资源简介

第 12 讲 构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
构造函数、用导数判断或证明 比较指数幂的大小
2022 年新 I 卷，第 7 题,5 分
函数的单调性 比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为 5-12 分
【备考策略】1 会结合实际情况构造函数
2 能用导数证明函数的单调性
3 能求出函数的极值或给定区间的最值
4 能结合单调性进行函数值大小比较
【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想
方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得
到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习
知识讲解
1. 构造函数的重要依据
2. 常见构造类型
3. 常见的指对放缩
ex x 1， e x ex 1 ，1 ln x x 1 ln x x，
x e
4. 常见的三角函数放缩
sin x x tan x, x π 0,
2
5. 其他放缩
ln x x 1 (x 1) ln x x 1 (0 x 1)
x ， x ，
ln x 1 (x 1 )(x 1) ln x 1 (x 1 )(0 x 1)
2 x ， 2 x ，
ln x 1 x2 2x 3 (x 1) ln x 1 3 x2 2x (0 x 1)
2 2 ， 2 2
ln x 2(x 1) (x 1) ln x 2(x 1) (0 x 1)
x 1 ， x 1
放缩程度综合
1 1 1 (x 1) x 1 ln x 2(x 1) 1 3 x2 2x x 1(0 x 1)
x 2 x x x 1 2 2
1 1 1 x2 2x 3 2(x 1) 1 1 1 ln x x (x ) x 1(1 x 2)
x 2 2 x 1 x 2 x
1 3 1 2(x 1) 1 1 1
x2 2x 1 ln x x (x ) x 1(x 2)
2 2 x x 1 x 2 x
x 1 1 1 ex (x 1) ， x 1 ex (x 1)
1 x 1 x
方法技巧
1 构造相同函数，比较不同函数值 2 构造不同函数，比较相同函数值
3.构造不同函数，比较不同函数值，这个时候，不等式放缩就是首选之道了!
4.先同构，再构造，再比较，题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，
往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.
考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系
1
1 0.1．（2022·全国·统考高考真题）设 a = 0.1e ,b = ，c = ln 0.9，则（ ）
9
A． a b c B． c b a C． c2．（2021·全国·统考高考真题）设 a = 2ln1.01，b = ln1.02， c = 1.04 1．则（ ）
A． a b c B．b2
1．（2024· 0.1吉林长春·模拟预测）已知 a = e 1,b = ,c = ln1.1，则（ ）
21
A．b a c B． cC． c b a D．b2022 1
2．（2024·全国·模拟预测）已知 a = e 2023 ，b = ln2024 ln2023， c = sin ，则（ ）2023
A． c1012 2023 20253．（2024· · a 1013山西 二模）设 = ，b = ，则下列关系正确的是（ ）
1011 1012
A． e2 a b B． e2 b a C． a b e2 D．b a e2
4 2024· · a = eπ 3．（ 安徽 三模）已知 ,b = ln eπ 2e ,c = π 2，则（ ）
A．b5 1 11 1
1
．（2024·安徽芜湖·三模）设 a = , b = ln , c = ×e11，则（ ）
10 10 11
A．ba 1 ,b 2ln sin 1 1 66．（2024·湖北武汉·二模）设 = = cos ,c = ln
6
，则 a,b,c的大小关系是（
5 10 10 5 5 ）
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
考点二、不等式放缩判断函数值大小关系
1．（2022·全国·统考高考真题）设 a = 0.1e0.1,b
1
= ，c = ln 0.9，则（ ）
9
A． a b c B． c b a C． c31 1 1
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 a = ,b = cos ,c = 4sin ，则（ ）
32 4 4
A． c b a B．b a c C． a b c D． a c b
5
1．（2024· · 0.1 0.2甘肃陇南 一模）若 a = ,b = 7 ,c = e ，则（ ）
4
A． c b a B． a b c C． c a b D． a c b
1 2

2．（2024· 2辽宁·一模）设 a = ，b = 2 e3，c =1 e 3 则（ ）
3
A． a b c B． c b a
C．b c a D． a c b
1 1
3．（2024·山东威海·二模）设 a = ，b = ln1.21， c =10sin ，则（
10 ）100
A． a b c B．b a c C． c a b D． c b a
1
4．（2024·贵州遵义·三模）设 a = tan 0.01，b = ln1.01， c = ，则下列关系正确的是（ ）
101
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
5．（2023·河南·模拟预测）实数 x，y，z 分别满足 x2022 = e， 2022y = 2023， 2022z = 2023，则 x，y，z 的大
小关系为（ ）
A． x y z B． x z y
C． z x y D． y x z
考点三、构造函数解决其他综合问题
1．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）已知 f x 为函数 f x 的导函数，当 x 0时，有 f x xf x 0
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
f 1 2 f 1 1 1 A． 2
B． f 2 f
4 2 4
f 1 C． f 1 D． f
1
f 1
2 2
2．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知 a，b 为正数，且 2a b， ab = ba ，则（ ）
A． a2 b B．b2 a
C． a b 6 D． a b 6
a
3．（2024· x广东深圳·模拟预测）已知函数 f (x) = ae 1n 2，若 f x 0恒成立，则正实数 a的取值范
x 2
围是（ ）
A．0 a e B． a e2 C． a e D． a 2e
4．（23-24 高三上·河北·阶段练习）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为 (0, )，且 xf (x) (x 1) f (x)
恒成立， f (3) = e，则不等式 (x 4) f (x 4) 3ex 2的解集为（ ）
A． ( 4, 1) B． ( 1,1) C． ( 1,2) D． ( 1, )
1．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足， f 2 = 0，当 x 0时， xf x f x 0 ，
则 f x 0的解集为（ ）
A． , 2 U 0,2 B． , 2 2,
C． 2,0 0,2 D． 2,0 U 2,
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知 a，b R ，若 2 a b ， ab = ba ，则 b 的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
3．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 f x 的定义域为R, f x 为 f x 的导函数.若 f 1 = e，且
f x ex f x 在R 上恒成立，则不等式 f x 2 x ex的解集为（ ）
A． , 2 B． 2,
C． ,1 D． 1,
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且 f x f x = 0 .对于任
f x
意的实数 x ，均有 f x 成立，若 f 3 = 16 x 1，则不等式 f x 2 的解集为（ ）
ln2
A． , 3 B． ,3 C． 3, D． 3,
a 1 ln 2 b 2 ln 1 c 11．（22-23 高三下·全国·阶段练习）已知 = ， = ， = ，则（ ）
2 3 3 2 3
A． c a b B． a b c C．b c a D． c b a
a ln( 2e),b e 1,c ln 52．（2024·云南贵州·二模）已知 = = = 1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c a b B．b a c
C． a b c D．b c a
3 1
3 2024· · a = ln ,b = ,c = e 2．（ 四川 模拟预测）已知 ，则 a,b,c的大小关系为（ ）
2 3
A． a b c B． a c b C．b a c D．b c a
1 ln π
4．（2023· ln 3山西·模拟预测）设 a = ，b = ， ，则（
2e 2π c = ）3
A．b c a B．b a c C． a b c D． a c b
5．（2023 高三·全国·专题练习）若函数 y = f x 在 R 上可导，且满足 xf x f x 0恒成立，常数 a,b a b ,
则下列不等式一定成立的是（ ）
A． af a bf b B． af b bf a
C． af a bf b D． af b bf a
6．（2024

