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第 07 讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难
度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、
极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，
高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo 相似
而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
1. 奔驰定理

如图，已知 P 为VABC 内一点，则有 S△PBC OA S△PAC OB S△PAB OC 0 .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
2. 奔驰定理的证明
如图：延长OA与 BC 边相交于点 D
BD S
则 VABD
S S
VBOD VABD
SVBOD S VAOB
DC SVACD SVCOD SACD SVCOD SVAOC

OD DC

OB BD

OC
BC BC
S S
VAOC OB VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB
OD S BOD S COD S BOD SCOD S VBOC
OA SBOA SCOA SBOA SCOA SVAOC SVAOB

OD S VBOC OA
SVAOC SVAOB
S
VBOC OA S VAOC OB S VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB

SVBOC OA SVAOC OB SVAOB OC 0
3. 奔驰定理的推论及四心问题

推论O是VABC 内的一点,且 x OA y OB z OC 0 ,则 SVBOC : SVCOA : SVAOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距
离之比为 2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内
心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着
决定性的基石作用.
已知点O在VABC 内部，有以下四个推论：

①若O为VABC 的重心，则OA OB OC 0；

②若O为VABC 的外心，则 sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0；或 OA OB OC

③若O为VABC 的内心，则 a OA b OB c OC 0；备注：若O为VABC 的内心，则

sin A OA sin B OB sin C OC 0 也对.

④若O为VABC 的垂心，则 tan A OA tan B OB tan C OC 0，或OA OB OB OC OC OA
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向
量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合
的数学思想.
考点一、奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知 O，N，P 在DABC所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0，且
PA PB PB PC PC PA，则点 O，N，P 依次是DABC的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C

【详解】试题分析：因为 OA OB OC ，所以O到定点 A, B,C 的距离相等，所以O为DABC的外心，由
v v
NA NB NC 0，则 NA NB NC ，取 AB 的中点E ，则 NA NB 2 NE CN ，所以 2 NE CN ，所以
v v v v v v
N 是DABC的重心；由PA PB PB PC PC PA，得 (PA PC) PB 0，即 AC PB 0，所以 AC ^ PB，
同理 AB ^ PC ，所以点 P 为DABC的垂心，故选 C.
考点：向量在几何中的应用.
2．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足

OP OA l
A B A C ÷，l [0, )，则 P 的轨迹一定通过VABC 的（ ）
è | AB | | AC |
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B

A B【分析】根据
A
C AB AC是以A 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知 P 点
| AB | | AC | | AB | | AC |
轨迹，据此可求解.

AP l( AB A【详解】 OP OA AP，
C )
| AB | | AC |

AB AC
令 AM ，
| AB | | AC |

AB AC
则 AM 是以A 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，| AB | | AC |

即 AM 在 BAC 的平分线上，

AP l AM ， AP, AM 共线，
故点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，
故选：B
3 P ΔABC , AB CB CA 2AB CP 2 2 ．设 是 所在平面内的一点若 且 AB AC 2BC AP .则点 P 是ΔABC 的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【详解】由 AB CB CA 2AB CP ，得 AB CB CA 2CP 0，
即 AB é CB CP CA CP ù 0，

所以 AB PB PA 0，

设 D 为 AB 的中点，则 AB 2PD 0，故 AB PD 0；
2 2
因为 AB AC 2BC AP ，
所以 AC AB AC AB 2BC AP，

所以BC AC AB 2AP 0，

设 BC 的中点为 E，同上可知BC PE 0 ，
所以 P 为 AB 与 BC 的垂直平分线的交点．
所以 P 是DABC 的外心．选 A．
【点睛】三角形“四心”的向量表示

①在VABC 中，若 | OA | | OB | | OC | 2 2 2或OA OB OC ，则点O是VABC 的外心；

②在VABC 中，若GA GB GC 0，则点G 是VABC 的重心；
v v v v
③在VABC 中，若OP OA l(AB
1
BC),l [0, )，则直线 AP 过VABC 的重心；
2

④在VABC 中，若HA HB HB HC HC HA，则点 H 是VABC 的垂心；
v v v vAB AC
⑤在VABC 中，若OP OA l( v v )(l > 0)AB AC ，则直线 AP 通过VABC 的内心．
v v v
4．已知点 P 是DABC所在平面内一点，且满足 AP l( v
AB
vAC )(l R)
AB cos B AC cosC ，则直线 AP 必经过DABC
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
v v v
【解析】两边同乘以向量BC ，利用向量的数量积运算可求得 AP BC 0从而得到结论．
v v v
AP l vAB

【详解】 v
AC ÷ l R

è AB cosB AC cosC ÷
v v v
两边同乘以向量BC ,得 AP ^ BC
t (1, 2]
即点 P 在 BC 边的高线上，所以 P 的轨迹过△ABC 的垂心，
故选 D.
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
5．设 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， 动点 P 满足
， ，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
AB
【详解】试题分析： OP OA l(
AC ) , OP OA l(
AB AC ) ,
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC

AP l( AB AC )
| AB | cos B | AC | cosC

AP BC l( AB AC ) BC l( A B BC A C BC )
| AB | cos B | AC | cosC | AB | cos B | AC | cosC

AB BC cos p B AC BC cosC
l( ) l( BC BC ) 0 , AP ^ BC ,
| AB | cos B | AC | cosC
则动点 P 的轨迹一定通过DABC的垂心．故 C 正确．
考点：1 向量的加减法;2 数量积;3 向量垂直．

1．若O是VABC 内一点，且OA OB OA OC OC OB ，则O为VABC 的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【答案】A

【分析】根据条件，可得OA CB OB CA OC BA 0，即OA ^ BC,OB ^ AC ，OC ^ AB，从而可得答案.

【详解】因为OA OB OA OC OC OB ，
所以OA OB OC OB OA OC OC OA OB 0，

即OA CB OB CA OC BA 0，
则OA ^ BC,OB ^ AC ，OC ^ AB，
即O是三条高线的交点，为VABC 的垂心.
故选：A.
2．已知点O是VABC 所在平面上的一点，VABC 的三边为 a,b,c ，若 aOA bOB cOC 0 ，则点O是VABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B


【分析】在 AB ， AC 上分别取点D，E ，使得 AD AB ， AE AC ，以 AD ， AE 为邻边作平行四边形 ADFE ，
c b
即可得到四边形 ADFE 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到A ，O，F 三点共线，即可
得到O在 BAC 的平分线上，同理说明可得O在其它两角的平分线上，即可判断.


【详解】在 AB ， AC 上分别取点D，E ，使得 AD AB ， AE AC ，则 AD AE 1．
c b
以 AD ， AE 为邻边作平行四边形 ADFE ，如图，


则四边形 ADFE 是菱形，且 AF AD AE AB AC ．
c b
AF 为 BAC 的平分线． aOA bOB cOC 0

a OA b (OA AB) c (OA AC) 0 ，

即 (a b c)OA b AB c AC 0 ，

b AO AB c AC bc AB AC bc ( ) AF ．
a b c a b c a b c c b a b c
A，O，F 三点共线，即O在 BAC 的平分线上．
同理可得O在其它两角的平分线上，
O 是VABC 的内心．
故选：B．
2 2
3．已知点 O 为VABC 所在平面内一点，在VABC 中，满足 2AB AO AB ， 2AC AO AC ，则点 O 为
该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
2 1
【分析】由 2AB AO AB ，利用数量积的定义得到 AO cos AB, AO AB ，从而得到点 O 在边 AB 的
2
中垂线上，同理得到点 O 在边 AC 的中垂线上判断.
2 2
【详解】解：根据题意， 2AB AO AB ，即 2AB AO 2 AB AO cos AB, AO AB ，

所以 AO cos AB, AO
1
AB ，则向量 AO 在向量 AB 上的投影为 AB 的一半，2
所以点 O 在边 AB 的中垂线上，同理，点 O 在边 AC 的中垂线上，
所以点 O 为该三角形的外心．
故选：B．
1
4．已知A ， B ，C 是不在同一直线上的三个点，O是平面 ABC 内一动点，若OP OA l AB BC2 ÷ ，è
l 0, ，则点 P 的轨迹一定过VABC 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
1
【分析】设出BC 的中点D，利用向量的运算法则化简 AB BC ；OP OA据向量共线的充要条件得到 P2
在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取BC 的中点D，连接 AD ，
1
则 AB BC AB BD AD
1
．又OP OA l(AB BC) ，
2 2


OP OA l AD，即 AP l AD．
又l 0, ，
P点在射线 AD 上．
故 P 的轨迹过VABC 的重心．
故选：B．

5．在平面上有VABC 及内一点 O 满足关系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即称为经典的“奔驰定

理”，若VABC 的三边为 a，b，c，现有 a OA b OB c OC 0则 O 为VABC 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式，推出点 O 到三边距离相等。
1 1 1
【详解】记点 O 到 AB、BC、CA 的距离分别为 h1，h2，h3 ， SVOBC a h2 ， SVOAC b h3 ， SVOAB c h2 2 2 1
，

