·期中）如图，在VABC 中， AD AB, AE AC,CD 与 BE 交于点P, AB 2，
2 3
uuur uuur
AC 3, AP BC 1，则 AB AC 的值为 ；过点 P 的直线 l分别交 AB, AC 于点M , N ,设 AM mAB,

AN nAC (m > 0, n > 0)，则m 2n 的最小值为 .
8
【答案】 4
5

【分析】设 AP xAB y AC ，将 AB 2AD, AC 3AE 分别代入，利用共线定理的推论列方程组求出 x, y，然
1 1
后根据 AP BC 1求解可得 AB AC 4 ；将 AB AM , AC AN 代入 AP xAB y AC ，根据M , P, N 共线m n
2 1
可得 1，然后妙用“1”，利用基本不等式求解即可.
5m 5n

【详解】设 AP xAB y AC ，令 AB a , AC b ，
1 1
因为 AD AB, AE AC ，所以 AB 2AD, AC 3AE ，
2 3

所以 AP 2xAD y AC xAB 3y AE ，
ì2x y 1
又B, P, E 与C , P, D 分别共线，所以 í ，解得 x
2 1
, y .
x 3y 1 5 5
2 1 因为 AP BC a b b a 1，
è 5 5 ÷



所以 2a 2 a b b 2 5 0，即8 a b 9 5 0，

解得a b 4，即 AB AC 4 .

因为 AM mAB, AN nAC ，
1 1
所以 AB AM , AC AN ，
m n

AP 2 AB 1 AC 2

AM 1

所以 AN ，
5 5 5m 5n
因为M , P, N
2 1
共线，所以 1，
5m 5n
m 2n m 2n 2 1 4 4n m 4 4n m 8所以 ÷ 2 ，
è 5m 5n 5 5m 5n 5 5m 5n 5
4 2
当且仅当m , n 时，等号成立，
5 5
8
所以m 2n 的最小值为 .
5
8
故答案为：4； .
5
9．（21-22 高三上·河南郑州·阶段练习）如图，在扇形OAB 中， AOB 120° ，OA OB 2，点M 为OB的

中点，点 P 为曲边 AMB 区域内任一点（含边界），若OP mOA nOM ，则m n的最大值为 ．
2 21
【答案】
3
3 3
【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算即可得m y ， n x y ，进而根据线性规划求截距最
3 3
大或者根据三角换元法即可求解.
【详解】建立平面直角坐标系如图所示，
设B(2,0)，则M (1, 0)， A( 1, 3) ；

\ OA ( 1, 3)，OM (1,0)；

由 P 是区间内的任意点 (x, y)，且OP mOA nOM ，
\(x， y) ( m n ， 3m)，
\ x n m， y 3m；\m 3 y 3 ， n x y ，
3 3
m n x 2 3 y z x 2 3 y 3 3\ ，设 ，即 y x z，
3 3 2 2
用线性区域的方法，平移 AM 直到于圆弧相切，与 y 轴相交于M ,
此时直线截距最大，切点就是满足条件的点 P ；
3
由于此时切线的斜率为 k
2
π 3 2
此时 OP = 2,k = tan PMO+ ÷÷ = - ,由此 tan PMO = ，
è 2 2 3
OP
OM 2= = = 7
sin PMO 2 , 3 z 7 z 2 21故 因此此时 = = ，
7 2 3
m n z 2 21即 的最大值为 ，
3
2 21
故答案为： .
3
2p
10．（22-23 高三下·上海宝山·开学考试）如图所示， BAC ，圆 M 与 AB，AC 分别相切于点 D，E，
3