高二下·全国·专题练习）定义在 0,
π
2 上的函数
f x ，已知 f x 是它的导函数，且恒有

cosx × f x sinx × f x 0 成立，则有（ ）
f π 2 f π 3 f π f π A． 6 4
B．
6 3
f π π 3 f 2 f (p ) 3 f (pC． 6
D． )
3 6 4
7．（23-24 高三上·陕西·阶段练习）已知函数 f x 的定义域是 5,5 ，其导函数为 f x ，且
f x xf x 2，则不等式 2x 3 f 2x 3 x 1 f x 1 2x 4 的解集是（ ）
A． 2, B． 2,6 C． 4,6 D． 2,4
8．（23-24 高二上·重庆·期末）已知定义在 (0, )上的函数 f x 的导数为 f x ，若 f (1) =1，且
x2 f (x) 1 0 ，则下列式子中一定成立的是（ ）
f 1 A． 3 f (
1
B． ) π
3 π
C． f log2 e ln 2 D． f (ln 3) log3 e
9．（2024·广东·二模）函数 f x 的定义域为R, f 2 = 3，若"x R, f x 1，则 f x x 1的解集为
（ ）
A． 2,2 B． 2, C． , 2 D． ,
10．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R， f 0 = 0且
f x f x 0，则不等式 f (x2 4x 5) 0的解集为（ ）
A． ( , 5) U (1, ) B． ( , 1) U (5, )
C． 5，1 D． 1，5
4
1．（2024 高三下·全国·专题练习）已知 a = ， b
3
= ， c = e ，则下列大小关系正确的是（　　）
ln4 ln3
A． a b c B． a c b
C． c b a D． c a b
a 1 ln 2,b 2 ln 3 ,c 1 2ln52．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 = = = ，则（ ）
2 3 2 2 5
A． c b a B．b a c C． a b c D． a c b
3．（2023·辽宁鞍山·二模）已知定义在 2,2 上的函数 f x 满足 f x e4x f x = 0，且 f 1 = e2 ， f x
为 f x 2x 4的导函数，当 x 0,2 时， f x 2 f x ，则不等式 e f 2 x e 的解集为（ ）
A． 1, B． 1,2 C． 0,1 D． 1,4
1 1
4．（23-24 高二下·江苏常州·期中）若 a = e e ，b =11 11 ， c = 2，则（ ）
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
a 17 35．（2024·湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d 分别满足下列关系：16 =15,b = log17 16, log15 c = ,d = tan ，则
16 16 2
a,b,c,d 的大小关系为（ ）
A． a b c d B． c a b d
C． a c b d D． a d b c
6．（23-24 高二下·江苏常州·期末）已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为R ，对任意实数 x ，
2
f x = f x 2x 3x，且当 x 0 时， f x x 1 0 .不等式 f 2x 2 f x 3x 的解集为（ ）
2
, 2 2 ,2 2 , , 2 A． B． C D3 ． 3 ． 3 U 2,
7．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象是一条连续不断的曲线， f (x) 是 f (x) 的导
函数，当 x 0时，3 f (x) xf (x) 0，且 f (2) = 2 ，则不等式 (x 1)3 f (x 1) 16的解集为（ ）
A． (1, ) B． ( , 2) U (2, )
C． ( ,1) D． , 3 1,
8．（2024· x陕西·模拟预测）已知函数 f x = 2 2 x cos x x2 ，若 a = f 5ln 4π ，b = f 4ln 5π ，
c = f 5ln π4 ，则（ ）
A． c b a B．b9．（2024· 1.02新疆喀什·三模）已知 a = ln sin1.02 ，b = ， c = ln1.02，则（ ）
51
A． a b c B． c a b C． a c b D．b a c
10 2023· · a =1.01ln ln1.01．（ 湖北武汉 三模）已知 ln1.01 ln1.01 ， b = sin ln 1 cos1.01 ， c = etan sin1.01 1，则 a，
b，c 的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
1．（陕西·高考真题） f x 是定义在 (0, )上的非负可导函数，且满足 xf x f x 0 ．对任意正数 a，
b，若 a b ，则必有（ ）
A． af b bf a B．bf a af b
C． af a f b D．bf b f a
2．（江西·高考真题）对于 R 上可导的任意函数 f x ，若满足 x 1 f x 0则必有
A． f 0 f 2 2 f 1 B． f 0 f 2 2 f 1
C． f 0 f 2 2 f 1 D． f 0 f 2 2 f 1
3．（湖南·高考真题）设 f (x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时，
f (x)g(x) f (x)g (x) 0．且 g( 3) = 0 ，则不等式 f (x)g(x) 0的解集是（ ）
A． ( 3,0) (3, ) B． ( 3,0) (0,3)
C． ( , 3) (3, ) D． ( , 3) (0,3)
4．（全国·高考真题）设函数 f '(x) 是奇函数 f (x) （ x R ）的导函数， f ( 1) = 0，当 x 0时，
xf '(x) f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是
A． ( , 1) U (0,1) B． (-1,0) (1,+ )
C． ( , 1) U ( 1,0) D． (0,1) (1, )第 12 讲 构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例 考点分析 关联考点
构造函数、用导数判断或证明 比较指数幂的大小
2022 年新 I 卷，第 7 题,5 分
函数的单调性 比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为 5-12 分
【备考策略】1 会结合实际情况构造函数
2 能用导数证明函数的单调性
3 能求出函数的极值或给定区间的最值
4 能结合单调性进行函数值大小比较
【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想
方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得
到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习
知识讲解
1. 构造函数的重要依据
2. 常见构造类型
3. 常见的指对放缩
ex x 1， e x ex 1 ，1 ln x x 1 ln x x，
x e
4. 常见的三角函数放缩
sin x x tan x, x π 0,
2
5. 其他放缩
ln x x 1 (x 1) ln x x 1 (0 x 1)
x ， x ，
ln x 1 (x 1 )(x 1) ln x 1 (x 1 )(0 x 1)
2 x ， 2 x ，
ln x 1 x2 2x 3 (x 1) ln x 1 x2 2x 3 (0 x 1)
2 2 ， 2 2
ln x 2(x 1) (x 2(x 1) 1) ln x (0 x 1)
x 1 ， x 1
放缩程度综合
1 1 1 (x 1 1 2(x 1) 1 3 ) x ln x x2 2x x 1(0 x 1)
x 2 x x x 1 2 2
1 1 1 3 2(x 1) x2 2x ln x 1 1 1 x (x ) x 1(1 x 2)
x 2 2 x 1 x 2 x
1 x2 2x 3 1 1 2(x 1) 1 1 1 ln x x (x ) x 1(x 2)
2 2 x x 1 x 2 x
x 1 1 1 ex (x 1) ， x 1 ex (x 1)
1 x 1 x
方法技巧
1 构造相同函数，比较不同函数值
2 构造不同函数，比较相同函数值
3.构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了!
4.先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变
形)出一个函数之后再来比较大小.
考点一、构造函数利用单调性判断函数值大小关系
1 2022· · a = 0.1e0.1
1
．（ 全国 统考高考真题）设 ,b = ，c = ln 0.9，则（ ）
9
A． a b c B． c b a C． c【答案】C
【分析】构造函数 f (x) = ln(1 x) x ， 导数判断其单调性，由此确定 a,b,c的大小.
【详解】方法一：构造法
设 f (x) = ln(1 x) x(x 1)
1 x
，因为 f (x) = 1 = ，
1 x 1 x
当 x ( 1,0)时， f (x) 0 ，当 x (0, )时 f (x) 0 ，
所以函数 f (x) = ln(1 x) x 在 (0, )单调递减，在 ( 1,0) 上单调递增，
f (1所以 ) f (0) = 0 ，所以 ln
10 1 1 10
0，故 ln = ln 0.9，即b c，
9 9 9 9 9
1 1 1 f ( ) f (0) 0 ln 9= + 1 0 9 e 10 1 1所以 ，所以 ，故 ，所以 e10 ，
10 10 10 10 10 9
故 a b ，
x2 1 ex 1
设 g(x) = x ex ln(1 x)(0 x 1)，则 g (x) = x+1 ex 1 = ,
x 1 x 1
令 h(x) = ex (x2 1)+1， h (x) = ex (x2 2x 1) ，
当0 x 2 1时， h (x) 0，函数 h(x) = ex (x2 1)+1单调递减，
当 2 1 x 1时， h (x) 0，函数 h(x) = ex (x2 1)+1单调递增，
又 h(0) = 0，
所以当0 x 2 1时， h(x) 0，
所以当0 x 2 1时， g (x) 0，函数 g(x) = x ex ln(1 x)单调递增，
所以 g(0.1) g(0) = 0，即0.1e0.1 ln 0.9，所以 a c
故选：C.
方法二：比较法
0.1 b 0.1解： a = 0.1e ， = 1 0.1 ，
c = ln(1 0.1) ，

① ln a ln b = 0.1 ln(1 0.1) ，
令 f (x) = x ln(1 x), x (0, 0.1],
则 f (x) = 1
1 x
= 0
1 x 1 x ，
故 f (x) 在 (0, 0.1] 上单调递减，
可得 f (0.1) f (0) = 0 ，即 ln a ln b 0 ，所以 a b ；
② a c = 0.1e0.1 ln(1 0.1) ，
令 g(x) = xex ln(1 x), x (0,0.1],
1 1 x 1 x ex 1
则 g ' x = xex ex = ，
1 x 1 x
令 k(x) = (1 x)(1 x)ex 1 ，所以 k (x) = (1 x2 2x)ex 0 ，
所以 k(x) 在 (0, 0.1] 上单调递增，可得 k (x) k (0) 0 ，即 g (x) 0 ，
所以 g(x) 在 (0, 0.1] 上单调递增，可得 g(0.1) g(0) = 0 ，即 a c 0 ，所以 a c.
故 c a b.
2．（2021·全国·统考高考真题）设 a = 2ln1.01，b = ln1.02， c = 1.04 1．则（ ）
A． a b c B．b【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对 a,b 的大小作出判定，对于 a 与 c，b 与 c 的大小关系，
将 0.01 换成 x,分别构造函数 f x = 2ln 1 x 1 4x 1, g x = ln 1 2x 1 4x 1，利用导数分析其在 0
的右侧包括 0.01 的较小范围内的单调性，结合 f(0)=0,g(0)=0 即可得出 a 与 c，b 与 c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
a = 2ln1.01 = ln1.012 = ln 1 0.01 2 = ln 1 2 0.01 0.012 ln1.02 = b ，
所以b a ；
下面比较 c与 a,b的大小关系.
2 1 4x 1 x
记 f x = 2ln 1 x 1 4x 1 f 0 = 0 f x 2 2