因为 S△OBC OA S
1 1
△OAC OB S△OAB OC 0，则 a h2 OA b h3 OB
1
c h3 OC=02 2 2 ，即

a h2 OA b h3 OB c h1 OC 0，又因为 a OA b OB c OC 0，所以 h1 h2 h3 ，所以点 P 是△ABC 的内
心.
故选：B

6．已知 G，O，H 在VABC所在平面内，满足GA GB GC 0 ， | OA | | OB | | OC |，

AH BH BH CH CH AH ，则点 G，O，H 依次为VABC的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断出答案.
【详解】

因为GA GB GC 0 ，所以GA GB GC ，

设 AB 的中点 D，则GA GB 2GD，所以 GC 2GD ，
所以 C，G，D 三点共线，即 G 为VABC 的中线 CD 上的点，且GC 2GD，
所以 G 为VABC 的重心．

因为 | OA | | OB | | OC |，所以 OA＝OB ＝OC ，所以 O 为VABC 的外心；

因为 AH BH BH CH CH AH ，所以BH AH CH 0 ，即HB AC 0，

所以HB ^ AC ，同理可得：HA ^ BC ，HB ^ AB ，所以 H 为VABC 的垂心.
故选：C.
考点二、奔驰定理与其他问题综合
1．奔驰定理：已知O是DABC内的一点，DBOC ，DAOC ，DAOB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，则
v v v
SA OA SB OB SC OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角DABC内的一点，A ，
v v v v v v
B ，C 是DABC的三个内角，且点O满足OA OB OB OC OC OA，则必有（ ）
v v v
A． sin A OA sin B OB sin C OC 0
v v v v
B． cos A OA cos B OB cosC OC 0
v v v
C． tan A OA tan B OB tan C OC 0
v v v
D． sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
【答案】C
【分析】利用已知条件得到O为垂心，再根据四边形内角为2p 及对顶角相等，得到 AOB p C ，再根据

数量积的定义、投影的定义、比例关系得到 OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ，进而求出 SA : SB : SC 的值，
最后再结合“奔驰定理”得到答案.

【详解】如图，因为OA OB OB OC OC OA，

所以OB (OA OC) 0 OB CA 0，同理OA BC 0，OC AB 0，
所以O为DABC的垂心。
因为四边形DOEC 的对角互补，所以 AOB p C ，

OA OB OA OB cos(p C) OA OB cosC ．

同理， OB OC | OB‖OC | cos A，

OC OA | OC‖OA | cos B，

| OA‖OB | cosC | OB || OC | cos A | OC || OA | cos B ．

| O A ‖ O B | c o s C | O B || O C | c o s A | O C || O A | c o s B ，
| OA‖OB || OC | | OA‖OB || OC | | OA‖OB || OC |

OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ．
1 1
又 SA OB OC sin(p A) OB OC sin A2 2
1 SB OA OC sin(p
1
B) OA OC sin B
2 2
1 S OB OA sin(p C) 1

C OB OA sin C2 2
S : S : S si n A : s A B C
in B : s in C sin A : sin BOA OB OC :
sin C
tan A : tan B : tan C ．
cos A cos B cosC

由奔驰定理得 tan A OA tan B OB tan C OC 0 .
故选 C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变
形运用，属于难题.
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与
三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是VABC 内一点，

△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为 SA，SB，SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命题正确的有
（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，则M 为VAMC 的重心

B．若M 为VABC 的内心，则BC MA AC MB AB MC 0
C．若M 为VABC 的外心，则 MA MB AB MB MC BC MA MC AC 0

D 6．若M 为VABC 的垂心，3MA 4MB 5MC 0，则 cos AMB
6
【答案】ABC
【分析】对于 A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；
对于 B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；
对于 C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；
对于 D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.
【详解】对于 A，取BC 的中点D，连接MD, AM ,如图所示

由 SA : SB : SC 1:1:1

，则MA MB MC 0，

所以 2MD MB MC MA，
2
所以 A, M , D 三点共线，且 AM AD ，
3
2 2
设 E, F 分别为 AB, AC 得中点，同理可得CM CE, BM BF ，
3 3
所以M 为VAMC 的重心，故 A 正确；
对于 B， 由M 为VABC 的内心，则可设内切圆半径为 r ，如图所示
S 1则 A BC r, S
1
B AC r, S
1
2 2 C
AB r ，
2
1 1
所以 r BC MA r AC MB
1
r AB MC 0，
2 2 2

即BC MA AC MB AB MC 0，故 B 正确；
对于 C ，如图所示
因为M 为VABC 的外心，
所以MA MB MC ,
2 2 2 2
所以MA MB ，即MB MA 0，即 MB MA MB MA 0 ,

所以 MB MA AB 0 ,
同理可得， MB MC BC 0， MA MC AC 0
所以 MA MB AB MB MC BC MA MC AC 0，故 C 正确；
对于 D，延长 AM 交BC 于点D，延长 BM 交 AC 于点F ，延长CM 交 AB 于点E ，如图所示，

由M 为VABC 的垂心，3MA 4MB 5MC 0，则 SA : SB : SC 3: 4 : 5，
S
又 SVABC SA SB S
VABC
C ，则 4
S
，VABC 3
S ，A SB
设MD x，MF y ，则 AM 3x，BM 2y ，
所以 cos BMD
x y
cos AMF ，即3x2 2y22y 3x ，
所以 cos BMD 6 ，所以 cos AMB cos π 6 BMD ，故 D 错误.
6 6
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：根据奔驰定理及三角形的面积公式，结合三角形的四心的定义及性质即可.
1．奔驰定理：已知点 O 是VABC 内的一点，若VBOC,VAOC,VAOB的面积分别记为 S1, S2 , S3 ，则

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知 O 是VABC 的垂心，且

OA 2OB 3OC 0，则 cosC =（ ）
A 3 10 B 10． ． C 2 5 5． D．
10 10 5 5
【答案】B
【分析】延长CO交 AB 于点 P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得

S1 : S2 : S3 tan A : tan B : tan C ，再利用 S1 OA S2 OB S3 OC 0和OA 2OB 3OC 0可得
tan A : tan B : tanC 1: 2 : 3，不妨设 tan A k, tan B 2k, tan C 3k ，利用 tan A tan(B C)
tan B tanC

1 tan B tanC
可求出 k 的值，从而可求出 cosC 的值.
【详解】延长CO交 AB 于点 P，
O是VABC 的垂心， OP ^ AB，
S : S 11 2 OC BP

÷ :
1
OC AP

è 2 è 2 ÷
BP : AP (OP tan POB) : (OP tan POA) tan COB : tan COA tan(p A) : tan(p B) tan A : tan B ．
同理可得 S1 : S3 tan A : tan C ， S1 : S2 : S3 tan A : tan B : tan C ．

又 S1 OA S2 OB S3 OC 0，

tan A OA tan B OB tan C OC 0．

又OA 2OB 3OC 0，
tan A : tan B : tan C 1: 2 : 3．
不妨设 tan A k, tan B 2k, tan C 3k ，其中 k 0．
tan A tan(B tan B tan C C) ，
1 tan B tan C
k 2k 3k ，解得 k ±1．
1 2k 3k
当 k 1时，此时 tan A < 0, tan B < 0, tan C < 0，则 A，B，C 都是钝角，不合题意，舍掉．
故 k 1，则 tan C 3 > 0，故 C 为锐角，
ì sin C
3
∴ cosC 10í ，解得 cosC ，
2 sin C cos
2 C 1 10
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用
垂心的性质得 S1 : S2 : S3 tan A : tan B : tan C ，再结合已知条件得 tan A : tan B : tanC 1: 2 : 3，设
tan A k, tan B 2k, tan C 3k ，再利用两角和的正切公式可得 k ，从而可求得结果，考查计算能力和转化思
想，属于较难题.
2．（多选）如图. P 为VABC 内任意一点，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，总有优美等式

SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）

A．若 P 是VABC 的重心，则有PA PB PC 0

B．若 aPA bPB cPC 0成立，则 P 是VABC 的内心

C．若 AP
2
AB 1 AC ，则 S
5 5 △ ABP
: S△ ABC 2 : 5

D．若 P 是VABC π的外心， A 4 ，PA mPB nPC ，则
m n é 2,1
【答案】AB

【分析】对于 A：利用重心的性质 S△ PBC = S△ PAC =S△ PAB ，代入 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0即可；

对于 B：利用三角形的面积公式结合 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0与 aPA bPB cPC 0可知点 P 到
AB、BC、CA的距离相等.

对于 C：利用 AB、AC 将PA、PB、PC 表示出来，代入 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，化简即可表示出
S△ PBC、S△ PAC、S△ PAB 的关系式，用 SVPAB 将 S△ ABP、S△ ABC 表示出来即可得处其比值.