AD=1，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且 AP xAD y AE x, y R ，则 2x 3y的取值范围是
【答案】 é 10 2 19,10 2 19 ù
【分析】建立直角坐标系，求出圆 M 的方程，则点 P 在圆 M 内或其圆周上，根据点 P 的范围，将原问题转
化为线性规划求 目标函数的最大值和最小值问题.
【详解】如图以 A 为原点直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系：
1 3
由题意 BAC
2p
， AE AD 1 ，\D 1,0 , E , ÷÷ ，3 è 2 2
过点 D 作 AB 的垂线，过点 E 作 AC 的垂线，两垂线的交点即为圆心 M，在RtVADM 中，
DAM p p ，\MD AD tan 3 ，\M 1, 3 ，圆 M 的半径为3 3 MD 3 ；
设P n,m ，则 P 点圆 M 内或圆周上，
1 3 AE , 1

AD (1,0)， ÷÷， AP n, m ，由题意 AP xAD y AE x y,
3 y ÷÷ n, m ，
è 2 2 è 2 2
n x 1 y,m 3\ y ，
2 2
x n 3 m, y 2 3 m z 2x 3y 2n 8 3\ ， m ，即是求 z 的取值范围，也就是求 z 的最大值和最小
3 3 3
值，
z 2n 8 3根据几何意义，当直线 m 与圆 M 相切时 z 取最值，
3
: | 2 8 z |8 3 3, z 10 ± 2 19.此时M 到直线 2n m z 0 的距离为 4 64 3
，
3
所以 z 的范围为 é 10 2 19,10 2 19 ù ；
故答案为： é 10 2 19,10 2 19 ù .

11．（2024 高三下·全国·专题练习）如图，平面内有三个向量OA，OB ，OC ，其中OA,OB 120o ，

OA,OC 30o，且 OA OB 1， OC 2 3 ，若OC mOA nOB，则m n .
【答案】6

【分析】连接 AB ,交OC 于点D ,求得 OD DA 3 , DB 2 3 ，法一：由平面向量基本定理得
3 3
2 1 OD OA OB, 利用 OC 6 OD 求得m n；法二：根据等高线定理求解.
3 3
【详解】
连接 AB ,交OC 于点D ,

则 DOA OAD OBD 30° , BOD 90° , OD OB tan 30° 3 ,
3

OD DA 3

, DB 2 3 ,
3 3
1 2 1
法一：由平面向量基本定理得OD OA AD OA AB OA OB,
3 3 3

OC 2 3 6 OD ,
2 \OC 6 OA
1
OB ÷ 4OA 2OB, m n 6.
è 3 3

OC OC
k m n,k 2 3 6,\m n 6.法二：根据等高线定理可得 OD OD 3
3
故答案为：6
12．（22-23 高二上·上海宝山·阶段练习）设点 P 在以A 为圆心，半径为 1 的圆弧BC 上运动（包含 B 、C 两
2 v v v
个端点）， BAC p ，且 AP xAB y AC ，则 x y xy 的取值范围为 .
3
【答案】 1,3
uuur uuur
【分析】根据共线向量基本定理,设 AP mAM ,结合条件 AP xAB y AC 可求得 x y m的等量关系，根据 M
的位置可求得 x y 的范围，同时根据基本不等式，求得 xy的取值范围， 即可得 x y xy 的取值范围。
【详解】
uuur uuur
设 AP 与CB相交于M ,且 AP mAM
uuur uuur uuur
由C ，M ， B 三点共线可得 AM AC 1 AB
1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
即 AP AC 1 AB ,所以 AP m AC m 1 AB
m

又因为 AP xAB y AC
ìx m
所以 í
y m m
uuur
AP
即 x y m uuur
AM
uuur
AP
当 AP BC 时， AM
1
min ,此时 x y m uuur 22 AM
uuur
AP
当 P 与 B (或C )点重合时,此时 AM max 1 ,此时 x y m uuur 1
AM
所以 x y 1,2
2
由基本不等式 x y 2 xy , x y可得 xy
4
当 x 0或 y 0 时, xy 0
当 x=1 且 y=1 时，x+y=2，xy=1，则 xy 0,1
即 x y xy 1,3
【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于
中档题。
13．（19-20 高一上·黑龙江牡丹江·期末）如图，扇形的半径为 1，圆心角 BAC 120° ，点 P 在弧 BC 上运

动， AP xAB y AC ，则3x y 的最大值为 .
2 39
【答案】 .
3

【分析】如图所示：作平行四边形 AFPE ， E, F 分别在 AC, AF 上，故 AP AE AF xAB y AC ，计算得到
x 2 3 sinq ， y 2 3 sin 120° q 2 39，3x y sin q j ，得到答案.
3 3 3

【详解】如图所示：作平行四边形 AFPE ， E, F 分别在 AC, AF 上，故 AP AE AF xAB y AC .