，则 ， = = ，
1 x 1 4x 1 x 1 4x
由于1 4x 1 x 2 = 2x x2 = x 2 x
2
所以当 0 0，
所以 f x 在 0,2 上单调递增，
所以 f 0.01 f 0 = 0，即 2ln1.01 1.04 1，即 a c ；
2 1 4x 1 2x
令 g x = ln 1 2x 1 4x 1，则 g 0 = 0 ， g x 2 2= = ，
1 2x 1 4x 1 x 1 4x
由于1 4x 1 2x 2 = 4x2 2，在 x>0 时，1 4x 1 2x 0，
所以 g x 0，即函数 g x 在[0，+∞)上单调递减，所以 g 0.01 g 0 = 0，即 ln1.02 1.04 1，即 b综上，b故选：B.
[方法二]：
f x ln x
2 1
令 = x 1(x 1)
2
x 1 2
f x - = 0，即函数 f (x) 在（1，+∞)上单调递减
x2 1
f 1 0.04 f 1 = 0,\b c
g x 2ln x
2 3
令 = x 1(1 x 3)
4
g x 1x 3 x = 2 0 ，即函数 g(x)在（1，3)上单调递增x 3
g 1 0.04 g 1 = 0,\a c
综上，b故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
2
1．（2024· · a = e0.1吉林长春 模拟预测）已知 1,b = ,c = ln1.1，则（ ）
21
A．b a c B． cC． c b a D．b【答案】D
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设 f (x) = ex x 1， f (x) = ex 1，
x ,0 时， f (x) 0 ， f (x) 为减函数，
x 0, 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数，所以 f (x) f (0) = 0，
f (0.1) 0，即 e0.1 1 0.1 .
设 g(x) = ln x x 1 g (x)
1
， = 1
1 x
= ，
x x
x 0,1 时， g (x) 0， g(x)为增函数，
x 1, 时， g (x) 0， g(x)为减函数，
所以 g(x) g(1) = 0， g(1.1) 0，即 ln1.1 0.1，所以 a c .
1 4 x2
设 h(x) ln x 1 2x= ， h (x) = 2 = 2 0x 2 x 1 x 2 ，x 1 x 2
h(x) 为增函数，所以 h(0.1) h(0) = 0
2
，所以 ln1.1 ，即c b .
21
故选：D
2022 1
2．（2024·全国·模拟预测）已知 a = e 2023 ，b = ln2024 ln2023， c = sin ，则（ ）2023
A． c【答案】D
x
【分析】构造函数 f x = e x 1及函数 g x = x sin x ，结合函数的单调性可比较 a与 c，构造函数
h x = sin x ln x 1 ，结合函数的单调性可比较b 与 c，即可得解.
x
【详解】令 f x = e x 1， x 0 ，
则 f x = ex 1 0在 ,0 上恒成立，故 f x 在 ,0 上单调递减，
2022
f x f 0 =1 0 1 = 0 f 2022 e 2023 2022 故 ，故 = 1 0，
2023 2023
2022

e 2023 1 2022 1
1
即 = ，即 a ，、
2023 2023 2023
令 g x = x sin x ，则 g x =1 cos x 0，故 g x 在定义域内单调递增，
g 1 1 1故 = sin g 0 = 0 0 = 0，即 a c ；
2023 2023 2023
令 h x = sin x ln x 1 ，0 x 1，
1 2
则 h x = cos x =1 2sin2 x 1 x 1 1 2
x 1 2 1 x 2

1 x
1 2 1 x 2 x 1 x1 x = = 0 在 0,1 2 1 上恒成立， x 2 1 x
故 h x 在 0,1 上单调递增，
又 h 0 = sin 0 ln1 1= 0 h ，故 h 0 = 0，
2023
1
故 sin ln
2024
2023 2023
，即c b ，

故有 a c b .
故选：D.
x
【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对 a与 c，可通过构造 f x = e x 1，
从而比较 a
1 1
与 的大小关系，构造 g x = x sin x ，从而比较 c与 的大小关系，可得 a与 c的大小关
2023 2023
系，通过构造 h x = sin x ln x 1 可比较b 与 c的大小关系.
1012 20233 2024· · a b 1013
2025
．（ 山西 二模）设 = ， =

，则下列关系正确的是（ ）
1011 1012
A． e2 a b B． e2 b a C． a b e2 D．b a e2
【答案】B
1012 1 1013 1
【分析】由题意可得 ln a = 2023ln = (2 1011 1)ln(1 ) 、 lnb = 2025ln = (2 1012 1)ln(1 )1011 1011 1012 1012 ，构造函数
f (x) = (2x 1)ln(1 1 ) = (2x 1)[ln(x 1) ln x](x 1)、 h(x) = ln(x 1)
2x
(x 0)
x ，利用导数讨论两个函数的单调性x 2
可得 a b、b e2 ，即可求解.
【详解】 ln a = 2023ln
1012
= (2 1011 1 1)ln(1 )
1011 1011 ，
lnb = 2025ln 1013 = (2 1012 1)ln(1 1 )
1012 1012 ，
设函数 f (x) = (2x 1)ln(1
1
) = (2x 1)[ln(x 1) ln x](x 1)
x ，
f (x) = 2ln(x 1) 2ln x (2x 1)( 1 1 ) = 2ln(1 1 1 2 1 ) × ( )
则 x 1 x x 21 1 x x ，
x
2 x2
设 g(x) = 2ln(1 x)
x 2x
(0 x 1)，则 g (x) = 2 01 x (1 x)
，

所以 g(x)在( 0, 1)上单调递减，且 g(x) g(0) = 0，即 f (x) 0 ，
所以 f (x) 在 (1, )上单调递减，
则 f (1011) f (1012)，即 ln a ln b，所以 a b .
2x h x 1 4 x
2
设 h(x) = ln(x 1) (x 0) ，则 = = 0
x 2 x 1 ，x 2 2 x 1 x 2 2
1
所以 h(x) 在 (0, )上单调递增，且 h( ) h(0) = 0x ，
2
1 1 2 (2x 1)ln(1
1
) 2
ln(1 ) x ln(1 ) x f (x) 2即 1 = = = 0x 2 x 2x 1 2x 1 2x 1
，
x
得 f (x) 2，所以 f (1012) 2 ，即 lnb 2 ，解得b e2 .
综上， e2 b a .
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
4．（2024· · π 3安徽 三模）已知 a = e ,b = ln eπ 2e ,c = π 2，则（ ）
A．b【答案】A
x 1
【分析】构造函数 f x = e x，利用导数求取单调性可得 a、 c之间大小关系，构造函数
g x = ln x x 1，利用导数求取单调性可得b 、 c之间大小关系，即可得解.
a = eπ 3【详解】由 ,b = ln eπ 2e ，
即 a = e π 2 1,b = ln eπ 2e = ln π 2 1，
令 f x = ex 1 x x 1 ，
x 1
则 f x = e 1 0在 1, 上恒成立，
故 f x 在 1, 上单调递增，
则有 f π 2 = e π 2 1 π 2 f 1 = 0，即 a c ，
令 g x = ln x x 1 x 1 ，
则 g x 1 1 x= 1 = 0在 1, 上恒成立，
x x
故 g x 在 1, 上单调递减，
则有 g π 2 = ln π 2 1 π 2 g 1 = 0，即b c ，
故b故选：A.
x 1
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数 f x = e x、 g x = ln x x 1，以比较 a、 c与b 、 c
之间大小关系.
1
5．（2024·安徽芜湖· 1 11 1三模）设 a = , b = ln , c = ×e11，则（ ）
10 10 11
A．b【答案】A
1
x 1
【分析】先构造函数 f x = e x 1，利用导数证明 e11 1，则
11
1 1
1 1 c = ×e11 1 1 1 = 10 10 1 1 1 ，再构造函数 g x = ln x 1
x x 1 x 0,1 ，利用
11 11 11 x 1 x 1 1 1
10 10
x x
导数求出其单调区间，即可比较b,c，构造函数 h x = xe 0 x 1 ，利用导数求出其单调区间，即
1 x
可比较 a,c ，即可得解.
【详解】令 f x = ex x 1 x，则 f x = e 1，
令 f x > 0，则 x 0，
所以函数 f x 在 0, 上单调递增，
1 1
所以 f f 0 = 0，即 e11 111 1， 11
1 1
1
c 1 1 1