对于 D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将PA mPB nPC 两边平方，化简可得m2 +n2 1，结合
m、n的取值范围可得出答案.
【详解】对于 A：如图所示：因为 D、E、F 分别为CA、AB、BC 的中点，
1 2 1
所以CP 2PE ， SVAEC S , S S2 VABC VAPC 3 VAEC
S ，
3 VABC
1 1
同理可得 SVAPB SVABC 、 S3 VBPC
S
3 VABC
，
所以 S△ PBC = S△ PAC =S△ PAB ，

又因为 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，
uur uur uuur r
所以PA PB PC 0 .正确；
1 1 1
对于 B：记点 P 到 AB、BC、CA的距离分别为 h1、h2、h3 ， S△ PBC = a h2 , S△ PAC b h3 , S△ PAB c h ，2 2 2 1

因为 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，
1 1
则 a h2 PA b h PB
1
3 c h1 PC 0 ，2 2 2

即 a h2 PA b h3 PB c h1 PC 0，

又因为 aPA bPB cPC 0，所以 h1=h2 =h3，所以点 P 是VABC 的内心，正确；
2 1
对于 C：因为 AP AB AC ，
5 5
2 1 3 1
所以PA AB AC ，所以PB PA AB AB AC ，
5 5 5 5
2
所以PC PA AC
4
AB AC ，
5 5
2 1 3 1 S AB AC S 2
4
所以 VPBC ÷ VPAC AB AC
S ÷ VPAB AB AC

÷ 0，
è 5 5 è 5 5 è 5 5
2 S + 3 S 2 1 1 4

化简得： 5 VPBC 5 VPAC
S
5 VPAB ÷
AB S5 VPBC
S
5 VPAC
S
5 VPAB ÷
AC 0 ，
è è

又因为 AB、AC 不共线，
ì 2
S
3 2
5 VPBC
+ SVPAC S =05 5 VPAB ìSVPBC =2SVPAB
所以 í 1 1 4 ，所以 í S S =2S
，
VPBC S S =0 VPAC VPAB 5 5 VPAC 5 VPAB
S△ ABP SVPAB 1
所以 S ，错误；△ ABC SVPBC SVPAC SVPAB 5
π π
对于 D：因为 P 是VABC 的外心， A ，所以 BPC , PA PB PC4 2 ，

所以PB PC= PB PC cos BPC 0，
2 2 2
因为PA mPB nPC ，则 PA m2 PB 2mnPB PC n2 PC ，
化简得：m2 +n2 1，由题意知m、n同时为负，
ìm cosa
π 3π记 í ， < a < ，则m n cosa sina 2 sin

a +
π
n sina
，
2 è 4 ÷
5π a π 7π因为 < < ，所以 1 sin a
π

2
4 4 4 4 ÷
< ，
è 2
所以 2 2 sin
a + π ÷ < 1，
è 4
所以m n é 2, 1 ，错误.
故答案为：AB.
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O 是△ABC 内一点，

△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，且 SA OA SB OB SC OC 0 ．设 O 是锐角△ABC
内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）

A．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3

B．若 OA OB 2， AOB
5π
， ，则 S
9

6 2OA 3OB 4OC 0 VABC 2
π
C．若 O 为△ABC 的内心，3OA 4OB 5OC 0 ，则 C 2

D．若 O 为△ABC 6的垂心，3OA 4OB 5OC 0 ，则 cos AOB
6
【答案】ACD
【分析】对 A，由奔驰定理即可判断；
对 B，由面积公式求出 SC ，结合奔驰定理即可求；
π
对 C，由奔驰定理，结合内心性质可得 a : b : c 3: 4 : 5，即可得 C ；
2

对 D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得 OA : OB : OC cos A : cos B : cos C ，
结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得 SA : SB : SC tan A : tan B : tan C 3: 4 : 5，
如图所示 D、E、F 分别为垂足，可设 AF m， tan A 3t t > 0 ，即可由几何关系列式 AB FC AC BE 解
5 6
出 t ，最后由正切求出余弦值 cos C ，则由 cos AOB cos C 可求
5 6

【详解】对 A，由奔驰定理可得，OA 2OB 3OC SA OA SB OB SC OC 0，又OA、OB、OC 不共线，故
SA : SB : SC 1: 2 : 3，A 对；
S 1

对 B， C 2 2 sin AOB 1
9 9
，由 2OA 3OB 4OC 0得 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，故 SVABC SC ，B 错；2 4 4

对 C，若 O 为△ABC 的内心，3OA 4OB 5OC 0 ，则 SA : SB : SC 3: 4 : 5，又
S 1 1 1 πA : SB : SC ar : br : cr a : b : c （ r 为内切圆半径），三边满足勾股定律，故 C ，C 对；2 2 2 2

对 D，若 O 为△ABC 的垂心，则 BOC A π ，OB OC OB OC cos BOC OB OC cos A，
又OB AC OB OC OA 0 OB OC OB OA OC cos A OA cos C ，

同理 OC cos B OB cos C, OA cos B OB cos A，∴ OA : OB : OC cos A : cos B : cos C ，

∵ 3OA 4OB 5OC 0 ，则 SA : SB : SC 3: 4 : 5，
1 1
且 SA : SB : SC OB OC sin BOC : OA OC sin
1
AOC : OA OB sin AOB
2 2 2
cos B cos C sin A : cos Acos C sin B : cos Acos B sin C
sin A : sin B : sin C
cos A cos B cos C
tan A : tan B : tan C
如图， D、E、F 分别为垂足，
设 AF m， tan A 3t t > 0 ，则FC 3mt, BF 3 m, AB 7 m, AC 9t 2 1 m ，
4 4
AE : EC BE BE 5 15t又 : 5 : 3，故 AE AC, BE 3t AE AC ，
tan A tan C 8 8
由 AB FC AC BE
7 15t
m 3mt 9t 2 14 8 m
2 t 5，解得 ，
5
由 tan2 C 1 6 6 2 1 5 cos C ，故 cos AOB cos C ，D 对故选：ACDcos C 6 6
一、单选题
1．在VABC 2 2 中，动点 P 满足CA CB 2AB CP ，则 P 点轨迹一定通过VABC 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
2 2
【分析】由CA CB 2AB CP 变形得 AB (BP AP) 0 ，设 AB 的中点为E ，推出 AB ^ EP，点 P 在线
段 AB 的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.
2 2
【详解】因为CA CB 2AB CP ，
2 2
所以 2AB CP CB CA (CB CA) (CB CA) AB (CB CA) ，

所以 AB (2CP CB CA) AB (BP AP) 0，

设 AB 的中点为E ，则BP AP 2EP，则 AB 2EP 0，

所以 AB ^ EP，所以点 P 在线段 AB 的中垂线上，故点 P 的轨迹过VABC 的外心.
故选：A

2．若 O，M，N 在VABC 所在平面内，满足 | OA | | OB | | OC |, MA MB MB MC MC MA，且

NA NB NC 0，则点 O，M，N 依次为VABC 的（　　）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】

解：因为 | OA | | OB | | OC |，
所以 OA＝OB ＝OC ，
所以 O 为VABC 的外心；

因为MA MB MB MC MC MA，

所以MB （MA MC ）＝0，

即MB CA＝0，所以 MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以 M 为VABC 的垂心；

因为 NA NB NC 0，

所以 NA NB NC ，

设 AB 的中点 D，则 NA NB 2ND，

所以 NC 2ND ，
所以 C，N，D 三点共线，即 N 为VABC 的中线 CD 上的点，且 NC 2ND ，
所以 N 为△ABC 的重心．
故选：D．

3．已知 O 为VABC 内一点，若分别满足① OA OB OC ；②OA OB OB OC OC OA；③

OA OB OC 0；④ aOA bOB cOC 0 (其中 a,b,c为VABC 中，角 A, B,C 所对的边).则 O 依次是VABC
的
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】B
【解析】对①，易得点 O 到点 A, B,C 的距离相等即可判断.

对②，根据向量的数量积运算可求得OB ^ CA， OA ^ BC ，OC ^ AB即可判断.
对③，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.

AO bc
AB AC
对④，根据平面向量的线性运算可得 ÷，进而可知O在VABC 三个角的角平分线
a b c
è AB AC
÷

上即可证明.