故 AE x, AF y ，设 PAB q ，
1 x 1 y
根据正弦定理： ， ，
sin 60° sinq sin 60° sin 120° q
x 2 3 sinq y 2 3故 ， sin 120° q ，
3 3
故3x y 2 3 sinq 2 3 sin 120° q 7 3 sinq cosq 2 39 sin q j ，
3 3 3
tanj 3 7 3 2 39其中 ，当 tanq 时，有最大值为 .
7 3 3
2 39
故答案为： .
3
【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换的应用，意在考查学生的综合应用
能力.
14．（22-230 高三上·浙江台州·期末）如图，已知正方形 ABCD，点 E，F 分别为线段BC ，CD 上的动点，且

BE 2 CF ，设 AC xAE y AF （x， y R ），则 x y 的最大值为 .
2 1
【答案】
2

【分析】设边长为 1， CF a，建立直角坐标系，求得 AC, AE, AF 的坐标，根据题设用 a表示出 x y ，再
利用函数的性质，即可求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，并设边长为 1， CF a，

则 A(0,0),C(1,1), E(1, 2a), F (1 a,1)，可得 AC (1,1), AE (1, 2a), AF (1 a,1)，

由 AC xAE y AF , (x, y R) ，
ìx (1 a)y 1 a 1 2a
可得 í ，解得 x 2 , y ( 0 a
1
)
2ax y
其中 ，
1 2a 2a 1 2a2 2a 1 2
x y 1 a所以 ，
2a2 2a 1
1 x y t 1 1 2 1
令 t 1 a [ ,1] ，则
2 2t
2 2t 1 2t 1 2 2 2 2 2
，
t
2 2
当且仅当 t 时，即 a 1 时取等号，
2 2
所以 x y 2 1的最大值为 ．
2
2 1
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，向量的坐标运算，以及利用基本不等式求最值的应用，其
中解答中将平面向量问题坐标化，通过数形结合求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理
与运算能力．

AB AC 1

15．（22-23 高三·浙江·阶段练习）已知 ， AB 与 AC 所成角为60°，点 P 满足 AP AC 1，若

AP xAB y AC ，则 x y 的最大值为 .
【答案】1 2 3
3
1 3
【分析】可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设可得动点 P 在圆内运动,设点P cosq , sinq ÷÷ ,则
è 2 2
可用q 的三角函数表示 x y ,进而求得最大值.
1 3 1 3
【详解】由题,如图建系, A 0,0 , B 1,0 , C ,2 2 ÷÷ ,则 AB 1,0 , AC , ,è è 2 2 ÷
÷


因为 AP AC CP 1 ,则点 P 在以点C 为圆心,半径为 1 的圆内（包括边界）,
1
则设P cosq ,
3
sinq ÷÷ ,
è 2 2
ì1 1 cosq x y
2 2
因为 AP xAB y AC ,所以 í ,
3
sinq
3
y
2 2
3
所以 x y sinq cosq 1 2 3 sin q j 1 ,
3 3
因为q R ,所以 sin q j 1max ,
x y 1 2 3所以 的最大值为 ,
3
2 3
故答案为:1
3
【点睛】本题考查平面向量中基底向量的系数和的最值,考查坐标法表示向量的应用.
1
16．（22-23 高一下·重庆万州·期中）如图，在 VABC 中， BD BC ，点 E 在线段 AD 上移动（不含端点），
3
1
若 AE AB AC ，则 2 的取值范围是 ．
10
【答案】 ( , )
3