所以 = ×e11

1

=
10
1 11 11 11
10 1 ，
1 1 1
10 10
11 1
而b = ln = ln
10
1
10
，

令 g x = ln x 1 x x
x 1
1 x 0,1 ，
x 1
2
则 g x
1 1 x
= 2 1
x x x
=x 1 x 1 x 1 ，x 1 3 x 1 3
当0 x 1时， g x 0，
所以函数 g x 在 0,1 上单调递减，
g 1 所以 g 0 = 0 ，
10
1 1
10 10 1
即 1 1 1 ln 1 ，所以c b ，
1 1 10
10 10
1
a 1= = 11 ,
10 1 1
11
x
令 h x = xex 0 x 1 ，
1 x
1
1
x x
3 x2 x ex
则 h x = x 1 e = ，
1 x 2 1 x 2
3
令j x = x x2 x 0 x 1 ，则j x = 3x2 2x 1 = 3x 1 x 1 ，
当0 x 1时，j x 0，
所以函数j x 在 0,1 上单调递减，
所以j x j 0 = 0，
1 x3 x2 x ex
即当0 x 1时， h x = 2 0， 1 x
所以函数 h x 在 0,1 上单调递增，
所以 h
1
h 0 = 0，
11
1
1 1
即 11 ×e111 ，所以
a c ，
1 11
11
综上所述，b故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造 g x = ln x 1 x x 1

x 0,1 和 h x x= xex 0 x 1 两个函数，x 1 x 1 1 x
是解决本题的关键.
1 1 1 6 6
6．（2024·湖北武汉·二模）设 a = ,b = 2ln sin cos ,c = ln ，则 a,b,c的大小关系是（5 10 10 5 5 ）
A． a b c B．b a c C．b c a D． c a b
【答案】B
6
【分析】构造函数 f (x) = x sin x 、 g(x) = x ln(x 1) 和 h(x) = x ln(x 1)，其中 x (0,1) ，利用导数得到它
5
们的单调性即可比较出三者大小关系.
b 2ln sin 1 cos 1 ln sin 1
2
【详解】由已知可得 = = cos
1 = ln(1 sin 1)，
10 10 10 10 5
设 f (x) = x sin x ， x (0,1) ，则 f (x) = 1 cos x 0，
所以 f (x) = x sin x 在( 0, 1)上单调递增，
f 1 所以 f (0) = 0
1 1 1
，即 sin ，所以b = ln 1 sin ln 1
1
，
5 5 5 5 5
设 g(x) = x ln(x 1) ， x (0,1) ，则 g (x) 1
1 x
= = 0，
x 1 x 1
所以 g(x) = x ln(x 1) 在( 0, 1)上单调递增，
g 1 所以 g(0) = 0
1
ln 1 1 ln 1 sin 1 ，即
5 5 5
，
5
综上 a b，
设 h(x) = x
6
ln(x 1)， x (0,1) ，则 h (x) =1
6 5x 1
= ，
5 5x 5 x 1
当 x
1
0, 1 时， h (x) 0，当 x ,15
时， h (x) 0，
5
所以 h(x) = x
6
ln(x 1) 在 0,
1 1
上单调递减，在 ,15 上单调递增，5 5
h 1 h(0) 0 1 6所以 = ，即 ln
1 1 6 = ln 6 ，所以 a c，
5 5 5 5 5 5
所以b a c
故选：B.
1
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对b 进行合理变形得b = ln(1 sin ) ，再通过构造函数
5
f (x) = x sin x 、 g(x) = x ln(x 1) 和 h(x) x
6
= ln(x 1)，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.
5
考点二、不等式放缩判断函数值大小关系
1
1．（2022· 0.1全国·统考高考真题）设 a = 0.1e ,b = ，c = ln 0.9，则（ ）
9
A． a b c B． c b a C． c放缩法
x 1
因为 x 1 e (x 1) ，
1 x
所以1.1 1 1 1 e0.1 0.11 a = 0.1e0.1 0.1 = = b，即 a b
1 0.1 1 0.1 9
ln x 1 (x 1因为 )(x 1) ，
2 x
所以 c ln 0.9 ln 10 1 (10 9 ) 19= = = 0.11 a ，即 c a
9 2 9 10 180
综上所述： c a b ，故选：C
31
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 a = ,b = cos
1 ,c = 4sin 1 ，则（ ）
32 4 4
A． c b a B．b a c C． a b c D． a c b
【答案】A
c 4tan 1 1【分析】由 = 结合三角函数的性质可得c b ;构造函数 f x = cosx x2 1, x 0, ,利用导数可
b 4 2
得b a ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
π
因为当 x 0, , x tan x
2
c
= 4 tan 1 1 c故 ，故 1b ，所以c b ；b 4
设 f (x) = cos x
1
x2 1, x (0, )，
2
f (x) = sin x x 0，所以 f (x) 在 (0, )单调递增，
f 1 故 f (0)=0，所以 cos
1 31
0，
4 4 32
所以b a，所以 c b a，故选 A
[方法二]：不等式放缩
x 因为当 0,
π ,sin x x，
2
1 2
取 x = 得： cos 1 =1 2sin2 1 1 1 2 31 = ，故b a8 4 8 8 32
4sin 1 cos 1 = 17 sin 1 p j ，其中j 0, ，且 sinj
1
= , cosj 4=
4 4 4 2 17 17
当 4sin
1
cos 1 17 1 p p 1= 时， j = ，及j =
4 4 4 2 2 4
1 4 1 1
此时 sin = cosj = ， cos = sinj =4 17 4 17
cos 1 1 4故 = = sin
1
4sin 1
4 ，故b c17 17 4 4
所以b a，所以 c b a，故选 A
[方法三]：泰勒展开
2 2 4
设 x = 0.25，则 a 31 0.25 1 0.25 0.25= =1 ，b = cos 1 ，
32 2 4 2 4!
sin 1 2 4
c = 4sin 1 = 41 1
0.25 0.25
，计算得 c b a，故选 A.
4 3! 5!
4
[方法四]：构造函数
c
因为 = 4 tan
1
，因为当 x
π
0, ,sin x x tan x
1 1 c
，所以 tan ,即 1b ，所以c b ；设b 4 2 4 4
1
f (x) = cos x 1 x2 1, x (0, )， f (x) = sin x x 0，所以 f (x) 在 (0, )

单调递增，则 f f (0)=0 ,所
2 4
以 cos
1 31
0，所以b a ,所以 c b a，
4 32
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
c 4 tan 1 x 0,
π ,sin x x tan x tan 1 1因为 =
c
，因为当 ，所以 ,即 1b ，所以c b ；因为当b 4 2 4 4
x
2
0,
π
,sin x x
1
，取 x = 得 cos 1 =1 2sin2 1 1 2 1 31 = ，故b a，所以 c b a． 2 8 4 8 8 32
故选：A．
【整体点评】方法 4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
π
方法 5：利用二倍角公式以及不等式 x 0, ,sin x x tan x放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
2
1 2024· · a
5
= ,b = 70.1,c = e0.2．（ 甘肃陇南 一模）若 ，则（ ）
4
A． c b a B． a b c C． c a b D． a c b
【答案】D
【分析】利用 e 2.7，结合幂函数的单调性判断得c b ，再构造函数 g x = ex x 1 1，推得 ex 0 x 1 ，
1 x
从而推得 a c ，由此得解.
0.1
【详解】因为 e2 2.72 7，所以 c = e0.2 = e2 70.1 = b；
令 g x = ex x 1，则 g x = ex 1，
当 x 0时， g x 0，则 g x 在 0, 上单调递增，
当 x 0 时， g x 0，则 g x 在 ,0 上单调递减，
所以 g x g 0 = 0 ，故 ex x 1，
则 e x
1
x 1，即 x 1 x，当且仅当 x = 0时，等号成立，e
1 x
当0 x 1 1，即0 x 1，有 e ，
1 x
c e0.2 1 5从而有 = = = a ；
1 0.2 4
综上， a c b .
故选：D.
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1） ln x x 1；（2） ex x 1 .
2 2024· · a 2
1 2

．（ 辽宁 一模）设 = ，b = 2 e3，c =1 e 3 则（ ）
3
A． a b c B． c b a
C．b c a D． a c b
【答案】B
2 1
【分析】利用导数证明不等式 ex x 1，可得b a,c a ；根据不等式的性质可证得 1 e 3 e3 ，则 c b ，即
可求解.
【详解】对于函数 f (x) = ex x 1， f (x) = ex 1，
令 f (x) 0 x 0, f (x) 0 x 0，
所以函数 f (x) 在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )上单调递增，
所以 f (x) = f (0) = 0，则 f (x) 0，即 exmin x 1 .
1 2

所以 b = 2 e3 2 (
1 2 2 2
1) = ， c = 1 e 3 1 ( 1) = .
3 3 3 3
1 2 1
2 2 1
2 1 1 2
由 e 3 3 8，得 ，所以 e 1 ，则1 e = 1 2 2 2 = 1 e3e3 83 = 2 ，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以 1 e 3 2 e3 ，即 c b .
所以 c b a .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
1 1
3．（2024·山东威海·二模）设 a = ，b = ln1.21， c =10sin ，则（
10 ）100
A． a b c B．b a c C． c a b D． c b a
【答案】B
【分析】令 g(x) = x sin x
1 1 1
，求导可证明 x sin x ，进而可得10sin 10 = ，可判断 a c ，令
100 100 10
2 2 x 1f (x) = x ln(1 x) = x 2ln(1 x)，求导可证 x 2ln(1 x) = ln(1 x) ，令 = ，可判得 a b .
10
【详解】令 g(x) = x sin x，可得 g (x) = 1 cos x≥0，所以 g(x) = x sin x在R 上单调递增，
当 x 0时， g(x) g(0) ，所以 x sin x ，
所以10sin
1
10 1 1 = ，所以 a c ，
100 100 10
2 x 1
令 f (x) = x ln(1 x)2 = x 2ln(1 x)，求导可得 f (x) =1 = ，
x 1 x 1
当0 x 1， f (x) 0 ，所以 f (x) 单调递减，所以 f (x) f (0)，
即 x 2ln(1 x) 0 2ln1 = 0，所以 x 2ln(1 x) = ln(1 x)2，
x 1 1令 = ，可得 ln(1 0.1)2 = ln1.21，即 a b ，
10 10
所以 c故选：B.
1
4．（2024·贵州遵义·三模）设 a = tan 0.01，b = ln1.01， c = ，则下列关系正确的是（ ）
101
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
【答案】D
x π
【分析】构造函数 f x = ln 1 x , x 0, ，利用导数判断出其单调性，即可比较b,c，构造函数1 x 2
g x = ln 1 x x, x 0, π ， h x = x tan x, x