【详解】对于①，因为① OA OB OC ，
所以点 O 到点 A, B,C 的距离相等，
即点 O 为VABC 的外心;

对于②，因为OA OB OB OC ，

所以OB (OA OC) 0，

所以OB CA 0 ，

即OB ^ CA，同理OA ^ BC,OC ^ AB ，
即点 O 为VABC 的垂心;

对于③，因为OA OB OC 0，

所以OA (OB OC)，

设 D 为BC 的中点，则OA 2OD ，
即点 O 为VABC 的重心;

对于④，因为 aOA bOB cOC 0，

故 aOA b OA AB c OA AC 0，整理得 a b c OA bAB cAC 0 .

bAB cAC AC AB AB AC AC AB A B AC

又 ÷，
AB AC ֏
AB AC
所以 AO
bc AB AC ÷ , .因为 分别为 ，
a b c ÷ AB AC AB AC 方向的单位向量，故
AO 与 BAC 的角平
è AB AC
分线共线.同理BO与 ABC 的角平分线共线，CO与 ACB 的角平分线共线.故点 O 为VABC 的内心.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，
利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.
4．给定△ABC，则平面内使得到 A，B，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】A
2 2 2
【分析】设G 为△ABC 的重心， P 是平面上的任一点，则得到 PA PB PC
2 2 2 2 3 PG GA GB GC ，即可得到结论.
【详解】设G 为△ABC 的重心， P 是平面上的任一点，
2 2 2 2 2 2
则 PA PB PC PG GA PG GB PG GC
2 2 2 2 3 PG GA GB GC 2 PG GA PG GB PG GC
2 2 2 2
3 PG GA GB GC 2PG GA GB GC
2 2 2 2
3 PG GA GB GC

当且仅当 PG 0即 P 与G 重合时， P 到 A，B，C 三点距离的平方和最小，
∴平面内使得到 A，B，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的重心.
故选：A.
2 2 2 2 2 2
5．若 H 为VABC 所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB 则点 H 是VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
2 2 2 2 2 2 2 2 【分析】由 HA BC HB CA 得到 HA BH HC = HB CH HA ，从而得到HC ^ BA，同
理证明即可.
2 2 2 2 2 2 2 2【详解】 HA BC HB CA HA BH HC = HB CH HA ，

得BH HC CH HA HC BA 0，即HC ^ BA；
2 2 2 2 2 2 2 2HA BC HC AB HA BH HC HC AH +HB ，

得BH HC AH HB BH AC 0，即BH ^ AC ；
2 2 2 2 2 2 2 2
HB CA HC AB HB CH HA HC AH HB ，

CH HA AH HB HA CB 0，即HA ^ CB ，所以 H 为VABC 的垂心.
故选：D.

6．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 个定点，A ， B ，C 不共线，若点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l R ，则点 P 的轨迹一定经过VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A

【分析】取线段BC 的中点E ，则 AB+ AC = 2AE ，依题可得 AP / / AE ，即可得答案.

【详解】取线段BC 的中点E ，则 AB+ AC = 2AE .

动点 P 满足：OP = OA+l(AB+ AC)，l R ，

则OP OA= 2l AE ，即 AP 2l AE ，所以 AP / / AE ，
又 AP I AE A，所以 A, E, P 三点共线，即点 P 的轨迹是直线 AE ，
一定通过VABC 的重心.
故选：A.
7．平面上有VABC 及其内一点 O，构成如图所示图形，若将VOAB，△OBC ， VOCA的面积分别记作 Sc ，
uur uuur uuur r
Sa，Sb，则有关系式 Sa OA Sb OB Sc OC 0 ．因图形和奔驰车的 logo很相似，常把上述结论称为“奔驰

定理”．已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若满足 a OA b OB c OC 0，则 O 为VABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
Sb b Sc c
【分析】根据平面向量基本定理可得 S a ，

S a ，延长CO交 AB 于E ，延长BO交 AC 于F ，根据面积a a
|AE | | AC |
比推出 | BE | | BC | ，结合角平分线定理推出
CE为 ACB 的平分线，同理推出 BF 是 ABC 的平分线，根
据内心的定义可得答案.
uur uuur uuur r S S b
【详解】由 S OA S OB S OC 0 得OA OB c OCa b c Sa S
，
a
b c
由 a OA b OB c OC 0得OA OB OC ，a a
Sb b Sc c
根据平面向量基本定理可得 ， Sa a S
，
a a
Sb b S c c所以 ， S ，a a Sa a
延长CO交 AB 于E ，延长BO交 AC 于F ，
Sb | AE | S b
则 b，又
|AE | b | AC |
S | BE | S a ，所以

a a | BE | a | BC |
，
所以CE为 ACB 的平分线，
同理可得 BF 是 ABC 的平分线，
所以O为VABC 的内心.
故选：B
2
2

2

8．已知点O ABC OA AB OA A C OB BA OB BC OC CA OC CB在平面 中，且 ÷ ÷ ÷ 0，则
è | AB | | AC | è BA BC
÷
è CA CB
÷

点O是VABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】D

OA AB OA AC
【分析】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.由题意得， 0，
| AB | | AC |

OB BA OB BC 0 OC CA OC CB 0 . 3 O .
BA BC ， CA CB 根据数量积的定义，化简这 个等式，即得点 的位置
【详解】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.
2
2

2
OA AB OA A
C OB BA OB÷
BC ÷ OC CA OC CB ÷ 0，
è | AB | | AC | è BA BC
÷ ÷
è CA CB

OA AB OA A C
OB
0，
BA OB BC 0 OC ，
CA OC CB 0 .
| AB | | AC | BA BC CA CB

OA AB OA AC当 0
OA AB OA
时，
A C
| AB | | AC | | AB | | AC |
如图所示

OA AB cos DAB OA AC cos DAC
即 ，
| AB | | AC |
DAB DAC, OAB OAC ，
点O在VABC 的内角A 的角平分线上.
同理，点O在VABC 的内角 B 的角平分线上，点O在VABC 的内角C 的角平分线上.
点O是VABC 的内心.
故选：D .
【点睛】本题考查向量的数量积，属于中档题.
9．奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，若VBOC 、VAOC 、VAOB的面积分别记为 S1、 S2 、 S3 ，则

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是VABC 的垂心，且OA 2OB 4OC 0 ，则
cos B ( )
1 2
A 2． B． C D 3．
3 3 3
．
3
【答案】A

【分析】由 O 是垂心，可得 tanA OA tanB OB tanC OC 0，结合OA 2OB 4OC 0 可得
tanA : tanB : tanC 1: 2 : 4，根据三角形内角和为 π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵ O是VABC 的垂心，延长CO交 AB 与点 P ，
∴ S
1
1 : S2 OC BP
: 1÷ OC AP

÷ BP : AP OPtan POB : OP tan AOP
è 2 è 2
tan BOC : tan AOC tan p A : tan p B tanA : tanB ，
同理可得 S1 : S3 tanA : tanC ，∴ S1： S2 : S3 tanA : tanB : tanC ，

又 S1 OA S2 OB S3 OC 0，

∴ tanA OA tanB OB tanC OC 0，

又OA 2 OB 4 OC 0，
∴ tanA : tanB : tanC 1: 2 : 4，
不妨设 tanA k，tanB 2k，tanC 4k ，其中 k 0，
∵ tanA tan é p B C
tanB tanC
ù tan B C ，1 tanBtanC
k 2k 4k∴ k 7 7，解得 或 k ，
1 2k 4k 8 8
7
当 k 时，此时 tanA < 0，tanB < 0，tanC < 0，则 A、B、C 都是钝角，则 A B C > p ，矛盾.
8
k 7 7 7 14故 ，则 tanB 2 > 0，∴ B 是锐角， sinB > 0，cosB > 0，
8 8 2 2
ì sinB 14

于是 ícosB 2 2，解得 cosB .
sin2 2 B cos B 1
3
故选：A.
v v v v
10 O VABC , A B C a,b,c PO aPA bPB cPC．已知 是 所在平面上的一点角 、 、 所对的边分别为 ，若 （其
a b c
中 P 是VABC所在平面内任意一点），则 O 点是VABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B

【分析】将所给向量表达式进行变形,表示成 AB 与 AC 方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即可
知 O 在角平分线上,即可得解.

【详解】因为PO aPA bPB cPC
a b c

a b c PO aPA bPB cPC 则 ,即 a P O b P O c P O a P A b P B c P C

移项可得 a PA a PO b PB b PO c PC c PO 0
即 a PA PO b PB PO c PC PO 0

则 aOA bOB cOC 0

因为OB OA AB,OC OA AC,
所以 aOA b OA AB c OA AC 0

化简可得 aOA bOA b AB cOA c AC 0 ,即 a b c OA bAB cAC

设 i 为 AB 方向上的单位向量, j 为 AC 方向上的单位向量

所以 A B c i , AC b j

则 a b c OA bci bc j

a b c OA bc i j
bc
所以OA i j
a b c
则O在 BAC 的角平分线上
同理可知 O在 CBA的角平分线上
因而O为DABC的内心
故选:B
【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档题.
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相
似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知 O 是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分

别为 SA、 SB 、 SC ，则有 SAOA SB OB SC OC 0，设 O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分
别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（ ）

A．若OA OB OC 0，则 O 为△ABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3

C．则 O 为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0

D．若 OA OB 2 AOB
5π 9
， ，
6 2OA 3OB 4OC 0
，则 SVABC 2
【答案】D
【分析】对于 A，假设D为 AB 的中点，连接OD ，由已知得O在中线CD 上，同理可得O在其它中线上，
即可判断；对于选项 B，利用奔驰定理可直接得出 B 正确；对于 C，由垂心的性质、向量数量积的运算律

OB AC OB OC OB OA 0，得到 OA : OB : OC cos BAC : cos ABC : cos BCA，结合三角形面积公
式及角的互补关系得结论，可判断 C 正确；选项 D，根据奔驰定理可得 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，再利用三角形
面积公式可求得 SC 1，即可计算出 S
9
VABC ，可得 D 错误；2
【详解】对于 A：如下图所示，

假设D为 AB 的中点，连接OD ，则OA OB=2OD CO，故C,O, D 共线，即O在中线CD 上，
同理可得O在另外两边BC, AC 的中线上，故 O 为VABC 的重心，即 A 正确；
对于 B：由奔驰定理 O 是VABC 内的一点，VBOC,VAOC,VAOB的面积分别为 SA , SB , SC ，