【分析】根据题意，设 AE mAD 0 m 1 ，根据向量的线性运算，利用 AB、AC 表示出 AE ，求出 和 ，
1
然后利用双钩函数的单调性求出 2 的取值范围.
1
【详解】解：由题可知，BD BC ，设 AE mAD 0 m 1 ，
3
1 é 1 则 AE m AB BC ÷ m êAB BA AC ù，è 3 3 ú
2 1
所以 AE m AB m AC ，
3 3

而 AE AB AC ，
2可得： m,
1
m，
3 3
1 m 3
所以 0 m 12 3 m ，
m 3
设 f m 0 m 1 ，
3 m
由双钩函数性质可知， f x 在 0,1 上单调递减，
则 f x > f 1 1 10 3 ，
3 3
1 10
所以 2 的取值范围是
( , ) .
3
10
故答案为： ( , ) .
3
【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的基本定理的应用，还涉及双钩函数的单调性，考查转
化思想和运算能力.

17．（21-22高三下·浙江杭州·阶段练习）已知正三角形 ABC 的边长为2，D是边BC 的中点，动点P满足 | PD | 1，

且 AP xAB y AC ，其中 x y 1，则 2x y 的最大值为 ．
5
【答案】 /2.5
2
ìa t cosq
【分析】构建以D为原点，BC, AD 为 x、y 轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设P(a,b) 且 í
b t sinq
( 1 t 1)，由向量线性关系的坐标表示列方程得到 2x y 关于 t,q 的三角函数式，应用正弦型函数性质求最
大值.
【详解】由题设， P 在以D为圆心，1 为半径的圆上或圆内，
构建以D为原点，BC, AD 为 x、y 轴的直角坐标系，如下图示：
a t cosq
所以 A(0, 3) ，B( 1,0)，C(1,0)，令P(a,b)
ì
且 í ( 1 t 1)
b
，
t sinq

所以 AP (a,b 3)， AB ( 1, 3)， AC (1, 3)，

又 AP xAB y AC ，即 (a,b 3) x ( 1, 3) y (1, 3) ，
ìy x a
3 1 3 3
所以 í 3b ，而 2x y (x y) (y x) b
1
a ，
x y 1 2 2 2 2 2 3
2x y 3 3 1 3 p则 t( sinq cosq ) t sin(q )，
2 2 2 2 6
故当 t sin(q
p ) 5 1时， 2x y 有最大值 .
6 2
5
故答案为：
2
ìa t cosq
【点睛】关键点点睛：构建直角坐标系并设P(a,b) 且 í ( 1 t 1)b t sinq ，应用平面向量线性关系的坐标
表示求得 2x y 关于参数的函数式求最值.
18．（22-23 高一下·湖北孝感·期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元 222 年，他为《周髀算经》一书作
序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由 4 个全等的直角三角形再加上中
间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由 3 个全等的三角形与中间一个小

等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设 AD AB AC ，若 AD 3AF ，则 的值为 .
6
【答案】
13
【分析】根据余弦定理、正弦定理以及平面向量基本定理求得 , ，进而求得正确答案.
2π
【详解】过D作DG//AC ，交 AB 于G ，则 AGD ，
3

由于 AD AB AC ，所以 AG AB,GD AC ，
π
设 ACF a ，则 DAG a ， ADG a ，
3
设 AF x ，则FD 2x ,
则CE BD x, EF DE 2x，
由于 AFC
2π
，所以在三角形 AFC 中，
3
由余弦定理得 AC x2 9x2 2 x 3x cos 2π 13x，
3
2
cosa x 13x
2 9x2 5
所以 ， sina 1 cos2 a
3 3
，
2 x 13x 2 13 2 13
在三角形 ADG 中，由正弦定理得：
AG AD 3x 3 3
AD sina 9
sina sin 2π
2 13
， AG 2π 13x，
3 sin 3 133 2
9
所以 .
13
sin DAG sin π a 3 1 3 ÷ cosa sina ，
è 3 2 2 2 13
在三角形 ADG 中，由正弦定理得：
DG AD 3x 3
AD sin DAG 3
sin DAG sin 2π DG
2 13
， 2π 13x，
3 sin 3 133 2
3所以 .
13
6
所以 .
13
6
故答案为：
13
【点睛】平面向量的基本定理可以解决向量分解的问题，相当于向量线性运算.在求解几何图形问题的过程
中，可考虑利用正弦定理或余弦定理来进行边角转化.
19．（23-24 高三上·陕西汉中·阶段练习）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能
给人以美感，激发学生对数学的兴趣.如图，在菱形 ABCD中， ABC 120o , AB 2，以菱形 ABCD的四条