0,
π
，即可比较 a,b，即可得解.
2 2
【详解】b = ln1.01 = ln 1 0.01 c 1 1 0.01， = = = ，
101 100 1 1 0.01
令 f x = ln 1 x x , x π 0, ，1 x 2
则 f x
1 1 x
=
1 x 1 x 2
= 0
1 x 2 ，
π
所以函数 f x 在 0, 2 上单调递增，
所以 f 0.01 f 0 = 0，即 ln 1 0.01 0.01 ，所以b c，
1 0.01
令 g x = ln 1 x x, x 0,
π
2
，

g x 1则 = 1 x= 0，
1 x 1 x
所以 g x 在 0, π 2 上单调递减，
所以 g 0.01 g 0 = 0，即 ln 1 0.01 0.01，
h x x tan x, x 0, π cos
2 x sin2
令 =
x
，则 2 h x =1 2 = tan
2 x 0，
cos x
h x 0, π 所以函数 在 2 上单调递减，
所以 h 0.01 h 0 = 0，即0.01 tan 0.01，
所以 ln 1 0.01 tan 0.01，即b a ，
综上所述， c b a .
故选：D.
f x ln 1 x x π【点睛】关键点点睛：构造函数 = , x 0, g x = ln 1 x x, x ， 0,
π
，
1 x 2 2
h x = x tan x, x π 0, ，是解决本题的关键.
2
5．（2023·河南·模拟预测）实数 x，y，z 分别满足 x2022 = e， 2022y = 2023， 2022z = 2023，则 x，y，z 的大
小关系为（ ）
A． x y z B． x z y
C． z x y D． y x z
【答案】B
1 2023 ln x
【分析】根据已知即 x = e2022 ， y = log2022 2023， z = ， 构选函数 f (x) = 确定其在 e, 上单调2022 x
1
递减，可得 z y x 2023，又设 h x = e x 1，其在 x 0, 上单调递增，所以得 x = e2022 = z ．
2022
1 2023
【详解】解：由已知得 x = e2022 ， y = log2022 2023， z = ，2022
ln x f (x) 1 ln x设 f (x) = ， = 2 ，当 x e, 时， f (x) 0 ，x x
所以 f (x)
ln x
= 在 e, 上单调递减，因此 （f 2023） （f 2022），
x
ln 2023 ln 2022 2023 ln 2023
即 所以 = log 2023， z y；
2023 2022 2022 ln 2022 2022
x
又设 h x = e x 1 h x = ex， 1，当 x 0, 时， h x 0，
x
所以 h x = e x 1在 x 0, 上单调递增，
1 1 1
因此 h = e2022
1
1 h 0 = 0 e2022 1 1 2023，所以 = ，则 x z ；
2022 2022 2022 2022
综上得 x z y .
故选：B．
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：
1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一
个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.
2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，
然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造
的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
考点三、构造函数解决其他综合问题
1．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）已知 f x 为函数 f x 的导函数，当 x 0时，有 f x xf x 0
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
1
A． f 2 f
1 f 1 1 B． 2 f


2 4 2 4
f 1 1 C． f 1 D． f f 1
2 2
【答案】B
fF x x
1
【分析】构造函数 = , x 0，求导确定其单调性，根据单调性确定建立 F , F
1
x 2
的不等关系，
4
1
以及F , F 1 的不等关系，整理化简得答案.
2
f x xf
x f x
【详解】令F x = , x 0，则F x = ，
x x2
因为当 x 0时，有 f x xf x 0恒成立，

x 0 F x f x x f x 所以当 时， = 2 0，x
即F x 在 0, 上单调递减，
f 1 f 1
F 1 F 1

2 4 f 1 1 所以 2 ，即4 1 1 ，即 2
2 f ，A 错误，B 正确，
4
2 4
f 1
1 F 1 F 1 2
f 1
，即 1 ，即
2 f f 1 ，CD 错误.
2 1 2
2
故选：B.
2．（23-24 高三下·陕西西安·阶段练习）已知 a，b 为正数，且 2a b， ab = ba ，则（ ）
A． a2 b B．b2 a
C． a b 6 D． a b 6
【答案】C
ln x
【分析】由 ab = ba ，构造函数 f x = ，求导，判断单调区间，根据已知条件 2a b，判断选项.x
ln a ln b ln x 1 ln x
【详解】由 ab = ba ，可知 = ，设 f x = ，则 f x = 2 ，a b x x
令 f x = 0，则 x=e
当0 x e时， f x > 0， f x 单调递增，
当 x e时， f x 0， f x 单调递减，且 f 2 = f 4 ，
故当 2a b时，则1 a 2 ，b 4 ，
故 a2 b ，b2 a ，且当 a 1时，b ，故 a b 6，只有 C 满足要求.
故选：C
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 f (x) = aex 1n
a
2，若 f x 0恒成立，则正实数 a的取值范
x 2
围是（ ）
A．0 a e B． a e2 C． a e D． a 2e
【答案】C
x ln a ln x 2 x
【分析】不等式整理为 x ln a e ln x 2 e ，构造函数 g x = x e ，利用单调性得到
ln a ln x 2 x ，再构造 k x = ln x 2 x ，进而得到 ln a k x =1 a emax ，从而 .
【详解】Q f (x) = aex 1n
a
2 0，\ex ln a ln a ln x 2 2，且 a 0，
x 2
x ex ln a x ln a ln x 2 x 2 = ln x 2 eln x 2 两边加上 得， ，
设 g x = x ex ，则 g x =1 ex 0，所以 g x 单调递增，
\ x ln a ln x 2 ，即 ln a ln x 2 x ，
k x = ln x 2 x k x 1 1 x 1令 ，则 = = ，
x 2 x 2
Q f x 的定义域是 2, ，
\当 x 2, 1 时， k x 0， k x 单调递增，当 x 1, 时， k x 0， k x 单调递减，
\当 x= 1时， k x 取得极大值即为最大值， k x = k 1 =1max ，
\ln a k x =1，\ a emax .
故选：C．
x ln a
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将 e ln a ln x 2 2
整理为 x ln a ex ln a ln x 2 eln x 2 x，从而构造函数 g x = x e 求解.
4．（23-24 高三上·河北·阶段练习）已知函数 f (x) 及其导函数 f (x) 的定义域均为 (0, )，且 xf (x) (x 1) f (x)
恒成立， f (3) = e，则不等式 (x 4) f (x 4) 3ex 2的解集为（ ）
A． ( 4, 1) B． ( 1,1) C． ( 1,2) D． ( 1, )
【答案】A
【分析】构造函数 g(x)
xf (x)
= x , x 0，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.e
【详解】由 xf (x) (x 1) f (x)，有 xf (x) f (x) xf (x) 0 ，
g(x) xf (x) , x 0 g (x) xf
(x) f (x) xf (x)
令 = x ，则 = x 0，所以 g(x)在区间 (0, )上单调递增．e e
(x (x 4) f (x 4) 3 f (3)又 4) f (x 4) 3ex 2，得 x 4 e e3
，所以 g(x 4) g(3) ，
所以0 x 4 3，解得 4 x 1．
故选：A
【点睛】关键点点睛：
g(x) xf (x)本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令 = x , x 0，由导数证明单调递增，不等式e
(x 4) f (x 4) 3ex 2变形为 g(x 4) g(3) ，利用单调性解即可.
1．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在R 上的奇函数 f x 满足， f 2 = 0，当 x 0时， xf x f x 0 ，
则 f x 0的解集为（ ）
A． , 2 U 0,2 B． , 2 2,
C． 2,0 0,2 D． 2,0 U 2,
【答案】A
f x
【分析】构造函数 g x = ，根据已知条件判断 g x 的单调性，奇偶性，结合 g x 的模拟草图，数形
x
结合即可求得结果.
f x xf
x f x
【详解】令 g x = ，则 g (x) = ，由题可知，当 x 0时， g (x) 0，故 g x 在 0, 单
x x2
调递减；
又 f x 为奇函数， y = x 也为奇函数，故 y = g x 为偶函数，则 g x 在 ,0 单调递增；
f 2
又 f 2 = 0，则 g 2 = = 0，画出 y = g x 的模拟草图如下所示：
2
当 x 0时， f x 0，则 g x 0，数形结合可知，此时 x 0,2 ；
当 x = 0，因为 f x 为R 上的奇函数，故 f 0 = 0，不满足题意；
当 x 0 ， f x 0，则 g x 0 ，数形结合可知，此时 x , 2 ；
综上所述： f x 0的解集为 , 2 0,2 .
故选：A.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知 a，b R ，若 2 a b ， ab = ba ，则 b 的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
【答案】B
f x ln x【分析】构造函数 = ，求导确定其单调性，结合 f (2) = f (4)可得答案.
x
ln a ln b ln x
【详解】由 ab = ba 得 = ，设 f x = ，则 f (a) = f (b) ，
a b x
又 f (x)
1 ln x
= 2 ，x
当0 x e时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增，
当 x e时， f (x) 0 ， f (x) 单调递减．
f (2) ln 2 2ln 2 ln 4因为 = = = = f (4) ，所以 2 a e b 4．
2 4 4
结合选项可知 B 正确，ACD 错误.
故选：B.
3．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 f x 的定义域为R, f x 为 f x 的导函数.若 f 1 = e，且
f x ex f x x在R 上恒成立，则不等式 f x 2 x e 的解集为（ ）
A． , 2 B． 2,
C． ,1 D． 1,
【答案】D
f x
【分析】设 g x = x x，利用导数求得 g x 在R 上单调递减，把不等式转化为 g x g 1 ，即可求解.e
f x f
x ex f x ×ex f x f x ex
【详解】设函数 g x = x x，可得 g x