则有 SA OA SB OB SC OC 0 可知，

若OA 2OB 3OC 0 ，可得 SA : SB : SC 1: 2 : 3，即 B 正确；

对于 C：由四边形内角和可知， BOC BAC π，则OBgOC OB OC cos BOC OB OC cos BAC ，

同理，OBgOA OB OA cos BOA OB OA cos BCA，

因为 O 为VABC 的垂心，则OB AC OB (OC OA) OB OC OB OA 0，

所以 OC cos BAC OA cos BCA，同理得 OC cos ABC OB cos BCA， OA cos ABC OB cos BAC ，

则 OA : OB : OC cos BAC : cos ABC : cos BCA，

令 OA mcos BAC, OB mcos ABC, OC mcos BCA，
1 1 m2
由 SA OB OC sin BOC ，则 SA OB OC sin BAC cos ABC cos BCAsin BAC ，2 2 2
1 m2
同理： SB OA OC sin ABC cos BAC cos BCAsin ABC ，2 2
1 m2SC OA OB sin BCA cos BAC cos ABC sin BCA，2 2
S : S : S sin BAC sin ABC综上， A B C : :
sin BCA
tan BAC : tan ABC : tan BCA，
cos BAC cos ABC cos BCA

根据奔驰定理得 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0，即 C 正确.

对于 D：由 | OA | | OB | 2, AOB
5π 1
可知， SC 2 2
5π
sin 1，
6 2 6

又 2OA 3OB 4OC 0，所以 SA : SB : SC 2 : 3 : 4
由 SC 1
1
可得， SA , S
3
B ；2 4
1 3 9
所以 SVABC SA SB SC 1 ，即 D 错误；2 4 4
故选：D.
【点睛】关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和
奔驰定理判断结论即可.
二、多选题
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的
logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知 O 是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，VAOB的

面积分别为 SA， SB ， SC ，则 SA OA SB OB SC OC 0 .若 O 是锐角VABC 内的一点，A，B，C 是VABC

的三个内角，且点 O 满足OA OB OB OC OA OC .则（ ）
A．O 为VABC 的外心 B． BOC A p

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC D． SA : SB : SC tan A : tan B : tan C
【答案】BCD

【分析】由OA OB OB OC OA OC 确定出点 O 是三角形的垂心，判断 A；利用直角三角形角的关系、
边角关系计算判断 B，C；由直角三角形边角关系计算判断 D 作答.

【详解】依题意，OA OB OB OC OB OA OC 0 OB CA 0 OB ^ CA，
同理 OA⊥CB，OC⊥AB，则 O 为VABC 的垂心，A 错误；
如图，直线CO, BO分别交 AB，AC 于 P，Q，由选项 A 知，CP ^ AB, BQ ^ AC ，
OBC ACB p p ， OCB ABC ，则 OBC ACB OCB ABC p ，
2 2
又 OBC OCB BOC p ，即有 BOC ACB ABC ，又 BAC ACB ABC p ，
因此 BOC BAC p ，B 正确；
由选项 B 知， BAC p BOC ，同理 ABC p AOC ，
cos A : cos B cos p BOC : cos p AOC cos BOP : cos OP OP AOP : OA : OB，
OB OA
同理可得 cos A : cosC OA : OC ，因此 cos A : cos B : cosC OA : OB : OC ，C 正确；
S 1A : SB ( OC BP) : (
1 OC AP) BP : AP OP tan POB : OP tan AOP
2 2
tan BOC : tan AOC tan p A : tan p B tan A : tan B ，
同理可得 SA : SC tan A : tan C ，所以 SA : SB : SC tan A : tan B : tan C ，D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.
13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，
故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，VAOB的面积分别为

SA , SB , SC ，则有 SA OA SB OB SC OC 0 .设O是锐角VABC 内的一点， BAC ， ABC ， ACB 分别
是VABC 的三个内角，以下命题正确的有（ ）

A．若OA OB OC 0，则O为VABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3
uur uuur
C．若 | OA | | OB | 2， AOB
5π 9
，
6 2OA 3OB 4OC 0
，则 SVABC 2

D．若O为VABC 的垂心，则 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0
【答案】ABD
【分析】对于 A，假设D为 AB 的中点，连接OD ，由已知得O在中线CD 上，同理可得O在其它中线上，
即可判断；对于选项 B，利用奔驰定理可直接得出 B 正确；对于 C，根据奔驰定理可得 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，
9
再利用三角形面积公式可求得 SC 1，即可计算出 SVABC ，可得 C 错误；选项 D，由垂心的性质、向量数4

量积的运算律OB AC OB OC OB OA 0，得到 | OA |:| OB |:| OC | cos BAC : cos ABC : cos BCA，结合
三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于 A：如下图所示，

假设D为 AB 的中点，连接OD ，则OA OB 2OD CO ，故C,O, D 共线，即O在中线CD 上，
同理可得O在另外两边BC, AC 的中线上，故 O 为VABC 的重心，即 A 正确；
对于 B：由奔驰定理 O 是VABC 内的一点，VBOC,VAOC,VAOB的面积分别为 SA , SB , SC ，

则有 SA OA SB OB SC OC 0 可知，

若OA 2OB 3OC 0，可得 SA : SB : SC 1: 2 : 3，即 B 正确；
uur uuur
对于 C：由 | OA | | OB | 2， AOB
5π S 1 5π 可知 C 2 2 sin 1，6 2 6

又 2OA 3OB 4OC 0，所以 SA : SB : SC 2 : 3 : 4 ，
由 SC 1
1 3
可得 SA , SB ；2 4
S S S S 1 3 9所以 VABC A B C 1 ，即 C 错误；2 4 4
对于 D：由四边形内角和可知， BOC BAC π，

则OB OC | OB || OC | cos BOC | OB | | OC | cos BAC ，

同理OB OA | OB || OA | cos BOA | OB | OA | cos BCA，
因为 O 为VABC 的垂心，则OB AC OB OC OA OB OC OB OA A 0，
所以 | OC | cos BAC | OA | cos BCA，

同理得 | OC | cos ABC | OB | cos BCA， | OA | cos ABC | OB | cos BAC ，
则 | OA |:| OB |:| OC | cos BAC : cos ABC : cos BCA，

令 | OA | mcos BAC,| OB | mcos ABC,| OC | mcos BCA，
1
由 SA | OB || OC | sin BOC ，2
1 2
则 SA | OB || OC | sin BAC
m
cos ABC cos BCAsin BAC ，
2 2
1 2
同理： SB | OA || OC | sin ABC
m
cos BAC cos BCAsin ABC ，
2 2
S 1
2
C | OA || OB | sin BCA
m
cos BAC cos ABC sin BCA，
2 2
S : S : S sin BAC : sin ABC : sin BCA综上， A B C tan BAC tan ABC tan BCA，cos BAC cos ABC cos BCA

根据奔驰定理得 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0，即 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式
和奔驰定理判断结论即可.
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形
四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 M 是 VABC 内一点，△BMC ，

VAMC ，VAMB的面积分别为 SA， SB ， SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命题正确的是（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，则 M 为VAMC 的重心

B．若 M 为VABC 的内心，则BC MA AC MB AB MC 0
C．若 BAC 45°， ABC 60°，M 为VABC 的外心，则 SA : SB : SC 3 : 2 :1

D M VABC 2．若 为 的垂心，MA 2MB 3MC 0 ，则 cos BAC
2
【答案】ABD
uuur uuur uuur r 2 2
【分析】A 选项，作出辅助线，得到MA MB MC 0，故 AM AD ，同理得到CM CE ，3 3
2 BM BF 1 ，所以 M 为VAMC 的重心，故 A 项正确；B 选项，设内切圆半径为 r，得到 SA BC r ，3 2
S 1 AC r S 1

B ， C AB r ，代入公式得到BC MA AC MB AB MC 0；C 选项，设VABC 的外接圆半2 2
1 2 1
径为 R，表达出 SA R ， S
3
R2 S R2， C ，从而得到答案；D 选项，求出 SA : SB : SC 1: 2 : 3B ，设2 4 4
MD x， MF y，由面积比得到 AM 5x ， BM 2y cos AMF 10，由三角函数值得到方程，得到 ，
10
5
同理得到 cos AME ，利用 cos BAC cos( BAM CAM )求出答案.
5
【详解】对于 A，取 BC 的中点 Q，连接 MQ，
uuur uuur uuur r
由 SA : SB : SC 1:1:1，则MA MB MC 0，

所以 2MD MB MC MA，

所以 A，M，Q 三点共线，且 AM
2
AQ ，
3
2 2
设 R，T 分别为 AB，AC 的中点，同理可得CM CR，BM BT ，
3 3
所以 M 为VAMC 的重心，故 A 项正确；
对于 B，由 M 为VABC 的内心，设内切圆半径为 r，
S 1则有 A BC
1
r ， SB AC r
1
， SC AB r ，2 2 2
1 1 1
所以 r BC MA r AC MB r AB MC 0，
2 2 2