边为直径向外作四个半圆， P 是这四个半圆弧上的一动点，若DP DA DC ，则 的最大值
为 .
5
【答案】
2
【分析】就 0和 0分类讨论，后者可根据对称性只需考虑 P 在 AD, AB对应的半圆弧上，前者
≤1，后者 1，而后者可建系处理.
【详解】连接 AC .

若 0，则DP DA DC CA，

若 不为零，则DP//CA，这与题设矛盾，若 为零，则 P 与D重合.

DP
若 0 ，则 DA DC ，


设 DA DC DS ，故
DP DS ，且 S , A,C 三点共线.

由对称可知只需考虑 P 在 AD, AB对应的半圆弧上.
当 P 在 AD 对应的半圆弧上（除D外）时，S 总在DP的延长线上，
故此时 ≤1 .
当 P 在 AB 对应的半圆弧上，S 总在DP之间，故此时 1
建立如图所示的平面直角坐标系，
3 3
则 A 1,0 ， AC : y x ，D 0, 3 ，
3 3
设P cosq ,sinq π q 0 ，
q π DS 2 3 2 3当 时， ，而 DP 1 3 ，2 3 3
1 3 3 3 5
此时 2 3 2 2 .
3
q π DP : y 3 sinq x 3 3 sinq当 时，则2 x 3
，
0 cosq cosq
ì
y 3 sinq x 3
2 3
cosq
í x 3由 可得 S ，
y 3 x 3
3 3 sinq
3 3 3 cosq
3 cosq 3 sinq
DP cosq 3 2 3
cos

q
π
3
DS 2 3 2 3 3
÷
è 3
故 ，
3 3 2 3
3 3 sinq
3
3 cosq
5 3
DP 5
当q
π
时，
3 .
3 è DS ÷
÷
2 3 2max
3
DP 5
综上，
è DS
÷÷
2max
5
故答案为：
2
【点睛】关键点睛：与向量的线性表示有关的最值问题中，如果考虑基底向量前系数的和的最值，则可利
用三点共线构造系数和的几何意义，这样便于求最值.
20．（23-24 高一下·安徽宿州·期中）由三角形内心的定义可得：若点O为VABC 内心，则存在实数 ，使得
AB AO
A C ÷ .在VABC 中， tan BAC 2 2 ，若点O为VABC 内心，且满足 AO xAB y AC ，则
è | AB | | AC |
x y 的最大值为 .
3 3
【答案】
2

【分析】设 AD AO xAB y AC ，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答即可.
【详解】延长 AO 交BC 于D，
设BC 与圆O相切于点E ， AC 与圆O相切于点F ，如图所示，

1 | AO |
则OE OF ，OE OD，设 AD AO xAB y AC ，且 .
| AD |
因为 B 、C 、D三点共线，所以 x y 1，
x y 1 | AO | | AO | | AO | 1
1 1

即 | AD | | AO | | OD | | AO | | OE | | OE | OF 1 sin BAC1 1 ，
| AO | AO 2
BAC 1
因为 tan BAC 2 2 ，所以 cos BAC 1 2sin2 ，2 3
又因为0 A π,0<
A π
BAC 3，所以 ，
2 2 sin 2 3
x y 1 3 3
所以 2 .
1 3
3
3 3
故答案为： .
2

展开更多......

收起↑