= 1 = 0，
e e2x ex
所以函数 g x 在R 上单调递减，
f x 2 x ex x x f x f 1 由 ，可得 f x xe 2e ，即 x x 2 = 1，e e
可得 g x g 1 x，所以 x 1，即不等式 f x 2 x e 的解集为 1, .
故选：D.
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，且 f x f x = 0 .对于任
f x x 1
意的实数 x ，均有 f x 成立，若 f 3 = 16 ，则不等式 f x 2 的解集为（ ）
ln2
A． , 3 B． ,3 C． 3, D． 3,
【答案】D
f x f x
【分析】构造函数 g x = x ，然后由已知可得 g x =2 2x 的单调性，最后将不等式转化为
g x g 3 ，即可得到答案.
f x f x
【详解】 f x f x f x ln2 0 ，令 g x = ，
ln2 2x
f x ×2
x 2x f x ln2 f x f x ln2
则 g x = 2 = 02x ，则 g x 在 , x 上单调递增.2
f 3
由 f 3 = 16 ， f x 为奇函数，得 f 3 =16，则 g 3 = = 2，
8
f x 2x 1 f x f x f 3 从而原不等式 可化为 x 2，即 x ，此即为 g x3 g 3 .2 2 2
由于 g x 在 , 上单调递增，故这等价于 x 3，所以不等式的解集为 3, .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.
1 2 2 1 1
1．（22-23 高三下·全国·阶段练习）已知 a = ln ，b = ln ， c = ，则（ ）
2 3 3 2 3
A． c a b B． a b c C．b c a D． c b a
【答案】B
【分析】构造函数 f (x) = ln x x ，由导数求解函数的单调性，即可比较 a b，利用对数函数的单调性结合
中间值法可得出b ， c的大小关系.
【详解】设函数 f (x) = ln x x ，则 f (x)
1
= 1，当 x (0,1) 时， f (x) 0 ， f (x) 为增函数，
x
得 f
2 f 1 ，即 ln
2 2 ln 1 1 ln 2 1 ln 1 2 ，即 ，得 a b，
3 2 3 3 2 2 3 2 2 3
b 2 ln 1 2 ln 1 2 1因为 = = 1 = = c ，因此， a b c .
3 2 3 e 3 3
故选：B.
e 1 ln 5
2．（2024·云南贵州·二模）已知 a = ln( 2e),b = ,c = 1，则 a,b,c的大关系为（ ）
e 5
A． c a b B．b a c
C． a b c D．b c a
【答案】B
ln x 1
【分析】根据 a,b,c的特点，构造函数 f (x) = ，判断其单调性，得到 f (x)
x max
= f (e) = ，故有
e
f (e) f (5), f (e) f (2)，再运用作差法比较 f (5), f (2)即得.
ln x f (x) 1 ln x【详解】设 f (x) = ，则 = ，
x x2
当0 x e时， f (x) 0 ， f (x) 在 (0, e)上递增；
当 x e时， f (x) 0 ， f (x) 在 (e,+ ) 上递减,
f (x) f (e) 1故 max = = .e
1 ln 5 , 1 ln 2则 ，即b c,b a；
e 5 e 2
25
由 ln 5 ln 2 2ln 5 5ln 2 ln c a = = 32 0可知 ，故b a c .
5 2 10 10
故选：B.
3 1
3．（2024· 2四川·模拟预测）已知a = ln ,b = ,c = e ，则 a,b,c的大小关系为（
2 3 ）
A． a b c B． a c b C．b a c D．b c a
【答案】A
【分析】利用当 x 0时， lnx x 1 1判断 a b，通过函数 y = x 在是减函数判断b c .
【详解】当 x 0时，设 f x = ln x x 1 f x 1，则 = 1，
x
当0 x 1时， f x > 0， f x 单调递增，当 x 1时， f x 0， f x 单调递减，
所以 f x f 1 = 0，
也就是说当 x 0时， lnx x 1，
1 1 1 1
用 代替 x ，可得 ln 1，即 lnx 1
x x x x
，
ln 3所以 1
2 1
= ，即 a b．
2 3 3
1 1
又知 2 = e
2
，所以b c，所以 a b c．
3 e
故选：A
1 ln π
4．（2023·山西·模拟预测）设 a = ，b = c ln 3， = ，则（2e 2π ）3
A．b c a B．b a c C． a b c D． a c b
【答案】D
【分析】构造函数 f x ln x= x 0 研究其单调性，运用函数单调性比较大小即可.
2x
a 1 ln e【详解】易知 = = ，b
ln π
= c ln 3 ln 3，2e 2e 2π = =
，
3 2 3
令 f x ln x= x 0 ，
2x
f x 1 ln x则 = 2 ，2x
f x 0 x e ，
所以 f x 在 e, 上单调递减，
又因为 e 3 π，
所以 f e f 3 f π ，即 a c b．
故选：D.
5．（2023 高三·全国·专题练习）若函数 y = f x 在 R 上可导，且满足 xf x f x 0恒成立，常数 a,b a b ,
则下列不等式一定成立的是（ ）
A． af a bf b B． af b bf a
C． af a bf b D． af b bf a
【答案】A
【分析】构造 g x = xf x 并求导，判断单调性，即可得结果.
【详解】令 g x = xf x ，则g x = xf x f x 0恒成立，故 g(x)在R 上单调递增．
Q a b ，
\ g a g b ，即 af a bf b ．
故选：A
π
6．（2024 高二下·

全国·专题练习）定义在 0, 2 上的函数
f x ，已知 f x 是它的导函数，且恒有

cosx × f x sinx × f x 0 成立，则有（ ）
f π 2 f π 3 f π π A． B． f6 4 6 3
C． f
π
3 f
π p p
6 3
D． 2 f ( ) 3 f ( )
6 4
【答案】C
f x π
【分析】根据不等式结构特征构造函数 g x = , x 0, .cos x 2 ，研究该函数的单调性即可求解
f x
cos x × f x sin x × f xg x = , x 0, π g x 【详解】令 cos x 2 ，则 = 2 ， cos x
因为 cosx × f x sinx × f x 0 ，
f x π
所以 g x 0，则 g x = 在 0, 上单调递减，cos x 2
f π
π
f π f π f f
π π
3 4
f
6 3 4 6 所以 ，即 1 ，
cos π cos π cos π 2 3
3 4 6 2 2 2
π
故 2 f 3 f
π π π
， f 3 f

6 4 6 3
，

故选：C.
7．（23-24 高三上·陕西·阶段练习）已知函数 f x 的定义域是 5,5 ，其导函数为 f x ，且
f x xf x 2，则不等式 2x 3 f 2x 3 x 1 f x 1 2x 4 的解集是（ ）
A． 2, B． 2,6 C． 4,6 D． 2,4
【答案】D
【分析】构造函数 g x = xf x 2x ，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即可求出不等式的解
集.
【详解】由题意，
在函数 f x 中， x 5,5 ，导函数为 f x ， f x xf x 2，
设 g x = xf x 2x ，则 g x = f x xf x 2 .
∵ f x xf x 2，
∴ g x 0，则 g x 是 5,5 上的增函数.
不等式 2x 3 f 2x 3 x 1 f x 1 2x 4 等价于
2x 3 f 2x 3 2 2x 3 x 1 f x 1 2 x 1 ，
即 g 2x 3 g x 1 ，
ì 5 2x 3 5