即BC MA AC MB AB MC 0，故 B 项正确；
对于 C，由 M 为VABC 的外心，设VABC 的外接圆半径为 R，
又因为 BAC 45°， ABC 60°，
所以 BMC 2 BAC 90°， AMC 2 ABC 120°， AMB 2 ACB 150°，
S 1 R2所以 A sin
1
BMC R2 sin 90 1° R2 ，
2 2 2
S 1 R2B sin AMC
1
R2 sin120 3° R2 ，
2 2 4
S 1 R2C sin AMB
1
R2 sin150 1° R2 ，
2 2 4
所以 SA : SB : SC 2 : 3 :1，故 C 错误；
对于 D，延长 AM 交 BC 于点 D，延长 BO 交 AC 于点 F，延长 CO 交 AB 于点 E，

由 M 为VABC 的垂心，MA 2MB 3MC 0 ，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3，
S S
又 SVABC S S S
△ABC
A B C ，则 6
VABC
， 3S ，A SB
设MD x，MF y，则 AM 5x ，BM 2y ，
所以 cos BMD
x
cos AMF y x 10
2y 5x ，即5x
2 2y2 ，
y 5
cos AMF 10 5所以 ，同理 cos AME ，
10 5
2 2

故 sin AMF 1 10 3 10 sin AME 1 5 2 5 ÷÷ ， 10 10 5 ÷÷
，
è è 5
∴ cos BAC cos( BAM CAM )
cos BAM cos CAM sin BAM sin CAM
sin AME sin AMC cos AME cos AMF
2 5 3 10 5 10 2
，故 D 正确．
5 10 5 10 2
故选：ABD．

【点睛】结论点睛：点O为VABC 所在平面内的点，且OA OB OC 0，则点O为VABC 的重心，

点O为VABC 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ，则点O为VABC 的垂心，

点O为VABC 所在平面内的点，且 OA OB OC ，则点O为VABC 的外心，

点O为VABC 所在平面内的点，且 aOA bOB cOC 0，则点O为VABC 的内心，
15．奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，VAOB的面积分别为 SA， SB ， SC ，则

SA OA SB OB SC OC 0 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O、 P 是锐角VABC 内的点，A 、
1
B 、C 是VABC 的三个内角，且满足PA PB PC CA，
3 OA OB OB OC OC OA
，则（ ）
A． S△PAB : S△PBC : S△PCA 4 : 2 : 3
B． A BOC π

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC

D． tan A OA tan B OB tan C OC 0
【答案】ABCD
1
【分析】 PA PB PC CA变形后表示为 PB
2
PA 4 PC ，再由奔驰定理得出向量 PB, PA, PC 的关系，
3 3 3
利用平面向量基本定理判断 A，利用数量积的运算，变形后证明O是VABC 的重心，由平面几何知识判断
B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项 B 的结论可证明 C，求出△AOB,△BOC,△COA的
面积，利用选项 B 的结论转化，再利用选项 C 的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断 D．
1 1
【详解】因为PA
2 4
PB PC CA，所以PA PB PC (PA PC)，即 PA PB PC 0，所以
3 3 3 3
2 PB 4

PA PC ，
3 3
S
S PA S PB S PC 0 PB △PBC
S△PAB
又由奔驰定理 得 PA PC△PBC △PCA △PAB S△PCA S
，
△PCA
S 2 S 4
因为PA, PC △PBC , △PAB不共线，所以 S ，△PCA 3 S△PCA 3
所以 S△PAB : S△PBC : S△PCA 4 : 2 : 3，A 正确；
延长 AO, BO,CO 分别与对边交于点D, E, F ，如图，

由OA OB OB OC 得OB (OA OC) OB CA 0，所以OB ^ AC ，同理OC ^ AB,OA ^ BC ，所以O是
VABC 的垂心，
所以四边形 AEOF 中 BAC EOF p ， EOF BOC ，所以 A BOC p ，B 正确；

由OA OB OB OC OC OA得 OA OB cos AOB OB OC cos BOC OC OA cos AOC ，

所以 OA : OB : OC cos BOC : cos AOC : cos AOB ，
由选项 B 得 cos BOC cos A， cos AOC cos B ， cos AOB cosC ，

所以 OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ，C 正确；
由上讨论知，
S 1△OBC OB OC sin BOC
1
OB OC sin A，
2 2
S 1△OAC OA OC sin AOC
1
OA OC sin B
2 2
S 1△OAB OA OB sin AOB
1
OA OB sin C ，
2 2
所以 S : S
sin A sin B sin C
△OBC △OAC : S△OAB : :AO OB OC ，

又由选项 C： OA : OB : OC cos A : cos B : cosC ，
得 S△OBC : S : S
sin A sin B sin C
△OAC △OAB : : tan A : tan B : tan C ，cos A cos B sin C

由奔驰定理： SA OA SB OB SC OC 0 得 tan A OA tan B OB tan C OC 0，D 正确．
故选：ABCD．
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理
解新知识、应用新知识的能力．解题关键一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法
是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数量积的运算得出O是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得
出角的关系，再利用三角函数知识进行推导得出相应结论．
三、填空题
16．在面上有VABC 及内一点O满足关系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即称为经典的“奔驰定理”，

若VABC 的三边为 a，b ， c，现有 a OA b OB c OC 0，则O为VABC 的 心.
【答案】内
bc AB AC
【分析】利用平面向量的线性运算得到 AO ( )，再利用三角形内心的性质求解即可．
a b c c b

【详解】 OB OA AB ，OC OA AC ，

a OA b OB c OC a OA b(OA AB) c(OA AC)

(a b c) OA b AB c AC 0 ，

AO bc ( AB AC )，
a b c c b

AB AC ， 分别是 AB ， AC 方向上的单位向量，
c b

AB AC向量 平分 BAC ，即 AO 平分 BAC ，同理BO平分 ABC ，
c b
O 为VABC 的内心，
故答案为：内
17．已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足

OP OA OB CA CB

l ÷，l R ，则 P 的轨迹一定经过VABC 的 ．(从“重心”，“外
2
è CA cos A CB cos B
÷

心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
OA OB CA CB
【分析】 D为 AB 中点，连接CD ，计算OP DP ， ÷ BA 0

，得到
DP ^ BA，2 è CA cos A CB cos B
÷

得到答案.
【详解】如图所示：D为 AB 中点，连接CD ，

CA CB ÷ BA C A BA C B BA BA BA 0 ，

è CA cos A CB cos B
÷
CA cos A CB cos B
OA OB OP OP OD DP，故DP BA l
CA
CB ÷ BA 0，
2 è CA cos A CB cos B
÷


即DP ^ BA，故 P 的轨迹一定经过VABC 的外心.
故答案为：外心
18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：

①若 P 是VABC 的重心，则有PA PB PC 0 ；

②若 aPA bPB cPC 0成立，则 P 是VABC 的内心；

AP 2
1
③若 AB AC ，则 S△ ABP : S5 5 △ ABC
2 : 5；
π
④若 P 是VABC 的外心， A ，PA mPB nPC ，则m n é 2,14 ；
7
⑤若VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A ，O 为VABC 内的一点且为内心.若
8
4
AO xAB y AC ，则 x y 的最大值为 .
5
则正确的命题有 .（填序号）
【答案】①②④⑤
【分析】根据已知可推得 SVPBC SVPAC SVPAB，根据“奔驰定理”即可得出①；记点 P 到 AB，BC，CA 的距

离分别为 h1 ， h2 ， h3，根据“奔驰定理”得出 a h2 PA b h3 PB c h1 PC 0，进而结合已知即可得出②；根

据平面向量基本定理表示出PA, PB, PC ，根据“奔驰定理”化简，结合 AB ， AC 不共线，即可推得③错误；
根据已知得出m2 n2 1，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得
x y 1 a
1 .然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围.
b c
【详解】对于①：如图所示，因为 D，E，F 分别为 CA，AB，BC 的中点，
所以CP 2PE ， S
1 2 1
VAEC SVABC ， S2 △APC
S
3 △AEC
S
3 △ABC
，
S 1同理可得 VAPB SVABC ， S
1
3 VBPC
S
3 VABC
，
所以 SVPBC SVPAC SVPAB，

又因为 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，

所以PA PB PC 0 ，故①正确；
对于②：记点 P 到 AB，BC，CA 的距离分别为 h1 ， h2 ， h3，
S 1 a h S 1 1则 △PBC 2 ， △PAC b h3 ， S△PAB c h1，2 2 2
1 1 1
因为 SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0，则 a h2 PA b h PB c h PC 0 ，2 2 3 2 1

即 a h2 PA b h3 PB c h1 PC 0 .