则 í 5 x 1 5

2x 3 x 1
解得： 2 x 4 ，
故选：D.
8．（23-24 高二上·重庆·期末）已知定义在 (0, )上的函数 f x 的导数为 f x ，若 f (1) =1，且
x2 f (x) 1 0 ，则下列式子中一定成立的是（ ）
1
A． f 3 B． f (
1 ) π
3 π
C． f log2 e ln 2 D． f (ln 3) log3 e
【答案】C
1
【分析】设 g x = f x ，得到 g x 0，得到 g x 在 (0, )上单调递增，再由 f (1) =1，得到
x
g 1 = 0，结合选项，逐项判定，即可求解.
1
【详解】因为当 x 0时， x2 f (x) 1 0 ，可得 f (x)
x2
0，
1
令 g x = f x ，可得 g x = f x 1 2 0，所以 g x 在 (0, )上单调递增，x x
因为 f (1) =1，可得 g 1 = f 1 1 = 0，
1 1 1
对于 A 中，由 g( ) g 1 ，即 f ( ) 3 0，所以 f ( ) 3，所以 A 不正确；
3 3 3
g(1 ) g 1 f (1 ) π 0 f (1对于 B 中，由 ，即 ，所以 ) π，所以 B 不正确；
π π π
对于 C 中，由 g(log2 e) g 1 ，即 f (log2 e) ln2 0，所以 f (log2 e) ln 2，所以 C 正确；
对于 D 中，由 g(ln 3) g 1 ，即 f (ln 3) 1 0 ，所以 f (ln 3) log3 e ，所以 D 不正确.ln3
故选：C.
9．（2024·广东·二模）函数 f x 的定义域为R, f 2 = 3，若"x R, f x 1，则 f x x 1的解集为
（ ）
A． 2,2 B． 2, C． , 2 D． ,
【答案】B
【分析】构造函数 f x = 2x 1，解不等式即可得出答案.
【详解】构造函数 f x = 2x 1，满足 f 2 = 3， f x = 2 1，
则由 f x x 1可得 2x 1 x 1，解得： x 2 .
故选：B.
10．（23-24 高二下·安徽亳州·期中）已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R， f 0 = 0且
f x f x 0，则不等式 f (x2 4x 5) 0的解集为（ ）
A． ( , 5) U (1, ) B． ( , 1) U (5, )
C． 5，1 D． 1，5
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数 g(x) = ex f (x) ，判断 g(x)的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调
性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设 g(x) = ex f (x) ，则 g (x) = ex[ f (x) f (x)] 0，故 g x 单调递增.
又 g(0) = e0 f (0) = 0，故 f (x2 4x 2 5) 0可转化为ex 4x 5 f (x2 4x 5) 0，即
g(x2 4x 5) g(0)，
由 g x 单调递增可得 x2 4x 5 0，解得 x 5或 x 1，
即不等式 f (x2 4x 5) 0的解集为 ( , 5) U (1, ) .
故选：A .
4 3
1．（2024 高三下·全国·专题练习）已知 a = ， b = ， c = e ，则下列大小关系正确的是（　　）
ln4 ln3
A． a b c B． a c b
C． c b a D． c a b
【答案】C
x
【分析】构造函数 f (x) = x e ，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的大小.
lnx
e x
【详解】由题， c = .令 f (x) = （ x e），则 f x lnx 1= ，
lne lnx ln2 x
lnx 1
因为 x e，所以 f x = 2 0，所 f (x)
x
= 在 e,＋ 上单调递增，
ln x lnx
又 a = f 4 ，b = f 3 ， c = f (e)， e 3 4，故 c b a .
故选：C.
1 2 ln 3
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知a = ln 2,b = ,c
1 2ln5
= ，则（ ）
2 3 2 2 5
A． c b a B．b a c C． a b c D． a c b
【答案】B
【分析】构造 f x = ln 1 x x x 0 ，利用导数证明 ln 1 x x x 0 1，代入 x = 可比较 a,b的大小，
3
根据对数函数的性质可判断 a,c 的大小，从而可求解.
1 x
【详解】设 f x = ln 1 x x x 0 ，则 f x = 1 = 0，
1 x 1 x
所以 f x 在 0, 上单调递减，所以 f x f 0 = 0，
所以 ln 1 x 1 1 x x 0 4 1，所以 ln 1 ，即 ln ，
3 3 3 3
所以 2ln 2
1 ln 3 1 ln 3 ，即 ln 2 ，
3 6 2
1
所以 ln 2
2 ln 3
，即 a b .
2 3 2
2ln 5
由 25 32，可得 ln 25 ln 32，即 2ln 5 5ln 2 ，即 ln 2，
5
1 2ln 5 1
所以 ln 2 ，即 c a .
2 5 2
综上所述，b a c .
故选:B.
3．（2023·辽宁鞍山·二模）已知定义在 2,2 上的函数 f x f x e4x f x = 0 f 1 = e2满足 ，且 ， f x
为 f x 的导函数，当 x 0,2 时， f x 2 f x 2x 4，则不等式 e f 2 x e 的解集为（ ）
A． 1, B． 1,2 C． 0,1 D． 1,4
【答案】D
f x
【分析】构造函数 g x = 2x ，利用 g x 的奇偶性和单调性求得正确答案.e
f x
【详解】设 g x = 2x , 2 x 2，e
g x g x f x f x 1 = 2x 2x = 2x é f x e
4x f x
e e e
ù = 0，
所以 g x 是奇函数.
当 x 0,2 时， f x 2 f x ，
f x ×e2x f x ×2e2x f x 2 f x
则 g x = 4x = 2x 0 ，e e
所以 g x 在 0,2 上单调递增，则 g x 在 2,2 上单调递增，
2x
不等式 e f 2 x e4 f 2 x f 11 即 4 2x = 2 ，e e
ì 2 2 x 2
所以 í 1 x 4
2 x
，
1
2x
所以不等式 e f 2 x e4 的解集为 1,4 .
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为 f x ± f x = 0 来进
行判断；一个是构造函数法，有关 f x 和 f x 的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，
然后结合导数来进行求解.
1 1
4．（23-24 高二下·江苏常州·期中）若 a = e e ，b =11 11 ， c = 2，则（ ）
A． a b c B．b a c C． a c b D． c b a
【答案】C
a,b,c f x 2ln x【分析】将 两边分别同时取对数，构造函数 = ，利用导数求出函数的单调区间，再根据函
x
数的单调性即可得解.
1 1
【详解】由 a = e e ，b =11 11 ， c = 2，
ln a 1 2ln e得 = = , ln b ln11 2ln 11= = , ln c ln 2 2ln 2 2ln 4= = = ，
e e 11 11 2 4
f x 2ln x= f x 2 2ln x令 ，则 =
x x2
，
当0 x e时， f x > 0，当 x e时， f x 0，
所以函数 f x 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，
所以 f 11 f 4 = f 2 f e ，
所以 lnb ln c ln a，所以b c a .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：将 a,b,c
2ln x
两边分别同时取对数，构造函数 f x = 是解决本题的关键.
x
16a 15,b log 16, log c 17 35．（2024·湖北黄冈·二模）已知 a,b,c,d 分别满足下列关系： = = 17 15 = ,d = tan16 2 ，则16
a,b,c,d 的大小关系为（ ）
A． a b c d B． c a b d
C． a c b d D． a d b c
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得 a b ，利用指对数函数的单调性，通过
构造函数判断单调性可推得 c a，最后利用正切函数的单调性可得b d .
【详解】由16a = 15,可得a = log1615,
a b log 15 log 16 ln15 ln16 = = ln15 × ln17 (ln16)
2
16 17 = ,ln16 ln17 ln16 × ln17
ln15 ln17 ln15 ln17
2 2 2
×
ln255 ln256
因 2 2
= 2
= (ln16) ，
2
又 ln16 × ln17 0，故 a b 0 ,即 a b ；
17 15
因 log
17
15 c = ,，则 c = 15
16 15 c 15 ln16 ln16 ln15
16 16
,由 1616 = × =
，
16 a log1615 16 ln15 16 15
y ln x y 1 ln x由函数 = ， =
x x2
，因 x e时， y 0，
y ln x (e, ) 0 ln16 ln15即函数 = 在 上单调递减，则有 ，故得 c a；
x 16 15
由b = log17 16 1 d
3 π
，而 = tan tan = 1，即b d ，
2 4
综上，则有 c a b d .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
6．（23-24 高二下·江苏常州·期末）已知函数 f x 及其导数 f x 的定义域均为R ，对任意实数 x ，
2
f x = f x 2x x 0 f x x 1 0 . f 2x 2 f x 3x，且当 时， 不等式 3x 的解集为（ ）
2
A． 2 , 2 , 2 2 2 B． C3 ． , D． , U 2, 3 3
【答案】B
1 2
【分析】构造函数 g x = f x x x ，从而结合导数与所给条件得到函数 g x 的单调性与对称性，在将
2
所给不等式中 f x 化为 g x 即可得解.
g x f x 1【详解】令 = x2 x ，则 g x = f x x 1，
2
由题意可得，当 x 0 时， f x x 1 0，即 g x 在 0, 上单调递增，
由 f x = f x 2x，则 g x 1 x2 x = g 1 x x2 x 2x，
2 2
即 g x = g x ，故 g x 为偶函数，故 g x 在 ,0 上单调递减，
f 2x 2 f x 3x
2 2
则不等式 3x 可化为： g 2x 2 1 2x 2 2 2x 2 g x 1 x2 x 3x 3x，
2 2 2 2
即 g 2x 2 g x 2，则有 2x 2 x ，即 2x 2 x2 ，
即 2x 2 x 2x 2 x 0 ，即 3x 2 x 2 0，
2
解得 x , 2