又因为 aPA bPB cPC 0，
所以 h1 h2 h3 ，所以点 P 是VABC 的内心，故②正确；
2 AP AB 1

对于③：因为 AC ，
5 5
2 1 3 1 2 4
所以PA AB AC ，PB PA AB AB AC ，PC PA AC AB AC ，
5 5 5 5 5 5
所以
S 2
1 3 AB AC S AB 1 AC 2
4
△PBC ÷ △PAC ÷ S

△PAB AB AC

÷ 0 ，
è 5 5 è 5 5 è 5 5
2 3 2
化简得 S△PBC S△PAC S
1 1 4
5 5 5 △PAB ÷
AB S△PBC S S AC 0，
è è 5 5 △PAC 5 △PAB ÷

又因为 AB ， AC 不共线，
ì 2 S 3 2 5 VPBC
S
5 VPAC
S
5 VPAB
0 ìSVPBC 2SVPAB
所以 í
1 1 4
，即 í ，
S S S 0 SVPAC 2SVPAB
5 VPBC 5 VPAC 5 VPAB
S△ ABP S VPAB 1所以， S S ，故③错误；△ ABC VPBC SVPAC SVPAB 5
对于④：因为 P 是VABC A π的外心， 4 ，
π
所以 BPC ， PA PB PC ， | PB PC PB PC cos BPC 0 .2

因为PA mPB nPC ，
2 2
则 PA m2
2
PB 2mnPB PC n2 PC ，
化简得 m2 n2 1 .
ìm cosa π
由题意知 m，n 不同时为正.记 í ， < a < 2πn ， sina 2
则m
π
n cosa sina 2 sin a

÷，
è 4
3π a π 9π因为 < < ，
4 4 4
π
所以 1 sin a π 2

÷ < ，即 2 2 sin a ÷ <1，
è 4 2 è 4
所以m n é 2,1 ，故④正确；
对于⑤：∵O 为VABC 的内心，
∴ SVBOC : SVAOC : SVAOB a : b : c，

∴ aOA bOB cOC 0，
∴ aAO bOB cOC b AB AO c AC AO bAB cAC b c AO ，

∴ a b c AO bAB cAC ，
b c
∴ AO AB AC ，
a b c a b c
b c
即 x ， y ，
a b c a b c
x y b c 1
∴ a b c a 1 .
b c
7 15 2
∵ a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc b c 2 bc b c 2 15 b c 1 ÷ b c
2 (当且仅当b c
4 4 4 è 2 16
时取等号)，
a2 1 a 1∴ 2 ，∴ ，b c 16 b c 4
x y 1 4
∴ 1 1 5 (当且仅当b c 时取等号)，
4
∴ x y
4
的最大值为 ，故⑤正确.
5
故答案为：①②④⑤.
19．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，
而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O为

VABC 内一点，△OBC ，VOAC ，VOAB的面积分别为 SA， SB ， SC ，则有 SAOA SB OB SC OC 0，我们
7
称之为“奔驰定理”（图二）.已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 cos A ，O为VABC 内的一
8

点且为内心.若 AO xAB y AC ，则 x y 的最大值为 .
4
【答案】 / 0.8 .
5
b
【分析】根据内心特点可知 aOA bOB cOC 0，利用向量线性运算进行转化可求得 x ，a b c
y c x
1
y a a 1 ，则 ；利用余弦定理和基本不等式可求得 ，由此可得 x y 的最大值.
a b c 1b c b c 4

【详解】 O为VABC 的内心， SA : SB : SC a : b : c ， aOA bOB cOC 0，

aAO bOB cOC b AB AO c AC AO bAB cAC b c AO ，

a b c AO bAB cAC b c， AO AB AC ，
a b c a b c
b c x y b c 1
即 x ， y ， a ；
a b c a b c a b c 1b c
2
2 2 1 2 a b c2 2bc cos A b2 c2 7 15 bc b c 2 bc b c 2 15 b c ÷ b c （当且仅当b c4 4 4 è 2 16
时取等号），
a2 1 a 1 x y 1 4 2 16 ， ，
1
b c b c 4 1 5 （当且仅当b c 时取等号），4
x y 4的最大值为 .
5
4
故答案为： .
5
20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角
形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 P 是VABC 内一点，

VBPC,VAPC,VAPB的面积分别为 SA , SB , SC ，则有 SA PA SB PB SC PC 0 .已知O为VABC 的内心，且
1 cos BAC ，若 AO mAB nAC ，则m n的最大值为 .3
3 3
【答案】
2

【分析】利用O为VABC 的内心，再结合奔驰定理可得 a OA b OB c OC 0，再由已知条件转化可得
ì m b
m n

AO OB OC
1 m n a
1 m n 1 m n ，利用平面向量基本定理可知 í n c ，从而得到
1 m n a
m b c 1 n 2，再由 cos BAC ，可得 a (b c)2
8
bc ，利用均值不等式可得
a b c 3 3
a2 (b c)2 8 bc (b c)
2
m n
b c 1 3 3

，最后可得
3 3 a b c
.
1 a 2
b c
【详解】因为VABC 的内心O到该三角形三边的距离相等，则 SA : SB : SC a : b : c ，
b
由 SA OA SB OB SC OC 0 可得 a OA b OB c OC 0，所以 AO OB
c
OC ，
a a

又 AO mAB nAC m OB OA n OC OA ，
ì m b
m n

1 m n a
则 AO OB OC

1 m n 1 m n ，所以 í ， n c
1 m n a
m n b c
两式相加可得 1 m n
b c

m n a ，化简可得 ，a b c
cos BAC 1 a2 b2 c2 2bccosA b2又 ，由余弦定理可得 c2
2
bc，
3 3
a2 (b c)2 8 8 (b c)
2 (b c)2
由基本不等式可得 bc (b c)2 ，
3 3 4 3
所以 a 3 b c ，当且仅当b c 时等号成立，
3
m b c 1 1 3 3 3 n a 所以 a b c 1 1 3 3 3
2 .
b c 3
3 3
故答案为： .
2
b c
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到m n ，再结合余弦定理和基本不等式即可
a b c
3
得到 a b c ，最后即可得到m n的最大值.
3第 07 讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难
度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和线）、
极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融合到一起，
高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo 相似
而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
1. 奔驰定理

如图，已知 P 为VABC 内一点，则有 S△PBC OA S△PAC OB S△PAB OC 0 .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.
2. 奔驰定理的证明
如图：延长OA与 BC 边相交于点 D
BD S
则 VABD
S S
VBOD VABD
SVBOD S VAOB
DC SVACD SVCOD SACD SVCOD SVAOC

OD DC

OB BD

OC
BC BC
S S
VAOC OB VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB
OD S BOD S COD S BOD SCOD S VBOC
OA SBOA SCOA SBOA SCOA SVAOC SVAOB

OD S VBOC OA
SVAOC SVAOB
S
VBOC OA S VAOC OB S VAOB OC
SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB SVAOC SVAOB

SVBOC OA SVAOC OB SVAOB OC 0
3. 奔驰定理的推论及四心问题

推论O是VABC 内的一点,且 x OA y OB z OC 0 ,则 SVBOC : SVCOA : SVAOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距
离之比为 2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内
心到三边的距离相等，都等于内切圆半径 r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着
决定性的基石作用.
已知点O在VABC 内部，有以下四个推论：

①若O为VABC 的重心，则OA OB OC 0；

②若O为VABC 的外心，则 sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0；或 OA OB OC

③若O为VABC 的内心，则 a OA b OB c OC 0；备注：若O为VABC 的内心，则

sin A OA sin B OB sin C OC 0 也对.

④若O为VABC 的垂心，则 tan A OA tan B OB tan C OC 0，或OA OB OB OC OC OA
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用平面向
量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数形结合
的数学思想.
考点一、奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知 O，N，P 在DABC所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0，且
PA PB PB PC PC PA，则点 O，N，P 依次是DABC的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
2．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足
A B A C OP OA l ÷，l [0, )，则 P 的轨迹一定通过VABC 的（ ）
è | AB | | AC |
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
ΔABC AB CB CA 2AB CP 2 2 3．设 P 是 所在平面内的一点,若 且 AB AC 2BC AP .则点 P 是ΔABC 的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
v v vAB AC
4．已知点 P 是DABC所在平面内一点，且满足 AP l( v v )(l R)AB cos B AC cosC ，则直线 AP 必经过DABC
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．设 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， 动点 P 满足
， ，则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

1．若O是VABC 内一点，且OA OB OA OC OC OB ，则O为VABC 的（　　）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
2 O VABC VABC a,b,c ．已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 aOA bOB cOC 0 ，则点O是VABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2 2
3．已知点 O 为VABC 所在平面内一点，在VABC 中，满足 2AB AO AB ， 2AC AO AC ，则点 O 为
该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
1
4．已知A ， B ，C 是不在同一直线上的三个点，O是平面 ABC 内一动点，若OP OA l AB BC
è 2 ÷
，

l 0, ，则点 P 的轨迹一定过VABC 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心

5．在平面上有VABC 及内一点 O 满足关系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即称为经典的“奔驰定

理”，若VABC 的三边为 a，b，c，现有 a OA b OB c OC 0则 O 为VABC 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

6．已知 G，O，H 在VABC所在平面内，满足GA GB GC 0 ， | OA | | OB | | OC |，

AH BH BH CH CH AH ，则点 G，O，H 依次为VABC的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
考点二、奔驰定理与其他问题综合
1．奔驰定理：已知O是DABC内的一点，DBOC ，DAOC ，DAOB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，则
v v v
SA OA SB OB SC OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车（Mercedes benz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O是锐角DABC内的一点，A ，
v v v v v v
B ，C 是DABC的三个内角，且点O满足OA OB OB OC OC OA，则必有（ ）
v v v
A． sin A OA sin B OB sin C OC 0
v v v v
B． cos A OA cos B OB cosC OC 0
v v v
C． tan A OA tan B OB tan C OC 0
v v v
D． sin 2A OA sin 2B OB sin 2C OC 0
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与
三角形四心（重心 内心 外心 垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M 是VABC 内一点，

△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为 SA，SB，SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命题正确的有
（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，则M 为VAMC 的重心

B．若M 为VABC 的内心，则BC MA AC MB AB MC 0

C．若M 为VABC 的外心，则 MA MB AB MB MC BC MA MC AC 0

D．若M 为VABC 6的垂心，3MA 4MB 5MC 0，则 cos AMB
6
1．奔驰定理：已知点 O 是VABC 内的一点，若VBOC,VAOC,VAOB的面积分别记为 S1, S2 , S3 ，则

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知 O 是VABC 的垂心，且

OA 2OB 3OC 0，则 cosC =（ ）
A 3 10 B 10 C 2 5 D 5． ． ． ．
10 10 5 5
2．（多选）如图. P 为VABC 内任意一点，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，总有优美等式

SVPBC PA SVPAC PB SVPAB PC 0成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）

A．若 P 是VABC 的重心，则有PA PB PC 0

B．若 aPA bPB cPC 0成立，则 P 是VABC 的内心
2
C．若 AP
1
AB AC ，则 S△ ABP : S5 5 △ ABC
2 : 5
VABC A π

D．若 P 是 的外心， 4 ，PA mPB nPC ，则
m n é 2,1
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知 O 是△ABC 内一点，

△BOC，△AOC，△AOB 的面积分别为 SA， SB ， SC ，且 SA OA SB OB SC OC 0 ．设 O 是锐角△ABC
内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是的△ABC 三个内角，以下命题正确的有（ ）

A．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3

B．若 OA OB 2， AOB
5π 9
，
6 2OA 3OB 4OC 0
，则 SVABC 2
π
C．若 O 为△ABC 的内心，3OA 4OB 5OC 0 ，则 C 2

D．若 O 为△ABC cos AOB 6的垂心，3OA 4OB 5OC 0 ，则
6
一、单选题
1．在VABC 2 2 中，动点 P 满足CA CB 2AB CP ，则 P 点轨迹一定通过VABC 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

2．若 O，M，N 在VABC 所在平面内，满足 | OA | | OB | | OC |, MA MB MB MC MC MA，且

NA NB NC 0，则点 O，M，N 依次为VABC 的（　　）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心

3．已知 O 为VABC 内一点，若分别满足① OA OB OC ；②OA OB OB OC OC OA；③

OA OB OC 0；④ aOA bOB cOC 0 (其中 a,b,c为VABC 中，角 A, B,C 所对的边).则 O 依次是VABC
的
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
4．给定△ABC，则平面内使得到 A，B，C 三点距离的平方和最小的点是△ABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
2 2 2 2 2 2
5．若 H 为VABC 所在平面内一点，且 HA BC HB CA HC AB 则点 H 是VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

6．已知O，A ， B ，C 是平面上的 4 个定点，A ， B ，C 不共线，若点 P 满足OP = OA+l(AB+ AC)，其
中l R ，则点 P 的轨迹一定经过VABC 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
7．平面上有VABC 及其内一点 O，构成如图所示图形，若将VOAB，△OBC ， VOCA的面积分别记作 Sc ，

Sa，Sb，则有关系式 Sa OA Sb OB Sc OC 0 ．因图形和奔驰车的 logo很相似，常把上述结论称为“奔驰

定理”．已知VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若满足 a OA b OB c OC 0，则 O 为VABC
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2 2 2

O ABC OA AB OA AC
OB BA OB BC OC CA OC CB
8．已知点 在平面 中，且 ÷ ÷ ÷ 0，则
è | AB | | AC | BA BC ÷ ÷è è CA CB
点O是VABC 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
9．奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，若VBOC 、VAOC 、VAOB的面积分别记为 S1、 S2 、 S3 ，则

S1 OA S2 OB S3 OC 0．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”

轿车的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是VABC 的垂心，且OA 2OB 4OC 0 ，则
cos B ( )
A 2 1 2． B 3． C． D
3 3 3
．
3
v v v v
10 aPA bPB cPC．已知 O 是VABC所在平面上的一点,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，若PO （其
a b c
中 P 是VABC所在平面内任意一点），则 O 点是VABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相
似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知 O 是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，△AOB 的面积分

别为 SA、 SB 、 SC ，则有 SAOA SB OB SC OC 0，设 O 是锐角△ABC 内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分
别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（ ）

A．若OA OB OC 0，则 O 为△ABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3

C．则 O 为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0
5π 9
D．若 OA OB 2， AOB ，
6 2OA 3OB 4OC 0
，则 SVABC 2
二、多选题
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的
logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知 O 是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，VAOB的

面积分别为 SA， SB ， SC ，则 SA OA SB OB SC OC 0 .若 O 是锐角VABC 内的一点，A，B，C 是VABC

的三个内角，且点 O 满足OA OB OB OC OA OC .则（ ）
A．O 为VABC 的外心 B． BOC A p

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC D． SA : SB : SC tan A : tan B : tan C
13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 logo 很相似，
故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，VAOB的面积分别为

SA , SB , SC ，则有 SA OA SB OB SC OC 0 .设O是锐角VABC 内的一点， BAC ， ABC ， ACB 分别
是VABC 的三个内角，以下命题正确的有（ ）

A．若OA OB OC 0，则O为VABC 的重心

B．若OA 2OB 3OC 0，则 SA : SB : SC 1: 2 : 3
5π 9
C．若 | OA | | OB | 2， AOB ， 2OA 3OB 4OC 0，则 S6 VABC

2

D．若O为VABC 的垂心，则 tan BAC OA tan ABC OB tan ACB OC 0
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形
四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 M 是 VABC 内一点，△BMC ，

VAMC ，VAMB的面积分别为 SA， SB ， SC ，且 SA MA SB MB SC MC 0．以下命题正确的是（ ）
A．若 SA : SB : SC 1:1:1，则 M 为VAMC 的重心

B．若 M 为VABC 的内心，则BC MA AC MB AB MC 0
C．若 BAC 45°， ABC 60°，M 为VABC 的外心，则 SA : SB : SC 3 : 2 :1

D．若 M 为VABC 2的垂心，MA 2MB 3MC 0 ，则 cos BAC
2
15．奔驰定理：已知O是VABC 内的一点，VBOC ，VAOC ，VAOB的面积分别为 SA， SB ， SC ，则

SA OA SB OB SC OC 0 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔
驰”轿车（Mercedesbenz）的 logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若O、 P 是锐角VABC 内的点，A 、
1
B 、C 是VABC 的三个内角，且满足PA PB PC CA，
3 OA OB OB OC OC OA
，则（ ）
A． S△PAB : S△PBC : S△PCA 4 : 2 : 3
B． A BOC π

C． OA : OB : OC cos A : cos B : cosC

D． tan A OA tan B OB tan C OC 0
三、填空题

16．在面上有 VABC 及内一点O满足关系式： S△OBC OA S△OAC OB S△OAB OC 0即称为经典的“奔驰定理”，

若VABC 的三边为 a，b ， c，现有 a OA b OB c OC 0，则O为VABC 的 心.
17．已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足

OP OA OB l CA CB

÷，l R ，则 P 的轨迹一定经过VABC 的 ．(从“重心”，“外
2
è CA cos A CB cos B
÷

心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：

①若 P 是VABC 的重心，则有PA PB PC 0 ；

②若 aPA bPB cPC 0成立，则 P 是VABC 的内心；
2 AP AB 1

③若 AC ，则 S△ ABP : S△ ABC 2 : 5；5 5
π
④若 P 是VABC 的外心， A m n é 2,14 ，PA mPB nPC ，则 ；
7
⑤若VABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cos A ，O 为VABC 内的一点且为内心.若
8
4
AO xAB y AC ，则 x y 的最大值为 .
5
则正确的命题有 .（填序号）
19．1909年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，
而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知O为

VABC 内一点，△OBC ，VOAC ，VOAB的面积分别为 SA， SB ， SC ，则有 SAOA SB OB SC OC 0，我们
称之为“奔驰定理”（图二）.已知VABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 cos A
7
，O为VABC 内的一
8

点且为内心.若 AO xAB y AC ，则 x y 的最大值为 .
20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角
形的四心（重心 内心 外心 垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 P 是VABC 内一点，

VBPC,VAPC,VAPB的面积分别为 SA , SB , SC ，则有 SA PA SB PB SC PC 0 .已知O为VABC 的内心，且

cos BAC 1 ，若 AO mAB nAC ，则m n的最大值为 .3

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