.
3
故选：B.
1 2
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数 g x = f x x x ，从而结合导数与所给条件得到函数
2
g x 的单调性与对称性.
7．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图象是一条连续不断的曲线， f (x) 是 f (x) 的导
函数，当 x 0时，3 f (x) xf (x) 0，且 f (2) = 2 ，则不等式 (x 1)3 f (x 1) 16的解集为（ ）
A． (1, ) B． ( , 2) U (2, )
C． ( ,1) D． , 3 1,
【答案】D
3
【分析】根据 (x 1) f x 1 16构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知
g x = x3 f x 在 x 0 3时是单调递增函数，再结合已知条件又可知 g x = x f x 是偶函数，利用单调性和
奇偶性解不等式即可.
g x = x3 f x g x = 3x2 f x x3 f x = x2 é3 f x xf 【详解】令 ，则 x ù ，
因为当 x 0时，3 f x xf x 0，所以 g x 在 0, 上单调递增，
又 f x 为奇函数，且图象连续不断，所以 g x 为偶函数，
由 x 1 3 f x 1 23 f 2 ，得 x 1 2，解得 x 3或 x 1.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数
之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
8 x x 2．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 f x = 2 2 cos x x ，若 a = f 5ln 4π ，b = f 4ln 5π ，
c = f 5ln π4 ，则（ ）
A． c b a B．b【答案】D
ln x
【分析】先利用导数判断 f (x) 的单调性，再构造函数 g(x) = ，利用导数判断得5ln π4x 5ln 4
π 4ln 5π ，
从而得解.
【详解】因为 f (x) = 2x 2 x cos x x2，
所以 f (x) = (2x 2 x ) ln 2 (2x sin x)，
令 h x = 2x sin x ，则 h x = 2 cos x 0恒成立，
所以当 x 0时， h x h 0 = 0，即 2x sin x 0，
又 y = 2x 2 x 在 0, 上单调递增，所以 y = 2x 2 x 20 20 = 0，
所以 f (x) 0 在 0, 上恒成立，则 f (x) 在 0, 上单调递增，
g(x) ln x g (x) 1 ln x构造函数 = ，则 = 2 ，x x
令 g (x) 0，得0 x e，令 g (x) 0，得 x e，
所以 g(x)在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，
所以 g π g 4 g 5 ，
ln π ln 4 ln 5
即 ，可得 4ln π π ln 4，5ln 4 4ln 5，
π 4 5
所以 ln π4 ln 4π ，5π ln 4 4π ln 5，
所以5ln π4 5ln 4π ，5ln 4π 4ln 5π，
即5ln π4 5ln 4π 4ln 5π
所以， f 5ln π4 f 5ln 4π f 4ln 5π ，
即b a c .
故选：D.
ln x
【点睛】思路点睛：先利用导数判断 f (x) 的单调性，再构造函数 g(x) = ，利用导数判断得
x
5ln π4 5ln 4π 4ln 5π ，是解决本题的关键.
9 2024· · a = ln sin1.02 b 1.02．（ 新疆喀什 三模）已知 ， = ， c = ln1.02，则（ ）
51
A． a b c B． c a b C． a c b D．b a c
【答案】C
x
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得 a 0 c，构造 f x = ln(1 x) , x 0，利用导数判断单调
1 x
性，再判断大小关系即可得 c b ，即可得结果.
π
【详解】因为 y = sin x

在 0, 内单调递增，
2
则0 = sin 0 sin1.02
π
sin =1，即 sin1.02 0,1 ，
2
又因为 y = ln x 在 0, 内单调递增，
则 a = ln sin1.02 ln1 = 0， c = ln1.02 ln1 = 0 ，可得 a c；
令 x = 0.02，则b
x
= ， c = ln(1 x)，
1 x
构建 f x = ln(1 x) x , x 0，
1 x
1 x x
则 f x 1 2 1 x ( 1 x 1)
2
= = 0，
1 x 1 x 2(1 x) 1 x
可知 f x 在 (0, )上递减，则 f 0.02 f 0 = 0，即 c b ；
综上所述： a c b .
故选：C.
x
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据 c b构建 f x = ln(1 x) , x 0，利用导数判断其单调
1 x
性，进而可得 c b .
10．（2023· ln ln1.01 ln1.01湖北武汉·三模）已知 a =1.01 ln1.01 ， b = sin ln 1 cos1.01 ， c = etan sin1.01 1，则 a，
b，c 的大小关系为（ ）
A． a b c B．b a c
C． c b a D． c a b
【答案】A
【分析】设 f x = ln 1 x x x 1 ，对 f x 求导，得到 f x 的单调性的最值，结合对数函数和三角函
数的性质，即可证明b 0,1 ，再证明 c 1，令 t = ln ln1.01 ，通过指数和对数函数的运算性质可证明
a = 0，即可得出答案.
【详解】设 f x = ln 1 x x x 1 ， f x 1 x= 1 = x 1 ，
1 x 1 x
当 x 1,0 时， f x > 0；当 x 0, 时， f x 0，
所以 f x 在 1,0 上单调递增，在 0, 上单调递减，
所以 f x f 0 = 0，所以 ln 1 x x ，
b = sin ln 1 cos1.01 sin cos1.01 1，
又b = sin ln 1 cos1.01 sin ln1 = sin 0 = 0，则b 0,1 ，
c = etan sin1.01 1 1，所以b c ，
a =1.01ln ln1.01对于 ln1.01 ln1.01 ，令 t = ln ln1.01 ，则 ln1.01 = et ，
ln1.01 t
此时 a =1.01t et =1.01t eln1.01 =1.01t 1.01t = 0，
所以 a b c .
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
1．（陕西·高考真题） f x 是定义在 (0, )上的非负可导函数，且满足 xf x f x 0 ．对任意正数 a，
b，若 a b ，则必有（ ）
A． af b bf a B．bf a af b
C． af a f b D．bf b f a
【答案】A
【分析】构造函数g(x) = xf (x)，再分类讨论即可求解.
【详解】解：令g(x) = xf (x)， g (x) = f (x) xf (x) 0，
所以g(x) 在 (0, )上为常函数或递减,
1o若g(x) 在 (0, )上为单调递减，所以 g(a) g(b) ，
即 af a bf b 0 1 1①， 0 ②
a2 b2
①②两式相乘得：
f a f b
所以 bf a af b ，
a b
2o 若g(x) 在 (0, )上为常函数，且 f (x) = 0 ，则 g(a) = g(b) = 0 ，
即 af a = bf b = 0 1 1③， 0 ④，
a2 b2
③④两式相乘得：
f a f b
所以 = bf a = af b ，
a b
综上所述，bf a af b
故选：A
2．（江西·高考真题）对于 R 上可导的任意函数 f x ，若满足 x 1 f x 0则必有
A． f 0 f 2 2 f 1 B． f 0 f 2 2 f 1
C． f 0 f 2 2 f 1 D． f 0 f 2 2 f 1
【答案】C
【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.
【详解】Q x 1 f x 0
若 f x = 0，则 f x 为常数函数, f 0 f 2 =2 f 1 ;
若 f x = 0不恒成立,
\当 x 1时, f x 0 , f x 递增，当 x 1时, f x 0 , f x 递减.
\ f (0) f (1), f (2) f (1)，\ f (0) f (2) 2 f (1) .
故选:C.
【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数的
单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.
3．（湖南·高考真题）设 f (x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时，
f (x)g(x) f (x)g (x) 0．且 g( 3) = 0 ，则不等式 f (x)g(x) 0的解集是（ ）
A． ( 3,0) (3, ) B． ( 3,0) (0,3)
C． ( , 3) (3, ) D． ( , 3) (0,3)
【答案】D
【分析】
构造函数h(x) = f (x)g(x) ，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】
令h(x) = f (x)g(x) ，则h( x) = f ( x)g( x) = f (x)g(x) = h(x)，因此函数 h(x) 在 R 上是奇函数．
①Q当 x 0 时， h (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) 0 ，\h(x)在 x 0 时单调递增，
故函数 h(x) 在R 上单调递增．
Qh( 3) = f ( 3)g( 3) = 0，
\h(x) = f (x)g(x) 0 = h( 3)，
\ x 3．
②当 x 0时，函数 h(x) 在R 上是奇函数，可知： h(x) 在 (0, )上单调递增，且 h （3） = h( 3) = 0，
\h(x) 0，的解集为 (0,3)．
③当 x = 0时， h 0 = 0，不符合要求
\不等式 f (x)g(x) 0的解集是 ( ， 3) (0，3)．
故选：D
4．（全国·高考真题）设函数 f '(x) 是奇函数 f (x) （ x R ）的导函数， f ( 1) = 0，当 x 0时，
xf '(x) f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是
A． ( , 1) U (0,1) B． (-1,0) (1,+ )
C． ( , 1) U ( 1,0) D． (0,1) (1, )
【答案】A
f x xf x f x
【详解】构造新函数 g x = , g ' x = ，当 x 0时 g ' x 02 .x x
所以在 0, f x 上 g x = 单减，又 f 1 = 0，即 g 1 = 0 .
x
所以 g x f x = 0可得0 x 1,此时 f x 0，
x
又 f x 为奇函数，所以 f x 0在 ,0 0, 上的解集为： , 1 0,1 .
故选 A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 xf x f x ，想到构造
g x f x = .一般：（1）条件含有 f x f x g x = ex，就构造 f x ,（2）若 f x f x ，就构造
x
f xg x = ，（3） 2 f x f x ，就构造 g x = e2x f x ，（4） 2 f x f x x 就构造 g
f x
x = 2x ，等便e e
于给出导数时联想构造函数.

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